Blok I: Wyrażenia algebraiczne

I.1. Zapisać liczby w postaci

a) dziesiętnej:

7
4

,

6
7

,

121
111

,

1

250

;

b*) wymiernej:

0.(7) = 0.777..., 3.14(5), 0.7(35);

c) wymiernej:

1

1 +

1

1 +

1

1 +

1

2

,

1

1 +

1

2 +

1

3 +

1

4

I.2. Nie wykonując dzielenia, ocenić, która z liczb ma skończoną (nieokresową) reprezentację dziesiętną:

3
8

,

3

24

1

60

,

507
320

,

1

1+

√

2

,

57

3

3

√

64

.

I.3. Uszeregować liczby w porządku rosnącym (nie używając kalkularora)

a)

37
72

,

1

√

2

,

1

π−3

, 2 −

√

6;

b)

3

√

30, π,

70
21

,

3

√

3−1

, 2

3

√

7;

I.4. Przekształcić liczby do prostszej postaci

a)

q

2 +

√

3 +

q

2 −

√

3



2

;

b)

(

√

24 +

√

36)

2

16 − 2

√

12

;

c)

√

6 +

√

24 −

√

54

d)

√

5 − 1

√

5 + 1

+

√

5 + 1

√

5 − 1

;

e) (25

0.75

+ 625

0.25

)(0.2

−3/2

− 25

0.5

);

f)



343

1/3

− 7

√

7



"



1

7



−1

+ 7

1.5

#

;

g) |2 − 3

√

3| + |3 − 2

√

3| ,

|4 −

√

7| − |1 − 3

√

7| ,







1 −

√

2

4 − 3

√

2







;

h*)

q

6 + 4

√

2,

q

19 + 8

√

3,

q

7 − 2

√

10;

i*)

q

6 − 2

√

5 +

q

14 − 6

√

5,

q

11 − 4

√

7 −

q

29 − 4

√

7,

q

8 − 2

√

15 −

q

57 − 12

√

15;

I.5. Zapisać liczby za pomocą pojedynczego symbolu pierwiastka z liczby wymiernej, np.

3

√

3

√

2

=

6

s

9

8

.

a)

√

5

5

√

2 ;

b)

√

2

3

√

3

4

√

5

;

c)

√

3

3

√

18

6

√

6

;

d)

√

3(

3

√

5

2

)

2

5

√

6

!

1/3

;

I.6*. Wykazać, że zachodzą równości

a)

q

9 − 4

√

5 +

q

14 − 6

√

5 = 1;

b)

q

11 − 4

√

7 +

q

16 − 6

√

7 = 1;

c)

q

19 − 8

√

3 −

q

7 − 4

√

3 = 2;

d)

q

18 − 8

√

2 −

q

6 − 4

√

2 = 2;

I.7*. Oblicz sumy

a)

1

√

1 +

√

2

+

1

√

2 +

√

3

+

1

√

3 +

√

4

;

b)

1

√

1 +

√

2

+

1

√

2 +

√

3

+ · · · +

1

√

99 +

√

100

;

c)

1

3

√

1

2

+

3

√

1 · 2 +

3

√

2

2

+

1

3

√

2

2

+

3

√

2 · 3 +

3

√

3

2

+ · · · +

1

3

√

9

2

+

3

√

9 · 10 +

3

√

10

2

;

I.8. Wykonaj potęgowania

a) (2x −

√

3y)

2

;

b) (a +

√

a +

3

√

a)

2

;

c) (x + 2

√

2)

3

;

d) (a + b − 1)

3

;

e)



p +

q

p +

√

p



4

;

f)



a +

1

a

+

√

a



2

;

I.9. Rozłóż podane wyrażenia na czynniki

a) 4x

2

− 1 ;

b) 9 − 2x

2

;

c) 2x

3

− 3

3

√

4x

2

+ 3

3

√

2x − 1 ;

d) a

4

− b

4

;

e) x

3

+ x

2

− x − 1 ;

f) x

3

− 24 ;

g) a

3

+ 125b

3

;

h) a

2

+ b

2

− c

2

− 2ab ;

i*) x

4

+ y

4

;

I.10. Uprościć podane wyrażenia

a) (x + 3y)

2

− (x − 3y)

2

;

b) (a − 2

√

7)(a

2

+ 28)(a + 2

√

7) ;

c) (x + 1)

3

− (x − 1)

3

;

d)

k − 1

k

2

+ k

·

2k

k

2

− 1

;

e)

2x

x + 5

+

2x − 10

x

2

− 25

;

f)

a

a − b

+

b

b − a

;

g)

x + 8

x

−

x + 5

x − 3

;

h) (x − p)

−1

− (x + p)

−1

;

i)

x

3

+ 3x

2

− 2x − 6

x

2

− 2

;

j)

1 + x + x

2

+ x

3

+ x

4

1 − x

;

k)

√

x

2

+ 1 − x

2

−

1

√

x

2

+ 1 + x

;

l)

x

2

+ 4x + 3

x

3

+ 1

;

m)

x

2

− 1

|x + 1|

;

n)

q

(x + y)

2

− 4xy ;

o)

s

1 − x

1 + x

+

3x − 1

1 − x

. Sprawdzić czy uzyskane wyrażenie jest zgodne z pierwotnym dla x = −0.5.

I.11. Zapisać wyrażenie kwadratowe w postaci kanonicznej

a) x

2

− 6x + 1 ;

b) 3x

2

+ 9x ;

c) 10 − 4x − x

2

;

d) 1 + x + x

2

;

e) 6x − x

2

;

f) 2x

2

− 7x − 1 ;

g) ax

2

+ bx + c ;

I.12. Zapisać w postaci ułamków prostych

a)

x + 1

(x + 2)(x + 3)

;

b)

x

1 − x

2

;

c)

3x

2

− 2

x(x + 1)(x + 2)

;

d)

2x − 1

(x − 2)

2

;

e)

x − 3

x

2

− x − 6

;

f)

1

(x

2

− 1)(x + 1)

;

g*)

2x + 1

(x + 2)

3

;

h*)

1

x(x

2

+ x + 1)

;

i*)

x − 5

(x

2

+ 1)

2

;

I.13. Podstawić wskazane wyrażenie za zmienną x i doprowadzić wynik do prostszej postaci

a) x

2

− 2x,

x := t + 1 ;

b)

1

x + 1

,

x :=

2u

1 − u

;

c)

x + 1

x − 2

,

x :=

t

3t + 1

;

d)

2x + 3

x − 5

,

x :=

5y + 3

y − 2

;

e)

3 − x

2x + 1

,

x :=

3 − u

2u + 1

;

f)

x + 1

x

2

− 4

,

x :=

s

√

s + 1

;

I.14. Przekształcić wyrażenia

a) (

√

x

2

− 3 − x +

√

3)

2

;

b)

2x(x

2

+ 1)

−2

q

1 −

1−x

2

1+x

2

·

s

x

2

+ 1

x

2

− 1

;

c)

1

1 + (x −

√

1 + x

2

)

2

1 −

x

√

1 + x

2

!

;

d)

1

1 +



x

1+

√

1+x

2



2

·

1 +

√

1 + x

2

−

x

2

√

1+x

2



1 +

√

1 + x

2



2

;

e)

x

√

x − 3

5

√

x

2

+ x

7

√

x

3

x

3

√

x

;

f)

x −

3

√

x

2

+ x

4

√

x

3

√

x + x

3

√

x

;

g)

1 +

r

1 +

q

1 +

√

1 + x

!

8

;

h)







1

1 +

1

1+

1

3

√

x







3

;

I.15. Podstawić wskazane wyrażenie za zmienną x i doprowadzić wynik do prostszej postaci

a)

√

x

2

+ 1 ,

x :=

1

2



t −

1

t



;

b)

√

2x

2

+ 3x + 1 ,

x :=

t

2

− 3t + 1

2 − t

2

;

c) x

−1/2

(1 + x

1/4

)

1/3

,

x := (u

3

− 1)

4

;

d)

4

√

1 + x

5

,

x := (t

4

− 1)

1/5

;

e)

v
u
u
t

2x

2

+ 2x

√

x

2

+ 1 + 1

x

2

+ 1

,

x :=

t

√

1 − t

2

;

I.16. Uzasadnij że dla każdej liczby −1 ¬ x ¬ 5 wyrażenie

√

4x

2

+ 12x + 9 + 2

√

x

2

− 12x + 36

ma stałą wartość.

I.17. W każdym z niżej podanych przykładów znaleźć takie wyrażenie φ(t), że po jego podstawieniu w

miejsce zmiennej x pozbędziemy się wszystkich pierwiastków, np.

√

x +

3

√

x

x := t

6

−→

t

3

+ t

2

.

a)

x

√

x −

4

√

x

3

√

x

2

+ 2

√

x + 1

;

b)

√

x + 2 − 3

5

√

x

2

+ 4x + 4

x

3

√

x + 2 − 1

;

c) x

2

+

3

√

x

2

− 2 −

s

1

x

2

− 2

;

d)

4

s

x

x + 1

+

x − 2

1 +

q

x

x+1

;

e)

s

2x + 3

4x − 5

+

3

s

4x − 5

2x + 3

;

f)

x

2

+

3

q

√

x

2

+ 1 − 2

√

x

2

+ 1

;

I.18. Usuń niewymierności z mianownika następujących ułamków

a)

1

√

5 − 1

;

b)

√

2

√

3 +

√

5

;

c)

3

√

2 −

√

7

√

7 −

√

2

;

d)

1

3

√

5 + 2

;

e)

7

9 − 6

3

√

6 +

3

√

36

;

f*)

q

√

5 +

√

3

q

√

5 −

√

3

;

g*)

1

1 +

√

2 +

√

3

;

h*)

4

1 +

√

3 −

√

5

;

i*)

1

3

√

4 +

3

√

6 +

3

√

9

;

I.19. Obliczyć

a)

3 · 3 · 3 · 3

9 · 9 · 9 · 9

Odpowiedź:



1
3



4

b)

6

4

3

2

Odpowiedź: 2

4

· 3

2

c)



7

1

x−y



1
x

−

1
y

dla xy = 1

Odpowiedź:

1
7

d)

((

√

7

)

x

)

2

(

√

7

)

11

7

x

7

11

Odpowiedź: 7

11/2

e) Jeśli x = 10

14

, y = 10

0.7

i x

z

= y

3

to ile wynosi z?

Odpowiedź: z = 3/2

I.20. Uprościć wyrażenia

a)

48x

12

16x

4

dla x 6= 0

Odpowiedź: 3x

8

b)

x (x

5

)

2

x

4

dla x 6= 0

Odpowiedź: x

7

c)

x (x

2

)

4

(x

3

)

3

dla x 6= 0

Odpowiedź: 1

d)

45x

−4

y

2

9z

−8

!

−3

dla xyz 6= 0

Odpowiedź:

1

125

· x

12

y

−6

z

−24

I.21. Uprościć wyrażenia. Założyć, że wszystkie wykładniki są całkowite, wszystkie mianowniki są różne od

zera i że zero nie jest podnoszone do niedodatniej potęgi

a) (x

t

· x

3t

)

2

Odpowiedź: x

8t

b) (x

y

· x

−y

)

3

Odpowiedź: 1

c)

(3

2

x

5

y

3

)

−2

x

4

y

−6

Odpowiedź:

1

81x

14

d) (t

a+x

· t

x−a

)

4

Odpowiedź: t

8x

e)



m

x−b

· n

x+b



x



m

b

n

−b



x

Odpowiedź: (m · n)

x

2

f)

"

(3x

a

y

b

)

3

(−3x

a

y

b

)

2

#

2

Odpowiedź: 9x

2a

y

2b

g)





x

r

y

t

!

2

x

2r

y

4t

!

−2





−3

Odpowiedź:

x

6t

y

18t

I.22. Uprość wyrażenia

a) 2

5/3

/4

7/3

b) 3

−8/11

(1/9)

−4/11

c) 12

2/3

· 18

2/3

d) 20

7/2

· 5

−7/2

e) (x

3/2

+ x

5/2

)x

−3/2

f)



x

3/4



8/3

g) x

5/2

(x

−3/2

+ 2x

1/2

+ 3x

7/2

)

h) y

1/2

(1/y + 2

√

y + y

−1/3

)

I.23. Obliczyć

a) |8 · (−3)|

b) |(−2) · (−3)|

c) (−4) · (−5) + 7 · (−2)

I.24. Korzystając z wartości bezwzględnej znaleźć odległości między liczbami a i b na osi liczbowej gdy

a) a = −5 i b = −7

Odpowiedź: 2

b) a = −2 i b = 3

Odpowiedź: 5

c) a = 8, b = 15

Odpowiedź: 7

I.25. Rozwiąż równania z wartościami bezwzględnymi (modułami):

a) |x + 2| = 6 − 2x

Odpowiedź: x = 4/3

b) |3x − 2| + x = 11

Odpowiedź: x ∈ {−9/2, 13/4}

c) |x| − |x − 2| = 2

Odpowiedź: x ­ 2

d) 2|x| − |x + 1| = 2

Odpowiedź: x ∈ {−1, 3}

e) x

2

+ |x − 1| = 1

Odpowiedź: x ∈ {0, 1}

f) |x

2

+ 4x + 2| =

5x + 16

3

Odpowiedź: x ∈ {−2, 1}

g) |x

2

− 6x + 7| =

5
3

x − 3

Odpowiedź: x ∈ {3, 6}

h) |x + 1| − |x

2

− 1| = 0

Odpowiedź: x ∈ {−1, 0, 2}

i) |x

2

− 1| + |x

2

− x| = x

Odpowiedź: x =

√

2/2 lub x = (1 +

√

3)/2

j) 2|x + 6| + |x − 6| − |x| = 18

Odpowiedź: x = −12 lub 0 ¬ x ¬ 6

k)





|x + 1| − 2





= x − 1

Odpowiedź: x ­ 1

I.26. Rozwiąż nierówności z wartościami bezwzględnymi (modułami). Zapisz rozwiązania w formie sumy

przedziałów.

a) |5 − 2x| < 1

Odpowiedź: 2 < x < 3

b) |2x − 4| < x − 1

Odpowiedź: 5/3 < x < 3

c) x

2

− 5|x| + 6 < 0

Odpowiedź: −3 < x < −2 lub 2 < x < 3

d) |x + 2| − |x − 1| ¬ x −

3
2

Odpowiedź: x ­ 9/2

e) |x

2

− 2x| < x

Odpowiedź: 1 < x < 3

f) |x − 6| > |x

2

− 5x + 9|

Odpowiedź: 1 < x < 3

g) |x − 2| − |x − 1| ­ |x + 1| − 5

Odpowiedź: −7 ¬ x ¬ 3

h) |x

3

− 1| < x

2

+ x + 1

Odpowiedź: 0 < x < 2

i)






1

x + 2






<






2

x − 1






Odpowiedź: x < −5 lub −1 < x < 1 lub x > 1

j)






5x − 3

2x + 7






< 2

Odpowiedź: −11/9 < x < 17

I.27. Udowodnić, że

x + |x|

2

!

2

+

x − |x|

2

!

2

= x

2

I.28. Udowodnić, że poniższe nierówności są prawdziwe dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y

a) |x + y| ¬ |x| + |y|

b) |x − y| ­ |x| − |y|

c)





|x| − |y|





¬ |x ± y| ¬ |x| + |y|

I.29. Masa neutronu wynosi około 0.00000000000000000000000000167 kg. Zapisać ją w notacji wykładniczej

Odpowiedź: m = 1.67 · 10

−27

kg

I.30. Przepisać z notacji wykładniczej do dziesiętnej

a) 7.632 × 10

−4

Odpowiedź: 0.0007632

b) 9.4 × 10

5

Odpowiedź: 940000

I.31. Najbliższa gwiadza Alfa Centauri znajduje się w odległości około 4.34 roku świetlnego od Ziemi. Rok

świetlny to jednostka astronomiczna długości równa odległości jaką przebywa światło w próżni w ciągu
jednego roku zwrotnikowego i wynosi 9.4605 × 10

12

km. W jakiej odległości od Ziemi liczonej w km i

m znajduje się ta gwiazda. Użyć notacji wykładniczej.

Odpowiedź: 4.106 · 10

13

km = 4.106 · 10

16

m

I.32. Odległość Ziemi od Słońca definiuje jednostkę astronomiczną oznaczaną AU i wynosi ona 149 597

870 691 ± 30 m. Odległość Plutona od Słońca wynosi 3.95 AU. Wyrazić tę odległość w metrach i
kilometrach.

Odpowiedź: 5.91 · 10

12

m = 5.91 · 10

9

km

I.33. Jeżeli a jest dokładną wartością a x przybliżoną wartością obliczanej wielkości, to ∆ = |x − a| nazywa

się błędem bezwzględnym a δ = ∆/|a| błędem względnym mierzonej wielkości. Przy pomiarze długości
10 cm błąd bezwzględny wyniósł 0.5mm, a przy pomiarze odległości 500 km – 200 m. Który pomiar
był dokładniejszy? Mówi się, że wielkość x jest wyznaczona z dokłądnością do n cyfr znaczących (i
n-ta cyfra znacząca jest rzędu 10

k

), jeśli błąd bezwzględny tej wielkości nie przekracza 5 · 10

k−1

.

I.34. Obliczyć ile cyfr znaczących ma wielkość x = 2.3752, jeśli błąd względny tej wielkości wynosi 1%?

I.35. Wielkość x = 12.125 ma trzy cyfry znaczące. Obliczyć błąd względny x.

I.36. Boki prostokąta są równe x = 2.50 ± 0.01, y = 4.00 ± 0.02. W jakim przedziale zawiera się pole

prostokata? Jaki jest błąd bezwzględny i względny tego pola, jeśli za boki prostokąta przyjąć wartości
średnie?

I.37. Masa ciała wynosi m = 12.59 ± 0.01 g a jego objętość jest równa V = 3.2 ± 0.2. Obliczyć gęstość ciała

i oszacować błąd względny i bezwzględny, biorąc średnie wartości masy i objętości.

I.38. Promień koła wynosi r = 7.2 ± 0.1. Z jakim najmniejszym błędem względnym można obliczyć pole

koła jeśli przyjąć π = 3.14?

I.39. Z jakim błędem bezwzględnym należy zmierzyć boki kwadratu x, gdzie 2m < x < 3m aby mieć

możliwość obliczenia pola z dokładnością do 0.001m

2

?

I.40. Oszacować ilość cząsteczek powietrza wypełniającego salę o wymiarach 5 × 10 × 3 m

3

. Przyjąć gęstość

powietrza 1.3 kg/m

3

, jego masa cząsteczkowa 29 g/mol.

I.41. Oszacować ilość cząsteczek wody w basenie 25 × 10 × 2 m

3

. Gęstość wody 1 g/cm

3

, masa cząsteczkowa

wody 18 g/mol.

I.42. Oszacować grubość d kartki papieru trzymanej w rękach książki, której grubość D jest równa 4.4 cm

a liczba N zawartych w niej stron wynosi 790.

I.43. Oszacować liczbę oddechów i uderzeń serca człowieka w ciągu 70 lat życia. Przyjąć, że częstotliwość

oddechów wynosi 16 oddechów na minutę a częstotliwość bicia serca – 70 uderzeń na minutę.

I.44. Oszacować liczbę atomów w 1 m

3

ciała stałego przyjmując, że średnica atomu jest rzędu 10

−10

m.