Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

1

14.



14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

14.1. Drgania poprzeczne pręta pryzmatycznego

Drgania poprzeczne są to takie drgania, które wywołują przemieszczenia w



x , t



prostopadłe do osi

pręta.

Rozpatrzmy nieskończenie mały wycinek pręta o długości dx , charakteryzujący się gęstością liniową



[

kg

/m

]

(rys. 14.1).

dx

l

dm=μ dx

x

y,w

Rys. 14.1. Element dx belki

Wszystkie wielkości fizyczne i geometryczne

q, M, T, r, ω są funkcjami położenia i czasu f



x , t



,

zależą od współrzędnej analizowanego punktu i od chwili czasu. Ponieważ wycinek pręta dx posiada masę

dm , to podczas ruchu działa na niego siła bezwładności:

r



x , t



=−dm

∂

2

w



x , t



∂t

2

Po wycięciu elementu dx z konstrukcji działają na niego siły:

dx

r(x,t)

T(x,t)

q(x,t)

∂

T

x , t

T

x , t

x

∂

Rys. 14.2. Siły działające na element dx

Zapisując równanie równowagi

∑

Y

=0 otrzymujemy:

T



x , t



−T



x , t



−

∂T



x , t



∂ x

dx

−q



x , t



dx

−r



x , t



=0

Dla pręta nieobciążonego (

q(x,t)=0) przy analizie drgań swobodnych mamy:

∂T



x , t



∂ x

dx

r



x , t



=0

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

2

a po podstawieniach wyrażeń na siłę bezwładności i masę:

∂T



x , t



∂ x

dx

−dm ∂

2

w

∂ t

2

=0

∂T



x , t



∂ x

dx

− dx ∂

2

w

∂t

2

=0

Dla pręta zginanego względem zmiennej

x obowiązuje zależność łącząca krzywiznę belki z momentem

zginającym:

EJ ∂

2

w

∂ x

2

=−M

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu po zmiennej

x otrzymujemy:

EJ

∂

4

w



x , t



∂ x

4

=− ∂

∂ x



∂ M

∂ x



=− ∂

∂ x



T



Wykorzystując zależność na pochodną siły tnącej w równaniu równowagi mamy:

EJ

⋅

∂

4

w



x , t



∂ x

4



∂

2

w



x , t



∂t

2

=0

Upraszczając zapis:

EJ

⋅

IV

⋅ ¨=0

(14.1)

Należy zwrócić uwagę, względem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi
oznaczeniami:

˙ – pochodne po czasie t,



I

– pochodne po współrzędnej przestrzennej

x.

Wprowadzamy do zapisu rozdział zmiennych. Przemieszczenie jest iloczynem funkcji

W zależnej tylko od

przestrzeni i funkcji

T zależnej tylko od czasu:

w



x , t



=W



x



⋅T



t



(14.2)

Pochodne liczymy po odpowiednich zmiennych:

EJ

⋅

d

4

W



x



d x

4

⋅T



t





d

2

T



t



d t

2

⋅W



x



=0

Po podzieleniu przez wyrażenie

⋅W



x



⋅T



t



otrzymujemy sumę:

EJ



⋅

d

4

W



x



d x

4

W



x





d

2

T



t



d t

2

T



t



=0

(14.3)

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

3

Aby równanie było spełnione, wyrażenia muszą być sobie równe, lecz z przeciwnym znakiem. Dla rozwiązań

różnych od zera każdy z członów przedstawia pewną skalarną wartość



2

.

EJ



⋅

d

4

W



x



d x

4

W



x



=−

d

2

T



t



d t

2

T



t



=

2

Następnie możemy rozwiązać oba równania niezależnie, najpierw dla zmiennej

t, a potem x.

−

d

2

T



t



d t

2

T



t



=

2



d

2

T



t



d t

2



2

⋅T



t



=0

Postępując analogicznie jak przy analizie ruchu punktu materialnego, po wstawieniu w równaniu (12.8) za
funkcję q



t



przemieszczenie T



t



otrzymujemy rozwiązanie:

T



t



=C

1

⋅sin tC

2

⋅cos t= 

C

⋅sin



 t 



Stałe równania C

i

możemy wyznaczyć z warunków początkowych (czas).

EJ



⋅

d

4

W



x



d x

4

W



x



=

2



d

4

W



x



d x

4

−

2

⋅



EJ

⋅W



x



=0

Wprowadzając podstawienie



4

=

2

⋅



EJ

(14.4)

otrzymujemy

d

4

W



x



d x

4

−

4

⋅W



x



=0

(14.5)

Rozwiązaniem, całką ogólną równania różniczkowego (14.5) jest wielomian:

W



x



=A⋅sin  xB⋅cos  xC⋅sinh  xD⋅cosh  x

(14.6)

A, B, C i D to wielkości stałe niezależne od czasu, które możemy wyznaczyć z warunków brzegowych

(przestrzeń). Dalej będziemy poszukiwać rozwiązań dla konkretnych belek różniących się sposobem
podparcia.

14.1.1. Belka swobodnie podparta

Zastanówmy się jak będą wyglądały drgania własne pręta, rozpatrując przypadek belki swobodnie

podpartej (rys. 14.3).

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

4

EJ [Nm²]

l

μ [kg/m]

Rys. 14.3. Belka swobodnie podparta

W układzie przedstawionym na rys. 14.3 przemieszczenia i momenty zginające nad podporami powinny być

równe zero:

1) W



x

=0



=0

2) M



x

=0



=W

II



0



=0

3) W



x

=l



=0

4) M



x

=l



=W

II



l



=0

Rozwiązaniem ogólnym jest wielomian:

W



x



=A⋅sin  xB⋅cos  xC⋅sinh  xD⋅cosh  x

którego druga pochodna wynosi:

W

II



x



=−

2

⋅A⋅sin  x−

2

⋅B⋅cos  x

2

⋅C⋅sinh  x

2

⋅D⋅cosh  x

Z warunków brzegowych otrzymujemy równania:

1)

B

D=0

2)

−BD=0

3)

A

⋅sin  lB⋅cos  lC⋅sinh  lD⋅cosh  l=0

4)

−

2

⋅A⋅sin  l−

2

⋅B⋅cos  l

2

⋅C⋅sinh  l

2

⋅D⋅cosh  l=0

−A⋅sin l−B⋅cos  lC⋅sinh  lD⋅cosh  l=0

Z warunku

1) i 2) otrzymujemy wprost:

D

=0

B

=0

co wykorzystujemy w równaniach

3) i 4):

{

A

⋅sin  lC⋅sinh  l=0

−A⋅sin  lC⋅sinh  l=0

Sumowanie równań prowadzi do stałej:

C

=0

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

5

a ich odjęcie, do zależności:

2 A

⋅sin  l=0

Równanie jest spełnione, gdy A

=0 lub sin  l=0 . Funkcja sin x ma miejsca zerowe dla x=k  , czyli:

 l=k 

a współczynnik:

=

k



l

Ponieważ przyjęliśmy podstawienie:



4

=

2

⋅



EJ

to:



2

=



4

EJ



Wobec tego:



2

=

k

4



4

l

4

⋅

EJ



=

k

2



2

l

2

⋅



EJ



Możemy wnioskować, że belka będzie miała nieograniczoną ilość częstości drgań własnych (

k jest liczbą

naturalną). Linia ugięcie będzie miała postać sinusoidy (rys. 14.4).

W

k



x



= A

k

⋅sin

k



l

x

k = 1

k = 2

k = 3

Rys. 14.4. Postacie drgań własnych belki wolnopodpartej dla różnych wartości k

Natomiast przemieszczenia będą się zmieniały w czasie według funkcji:

w



x , t



=

∑

k

=1

∞

sin

⋅

k

 x

l

⋅



C

1 k

⋅sin 

k

t

C

2 k

⋅cos 

k

t



Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

6

14.1.2. Belka obustronnie utwierdzona

Spróbujmy przeanalizować drgania własne belki o innym schemacie statycznym.

l

EJ [Nm²]

μ [kg/m]

Rys. 14.5. Belka obustronnie utwierdzona

Dla układu przedstawionego na rys. 14.5 możemy zapisać następujące warunki brzegowe:

1) W



0



=0

2)





0



=

dW



0



dx

=0

3) W



l



=0

4)





l



=

dW



l



dx

=0

Funkcję rozwiązującą przyjmujemy jak w 14.1.1. Jej pierwsza pochodna wynosi:

W

I



x



=⋅A⋅cos  x−⋅B⋅sin  x⋅C⋅cosh  x⋅D⋅sinh  x

Po podstawieniu otrzymujemy:

1)

B

D=0

2)

⋅A⋅C=0  AC=0

3)

A

⋅sin  lB⋅cos  lC⋅sinh  lD⋅cosh  l=0

4)

⋅A⋅cos  l−⋅B⋅sin  l⋅C⋅cosh  l⋅D⋅sinh  l=0

czyli:

A

⋅cos  l−B⋅sin  lC⋅cosh lD⋅sinh  l=0

Układ równań jednorodnych rozwiązujemy przez przyrównanie wyznacznika det

∣W∣ do zera. Aby uprościć

rozwinięcie wyznacznika sprowadźmy układ do dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Z dwóch pierwszych
równań wiemy, że:

B

=−D

A

=−C

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

7

podstawmy powyższe do równań

3) i 4)

{

−C⋅sin  l−D⋅cos  lC⋅sinh  lD⋅cosh  l=0
−C⋅cos  l−−D⋅sin  lC⋅cosh  lD⋅sinh  l=0

Po przekształceniach mamy:

{

C

sinh  l−sin  l Dcosh  l−cos  l =0

C

cosh  l−cos  l Dsinh  l−sin  l =0

Zatem wyznacznik tego układu to:

det

∣W∣=

∣

sinh  l−sin  l  cosh  l−cos  l 

cosh  l−cos  l  sinh  l−sin  l 

∣

det

∣W∣=−sin

2

 lsinh

2

 l−cosh l−cos  l 

2

=−sin

2

 lsinh

2

 l−cosh

2

 l2 cos  l cosh l−cos

2

 l

Korzystając ze związków:

sin

2

 lcos

2

 l=1

cosh

2

 l−sinh

2

 l=1

po uproszczeniach otrzymujemy

det

∣W∣=cosh  l⋅cos  l−1=0

Rozwiązaniem są wartości (miejsca zerowe).

 l=

2 k

1

2

⋅

gdzie

k jest liczbą naturalną. Podstawiając w miejsce k kolejne wartości

k=1,2 ,3 , ... otrzymujemy:



1

=

4,712

l



2

=

7,853

l



3

=

10,996

l

Częstości drgań własnych wyznaczymy ze wzoru:

=

i

2

⋅



EJ



Linię ugięcia opisuje wzór:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

8

W

k



x



=A

k

⋅



sin



k

l

−sinh 

k

l



⋅

[

sin



k

x

−sinh 

k

x

sin



k

l

−sinh 

k

l

−

cos



k

x

−cosh 

k

x

cos



k

l

−cosh 

k

l

]

k = 1

k = 2

k = 3

Rys. 14.6. Postacie drgań własnych belki obustronnie utwierdzonej w zależności od k

Postępując analogicznie możemy wyznaczyć na podstawie warunków brzegowych postacie drgań

własnych prętów o różnych schematach statycznych. Wyniki obliczeń oraz schematyczne rysunki belek
zestawiono w tabeli 14.1.

Tabela 14.1. Postacie drgań własnych prętów

Schemat statyczny

Postać drgań własnych

EJ

l

μ

W

k



x



= A

k

⋅sin

k



l

x

l

EJ

μ

W

k



x



= A

k

⋅



sin



k

l

−sinh 

k

l



⋅

[

sin



k

x

−sinh 

k

x

sin



k

l

−sinh 

k

l

−

cos



k

x

−cosh 

k

x

cos



k

l

−cosh 

k

l

]

l

EJ

μ

W

k



x



= A

k

⋅



sin



k

l

sinh 

k

l



⋅

[

sin



k

x

−sinh 

k

x

sin



k

l

sinh 

k

l

−

cos



k

x

−cosh 

k

x

cos



k

l

cosh 

k

l

]

l

EJ

μ

W

k



x



=A

k

⋅sin 

k

l

⋅

[

sin



k

x

sin



k

l

−

sinh



k

x

sinh



k

l

]

14.2. Wzory transformacyjne dla pręta zginanego (drgania poprzeczne)

Zakładamy, że belka charakteryzuje się ciągłym rozkładem masy. Gdy zaczyna drgać pojawiają się siły

bezwładności jako dodatkowe obciążenie układu.

Rozwiązując równanie różniczkowe równowagi drgającego pręta otrzymaliśmy całkę ogólną:

W



x



=A⋅sin  xB⋅cos  xC⋅sinh  xD⋅cosh  x





x



=⋅A⋅cos  l−⋅B⋅sin  l⋅C⋅cosh  l⋅D⋅sinh  l

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

9

Znając warunki brzegowe dla dowolnego pręta o dowolnym schemacie statycznym możemy wyznaczyć

funkcję przywęzłowego momentu zginającego lub siły poprzecznej, (wzory transformacyjne metody
przemieszczeń) w zależności od węzłowych przemieszczeń. Rozwiązań szczególnych poszukamy dla
konkretnych modeli pręta.

14.2.1. Pręt obustronnie utwierdzony

Dla pręta obustronnie utwierdzonego możemy zapisać następujące warunki brzegowe:

l

EJ

μ

v

i

v

k

φ

i

=1

φ

k

=1

i

k

w

x

Rys. 14.7. Pręt obustronnie utwierdzony

1) W



0



=v

i

2)





0



=

i

3) W



l



=v

k

4)





l



=

k

Warto zauważyć, że przy wyznaczaniu częstości drgań własnych (problem własny) przyjmowaliśmy

jednorodne (zerowe) warunki brzegowe.

Teraz musimy narzucić wartości przemieszczeń węzłowych aby uzależnić od nich siły wewnętrzne.

Wyznaczmy M

ik





i

,



k

, v

i

, v

k



. Uwzględniając powyższe warunki w rozwiązaniu ogólnym otrzymujemy

układ równań niejednorodnych:

1)

A

⋅sin 0B⋅cos 0C⋅sinh 0D⋅cosh 0=v

i

skąd:

B

D=v

i

2)

⋅A⋅cos 0−⋅B⋅sin 0⋅C⋅cosh 0⋅D⋅sinh 0=

i

skąd:

⋅A⋅C=

i

3)

A

⋅sin  lB⋅cos  lC⋅sinh  lD⋅cosh  l=v

k

4)

⋅A⋅cos  l−⋅B⋅sin l⋅C⋅cosh  l⋅D⋅sinh  l=

k

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

10

{

B

D=v

i

 AC=

i

A

⋅sin  lB⋅cos  lC⋅sinh  lD⋅cosh  l=v

k

 A⋅cos  l− B⋅sin  lC⋅cosh  l D⋅sinh  l=

k

W rozważanym przykładzie na podstawie warunków brzegowych wyznaczono wartości stałych:

A

=−

[

sin coshsinh cos v

i

−sinsinhv

k

cos cosh sin sinh −1

i

cosh−cos 

k

2

1−cos  cosh

]

B

=

sinh  sin−cosh  cos 1v

i

cos −coshv

k

sin  cosh−sinh cos 

i

sinh−sin

k

2

1−cos cosh

C

=

sin coshsinh cosv

i

−sinsinh v

k

sin sinh −cos cosh1

i

cosh−cos

k

2

1−cos cosh

D

=

1−sinh  sin−cosh cosv

i

cosh−cosv

k

sinh  cos −sin cosh

i

sin −sinh 

k

2

1−cos cosh

= l

Po wyznaczeniu stałych

A, B, C i D możemy zapisać wzory na siły wewnętrzne wykorzystując zależności

różniczkowe:

M

=−EJ ∂

2

w

∂ x

2

T

= ∂

M

∂ x

i dalej:

M

=−EJ



−

2

⋅A⋅sin  x−

2

⋅B⋅cos  x

2

⋅C⋅sinh  x

2

⋅D⋅cosh  x



T

=−EJ



−

3

⋅A⋅cos  x

3

⋅B⋅sin  x

3

⋅C⋅cosh  x

3

⋅D⋅sinh  x



Po podstawieniu stałych i przekształceniach można uzyskać ostateczne wzory wiążące siły wewnętrzne z
wielkościami amplitud przemieszczeń przywęzłowych:

M

 x=0=M

ik

=

EJ

l

[

c

⋅

i

s⋅

k

−r 

v

k

l

t 

v

i

l

]

M

 x=l =M

ki

=

EJ

l

[

s

⋅

i

−c⋅

k

−t 

v

k

l

r

v

i

l

]

T

 x=0=T

ik

=−

EJ

l

2

[

t

⋅

i

r⋅

k

−m

v

k

l

n

v

i

l

]

T

 x=l =T

ki

=−

EJ

l

2

[

r

⋅

i

t ⋅

k

−m

v

i

l

n

v

k

l

]

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

11

We wzorach transformacyjnych zastosowano pewne współczynniki w celu uproszczenia zapisu, które
oznaczają:

c

=⋅

cosh

⋅sin−sinh ⋅cos 

M

s

=⋅

sinh

−sin

M

r

=

2

⋅

cosh

−cos

M

t

=

2

⋅

sinh

⋅sin
M

m

=

3

⋅

sinh

⋅coscosh⋅sin

M

n

=

3

⋅

sinh

sin

M

= l

M

=M =1−cosh ⋅cos 

Postępując analogicznie możemy zapisać podobne wzory dla belek o innych schematach statycznych.

14.2.2. Pręt jednostronnie utwierdzony i podparty przegubowo

l

EJ

μ

v

i

v

k

φ

k

=1

i

k

w

x

Rys. 14.8. Pręt jednostronnie utwierdzony i podparty przegubowo

Warunki brzegowe:

1) W



0



=v

i

2) M



0



=0  W

II



0



=0

3) W



l



=v

k

4)





l



=

k

pozwalają sformułować układ równań, z którego wyznaczymy stałe. Następnie zapisujemy wzory
transformacyjne:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

12

M

ik

=0

M

ki

=

EJ

l

[

c⋅

k

−t

v

k

l

r

v

i

l

]

T

ik

=−

EJ

l

2

[

r⋅

k

−n

v

k

l

 m

v

i

l

]

T

ki

=−

EJ

l

2

[

t⋅

k

−p

v

i

l

n

v

k

l

]

w których poszczególne symbole oznaczają:

c=2 ⋅

sinh

⋅sin 



M

t=

2

⋅

cosh

⋅sincos⋅sinh 



M

r=

2

⋅

sinh

sin



M

n=

3

⋅

cosh

cos 



M

m=

3

⋅

1

cosh⋅cos



M

p=2 

3

⋅

sinh

⋅cos 



M

= l



M

= 

M

=cosh ⋅sin−cos ⋅sinh 

14.2.3. Wspornik

Jest to układ statycznie wyznaczalny. “Tradycyjne” wzory transformacyjne nie istnieją, gdyż

przemieszczenia

v

i

i φ

i

nie wywołują sił przywęzłowych. Inaczej jest w problemach dynamicznych.

v

k

φ

k

=1

i

k

y, w

x

Rys. 14.9 Wspornik

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

13

Dla wspornika zapiszemy:

1) W



0



=v

k

2)





0



=

k

3) M



l



=0  W

II



l



=0

4) T



l



=0  W

III



l



=0

W tym przypadku możemy określić wzory przy podporze

k:

M

ki

=

EJ

l

[

c ⋅

k

t 

v

k

l

]

T

ki

=−

EJ

l

2

[

t ⋅

k

− m

v

k

l

]

gdzie:

c=⋅

sinh

⋅cos−cosh⋅sin 



M

t =

2

⋅

sinh

⋅sin



M

m=

cosh

⋅sinsinh ⋅cos



M



M

= 

M

=1cosh⋅cos

= l

14.2.4. Belka wolnopodparta

Podobnie jak w 14.2.3 mamy do czynienia z układem wyznaczalnym.

EJ

l

u

v

i

v

k

i

k

Rys. 14.10. Belka wolnopodparta

Na podporach momenty są zerowe, a przemieszczenia narzucone.

1) W



0



=v

i

2) M



0



=0  W

II



0



=0

3) W



l



=v

k

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

14

4) M



l



=0  W

II



l



=0

Wzory możemy wyprowadzić tylko na siły poprzeczne ( M

ik

=M

ki

=0 ).

T

ik

=−

EJ

l

2

[

n⋅v

k

 m⋅v

i

]

T

ki

=−

EJ

l

2

[

m⋅v

k

n⋅v

i

]

gdzie:

m=



3

2

⋅

[

ctgh

−tg 

]

n=



3

2

⋅

[

cosec

−cosech 

]

Wyjaśnijmy jeszcze symbole

cosec (cosecans) i cosech (cosecans hiperboliczny):

cosec

=

1

sin



cosech

=

1

sinh



14.3. Ortogonalność układu drgającego

Zagadnienie ortogonalności udowodnimy rozpatrując dwie dowolne postacie drgań własnych

i oraz j.

Dla każdej z nich wyznacza się oddzielnie częstości drgań i amplitudy przemieszczeń z równań
różniczkowych:

Tabela 14.2. Dwie przykładowe postacie drgań

Postać drgań i

Postać drgań j

W

i

,



i

W

j

,



j

EJ

⋅

i

IV

−⋅

i

2

⋅W

i

=0

EJ

⋅

j

IV

−⋅

j

2

⋅W

j

=0

EJ

⋅

i

IV

=⋅

i

2

⋅W

i

EJ

⋅

j

IV

=⋅

j

2

⋅W

j

Dla belki zginanej obciążonej równomiernie q

 x zapiszemy równanie różniczkowe równowagi:

EJ

⋅

IV



x



=q



x



Dla rozpatrywanych postaci drgań własnych

i oraz j układu możemy zapisać:

q

i



x



=⋅

i

2

⋅W

i



x



Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

15

q

j



x



=⋅

i

2

⋅W

j



x



Warunek ortogonalności udowodnimy posiłkując się treścią twierdzenia Bettiego (o wzajemności prac):

Jeżeli na ustrój sprężysty działają dwa niezależne od siebie układy obciążeń, spełniające warunki

równowagi, to praca obciążeń jednego układu wykonana na przemieszczeniach wywołanych działaniem
drugiego układu równa się pracy obciążeń drugiego układu wykonanej na przemieszczeniach wywołanych
działaniem pierwszego układu obciążeń.

Na jego mocy zapiszemy:

∫

0

l

q

i



x



⋅W

j



x



dx

=

∫

0

l

q

j



x



⋅W

i



x



dx

(14.7)

Podstawiając równania różniczkowe równowagi do wyrażeń podcałkowych otrzymujemy:

∫

0

l

⋅

i

2

⋅W

i



x



⋅W

j



x



dx

−

∫

0

l

⋅

j

2

⋅W

j



x



⋅W

i



x



dx

=0

Po przekształceniu:



i

2

∫

0

l

⋅W

i



x



⋅W

j



x



dx

−

j

2

∫

0

l

⋅W

j



x



⋅W

i



x



dx

=0





i

2

−

j

2



∫

0

l

⋅W

i



x



⋅W

j



x



dx

=0

(14.8)

Możliwe są dwa przypadki rozwiązania:

1) Dla i

= j 





i

2

−

j

2



=0 ,

2) Dla i

≠ j  

∫

0

l

W

i



x



⋅W

j



x



dx

=0 .

Drugie rozwiązanie jest warunkiem ortogonalności dowolnych funkcji. Zostało udowodnione, że dwie

różne postacie drgań własnych układu są ortogonalne.

14.4. Drgania podłużne pręta pryzmatycznego

Z drganiami podłużnymi mamy do czynienia, gdy przemieszczenia odbywają się wzdłuż osi pręta.

Rozpatrzmy nieskończenie mały wycinek pręta o długości dx , charakteryzujący się gęstością liniową

= A⋅ (A – powierzchnia przekroju, ρ – gęstość objętościowa

[

kg

/m

3

]

) (rys. 14.11).

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

16

dx

p(x,t)

u(x,t)

A,ρ

dx

r(x,t)

p(x,t)

N(x,t)

x

N

x , t

N

x , t

x

∂

∂

Rys. 14.11. Element dx belki

Wszystkie wartości sił

p, N, r, są funkcjami położenia i czasu f



x , t



. Opór ruchu, czyli siła

bezwładności wynosi:

r



x , t



=−dm

∂

2

u



x , t



∂t

2

Masę wycinka wyznaczamy mnożąc jego objętość przez gęstość:

dm

=A  dx

Zapisując równanie równowagi

∑

X

=0 otrzymujemy:

−N



x , t



N



x , t





∂ N



x , t



∂ x

dx

 p



x , t



dx

−A  dx

∂

2

u



x , t



∂t

2

=0

Dla przypadku drgań swobodnych ( p



x , t



=0 ) mamy:

∂ N



x , t



∂ x

dx

− A  dx

∂

2

u



x , t



∂t

2

=0

(14.9)

Wiedząc, że stan naprężeń wywołany działaniem siły podłużnej określa związek fizyczny:

N

=

x

⋅A=

x

⋅E A=

∂ u



x



∂ x

⋅EA

(14.10)

zapisujemy równanie falowe:

c

2

∂

2

u



x , t



∂ x

2

−

∂

2

u



x , t



∂t

2

=0

(14.11)

gdzie:

c

2

=

E



=

EA



(14.12)

Podobnie jak w przypadku drgań poprzecznych wprowadzamy do zapisu rozdział zmiennych. Przemieszczenie

jest iloczynem funkcji

U zależnej tylko od przestrzeni i funkcji T zależnej tylko od czasu:

u



x , t



=U



x



⋅T



t



Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

17

Pochodne liczymy po odpowiednich zmiennych:

c

2

⋅

d

2

U



x



d x

2

⋅T



t



−

d

2

T



t



d t

2

⋅U



x



=0

Po podzieleniu przez wyrażenie U



x



⋅T



t



otrzymujemy różnicę:

EA



⋅

d

2

U



x



d x

2

U



x



−

d

2

T



t



d t

2

T



t



=0

Aby równanie było spełnione, wyrażenia muszą być sobie równe. Dla rozwiązań różnych od zera każdy z

członów przedstawia pewną skalarną wartość



2

.

EA



⋅

d

2

U



x



d x

2

U



x



=

d

2

T



t



d t

2

T



t



=−

2

Następnie możemy rozwiązać oba równania niezależnie, najpierw dla zmiennej

x, a potem t.

c

2

⋅

d

2

U



x



d x

2

−

d

2

T



t



d t

2

T



t



⋅U



x



=0

−

d

2

T



t



d t

2

T



t



=

2

 c

2

⋅

d

2

U



x



d x

2



2

⋅U



x



=0

Dzieląc obustronnie równanie przez c

2

otrzymujemy:

d

2

U



x



d x

2





2

c

2

⋅U



x



=0

(14.13)

Wprowadzając podstawienie



2

c

2

=k

2

(14.14)

otrzymujemy

d

2

U



x



d x

2

k

2

⋅U



x



=0

(14.15)

Rozwiązaniem, całką ogólną równania różniczkowego jest wielomian:

U



x



= A⋅sin k xB⋅cos k x

(14.16)

A i B to wielkości stałe niezależne od czasu, które możemy wyznaczyć z warunków brzegowych (przestrzeń).

Wracając do równania falowego

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

18

EA



⋅

d

2

U



x



d x

2

U



x



⋅T



t



−

d

2

T



t



d t

2

=0

wykonujemy podstawienie

EA



⋅

d

2

U



x



d x

2

U



x



=−

2

 −

d

2

T



t



d t

2

−

2

⋅T



t



=0

Dzieląc obustronnie równanie przez

−1 otrzymujemy:

d

2

T



t



d t

2



2

⋅T



t



=0

(14.17)

Rozwiązaniem, całką ogólną równania różniczkowego jest wielomian:

T



t



=C⋅sin  tD⋅cos  t

(14.18)

Stałe równania

C i D możemy wyznaczyć z warunków początkowych (czas).

Pręt doznaje przemieszczeń, które nazywamy drganiami własnymi (bez udziału siły wymuszającej) według

funkcji:

u



x , t



=

1
2

[

f



x

ct



 f



x

−ct



]



1

2 c

∫

x

−ct

x

ct

g







d



Funkcja ta opisuje rozchodzenie się fali, przemieszczenia w nieskończonym pręcie. W dowolnej chwili

t

impuls fali rozejdzie się w obie strony pręta z prędkością

c.

14.4.1. Drgania własne pręta ściskanego

Wyznaczmy częstotliwość drgań własnych w pręcie ściskanym.

l

N

N

Rys. 14.12. Pręt ściskany

Zapiszmy warunki brzegowe, przemieszczenia poziome są równe zeru:

u



0



=0

u



l



=0

Przyjmujemy rozwiązania ogólne

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

19

u



x



=A⋅sin k xB⋅cos k x

z czego otrzymujemy układ równań:

{

B

=0

A sin kl

B cos kl=0

I odpowiadający mu wyznacznik

∣W∣=

∣

0

1

sin kl cos kl

∣

Wyznacznik tego układu równań musi być równy zeru det

∣W∣=0 , a zatem otrzymujemy:

sin k l

=0

Funkcja sin x ma miejsca zerowe dla x

=n , czyli:

k l

=n

Wtedy współczynnik:

k

=

n



l

Ponieważ przyjęliśmy podstawienie:



2

c

2

=k

2

oraz

c

=



E



to

=k⋅c

=

n



l

⋅



E



Możemy wnioskować, że belka będzie miała nieograniczoną ilość częstości drgań własnych (

n jest liczbą

naturalną). Postacie drgań opisuje funkcja:

U



x



= A⋅sin

n



l

x

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

20

14.4.2. Wzory transformacyjne dla pręta ściskanego

W oparciu o warunki brzegowe możemy zapisać wartości sił podłużnych dla pręta ściskanego.

l

N

N

u

i

u

k

i

k

u



0



=u

i

u



l



=u

k

Przyjmujemy rozwiązania ogólne

u



x



=A⋅sin k xB⋅cos k x

Ponadto ze związków fizycznych mamy:

N



x



=

x

⋅A=

x

⋅E A=

d u



x



d x

⋅EA

Po rozwiązaniu układu równań powstałego z warunków brzegowych wyznaczamy stałe

A i B. Po ich

podstawieniu do rozwiązania ogólnego obliczamy pochodną przemieszczenia. Wykorzystując ją w równaniu
fizycznym znajdujemy funkcje siły normalnej.

N

ik

= f u

i

, u

k

=N 0=

EA

l

[

a

⋅u

k

−b⋅u

i

]

N

ik

= f u

i

, u

k

=N l =

EA

l

[

b

⋅u

k

−a⋅u

i

]

gdzie:

a

=⋅cosec 

b

=⋅ctg 

=l⋅





EA

⋅

2

14.5. Drgania skrętne pręta pryzmatycznego

W celu wyprowadzenia równania ruchu pręta przyjmijmy następujące założenia:

–

drgania są harmoniczne (okresowe, periodyczne, czyli powtarzające się w regularnych odstępach
czasowych),

–

układ jest idealny (tzn. brak jakiegokolwiek tłumienia ruchu),

–

przemieszczenia pręta są małe w porónaniu z wymiarami układu,

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

21

–

rozpatrujemy ciągły, liniowy rozkład masy w pręcie,

–

pomijamy skrócenia bądź wydłużenia pręta,

–

zakładamy ponadto, że przekrój pręta nie ulega odkształceniom postaciowym, tzn. w procesie deformacji
zachowuje swój pierwotny kształt.

Obciążenia jak i siły wewnętrzne będą w postaci momentów działających w płaszczyznach prostopadłych do
osi pręta.

p(x,t)

Μ(x,t)

Μ(x,t) + dx

∂ Μ(x,t)

∂ x

0

r(x,t)

x

y

dx

Rys. 14.13. Wycięty myślowo element dx rozpatrywanego pręta wraz z działającymi na niego siłami

Zajmijmy się teraz wyprowadzeniem równania ruchu pręta wywołanego działaniem dowolnych sił skrętnych.
Dokonajmy na wstępie myślowego wycięcia elementu z nieskończenie długiego pręta (rys. 14.13). Z sumy
momentów względem środka ciężkości

O możemy zapisać:

 M

0

=0

(14.19)

−M x , t M x , t 

∂ M  x , t 

∂ x

dx

 px , t dxrx , t =0

(14.20)

∂ M x , t 

∂ x

dx

 p x , t dxr x , t =0

(14.21)

gdzie:

r(x,t) - jest siłą oporu ruchu, wynikającą z drgań pręta (siłą bezwładności) i wynosi:

r

x , t =−⋅J

0

⋅ ¨x , t =−⋅J

0

⋅

∂

2

 x , t 

∂t

2

(14.22)

J

0

– biegunowy moment bezwładności względem środka ciężkości przekroju wynosi:

J

0

=J

x

J

y

(14.23

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

22

φ(x,t) - kąt skręcania w płaszczyźnie przekroju,

μ - gęstość masy rozpatrywanego elementu na powierzchni jego przekroju poprzecznego:

=

dm

A

=

dV

⋅

A

=

A

⋅dx⋅

A

=dx⋅

(14.24)

Znak “-” we wzorze (14.22), wynika z faktu przeciwnego zwrotu siły bezwładności do kierunku ruchu ją
wywołującego.

Po uwzględnieniu we wzorze (14.21) zależności (14.22) i (14.24), otrzymamy:

∂ M  x , t

∂ x

dx

 p x , tdx−J

0

⋅dx⋅⋅

∂

2

 x , t 

∂t

2

=0 /: dx

∂ M x , t 

∂ x

 p x , t −J

0

⋅⋅

∂

2

 x , t 

∂t

2

=0

(14.25)

Na podstawie definicji momentu skręcającego oraz po uwzględnieniu faktu, że rozpatrywany pręt jest
jednorodny i pryzmatyczny, możemy zapisać:

M

 x , t =G⋅J

s

⋅x , t 

(14.26)

gdzie:

γ – jednostkowy kąt skręcania równy:

x ,t =

∂x , t 

∂ x

(14.27)

J

s

– moment bezwładności na skręcanie równy:

–

dla pręta o przekroju kołowym lub pierścieniowym:

J

s

=J

0

(14.28)

–

dla pręta o przekroju w kształcie trójkąta równobocznego o boku

2π:

J

s

=

a

4

⋅



3

5

(14.29)

–

dla pręta o przekroju w kształcie prostokąta o bokach

b i h (h>b):

J

s

≈

1
3

b

4



h
b

−0,63 

0,052



h

/b



4



(14.30)

G – moduł Kirchhoffa (ścinania, odkształcenia postaciowego) równy:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

23

G

=

E

2

1

(14.31)

Po uwzględnieniu zależności (14.27) we wzorze (14.26), oraz po zróżniczkowaniu uzyskanego w ten sposób
wyrażenia względem zmiennej

x otrzymamy:

M

x , t =G⋅J

s

⋅

∂ x ,t 

∂ x

∂ M  x , t 

∂ x

=G⋅J

s

⋅

∂

2

 x , t 

∂ x

2

(14.32)

Następnie po podstawieniu wyrażenia (14.32) do wzoru (14.25) otrzymamy następujące równanie:

G

⋅J

s

⋅

∂

2

x , t 

∂ x

2

−J

m

⋅

∂

2

 x , t

∂t

2

=− px , t 

(14.33)

gdzie:

J

m

- biegunowy moment masy, równy:

J

m

=J

0

⋅

(14.34)

Równanie (14.33) to równanie różniczkowe ruchu (tzw. równanie falowe) nieograniczonego pręta o liniowym
rozkładzie masy, gdy ruch ten spowodowany jest działaniem dowolnych, wymuszonych drgań skrętnych.

Gdy mamy do czynienia z drganiami swobodnymi (bez żadnych wymuszeń) wzór (14.33) przyjmuje
następującą postać:

p

 x , t =0 ⇒ G⋅J

s

⋅

∂

2

x , t 

∂ x

2

−J

m

⋅

∂

2

 x , t 

∂ t

2

=0

(14.35)

Zauważmy, że jeżeli mamy do czynienia z prętem o przekroju kołowym lub pierścieniowym (

J

s

=

J

0

), to

równanie falowe drgań własnych (14.35) przyjmie postać analogiczną jak dla drgań podłużnych:

c

2

∂

2

 x , t 

∂ x

2

−

∂

2

 x , t

∂t

2

=0

(14.36)

Przy czym zmienia się interpretacja stałej

c:

c

2

=

G



(14.37)

Znajdźmy rozwiązanie ogólne (całkę ogólną) równania różniczkowego (14.35). Rozwiążmy to równanie
analogicznie jak dla drgań podłużnych metodą rozdzielenia zmiennych. Załóżmy, że istnieje taka funkcja

φ

(

x,t), która składa się z iloczynu dwóch funkcji, zależnych tylko i wyłącznie od jednej zmiennej, innej każda

tzn. od czasu “

t” (funkcja czasu T(t)), oraz od przestrzeni “x” (funkcja przestrzeni Φ

(

x)):

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

24

x ,t =T t ⋅ x

Po uporządkowaniu

G

⋅J

s

⋅

∂

2

 x

∂ x

2

⋅T t −J

m

⋅∂

2

T

t 

∂ t

2

⋅ x=0 /:



T

t ⋅ x⋅J

m



otrzymujemy

G

⋅J

s

J

m

⋅

∂

2

 x

∂ x

2

 x

=

∂

2

T

t

∂ t

2

T

t

(14.38)

Aby lewa strona tego równania (funkcja przestrzenna) była równa prawej (funkcji czasu), w danym punkcie
czasoprzestrzeni, obie funkcje muszą osiągać w tym punkcie jakąś wartość stałą (skalar). Wartość tą
oznaczmy przez

ω

2

.

G

⋅J

s

J

m

⋅

∂

2

x

∂ x

2

 x

=

∂

2

T

t

∂t

2

T

t 

=

2

(14.39)

W ten sposób uzyskaliśmy następujący układ równań:

{

∂

2

T

t 

∂ t

2

−

2

⋅T t =0

∂

2

 x

∂ x

2

−

2

⋅ x=0

(14.40)

gdzie:



2

=



2

⋅J

m

G

⋅J

s

(14.41)

Po rozwiązaniu układu równań (14.40) dostaniemy:

T

t=C

1

⋅sin tC

2

⋅cos t 

 x=A⋅sin xB⋅cos x

(14.42)

Stąd rozwiązanie ogólne (całka ogólna) przyjmie postać:

 x , t =T t ⋅x=[C

1

⋅sin t C

2

⋅cos t ]⋅[ A⋅sin xB⋅cos x]

(14.43)

Na podstawie powyższego ogólnego rozwiązania równania różniczkowego (całki ogólnej), postępując

analogicznie jak przy drganiach podłużnych, otrzymamy rozwiązanie szczególne.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater