1

Ćwiczenia 1

WIL, BUDOWNICTWO, semestr 1, 2013/14

Na każde zajęcia proszę przynosić notatki z wykładów!

1. Rachunek wektorowy

Przeczytaj uważnie fragment wykładu dotyczący wektorów. Zapamiętaj wzory, które dla

przypomnienia są podane jeszcze raz poniżej. Następnie zacznij rozwiązywać zadania.

Wektor

 w kartezjańskim układzie współrzędnych prostokątnych: trój- i dwuwymiarowym xy,

wersory

, ,  .

Wektor rozłożony jest na

wektory

składowe

(rzuty wektora w danym układzie współrzędnych) odpowiednio:



௫

,


௬

,


௭

oraz


௫

,


௬

.

Iloczyn skalarny

dwóch wektorów:

 ·   | |cos   , 

(wzór 1)

jest liczbą (nie

wektorem), jest przemienny, iloczyn wektorów prostopadłych jest równy zeru,

 ·  

ଶ

, w

zależności od wielkości kąta jest dodatni lub ujemny.

Współrzędną wektora

na danej osi nazywamy iloczyn skalarny tego wektora i wersora tej osi.

௫

  ·   cos ,

(wzór 2)

itd. Współrzędna wektora może być liczbą dodatnią lub ujemną.

Wartość

wektora:

 

௫

ଶ



௬

ଶ



௭

ଶ

(wzór 3).

Wektor możemy zapisać:

  

௫

 

௬

 

௭



௫



௬

 

௭

 .

(wzór 4)

np.

 


௫




௬




௭



௫



௬



௭

 .

Suma wektorów

:

     

௫

 

௫

   

௬

 

௬

   

௭

 

௭

 

 

௫

 

௫

 

௬

 

௬

 

௭

 

௭

 .

(wzór 5)

Różnica wektorów

:

       .

(wzór 6)

Iloczyn skalarny

:

 ·    

௫

· 

௫

   

௬

· 

௬

   

௭

· 

௭

 

௫



௫



௬



௬



௭



௭

.

(wzór 7)

Iloczyn wektorowy

dwóch wektorów: wartość iloczynu

|   |  | |sin   ,  (wzór 8), a kierunek i zwrot

   wyznaczamy z reguły śruby prawej.
    

௬



௭



௭



௬

 

௭



௫



௫



௭

  

௫



௬



௬



௫

 , (wzór 9)

y

x

z

O







ݒԦ

ݒԦ

௫

ݒԦ

௬

ݒԦ

௭

y

x

O

ݒԦ

ݒԦ

௫

ݒԦ

௬







wersory

||  ||  

 1







y

x

O

ݒԦ

ݒԦ

௫

ݒԦ

௬

ݒ

௫

ݒ

௬

α

2

Zadania

1.

Wyprowadź wzory na iloczyny: skalarny (wzór 7) i wektorowy (wzór 9) dwóch wektorów

 i .

Rozwiązanie: Zapisujemy iloczyn skalarny dwóch wektorów:

 ·   

௫



௬

 

௭

 · 

௫

 

௬

 

௭

 

௫



௫

 ·  

௫



௬

 ·  

௫



௭

 ·   

Korzystając z definicji iloczynu skalarnego (wzór 1) obliczamy iloczyny wektorów jednostkowych:

 ·   1 · 1 · cos0°  1 ,  ·   1 · 1 · cos90°  0 ,  ·   1 · 1 · cos 90°  0 , …

Widzimy, że zostają tylko wyrazy z iloczynami tych samych współrzędnych:

 ·  

௫



௫



௬



௬



௭



௭

.

Podobnie postępujemy z iloczynem wektorowym:

    

௫



௬

 

௭

  

௫

 

௬

  

௭

 

௫



௫

   

௫



௬

  

௫



௭

   

Korzystając z definicji iloczynu wektorowego (wzór 8) obliczamy iloczyny wektorów jednostkowych:

|   |  1 · 1 · sin 0°  0  |   |  |   |,

   ,

     ,

    ,

    ,

   ,

    .

Odpowiednio grupując wyrazy iloczynu dostajemy:

    

௬



௭



௭



௬

 

௭



௫



௫



௭

  

௫



௬



௬



௫

.

2.

Praca

%

஺஻

wykonana przez stałą siłę & podczas przemieszczenia ciała z punktu A do B, jest dana wzorem:

%

஺஻

 & · ∆(

஺஻

. Oblicz pracę wykonaną przez siłę 15,0 N podczas przesuwania skrzyni z położenia

(

஺

 1,0 2,0 m do położenia (

஻

 4,0 2,0 m, jeśli siła była skierowana pod kątem 30

o

do poziomu.

Rozwiązanie: Obliczamy przemieszczenie

∆(

஺஻

 (

஻

 (

஺

 3,0 4,0m, a następnie pracę

%

஺஻

 & · ∆(

஺஻

 & · |∆(

஺஻

| cos 30°  15,0 N5,0 m cos30°  65 J.

3.

Kolejne położenia krążka hokejowego dane są wektorami położenia:

(

ଵ

 4,0 3,0 m i (

ଶ

 2,0 

4,0  0,10 m. a. Oblicz wartość każdego z wektorów (wzór 3). b. Oblicz przemieszczenie krążka (różnicę
wektorów)

(wzór 6)

. c. Znajdź kąt α między wektorami

(wzór 1)

korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny wektorów

(wzór 7)

. d. Narysuj w układzie kartezjańskim wektor

(

ଵ

.

4.

Dane są dwa wektory siły:

&

ଵ

i &

ଶ

(patrz: rys. obok).(a ) Rozłóż te

wektory na składowe i znajdź ich współrzędne. Zapisz je w postaci

danej wzorem 4. (b) Narysuj wektory:

&

ଵ

 &

ଶ

,

&

ଵ

.

Rozwiązanie: a. Współrzędne wektorów znajdziemy z definicji:

Współrzędną wektora

na danej osi nazywamy iloczyn skalarny tego

wektora i wersora tej osi.

௫

  ·   cos ,

(wzór 2)

itd.

&

ଵ௫

 &

ଵ

·   &

ଵ

cos

ଵ

 4,0N cos 120°  2,0N,

&

ଵ௬

 &

ଵ

·   &

ଵ

cos

ଵ

 90°  4,0N cos 30°  3,5N,

&

ଵ

 2,0   3,5 N .

F

x

[N]

1

1

&

ଵ

&

ଶ

α

1

=120

α

2

=315

o

&

ଵ

 4,0N

&

ଶ

 5,0N

F

y

[N]

3

Analogiczne obliczamy współrzędne drugiego wektora

&

ଶ௫

i

&

ଶ௬

i zapisujemy wektor w postaci

&

ଶ

 …    N .

Uwaga: Wszystkie wyniki obliczeń zostały zaokrąglone zgodnie z regułami działania na liczbach
przybliżonych.
Uwaga: Wszystkie wyniki obliczeń zostały zaokrąglone zgodnie z regułami działania na liczbach
przybliżonych.

1.

Sumę zaokrąglamy do miejsca znaczącego odpowiadającego najmniej dokładnemu składnikowi.

2.

W iloczynie lub ilorazie liczb przybliżonych zachowujemy co najwyżej tyle cyfr znaczących, ile
jest w czynniku który ma ich najmniej.

b. Różnica wektorów:

&

ଵ

 &

ଶ

 2,0  3,5 N  …   N  ?

Wektor o zwrocie przeciwnym do

&

ଵ

:

&

ଵ

 …   N

5.

Wartość wektora położenia ciała A wynosi r

A

=5,0cm, a kąt jaki tworzy z osią

2 jest równy 240

o

. a. Znajdź jego

współrzędne. b. Zapisz ten wektor stosując wersory. c. Narysuj ten wektor.

Wskazówka: Przeglądnij rozwiązanie poprzedniego zadania.

6.

Moment siły

3 punktu materialnego zdefiniowany jest iloczynem wektorowym wektora położenia ( i siły &:

3  (  &. a. Znajdź moment siły, gdy (  3,0  2,0 cm i &  4,0 5,0) N. b. Wykaż, że jeśli siła dana
jest wyrażeniem postaci

&  4((, to moment siły jest równy zeru.

Rozwiązanie: a. Moment siły

3  (  &  (

௬

&

௭

 (

௭

&

௬

 (

௭

&

௫

 (

௫

&

௭

  (

௫

&

௬

 (

௬

&

௫

  52,0cm3,0N  1,5cm4,0N6

 12,0 · 10

ିଶ

m · N

b.

3  (  &  (  4((  4((  (  4((( sin 0°  0.

Zapamiętaj ten przypadek! Siły postaci

&  4(( noszą nazwę sił centralnych; należy do nich siła

grawitacji i siła Coulomba:

&

௚

 7

38

(

ଶ

(̂,

(̂  :; <=:;( >=?@;A:;<B ; C=(D@D C E<(;FC= <=:;( (

2. Różniczkowanie funkcji

Na wykładzie została podana definicja pochodnej, wzory na pochodne funkcji, z którymi będziemy mieć do
czynienia w zadaniach. Uważnie przeczytaj ten fragment wykładu, a potem oblicz pochodne następujących
funkcji:

a.

42  52  2

ଷ

 3, b. 42  √22, c. 42  22  1

ଶ

, d. 42  3 sin2

ଶ

, e. 42  √3  2,

W fizyce często oblicza się szybkość zmian pewnej wielkości fizycznej w czasie – wówczas traktuje się czas

: jak

zmienną (zamiast zmiennej

2 mamy zmienną :). Jeśli wzór zapisany jest ogólnie, to mogą występować w nim

stałe parametry, zwykle oznacza się je przez

, , … , H, …. Przećwicz obliczanie pochodnych następujących

funkcji:

4

a.

2:  sinH:, (, H  A: ł=, b. B:  J 
: 

భ
మ

K:

ଶ

, (J, K,
 A: ł=, c. 2:  L  L cos:,

(

L, H  A: ł=,

7.

Wyobraźmy sobie sytuację, że w czasie zamieci śnieżnej polarnik traci orientację i błądzi wokół bieguna

południowego, a jego położenie dane jest wektorem:

(:   cosH:   F sinH: ,

gdzie ω  1,60rad · h

ିଵ

,

  2,5km, F  3,0km

a. Znajdź w tym przypadku przyspieszenie

 i prędkość polarnika
.

8.

Do swobodnego końca podwieszonej pod sufitem sprężyny przymocowano jabłko, a następnie pociągnięto go

w dół. Jabłko zaczęło wykonywać ruch drgający z częstością

H H 

ଶగ

்

, V  okres drgań, a jego chwilowe

położenie względem punktu równowagi opisane było funkcją

B:  B

଴

cos H:, B

଴

- amplituda drgań. a. Zapisz

wektor położenia jabłka przyjmując, że oś

B jest skierowana pionowo w dół. b. Znajdź wektor prędkości jabłka


oraz przyspieszenia

. c. Oblicz położenie, prędkość i przyspieszenie po czasie :  V/4.

Literatura

D.Halliday,R.Resnick,J.Walker: Podstawy fizyki, t.1.

B.Oleś: Wykłady z fizyki , Wydawnictwo PK.
A.Januszajtis: Fizyka dla politechnik, t.1.