Kolokwium nr 1
Grupa 1 WILiŚ

RZĄD A 04-11-2004
Zadanie 1. Obliczyć granice następujących ciągów:

a).

3

2

2

2

ln

2

2

2







n

n

n

a

n

, b).

     

n

n

n

n

n

n

a

3

1

3

1

3

1

3

1

4

3

5

4

6

5

...

1

3

2

1

















, c).

3

1

5

2

2

2











n

n

n

a

n

.

Zadanie 2. Wyznaczyć wartość parametrów

b

a

i

tak, aby funkcja była ciągła:













































2

dla

2

6

-

4

4

0

2

dla

arctg

2

)

1

(

0

dla

)

ln

arcctg(

4

1

)

(

2

x

x

x

a

x

b

x

x

x

x

x

f





.

Zadanie 3. Wyznaczyć funkcję odwrotną

1



f

, dziedzinę i przeciwdziedzinę

1

i



f

f

gdy:

a).

1

log

)

(

2





x

x

f

, b).

2

)

1

arccos(

)

(









x

x

f

.

Zadanie 4. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:

a).

)

1

(

1







x

e

x

lim

x

, b).

x

x

lim

x

ln

2

1

6

0







.

Zadanie 5. Obliczyć pochodne podanych funkcji:

a).

e

x

y

x





3

ln

)

2

(sin

, b).

 

3

4

2

1

3

arctg

x

x

y

x

x







.

T: Podać definicję ciągu ograniczonego. Sformułować jedno z twierdzeń dotyczących zbieżności ciągów

ograniczonych i podać przykład ilustrujący wybrane twierdzenie.

Kolokwium nr 1
Grupa 1 WILiŚ

RZĄD B 04-11-2004
Zadanie 1. Obliczyć granice następujących ciągów:

a).

     

n

n

n

n

n

n

a

4

3

5

4

3

2

2

1

2

1

2

1

2

1

...

1

3

2

1

















, b).

1

6

9

3

6

2









n

n

n

a

n

, c).

1

1

2

3

2

ln





















n

n

n

n

a

.

Zadanie 2. Wyznaczyć wartość parametrów

b

a

i

tak, aby funkcja była ciągła:













































2

dla

4

2

6

-

4

0

dla

)

ln

arcctg(

4

1

0

2

dla

arctg

2

)

1

(

)

(

2

x

x

x

a

x

x

x

b

x

x

x

f





.

Zadanie 3. Wyznaczyć funkcję odwrotną

1



f

, dziedzinę i przeciwdziedzinę

1

i



f

f

gdy:

a).

2

2

)

(







x

x

f

, b).

1

)

sin(

arc

)

(

2









x

x

f

.

Zadanie 4. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:

a).

)

ctg

(

1

x

lim

x

o

x







, b).

1

2

3

1







x

x

lim

x

.

Zadanie 5. Obliczyć pochodne podanych funkcji:

a).







x

x

y

2

ln

)

3

(cos

, b).

 

4

3

1

3

4

arcctg

x

x

y

x

x







.

T: Podać definicję ciągu monotonicznego. Sformułować twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym.

Zbadać monotoniczność ciągu

1

3

1

2







n

n

n

a

.

Kolokwium nr 1

Grupa 5 WBWiIŚ

13-11-2003

Zadanie 1 Obliczyć granice ciągów o wyrazach ogólnych:

a).

n

n

n

n

a

2

3

4

6

2







b).





































n

e

n

n

n

n

a

n

)

1

ln(

2

3

2

2

.

Zadanie 2 Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji

x

x

x

f

4

1

2

arctg

)

(





.

Zadanie 3 Zbadać ciągłość funkcji

)

(x

f

. Jeśli istnieją punkty nieciągłości, określić ich rodzaj:

 

































0

)

arctg(log

0

2

1

2

)

(

2

1

2

2

1

x

x

x

x

x

x

f

x

x

.

Zadanie 4 Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości, oraz punkty przegięcia funkcji

1

2

2

)

(





x

x

e

x

f

.

Zadanie 5 Napisać równanie stycznej do krzywej

x

x

y

x

















2

ln

2

sin



w punkcie

.

1

0



x

T1. Podać twierdzenie o trzech ciągach.
T2. Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie.
T3. Definicja pochodnej funkcji.








2002/2003
RZĄD A
1. Obliczyć granice ciągów o wyrazach ogólnych:

a).

n

n

n

n

a

2

1

3

3

3





















b).

n

n

n

n

n

a

2

2

1

4

2













2. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

2

7

4

)

9

ln(

)

(

2

2











x

x

x

x

x

f

3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji

x

x

x

f

ln

)

(

2



.

4. Napisać równanie stycznej do krzywej

 

x

y

x

x





2

ln

2

sin



.

5. Wyznaczyć pochodną funkcji

ax

e

x

x

f

bx

arctg

)

(

3

2





, gdy

1

1

lim









x

x

a

x

oraz

x

e

e

b

x

x

x

sin

lim

0









.

6. Podać definicję Heinego granicy funkcji w punkcie i na podstawie tej definicji pokazać, że











2

1

lim

2

x

x

.

2001/2002
GRUPA 1

Zadanie 1. Obliczyć granicę :

a). ciągu

n

n

n

n

n

n

n

a

5

2

5

3

2

3

1

9

3

9





























b). funkcji (korzystając z reguły de L’Hospitala)

2

1

0

)

2

(cos

lim

x

x

x



Zadanie 2. Obliczyć z definicji pochodną funkcji

x

x

y

6

sin

)

(



Zadanie 3. Obliczyć

)

(

' a

y

jeżeli

ax

a

x

g

a

x

x

y



















arct

)

(

)

(

2

2

.

Zadanie 4. Wyznaczyć funkcję odwrotną do danej oraz jej dziedzinę























1

2

,

1

2

,

1

)

1

sin(





x

x

y

Zadanie 5. Wyznaczyć wartość parametru

a

dla którego podana funkcja jest ciągła









































1

dla

1

dla

1

dla

-

1

1

arctg

)

(

1

1

x

e

x

a

x

x

x

f

x

Zadanie 6. Podać definicję ciągu ograniczonego, oraz jedno z twierdzeń dotyczących takich
ciągów. Podać odpowiedni przykład.






2001/2002
GRUPA 2

Zadanie 1. W jakim punkcie (punktach) styczna do krzywej

7

9

)

(







x

x

x

f

tworzy z osią OX kąt

4



?

Zadanie 2. Obliczyć

1

)

0

(

'



g

jeżeli

x

ge

x

x

g

2

arct

)

1

(

)

(







Zadanie 3. Obliczyć :

a). granicę funkcji (korzystając z reguły de L’Hospitala)





x

x

x

x

e

1

2

0

lim





b). granicę ciągu:

1

2

)

1

(

2

1

1

2

2





















n

n

n

n

n

n

n

n

a

Zadanie 4. Wyznaczyć wartość parametru

a

dla którego podana funkcja jest ciągła:















0

dla

1

-

arctg

0

dla

sin

)

(

x

a

x

x

x

x

f



Zadanie 5. Wyznaczyć funkcję odwrotną do danej, oraz jej dziedzinę























 









4

1

,

4

3

,

2

4

sin

x

x

y

.

Zadanie 6. Sformułować twierdzenie Rolle’a i podać jego interpretację geometryczną.