MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA

ARKUSZ I - POZIOM PODSTAWOWY

Numer

zadania

Etapy rozwiązania zadania

Liczba

punktów

Uwagi dla egzaminatorów

1.1

Zapisanie warunku

)

(

)

(

x

g

x

f

>

i przekształcenie nierówności do

postaci

0

1

2

3

2

>

+

+

−

x

x

.

1

1.2

Obliczenie x, dla których lewa strona nierówności przyjmuje

wartość zero.

1

,

3

1

=

−

=

x

x

.

1

1

1.3 Rozwiązanie nierówności

)

1

,

3

1

(

−

∈

x

.

1

2.1

Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego do obliczenia
obrotów w trzecim kwartale

3

4

2

3

k

k

k

k

−

=

−

.

1

2.2 Obliczenie obrotów w trzecim kwartale k

3

=18 750zł

. 1

2.3

Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego do obliczenia

obrotów w pierwszym kwartale

2

3

1

2

k

k

k

k =

.

1

2.4 Obliczenie obrotów w pierwszym kwartale: k

1

=12 000zł

. 1

2

2.5 Obliczenie

średniej miesięcznych obrotów: 5687,50zł. 1

3.1 Zapisanie i rozwiązanie warunku

0

2

3

≥

− x

2

3

≤

x

.

1

3.2 Zapisanie warunku

0

20

8

5

2

2

3

≠

+

−

−

x

x

x

.

1

3.3

Rozwiązanie warunku

0

20

8

5

2

2

3

≠

+

−

−

x

x

x

2

≠

x

i

2

−

≠

x

i

2

5

≠

x

.

1

3

3.4 Obliczenie dziedziny funkcji

}

2

\{

2

3

,

(

−

>

−∞

=

D

.

1

4.1 Wyznaczenie równania prostej WA

x

y

4

3

−

=

.

1

4.2

Zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej do obliczenia
odległości punktu P od prostych

x

y

4

3

−

=

i

x

y

3

4

=

.

1

4.3 Obliczenie odległości punktu P od prostej

x

y

4

3

−

=

5

1

=

d

.

1

4.4 Obliczenie odległości punktu P od prostej

x

y

3

4

=

5

2

=

d

.

1

4

4.5

Sprawdzenie czy d

1

=d

2

i sformułowanie odpowiedzi konsekwentnej

do prowadzonych obliczeń

.

1

5.1

Określenie znaku parametru a

0

<

a

.

(ramiona paraboli skierowane w dół).

1

5.2 Określenie znaku parametru c c=f(0)>0. 1

5.3

Określenie znaku parametru b b>0.

Przykładowe uzasadnienie:

a

b

x

w

2

0

−

=

<

i

0

<

a

.

1

5.4

Określenie znaku wyrażenia

bc

c

ab

−

0

<

−

bc

c

ab

.

0

<

ab

i

0

<

− c

i

0

>

bc

stąd

0

<

−

bc

c

ab

.

1

5

5.5 Określenie znaku wyrażenia

2

4

b

ac

−

0

4

2

<

∆

−

=

− b

ac

.

1

6.1 Stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej

wynosi 0,25.

1

6.2 Stwierdzenie,

że P(B)+P(C)+P(N)=1, gdzie P(B), P(C), P(N)

oznaczają odpowiednio prawdopodobieństwa wylosowania kuli
białej, czarnej lub niebieskiej.

1

6.3 Zapisanie warunku

)

(

)

(

2

C

N

P

B

N

P

∪

=

∪

.

1

6.4

Wyznaczenie zależności między P(C) i P(N)

2

1

)

(

)

(

+

=

N

P

C

P

.

1

6

6.5

Obliczenie P(C)

8

5

P(C)

= .

1

7.1

Przekształcenie równania do postaci, w której zmienna x znajduje się
po jednej stronie równania, a wyrazy wolne po drugiej stronie
równania i zapisanie liczb

6

11

27

,

9

w postaci potęgi liczby 3.

1

7.2

Wyłączenie wspólnego czynnika poza nawias lub podzielenie obu
stron równania przez odpowiednią potęgę liczby 3.

1

7

7.3 Rozwiązanie równania

27

1

=

x

.

1

8.1

Wykonanie rysunku pomocniczego z prawidłowo zaznaczonymi
kątami i wprowadzenie oznaczeń.

1

8.2

Wykorzystanie informacji o kątach do zapisania zależności między
wysokością wieży a odległością obserwatora od wieży

3

=

x

h

gdzie h-wysokość wieży, x-odlegość obserwatora od

wieży w chwili, gdy wieża jest widoczna pod kątem 60

0

.

1

8.3

Wykorzystanie informacji o kątach do zapisania zależności między
wysokością wieży a odległością obserwatora od wieży

1

20

=

+

x

h

.

1

8.4 Wyznaczenie równania z jedną zmienną h. (lub zmienną x). 1

8

8.5 Podanie wyniku i zaokrąglenie go do 1cm h=47,32m. 1

9.1

Zapisanie zależności

1

1

1

x

x

x

−

=

−

i założenia x<0,5, gdzie x

oznacza długość krótszej części odcinka powstałej w wyniku złotego
podziału odcinka o długości 1.

1

9.2 Doprowadzenie do postaci

0

1

3

2

=

+

− x

x

.

1

9.3 Rozwiązanie równania

2

5

3

1

−

=

x

lub

2

5

3

2

+

=

x

.

1

9

9.4 Uwzględnienie założenia x<0,5 i podanie odpowiedzi

2

5

3

1

−

=

x

.

1

10.1

Wykonanie rysunku pomocniczego, wprowadzenie oznaczeń
i zaznaczenie na rysunku trójkąta prostokątnego.

1

10.2 Wyznaczenie długości przeciwprostokątnej:

16

2

=

R

.

1

10.3

Obliczenie długości jednej przyprostokątnej omawianego trójkąta
prostokątnego:

6

2

2

=

− r

R

.

1

10.4

Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do zapisania zależności:

2

2

2

)

2

2

(

)

2

(

x

r

R

r

+

−

=

, gdzie R-promień walca, r-promień kuli,

x-różnica poziomów między środkami kul do wyznaczenia x: x=8.

1

10.5

Obliczenie minimalnej wysokości walca:
h=18.

1

10

10.6

Obliczenie objętości walca V:

π

1152

=

V

.

1

11.1

Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do zapisania zależności

2

2

2

1

h

a

d

+

=

2

2

2

2

h

b

d

+

=

, gdzie

a-dłuższa podstawa, b-krótsza

podstawa,

h- wysokość trapezu, d

1

, d

2

przekątne trapezu.

1

1.2

Wykorzystanie informacji o różnicy kwadratów długości
przekątnych do zapisania zależności

a

2

-b

2

=21 .

1

11.3

Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie, że

a-b=3.

1

11.4

Obliczenie sumy długości podstaw

a+b=7.

1

11

11.5

Obliczenie pola trapezu

P=14.

1

Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.