MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA
ARKUSZ I - POZIOM PODSTAWOWY
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Liczba
punktów
Uwagi dla egzaminatorów
1.1
Zapisanie warunku
)
(
)
(
x
g
x
f
>
i przekształcenie nierówności do
postaci
0
1
2
3
2
>
+
+
−
x
x
.
1
1.2
Obliczenie x, dla których lewa strona nierówności przyjmuje
wartość zero.
1
,
3
1
=
−
=
x
x
.
1
1
1.3 Rozwiązanie nierówności
)
1
,
3
1
(
−
∈
x
.
1
2.1
Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego do obliczenia
obrotów w trzecim kwartale
3
4
2
3
k
k
k
k
−
=
−
.
1
2.2 Obliczenie obrotów w trzecim kwartale k
3
=18 750zł
. 1
2.3
Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego do obliczenia
obrotów w pierwszym kwartale
2
3
1
2
k
k
k
k =
.
1
2.4 Obliczenie obrotów w pierwszym kwartale: k
1
=12 000zł
. 1
2
2.5 Obliczenie
średniej miesięcznych obrotów: 5687,50zł. 1
3.1 Zapisanie i rozwiązanie warunku
0
2
3
≥
− x
2
3
≤
x
.
1
3.2 Zapisanie warunku
0
20
8
5
2
2
3
≠
+
−
−
x
x
x
.
1
3.3
Rozwiązanie warunku
0
20
8
5
2
2
3
≠
+
−
−
x
x
x
2
≠
x
i
2
−
≠
x
i
2
5
≠
x
.
1
3
3.4 Obliczenie dziedziny funkcji
}
2
\{
2
3
,
(
−
>
−∞
=
D
.
1
4.1 Wyznaczenie równania prostej WA
x
y
4
3
−
=
.
1
4.2
Zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej do obliczenia
odległości punktu P od prostych
x
y
4
3
−
=
i
x
y
3
4
=
.
1
4.3 Obliczenie odległości punktu P od prostej
x
y
4
3
−
=
5
1
=
d
.
1
4.4 Obliczenie odległości punktu P od prostej
x
y
3
4
=
5
2
=
d
.
1
4
4.5
Sprawdzenie czy d
1
=d
2
i sformułowanie odpowiedzi konsekwentnej
do prowadzonych obliczeń
.
1
5.1
Określenie znaku parametru a
0
<
a
.
(ramiona paraboli skierowane w dół).
1
5.2 Określenie znaku parametru c c=f(0)>0. 1
5.3
Określenie znaku parametru b b>0.
Przykładowe uzasadnienie:
a
b
x
w
2
0
−
=
<
i
0
<
a
.
1
5.4
Określenie znaku wyrażenia
bc
c
ab
−
0
<
−
bc
c
ab
.
0
<
ab
i
0
<
− c
i
0
>
bc
stąd
0
<
−
bc
c
ab
.
1
5
5.5 Określenie znaku wyrażenia
2
4
b
ac
−
0
4
2
<
∆
−
=
− b
ac
.
1
6.1 Stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej
wynosi 0,25.
1
6.2 Stwierdzenie,
że P(B)+P(C)+P(N)=1, gdzie P(B), P(C), P(N)
oznaczają odpowiednio prawdopodobieństwa wylosowania kuli
białej, czarnej lub niebieskiej.
1
6.3 Zapisanie warunku
)
(
)
(
2
C
N
P
B
N
P
∪
=
∪
.
1
6.4
Wyznaczenie zależności między P(C) i P(N)
2
1
)
(
)
(
+
=
N
P
C
P
.
1
6
6.5
Obliczenie P(C)
8
5
P(C)
= .
1
7.1
Przekształcenie równania do postaci, w której zmienna x znajduje się
po jednej stronie równania, a wyrazy wolne po drugiej stronie
równania i zapisanie liczb
6
11
27
,
9
w postaci potęgi liczby 3.
1
7.2
Wyłączenie wspólnego czynnika poza nawias lub podzielenie obu
stron równania przez odpowiednią potęgę liczby 3.
1
7
7.3 Rozwiązanie równania
27
1
=
x
.
1
8.1
Wykonanie rysunku pomocniczego z prawidłowo zaznaczonymi
kątami i wprowadzenie oznaczeń.
1
8.2
Wykorzystanie informacji o kątach do zapisania zależności między
wysokością wieży a odległością obserwatora od wieży
3
=
x
h
gdzie h-wysokość wieży, x-odlegość obserwatora od
wieży w chwili, gdy wieża jest widoczna pod kątem 60
0
.
1
8.3
Wykorzystanie informacji o kątach do zapisania zależności między
wysokością wieży a odległością obserwatora od wieży
1
20
=
+
x
h
.
1
8.4 Wyznaczenie równania z jedną zmienną h. (lub zmienną x). 1
8
8.5 Podanie wyniku i zaokrąglenie go do 1cm h=47,32m. 1
9.1
Zapisanie zależności
1
1
1
x
x
x
−
=
−
i założenia x<0,5, gdzie x
oznacza długość krótszej części odcinka powstałej w wyniku złotego
podziału odcinka o długości 1.
1
9.2 Doprowadzenie do postaci
0
1
3
2
=
+
− x
x
.
1
9.3 Rozwiązanie równania
2
5
3
1
−
=
x
lub
2
5
3
2
+
=
x
.
1
9
9.4 Uwzględnienie założenia x<0,5 i podanie odpowiedzi
2
5
3
1
−
=
x
.
1
10.1
Wykonanie rysunku pomocniczego, wprowadzenie oznaczeń
i zaznaczenie na rysunku trójkąta prostokątnego.
1
10.2 Wyznaczenie długości przeciwprostokątnej:
16
2
=
R
.
1
10.3
Obliczenie długości jednej przyprostokątnej omawianego trójkąta
prostokątnego:
6
2
2
=
− r
R
.
1
10.4
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do zapisania zależności:
2
2
2
)
2
2
(
)
2
(
x
r
R
r
+
−
=
, gdzie R-promień walca, r-promień kuli,
x-różnica poziomów między środkami kul do wyznaczenia x: x=8.
1
10.5
Obliczenie minimalnej wysokości walca:
h=18.
1
10
10.6
Obliczenie objętości walca V:
π
1152
=
V
.
1
11.1
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do zapisania zależności
2
2
2
1
h
a
d
+
=
2
2
2
2
h
b
d
+
=
, gdzie
a-dłuższa podstawa, b-krótsza
podstawa,
h- wysokość trapezu, d
1
, d
2
przekątne trapezu.
1
1.2
Wykorzystanie informacji o różnicy kwadratów długości
przekątnych do zapisania zależności
a
2
-b
2
=21 .
1
11.3
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie, że
a-b=3.
1
11.4
Obliczenie sumy długości podstaw
a+b=7.
1
11
11.5
Obliczenie pola trapezu
P=14.
1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.