Krzysztof Rykaczewski

Teoria miary

Przegląd zagadnień

[e-mail]

http://www.mat.uni.torun.pl/˜mozgun/

Nicolaus Copernicus University

2007

SPIS TREŚCI

Spis treści

1

1

Podstawy

1

1.1

Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Miara zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Miary skończone i nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5

Zupełność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.6

Przykłady miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.7

Produkty miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.8

Miara Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.9

Własności „prawie wszędzie” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.10 Podstawy teorii całki (Lebesgue’a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.11 Zbiory niemierzalne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.12 Rozszerzenia pojęcia miary

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Bibliografia

17

Skorowidz

18

1

Streszczenie

D

okument ten ma służyć jako streszczenie (bez dowodów) podstawowych zagadnień występujących

w teorii miary. Jest on zaplanowany na jeden wykład, ale mam nadzieję kiedyś (przy jakiejś sposob-

ności) go poszerzyć.

Podamy definicję σ-ciała, miary oraz podstawowe fakty z jej teorii. W kolejnych sekcjach skoncentru-

jemy się na mierze Lebesgue’a oraz podamy definicję całki Lebesgue’a. Podamy też przykłady zbiorów
niemierzalnych.

Skrypt ten jest pomyślany jako przegląd zagadnień dla studentów I-szego roku matematyki.

Chciałbym podziękować M. Karpiczowi za wnikliwe przeczytanie dokumentu, skomentowanie go, po-

prawienie błędów oraz liczne wskazówski. Podziękowania należą się też Z. Błaszczykowi za inspirację do
napisania tej pracy.

Krzysztof Rykaczewski

Toruń, 9 listopada 2007

ROZDZIAŁ

1

PODSTAWY

1.1

Wstęp

W matematyce miara jest uogólnieniem takich rzeczy jak długość, powierzchnia i objętość. Dlate-

go miara może być czasami interpretowana jako wielkość fizyczna. Głównym zastosowaniem miary jest
zdefiniowanie całki, która jest w sposób nierozdzielny związana z miarą. Takie uogólnione definicje ca-
łek pojawiają się np. w teorii prawdopodobieństwa i analizie matematycznej. W analizie matematycznej
teoria miary stała się podstawą nowoczesnego rozumienia pojęcia całki od roku 1902 r., kiedy to Henri
Lebesgue zaproponował swoją konstrukcję całki opartej na pojęciu miary.

Intuicja podpowiada, że miarą zbioru otwartego (a, b) można nazwać liczbę b − a. Ogólnie miarę

odcinka I będziemy oznaczać przez

|I|. Jeśli jest to zbiór pusty, to oczywiście jesgo miara wynosi 0.

Wiadomo, że każdy zbiór otwarty zawarty w

R jest sumą co najwyżej przeliczalnej mnogości przedzia-

łów otwartych. Stąd każdy otwarty podzbiór G ⊂

R można przedstawić w postaci

G =

∞

[

n=0

I

n

,

I

i

∩ I

j

= ∅ dla i 6= j,

(1.1)

gdzie I

i

są przedziałami otwartymi w

R. Miarę tego zbioru określamy jako

|G| =

∞

X

n=0

|I

n

|,

(1.2)

jeśli ten szereg jest zbieżny; w przeciwnym przypadku powiemy, że G ma miarę nieskończoną.

Powstaje pytanie: czy istnieje funkcja (miara) określona na każdym podzbiorze prostej

R o wartościach

nieujemnych, która by dodatkowo spełniała warunki:

1. µ(∅) = 0,

2. µ (A ∩ B) = µ(A) + µ(B), dla dowolnych i rozłącznych podzbiorów A, B prostej

R.

1

Krzysztof Rykaczewski

Okazuje się, że takiej funkcji nie ma. I problem nie tkwi w tym, że za dużo zakładamy od takiej funkcji
(popatrzmy, że musi ona spełnić tylko dość elementarne warunki 1. i 2.). Problem w tym, że dla zbyt dużej
klasy zbiorów chcemy aby była ona określona, tj. dla każdego podzbioru prostej

R. Rodzina podzbiorów,

na których może być zdefiniowana miara musi spełniać pewne warunki (mówimy, że musi być σ-algebrą,
σ-ciałem).

Definicja 1.1.1. Niech X będzie zbiorem. Wtedy σ-ciałem nazywamy taką rodzinę M podzbiorów X, która
spełnia następujące warunki:

1. ∅ ∈ M,

2. jeśli A ∈ M, to X

\ A ∈ M,

3. Jeśli A

1

, A

2

, . . .

∈ M jest rodziną zbiorów mierzalnych, to

S

∞
i=1

A

i

(w przypadku, gdy ta własność

zachodzi dla skończonej ilości zbiorów mówimy o ciele zbiorów).

Zbiory z rodziny M nazywamy zbiorami mierzalnymi, a parę (X, M) przestrzenią mierzalną.

Uwaga 1.1.1. Ponieważ każde σ-ciało jest zamknięte na przekroje przeliczalne, to przekrój dowolnej
rodziny σ-ciał na X jest znów σ-ciałem zbiorów. Dowodzi się, że dla dowolnej rodziny A podzbiorów zbioru
X istnieje najmniejsze σ-ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywa się je σ-ciałem
generowanym przez tę rodzinę i oznacza symbolem σ(A) bądź hAi. Niech F będzie σ-ciałem podzbiorów
X, a I będzie σ-ideałem podzbiorów X. Wówczas σ-ciałem generowanym przez F ∪ I jest zbiór

σ(

F ∪ I) =

{A4B: A ∈ F oraz B ∈ I} ,

gdzie 4 oznacza operację różnicy symetrycznej.

Przykład 1.1.1. Rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru X jest najmniejszym σ-ciałem określonym
na X.

Najmniejszą σ-algebrę podzbiorów

R zawierającą zbiory otwarte nazywamy σ-algebrą zbiorów borelow-

skich. Oznaczamy ją B.

Niech K będzie σ-ideałem zbiorów pierwszej kategorii (w sensie Baire’a). Wówczas

σ(

B ∪ K) =

{O4K: K ∈ K oraz O jest zbiorem otwartym}

jest σ-ciałem zbiorów o własności Baire’a.

Ćwiczenie 1.1.1. Udowodnić:

1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Wtedy (X, 2

X

) jest przestrzenią mierzalną.

2. B jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą zbiory domknięte.

3. Czy zbiory

Q oraz R \ Q są mierzalne?

Ćwiczenie 1.1.2. Jeśli A i B są mierzalne, to A ∩ B jest mierzalny. Ogólnie: skończone iloczyny nie
wyprowadzają nas poza rodzinę M.

Hint. Skorzystać z relacji na zbiorach.

Definicja 1.1.2. Formalnie miarą nazywamy funkcję µ : M

→ [0, +∞) ∪ {+∞} =: R

+

zdefiniowaną na

σ-algebrze podzbiorów zbioru X spełniającą warunki:

Podstawy teorii miary, 2007

2

Krzysztof Rykaczewski

1. µ(∅) = 0,

2. σ-addytywność, tzn. dla przeliczalnej rodziny rozłącznych zbiorów E

1

, E

2

, E

3

, . . .

∈ M (czyli E

i

∩E

j

=

∅ dla i 6= j) mamy

µ

∞

[

i=1

E

i

!

=

∞

X

i=1

µ(E

i

).

(1.3)

Uwaga 1.1.2. Zauważmy, że wtedy szereg

P

∞
i=1

µ(E

i

) jest bezwzględnie zbieżny (ćwiczenie).

Jeśli miara przyjmuje wartości nie większe niż 1, to mówimy, że mamy do czynienia z miarą unormowa-

ną. Miarą probabilistyczną nazywamy taką miarę, że µ(X) = 1. Przestrzenią probabilistyczną nazywamy
przestrzeń z miarą probabilistyczną.

Przestrzenią z miarą nazywamy trójkę (X, M, µ).

Początkowo warunek drugi w definicji był warunkiem skończonej addytywności, tzn. dla każdej rozłącz-

nej i skończonej rodziny zbiorów E

1

, E

2

, E

3

, . . . , E

n

zachodzi

µ

n

[

i=1

E

i

!

=

n

X

i=1

µ(E

i

),

(1.4)

jednak warunek ten nie okazał się przydatny w zastosowaniach (zobacz miara Jordana - przykład 7).
Poprawę warunku 3 w definicji miary zawdzięczamy Borelowi. Zauważmy, że jeśli µ jest przeliczalnie
addytywna, to jest addytywna, czyli ta druga klasa okazała się większa (nawet za duża dla dobrej teorii!).

1.2

Własności

Nasępujące własności mogą być bezpośrednio wyprowadzone z definicji miary.

1. (Monotoniczność) Jeśli E

1

⊂ E

2

będą zbiorami mierzalnymi, to µ(E

1

)

¬ µ(E

2

).

2. (σ-podaddytywność) Jeśli E

1

, E

2

, E

3

, . . . są zbiorami mierzalnymi, to

µ

∞

[

i=1

E

i

!

¬

∞

X

i=1

µ(E

i

).

(1.5)

3. Jeśli µ(B) <

∞, oraz A ⊂ B, to µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).

4. (Ciągłość z dołu) Jeśli E

1

, E

2

, E

3

, . . . są zbiorami mierzalnymi oraz dla każdego n ∈

N zachodzi

E

n

⊂ E

n+1

, to

µ

∞

[

i=1

E

i

!

=

lim

i

→∞

µ(E

i

).

(1.6)

5. (Ciągłość z góry) Jeśli E

1

, E

2

, E

3

, . . . są zbiorami mierzalnymi, dla każdego n ∈

N zachodzi E

n

⊃

E

n+1

oraz dla pewnego n

0

miara E

n

0

jest skończona, to

µ

∞

\

i=1

E

i

!

=

lim

i

→∞

µ(E

i

).

(1.7)

Uwaga 1.2.1. Własność 4 nie zachodzi, jeśli wszystkie zbiory są miary nieskończonej. Istotnie, oznaczmy
E

n

:= [n, +

∞) ⊂ R. Wtedy T

∞
i=1

E

i

= ∅, ale lim

i

→∞

µ(E

i

) = +

∞.

Podstawy teorii miary, 2007

3

Krzysztof Rykaczewski

1.3

Miara zewnętrzna

Definicja 1.3.1. Miarą zewnętrzną określoną na podzbiorah zbioru X nazywamy funkcję µ

∗

: 2

X

→ R

+

spełniającą warunki:

1. µ

∗

(∅) = 0,

2. jeśli A ⊂ B, to µ

∗

(A)

¬ µ

∗

(B),

3. jeśli A

1

, A

2

, . . .

⊂ X, to

µ

∗

∞

[

n=0

A

n

!

¬

∞

X

n=0

µ

∗

(A

n

).

(1.8)

Bardzo ważnym jest następujące

Twierdzenie 1.3.1. (Carath´

eodory’ego) Jeśli µ

∗

jest miarą zewnętrzną określoną na podzbiorach X, to

zbiór

F

µ

∗

=



A

⊂ X : dla każdego E ⊂ X zachodzi µ

∗

(E) = µ

∗

(E

∩ A) + µ

∗

(E

∩ A

C

)

(1.9)

jest σ-ciałem, a µ

∗

|

F

µ∗

jest miarą (tzn. (X, F

µ

∗

, µ

∗

) jest przestrzenią mierzalną).

Przykład 1.3.1. Istnieją metody konstrukcji miar zewnętrznych.

Niech X będzie zbiorem, C dowolną rodziną podzbiorów X (zawierającą zbiór pusty) oraz p : C

→ R

+

taką, że p(∅) = 0. Wtedy (ćwiczenie)

ϕ(E) =

inf



∞

X

i=1

p(A

i

) : E

⊂

∞

[

i=1

A

i

, oraz A

i

∈ C dla każdego i ∈ N



(1.10)

jest miarą zewnętrzną na X.

Ćwiczenie 1.3.1. Niech X = N oraz µ

∗

: 2

N

→ R

+

dana będzie wzorem

µ

∗

(A) =

sup A − inf A

2

,

(1.11)

gdzie przyjmujemy, że sup ∅ = inf ∅ = 0. Wtedy µ

∗

jest miarą zewnętrzną.

1.4

Miary skończone i nieskończone

Definicja 1.4.1. Przestrzeń (X, M, µ) nazywamy skończoną, jeśli µ(X) jest skończona. Jeśli tak nie jest,
to przestrzeń tę nazywamy nieskończoną.

Przestrzeń (X, M, µ) nazywamy σ-skończoną, jeśli X =

S

∞
i=1

E

i

oraz dla każdego n ∈

N miara E

n

jest

skończona (tzn. µ(E

n

) < +

∞).

Uwaga 1.4.1. Przestrzeń (R, L, l) jest przestrzenią σ-skończoną, ale nie skończoną (patrz sekcja 1.8).
Składniki sumy, które występują w definicji przestrzeni σ-skończonej są postaci [k, k + 1]. Ogólnie każda
miara Lebesgue’a jest σ-skończona.

Zachodzi ogólny fakt. Jeśli w

R weźmiemy inną miarę, np. liczącą liczbę punktów, to zbiór R z tak

wybraną miarą nie jest ani przestrzenią skończoną, ani σ-skończoną.

Podstawy teorii miary, 2007

4

Krzysztof Rykaczewski

1.5

Zupełność

Definicja 1.5.1. Zbiór A nazywamy µ-zerowym, o ile istnieje zbiór mierzalny B taki, że A ⊂ B oraz
µ(B) = 0. O takich zbiorach mówi się, że są pomijalne.

Uwaga 1.5.1. Zauważmy, że zbiory µ-zerowe nie muszą być mierzalne. Jeśli w przestrzeni X wszystkie
zbiory µ-zerowe są mierzalne, to X nazywamy zupełną.

Każda przestrzeń z miarą może być rozszerzona do przestrzeni zupełnej biorąc zamiast M najmniej-

sze σ-ciało M

0

zawierające wszystkie elementy σ-ciała M i zbiory µ-zerowe. Dowodzi się, że wszystkie

elementy M

0

są postaci

A = B

M C := (B \ C) ∪ (C \ B),

(1.12)

gdzie B ∈ M oraz C jest zbiorem µ-zerowym.

Przyjmuje się wtedy, że µ(A) = µ(B). Zachodzi

Fakt 1.5.1. (Ćwiczenie) Trójka (X, M

0

, µ) jest przestrzenią z miarą zupełną, tzn.

1. M

0

jesy σ-algebrą,

2. µ jest miarą na (X, M

0

),

3. µ jest miarą zupełną.

1.6

Przykłady miar

Przykład 1.6.1. Przykłady miar:

1. Miara licząca elementy zbioru, tzn. µ(S) = #S.

2. Miara Lebesgue’a; jest jedyną przesuwalną miarą (tzn. µ(A + x) = µ(A) dla każdego A ∈ L oraz

x

∈ R) określoną na R taką, że µ [0, 1]

= 1.

3. Miara kąta; jest niezmiennicza ze względu na obrót o 2πk, dla k ∈

Z.

4. Miara Haara jest określona na lokalnie zwartych grupach topologicznych, ma podobną własność

jedyności co miara Lebesgue’a; mianowicie, jest to jedyna miara (z dokładnością do stałej multi-
plikatywnej), która jest niezmienna ze względu na lewe przesunięcia zbiorów borelowskich B(G) w
grupie G (najmniejszą σ-algebrę generowaną prze zbiory otwarte w G) oraz taka, że µ(U) > 0 jeśli
U jest niepusty. Oto szkic konstrukcji:

Twierdzenie 1.6.1. Niech G jest grupą topologiczną lokalnie zwartą. Istnieją wtedy miary µ, ν : B(G)

→

R taka, że

(a) (lewostronna niezienniczość) µ(l

g

B) = µ(B); gdzie g ∈ G, B ∈ B(G), l

g

: G

→ G oznacza

lewostronne przesunięcie, tzn. l

g

(h) = gh dla każdego h ∈ G,

(b) dla U ⊂ G - zbioru otwartego i niepustego mamy, że µ(U) > 0,

oraz

(a) (prawostronna niezienniczość) ν(r

g

B) = ν(B); gdzie g ∈ G, B ∈ B(G), r

g

: G

→ G oznacza

prawostronne przesunięcie (definicja analogiczna do lewostronnego przesunięcia),

(b) dla U ⊂ G - zbioru otwartego i niepustego mamy, że ν(U) > 0.

Następnie miarę tę przenosi się na klasę zbiorów zwartych za pomocą lematu:

Podstawy teorii miary, 2007

5

Krzysztof Rykaczewski

Lemat 1.6.1. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, a K(X) klasą wszystkich podzbiorów zwar-
tych w X oraz niech λ : K(X)

→ R będzie taka, że

(a) 0 ¬ λ(C) < +

∞,

(b) dla C ⊂ D mamy λ(C) ¬ λ(D),

(c) λ(C ∪ D) ¬ λ(C) + λ(D),

(d) C ∩ D = ∅, to λ(C ∪ D) = λ(C) + λ(D),

dla C, D ∈ K(X). Wtedy funkcja µ : B(X)

→ R zdefiniowana wzorem µ(B) := sup{λ(C) : C ⊂ B} dla

B

∈ B(X) jest miarą.

Pytanie jest więc tylko o określenie miary na zbiorach zwartych. To jest jednak inna bajka :-),

5. Miara probabilistyczna: niech Ω =

{w

1

, w

2

, . . .

}, oraz niech p

1

, p

2

, . . .

­ 0; wtedy

µ(A) :=

X

{i: w

i

∈A

}

p

i

, dla A ⊂ Ω,

(1.13)

jest miarą σ-skończoną.

6. Miara Diraca δ

a

(miara skupiona w jednym punkcie) jest określona wzorem: δ

a

(S) = χ

S

(a), gdzie

χ

S

jest funkcją charakterystyczną zbioru S. Miara ta jest równa 1, jeśli element a należy do zbioru

S, oraz 0 w przeciwnym przypadku.

7. Miara Jordana: Najpierw definiujemy miarę dowolnego prostokąta (standardowo). Dowodzi się póź-

niej, że każdy ograniczony podzbiór

R

2

można od zewnątrz i od wewnątrz przybliżać za pomocą

skończonej ilości prostokóątów.

Oznaczmy M(B) = inf

{µ

J

(N) : N

⊃ B, N — skończona rodzina prostokątów

}, m(B) = sup{µ

J

(N) :

N

⊂ B, N — skończona rodzina prostokątów

}, gdzie µ

j

to suma miar prostokątów z rodziny N.

Oczywiście M(B) ­ m(B). Liczby te nazywamy odpowiednio zewnętrzną i wewnętrzną miarą Jor-
dana zbioru B. Jeśli obie te miary pokrywają się, to mówimy, że zbiór ten jest mierzalny w sensie
Jordana.

Pytanie, które pojawia się od razu: czy każdy zbiór ograniczony na płaszczyznie jest mierzalny
w sensie Jordana? Odpowiedź jest negatywna. Istotnie, weźmy dowolny kwadrat. Podzielimy go
na cztery przystajźce kwadraty i usuńmy ich wszystkie wierzchołki. Następnie każdy z powsta-
łych kwadratów ponownie podzielimy na cztery przystające kwadraty i usuńmy ich wszystkie wierz-
chołki. Proces kontynuujmy. Zbiór który pozostanie oznaczmy przez A. Nietrudno zauważyć, że
m(A) = 0

6= 1 = M(A). A zatem zbiór A nie jest mierzalny w sensie Jordana.

Miara ta ma własność skończonej addytywności (ale nie σ-addytywności). Jako zadanie można
potraktować następujące

Podstawy teorii miary, 2007

6

Krzysztof Rykaczewski

Twierdzenie 1.6.2. Ograniczony podzbiór R

2

jest mierzalny w sensie Jordana wtedy i tylko wtedy,

gdy jego brzeg jest zborem miary 0 (w sensie Jordana).

1.7

Produkty miar

Załóżmy, że mamy układ przestrzeni mierzalnych (X

i

, M

i

), dla i = 1, . . . , n. Najmniejsze σ-ciało

podzbiorów produktu

Q

n
i=1

X

i

zawierające wszystkie zbiory A postaci

Q

n
i=1

A

i

, gdzie A

i

∈ M

i

, dla

i = 1, . . . , n, nazywamy produktem σ-ciał M

1

, . . . , M

n

i oznaczamy symbolem

n

O

i=1

M

i

lub M

1

⊗ . . . ⊗ M

n

.

(1.14)

Równoważna charkateryzacja tego σ-ciała jest taka, że jest to najmniejsze σ-ciało zaierające produkt

Q

n
i=1

M

i

.

Przykład 1.7.1. Jeśli B jest σ-ciałem zbiorów borelowskich na R, to B ⊗ B jest σ-ciałem zbiorów bore-
lowskich na płaszczyźnie

R

2

. Oznaczamy je czasem B

2

.

Twierdzenie 1.7.1. Jeśli M

i

jest σ-ciałem podzbiorów X

i

oraz µ

i

jest miarą określoną na tym σ-ciele,

dla i = 1, . . . , n, to istnieje jedna i tylko jedna miara µ określona na produkcie M

1

⊗ . . . ⊗ M

n

taka, że

µ(A

1

× . . . × A

n

) = µ

1

(A

1

)

· . . . · µ

n

(A

n

),

(1.15)

gdzie A

i

∈ M

i

, dla i = 1, . . . , n. Miarę tę nazywamy produktem miar µ

1

, . . . , µ

n

.

Uwaga 1.7.1. Ponieważ nie wszystkie elementy produktu σ-ciał są postaci

Q

n
i=1

A

i

, więc miara z tezy

powyższego twierdzenia nie musi być zupełna, jeśli nawet wszystkie miary µ

1

, . . . , µ

n

są!

1.8

Miara Lebesgue’a

Jednak, ze względu na to iż miara Jordana nie potrafi mierzyć zbiorów nawet tak prostych w swojej

budowie jak powyżej opisany „kwadrat z dziurami” musimy szukac „lepszej” funkcji. Wprowadzimy zatem
pojęcie miary Lebesgue’a, a następnie ściśle z nim związane pojęcie całki Lebesgue’a. Miara Lebesgue’a
będzie już mierzyła zbiory choćby tak proste w swojej budowie jak opisany powyżej „kwadrat z dziurami”,
czy wiekszość zbiorów nieograniczonych.

W tym celu określmy:

1. S =

{(a, b] : a < b, a, b ∈ R} ∪ {∅},

2. l

0

: S

→ R

+

wzorem l

0

(a, b]

:= b − a,

3. oraz l

∗

:

B

→ R

+

daną wzorem l

∗

(E) :=

inf

 P

∞
i=1

l

0

(a

i

, b

i

]

: E ⊂ S

∞
i=1

(a

i

, b

i

]

.

Widzieliśmy już w przykładzie 1.3.1, że jest to miara zewnętrzna. Korzystamy z twierdzenia Carath´

eodory’ego.

Definicja 1.8.1. Definiujemy miarę Lebesgue’a na R jako

l := l

∗

|

B

l∗

.

(1.16)

Zbiory L := B

l

∗

nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a.

Podstawy teorii miary, 2007

7

Krzysztof Rykaczewski

Uwaga 1.8.1. Wszystkie zbiory borelowskie są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a.

Przestrzeń (

R, B

l

∗

, l

∗

) jest uzupełnieniem przestrzeni (

R, B, l).

Uwaga 1.8.2. Istnieje zbiór mocy continuum i mierze Lebesgue’a równej zero (jest to zbiór C Cantora).
Stąd (skoro miara Lebesgue’a jest zupełna) każdy podzbiór C jest zbiorem miary zero. Tak więc zbiorów
mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest 2

c

.

Mamy natomiast B B

l

∗

!

Teraz mozna ponowić pytanie: czy każdy podzbiór płaszczyzny (niekoniecznie ograniczony) jest mierzal-

ny w sensie Lebesgue’a? Odpowiedź znowu jest negatywna, a przykładem może być chociażby zbiór V × V,
gdzie V to przedstawiony poniżej zbiór Vitaliego.

Przewaga miary Lebesgue’a nad miarą Jordana jest duża. Wspomniany powyżej i nie mierzalny w

sensie Lebesgue’a zbiór V × V, to zbiór, na który w normalnym uprawianiu matematyki raczej natknać
się nie można.

1.8.1

Miara Radona

Miara Lebesgue’a jest szczególnym rodzajem miary Radona, której podamy tu krótką definicję. Ogra-

niczymy się do przestrzeni

R

n

, choć rozważania bez trudu mogą być przeniesione do dowolnej przestrzeni

lokalnie zwartej.

Mówimy, że µ : M

→ [0, +∞) jest miarą Radona, jeśli spełnione są następujące warunki:

1. każdy zbiór zwarty K ma miarę skończoną (µ(K) <

∞),

2. dla każdego zbioru otwartego U zachodzi

µ(U) =

sup

{µ(K) : K ⊂ U, K - zwarty},

(1.17)

3. dla dowolnego zbioru E ∈ M zachodzi

µ(E) =

inf

{µ(U) : U ⊃ E, U - otwarty}.

(1.18)

1.9

Własności „prawie wszędzie”

W teorii miary i całki mówimy, ze pewna własność W zachodzi prawie wszędzie (µ-prawie wszędzie) na

zbiorze X, jeśli istnieje zbiór miary µ zero, o tej własności, że własność W zachodzi poza nim. Używamy
zapisu p.w. lub µ-p.w.

Przykład 1.9.1. Jeśli zbiór

{x ∈ X : f(x) = ±∞} ma miarę zero, to mówimy, że f jest prawie wszędzie

skończona.

Jeśli miara jest zupełna, to równoważnie można powiedzieć, że własność W zachodzi µ-prawie wszędzie

jeśli zbiór, dla którego ta własność nie zachodzi jest miary zero, tzn. µ

{x ∈ X : W(x) nie zachodzi}
= 0.

Podstawy teorii miary, 2007

8

Krzysztof Rykaczewski

1.10

Podstawy teorii całki (Lebesgue’a)

Niech M będzie σ-algebrą podzbiorów X. Funkcję f : X

→ R := R ∪ {−∞} ∪ {+∞} określamy jako

mierzalną, jeśli dla dowolnego α ∈

R zbiór {x ∈ X : f(x) > α} ∈ M.

Jeśli A ⊂ X i dla każdego α ∈

R zbiór

A

∩

{x ∈ X : f(x) > α}

(1.19)

jest mierzalny, to f jest mierzalna na zbiorze A.

Jeśli X =

R oraz M jest σ-ciałem podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, to funkcję mierzalną

nazywamy mierzalną w sensie Lebesgue’a.

Fakt 1.10.1. Funkcja f : X

→ R jest mierzalna wtedy i tylko tedy, gdy mierzalne są zbiory {x ∈ X : f(x) <

α

}, {x ∈ X : f(x) ­ α}, {x ∈ X : f(x) ¬ α}.

Fakt 1.10.2. Jeśli f : R

n

→ R

m

jest ciągła, to jest mierzalna.

Uwaga 1.10.1. W celu wprowadzenia pojęcia funkcji mierzalnej nie potrzebowaliśmy pojęcia miary, a
tylko jakąś skonkretyzowaną σ-algebrę.

Fakt 1.10.3. Jeśli f, g, f

n

: X

→ R są funkcjami mierzalnymi, to następujące funkcje są mierzalne:

1. f · g, w szczególności αf, dla α ∈

R,

2. f

+

:=

max

{f, 0}, f

−

:=

min

{f, 0}, |f|, f ∧ g := max{f, g}, f ∨ g := min{f, g},

3. f ± g,

4. sup

n

f

n

, inf

n

f

n

, lim sup

n

f

n

:=

lim

n

→∞

(

sup

k

­n

f

k

), lim inf

n

f

n

,

5. granica punktowa lim

n

f

n

(o ile istnieje).

Ćwiczenie 1.10.1. Udowodnić, że χ

A

jest funkcją mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem

mierzalnym.

Definicja 1.10.1. Funkcję postaci

P

n
k=1

α

k

χ

A

k

, gdzie α

k

oraz A

k

∈ M, nazywamy schodkową.

Zachodzi isteresujące

Twierdzenie 1.10.1. Każda funkcja mierzalna może być aproksymowana przez funkcje schodkowe; gdy
f

­ 0, to istnieje ściśle rosnący ciąg funkcji schodkowych nieujemnych zbieżny punktowo do f p.w.

1.10.1

Szczegóły konstrukcji

Niech X = (X, M, µ). W celu uproszczenia konstrukcji zakładamy, że miara µ jest zupełna. Całkę

R

X

f dµ definiujemy za pomocą tzw. indukcji mierzalnej:

1. Jeśli funkcja f jest schodkowa oraz f =

P

n
k=1

α

k

χ

A

k

, to definiujemy

Z

X

f dµ :=

n

X

k=1

α

k

µ(A

k

).

(1.20)

Podstawy teorii miary, 2007

9

Krzysztof Rykaczewski

2. Jeśli f : X

→ R

+

, to z definicji

Z

X

f dµ :=

sup

Z

X

g dµ : g jest schodkowa oraz 0 ¬ g ¬ f



.

(1.21)

3. Ogólnie

Z

X

f dµ :=

Z

X

f

+

dµ +

Z

X

f

−

dµ,

(1.22)

przy czym w przypadku wyrażenia

∞ − ∞ mówimy, że f nie jest całkowalna w sensie Lebesgue’a.

4. Funkcję o wartościach zespolonych f + ig określamy mianem mierzalnej, jeżeli obydwie funkcje f i

g są mierzalne. Jeśli f = g + ih przyjmuje wartości zespolone, to określamy całkę jako

R

X

f dµ :=

R

X

g dµ + i

R

X

h dµ.

Uwaga 1.10.2. Jeśli A ⊂ X, to całka

R

A

f dµ jest równa

R

X

fχ

A

dµ.

Definicja 1.10.2. Funkcję f : X

→ R nazywamy całkowalną, jeśli

R

|f| dµ < ∞.

Twierdzenie 1.10.2. Niech (X, M, µ) będzie przestrzenią mierzalną, a f, g : X

→ R będą funkcjami

mierzalnymi oraz α, β ∈

R, to:

1. jeśli f jest całkowalna, to jest prawie wszędzie skończona, tzn. µ

{x ∈ X : |f(x)| = +∞}
= 0,

2. jeśli f jest całkowalna, to

|

R

f dµ

| ¬

R

|f| dµ,

3. jeśli f jest całkowalna i f ­ 0, to

R

f dµ

­ 0,

4. jeśli 0 ¬ g(x) ¬ f(x), dla każdego x ∈ X, oraz f jest całkowalna, to g jest całkowalna oraz

R

g dµ

¬

R

f dµ,

5. jeśli f i g są całkowalne, to αf+βg jest całkowalna oraz zachodzi

R

(αf+βg) dµ = α

R

f dµ+β

R

g dµ,

6. jeśli f i g są całkowalne oraz dla każdego A ∈ M zachodzi

R

A

f dµ =

R

A

g dµ, to f = g µ-p.w. na

X.

1.10.2

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

Niech będzie dany przedział (a, b), gdzie −

∞ ¬ a < b ¬ ∞. Niech M = {S

n
i=1

(c

i

, d

i

] : a

¬ c

i

<

b, a < d

i

< b, 1

¬ n ¬

∞} oraz niech B będzie rodzina zbiorów borelowskich na (a, b).

Niech g będzie mierzalną w sensie Borela funkcją określoną na

R, prawostronnie ciągłą, niemalejącą i

posiadającą granicę lewostronną g(x−) w każdym punkcie x ∈

R. Na M definiujemy nową miarę wzorem

µ

g

(c, d]

= g(d) − g(c),

(1.23)

jeśli zaś (c

i

, d

i

]

∩ (c

j

, d

j

] = ∅, dla i 6= j, i, j ∈ N, to

µ

g

n

[

i=1

(c

i

, d

i

]

!

=

n

X

i=1

µ

g

(c

i

, d

i

]

(1.24)

Następnie tak określoną miarę (dzieki temu, że rodzina przedziałów postai (a, b] generuje B) rozszerza
się na σ-ciało zbiorów borelowskich.

Tak określoną miarę nazywamy miarą Lebesgue’a-Stieltjesa.

Ćwiczenie 1.10.2. Własności miary Lebesgue’a-Stieltjesa:

Podstawy teorii miary, 2007

10

Krzysztof Rykaczewski

1. µ

g

{τ}
= g(τ) − g(τ−),

2. µ

g

[c, d]

= g(d) − g(c−),

3. µ

g

[c, d)

= g(d−) − g(c−),

4. µ

g

(c, d)

= g(d−) − g(c).

Jeśli f jest funkcją borelowską określoną na zbiorze borelowskim, to całkę Lebesgue’a-Stieltjesa funkcji

f względem funkcji g określamy wzorem

Z

E

f(x) dg(x) =

Z

E

f(x) dµ

g

(x),

(1.25)

gdzie po prawej stronie stoi całka Lebesgue’a względem miary µ

g

.

Ponieważ składnik

R

E

f(x) dµ

g

(x) jest w istocie zwykłą całka Lebesgue’a względem miary µ

g

, to całka

ta posiada zwykłe własności całki. Ponadto zwrócmy uwagę na ciekawe

Twierdzenie 1.10.3. Jeśli g jest funkcją absolutnie ciągłą, to

Z

E

f(x) dg(x) =

Z

E

f(x)g

0

(x) dx.

(1.26)

1.10.3

Związek całki Riemanna oraz całki Lebesgue’a

Przykład 1.10.1. Rozważmy funkcję f : [0, 1]

→ R zadaną w następujący sposób

f(x) =



1, gdy x ∈

Q ∩ [0, 1],

0, gdy x ∈ (

R \ Q) ∩ [0, 1].

(1.27)

Przypomnijmy sobie w tym miejscu definicję całki Riemanna. Jeśli policzymy górną oraz dolną sumę,
to nigdy one nie będą sobie równe. Dlatego całka Riemanna tej funkcji nie istnieje. Całka Lebesgue’a
natomiast istnieje! Policzmy ją zatem!

Z

[0,1]

f dµ =

Z

[0,1]

∩Q

f dµ +

Z

[0,1]

∩Q

C

f dµ = 0 + 0 = 0.

(1.28)

Zachodzi natomiast następujące

Twierdzenie 1.10.4. Jeśli istnieje całka Riemanna z funkcji f na zbiorze E ⊂ R

n

, to istnieje całka

Lebesgue’a z tej funkcji na tym zbiorze i są one sobie równe.

Dlatego na oznaczenie całki Lebesgue’a używamy tego samego symbolu co dla całki Riemanna.

1.10.4

Twierdzenia o zbieżności

Twierdzenie 1.10.5. Dla całki Lebesgue’a mamy

1. (Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech



f

k

: X

→ R

+

:= [0, +

∞)

k

∈N

będzie

ciągiem niemalejącym, tzn.

f

k

(x)

¬ f

k+1

(x)

dla każdego k ∈

N oraz dla każdego x ∈ E.

(1.29)

Wtedy

lim

k

Z

f

k

dµ =

Z

lim

k

f

k

dµ =

Z

sup

k

f

k

dµ.

(1.30)

Podstawy teorii miary, 2007

11

Krzysztof Rykaczewski

2. (Lemat Fatou) Jeśli

{f

k

: X

→ R

+

}

k

∈N

jest dowolnym ciągiem, to

Z

lim inf

k

f

k

dµ

¬ lim inf

k

Z

f

k

dµ.

(1.31)

3. (Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej) Jeśli

{f

k

}

k

∈N

jest ciągiem funkcji mierzal-

nych z granicą punktową f (przypomnijmy, że wtedy f też jest mierzalna) oraz jeśli istnieje całko-
walna w sensie Lebesgue’a funkcja g taka, że

|f

k

| ¬ g dla każdego k ∈ N, to f jest całkowalna w

sensie Lebesgue’a oraz

lim

k

Z

f

k

dµ =

Z

lim

k

f

k

dµ =

Z

f dµ.

(1.32)

4. Jeśli

{f

k

: X

→ R

+

}

k

∈N

są funkcjami mierzalnymi, to

Z

∞

X

n=1

f

n

dµ =

∞

X

n=1

Z

f

n

dµ.

(1.33)

1.10.5

Twierdzenie Radona-Nikodyma

Przykład 1.10.2. Zauważmy, że jeśli f ­ 0, to funkcja zbioru M 3 A 7

→

R

A

f dµ

∈ [0, +

∞) jest miarą.

Interesujący fakt (twierdzenie odwrotne do powyższego) został udowodnony przez Johanna Radona i

Otto Nikodyma w 1930 roku.

Twierdzenie 1.10.6. (Radona-Nikodyma) Niech (X, M, µ) będzie przestrzenią z miarą oraz µ będzie
miarą σ-skończoną. Przypuśćmy, że ν : M

→ [0, ∞] jest miarą absolutnie ciągłą względem µ (tzn. jeśli

µ(A) = 0, to również ν(A) = 0 dla A ∈ M). Wówczas istnieje funkcja mierzalna f : X

→ [0, ∞) taka, że

ν(A) =

Z

A

f dµ,

(1.34)

dla każdego A ∈ M.

Uwaga 1.10.3. Twierdzenie to jest bardzo ważne w teorii prawdopodobieństwa (np. w definicji warun-
kowej wartości oczekiwanej) oraz w analizie matematycznej (np. przy dowodzeniu Twierdzenia Lapunova
o miarach wektorowych oraz zasady bang-bang).

1.11

Zbiory niemierzalne

Okazuje się, że nie wszystkie podzbiory

R są mierzalne w sensie Lebesgue’a. Przykładem takiego zbioru

jest zbiór Vitaliego. Zbiory niemierzalne pojawiają się także w paradoksie Banacha-Tarskiego. Wszystkie
podane konstrukcje bazują na pewniku wyboru lub innych równoważnych mu aksjomatach.

1.11.1

Zbiór Giuseppe Vitaliego — konstrukcja

W zbiorze liczb rzeczywistych z odcinka [0, 1] określamy relację równoważności następująco:

x ∼ y wtedy i tylko wtedy, gdy x − y jest liczbą wymierną.

(1.35)

Podstawy teorii miary, 2007

12

Krzysztof Rykaczewski

Klasy abstrakcji [x] =

{y ∈ [0, 1] : x ∼ y} tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0, 1]. Na mocy

aksjomatu wyboru istnieje zbiór V, który ma po jednym elemencie wspólnym z każdą klasą abstrakcji
(v ∩ [x] jest jednoelementowy). Zbiór V nazywamy zbiorem Vitaliego. Dowodzi się, że zbiór Vitaliego jest
niemierzalny w sensie Lebesgue’a.

Istotnie, załóżmy, że jest on mierzalny. Uporządkujmy liczby wymierne z odcinka [−1, 1] w ciąg

q

1

, q

2

, . . .. Zauważmy, że V

k

= V + q

k

są rozłączne oraz przystające w sensie relacji ∼. Ponadto niech

x

∈ [0, 1] oraz v będzie reprezentantem klasy [x]. Wtedy q = x − v ∈ Q, czyli q = q

i

dla pewnego i. Stąd

x

∈ V

i

, czyli [0, 1] ⊂

S

∞
i=1

V

i

. Ponadto

S

∞
i=1

V

i

⊂ [−1, 2].

Zauważmy, że wtedy

1

¬ µ

[

k

V

k

!

¬ 3,

(1.36)

skąd µ (

S

k

V

k

) =

P

∞
k=1

µ(V

k

) =

P

∞
k=1

µ(V) = +

∞, ponieważ wszystkie zbiory były przestające.

Sprzeczność.

1.11.2

Paradoks Banacha-Tarskiego

Znani polscy matematycy Stefan Banach oraz Alfred Tarski udowodnili w 1924 roku słynne dziś twier-

dzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli. Twierdzenie to mówi, że kulę da się pociąć na skończoną liczbę
części (wystarczy 5!), przy pomocy których używając wyłącznie obrotów i translacji można złożyć dwie
kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.

W twierdzeniu nie pojawia się jednak sprzeczność, ponieważ zbiory, które się „konstruuje” nie są

mierzalne, więc nie można argumentować „za” lub „przeciw” temu twierdzeniu za pomocą teorii miary.

1.11.3

Inny zbiór niemierzalny

Pewną wariację konstrukcji Vitaliego można znaleźć w książce [

7

].

Poniższa konstrukcja bazuje na konstrukcji zbioru Vitaliego. Niech S będzie okręgiem. Ustalmy na nim

jeden punkt; oznaczmy go przez 0. Dowolny punkt b na S wyznaczony jest przez jego kąt od punktu 0
(orientacja dodatnia to ta przeciwna do kierunku ruchu wskazówek zegara). Powiemy, że punkty a i b
tego samego typu jeśli (a − b)/π jest liczbą wymierną. Okrąg zostanie podzielony na nieprzeliczanie wiele
zbiorów (klas abstrakcji względem tej relacji). Kolejnym etapem konstrukcji jest wybranie z każdego z
tych zbiorów po jednym punkcie (operacja ilorazowa). Zbiór ten nazwiemy E

0

. Ustalmy pewną numerację

zbioru

Q ∩ [0, 2π) = {w

1

, w

2

, . . .

}. Oznaczmy przez E

k

zbiór E

0

obrócony o kąt w

k

. Zbiory

{E

n

}

∞

n=1

są

przystające (obrót o w

l

− w

k

przeprowadza E

k

na E

l

). Ponadto zbiory te są rozłączne, ponieważ jeśli

x

∈ E

i

∩ E

j

= (E

0

+ w

i

)

∩ (E

0

+ w

j

),

(1.37)

dla i 6= j to x = u

1

+ w

i

= u

2

+ w

j

, czyli u

1

− u

2

= w

j

− w

i

∈ Q. Stąd u

1

oraz u

2

są tego samego typu.

Stąd u

1

= u

2

, czyli w

i

= w

j

.

Ponadto zbiory E

n

dają cały okrąg. Gdyby zbiory te byłyby mierzalne, to prowadziłoby to do sprzecz-

ności, podobnie jak w zbiorze Vitaliego.

Przykład 1.11.1. Weźmy dowolny zbiór niemierzalny B. Rozważmy funkcję f : R → R zadaną wzorem:

f(x) =



1, gdy x ∈ B,

−1, gdy x ∈

R \ B.

(1.38)

Zauważmy teraz, że tak określona funkcja nie jest mierzalna (ćwiczenie). Natomiast f

2

jest mierzalna!

Podstawy teorii miary, 2007

13

Krzysztof Rykaczewski

1.12

Rozszerzenia pojęcia miary

Ze względu na zastosowania rozważa się czasem miary, które przyjmują wartości w zbiorze

R lub C.

Istnieją także miary o wartościach w przestrzeniach Banacha.

1.12.1

Miary rzeczywiste

Niech (X, M) będzie, jak zwykle, przestrzenią mierzalną z σ-ciałem M.

Definicja 1.12.1. Miarą rzeczywistą nazywamy σ-addytywną funkcję µ : M

→ R taką, że µ(∅) = 0.

Dla A ∈ M określmy

|µ|(A) = inf



∞

X

n=1

|µ(A

n

)

| : A =

∞

[

n=1

A

n

, oraz A

i

∩ A

j

= ∅



.

(1.39)

Skoro szereg

P

∞
n=1

µ(A

n

) był bezwzględnie zbieżny, to definicja ta jest poprawna.

Definicja 1.12.2. Funkcję

|µ|: M → R nazywamy wariacją miary µ.

Fakt 1.12.1. Wariancja jest skończoną miarą rzeczywistą na M oraz zachodzi

|µ(A)| ¬ |µ|(A).

Definicja 1.12.3. Mówimy, że miara µ jest bezatomowa, o ile dla każdego A ∈ M takiego, że

|µ|(A) > 0

istnieje B ∈ M taki, że 0 <

|µ|(B) < |µ|(A).

Twierdzenie Hahna

Można pokazać, że

|µ| = µ

+

+ µ

−

, gdzie

µ

+

(A) :=

sup

{µ(B) : B ∈ M, B ⊂ A},

(1.40)

µ

−

(A) := −

inf

{µ(B) : B ∈ M, B ⊃ A}

(1.41)

są skończonymi miarami (nieujemnymi). Ponadto zachodzi ciekawe

Twierdzenie 1.12.1. (Hahna) Jeśli (X, M) jest przestrzenią mierzalną oraz µ określoną na niej miarą
rzeczywistą, to istnieją dwa rozłączne zbiory mierzalne X

+

oraz X

−

takie, że

µ

+

(A) = µ(A

∩ X

+

),

(1.42)

µ

−

(A) = −µ(A

∩ X

−

).

(1.43)

Parę (µ

+

, µ

−

) nazywą się dekompozycją (rozkładem) Jordana miary µ.

Dla dowolnej funkcji rzeczywistej f łatwo sprawdzić, że λ(A) =

R

A

f dµ jest miarą rzeczywistą. Mamy

ponadto

λ

±

(A) =

R

A

f

±

dµ,

|λ|(A) =

R

A

|f| dµ,

(1.44)

gdzie f

+

, f

−

to część dodatnia i ujemna funkcji f, odpowiednio.

Podstawy teorii miary, 2007

14

Krzysztof Rykaczewski

Twierdznie Lapunova dla miar wektorowych

Twierdzenie 1.12.2. (Lapunova) Niech µ

1

, . . . , µ

n

będą rzeczywistymi miarami bezatomowymi na σ-

ciele M. Wówczas funkcja µ : M

→ R

n

dana wzorem

µ(A) = µ

1

(A), . . . , µ

n

(A)

,

dla A ∈ M,

(1.45)

ma zwarty i wypukły zbiór wartości.

1.12.2

Miary zespolone

Definicja 1.12.4. Miarą zespoloną na przestrzeni mierzalnej (X, M) nazywamy funkcję µ : M

→ C taką,

że

1. µ(∅) = 0,

2. jest σ-addytywna, tzn. dla przeliczalnej rodziny rozłącznych zbiorów E

1

, E

2

, E

3

, . . .

∈ M (czyli E

i

∩

E

j

= ∅ dla i 6= j) mamy

µ

∞

[

i=1

E

i

!

=

∞

X

i=1

µ(E

i

).

(1.46)

Całkowanie ze względu na miarę zespoloną

Miarę µ : M

→ C można (jak każdą funkcję o wartościach zespolonych) przedstawić w postaci µ =

µ

1

+ iµ

2

. Składniki te nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą oraz zespoloną miary µ. Stosując

rozkład Jordana do tych miar otrzymujemy

µ

1

= µ

+
1

+ µ

−
1

,

µ

2

= µ

+
2

+ µ

−
2

.

(1.47)

Definicja 1.12.5.

1. Mając funkcję f : X

→ R o wartościach rzeczywistych definiujemy

Z

X

f dµ :=

Z

X

f dµ

+
1

−

Z

X

f dµ

−
1



+ i

Z

X

f dµ

+
2

−

Z

X

f dµ

−
2



.

(1.48)

2. Jeśli f : X

→ C, to definiujemy

Z

X

f dµ :=

Z

X

<(f) dµ + i

Z

X

=(f) dµ,

(1.49)

gdzie

<(f) i =(f) to część rzeczywista i zespolona funkcji f, odpowiednio.

1.12.3

Miary spektralne

Miara spektralna — w analizie funkcjonalnej, przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona

na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych
pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John
von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.

Podstawy teorii miary, 2007

15

Krzysztof Rykaczewski

Definicja 1.12.6. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, M σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Da-
lej, niech

H, (

·

|·)
będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech L(H) oznacza przestrzeń operatorów

liniowych i ciągłych na przestrzeni H.

Funkcję E : M

→ L(H) nazywamy miarą spektralną na przestrzeni X, o ile:

1. E(B) jest operatorem rzutowym dla B ∈ M.

2. E(X) = I,

3. E(B

1

∩ B

2

) = E(B

1

)

◦ E(B

2

), B

1

, B

2

∈ M,

4. Dla każdego x ∈ H funkcja B 7

→ E(B)x, B ∈ M, jest σ-addytywną miarą wektorową.

Własności

• Gdy B

1

, B

2

∈ M oraz B

1

⊆ B

2

, to E(B

1

)

6 E(B

2

) w sensie (E(B

1

)h

|h) 6 (E(B

2

)h

|h), h ∈ H.

Ponieważ kE(B

1

)h

k

2

= (E(B

1

)h

|h), więc z powyższego wynika, że E(B

1

)H

⊆ E(B

2

)H - operator

E(B

1

) rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni E(B

2

)H.

• Jeżeli h, k ∈ H oraz B ∈ M, to równość E

h,k

(B) := (E(B)h

|k) określa przeliczalnie addytywną miarę

wektorową o wahaniu ograniczonym przez khkkkk.

Podstawy teorii miary, 2007

16

BIBLIOGRAFIA

[1] Poradnik inżyniera, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa 1970

[2] Atlas matematyki, Prószyński i S-ka, 2003

[3] J. Muszyński Teoria całki. Miara i całka, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1990

[4] F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydanie trzynaste, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,

1976

[5] Nowoczesne Kompendium Matematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004

[6] Leksykon matematyczny, Wiedza Powszechna, 1993

[7] J. Jakubowski, R. Sztencel Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, Script

[8] W. Kryszewski Teoria sterowania. Skrypt

[9] T. J. Jech The Axiom of Choice, American Elsevier Pub. Co., New York, 1973

[10]

Wikipedia - The Free Encyclopedia

17

SKOROWIDZ

σ-algebra zbiorów borelowskich, 2

funkcja całkowalna w sensie Lebesgue’a, 9

całka Lebesgue’a-Stieltjesa, 9
caiło zbiorów, 2

funckcja mierzalna w sensie Lebesgue’a, 8

indukcja mierzalna, 8

lemat Fatou, 11
lewostronna niezienniczość, 5

miara, 2
miara absolutnie ciągła, 11
miara bezatomowa, 13
miara Diraca, 6
miara Haara, 5
miara Jordana, 6
miara kąta, 5
miara Lebesgue’a, 6
miara licząca, 5
miara probabilistyczna, 2
miara Radona, 7
miara rzeczywista, 13
miara unormowana, 2
miara zespolona, 14
miara zewnętrzna, 3

paradoks Banacha-Tarskiego, 12
pewnik wyboru, 11
prawie wszędzie, 7
prawostronna niezienniczość, 5
produkt σ-ciał, 6

produkt miar, 6
przestrzeń σ-skończona, 4
przestrzeń mierzalna, 2
przestrzeń nieskończona, 4
przestrzeń probabilistyczna, 2
przestrzeń skończona, 4
przestrzeń z miarą, 2
przestrzeń zupełna, 4

rozkład Jordana miary, 13

twierdzenie Caratheodory’ego, 3
twierdzenie Hahna, 13
twierdzenie Lapunova, 14
twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej,

10

twierdzenie Radona-Nikodyma, 11

wariacja miary, 13
warunkowa wartość oczekiwana, 11
wewnętrzna miara Jordana, 6
wierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowa-

nej, 11

zasada bang-bang, 11
zbiór µ-zerowy, 4
zbiór Vitaliego, 11
zbiory mierzalne, 2
zewnętrzna miara Jordana, 6

18