1

DRZEWA DECYZYJNE

1. Wprowadzenie

Rozważmy sytuację w której decydent podejmuje działania, których wynik zależy od okoliczności od
niego niezależnych, ale na których wyniki może reagować podejmując kolejne działania.

Powiemy wówczas, że decydent podejmuje decyzje sekwencyjne w warunkach niepewności.

Proces podejmowania decyzji sekwencyjnych wygodnie jest przedstawić w postaci drzewa
decyzyjnego.

W drzewie wyróżniamy :

- węzły decyzyjne (kwadraty) reprezentujące decyzje,
- wierzchołki (kółka) reprezentujące zdarzenia losowe.

Łuki wychodzące z węzłów decyzyjnych będziemy utożsamiać z podjętymi decyzjami, a łuki
wychodzące z wierzchołków odpowiadających zdarzeniom losowym z wynikami jakie wystąpią w
przypadku zajścia zdarzeń losowych wpływających na proces decyzyjny (wynik podjętej decyzji).

Pod łukami będziemy umieszczać prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia, któremu odpowiada

dany łuk, wewnątrz wierzchołków – wypłaty, które uzyskujemy w kolejnych etapach procesu
decyzyjnego.

2. Przykład

Poszukiwacz ropy musi podjąć decyzję, czy rozpocząć wiercenie szybu naftowego w pewnym miejscu
przed wygaśnięciem licencji na wykonywanie odwiertów.

Koszt wiercenia wynosi 200 tys. dol., całkowite zyski (bez uwzględnienia kosztów wierceń) w

przypadku natrafienia na ropę – 800 tys. dol. Prawdopodobieństwo natrafienia na ropę jest równe 0,4.

1. Decyzja o podjęciu wierceń jest pozytywna, jeżeli oczekiwany zysk związany z podjęciem decyzji

jest dodatni.

2. Jeżeli decyzja jest podejmowana wielokrotnie, to wybór kryterium maksymalizacji oczekiwanego

zysku jest w pełni uzasadniony.

3. Prawdopodobieństwo natrafienia na ropę oszacowano na podstawie danych historycznych.

wiercić

0,4

0,6

nie wiercić

sukces

porażka

600

120

0

-200

120

Drzewo decyzyjne problemu wyboru strategii wierceń

J. Marcinkowski Badania operacyjne

2

3. Problem kosztów zakupu dodatkowej informacji

Powiedzmy, że przed dokonaniem odwiertu możemy przeprowadzić test sejsmiczny pozwalający na
bardziej precyzyjną ocenę warunków geologicznych działki. Test ten pozwala z większą dokładnością
odpowiedzieć na pytanie, czy trafimy na ropę. Oznacza to zwiększenie prawdopodobieństwa trafienia
i zmniejszenie prawdopodobieństwa nietrafienia na ropę – a więc zwiększenie wartości oczekiwanej
wypłaty (zysku). Przeprowadzenie testu wiąże się z poniesieniem dodatkowych kosztów. Kiedy warto
je ponieść?

Przykład (cd)

W tabeli zawarto zestawienie wyników poszukiwań ropy na 100 działkach o cechach geologicznych
zbliżonych do rozpatrywanej działki.

Wyniki testu sejsmicznego

Występowanie złóż

Tak (H

1

)

Nie (H

2

)

Ogółem

Pozytywne (A)

30

20

50

Negatywne (B)

10

40

50

Wyniki
testu

Ogółem

40

60

100

Na podstawie danych historycznych szacujemy prawdopodobieństwa a posteriori.

Oznaczmy przez

-

1

H – zdarzenie polegające na natrafienie na złoże,

-

2

H – zdarzenie polegające na nie trafienie na złoże,

-

A – pozytywny wynik testu,

-

B – negatywny wynik testu.

)

/

(

1

A

H

P

= 30/50 = 0.6 (prawdopodobieństwo natrafienia na złoże w przypadku pozytywnego wyniku

testu).

)

/

(

1

B

H

P

= 10/50 = 0.2 prawdopodobieństwo natrafienia na złoże w przypadku negatywnego wyniku

testu).

)

/

(

2

A

H

P

= 20/50 = 0.4 (prawdopodobieństwo nie natrafienia na złoże w przypadku pozytywnego

wyniku testu).

)

/

(

2

B

H

P

= 40/50 = 0.8 (prawdopodobieństwo nie natrafienia na złoże w przypadku negatywnego

wyniku testu.

Prawdopodobieństwa, że test skończy się wynikiem pozytywnym bądź negatywnym, tj.

)

(A

P

i

)

(B

P

,

są równe 1/2.

J. Marcinkowski Badania operacyjne

3

Różnica pomiędzy oczekiwanym zyskiem w przypadku możliwości dokonywania testu i braku takiej
możliwości jest równe maksymalnej cenie, jaką warto zapłacić za przeprowadzenie testu
sejsmicznego.

4. Możliwości i ograniczenia wykorzystywania drzew decyzyjnych w modelowaniu procesu

decyzyjnego

1. Ocena decyzji powinna następować na podstawie informacji, którą rozporządzał decydent w

momencie jej podejmowania, a nie tej, która jest dostępna w momencie dokonywania oceny.
Jeżeli np. po dokonaniu odwiertu okazało się, że nie natrafiono na ropę (zysk równy –200), to nie
znaczy, że nie należało podejmować wierceń (zysk byłby równy 0). Podobnie dobry wynik wcale
nie oznacza, że podjęto właściwą decyzje.

2. Możliwości efektywnego zastosowania metody zależą od kosztu i możliwości pozyskania danych

– tj. prawdopodobieństw oraz kosztów i zysków wyrażonych w wartościach pieniężnych.
Najlepiej korzystać z prawdopodobieństw szacowanych na podstawie częstotliwości
występowania danej sytuacji w przeszłości. W ten sposób oszacowano prawdopodobieństwa
natrafienia lub nie natrafienia na ropę.

3. Jeżeli nie możemy wyznaczyć prawdopodobieństw na podstawie danych historycznych,

wykorzystuje się prawdopodobieństwa subiektywne.

4. Problem niedokładności danych można częściowo rozwiązać przeprowadzając analizę

wrażliwości w celu wyznaczenia wrażliwości wartości oczekiwanej i rozwiązania (optymalnej
ścieżki w grafie) na wartości parametrów.

5. Dodatkowa informacja jest przydatna, jeżeli zwiększa ona wartość oczekiwaną i jest dostępna

przed podjęciem decyzji.

wiercić

0,4

0,6

nie wiercić

wynik pozytywny

0,5

test

0,6

wynik negatywny

0,5

0,2

0,8

nie wiercić

wiercić

nie wiercić

ropa

brak ropy

brak ropy

ropa 0,4

wiercić

Drzewo decyzyjne problemu wyboru strategii wierceń

Drzewo decyzyjne problemu pozyskania dodatkowej informacji

Drzewa decyzyjne

porażka

sukces

140

280

0

0

280

-40

0

600

-200

600

-200

0

600

120

0

-200

120