Twierdzenie

Superpozycja przebiegów harmonicznych jest przebiegiem
harmonicznym.

Jeżeli

u

i

(t) = U

i

sin (

ωt + α

i

)

to wtedy

1

( )

n

i

i

u t

=

=

∑

U sin (

ωt + α ) (*)

Dowód:

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej

sin(

α+β) = sinαcosβ + sinβcosα

Prawa strona równania

(*)

równa się

1

1

cos

sin

sin

cos

n

n

i

i

i

i

i

i

U

t

U

t

α

ω

α

ω

=

=









+

















∑

∑

natomiast lewa strona równania

(*)

równa

się

cos

sin

sin

cos

U

t

t U

t

t

α

ω

α

ω

+

zatem

1

cos

cos

n

i

i

i

U

U

α

α

=

=

∑

1

sin

sin

n

i

i

i

U

U

α

α

=

=

∑

Podnosząc oba równania do kwadratu i dodając stronami otrzymamy

2

2

1

1

cos

sin

n

n

i

i

i

i

i

i

U

U

U

α

α

=

=









+















=



∑

∑

natomiast dzieląc drugie równanie przez pierwsze otrzymamy

1

1

1

sin

cos

n

i

i

i

n

i

i

i

U

tg

U

α

α

α

−

=

=























=



∑

∑

cbdo.