Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej a jest liczba ∣a∣ spełniająca równości:
∣
a∣=a gdy a≥0
∣
a∣=−a gdy a0
Przykłady:
5
2
=
5 gdy ab ,
−
5
2
=−−
5=5 gdy ab
a−b
2
=∣
a−b∣=a−b gdy ab ,
a−b
2
=∣
a−b∣=−a−b=b−a gdy ab
Logarytm o podstawie a liczby dodatniej b to wykładnik c potęgi, do której należy podnieść a, aby
otrzymać liczbę b:
log
a
b=c ⇔ a
c
=
b
Liczbę b nazywa się liczbą logarytmowaną. Zakłada się, że a i b są liczbami dodatnimi oraz
a≠1 . Z określenia logarytmu natychmiast wynika, że potęga o podstawie a i wykładniku
log
a
b
jest równa b:
a
log
a
b
=
b
Zapis bez indeksu log a nie jest jednoznaczny. W różnych dziedzinach może oznaczać logarytm
naturalny, dziesiętny lub binarny. Dlatego, gdy podstawa nie wynika z kontekstu użycia, należy
używać zapisu jednoznacznego:
●
logarytm dziesiętny - log
10
x=log x
●
logarytm naturalny - log
e
x=ln x
●
logarytm binarny -
log
2
x=lg x
●
logarytm o podstawie a - log
a
x
Prawa działań na logarytmach wynikają z praw dotyczących wyrażeń potęgowych:
●
logarytm jedności równa się zero:
log
a
1=0
●
logarytm podstawy logarytmu równa się jedności:
log
a
a=1
●
logarytm iloczynu dwóch lub kilku czynników równa się sumie logarytmów
poszczególnych czynników:
log
a
b⋅c=log
a
blog
a
c
●
logarytm ilorazu dwóch liczb równa się różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika:
log
a
b
c
=
log
a
b−log
a
c
●
logarytm liczby w danej potędze równa się iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu tej
liczby:
log
a
b
c
=
c⋅log
a
b
log
a
n
b
c
=
c
n
⋅
log
a
b
●
logarytm o podstawie w formie potęgowej
a
c
równa się iloczynowi odwrotności potęgi c i
logarytmowi o podstawie a:
log
a
c
b=
1
c
⋅
log
a
b
Zależności między logarytmami o różnych podstawach:
●
iloraz logarytmów dwóch liczb b, a przy jednakowej podstawie c równa się logarytmowi
pierwszej liczby b przy podstawie równej drugiej liczbie a:
log
c
b
log
c
a
=
log
a
b
●
jeśli jedna liczba logarytmowana jest równa podstawie logarytmu drugiej liczby
logarytmowanej i odwrotnie, to iloczyn tych liczb równa się jedności:
