mgr Grzegorz Kusztelak
Granice ciągów - przykłady
PRZYKA
AD 1
Oblicz granice ciÄ…gu:
n
lim 3n + 5n
n"
RozwiÄ…zanie:
Korzystamy z twierdzenia o trzech ciągach. W tym celu szacujemy nasz ciąg odpowiednio z dołu i z góry:
n n n
5n d" 3n + 5n d" 5n + 5n
n n
5 d" 3n + 5n d" 2 Å" 5n
n
n
5 d" 3n + 5n d" 5 Å" 2
55
Powyższe granice są równe 5 ponieważ:
lim 5 = 5 (jako granica ciągu stałego)
n"
n n
lim(5 Å" 2) = 5 lim(Å"n 2) = 5 Å"1 = 5 (korzystamy tutaj z wÅ‚asnoÅ›ci: lim a =1)
n" n" n"
Ponieważ granice ciągów szacujących nasz ciąg odpowiednio z góry i z dołu są równe 5,
więc granica naszego ("środkowego") ciągu również jest równa 5
Co zapisujemy:
n
lim 3n + 5n = 5
n"
================================================
mgr Grzegorz Kusztelak
PRZYKA
AD 2
Oblicz granice ciÄ…gu:
2n
1
ìÅ‚ ÷Å‚
limëÅ‚1- öÅ‚
n
n" íÅ‚ Å‚Å‚
RozwiÄ…zanie:
"
Zauważmy, że podstawiając za n nieskończoność uzyskujemy symbol nieoznaczony
1
Korzystamy zatem z własności:
an
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
limìÅ‚1 + = e
n"
an ÷Å‚ o ile tylko granica ciÄ…gu an wystÄ™pujÄ…cego w mianowniku i w wykÅ‚adniku jest równa
íÅ‚ Å‚Å‚
nieskończoności (e oznacza tutaj tzw. stałą Eulera e H" 2.72 Jest to liczba niewymierna).
U nas jest:
2n
1
ìÅ‚ ÷Å‚
=| przekształcamy tę granicę tak, aby w nawiasie było JEDEN PLUS JEDEN PRZEZ JAKIŚ CI
G | =
limëÅ‚1- öÅ‚
n
n" íÅ‚ Å‚Å‚
2n
1
ìÅ‚ ÷Å‚
= | ten sam ciąg (ten z mianownika) ma wystąpić w wykładniku poza nawiasem no i oczywiście
limëÅ‚1 + n öÅ‚
-
n" íÅ‚ Å‚Å‚
-2
-n
ëÅ‚ öÅ‚
1
÷Å‚
e-2
trzeba to tak zapisać, aby byÅ‚a to tylko inna postać tej samej granicy | = limìÅ‚ëÅ‚1 + n öÅ‚ ÷Å‚ =
ìÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚
n"
íÅ‚íÅ‚ - Å‚Å‚ Å‚Å‚
e
Pamiętajmy, że przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy:
3
(a4) = a12
np.
-2
2n
ëÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚-n öÅ‚
1
ëÅ‚1+ öÅ‚
ìÅ‚ìÅ‚1+ ÷Å‚ ÷Å‚
=
ìÅ‚ ÷Å‚
podobnie:
ìÅ‚íÅ‚ - n Å‚Å‚ ÷Å‚
- n
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
mgr Grzegorz Kusztelak
PRZYKA
AD 3
Oblicz granice ciÄ…gu:
n
ëÅ‚ öÅ‚
n2 + 2
ìÅ‚ ÷Å‚
limìÅ‚
n"
n2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
RozwiÄ…zanie:
0
2 n
2
2
n
n
ëÅ‚ öÅ‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
n
n ìÅ‚ ÷Å‚
2 ìÅ‚ ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
n + 2 2
ëÅ‚1 öÅ‚
0
ìÅ‚1 1 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
lim = lim + = lim + = e = 1
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ 2 ÷Å‚ 2 2
n " n " n "
ìÅ‚ ÷Å‚
n n n
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 2 Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
e