Wytrzymałość materiałów
______________________________________________________________________________________________ 1
Przykład rozwiązania ćwiczenia domowego nr 1
Dla danej figury płaskiej wyznaczyć położenie osi głównych oraz wartości głównych środkowych
momentów bezwładności.
a d
y
z
Rys. 1.1 Figura płaska
Dane: a = 20cm b = 60cm c = 30cm d = 60cm R = 40cm
Dzielimy pole figury na: prostokąt o wymiarach 20x60 cm, trójkąt o wymiarach 30x60 oraz
ćwiartkę koła o promieniu 40cm. Pole figury wynosi:
A = Ai = 1200 + 900 + 1256.637 = 3356.637cm2
"
i
gdzie
1 402
A1 = 20Å"60 = 1200cm2 A2 = Å"60Å"30 = 900cm2 A3 = Ä„Å" = 1256.637cm2
2 4
W przyjętym układzie YZ momenty statyczne wynoszą
Sy = AiÅ"zoi = 1200Å"30 + 900Å"50 + 1256.637Å"76.977 = 177732.146Å"cm3
"( )
i
Sz = AiÅ"yoi = 1200Å"10 + 900Å"40 + 1256.637Å"56.977 = 119599.406Å"cm3
"( )
i
Współrzędne środków ciężkości figur składowych obliczono jak niżej
20 60
yo1 = = 10cm zo1 = = 30cm
2 2
1 1
yo2 = 20 + Å"60 = 40cm zo2 = 60 - Å"30 = 50cm
3 3
4 40 4 40
yo3 = 20 + 60 - 40 + Å" = 56.977cm zo3 = 60 + Å" = 76.977cm
3 3
Ä„ Ä„
______________________________________________________________________________________________
2005-10-08 Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa Dr inż.S.Labocha
b
c
R
 Wytrzymałość materiałów
______________________________________________________________________________________________ 2
Współrzędne środka ciężkości całej figury
Sz 119599.406 Sy 177732.146
yo = = = 35.631cm zo = = = 52.949cm
A 3356.637 A 3356.637
56.977
40
10
y
yo
35.631
z zo
Rys. 1.2 Położenie środka ciężkości
Momenty bezwładności względem osi YZ oraz momenty odśrodkowe figur składowych
20Å"603 60Å"203
Iy1 = = 1440000cm4 Iz1 = = 160000cm4
3 3
60Å"303 30Å"603
Iy2 = + 900Å"502 = 2295000cm4 Iz2 = + 900Å"402 = 1620000cm4
36 36
ëÅ‚Ä„ 4öÅ‚+ 1256.637Å"76.9772 7586639.339cm4
Iy3 = 404Å" - =
ìÅ‚16 9Å"Ä„÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚Ä„ 4öÅ‚+ 1256.637Å"56.9772 4220008.285cm4
Iz3 = 404Å" - =
ìÅ‚16 9Å"Ä„÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
602Å"302
Iyz1 = 1200Å"30Å"10 = 360000cm4 Iyz2 = + 900Å"50Å"40 = 1845000cm4
72
ëÅ‚1 4öÅ‚+ 1256.637Å"76.977Å"56.977 = 5469341.588cm4
Iyz3 = 404Å" -
ìÅ‚8 9Ä„÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
______________________________________________________________________________________________
2005-10-08 Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa Dr inż.S.Labocha
30
50
52.949
76.977
76.977
 Wytrzymałość materiałów
______________________________________________________________________________________________ 3
Momenty bezwładności całej figury względem osi YZ
Iy = 1440000 + 2295000 + 7586639.339 = 11321639.339cm4
Iz = 160000 + 1620000 + 4220008.285 = 6000008.285cm4
Iyz = 360000 + 1845000 + 5469341.588 = 7674341.588cm4
Momenty bezwładności względem osi centralnych równoległych do osi YZ
Iyo = Iy - AÅ"zo2 = 11321639.339 - 3356.637Å"52.9492 = 1910983.255Å"cm4
Izo = Iz - AÅ"yo2 = 6000008.285 - 3356.637Å"35.6312 = 1738528.822Å"cm4
Iyozo = Iyz - AÅ"yoÅ"zo = 7674341.588 - 3356.637Å"35.631Å"52.949 = 1341623.559cm4
Położenie osi głównych
2Å"Iyozo
2Å"1341623.559
tg 2Õo = = = -15.559 stÄ…d 2Õo = -86.32 °
Izo - Iyo 1738528.822 - 1910983.255
KÄ…t Õo mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara -43.16 °
Õo =
35.631
y
yo
z
zo
Rys. 1.3 Układ osi głównych
______________________________________________________________________________________________
2005-10-08 Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa Dr inż.S.Labocha
52.949
g
y
4
3
.
1
6
5
g
z
 Wytrzymałość materiałów
______________________________________________________________________________________________ 4
Momenty bezwładności względem środkowych osi głównych
Iyo + Izo - Izo 2
ëÅ‚Iyo öÅ‚
Imax,min = Ä… + Iyozo2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie poszczególne składniki przyjmują wartości
Iyo + Izo 1910983.255 + 1738528.822
= = 1824756.038cm4
2 2
- Izo 2
ëÅ‚Iyo öÅ‚
+ Iyozo2 = ....
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚1910983.255 - 1738528.822öÅ‚
.... = + (1341623.559)2 = 1344391.649cm4
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Imax = Iyg = 1824756.038 + 1344391.649 = 3169147.687cm4
Imin = Izg = 1824756.038 - 1344391.649 = 480364.389cm4
Kontrola niezmienników
Iyo + Izo = Iyg + Izg
Iyo + Izo = 1910983.255 + 1738528.822 = 3649512.077cm4
Iyg + Izg = 3169147.687 + 480364.389 = 3649512.076cm4
Iyg + Izg - Iyo + Izo 3649512.076 - 3649512.077
( )
Błąd względny = = 0%
Iyo + Izo 3649512.077
IyoÅ"Izo - Iyozo2 = IygÅ"Izg
IyoÅ"Izo - Iyozo2 = 1910983.255Å"1738528.822 - 1341623.5592 = 1522345693113.05cm8
IygÅ"Izg = 3169147.687Å"480364.389 = 1522345692316.52Å"cm8
Błąd względny
IyoÅ"Izo - Iyozo2 - IygÅ"Izg 1522345693113.05 - 1522345692316.52
= = 5.232 × 10-8% H" 0
1522345693113.05
IyoÅ"Izo - Iyozo2
______________________________________________________________________________________________
2005-10-08 Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa Dr inż.S.Labocha