Matematyka
semestr I
Dowody wybranych twierdzeń.
1. Twierdzenie o trzech ciągach.
śąanźą ,śąbnźą ,śącnźą
Jeżeli spełniają warunki:
" : " : and"bnd"cn
(1)
n0 "! ne"n0
lim an=g=lim cn lim bn=g
(2) , To:
Dowód:
df
lim bn=g �! " : " : " :[nąn' �!#"bn-g#""ąą]
Z definicji granicy:
ąą0 n ' "! n"!
(dowód polega na pokazaniu prawdziwości prawej strony).
Niech ąą0 . Z założeń wiemy, że:
" : and"bnd"cn
(1)
ne"n0
df
lim an=g �!ąą0:n " :n" :[nąn1 �!#"an-g#""ąą]
"
(2)
"! "!
1
-ą"ąan-g"ąą
g-ą"ąan"ąg�ąą
df
lim cn=g �! " : " : " :[nąn2 �!#"cn-g#""ąą]
(3)
ąą0 n2 "! n"!
-ą"ącn-g"ąą
g-ą"ącn"ąg�ąą
g-ą"ąand"bnd"cn"ąg�ąą g-ą"ąbn"ąg�ąą bn-g "ąą
�! �! -ą"ąbn-g"ąą
�! #" #"
n'=max { n0 , n1 , n2}
Liczba C.B.D.U
2. Twierdzenie o granicy iloczynu ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera.
lim an=0 śąbnźą lim an bn=0
Jeżeli oraz jest ograniczony to .
Dowód:
df
lim anbn=0 �!ą" :n" :n" :[nąn0�!#"anbn#""ąą]
Z definicji granicy:
ą0 "! "!
0
(dowód polega na pokazaniu prawdziwości prawej strony).
Niech ąą0 . Z założeń wiemy, że:
": śąbnźą d"M
#" #"
(1)
M
" :n " : " :[nąn1 �! an "ąą' ]
#" #"
(2)
ą'ą0 "! n
1
an bn "ąą
Chcemy, żeby: #" #"#" #" .
ą
ą'
Warunek (2) zachodzi dla każdego , więc także dla ą' = .
M
ą
an M "ąą an bn "ąą
Wtedy an "ą , czyli #" #" . Z warunku (1) widać więc, że #" #"#" #" C.B.D.U
#" #"
M
3. Twierdzenie o granicy pierwiastka n-tego stopnia z n.
n
lim n=1
ćą
n Śą"
Dowód:
n
n
ąne"0
Czyli n=1 �ąąn , gdzie .
ne"1 �! ne"1 ćą
ćą
n
n n
n=śą1�ąąnźąn= ąk 1n-ke" ą2
"
n n
śą źą śą źą
k 2
k =0
nśąn-1źą 2 2
e"ą2 0 d"ą2d"
ne" ą2 �! , czyli:
n n n
2 śąn-1źą śąn-1źą
n
lim n=1
ćą
ąn Śą 0
Z twierdzenia o trzech ciągach: , więc C.B.D.U
n Śą"
4. Twierdzenie o granicy pierwiastka n-tego stopnia z a.
n
lim a=1
ćą
dla aą0
n Śą"
Dowód:
(1) a=1 O.K.
n
n
�ąne"0
(2) Czyli a=1 �ą�ąn , gdzie
aą1 �! aą1 ćą
ćą
n
a-1
n
a=śą1�ą�ąnźąn= �ąk 1n-ke"1 �ąn �ąn . Dochodzimy do nierówności: 0 "ą�ąn"ą
"
n
śą źą
n
k
k =0
n
lim a=1
ćą
�ąnŚą 0
Z twierdzenia o trzech ciągach: , więc C.B.D.U
n Śą"
1 1
n
a= =
ćą
1
n
(3) a"śą0 ;1źą . Wtedy gdzie: =b ; bą1
1 b
n ćą
a
a
ćą
1
n
lim b=1 �! lim =1
ćą
Z podpunktu (2): C.B.D.U
n
n Śą" nŚą"
b
ćą
5. Zbieżność ciągu do liczby e.
n
1
Ciąg an=śą1 �ą źą jest zbieżny do granicy właściwej, (równej eH"2,7182 ).
n
Dowód:
an
(1)Pokażemy, że ciąg jest rosnący.
n�ą1
n�ą1
1 1
n�ą1
n�ą1
an�ą1 śą1 �ą n�ą1 źą 1 �ą n�ą1
n�ą1�" n�ą2�" n n�ą1�" śąn�ą1źą2 -1
= = �"n�ą1= =
n
śą źą
śą źą
an 1 n n n�ą1 n�ą1 n
śąn�ą1źą2
śą 1 �ą źą
śą1 �ą1 źą
n
n
Ze wzoru na dwumian Newtona obliczamy element 1-wszy i n-ty. Ich suma jest na pewno
n�ą1
n�ą1�" śąn�ą1źą2 -1 n�ą1�" 1 - 1
mniejsza od całego wyrażenia: ą �"śąn�ą1źą =1
śą źą śą źą
n n śą źą
śąn�ą1źą2 śąn�ą1źą2
an�ą1
A zatem: " : ą1 , czyli jest rosnący.
n"!
an
an 2 d"an"ą4
(2)Pokażemy, że ciąg jest ograniczony. Pokażemy, że: . Ponieważ ciąg jest
a1=2 ane"2
rosnący, oraz , więc .
2 k 2
1 1
a2 k= 1 �ą =
k
śą źą
2 k
Przyjmijmy, że n jest parzyste: Zajmijmy się samym
1
1 -
śą źą
śą źą
2 k�ą1
2
1
k
"ą4
1 k 1
k
mianownikiem: 1 - ą1- ą , a zatem . Jeżeli n
1
śą źą
2 k�ą1 2 k�ą1 2 1 -
śą źą
śą źą
2 k�ą1
a2 k-1"ąa2 k"ą4
jest nieparzyste to zachodzi nierówność:
Z warunków (1) i (2) wynika że ciąg ten jest monotoniczny i ograniczony, a więc musie istnieć
granica. C.B.D.U
7. Twierdzenia o przyjmowaniu wartości zerowej.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w )#a ,b*# , oraz wartości funkcji na końcach przedziału )#a ,b*# są
różnych znaków, to:
",bźą: f śącźą=0
c"śąa
Dowód:
Bez straty ogólności możemy przyjąć, że: f śąaźąą0 ; f śąbźą"ą0 . Zdefiniujmy zbiór Z, taki że:
Z={ x")#a ,b*#: f śą xźąą0} , a więc: a"Z ;b "Z . Niech c=supZ . Widać od razu, że:
c"śąa ,bźą . Aby c było supremum zbioru Z, f śącźą nie może być dodatnie (bo istniałby element
odpowiednio mniejszy, który byłby supremum), ani ujemne (bo istniałby element odpowiednio
większy, który byłby supremum). A zatem f śącźą=0 , czyli taki punkt zawsze istnieje. C.B.D.U
8. Własność Darboux.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w )#a ,b*# , oraz f śąaźą=A i f śąbźą=B , to:
",b*#: f śącźą=C
; C "śą A , Bźą
c")#a
Dowód:
Bez straty ogólności możemy przyjąć, że: AąCąB . Zdefiniujmy funkcję F : x Śą f śą xźą-C .
Wtedy F jest ciągła w )#a ,b*# .
F śąaźą= f śąaźą-C=A-Cą0 ; F śąbźą= f śąbźą-C=B-C"ą0
",b*#: F śącźą=0
Funkcja F spełnia więc założenia twierdzenia nr. 7, a więc: Ze wzoru funkcji
c")#a
wynika, że: F śącźą= f śącźą-C , czyli: f śącźą-C=0 �! f śącźą=C C.B.D.U
9. Twierdzenie o zachowaniu znaku funkcji ciągłej.
x0 x0 f śą x0źąą0
Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu . Jeżeli f jest ciągła w , oraz ,
to istnieje rą0 , takie, że:
"x : f śą xźąą0
x"U śą r źą
0 ,
Dowód:
df
x0 �! " : " :[ x"U śą x0, �ąźą�! f śą xźą"U śą f śą x0źą ,ąźą]
Z definicji funkcja jest ciągła w punkcie .
ąą0 �ąą0
1 1
Niech ą= f śą x0źą; f śą x0źąą0 . Wtedy "ą0 : x"U śą x0 ,�ąźą�! f śą xźą"U śą f śą x0źą , f śą x0źąźą , czyli
�ą
2 2
x-x0 "ą�ą�! f śą xźą- f śą x0źą "ąą=1 f śą x0źą
#" #" #" #"
2
1
-1 f śą x0źą"ą f śą xźą- f śą x0źą"ą f śą x0źą
2 2
1
f śą xźąą f śą x0źąą0 , a więc ostatecznie: f śą xźąą0 C.B.D.U
2
10. Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej w punkcie.
x0
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w , to jest w tym punkcie ciągła.
Dowód:
x0
Z definicji różniczkowalności wynika, że funkcja f jest określona w .
?
lim f śą xźą= f śą x0źą
lim śą f śą xźą- f śą x0źąźą=0
Chcemy pokazać, że: , czyli .
x �ą x0
x �ą x0
f śą xźą- f śą x0źą
lim śą f śą xźą- f śą x0źąźą=lim śą x-x0źą= f ' śą x0źąśą x-x0źą
Ponieważ funkcja jest
x-x0
x �ą x0 x �ą x0
f ' śą x0źąśą x-x0źą=0
różniczkowalna, to jej pochodna jest skończona, więc C.B.D.U
11. Pochodna iloczynu funkcji.
śąśą f �"g źąśą xźąźą' = f ' śą xźą g śą xźą�ąg ' śą xźą f śą xźą
Dowód:
śą fg źąśą xźą-śą fg źąśą x0źą f śą xźą g śą xźą- f śą x0źą g śą x0źą
śą f �"gźą' śą x0źą=lim =lim =
x-x0 x-x0
x Śą x0 x Śą x0
f śą xźą g śą xźą- f śą x0źą g śą xźą�ą f śą x0źą g śą xźą- f śą x0źą g śą x0źą
=lim g śą xźą f ' śą x0źą�ą f śą x0źą g ' śą x0źą
= lim
śą źą
x-x0
x Śą x0 x Śą x0
C.B.D.U
11a. Pochodna ilorazu funkcji.
f f ' śą xźą g śą xźą- f śą xźą g ' śą xźą
' śą xźą=
śą źą
g
g2śą x0źą
Dowód:
f śą x0źą
f śą xźą
-
g śą xźą g śą x0źą f śą xźą g śą x0źą- f śą x0źą g śą x0źą�ą f śą x0źą g śą x0źą- f śą x0źą g śą xźą
f
' śą x0źą=lim =lim =
śą źą
g x-x0 śą x-x0źą g śą xźą g śą x0źą
x Śą x0 x Śą x0
g śą x0źą[ f śą xźą- f śą x0źą] f śą x0źą[ g śą xźą-g śą x0źą]
-
x-x0 x-x0 f ' śą x0źą g śą x0źą- f śą x0źą g ' śą x0źą
C.B.D.U
=lim =
g śą xźą g śą x0źą
x Śą x0
g2śą x0źą
11b. Pochodna funkcji złożonej.
śą g � f źą' śą x0źą=g ' śą f śą x0źąźą�"f ' śą x0źą
Dowód:
g śą f śą xźąźą-g śą f śą x0źąźą g śą f śą xźąźą-g śą f śą x0źąźą f śą xźą- f śą x0źą
śą g � f źą' śą x0źą=lim =lim �" =
x-x0 f śą xźą- f śą x0źą x-x0
x Śą x0 x Śą x0
=g ' śą f śą x0źąźą�"f ' śą x0źą
C.B.D.U
12. Twierdzenie Rolle'a.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w, )#a ,b*# oraz różniczkowalna w śąa ,bźą , a ponadto
f śąaźą= f śąbźą , to istnieje c"śąa ,bźą , taki że: f ' śącźą=0
Dowód:
Niech m=inff śą xźą; M =supf śą xźą .
Jeżeli m=M to wartość funkcji jest stała i jej pochodna jest równa zero.
" : f śą x1źą=m ", : f śą xźąe" f śą x1źą
Jeżeli m`"M , to , czyli
x1 "śąa , bźą x")#a b*#
f śą xźą- f śą x1źą
x"ąx1 �! lim = f '-śą x1źąd"0
(1)
x-x1
x Śą x-
1
f śą xźą- f śą x1źą
xąx1 �! lim = f '+śą x1źąe"0
(2)
+
x-x1
x Śą x1
x1
Ponieważ funkcja f jest różniczkowalna w , więc jej granice lew- i prawostronne są sobie
f ' śą x1źą=0
równe, a więc C.B.D.U
13. Twierdzenie Lagrange'a.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w )#a ,b*# i różniczkowalna a śąa ,bźą to istnieje �ą"śąa ,bźą takie, że:
f śąbźą- f śąaźą
f ' śą�ąźą=
b-a
Dowód:
f śąbźą- f śąaźą
Zdefiniujmy funkcję g : x Śą f śą xźą- śą x-aźą . Teraz pokażemy, że spełnia ona
b-a
założenia twierdzenia Rolle'a. Widać, że funkcja jest ciągła i różniczkowalna na przedziale
)#a ,b*# , więc wystarczy pokazać, że g śąaźą=g śąbźą .
f śąbźą- f śąaźą
g śąaźą= f śąaźą- śąa-aźą= f śąaźą
b-a
f śąbźą- f śąaźą
g śąbźą= f śąbźą- śąb-aźą= f śąaźą
b-a
",bźą: g ' śącźą=0
Z twierdzenia Rolle'a wiemy, że .
c"śąa
f śąbźą- f śąaźą f śąbźą- f śąaźą
g ' śą xźą= f ' śą xźą- , czyli g ' śącźą= f ' śącźą- =0 , a więc ostatecznie:
b-a b-a
f śąbźą- f śąaźą
f ' śącźą= C.B.D.U
b-a
14. Wnioski z twierdzenia Lagrange'a.
Niech I będzie dowolnym przedziałem.
(1)Jeżeli " x"I : f ' śą xźą=0 �! funkcja jest stała na przedziale I .
(2)Jeżeli " x"I : f ' śą xźąą0 �! funkcja jest silnie rosnąca na przedziale I .
(3)Jeżeli " x"I : f ' śą xźąe"0 �! funkcja jest słabo rosnąca na przedziale I .
(4)Jeżeli " x"I : f ' śą xźą"ą0 �! funkcja jest silnie malejąca na przedziale I .
(5)Jeżeli " x"I : f ' śą xźąd"0 �! funkcja jest słabo malejąca na przedziale I .
Dowód:
x1 , x2"I
Pełen dowód podpunktu (1): Niech Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że
f śą x1źą- f śą x2źą
" : f ' śą xźą=0
", : f ' śącźą= . Z założeń podpunktu (1) , czyli:
x"I
c"śą x1 x2źą
x1-x2
f śą x1źą- f śą x2źą=0 �! f śą x1źą= f śą x2źą
, a więc dla każdych dwóch argumentów z danego przedziału
wartość jest stała. C.B.D.U
" : f ' śą xźąą0
Kolejne podpunkty dowodzimy analogicznie, np. jeżeli , to zachodzi implikacja:
x"I
x1ąx2�! f śą x1źąą f śą x2źą
, a to z definicji oznacza, że funkcja jest rosnąca itd.
15. Warunek wystarczający istnienia ekstremum.
x0 x0
Jeżeli f ' zmienia znak w punkcie oraz f jest ciągła w , to funkcja ma ekstremum
x0
lokalne w .
Dowód:
x0
Wiedząc, że pochodna funkcji f zmienia znak (z plus na minus) w punkcie pokażemy, że w
x0
pewnym otoczeniu punktu istnieje wartość maksymalna tej funkcji, czyli że
" : "śą : f śą x0źąd"M
.
M "! x"U x0źą
f '-śą x0źąe"0
Wiemy, że: , czyli (z Lgrange'a) funkcja jest rosnąca.
f '+śą x0źąd"0
Wiemy, że: , czyli (z Lgrange'a) funkcja jest malejąca.
lim f śą xźą= f śą x0źą
Wiemy, że: , bo funkcja jest ciągła.
x Śą x0
Tworzymy zbiory: Z1 ={ f śą xźą: x"S śą x0źą-} i Z ={ f śą xźą: x"S śą x0źą+ } . Oba zbiory są
2
supZ1 =supZ2 = f śą x0źą=lim f śą xźą
ograniczone z góry. , czyli element największy istnieje, jest
x Śą x0
f śą x0źą
nim . C.B.D.U
16. Ciągłość funkcji górnej granicy całkowania.
x
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale )#a ,b*# , to funkcja F śą xźą= f śątźądt , gdzie
+"
c
x")#a ,b*# jest ciągła na przedziale )#a ,b*#
Dowód:
lim �ąśą x�ąhźą=�ąśą xźą lim [�ąśą x�ąhźą-�ąśą xźą]=0
Chcemy pokazać, że , czyli
h Śą 0 hŚą 0
Niech x")#a ,b*#
x�ąh x x�ąh
�ąśą x�ąhźą-�ąśą xźą= f śąt źądt- f śątźądt= f śąt źądt Z twierdzenia o wartości średniej, możemy
+" +" +"
�ą �ą x
x�ąh
napisać, że f śątźądt=h�"C , gdzie C jest średnią wartością funkcji f na przedziale )#a ,b*# (czyli
+"
x
ma wartość skończoną, ponieważ funkcja f jest na tym przedziale ciągła)
�ąśą x�ąhźą-�ąśą xźą=h�"C �! lim �ąśą x�ąhźą-�ąśą xźą=lim h�"C=0
C.B.D.U
h Śą0 hŚą 0
17. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
b
f śąt źądt=F śąbźą-F śąaźą
+"
a
Dowód:
Zdefiniujmy �ąśą xźą , jako szczególną funkcję pierwotną funkcji f, taką, że: F śą xźą=�ąśą xźą�ąC ,
x
przy czym: F śą xźą= f śątźądt
+"
a
a
F śąaźą= f śąt źądt�ąC=0 �ąC=C
+"
a
b b b
F śąbźą= f śąt źądt�ąC= f śąt źądt�ąF śąaźą�! f śątźądt=F śąbźą-F śąaźą C.B.D.U
+" +" +"
a a a
18. Twierdzenie całkowe o wartości średniej.
", f = f śącźą
Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale )#a ,b*# , to: śr , tzn.
c"śąa bźą
b
f śą xźądx=śąb-aźą f śącźą
+"
a
Dowód:
Z faktu, że funkcja jest ciągła na przedziale )#a ,b*# wynika, że jest ona ograniczona na tym
przedziale, oraz osiąga swoje kresy, czyli: md" f śą xźąd"M , gdzie m=inf { f śą xźą: x")#a ,b*#} ,
b b b
. A zatem: m dxd" f śą xźądxd" M dx
M ={ f śą xźą: x")#a ,b*#}
+" +" +"
a a a
b b b
1
mśąb-aźąd" f śą xźądxd"M śąb-aźą ; md" f śą xźądxd"M , czyli f śą xźądx=śąb-aźą f śącźą
+" +" +"
b-a
a a a
(gdzie f(c) to wartość średnia dla danego przedziału)
19. Zbiory przeliczalne.
!~$!~!
Dowód:
Zbiór jest przeliczalny (równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych), gdy jego elementy można
ustawić w ciąg.
{ -n n
; "$!
an={ 2 2 , czyli
an=1,-1,2 ,-2,3 ,-3,...
(1)Zdefiniujmy ciąg , a więc $!~!
{ n�ą1 n
; "$!
{
2 2
(2)Utwórzmy tablicę liczb, teraz układamy liczby w ciąg, idąc po  sznurku , zaczynając od zera w
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
1 -1 -2 -2 -1
, ,-2 -1 1 2 3
...
prawo zakreślamy pętle: 0, 1 , , ,-1,-2, , -3 elementy układane w ciąg nie
2 2 2 ... 3 3 ...
2 2 2 2 2 2
mogą się powtarzać, dlatego należy wykreślić elementy powtarzające (lub ich w ogóle nie
-3 -2 -1 1 2 3
wpisywać). W ten sposób możemy stworzyć ciąg, co dowodzi, że: !~!
... ...
3 3 3 3 3 3
-3 -2 -1 1 2 3
20. Zbiór nieprzeliczalny.
... ...
śą źą
4 4 4 4 4 4
Zbiór < 0,1) nie jest przeliczalny.
Dowód: �" �" �" �" �" �" �" ń"
Załóżmy, że zbiór jest przeliczalny. Wtedy istnieje bijekcja f :!Śą[ 0,1 ) . Wartości funkcji
f śąk źą=0 d d d d ...
możemy przedstawić w postaci dziesiętnej: . Skonstruujmy teraz liczbę
1 k 2 k 3 k 4 k
di={1 ; d ii`"1 . Skonstruowana liczba jest różna od wszystkich już
d *=0, d1 d d d
taką, że:
2 3 4
2 ; d =1
ii
utworzonych, więc d * " f [!] . Doszliśmy do sprzeczności. Ponieważ nie da się utworzyć
szukanego ciągu, dany jest zbiór jest nieprzeliczalny. C.B.D.U
21. Zbiory równoliczne.
[ 0,1 )~śą0,1źą
Dowód:
1 1 1 1 1 1
[ 0,1 )=śą[ 0,1 )"{0, , , ,...}źą*"{0, , , ,...}
2 3 4 2 3 4
�ą
Z
1 1 1 1 1 1
śą0,1źą=śąśą0,1źą"{ , , ,...}źą*"{ , , ,...}
2 3 4 2 3 4
�ą
Z
x ; x"Z
1
; x=0
f śą xźą=
Definiujemy funkcję bijektywną 2 , która wszystkie elementy z obu
1 1
{ }
; x= , ne"2
n�ą1 n
zbiorów łączy w sposób wzajemnie jednoznaczny, co oznacza, że [ 0,1 )~śą0,1źą C.B.D.U