KU 0219 pozycja wydawnictw naukowych
Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie
© Wydawnictwa AGH, Kraków 2006
ISBN 83-7464-066-9
Komitet Naukowy UWND AGH:
Kazimierz Jeleń (przewodniczący)
Edward FraÅ›
Tadeusz Sawik
Ryszard Uberman
Adam Paweł Wojda
Mariusz Ziółko
Recenzenci: doc. dr hab. Jerzy Hubert, Instytut Fizyki Jądrowej, PAN, Kraków
prof. dr hab. Andrzej Maksymowicz, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH
Druk z materiałów dostarczonych przez Autorów
Redakcja Uczelnianych Wydawnictw Naukowo-Dydaktycznych AGH
al.Mickiewicza 30, 30-059 Kraków
tel. [phone], tel./fax [phone]
e-mail: [e-mail]
www.WydawnictwoAGH.pl
BG AGH
Spis treści
Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Przedmowa do wydania elektronicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1 Funkcje gamma i beta Eulera 1
2 Metoda Frobeniusa 21
3 Zagadnienie Sturma Liouville a 65
4 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 111
5 Transformaty i równania całkowe; funkcje Greena 171
iii
BG AGH
BG AGH
Przedmowa
Fizyka jest nauką, której piękno można postrzegać na wiele sposobów. Niektórzy z jej
miłośników wolą obrazy związane z eksperymentem fizycznym, niektórzy preferują
sam język fizyki  rygorystyczny, przejrzysty i konsekwentny. Są też i tacy, którzy
treści fizyczne  widzą lepiej w zapisie par excellence formalnym  do nich przema-
wiają równania, wzory i piękno matematyki.
Niniejszy podręcznik powstał na podstawie materiałów przygotowanych na ćwiczenia
rachunkowe z matematycznych metod fizyki (MMF), dla studentów III roku kierunku
fizyka techniczna na Wydziale Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH. NaszÄ… ambi-
cją było umieszczenie w tym podręczniku typowych problemów, które  jak wynika
z naszej długoletniej praktyki dydaktycznej  dobrze ilustrują treści samego wykła-
du. Wśród tych problemów dużo zadań jest bezpośrednio związanych z fizyką. To
oczywiste, przecież są to problemy matematycznych metod fizyki. W tym kontekście
można traktować Rozwiązane problemy jako swoistą apologię poniesionych trudów na
wykładach z matematyki, czy też bardziej ukierunkowanego MMF-u.
Rola tego podręcznika wydaje się autorom dość oczywista. Po pierwsze, jego lektura
powinna wzbogacić materiał przedstawiony w podręczniku  Wybrane rozdziały ma-
tematycznych metod fizyki (autor A.L.), albo podczas wykładu tego przedmiotu. Po
drugie, prezentowane rozwiązania mają na celu nauczyć rzeczy trudniejszych  sfor-
mułowania problemu i generalnej taktyki, gwarantującej końcowy sukces. Po trzecie
 ułatwić Czytelnikom zdobycie sprawności rachunkowej. Te ułatwienia odnoszą się
w pierwszym rzędzie do umiejętności  technicznych , gdyż Rozwiązane problemy za-
wierają kompletne procedury rachunkowe, łącznie z detalami (np. całkowanie, liczenie
residuów), jakich trzeba użyć przy rozwiązywaniu zadania.
Zapewne większość nauczycieli, w tym również i autorzy tego podręcznika, stawia so-
bie pytanie: czy rozwiązany problem jest właściwym materiałem dydaktycznym i czy
takie ułatwienie nie wpływa ujemnie na samodzielność i kreatywność uczącego się
przedmiotu. Naszym zdaniem trudno jest znalez
ć uniwersalną odpowiedz
, ale w tym
konkretnym przypadku mamy świadomość, że materiał prezentowany na wykładach
MMF-u jest obszerny i  przynajmniej partiami  dość trudny. Towarzyszące wykła-
dowi ćwiczenia zmuszają studentów do solidnej pracy. Z jednej strony wymagają bie-
głości matematycznej, a z drugiej strony wiedzy fizycznej nabytej w trakcie kolejnych
lat studiów. Jeżeli student prześledzi  dokładnie i ze zrozumieniem  zamieszczone
tu rozwiązania zadań, to z pewnością przyjdzie mu znacznie łatwiej rozwiązać kolejne
problemy, a być może wskaże inną metodę postępowania niż przedstawiona tutaj.
Naszym zdaniem  jako nauczycieli  to będzie największym sukcesem tego podręcz-
nika. Bogactwo matematyki i fizyki gwarantuje, że zawsze znajdzie się dowolna liczba
 nowych zadań i problemów, często luz
no tylko powiÄ…zanych ze schematami pre-
zentowanymi tutaj. Te nowe zadania powinny być już łatwiejsze do rozwiązania dla
Czytelników tego podręcznika
v
BG AGH
Autorom trudno byłoby stwierdzić, że ich dzieło jest w pełni oryginalne. Wręcz prze-
ciwnie  dużą część zamieszczonych tutaj problemów można znalez
ć w licznych pod-
ręcznikach matematyki, fizyki teoretycznej i matematycznej, a czasami w bardziej
wyspecjalizowanych publikacjach. Należy wspomnieć także o internecie, gdzie moż-
na znalez
ć szereg podobnych problemów wraz z pełnymi rozwiązaniami. To ostatnie
z
ródło, choć wydaje się nieograniczoną kopalnią wiedzy, to jednak wymaga pewnej
ostrożności ze strony młodego Czytelnika. Prezentowana książka stanowi więc swoistą
kompilacjÄ™  z bardzo wielu z
ródeł, z którymi mieliśmy do czynienia w przeciągu kilku
lub kilkunastu lat. Ich liczba, czyni mało celowym podawanie pełnego spisu referencji,
tym bardziej, że każde zadanie ma swojego autora i pominięcie kogokolwiek byłoby
wielkim nietaktem z naszej strony.
Tak jak już wspomnieliśmy, Rozwiązane problemy są zbiorem zadań dopełniającym
drugie wydanie podręcznika  Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki , wy-
danego przez Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, w roku 2004.
Wszystkie odnośniki: do rysunków, wzorów czy też do konkretnych (pod)punktów
z  Wybranych rozdziałów. . .  dotyczą właśnie tego wydania. W szczególności, odwo-
łanie się do wzorów z  Wybranych rozdziałów. . .  następuje poprzez podanie w na-
wiasie klamrowym: numeru rozdziału i numeru wzoru po kropce, tzn. wzór (4.12)
zamieszczony w  Wybranych rozdziałach. . .  będzie pojawiał się w  Rozwiązanych
problemach jako wzór {4.12}. Często jednak, taki wzór będzie  powielony jako
kolejny wzór, występujący w danym problemie i posiadający swój  nowy numer.
Zadania dotyczące konkretnych partii materiału są pogrupowane w rozdziały. Na
wstępie każdego rozdziału zamieszczamy krótką charakterystykę jego treści, która
powinna pomóc w odszukaniu konkretnego zagadnienia.
Na zakończenie tej przedmowy chcielibyśmy podać odnośniki do dwóch książek, któ-
re będą niewątpliwie pomocne w dalszych studiach nad metodami matematycznymi
fizyki, dla naszych ulubionych  Dociekliwych i Pilnych  Czytelników. Są to:
1. G.B. Arfken, H.J. Weber, Mathematical Method for Physicists, Academic Press,
International Edition 1995.
2. F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i mechanice kwan-
towej, Państwowe Wydawnictwa Naukowe, Warszawa 1975.
Zdajemy sobie sprawę z tego, że trudno jest przygotować  matematyczny tekst bez
pomyłek, ale mamy nadzieję, że jest ich niewiele. Będziemy wdzięczni Czytelnikom
za nadsyłanie nam wszelkich spostrzeżeń, uwag i sugestii.
Autorzy
Kraków, Marzec 2006
vi
BG AGH
Przedmowa do wydania elektronicznego
Prezentowane wydanie elektroniczne jest  wierną kopią książki z jednym wyjątkiem.
Nasi Ulubieni Dociekliwi Czytelnicy (studenci naszego Wydziału) wypatrzyli błąd
w obliczaniu stałej normalizacyjnej wielomianów Laguerre a (problemy 3.16 i 3.18).
Ten (przynajmniej) błąd został usunięty! Czekamy na dalsze uwagi  i z góry za nie
dziękujemy. Najprościej: (ftp://mailto:[e-mail])
W wersji elektronicznej skorzystaliśmy z możliwości  nawigacji (pomiędzy wzorami
i rysunkami). Kliknięcie (lewy klawisz myszki) na numer wzoru (rysunku) przenosi
czytelnika do danego wzoru (rysunku); użycie prawego klawisza umożliwia otwarcie
danego fragmentu tekstu w nowym oknie.
Autorzy
Kraków, grudzień 2008
vii
BG AGH
viii
BG AGH
Rozdział 1
Funkcje gamma i beta Eulera
Czy funkcja gamma Eulera i jej  bliska krewna funkcja beta Eulera sÄ… rzeczywi-
ście tak  ważne , aby poświęcać im osobny rozdział? Naszym zdaniem tak. Ma to
związek głównie z nabyciem umiejętności operowania symbolami silni (dla liczb cał-
kowitych i połówkowych), tak często pojawiających się w rachunkach. Na przykład,
w następnym rozdziale, przy konstrukcji wzorów rekurencyjnych dla współczynni-
ków szeregów Frobeniusa, a także w metodzie wariacji parametru , stosowanej dla
konstrukcji drugiego rozwiązania. Funkcje gamma występują także w rozlicznych pro-
blemach rozdziału czwartego  zwłaszcza tych, poświęconych funkcjom Bessela.
Pierwszy problem tego rozdziału to wykazanie ekwiwalencji wzorów  na pierwszy
rzut oka mocno od siebie odległych  definicyjnych gammy. Drugi problem to tzw.
iloczyn Wallisa  uczy on wspomnianej biegłości w operowaniu silniami, ale stanowi
potem istotny element w wykazaniu wzoru Stirlinga (problemy 1.5 i 1.6), z którego
często przychodzi korzystać.
Problemy trzeci i czwarty to dość standardowe rachunki, chociaż problem czwarty
pozwala jeszcze raz uzyskać  ważną relację, jaką spełnia funkcja Eulera drugiego
rodzaju (funkcja beta). Wreszcie ostatni problem  1.7  to dość żmudne rachunki,
które pozwalają nam spojrzeć nieco inaczej na poczciwą funkcję logarytmiczną, która
zresztą jest mocno obecna w całym tym rozdziale.
1
BG AGH
2 Gamma i Beta Eulera
PROBLEM 1.1
Wykaż równoważność definicji funkcji gamma
z
1
1 +
"

1
k

“(z) = {1.133}
z
z
k=1
1 +
k
oraz

"

1 z z
= = z ełz 1 + e-z/k. {1.124}
“(z) “(1 + z) k
k=1
Wzory {1.133} i {1.124} to tzw. definicje iloczynowe funkcji gamma. Pierwsza z nich
była używana przez Leonharda Eulera, druga pochodzi od Karla Weierstrassa.
Zacznijmy od przekształcenia wzoru {1.133} do postaci bardziej  czytelnej (n k)
z
k + 1
m

1
k
“(z) = lim
z
m"
z
1 +
k=1
k
z m

1 2 3 m m + 1 1
= lim · · . . . · ·
z
m"
z 1 2 m - 1 m
1 +
k=1
k
m

1 1
= lim [m + 1]z
z
m"
z
1 +
k=1
k
m

1 1
= lim ez ln[m+1] , (1.1.1)
z
m"
z
1 +
k=1
k
a jeżeli tak to

m

1 z
= z lim e-z ln[m+1] 1 + (1.1.2)
m"
“(z) k
k=1
 otrzymujemy postać, która już nie jest zbyt odległa od postaci {1.124} (por. także
{1.112} i {1.119}):

"

1 z z
= = zełz 1 + e-z/k. (1.1.3)
“(z) “(1 + z) k
k=1
BG AGH
Gamma i Beta Eulera 3
Porównanie dwóch ostatnich wzorów uzmysławia nam, że  potrzebna jest stała
Eulera Mascheroniego  wzór {1.115}

m

1
Å‚ = lim - ln m = lim (Hm - ln m), (1.1.4)
m" m"
k
k=1
gdzie Hm jest m-tÄ… liczbÄ… harmonicznÄ…1.
Część czynnika ełz wzoru (1.1.3), a konkretnie  e-z ln[m+1]  mamy już w wykład-
niku eksponenty w (1.1.2); aby uzyskać go w całości, przedstawmy jedynkę w nieco
wyszukanej postaci
1 1 1 1 1
2 m
1 = lim ez/(m+1) = lim e(1+ 2 +...+ m + m+1 -1- -...- )z
m" m"
m m

1 1 1
= lim e(1+ 2 +...+ m + m+1)z e-z/k = lim e(Hm+1)z e-z/k. (1.1.5)
m" m"
k=1 k=1
Wymnażając przez siebie odpowiednio prawe i lewe strony równań (1.1.2) i (1.1.5)
otrzymujemy


m m

1 z
= z lim e(Hm+1-ln[m+1])z 1 + e-z/k .
m"
“(z) k
k=1 k=1
Pozostaje już tylko dokonać przejścia granicznego, które sprowadza  zgodnie z (1.1.4)
 wykładnik funkcji e do iloczynu zł, a górne granice iloczynów (m) stają się równe
". Tak więc otrzymujemy żądany wynik  wzór {1.124}

"

1 z z
= = zełz 1 + e-z/k. (1.1.6)
“(z) “(1 + z) k
k=1
1
Por. podrozdział 1.5  Wybranych rozdziałów. . .  , a także
http:// www.ftj.agh.edu.pl/<"lenda/cicer/harm.htm.
BG AGH
4 Gamma i Beta Eulera
PROBLEM 1.2
Udowodnij relacje:

Ä„/2
(n - 1)! 2n-1
sin2n-1 ¸ d¸ = , (1.2.1)
0
(2n - 1)!!

Ä„/2
(2n - 1)!! Ä„
sin2n ¸ d¸ = , (1.2.2)
0
2n n! 2

Ä„/2
2n n!
sin2n+1 ¸ d¸ = . (1.2.3)
0
(2n + 1)!!
W oparciu o te relacje wykaż, że
" "

Ä„ 4n2 (2n)2
= a"
2 4n2 - 1 (2n - 1)(2n + 1)
n=1 n=1
2 · 2 4 · 4 6 · 6
= · · · . . .
1 · 3 3 · 5 5 · 7
(Jest to tzw. iloczyn Wallisa.)
Te trzy relacje majÄ… zwiÄ…zek z podstawowym wzorem definiujÄ…cym funkcjÄ™ Eulera
drugiego rodzaju, B(p, q), jako caÅ‚kÄ™ wzglÄ™dem argumentu ¸, zmieniajÄ…cego siÄ™ od 0
do Ą/2, z iloczynu odpowiednich potęg sinusa i kosinusa (wzór {1.149}):

Ä„/2
B(p, q) = 2 cos2p-1 ¸ sin2q-1 ¸ d¸, {1.149}
0
a także z wzorami {1.129,1.130}, podającymi wartości funkcji gamma dla  połówko-
wych wartości argumentów
" "

1 (2n - 1)(2n - 3) . . . (3)(1) Ä„ (2n - 1)!! Ä„
“ n + = a" , {1.129}
2 2n 2n
" "

1 (2n - 3)(2n - 5) . . . (3)(1) Ä„ (2n - 3)!! Ä„
“ n - = a" . {1.130}
2 2n-1 2n-1
Wystarczy tylko odpowiednio zidentyfikować wartości p i q w równaniach (1.2.1)
(1.2.3). I tak:
BG AGH
Gamma i Beta Eulera 5
1) wzór 1.2.1;
1
2p - 1 = 0 p = ,
2
2q - 1 = 2n - 1 q = n.
Korzystając z {1.149}, a następnie z podstawowego wzoru {1.148} wyrażającego
B(p, q) poprzez funkcje “, mamy
"

Ä„/2
1 1 1 “(1/2)“(n) 1 (n - 1)! Ä„
sin2n-1 ¸ d¸ = B , n = = . (1.2.4)
2 2 2 “(n + 1/2) 2 “(n + 1/2)
0
Po podstawieniu z {1.129} za mianownik i prostych zabiegach rachunkowych otrzy-
mujemy żądany wynik.
2) wzór 1.2.2;
1
2p - 1 = 0 p = ,
2
1
2q - 1 = 2n q = n + .
2
Analogicznie jak w (1.2.4)

Ä„/2
1 1 1 1 “(1/2)“(n + 1/2)
sin2n ¸ d¸ = B , n + =
2 2 2 2 “(n + 1)
0
"
1 “(n + 1/2) Ä„
= . (1.2.5)
2 n!
Tym razem podstawiamy z {1.129} za “(n + 1/2) w liczniku  prosta algebra daje
żądany wynik.
3) wzór 1.2.3;
1
2p - 1 = 0 p = ,
2
2q - 1 = 2n + 1 q = n + 1.
Mamy

Ä„/2
1 1 1 “(1/2)“(n + 1)
sin2n+1 ¸ d¸ = B , n + 1 =
2 2 2 “(n + 3/2)
0
"
1 n! Ä„
= . (1.2.6)
2 “(n + 1 + 1/2)
Pozostaje tylko wyrazić mianownik ostatniego wyrazu z wzoru {1.129}
"

3 (2n + 1)!! Ä„
“ n + =
2 2n+1
aby otrzymać żądaną równość (1.2.3).
BG AGH
6 Gamma i Beta Eulera
Dysponując tymi trzema równościami wykazanie wzoru Wallisa jest proste. Punktem
wyjścia jest ewidentna nierówność, którą spełniają w pierwszej ćwiartce potęgi sinusa
sin2n-1 ¸ sin2n ¸ sin2n+1 ¸; 0 ¸ Ä„/2. (1.2.7)
(Moglibyśmy użyć znaków silnej nierówności w przedziale otwartym  z równością
mamy tylko do czynienia na krańcach przedziału.) Ze względu na nieujemność sinusa
w tym przedziale mamy też

Ä„/2 Ä„/2 Ä„/2
sin2n-1 ¸ d¸ sin2n ¸ d¸ sin2n+1 ¸; 0 ¸ Ä„/2; (1.2.8)
0 0 0
co daje  po skorzystaniu z wykazanych właśnie równości (1.2.1), (1.2.2) i (1.2.3) 
(n - 1)! 2n-1 (2n - 1)!! Ä„ 2n n!
, (1.2.9)
(2n - 1)!! 2n n! 2 (2n + 1)!!
albo  in extenso 
2 · 4 · . . . · (2n - 2) 1 · 3 · . . . · (2n - 1) Ä„

1 · 3 · . . . · (2n - 1) 2 · 4 · . . . · (2n - 2)(2n) 2
2 · 4 · . . . · (2n)
. (1.2.10)
1 · 3 · . . . · (2n - 1)(2n + 1)
Wystarczy podzielić teraz każdy z trzech członów tej nierówności przez ostatni; mamy
2n + 1 [1 · 1][3 · 3] . . . [(2n - 1)(2n - 1)](2n + 1) Ä„
1 (1.2.11)
2n [2 · 2][4 · 4] . . . [(2n)(2n)] 2
i przejść z n do nieskończoności. Lewy człon nierówności (1.2.11) staje się wówczas
jednością; prawy jest nią cały czas  a więc i środkowy człon musi być równy 1
[1 · 1][3 · 3] . . . [(2n - 1)(2n - 1)](2n + 1) Ä„
1, dla n " (1.2.12)
[2 · 2][4 · 4] . . . [(2n)(2n)] 2
i konsekwentnie
Ä„ [2 · 2][4 · 4] . . . [(2n)(2n)]
= lim , (1.2.13)
n"
2 [1 · 1][3 · 3] . . . [(2n - 1)(2n - 1)](2n + 1)
co należało wykazać.
BG AGH
Gamma i Beta Eulera 7
PROBLEM 1.3
Wykaż, że
B(x + 1, y) + B(x, y + 1) = B(x, y) (1.3.1)
Wykorzystujemy podstawowy związek między funkcjami Eulera (por.  Wybrane roz-
działy. . .  , wzór {1.148})
“(p)“(q)
B(p, q) = , (1.3.2)
“(p + q)
a także  jeszcze bardziej podstawową własność funkcji gamma  wzór {1.119}:
“(x + 1) = x“(x). Mamy
“(x + 1)“(y) “(x)“(y + 1)
B(x + 1, y) + B(x, y + 1) = +
“(x + y + 1) “(x + y + 1)
x“(x)“(y) “(x)y“(y)
= +
(x + y)“(x + y) (x + y)“(x + y)

x y “(x)“(y) “(x)“(y)
= + =
x + y x + y “(x + y) “(x + y)
= B(x, y).
BG AGH
8 Gamma i Beta Eulera
PROBLEM 1.4
Wykaż, że

"
up-1
B(p, q) = du, (1.4.1)
0
(u + 1)p+q
i zastosuj ten wzór do udowodnienia własności {1.127}
Ä„
B(p, 1 - p) = dla 0 < p < 1. (1.4.2)
sin Ä„p
Prześledz
my sekwencję wzorów {1.149}  {1.151} z pierwszego rozdziału  Wybranych
rozdziałów. . .  . Pierwszy z nich został uzyskany ab initio

Ä„/2
B(p, q) = 2 cos2p-1 ¸ sin2q-1 ¸ d¸. (1.4.3)
0
Jeżeli podstawić t = cos2 ¸; dt = -2 cos ¸ sin ¸d¸ [¸ = 0 t = 1; ¸ = Ä„/2 t = 0],
to parzyste potęgi funkcji trygonometrycznych przybierają przyjazną postać i wzór
(1.4.3) przechodzi w {1.150}

0
B(p, q) = cos2(p-1) ¸ sin2(q-1) ¸(-2 cos ¸ sin ¸)d¸
Ä„/2

1
= tp-1(1 - t)q-1dt. (1.4.4)
0
KÅ‚adÄ…c w nim t = u/(u + 1), mamy
du u 1
dt = , 1 - t = 1 - = .
(u + 1)2 u + 1 u + 1
Granicy t = 0 odpowiada u = 0; granicy t = 1 odpowiada u = ". Całka w (1.4.4)
przekształca się w
p-1 q-1
1 "
u 1 du up-1
B(p, q) = = du. (1.4.5)
u + 1 u + 1 (u + 1)2 0 (u + 1)p+q
0
Pierwsza część problemu została wykazana.
BG AGH
Gamma i Beta Eulera 9
Rysunek 1.4.1: “  kontur caÅ‚kowania dla caÅ‚ki (1.4.8)
Jeżeli teraz q = 1 - p; 0 < p, q < 1 to (1.4.5) przybiera postać

"
up-1
B(p, 1 - p) = du. (1.4.6)
(u + 1)
0
Nieskończoność  górna granica całkowania  sugeruje, że powinniśmy zapewne uciec
się do liczenia całki metodą residuów  ale funkcja podcałkowa nie jest funkcją parzy-
stą, co ewentualnie pozwoliłoby  rozciągnąć przedział całkowania na całą oś rzeczy-
wistą. Można jednak stworzyć taki  obustronnie nieskończony przedział przez proste
podstawienie: u = ex; du = exdx. Całka (1.4.6) zmienia się w

"
epx
B(p, 1 - p) = dx. (1.4.7)
(1 + ex)
-"
Funkcję podcałkową przedłużamy analitycznie na górną półpłaszczyznę zespoloną
i rozważamy całkę

epz
dz, (1.4.8)
(1 + ez)
“
po konturze “ jak na rysunku 1.4.1: jest to prostokÄ…t o wierzchoÅ‚kach w punktach
z = ąR oraz z = ąR + 2Ąi. Funkcja podcałkowa ma wewnątrz tego konturu jedną
tylko osobliwość  biegun pierwszego rzędu z = iĄ z residuum równym


epz epz

= = -eiĄp,
(1 + ez) z=iĄ ez z=iĄ
a więc

epz
dz = 2Ąi(-eiĄp). (1.4.9)
(1 + ez)
“
Całkę konturową rozbijamy na cztery całki: pierwsza z nich odpowiada tej części
konturu, która leży na osi rzeczywistej, pomiędzy z = -R i z = R; jej postać to

R
epx
dx.
(1 + ex)
-R
BG AGH
10 Gamma i Beta Eulera
Druga i czwarta całka to całki wzdłuż pionowych części konturu, równoległych do osi
0y, w punkcie z = R (druga) i z = -R (czwarta); wreszcie trzecia to całka wzdłuż
odcinka równoległego do osi rzeczywistej, pomiędzy z = R + i2Ą i z = -R + i2Ą. Na
tej ostatniej części konturu z = x + i2Ą; dz = dx, a więc przyczynek od tej całki do
całki (1.4.8) ma postać

-R R
epxei2Ä„p epx
dx = -ei2Ä„p dx.
1 + exei2Ä„ 1 + ex
R -R
Przechodzimy z R do nieskończoności  łatwo jest wykazać, że obie całki po pionowych
częściach konturu dążą wówczas do zera; natomiast pierwsza i trzecia  składają się
na sumÄ™


"
epx
1 - ei2Ąp dx = -2ĄieiĄp, (1.4.10)
1 + ex
-"
a jeżeli tak, to  por. wzór (1.4.7) 
-2ĄieiĄp -2i Ą
B(p, 1 - p) = = Ä„ = , (1.4.11)
1 - ei2Ąp e-iĄp - eiĄp sin Ąp
tak jak należało wykazać.
BG AGH
Gamma i Beta Eulera 11
PROBLEM 1.5
Wykaż, że dla dużych n
n
"
"
n
n! H" n · C, gdzie C = 2Ä„. (1.5.1)
e
Jest to tzw. wzór de Moivre a Stirlinga.
Wzór (1.5.1) nazywa się zwykle wzorem Stirlinga, ale warto wiedzieć, że pierwszą jego
"
część  wykazanie, że dla dużych wartoÅ›ci n mamy n! H" (n/e)n n · C  zawdziÄ™czamy
de Moivre owi, francuskiemu hugonotowi, który spędził większość swego życia w Lon-
dynie. De Moivre ma w gruncie rzeczy sporego pecha, fundamentalny wzór z algebry
liczb zespolonych
eiz = cos z + i sin z
nazywa się częściej wzorem Eulera, niż wzorem Eulera de Moivre a, mimo że pojawił
się pierwszy raz w literaturze matematycznej w 1708 roku, kiedy mały Leonard Euler
miał . . . roczek. Z kolei wzór (1.5.1) pojawił się  bez określenia wartości stałej C 
w pierwszym wydaniu dzieła de Moivre a  Doctrine of chances . W drugim wydaniu
tego dzieła (A.D. 1738) de Moivre z satysfakcją donosi: (. . . ) zrezygnowałem już
z dalszego poszukiwania wartości tej stałej, ale na szczęście mój dobry przyjaciel,
"
p. Stirling, potrafił przepięknie wykazać, że jest ona równa 2Ą (. . . ). Niestety, dobre
obyczaje w nauce nie zostały właściwie uhonorowane  dzisiaj niewielu matematyków
pamięta nazwisko de Moivre a, a wzór nosi nazwę wzoru Stirlinga.
Aby wykazać pierwszą część tezy warto przyglądnąć się nie samej silni, ale jej loga-
rytmowi
ln n! = ln (1 · 2 · . . . · n) = ln 2 + ln 3 + . . . + ln n
i zauważyć, że jest on ograniczony  od dołu

n
ln n! > ln x dx (1.5.2)
1
i  od góry

n+1
ln n! < ln x dx (1.5.3)
1
(por. rysunek 1.5.2 dla n = 5)2. Obliczając obie całki występujące w (1.5.2) i (1.5.3),
2
Taka konfrontacja: pole podwykresu funkcji  pole histogramu (słupki o jednostkowych podsta-
wach) jest analogiczna do sposobu, którego używamy, aby wykazać, że n-ta liczba harmoniczna, Hn,
jest ograniczona: ln n < Hn < ln n + 1  por. (http://www.ftj.agh.edu.pl/<"lenda/cicer/harm.htm).
BG AGH
12 Gamma i Beta Eulera

5 6
ln 5! > ln x dx. ln 5! < ln x dx.
1 1

n n+1
Rysunek 1.5.2: Do wykazania wzorów: ln n! > ln x dx oraz ln n! < ln x dx
1 1
dostajemy
x=n x=n+1
x ln x - x < ln n! < x ln x - x , (1.5.4)
x=1 x=1
albo
n ln n - n + 1 < ln n! < (n + 1) ln(n + 1) - n. (1.5.5)
Występujący po prawej strony wyraz możemy przekształcić do postaci

1
(n + 1) ln(n + 1) = (n + 1) ln n 1 +
n

1
= (n + 1) ln n + ln 1 +
n
n
1 1
= n ln n + ln n + ln 1 + + ln 1 + .
n n
Jeżeli wreszcie uwzględnimy fakt, że interesuje nas zachowanie się silni dla bardzo
dużych wartości argumentu, to poszczególne składniki powyższego wzoru wyglądają
znacznie prościej. Dla n "
n
1
1 + e,
n
n
1
ln 1 + ln e = 1,
n

1
ln 1 + ln 1 = 0.
n
BG AGH
Gamma i Beta Eulera 13
Uwzględniając powyższe równania, możemy zapisać  dla n "  nierówność (1.5.5)
jako
n ln n - n + 1 < ln n! < n ln n - n + ln n + 1, (1.5.6)
albo  odejmując od wszystkich trzech członów pierwszy
0 < ln n! - n ln n + n - 1 < ln n. (1.5.7)
Ostatnie uproszczenie: dla dużych n mamy n - 1 H" n, a więc
0 < ln n! - n ln n + n < ln n. (1.5.8)
Wynika stąd, że różnica ln n! - (n ln n - n) zawarta jest w przedziale pomiędzy zerem
a ln n. Biorąc połowę tego przedziału moglibyśmy przedstawić tę różnicę jako
1
ln n! - (n ln n - n) = ln n, (1.5.9)
2
ale ponieważ czynnik 1/2 nie jest  pewny 3 możemy  bardziej ogólnie  zapisać
1
ln n! = (n ln n - n) + ln n + ln C, (1.5.10)
2
gdzie C jest dowolną, nieujemną stałą. Wówczas
"
ln n! = n ln n - ln en + ln n + ln C, (1.5.11)
i  pozbywając się logarytmów  mamy
"
nn n
n! = C, (1.5.12)
en
co kończy pierwszą część zadania.
3
Czynnik ten wprowadzamy kierując się  pragmatyką   chcemy przecież uzyskać wykładnik
potęgowy równy 1/2 w końcowym wzorze!
BG AGH
14 Gamma i Beta Eulera
Aby rozwiązać drugą część problemu, zauważmy, że wzór (1.5.12) powinniśmy raczej
zapisać w postaci
"
nn n n!en
n! = Cn albo Cn = , (1.5.13)
en nn+1/2
aby podkreślić, że nasza stała mogłaby zależeć od wartości n. Będziemy starali się te-
mu zaprzeczyć. Niewątpliwie, w tym wzorze  nieporęczna jest funkcja wykładnicza.
Spróbujmy ją wyeliminować, rozważając dwie stałe
(n!)2e2n (2n!)e2n
(Cn)2 a" oraz C2n a" .
n2n+1 (2n)2n+1/2
Ich stosunek to
"
(Cn)2 (n!)2e2n (2n)2n+1/2 (1 · 2 · . . . · n)2(2n)2 2n
= =
C2n n2n+1 (2n!)e2n 1 · 2 · 3 · . . . · (2n - 1) · (2n) n
"
[2 · 4 · . . . (2n - 2) · (2n)]2 2n
=
1 · 2 · 3 · . . . · (2n - 1) · (2n) n
"
2 · 4 · . . . · (2n) 2n
= . (1.5.14)
(2n - 1)!! n
Uzyskany wynik (dla n ") przypomina nam iloczyn Wallisa, rozpatrywany w pro-
blemie 1.2:
Ä„ [2 · 2][4 · 4] . . . [(2n)(2n)]
= lim
n"
2 [1 · 1][3 · 3] . . . [(2n - 1)(2n - 1)](2n + 1)
2
2 · 4 · . . . · (2n) 1
a" lim . (1.5.15)
n"
(2n - 1)!! 2n + 1
Bierzemy pierwiastek z obu stron tego równania i dostajemy



Ä„ 2 · 4 · . . . · (2n) 1
= lim . (1.5.16)
n"
2 (2n - 1)!! 2n + 1
Zestawiając razem równania (1.5.14) i (1.5.15)
"
(Cn)2 2 · 4 · . . . · (2n) 2n
lim = lim
n"
C2n n" (2n - 1)!! n


Ä„ 2 · 4 · . . . · (2n) 1
= lim "
n"
2 (2n - 1)!!
2n + 1
i dzielÄ…c je stronami mamy
" "

(Cn)2 Ä„ 2n + 1 2n
lim = lim . (1.5.17)
n" n"
C2n 2 n
BG AGH
Gamma i Beta Eulera 15
Ostatnia granica
" "
2n + 1 2n
lim = 2
n"
n
i dostajemy
"
(Cn)2
lim = 2Ä„. (1.5.18)
n"
C2n
Wykazaliśmy, że granica stosunku: kwadratu stałej  (Cn)2  i stałej C
"obliczonej dla
podwojonego wskaz
nika (C2n) jest rzeczywiście stałą liczbą, równą 2Ą. Pozostaje
wykazać, że ten stosunek to sama stała C. Mamy
(Cn)2 lim Cn · lim Cn
n" n"
lim =
n"
C2n lim C2n
n"
= . . . lim Cn = lim C2n . . .
n" n"
"
= lim Cn = 2Ä„ a" C
n"
i możemy  zupełnie jak Stirling  stwierdzić, że
"
lim Cn a" C = 2Ä„, (1.5.19)
n"
a w takim razie wzór (1.5.12) przybiera postać
n
"
n
n! = 2Ä„ n. (1.5.20)
e
BG AGH
16 Gamma i Beta Eulera
PROBLEM 1.6
Oblicz granicÄ™
(n!)1/n
lim , (1.6.1)
n"
n
korzystajÄ…c z wzoru de Moivre a Stirlinga.
To chyba dobra okazja, aby przypomnieć sobie, ile wynosi granica
N a" lim (n)1/n. (1.6.2)
n"
Intuicja, poparta prostymi eksperymentami (wystarczy kieszonkowy kalkulator), mó-
wi nam, że wynik wielokrotnej operacji wyciągania pierwiastka z dowolnie dużej liczby
zmierza do jedności, ale wypada to sprawdzić. Kładąc
1
(n)1/n a" x; ln x = ln n (1.6.3)
n
mamy
ln n 1
lim ln x = lim = lim = 0, (1.6.4)
n" n" n"
n n
gdzie przy obliczaniu granicy zastosowaliśmy regułę de l Hospitala.
Jeżeli więc limn" ln x = 0, to limn" x = 1 i nasza intuicja rzeczywiście nie zawio-
dła  N a" limn"(n)1/n = 1.
Jeżeli już to wiemy, to reszta jest równie, albo jeszcze bardziej prosta. Podstawiając
do (1.6.1) z wzoru de Moivre a Stirlinga, mamy
n 1/n
"
(n!)1/n 1 n
lim = lim 2Ä„n
n" n"
n n e

1 n
= lim (2Ä„n)1/2n
n"
n e
1
= lim Ä„1/2n · lim (2n)1/2n.
n" n"
e
Ostatnia granica jest równa jedności [por. (1.6.2); pierwiastek n-ego stopnia z każdej
stałej też dąży do jedności przy n " (może warto to samemu sprawdzić?), a więc
(n!)1/n 1
lim = .
n"
n e
BG AGH
Gamma i Beta Eulera 17
PROBLEM 1.7
Wykaż, że

" - e-xt
e-t
ln x = dt a" I, (1.7.1)
0
t
a następnie korzystając z tej równości oraz
z definicji caÅ‚kowej gammy Eulera, oblicz “ (1).
Występująca w temacie całka I jest niewątpliwie funkcją zmiennej x  I = I(x); co
więcej, widzimy, że I(1) = 0. Próby rozbicia całki (niewłaściwej!!) na różnicę dwóch
skończą się fiaskiem  obie całki okazują się być rozbieżne. Spróbujmy obliczyć po-
chodną całki za pomocą wzoru Leibniza (wzór {2.143}  Wybranych rozdziałów. . .  )


" " "
dI " e-t - e-xt te-xt
= dt = dt = e-xtdt
dx "x t t
0 0 0

" "
1 1 1
= e-xt d(xt) = xt = u = e-udu = .
x x x
0 0
Możemy więc zapisać

x
1
I(x) = dx = ln x + C, (1.7.2)
x
gdzie z warunku I(1) = 0 mamy C = 0.
Wzór (1.7.1) może rzeczywiście być reprezentacją całkową funkcji logarytmicznej.
Policzenie pochodnej funkcji gamma, to skorzystanie znowu z wzoru Leibniza, zasto-
sowanego tym razem do definicji całkowej funkcji gamma

" "
d“ "
= e-t tx-1dt = e-ttx-1 ln t dt. (1.7.3)
dx "x
0 0
Dla x = 1

"
“ (1) = e-t ln t dt. (1.7.4)
0
Mimo że całka w (1.7.4) nie wygląda groz
nie, próby jej obliczenia mogą być dość
frustrujące. Dość nieoczekiwanie sprzymierzeńcem okazuje się właśnie wzór (1.7.1);
w funkcji podcałkowej podstawiamy

"
e-u - e-tu
ln t = du.
u
0
BG AGH
18 Gamma i Beta Eulera
Wzór (1.7.4) przybiera postać


" "
e-u - e-tu
“ (1) = e-t du dt, (1.7.5)
u
0 0
albo  po zmianie porządku całkowania

" " "
du
“ (1) = e-u e-t dt - e-(1+u)t dt . (1.7.6)
u
0 0 0
Pierwsza z  wewnętrznych całek nie przedstawia żadnych problemów

" "
e-t dt = e-tt1-1 dt = “(1) = 1;
0 0
druga też nie jest skomplikowana

" "
1 1 1
e-(1+u)t dt = e-(1+u)t d[t(u + 1)] = “(1) = .
u + 1 u + 1 u + 1
0 0
Mamy więc  z równania (1.7.6)

"
1 du
“ (1) = e-u - . (1.7.7)
u + 1 u
0
Zanim przystąpimy do obliczeń, warto zweryfikować zachowanie się funkcji podcał-
kowej dla zmiennej u zmierzającej do nieskończoności i do zera. W nieskończoności
funkcja podcałkowa zmierza  i to całkiem raz
nie  do zera; natomiast dla u 0
można pokazać, że
e-u 1 1
lim - = 0.
n0
u u u + 1
A jeżeli tak, to wartość całki (1.7.7) jest z pewnością skończona!
Całka we wzorze (1.7.7) jest niewłaściwa; zapiszmy ją jako

G
1 du
“ (1) = lim e-u 1 - . (1.7.8)
u + 1 u
G"
g
g0
Ponieważ mamy do czynienia z funkcją gamma będącą uogólnieniem silni,  marsz
do nieskończoności możemy wyobrazić sobie nieco oryginalniej, zastępując G (do-
wolna w zasadzie liczba) przez n (liczba całkowita)  niewątpliwie w nieskończoności
 skończoność kroku n przestaje mieć jakiekolwiek znaczenia. A więc

n
1 du
“ (1) = lim e-u 1 - . (1.7.9)
n"
u + 1 u
g
g0
Przekształcamy funkcję podcałkową
e-u 1 1 e-u 1 1 e-u - 1 1
- = - + = + .
u u u + 1 u u u + 1 u u + 1
BG AGH
Gamma i Beta Eulera 19
Po tych zabiegach całka (1.7.9) przyjmuje postać


n
e-u - 1 1
“ (1) = lim + du. (1.7.10)
n"
u u + 1
g
g0
Znowu dwie całki. I znowu warto sprawdzić, że oba człony funkcji podcałkowej pozo-
stają skończone, przy zmiennej całkowania zmierzającej do zera i do nieskończoności.
A jeżeli tak, to możemy całkę rozbić na dwie. W pierwszej z nich korzystamy z przej-
ścia granicznego limn" i zamieniamy funkcje eksponencjalną wyrażeniem (słusznym
przy przejściu granicznym!)
n
u
e-u = 1 - .
n
Daje to
n
u
- - 1
1
n n
e-u - 1
n
I1 a" lim du = lim du.
n" n"
u u
g g
g0 g0
Podstawiamy
n
u u du
1 - = x; 1 - = xn; - = dx; du = -ndx; u = n(1 - x).
n n n
Nowe granice całkowania to
u n Ò! x 0 (gg);
u 0 Ò! x 1 (GG)
i całka I1 przekształca się w

GG gg
xn - 1 1 - xn
I1 = lim lim (-dx) = - lim lim (dx)
n" n"
1 - x 1
GG1 GG1 - x
gg GG
gg0 gg0

GG
= - lim lim (1 + x + x2 + . . . + xn-1)dx.
n"
GG1
gg
gg0
Całkowanie jest bardzo proste

1
1 1 1
I1 = - lim x + x2 + x3 + . . . + xn = - lim Hn, (1.7.11)
n" n"
2 3 n
0
gdzie Hn to n-ta liczba harmoniczna (por. przypis na stronie 3).
Druga całka jest równie prosta

n
1
I2 a" lim du = lim [ln(n + 1) + ln(0+ + 1)] = lim ln(n + 1),
n" n" n"
u + 1
g
g0
BG AGH
20 Gamma i Beta Eulera
gdzie przez 0+ oznaczamy wartość graniczną dolnej granicy całkowania (zero, osiągane
 od prawej strony ). Tak więc ostatecznie
“ (1) = I1 + I2 = lim [-Hn + ln(n + 1)] = lim [-Hn + ln(n)] = -Å‚. (1.7.12)
n" n"
(Zamianę ln(n + 1) ln(n) usprawiedliwia przejście graniczne; ł  stała Eulera
Mascheroniego, por. podrozdział 1.5  Wybranych rozdziałów. . .  .)
MajÄ…c już “ (1) możemy obliczyć też pochodnÄ… logarytmicznÄ…


d “ (x)

¨(1) = ln “(x) = = “ (1) = -Å‚. (1.7.13)

dx “(x)
x=1
x=1
Dla ambitnego Czytelnika: stosując metody analogiczne do tych, które pozwoliły zna-
lez
ć wartość “ (1), wykaż, że
“ (n) 1 1 1
¨(n) = = -Å‚ + 1 + + + . . . + .
“(n) 2 3 n - 1
BG AGH
Rozdział 2
Metoda Frobeniusa
(metoda szeregów Frobeniusa)
Zebrane problemy stanowią dość kompletny przegląd sytuacji, z jakimi może się spo-
tkać użytkownik metody Frobeniusa. Ta ostatnia jest wprawdzie obszernie omówiona
w  Wybranych rozdziałach. . .  , ale niewątpliwie dobrze jest parę praktycznych sytu-
acji prześledzić dokładnie.
Dwa pierwsze problemy dotyczą sytuacji kiedy różnica pierwiastków równania okre-
ślającego nie jest liczbą całkowitą  mamy dwa, liniowo niezależne, rozwiązania w po-
staci szeregów, które można (problem 2.2) czasem  zwinąć do zwartej postaci. Dwa
kolejne problemy dotyczą sytuacji, kiedy różnica pierwiastków równania określającego
jest liczbą całkowitą  ale metoda Frobeniusa, zastosowana z pewną dozą inteligencji
dostarcza obu rozwiązań, a w dodatku w problemie 2.4 pokazujemy, jak można prze-
kształcić na pierwszy rzut oka mało przyjazny szereg w zwartą funkcję.
Problem 2.5 to bardzo ważne równanie Eulera, z kolei problemy 2.6 i 2.7 dotyczą
jeszcze ważniejszego równania fizyki  równania Bessela. Problemy 2.8 2.12 ilustru-
ją różne techniki szukania  drugiego rozwiązania  metodę wariacji stałej i metodę
wrońskianu; dodatkowo problem 2.10 pozwala nam jeszcze raz spotkać wielomiany
Laguerre a, które swoje miejsce w  niezbędniku matematycznym fizyki zawdzięczają
problemowi atomu wodoru w mechanice kwantowej. Ta właśnie mechanika kwantowa,
już dla układu złożonego (dwuatomowa cząsteczka) pojawia się w problemie 2.13 
nieco żmudne rachunki są sowicie wynagrodzone bardzo  fizycznie czytelnym wzo-
rem końcowym na poziomy energetyczne cząsteczki. W końcu problem 2.14 to też
mechanika kwantowa  rozwiÄ…zanie (przybliżone) równania Schrödingera dla poten-
cjału Yukawy.
21
BG AGH
22 Metoda Frobeniusa
PROBLEM 2.1
Znajdz
rozwiązanie równania
8x2y (x) + 10xy (x) + (x - 1)y(x) = 0 (2.1.1)
w okolicy punktu x = 0.
Pierwsza czynność to określenie charakteru punktu, wokół którego szukamy rozwią-
zania równania. Dlatego dzielimy obie strony równania przez 8x2, aby sprowadzić go
do postaci kanonicznej (por. podrozdział 2.1  Wybranych rozdziałów . . .  ). Współ-
czynniki pierwszej pochodnej i samej funkcji to odpowiednio
5 x - 1
P (x) = , Q(x) = ,
4x 8x2
a więc punkt x = 0 jest punktem osobliwym regularnym.
Postulujemy rozwiÄ…zanie w postaci szeregu Frobeniusa:
"

y(x) = ak x+k, (2.1.2)
k=0
i konsekwentnie (antycypujemy bezwzględną zbieżność szeregu  to pozwala nam
różniczkować go wyraz po wyrazie!)
"

y (x) = ak ( + k)x+k-1, (2.1.3)
k=0
"

y (x) = ak ( + k)( + k - 1)x+k-2. (2.1.4)
k=0
Podstawiamy  z (2.1.2) (2.1.4) do równania (2.1.1) i otrzymujemy
" "

8 ak ( + k)( + k - 1)x+k + 10 ak ( + k)x+k
k=0 k=0
" "

+ ak x+k+1 - ak x+k = 0. (2.1.5)
k=0 k=0
Kładąc k = 0, identyfikujemy wyraz z najniższą potęgą zmiennej x

a0 8( - 1) + 10 - 1 x. (2.1.6)
BG AGH
Metoda Frobeniusa 23
Współczynnik potęgi x (jak i współczynnik każdej potęgi) musi być równy zeru.
Ponieważ a0 = 0 (fundamentalne założenie metody szeregów Frobeniusa!), to przy-

równanie do zera kwadratowego nawiasu daje nam równanie określające
82 + 2 - 1 = 0 (2.1.7)
z następującymi pierwiastkami:
1 1
1 = , 2 = - . (2.1.8)
4 2
Różnica 1 -2 nie jest liczbą całkowitą; wynika stąd, że metoda Frobeniusa powinna
dostarczyć dwa liniowo niezależne rozwiązania. Aby otrzymać wzór rekurencyjny,
ujednolicamy wykładniki potęgowe w równaniu (2.1.5), dobierając tak wartości k, aby
wszystkie wykładniki zmiennej x przyjęły wartość  + k + 1. Osiągniemy to, kładąc
k Ò! j + 1 w pierwszej, drugiej i czwartej sumie oraz k Ò! j w trzeciej. Przyrównanie
do zera  wypadkowego współczynnika przy xj+1 daje

aj+1 8( + j + 1)( + j) + 10( + j + 1) - 1 = -aj (2.1.9)
albo
-1
aj+1 = aj . (2.1.10)
[2( + j + 1) + 1][4( + j + 1) - 1]
Podstawiając do powyższego wzoru otrzymane wartości , dostaniemy:
1 1
 = 1 = ;  = 2 = - ;
4 2
-1 -1
aj+1 = aj ; aj+1 = aj ;
(4j + 7)(2j + 2) (4j + 1)(2j + 2)
1 1 1 1 1 1
a1 = - a0, a2 = - a1 = a0, . . . ; a1 = - a0, a2 = - a1 = a0, . . . ;
14 44 616 2 20 40
Tak więc
"
"


y2(x) = a0x2 ajxj
y1(x) = a0x1 ajxj
j=0
j=0


1 1
1 1
= a0x-1/2 1 - x + x2 + . . . .
= a0x1/4 1 - x + x2 + . . . ;
2 40
14 616
Rozwiązaniem (całką ogólną) równania (2.1.1) jest
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x),
gdzie C1 i C2 są dwoma dowolnymi stałymi. Zarówno postać wzoru rekurencyjnego
(2.1.9), jak i wyliczone z niego współczynniki, nie stwarzają możliwości przedstawienia
uzyskanych rozwiązań w postaci zwartej.
BG AGH
24 Metoda Frobeniusa
PROBLEM 2.2
Znajdz
rozwiązanie równania
4xy (x) + 2y (x) - y(x) = 0 (2.2.1)
w okolicy punktu x = 0.
Podobnie jak w problemie 2.1 poddajemy (pozytywnej) weryfikacji regularność punk-
tu osobliwego w zerze oraz postulujemy rozwiÄ…zanie w postaci szeregu Frobeniusa;
równanie (2.2.1) po standardowych podstawieniach [wzory (2.1.2) (2.1.4)] przybiera
postać:
" " "

4 ak ( + k)( + k - 1)x+k-1 + 2 ak ( + k)x+k-1 - ak x+k = 0.
k=0 k=0 k=0
(2.2.2)
Przyrównujemy do zera współczynnik przy najniższej (k = 0) potędze  x-1.
Daje to

a0 4( - 1) + 2 = a0 2(2 - 1) = 0. (2.2.3)
Jego pierwiastki to 1 = 1/2 oraz 2 = 0. Różnica pierwiastków nie jest liczbą
całkowitą, a więc powinniśmy otrzymać dwa liniowo niezależne rozwiązania w postaci
szeregów Frobeniusa.
Formułę rekurencyjną otrzymujemy poprzez ujednolicenie wykładników potęgowych
w (2.2.2); kÅ‚adÄ…c k Ò! j + 1 w pierwszych dwóch sumach, a k Ò! j w trzeciej i przy-
równując do zera współczynnik przy potędze x+j, mamy
1
aj+1 = aj . (2.2.4)
2( + j + 1)(2 + 2j + 1)
KÅ‚adÄ…c
1)  = 1 = 1/2,
przekształcamy wzór (2.2.4) do postaci
1 1
aj+1 = aj = aj . (2.2.5)
2(1/2 + j + 1)(2 · 1/2 + 2j + 1) 2(2j + 3)(j + 1)
W przykładach, ilustrujących metodę Frobeniusa, zamieszczonych w  Wybranych roz-
działach stosowaliśmy formuły rekurencyjne dla rosnącego wskaz
nika współczynnika
aj. Zaczynaliśmy od j = 1 lub j = 2 i sukcesywnie wyliczaliśmy kolejne współ-
czynniki dla coraz to większego j. Nie należy jednak traktować takiej praktyki jako
bezwzględnie obowiązującej. Wzory rekurencyjne równie dobrze możemy stosować
BG AGH
Metoda Frobeniusa 25
dla malejÄ…cego wskaz
nika j. I tak, możemy zastosować relację (2.2.5) do obliczenia
aj, aj-1, aj-2
aj-1 aj-1
aj = = ,
2[2(j - 1) + 3](j - 1 + 1) 2j(2j + 1)
aj-2 aj-2
aj-1 = = ,
2[2(j - 2) + 3](j - 2 + 1) 2(j - 1)(2j - 1)
aj-3 aj-3
aj-2 = = .
2[2(j - 3) + 3](j - 3 + 1) 2(j - 2)(2j - 3)
Widzimy, że każde zastosowanie formuły rekurencyjnej sprowadza się do:
(1) podzielenia przez 2;
(2) podzielenia przez kolejną (malejącą) liczbę całkowitą;
(3) podzielenia przez kolejną (malejącą) nieparzystą liczbę całkowitą.
Jeżeli ten schemat zastosować (n - 1)-krotnie do okreÅ›lonego powyżej aj (j Ò! n), to
otrzymamy
an-1 a0
an = = . . . =
2n(2n + 1) 2nn(n - 1) . . . 1(2n + 1)(2n - 1) . . . 3 · 1
(2.2.6)
a0
= .
2nn!(2n + 1)!!
Ale występujące w mianowniku wyrażenie to nic innego, jak
2nn!(2n + 1)!! = 2n[1 · 2 · . . . (n - 1) · n] [1 · 3 · . . . · (2n - 1) · (2n + 1)]
= 2 · 4 · . . . (2n - 2) · 2n · 1 · 3 · . . . · (2n - 1) · (2n + 1)
= (2n + 1)!,
tak więc współczynniki naszego szeregu Frobeniusa  z dokładnością do mało istot-
nego a0 = 0  to odwrotności silni nieparzystych liczb całkowitych. Rozwiązaniem

równania będzie więc
"
"

"
1 xn " ( x)2n+1
y1(x) a" y(x;  = 1/2) = x2 = = sinh x. (2.2.7)
(2n + 1)! (2n + 1)!
n=0 n=0
Podobnie, po położeniu
2)  = 2 = -1/2,
formuła rekurencyjna (2.2.4) przyjmie postać
1 1
aj+1 = aj = aj ; (2.2.8)
2(j + 1)(2j + 2 - 1) 2(j + 1)(2j + 1)
przesuwając wartość wskaz
nika o jedność, dostajemy
1
aj = aj-1 , (2.2.9)
2(j)(2j - 1)
BG AGH
26 Metoda Frobeniusa
a po doświadczeniach zdobytych w  obróbce postaci ogólnej współczynników an dla
 = 1/2 możemy napisać od razu:
an-1 a0
an = = . . . =
2n(2n - 1) 2nn(n - 1) . . . 1(2n - 1)(2n - 3) . . . 1 · (-1)
(2.2.10)
-a0
= .
2nn!(2n - 1)!!
Mianownik ostatniego ułamka, to nic innego jak silnia parzystej liczby całkowitej
2nn(n - 1) . . . 1 · (2n - 1)(2n - 3) . . . 1 · (-1) = (-1)(2n)!,
a jeżeli tak, to rozwiązaniem równania będzie
"
" "

"
xn ( x)2n
y2(x) a" y(x;  = 0) = a0 = a0 = a0 cosh x. (2.2.11)
(2n)! (2n)!
n=0 n=0
Ogólne rozwiązanie równania (2.2.1) to
" "
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) = C1 sinh x + C2 cosh x, (2.2.12)
gdzie C1 i C2 są dwoma dowolnymi stałymi, do których  włączyliśmy (mało istotne)
współczynniki a0.
Zauważmy, że w problemie tym potrafiliśmy zapisać wzór ogólny na współczynniki
szeregów Frobeniusa (an) w postaci, która pozwoliła nam zidentyfikować uzyskane
szeregi z funkcjami hiperbolicznymi  nasze rozwiązania przybrały eleganckie, zwar-
te postacie. Tym bardziej wypada sprawdzić (wyniki uzyskane za pomocą metody
Frobeniusa powinno się sprawdzać), czy funkcja określona równaniem (2.2.12) jest
rozwiÄ…zaniem naszego problemu.
BG AGH
Metoda Frobeniusa 27
PROBLEM 2.3
Znajdz
rozwiązanie równania
xy (x) - (4 + x)y (x) + 2y(x) = 0 (2.3.1)
w okolicy punktu x = 0.
Dzielimy obie strony równania przez x, aby sprowadzić go do postaci kanonicznej (por.
podrozdział 2.1  Wybranych rozdziałów . . .  ). Współczynniki pierwszej pochodnej
i samej funkcji to odpowiednio:
4 + x 2
P (x) = - , Q(x) = ,
x x
a więc punkt x = 0 jest punktem osobliwym regularnym. Postulujemy rozwiąza-
nie w postaci szeregu Frobeniusa [wzory (2.1.2) (2.1.4)] i podstawiamy do równania
(2.3.1). Otrzymujemy
" "

ak( + k)( + k - 1)x+k-1 - 4 ak( + k)x+k-1
k=0 k=0
" "

- ak( + k)x+k + 2 akx+k = 0. (2.3.2)
k=0 k=0
Możemy od razu dokonać ujednolicenia wykÅ‚adników potÄ™gowych, kÅ‚adÄ…c k Ò! j
w pierwszej i drugiej sumie, a k Ò! j - 1  w trzeciej i czwartej
" "

aj( + j)( + j - 1)x+j-1 - 4 aj( + j)x+j-1
j=0 j=0
" "

= aj-1( + j - 1)x+j-1 - 2 aj-1x+j-1. (2.3.3)
j=1 j=1
Zauważmy, że początkowa wartość wskaz
nika sumowania trzeciej i czwartej sumy to
1 a nie 0. Kładąc j = 0 i przyrównując do zera współczynnik przy x-1 (przyczynki
od pierwszej i drugiej sumy), mamy
a0[( - 1) - 4] = a0( - 5) = 0. (2.3.4)
Dwa pierwiastki równania określającego to 1 = 5 i 2 = 0. Ich różnica jest liczbą
całkowitą i w zasadzie powinniśmy oczekiwać, że metoda Frobeniusa nie dostarczy
BG AGH
28 Metoda Frobeniusa
nam obu rozwiązań równania (2.3.1). Rzeczywiście wyprowadzenie wzoru rekurencyj-
nego z równania (2.3.3)  przyrównujemy do zera  wypadkowy współczynnik x+j-1
 daje
 + j - 3
aj = aj-1 . (2.3.5)
( + j)( + j - 5)
Jeżeli położyć w nim  = 0 (mniejszy z dwóch pierwiastków równania określającego),
to wzór stanie się bezużyteczny dla j = 5! Ale spróbujmy wzór ten zastosować w nieco
inny sposób. Jego geneza, jak już powiedzieliśmy, tkwi w równaniu (2.3.3), które
moglibyśmy jednak zapisać nieco inaczej. Mianowicie, kładąc w nim  = 0, mamy
" " " "

ajj(j - 1)xj-1 - 4 ajjxj-1 = aj-1(j - 1)xj-1 - 2 aj-1xj-1 (2.3.6)
j=0 j=0 j=1 j=1
albo  po redukcji wyrazów z tymi samymi wykładnikami potęgowymi 
" "

ajj(j - 5)xj-1 = aj-1(j - 3)xj-1. (2.3.7)
j=0 j=1
Zerowanie się współczynników każdej potęgi zmiennej x możemy teraz prześledzić
dla kolejnych wartości j. Dla j = 0 mamy oczywiście j(j - 5) = 0  nasze równanie
określające. Dla kolejnych wartości j wzór (2.3.7) generuje równania:
1
j = 1 : -1 · 4a1 = -2a0 a1 = a0,
2
1
j = 2 : -2 · 3a2 = -a1 a2 = a0,
12
j = 3 : -3 · 2a3 = -0 · a2 a3 = 0,
j = 4 : -4 · 1a4 = a3 a4 = 0,
j = 5 : 0 · a5 = 2a4 0 · a5 = 0.
Z ostatniego równania wynika, że dla j = 5 nie musimy wyznaczać a5  może być
to dowolna stała. Oczywiście dla j 6 do wyznaczenia kolejnych współczynników
możemy bezpiecznie używać formuły rekurencyjnej (2.3.5); kładąc w niej  = 0,
dostajemy
j - 3
aj = aj-1 , j 6. (2.3.8)
j(j - 5)
Co więcej, dla j 6 wszystkie współczynniki będzie można wyrazić przez dowolnie
przyjęty współczynnik a5 i j. Jeżeli wygenerować kilka pierwszych współczynników
3 4 5
a6 = a5 , a7 = a6 , a8 = a7 , . . . ,
6 · 1 7 · 2 8 · 3
to nawet komputer zauważy, że
3 · 4 · 5 . . . · (n - 3) 3 · 4 · 5
an = a5 = a5 . (2.3.9)
(6 · 7 · 8 · . . . n)[(n - 5)!] n(n - 1)(n - 2)[(n - 5)!]
BG AGH
Metoda Frobeniusa 29
Nasze rozwiązanie  cały czas dla  = 0  zawiera w sobie dwie dowolne stałe, poprzez
które wyrażają się wszystkie współczynniki szeregu. Stała a0 określa (patrz wyżej)
współczynniki a1, a2, a3 i a4; stała a5  wszystkie pozostałe. Mamy więc


"

1 1 60
y(x) = a0 1 + x + x2 + a5x5 1 + xn-5 .
2 12 n(n - 1)(n - 2)[(n - 5)!]
n=6
(2.3.10)
Wynik jest w pewnym sensie zaskakujÄ…cy  z postaci wzoru (2.3.10) wynika bowiem,
że reprezentuje on ogólne rozwiązanie równania (liniowa kombinacja dwóch funkcji!).
A co stało się z drugim pierwiastkiem równania określającego,  = 5? Jeżeli nie
widzisz tego Czytelniku, to jedyna rada powrócić do formuły rekurencyjnej (2.3.5),
którą można  dla  = 5  stosować bez żadnego ryzyka. Wygenerowane przy jej
zastosowaniu współczynniki będą wyglądały jak . . . ?. Jeżeli ciągle masz Czytelniku
wątpliwości, to przypominamy Ci, że ten  nowy szereg zaczyna się od zmiennej x
w potędze piątej. A jako ostatnią wskazówkę polecamy analizę rozwiązania równania
oscylatora harmonicznego metodą Frobeniusa (podrozdział 2.5  Wybranych rozdzia-
łów. . .  ), kiedy to również mieliśmy do czynienia z całkowitą różnicą pierwiastków
równania określającego.
BG AGH
30 Metoda Frobeniusa
PROBLEM 2.4
Znajdz
rozwiązanie równania

5
x2y (x) - xy (x) - x2 + y(x) = 0 (2.4.1)
4
w okolicy punktu x = 0.
Sprawdzamy bez trudu, że punkt x = 0 jest punktem osobliwym regularnym rów-
nania (2.4.1). Zastosowanie standardowych podstawień [wzory (2.1.2) (2.1.4)] prze-
kształca wyjściowe równanie do postaci
" " "

5
ak( + k)( + k - 1)x+k - ak( + k)x+k - akx+k
4
k=0 k=0 k=0
"

- akx+k+2 = 0. (2.4.2)
k=0
Między pierwszymi trzema sumami i ostatnią, czwartą mamy przesunięcie wykładni-
ków potęgowych o dwa. Oznacza to, że ewentualne formuły rekurencyjne będą wy-
znaczały co drugi współczynnik  musimy pamiętać, aby we wstępnym etapie poddać
analizie dwa pierwsze współczynniki najniższych potęg równania. Współczynnik przy
najniższej potędze, x, to

5
a0 ( - 1) -  - ; (2.4.3)
4
przyrównując go do zera mamy

1 5
a0  +  - = 0. (2.4.4)
2 2
Dwa pierwiastki równania określającego to 1 = 5/2 i 2 = -1/2. Wprawdzie żaden
z nich nie jest liczbą całkowitą, ale ich różnica jest! Może się okazać, że metoda
Frobeniusa dostarczy nam tylko jednego rozwiÄ…zania.
Dla kolejnej potęgi, x+1, zerowanie się jej współczynnika daje

5 3 3
a1 ( + 1) - ( + 1) - = a1  +  - = 0. (2.4.5)
4 2 2
Ani dla 1 = 5/2, ani dla 2 = -1/2 wyrażenia w nawiasach nie są równe zeru, a jeżeli
tak, to z równania (2.4.5) wynika, że a1 = 0. Ze względu na wspomniane przesunięcie
wykładników potęgowych, wzór rekurencyjny będzie miał ogólną postać
an+2 = staÅ‚a × an,
BG AGH
Metoda Frobeniusa 31
z której wynika, że wszystkie nieparzyste współczynniki będą równe zeru. Jawną
postać powyższego wzoru uzyskamy, ujednolicając współczynniki potęg zmiennej x
we wzorze (2.4.2), a wiÄ™c kÅ‚adÄ…c k Ò! j w pierwszych trzech sumach i k Ò! j - 2
w ostatniej. Mamy
" " "

5
aj( + j)( + j - 1)x+j - aj( + j)x+j - ajx+j
4
j=0 j=0 j=0
"

- aj-2x+j-2+2 = 0, j 2 (2.4.6)
j=2
skąd, po prostych przekształceniach
1

aj = aj-2 . (2.4.7)
1 5
 + j +  + j -
2 2
Zgodnie z twierdzeniem Fuchsa, zaczynamy od  = 5/2. Wzór (2.4.7) przybiera postać
aj-2 a2n-2
aj = ; j Ò! 2n a2n = , (2.4.8)
j(j + 3) 2n(2n + 3)
bo tylko parzyste współczynniki są różne od zera.
Stosując powyższy wzór (n - 1)-krotnie, dla wskaz
nika zmniejszajÄ…cego siÄ™ od 2n do
2, ze skokiem 2, otrzymujemy
a0
a2n =
(2n)(2n - 2)(2n - 4) . . . (4)(2)(2n + 3)(2n + 1)(2n - 1) . . . (7)(5)
3 a0
=
(2n)(2n - 2)(2n - 4) . . . (4)(2)(2n + 3)(2n + 1)(2n - 1) . . . (5)(3)
3 a0
= , (2.4.9)
(2n + 3)[(2n + 1)!]
a jeżeli tak, to pierwsze rozwiązanie równania (2.4.1) będzie miało postać

"

x2n
y1(x;  = 5/2) = a0x5/2 1 + 3 a" a0x5/2 [1 + S(x)] .
(2n + 3)[(2n + 1)!]
n=1
(2.4.10)
Powyższe rozwiązanie można spróbować przekształcić do bardziej zwartej postaci.
Jeżeli szereg S(x) występujący w nim pomnożyć przez x3, to zarówno uzyskany szereg,
jak i szereg wyjściowy, są jednostajnie zbieżne (dla każdej wartości zmiennej x). Można
to wykazać testem d Alemberta, rozpatrując zachowanie się stosunku dwóch kolejnych
wyrazów każdego szeregu, a2n+2/a2n, przy n ". Jeżeli tak, to szereg x3 S(x) można
BG AGH
32 Metoda Frobeniusa
różniczkować wyraz po wyrazie
" "


d d x2n+3 x2n+2
x3 S(x) = 3 = 3
dx dx (2n + 3)[(2n + 1)!] (2n + 1)!
n=1 n=1

" "

x2n+1 x2n+1
= 3x = 3x -x +
(2n + 1)! (2n + 1)!
n=1 n=0
= 3x [-x + sinh x] . (2.4.11)
Szereg S(x) może zatem być określony jako rozwiązanie prostego równania różnicz-
kowego

d
x3 S(x) = -3x2 + 3x sinh x. (2.4.12)
dx
Całkując powyższe równanie (całkę z x sinh x obliczamy, całkując przez części), otrzy-
mujemy
x3 S(x) = -x3 + 3x cosh x - 3 sinh x + C, (2.4.13)
gdzie stałą całkowania wyznaczymy, podstawiając x = 0 do obu stron równania
(2.4.13). Otrzymujemy C = 0. DzielÄ…c (2.4.13) stronami przez x3 i podstawiajÄ…c
obliczone
3 3
S(x) = -1 + cosh x - sinh x
x2 x3
do wzoru (2.4.10), otrzymujemy ostatecznie

"
cosh x sinh x sinh x
y1(x;  = 5/2) = 3a0x5/2 - = b0 x cosh x - " , , (2.4.14)
x2 x3 x
gdzie b0 a" 3a0 jest dowolną (różną od zera!) stałą.
Dla  = 2 = -1/2 ujednolicenie potęg [równanie (2.4.6)] i wynikający z niego wzór
rekurencyjny zapiszemy nie w postaci ułamkowej jak (2.4.7), ale w postaci równości
dwóch przyczynków do całkowitego wykładnika potęgowego. Kładąc  = 2 = -1/2
w (2.4.6) i przyrównując do zera współczynnik potęgi x+1/2, otrzymujemy równanie
j(j - 3)aj = aj-2. (2.4.15)
Zamiast dzielić przez czynnik (j - 3), przeanalizujmy to równanie dla kilku począt-
kowych wartości j. Wiemy już, że a1 = 0, natomiast dla
j = 2 : -2a2 = a0 a2 = -1a0,
2
j = 3 : 0 · a3 = a1 = 0 a3 = dowolne!
Dla j 4 możemy współczynniki parzyste i nieparzyste obliczać z wzoru (2.4.15)
zapisanego w postaci ułamkowej
1
aj = aj-2 , j 4. (2.4.16)
j(j - 3)
BG AGH
Metoda Frobeniusa 33
Współczynniki parzyste będą wyrażały się przez rekurencję, w której występuje stała
a0, nieparzyste  przez rekurencję, zależną od stałej a3. W sposób zupełnie analo-
giczny do tego, który doprowadził nas do uzyskania wzoru (2.4.9), uzyskujemy dla
n 2
a0
a2n =
(2n)(2n - 2)(2n - 4) . . . (6)(4)(2)(2n - 3)(2n - 1)(2n - 3) . . . (3)(1)(-1)
-a0
= ;
(2n)[(2n - 2)!]
a3
a2n+1 =
(2n + 1)(2n - 1)(2n - 4) . . . (7)(5)(2n - 2)(2n - 4)(2n - 3) . . . (4)(2)
3a3
= .
(2n + 1)[(2n - 1)!]
Drugie rozwiązanie równania (2.4.1) będzie więc miało postać

"

1 x2n
y2(x;  = -1/2) = -a0x-1/2 -1 + x2 +
2 (2n)[(2n - 2)!]
n=2

"

1 x2n+1
+ 3a3x-1/2 x3 + . (2.4.17)
3 (2n + 1)[(2n - 1)!]
n=2
W powyższym wyrażeniu rozdzieliliśmy przyczynki od parzystych i nieparzystych
potęg. Proste przekształcenia1 dają

"

x2n
y2(x;  = -1/2) = -a0x-1/2 -1 +
(2n)[(2n - 2)!]
n=1

"

x2n
+ a3x5/2 1 + 3 . (2.4.18)
(2n + 3)[(2n + 1)!]
n=1
Oczywiście, drugi wyraz powyższego wzoru to nic innego, jak rozwiązanie y1 dla
 = 1 = 5/2 [wzór (2.4.10)]. Ponieważ rozwiązanie to udało nam się sprowadzić
do zwartej postaci [wzór (2.4.14)], spróbujmy, czy potrafimy to zrobić dla pierwszego
wyrazu w (2.4.18). Oznaczmy go

"

x2n
-a0x-1/2 -1 + a" -a0x-1/2[-1 + T (x)]. (2.4.19)
(2n)[(2n - 2)!]
n=1
Szereg T (x) jest jednostajnie zbieżny (kryterium d Alemberta); jego pochodna
" "

d d x2n x2n-1
[T (x)] = =
dx dx (2n)(2n - 2)! (2n - 2)!
n=1 n=1
"

x2n-2 " x2n
= x = x = x cosh x. (2.4.20)
(2n - 2)! (2n)!
n=1 n=0
1
W drugiej sumie wzoru (2.4.17) przesuwamy wskaz
nik o jeden: n n+1; 2n+1 2(n+1)+1 =
2n+3 (powoduje to zmianÄ™ dolnej granicy sumowania) i wyciÄ…gamy przed kwadratowy nawias czynnik
x3.
BG AGH
34 Metoda Frobeniusa
I tym razem nasz szereg może być określony jako rozwiązanie prostego równania
różniczkowego
d
[T (x)] = x cosh x. (2.4.21)
dx
Całkując powyższe równanie, otrzymujemy
T (x) = x sinh x - cosh x + C, (2.4.22)
Stałą całkowania wyznaczymy, podstawiając x = 0 do obu stron równania (2.4.22).
Mamy T (0) = 0, skÄ…d wynika C = 1. PodstawiajÄ…c otrzymane
T (x) = x sinh x - cosh x + 1
do wzorów (2.4.19) i (2.4.18), otrzymujemy ostatecznie
y2(x;  = -1/2) = -a0x-1/2(x sinh x - cosh x) + y1(x;  = 5/2)

" "
cosh x sinh x
= -a0 x sinh x - " + b0 x cosh x - " . (2.4.23)
x x
Jeszcze raz okazało się, że w przypadku gdy różnica pierwiastków równania określają-
cego jest liczbą całkowitą, mimo pesymistycznej prognozy twierdzenia Fuchsa, można
czasami uzyskać dla mniejszego z pierwiastków kompletne rozwiązanie równania, za-
wierające w sobie także rozwiązanie, które uzyskamy dla większego . Przypadki
takie należy jednak traktować jako wyjątkową przychylność losu, tym bardziej, jeżeli
rozwiÄ…zania otrzymujemy w eleganckich zwartych postaciach2.
2
Sumy o bardziej skomplikowanych współczynnikach potęg zmiennej x też można  zwinąć do
eleganckich, zwartych postaci  szczególnie jeżeli dysponuje się programami wykonującymi obliczenia
w postaci symbolicznej, np. Mathematica, Maple, lub MathLab.
BG AGH
Metoda Frobeniusa 35
PROBLEM 2.5
Znajdz
rozwiązanie równania
x2y (x) - xy (x) + y(x) = 0 (2.5.1)
w okolicy punktu x = 0.
Dzielimy obie strony równania przez x2, aby sprowadzić go do postaci kanonicznej
(por. podrozdział 2.1  Wybranych rozdziałów . . .  ). Współczynniki pierwszej po-
chodnej i samej funkcji w postaci kanonicznej równania to odpowiednio
1 1
P (x) = - , Q(x) = ,
x x2
a więc punkt x = 0 jest punktem osobliwym regularnym. Postulujemy rozwiązanie
w postaci szeregu Frobeniusa, o środku w x = 0 i podstawiamy standardowe wzory
(2.1.2)  (2.1.4) do równania wyjściowego. Otrzymujemy
" " "

ak ( + k)( + k - 1)x+k - ak ( + k)x+k + ak x+k = 0. (2.5.2)
k=0 k=0 k=0
Wykładniki zmiennej x w tych trzech sumach są jednakowe; mamy do czynienia
z równaniem Eulera  por. podrozdział 2.7  Wybranych rozdziałów . . .  . Możemy
zastosować do rozwiązywania tego równania metodę omówioną w tym podrozdziale,
ale możemy także stosować standardowy schemat metody Frobeniusa, uzupełniony
o dodatkowÄ… procedurÄ™ szukania drugiego rozwiÄ…zania.
Identyfikujemy w równaniu (2.5.2) współczynnik przy najniższej (k = 0) potędze 
x i przyrównujemy go do zera,

a0 ( - 1) -  + 1 = a0 ( - 1)2 = 0. (2.5.3)
Wynika stąd, że dysponujemy tylko jednym (podwójnym) pierwiastkiem równania
określającego  = 0 = 1.
Widzimy też, że współczynnik przy dowolnej (k a" n; n 1) potędze  x+n w rów-
naniu (2.5.2), z konieczności równy zeru, to

an ( + n)( + n - 1) - ( + n) + 1

= an ( + n)2 - 2( + n) + 1 = an ( + n - 1)2 = 0, n 1. (2.5.4)
Wnętrze kwadratowego nawiasu, dla  = 0 = 1, jest zawsze różne od zera; z rów-
nania (2.5.4) wynika, że
an a" 0, dla n 1. (2.5.5)
BG AGH
36 Metoda Frobeniusa
Tak więc, pierwsze rozwiązanie równania (2.5.1) to
y1(x) = a0x = . . .  = 0 = 1 . . . = a0x. (2.5.6)
Drugie rozwiÄ…zanie dostarczy nam metoda wariacji parametru , bÄ…dz
metoda wroń-
skianu.
Tak jak w poprzednim problemie, mamy

" "
y2(x) = y(x, )|=0 = a0x = a0x ln x. (2.5.7)

=0=1
" "
[por. wzór (2.6.8)].
Z kolei wrońskian równania (2.5.1) (por. podrozdział 2.8.2  Wybranych rozdziałów
. . .  , wzór {2.134}) to

x x
-1
W (x) = exp - P (s)ds = exp - ds = x (2.5.8)
s
i (por. podrozdział 2.8.2  Wybranych rozdziałów . . .  , wzór {2.137})

x x
s s
y2(x) = y1(x) ds = x ds = x ln x (2.5.9)
s2
[y1(s)]2
 w pełnej zgodzie z (2.5.7) (podstawiając do (2.5.9) y1 ze wzoru (2.5.6), pomijamy
mało istotny czynnik a0).
BG AGH
Metoda Frobeniusa 37
PROBLEM 2.6
Znajdz
rozwiązanie równania
x2y (x) + xy (x) + x2y(x) = 0 (2.6.1)
w okolicy punktu x = 0.
Równanie (2.6.1) identyfikujemy jako równanie Bessela o wskaz
niku n = 0. Jego rów-
nanie określające (por. podrozdział 2.5  Wybranych rozdziałów. . .  ), przy n = 0,
ma tylko jeden pierwiastek  = 0 = 0. Jednym rozwiązaniem równania (2.6.1) bę-
dzie więc funkcja Bessela pierwszego rodzaju, J0(x), którą odczytujemy bezpośrednio
z wzoru {2.54} tego podrozdziału, kładąc w nim n = 0
2s
"

(-1)s x
J0(x) = . (2.6.2)
(s!)2 2
s=0
Pierwsze trzy wyrazy tej sumy to
x2 x4
J0(x) = 1 - + - . . . (2.6.3)
4 64
 widać, że dla niewielkich wartości zmiennej x te pierwsze trzy wyrazy będą już bar-
dzo dobrym przybliżeniem wartości J0(x). Na przykład, dla x = 0, 1 różnica pomiędzy
dokładną wartością J0(x) a wartością obliczoną z wzoru (2.6.3), to 2,5 promila; dla
x = 0, 3  2,3 procenta; dla x = 0, 5  6,7 procenta.
Drugiego rozwiązania równania (2.6.1) możemy szukać metodą wariacji parametru 
(por. podrozdział 2.8.1  Wybranych rozdziałów . . .  ) albo metodą wrońskianu (por.
podrozdział 2.8.2  Wybranych rozdziałów . . .  ). Prześledzimy obie te metody.
Metoda wariacji parametru 
W podrozdziale 2.8.1 metoda ta opisana jest dla dwóch różnych pierwiastków równa-
nia określającego, 1 i 2, których różnica jest liczbą całkowitą. W przypadku kiedy
równanie określające ma jeden podwójny pierwiastek,  = 0, można w analogiczny
sposób wykazać, że funkcja


"
y"(x) = y(x, ) (2.6.4)

"
=0
stanowi rozwiązanie równania różniczkowego, którego równanie określające ma jeden
pierwiastek podwójny. Aby móc zastosować powyższy wzór do konstrukcji drugiego
BG AGH
38 Metoda Frobeniusa
rozwiązania, musimy podać jawną zależność współczynników an od . Relacja re-
kurencyjna (por. podrozdział 2.8.1  Wybranych rozdziałów . . .  , wzór {2.53}) ma
postać
1
a2n = - a2n-2, n 1; (2.6.5)
( + 2n)2
(różne od zera są tylko współczynniki parzyste).
Stosując powyższą rekurencję (n - 1)-krotnie, dostajemy
(-1)n
a2n = a0; n 1 (2.6.6)
( + 2n)2( + 2n - 2)2 . . . ( + 4)2( + 2)2
i odpowiednio
"

(-1)n x+2n
y(x, ) = a0x + a0 . (2.6.7)
( + 2n)2( + 2n - 2)2 . . . ( + 4)2( + 2)2
n=1
Pozostaje tylko zróżniczkowanie powyższego wzoru względem  i położenie  = 0 =
0. Na wszelki wypadek przypomnijmy
d d
x = e ln x = ln x e ln x = x ln x. (2.6.8)
d d
Różniczkowanie wzoru (2.6.7) nie jest trudne, ale wymaga uwagi. Ponieważ nie ma-
my żadnych szans na uzyskanie rozwiązania w eleganckiej, zwartej postaci, poprze-
staniemy na pierwszych trzech wyrazach sumy występującej w (2.6.7), kładąc dla
(niewielkiego) uproszczenia obliczeń a0 = 1:
"

(-1)n x+2n
y(x, ) = x +
( + 2n)2( + 2n - 2)2 . . . ( + 4)2( + 2)2
n=1
x+2 x+4 x+6
= x - + - + . . .
( + 2)2 ( + 4)2( + 2)2 ( + 6)2( + 4)2( + 2)2
Pochodna powyższego wyrażenia to
" 2x+2 x+2 ln x
y(x, ) = x ln x + -
" ( + 2)3 ( + 2)2
2x+4 2x+4 x+4 ln x
- - +
( + 4)3( + 2)2 ( + 4)2( + 2)3 ( + 4)2( + 2)2
2x+6 2x+6
+ +
( + 6)3( + 4)2( + 2)2 ( + 6)2( + 4)3( + 2)2
2x+6 x+6 ln x
+ - + . . . ;
( + 6)2( + 4)2( + 2)3 ( + 6)2 + 4)2( + 2)2
BG AGH
Metoda Frobeniusa 39
a jej wartość dla  = 0 = 0 to nasze rozwiązanie y2(x)



" x2 x4
y2(x) = y(x, ) = ln x 1 - + - . . .

" 4 64
=0

x2 3x4
+ - + . . . . (2.6.9)
4 128
W powyższym równaniu rozbiliśmy całkowite rozwiązanie na dwa człony: jeden z nich
zawiera czynnik logarytmiczny, pomnożony  jak łatwo zauważyć  przez rozwiązanie
y1(x) [por. wzór (2.6.3)], drugi  to nowy szereg (parzystych) potęg zmiennej x. Jest
to reguła ogólna; w przypadku gdy różnica pierwiastków równania określającego jest
liczbą całkowitą lub zerem, ogólna całka równania ma postać
y(x) = C1y1(x) + C2 [y1(x) ln x + y2(x)] , (2.6.10)
gdzie y1(x) oraz y2(x) to szeregi Frobeniusa zmiennej niezależnej. Jeżeli taką właśnie
postać podstawimy od razu do równania wyjściowego, to nowe równanie potrafimy
rozwiązać ze względu na nieznane funkcje y1(x) oraz y2(x).
Metoda wrońskianu
wrońskian równania Bessela [(2.6.1), ale także każdego równania Bessela, dla dowolnej
wartości wskaz
nika równania ½  por. podrozdziaÅ‚ 2.8.2  Wybranych rozdziałów . . .  ,
wzór {2.134}], to

x x
1 1
W (x) = exp - P (s)ds = exp - ds = . (2.6.11)
s x
Podajemy wartość wrońskianu z dokładnością do stałej multiplikatywnej  wartość
 dokładna , spójna z definicjami funkcji Bessela pierwszego i drugiego rodzaju, to

2/Ä„ · 1/x. Jeżeli tak, to (por. podrozdziaÅ‚ 2.8.2  Wybranych rozdziałów . . .  , wzór
{2.137})

x
1
y2(x) = y1(x) ds, (2.6.12)
s[y1(s)]2
gdzie za y1(s) należałoby podstawić z wzoru (2.6.2), a raczej  (2.6.3)

x
1
y2(x) = y1(x) ds. (2.6.13)
2
s2 s4
s 1 - + - . . .
4 64
Pamiętajmy, że chodzi nam o wygenerowanie kilku pierwszych wyrazów drugiego
rozwiązania.  Główny wyraz w mianowniku funkcji podcałkowej, to (obliczymy go
na przykład dzieląc jedynkę przez kwadrat wyrażenia w nawiasie)  z dokładnością
do wyrazów z czwartą potęgą zmiennej s
-2 -1
s2 s4 s2 3s4 s6 s2 5s4
1 - + - . . . = 1 - + - + . . . = 1 + + + . . . ,
4 64 2 32 128 4 32
BG AGH
40 Metoda Frobeniusa
tak więc


x
1 s2 5s4 x2 5x4
y2(x) = J0(x) 1 + + + . . . ds = J0(x) ln x + + + . . . .
s 2 32 4 128
Zgodnie z oczekiwaniami otrzymujemy pierwsze rozwiązanie przemnożone przez funk-
cję logarytmiczną oraz szereg, którego kilka pierwszych wyrazów to

x2 5x4 x2 x4 x2 5x4
J0(x) × + + . . . = 1 - + - . . . × + + . . .
4 128 4 64 4 128
x2 3x4
= - + O x6 (2.6.14)
4 128

 w zgodzie z równaniem (2.6.9). Symbolem O x6 oznaczamy resztę, o której rzędzie
wielkości decyduje najniższa, a więc szósta potęga, z nieskończonej sumy pominiętych
wartości.
Dociekliwy Czytelnik, który chciałby skonfrontować otrzymane drugie rozwiązanie,
z definicją funkcji Bessela drugiego rodzaju (funkcji Neumanna; por. podrozdział 4.2
 Wybranych rozdziałów . . .  , wzór {4.80}), musi do uzyskanego powyżej (oboma
metodami) rozwiązania y2(x) [wzór (2.6.14)] dodać wyrażenie
2
[Å‚ - ln 2]J0(x),
Ä„
gdzie ł to stała Eulera Mascheroniego  por. podrozdział 1.5  Wybranych rozdzia-
łów. . .  , a wiÄ™c wyrażenie typu  staÅ‚a×y1(x) . Taka operacja jest zawsze dozwolona.
BG AGH
Metoda Frobeniusa 41
PROBLEM 2.7
Znajdz
rozwiązanie równania

x2y (x) + xy (x) + x2 - 1 y(x) = 0 (2.7.1)
w okolicy punktu x = 0.
Równanie (2.7.1) identyfikujemy jako równanie Bessela o wskaz
niku n = 1.
Kładąc w równaniu określającym uzyskanym w podrozdziale 2.5  Wybranych rozdzia-
łów. . .  n = 1 widzimy, że równanie określające daje nam dwa pierwiastki  = 1 = 1
oraz  = 2 = -1, których różnica jest liczbą całkowitą. Z podrozdziału 2.5  Wybra-
nych rozdziałów. . .  wiemy już, że w przypadku równania Bessela metoda szeregów
Frobeniusa da nam tylko jedno rozwiÄ…zanie.
Ujednolicamy potęgi w równaniu (2.7.1) [podstawiamy jak zwykle z wzorów (2.1.2)
(2.1.4)] i kÅ‚adziemy k Ò! j w pierwszej, drugiej i czwartej sumie oraz k Ò! j - 2
w trzeciej. Prowadzi to do równania
-1
aj = aj-2, n 2; (2.7.2)
( + j)2 - 1
(por. relację rekurencyjną, wzór {2.53}). Dla j = 2n - 2 i  = 1 = 1 powyższy wzór
określa wszystkie parzyste współczynniki
1
a2n = -a2n-2 , n 2. (2.7.3)
4n(n + 1)
Stosując ten wzór (n - 1)-krotnie [za każdym razem: (a) mnożymy przez (-1),
(b) dzielimy przez 4, (c) dzielimy przez kolejną (mniejszą) liczbę całkowitą, poczyna-
jąc od (n - 1) i (d) dzielimy przez kolejną (mniejszą) liczbę całkowitą, poczynając od
n] otrzymujemy
(-1)n
a2n = a0 , n 2. (2.7.4)
4nn!(n + 1)!
Ta sama relacja rekurencyjna (2.7.2), w połączeniu z faktem, że a1 = 0 (por. podroz-
dział 2.5  Wybranych rozdziałów. . .  ), sprawia, że wszystkie nieparzyste współczyn-
niki a2n+1 = 0, dla n = 0, 1, 2, . . .
Możemy już napisać nasze pierwsze rozwiązanie
"

(-1)n
y1 = y(x, 1 = 1) = a0x x2n a" J1(x). (2.7.5)
4nn!(n + 1)!
n=0
BG AGH
42 Metoda Frobeniusa
J1(x) to oczywiście funkcja Bessela pierwszego rodzaju, którą moglibyśmy też wyli-
czyć, podstawiając n = 1 bezpośrednio do wzoru {2.54}  Wybranych rozdziałów. . .  .
Z problemu 2.6 wynika jasno, że metoda wrońskianu, zastosowana do równania Bes-
sela, nie daje drugiego rozwiÄ…zania w postaci zwartej. Dlatego korzystamy z metody
wariacji parametru  (podrozdział 2.8.1  Wybranych rozdziałów. . .  ). W przypadku
dwóch różnych pierwiastków równania określającego, 1 i 2, których różnica jest
liczbą całkowitą, drugim rozwiązaniem równania, dla  = 2, jest

"
y2(x) = ( - 2)y1(x; )
"
=2

"

"
= a0( - 2)x + ( - 2)a2n()x+2n . (2.7.6)
"
n=1
=2
Występujące w powyższym wzorze współczynniki a2n(), to [por. wzór (2.7.2)]
-1 -1
a2n = a2n-2 = a2n-2; n 1. (2.7.7)
( + 2n)2 - 1 ( + 2n - 1)( + 2n + 1)
Wzór ten może posłużyć do wyznaczenia jawnej postaci kilku pierwszych parzystych
współczynników a2n():
-1
a2() = a0,
( + 1)( + 3)
-1 1
a4() = a2 = a0,
( + 3)( + 5) ( + 1)( + 3)2( + 5)
-1 -1
a6() = a4 = a0,
( + 5)( + 7) ( + 1)( + 3)2( + 5)2( + 7)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tak określone współczynniki podstawiamy do wzoru (2.7.6) i obliczamy pochodną
względem . Mamy:  - 2 =  + 1, a więc
"
[( + 1)y1(x; )]
"

1 1
= a0 x + ( + 1)x ln x + x+2 - x+2 ln x
( + 3)2 ( + 3)
2 1 1
- x+4 - x+4 + x+4 ln x
( + 3)3( + 5) ( + 3)2( + 5)2 ( + 3)2( + 5)
2 2
+ x+6 + x+6
( + 3)3( + 5)2( + 7) ( + 3)2( + 5)3( + 7)

1 x+6 ln x
+ x+6 - + . . . . (2.7.8)
( + 3)2( + 5)2( + 7)2 ( + 3)2( + 5)2( + 7)
BG AGH
Metoda Frobeniusa 43
Pozostaje obliczenie tego wyrażenia dla  = 2 = -1. Podobnie jak w problemie 2.6
rozbijemy otrzymany wynik na dwie części, grupując osobno wyrazy z logarytmem.
Proste, choć nieco żmudne rachunki, dają

"
y2(x) = ( + 1)y1(x; )
"
=-1

1 x2 5x4 10x6 x x3 x5
= a0 + - + + . . . - a0 ln x - + - . . .
x 4 64 2304 2 16 384

1 x2 5x4 10x6 1
a" a0 + - + + . . . - y1(x) ln x, (2.7.9)
x 4 64 2304 2
gdzie y1(x) to  warto sprawdzić!  pierwsze rozwiązanie, wzór (2.7.5).
BG AGH
44 Metoda Frobeniusa
PROBLEM 2.8
Znajdz
rozwiązanie równania
x2y (x) + (3x - 1)y (x) + y(x) = 0, (2.8.1)
dla dużych wartości zmiennej x.
Równanie (2.8.1) jest równaniem, dla którego punkt x = 0 stanowi osobliwość niere-
gularną. Z kolei, punkt w nieskończoności jest osobliwością regularną. Jeżeli bowiem
obliczymy współczynniki P (x) i Q(x)
3x - 1 1
P (x) = , Q(x) = ,
x2 x2
to widzimy, że nieskończoność jest dla funkcji P zerem pierwszego rzędu, a dla funkcji
Q  zerem drugiego rzędu. Są to właśnie te warunki, które muszą być spełnione, aby
nieskończoność była osobliwością regularną  por. dokładną dyskusję w podrozdziale
2.3  Wybranych rozdziałów. . .  . Tak jak w tym podrozdziale podstawiamy nową
zmienną, t = 1/x i poddajemy transformacji równanie (2.8.1). Mamy
dy(x) dy(1/t) dt dy(1/t)
= = -t2
dx dt dx dt
i podobnie
d2y(x) dy(1/t) d2y(1/t)
= . . . = 2t3 + t4 .
dt
dx2 dt2
Podstawiając z powyższych równań pierwszą i drugą pochodną y-a do (2.8.1) otrzy-
mujemy
d2y dy
t4 + [2t3 - t2P (t)] + Q(t) y = 0. (2.8.2)
dt
dt2
Współczynniki P i Q, wyrażone w języku zmiennej t = 1/x to
P (t) = t2(3/t - 1), Q(t) = t2.
Podstawiając je do (2.8.2) i przekształcając otrzymane równanie, dochodzimy do
stosunkowo prostego równania
d2y(t) dy(t)
t2 - t(1 - t) + y(t) = 0. (2.8.3)
dt2 dt
Punkt t = 0 (odpowiednik punktu w nieskończoności dla zmiennej x) jest  zgod-
nie z oczekiwaniami  osobliwością regularną. Podstawiamy z wzorów (2.1.2) (2.1.4)
BG AGH
Metoda Frobeniusa 45
funkcję y oraz jej pierwszą i drugą pochodną (w języku zmiennej t) do równania
(2.8.3) i otrzymujemy
" "

ak ( + k)( + k - 1)t+k - ak ( + k)t+k
k=0 k=0
" "

+ ak ( + k)t+k+1 + ak x+k = 0. (2.8.4)
k=0 k=0
Ujednolicenie wykÅ‚adników potÄ™gowych  poÅ‚ożenie k Ò! n w pierwszej, drugiej
i czwartej sumie, a k Ò! n - 1 w trzeciej daje
" "

an [( + n)( + n - 1) - ( + n) + 1]t+n + an-1 ( + n - 1)t+n = 0
n=0 n=1
(2.8.5)
albo
" "

an ( + n - 1)2t+n + an-1 ( + n - 1)t+n = 0. (2.8.6)
n=0 n=1
Najniższa potęga to t (n = 0); jej współczynnik, przyrównany do zera, to równanie
określające
( - 1)2 = 0, (2.8.7)
o jednym, podwójnym pierwiastku 0 = 1. Relacja rekurencyjna ma postać
an ( + n - 1)2 = -an-1 ( + n - 1), (2.8.8)
tak więc
1
an = -an-1 , n 1. (2.8.9)
 + n - 1
StosujÄ…c jÄ… (n - 1)-krotnie, otrzymujemy
(-1)n
an a" an() = a0 , n 1. (2.8.10)
( + n - 1)( + n - 2) . . . ( + 1)
Pierwsze rozwiązanie dostaniemy, kładąc  = 0 = 1 w powyższej relacji. Mamy
1 (-1)n
an = -an-1 = . . . = a0 , n 1 (2.8.11)
n n!
i konsekwentnie

" "

(-1)n
y1(t) = t a0 + an tn = a0 t + tn+1
n!
n=1 n=1

" "

(-1)n (-t)n
= a0t 1 + tn = a0t = a0 te-t. (2.8.12)
n! n!
n=1 n=0
BG AGH
46 Metoda Frobeniusa
Drugie rozwiązanie stosunkowo prosto można otrzymać metodą wariacji parametru
. Wiemy, że funkcja


"


" "
y2(x) = y(x, ) = t a0 + an() tn (2.8.13)

" "
=0
n=1
=0
stanowi szukane rozwiązanie. Podstawiamy za an() wyrażenie dane wzorem (2.8.10)
i obliczamy pochodnÄ…

"

"y(x, ) " (-1)n
= a0 t + tn+
" " ( + n - 1)( + n - 2) . . . ( + 1)
n=1

"

(-1)n
= a0 ln t t + tn+
( + n - 1)( + n - 2) . . . ( + 1)
n=1
"

- a0 (-1)n tn+
n=0
1 1 1 1 1
+ + + . . . + +
  + 1  + 2  + n - 2  + n - 1
× . (2.8.14)
( + n - 1)( + n - 2) . . . ( + 1)
Tak jak zwykle, zgrupowaliśmy osobno wyrazy z czynnikiem logarytmicznym  łatwo
zauważyć, że nieskończona suma, przez którą mnożona jest funkcja ln t to, po pod-
stawieniu  = 1, nic innego jak te-t  pierwsze rozwiązanie [wzór (2.8.12)]. Druga
suma w (2.8.14), po podstawieniu  = 1, daje
1 1 1 1 1
" + + + . . . + + "

Hn
n - 1 n
-a0 (-1)n tn+1 1 2 3 = -a0 (-1)n tn+1 ,
(n)(n - 1) . . . (2)(1) n!
n=0 n=0
gdzie Hn to n-ta liczba harmoniczna. Drugie rozwiązanie możemy zapisać w postaci
"

Hn
y2(t) = y1(t) ln t - a0 (-1)n tn+1 , (2.8.15)
n!
n=0
gdzie y1 jest określone wzorem (2.8.12).
Pozostaje tylko powrót do  starej zmiennej x = 1/t. W jej języku mamy:
"

1 (-1/x)n 1 1
x
y1(x) = = e- ; (2.8.16)
x n! x
n=0
n+1
"

1 1 Hn
y2(x) = y1(x) ln - a0 (-1)n
x x n!
n=0
"

1 (-1)nHn
= -y1(x) ln x - a0 . (2.8.17)
x n! xn+1
n=0
BG AGH
Metoda Frobeniusa 47
Ambitny Czytelnik spróbuje zapewne uzyskać drugie rozwiązanie metodą wrońskia-
nu. Bez większych trudów można w nim  zobaczyć człon y1(x) ln(x), natomiast
ewentualna reprodukcja szeregu z liczbami harmonicznymi [druga część y2 we wzorze
(2.8.17)] to zadanie dla bardzo ambitnych.
BG AGH
48 Metoda Frobeniusa
PROBLEM 2.9
Znajdz
rozwiązanie równania
x2y (x) + 3xy (x) + (1 - 2x)y(x) = 0, (2.9.1)
w okolicy punktu x = 0.
Punkt x = 0 jest dla równania (2.9.1) punktem osobliwym regularnym  P (x) = 3/x,
Q(x) = (1-2x)/x2. Nie ma więc przeszkód, aby stosować standardowe wzory (2.1.2)
(2.1.4). Po ich podstawieniu do (2.9.1) otrzymujemy równanie
" "

ak ( + k)( + k - 1)x+k + 3 ak ( + k)x+k
k=0 k=0
" "

+ ak x+k - 2 ak x+k+1 = 0, (2.9.2)
k=0 k=0
które  po redukcji i ujednoliceniu wykładników potęgowych  możemy przepisać
w postaci
" "

ak ( + k + 1)2x+k - 2 ak-1 x+k = 0. (2.9.3)
k=0 k=1
Pierwszy wyraz pierwszej sumy zawiera  przy k = 0  najniższą potęgę zmiennej x;
przyrównując jej współczynnik do zera, otrzymujemy równanie określające
( + 1)2 = 0, (2.9.4)
z jednym pierwiastkiem podwójnym:  = 0 = -1. Z kolei, dla k 0 z równania
(2.9.3) otrzymujemy relacjÄ™ rekurencyjnÄ…
( + k + 1)2ak - 2ak-1 = 0; k 1. (2.9.5)
KÅ‚adÄ…c w niej kolejno: k = n, k = n - 1, k = n - 2, mamy
2
an = an-1;
( + n + 1)2
2
an-1 = an-2;
( + n)2
2
an-2 = an-1;
( + n - 1)2
BG AGH
Metoda Frobeniusa 49
i po wykonaniu sekwencji n takich kroków otrzymamy
2n a0
an = . (2.9.6)
( + n + 1)2( + n)2( + n - 1)2 . . . ( + 3)2( + 2)2
KÅ‚adÄ…c  = 0 = -1 w (2.9.6), dostajemy


2n a0

an =
( + n + 1)2( + n)2( + n - 1)2 . . . ( + 3)2( + 2)2 =-1
2n
= a0 (2.9.7)
(n!)2
i konsekwentnie

" "

1 2n
y1(x) = a0 x + anxn+ = a0 + xn-1 . (2.9.8)
x (n!)2
n=1 n=1
Procedura konstrukcji drugiego rozwiązania jest analogiczna do tej, jaką stosowaliśmy
w poprzednim problemie. Będzie nim funkcja


"


" "
y2(x) = y(x, ) = x a0 + an() xn , (2.9.9)

" "
=0
n=1
=0
gdzie za an() podstawiamy z (2.9.6).
Wiemy już, że po wykonaniu różniczkowania i podstawienia  = 0 = -1, w drugim
rozwiązaniu pojawi się pierwsze rozwiązanie przemnożone przez logarytm; dlatego
drugie rozwiązanie możemy a priori zapisać w postaci
"

y2(x) = y1(x) ln x + bn() xn-1, (2.9.10)
n=1
gdzie


"
bn = an() . (2.9.11)

"
=-1
W obliczeniach pochodnej współczynników an wygodnie jest zastosować pochodną
logarytmicznÄ…. Mamy [por. (2.9.6)]
ln an = n ln 2 - 2 ln( + n + 1) - 2 ln( + n) - . . . - 2 ln( + 3) - 2 ln( + 2) + ln a0.
Różniczkując względem , otrzymujemy

1 dan() 1 1 1 1
= -2 + + . . . + + . (2.9.12)
an() d  + n + 1  + n  + 3  + 2
Pozostaje już tylko w powyższym wzorze położyć  = -1 i podstawić za an z (2.9.7).
Współczynniki bn szeregu stanowiącego część drugiego rozwiązania to

1 1 1 1 2n
bn = -2an + + . . . + + = -2a0 Hn, (2.9.13)
1 2 n - 1 n (n!)2
BG AGH
50 Metoda Frobeniusa
gdzie Hn to n-ta liczba harmoniczna (por. poprzedni problem).
Pełna postać drugiego rozwiązania równania (2.9.1) to
"

2n
y2(x) = y1(x) ln x - a0 2 Hn xn-1. (2.9.14)
(n!)2
n=1
Ponieważ nie udało się uzyskać pierwszego rozwiązania w postaci zwartej, metoda
wrońskianu będzie mało przydatna w konstrukcji drugiego rozwiązania. Może być
użyta ewentualnie dla przypadku małych wartości zmiennej x (x 1), tak jak to
mieliśmy w problemie 2.6.
BG AGH
Metoda Frobeniusa 51
PROBLEM 2.10
Znajdz
rozwiązanie równania Laguerre a
xy (x) + (1 - x)y (x) + qy(x) = 0, (2.10.1)
gdzie q jest pewną stałą.
Równanie (2.10.1) identyfikujemy jako równanie Laguerre a  por. tabela 2.1, a także
podrozdział 2.11  Wybranych rozdziałów. . .  . Właśnie w tym podrozdziale, dyskutu-
jÄ…c stacjonarne równanie Schrödingera dla atomu wodoru, przekonaliÅ›my siÄ™, że część
radialna funkcji falowej elektronu wyraża się poprzez wielomiany Laguerre a. Wie-
lomiany te uzyskaliśmy tam poprzez  obcięcie funkcji konfluentnej  tutaj mamy
okazję, aby do tych samych wielomianów dotrzeć metodą szeregów Frobeniusa.
Punkt x = 0 jest dla równania (2.10.1) punktem osobliwym regularnym:  P (x) =
(1 - x)/x, Q(x) = q/x2  a więc bez więc przeszkód można stosować standardowe
podstawienia, wzory (2.1.2) (2.1.4). Po ich podstawieniu do (2.10.1) otrzymujemy
równanie
" "

x ak ( + k)( + k - 1)x+k-2 + (1 - x) ak ( + k)x+k-1
k=0 k=0
"

+q ak x+k = 0, (2.10.2)
k=0
które  po redukcji i ujednoliceniu wykładników potęgowych  zapisujemy w postaci
" "

ak ( + k)2x+k-1 + ak-1[q - ( + k - 1)] x+k-1 = 0. (2.10.3)
k=0 k=1
Współczynnik najniższej potęgi zmiennej x (pierwszy wyraz pierwszej sumy) to po
prostu a02; równanie określające ma jeden pierwiastek podwójny:  = 0 = 0.
Wzór rekurencyjny to
ak ( + k)2 = -ak-1[q - ( + k - 1)] (2.10.4)
albo (k a" n)
[( + n - 1) - q]
an = an-1; n 1. (2.10.5)
( + n)2
Postać tego wzoru niezbyt dobrze wróży perspektywom znalezienia drugiego rozwią-
zania. Jeżeli chodzi o pierwsze, to podstawiając do (2.10.5)  = 0, dostajemy
[(n - 1) - q]
an = an-1; n 1. (2.10.6)
n2
BG AGH
52 Metoda Frobeniusa
AplikujÄ…c tÄ™ relacjÄ™ (n - 1)-krotnie, dostajemy
[(n - 1) - q][(n - 2) - q] . . . [1 - q][-q]
an = a0
n2(n - 1)2 . . . 2212
[q - n + 1][q - n + 2] . . . [q - 1][q]
= (-1)n a0
(n!)2
“(q + 1) a0 (q)! a0
= (-1)n a" (-1)n . (2.10.7)
“(q - n + 1) (n!)2 (q - n)! (n!)2
Pojawiające się we wzorze (2.10.7) funkcje gamma Eulera podkreślają, że silnie mu-
szą być traktowane w sposób uogólniony  nie wiemy a priori nic o  całkowitości
parametru q; z kolei, dla całkowitego q = N, mamy
[N - N][N - n + 1] . . . [N - 1][N]
aN+1 = (-1)N+1 a0 = 0.
[(N + 1)!]2
Ten współczynnik, jak i wszystkie następne, staje się równy zeru i nasze rozwiązanie
rzeczywiście przybiera postać wielomianu. Reasumując, pierwsze rozwiązanie równa-
nia Laguerre a można zapisać w postaci alternatywy
"

“(q + 1) xn
y1(x) = a0 (-1)n ; q = N, (2.10.8)

“(q - n + 1) (n!)2
n=0
N

(-1)nN! xn
y1(x) = a0 (-1)n ; q = N, (2.10.9)
(N - n)! (n!)2
n=0
gdzie przez N oznaczamy dowolną liczbę całkowitą 1. Oczywiście, drugi przypadek
tej alternatywy, to  nasze (zwykłe) wielomiany Laguerre a.
Z punktu widzenia zastosowań w fizyce, znajdowanie drugiego rozwiązania równa-
nia Laguerre a nie jest specjalnie pasjonujące. Najprościej znajdziemy go, zakładając
a priori, że jego postać to
"

y2(x) = y1(x) ln(x) + bnxn (2.10.10)
n=1
(nie zapominajmy, że  = 0!). Obliczamy pierwszą i drugą pochodną wyrażenia po
prawej stronie (2.10.10)
"

1
y (x) = y (x) ln x + y1(x) + bnn xn-1,
2 1
x
n=1
"

2 1
y (x) = y (x) ln x + y (x) - y1(x) + bnn(n - 1) xn-2
2 1 1
x x2
n=1
BG AGH
Metoda Frobeniusa 53
i podstawiamy do (2.10.1). Mamy
"

1
ln x[y1 + (1 - x)y1 + qy1] + 2y - y1 + bnn(n - 1) xn-1
1
x
n=1
" " "

1
+ y1 - xy1 + bnn xn-1 - bnn xn + q bn xn = 0. (2.10.11)
x
n=1 n=1 n=1
Współczynnik funkcji logarytmicznej (kwadratowy nawias) jest równy zeru (y1 jest
rozwiązaniem naszego równania!). Pozostaje podstawienie na y1(x) i y (x) w ogólnej
1
postaci
" "

y1(x) = an xn, y (x) = ann xn-1,
1
n=0 n=0
z współczynnikami an danymi przez (2.10.7). Prowadzi to do równania
" " " "

2 an nxn-1 - an xn + bnn2 xn-1 + bn(q - n)xn = 0.
n=0 n=0 n=1 n=1
W równaniu tym musimy przyrównać do zera wszystkie kolejne potęgi zmiennej x,
począwszy od zerowej. Daje to, sukcesywnie, wzory na kolejne współczynniki bn; n =
1, 2, . . . I tak przyrównanie do zera współczynnika potęgi x0 daje
2a1 · 1 - a0 + 12 · b1 = 0, b1 = a0 - 2a1,
a przyrównanie do zera współczynnika potęgi x1 daje
a1 - (q - 1)b1
2a2 · 2 - 22 · b2 = a1 + (q - 1)b1, b2 = -a2 + .
4
Procedura ta może być kontynuowana dla dowolnie dużych wartości wskaz
nika n. Ale,
tak jak podejrzewaliśmy, drugie rozwiązanie równania Laguerre a ma mało przyjazną
postać.
BG AGH
54 Metoda Frobeniusa
PROBLEM 2.11
Znajdz
rozwiązanie równania
xy (x) + (1 - 2x)y (x) + (x - 1)y(x) = 0, (2.11.1)
wokół punktu x = 0.
Punkt x = 0 jest punktem osobliwym regularnym; współczynniki pierwszej pochodnej
i samej funkcji (w postaci kanonicznej) to
1 - 2x 1 x - 1 1
P (x) = = - 2, Q(x) = = 1 - . (2.11.2)
x x x x
Standardowe podstawienia [wzory (2.1.2) (2.1.4)] przekształcają równanie (2.11.1) w
" "

ak ( + k)( + k - 1)x+k-1 + ak ( + k)x+k-1
k=0 k=0
" " "

- 2 ak ( + k)x+k + ak x+k+1 - ak x+k = 0. (2.11.3)
k=0 k=0 k=0
W pierwszej i drugiej sumie wykładniki potęgowe zmiennej x zaczynają się od  - 1;
w trzeciej i piątej  od , a w czwartej  od +1. Wzór rekurencyjny będzie nieco inny
niż dotychczasowe  obliczenie kolejnego współczynnika będzie wymagało znajomości
dwóch poprzednich.
Przyrównując do zera współczynnik przy x-1, otrzymujemy równanie określające
w postaci
a0[( - 1) + ] = 0, (2.11.4)
z jednym podwójnym pierwiastkiem  = 0 = 0. Przyrównanie do zera współczynnika
kolejnej potęgi  x prowadzi do równania
a1(1 + )(1 +  - 1) + a1( + 1) - 2a0( + 0) - a0 = 0. (2.11.5)
Kładąc w nim obliczone wcześniej  = 0, otrzymujemy a1 = a0  pierwsze dwa
współczynniki szeregu są identycznymi (dowolnymi) stałymi.
Ujednolicamy wykładniki potęgowe w równaniu (2.11.3), kładąc w pierwszej i drugiej
sumie k Ò! j + 1; w trzeciej i piÄ…tej  k Ò! j, a w czwartej  k Ò! j - 1. Relacja
rekurencyjna dla współczynników ak ma postać
aj+1[(j + 1)j + j + 1] - 2ajj + aj-1 - aj = 0, (2.11.6)
BG AGH
Metoda Frobeniusa 55
albo
aj(2j + 1) - aj-1
aj+1 = ; j = 1, 2, . . . (2.11.7)
(j + 1)2
Taka postać rekurencji nie jest zbyt przyjazna i nie jest łatwo napisać ogólną postać
współczynnika ak. Ale wyliczenie kilku pierwszych współczynników
1 1 1 1
a2 = a0 , a3 = a0 , a4 = a0 , a5 = a0 , . . .
2 6 24 120
pozwala na sformułowanie hipotezy
1
an = a0 . (2.11.8)
n!
Skrupulatny Czytelnik, chcący sprawdzić tę hipotezę, może zastosować metodę in-
dukcji matematycznej. PostulujÄ…c
1 1
an = a0 , an-1 = a0 ,
n! (n - 1)!
z rekurencji (2.11.7) otrzymamy
2n + 1 1
-
an(2n + 1) - an-1
n! (n - 1)!
an+1 = = a0
(n + 1)2 (n + 1)2
2n + 1 - n
1
= a0 n! = a0
(n + 1)(n + 1) (n + 1)!
 hipoteza (2.11.8) została zweryfikowana pozytywnie! Tak więc pierwszym rozwią-
zaniem równania (2.11.1) jest
" "

1
y1(x) = anxn = a0 xn = a0 ex (2.11.9)
n!
n=0 n=0
 funkcja eksponencjalna, co można było jednak dość łatwo odgadnąć, analizując po-
stać wyjściową równania! Czasem warto przyjrzeć się nieco baczniej równaniu, zanim
zaczniemy stosować nasze algorytmy. Jeżeli przeanalizować (proste przecież) wartości
współczynników drugiej i pierwszej pochodnej, oraz samej funkcji w (2.11.1), to nie
trudno stwierdzić, że ich suma jest równa zeru. A jeżeli tak, to znakomitym kandyda-
tem na rozwiązanie powinna być właśnie funkcja ex. Warto pamiętać Czytelniku, że
zgadywanie rozwiązania równania (zwłaszcza choć jednego!) jest znakomitą taktyką
rozwiązywania równań różniczkowych!
BG AGH
56 Metoda Frobeniusa
Przy takiej postaci wzoru rekurencyjnego jak wzór (2.11.7), a jednocześnie przy tak
przyjaznym pierwszym rozwiązaniu jak wzór (2.11.9) alternatywa: metoda wariacji
parametru   metoda wrońskianu powinna być zdecydowanie rozstrzygnięta na ko-
rzyść tej drugiej. wrońskian równania (2.11.1) jest równy


x x
1 1
exp - P (s)ds = exp - - 2 ds = e2x. (2.11.10)
s x
Drugie rozwiązanie ma więc postać

x x
W (s) (1/s) e2s
y2(x) = y1(x) ds = ex ds = ex ln x. (2.11.11)
e2s
[y1(s)]2
Zgodnie z oczekiwaniami (podwójny pierwiastek równania określającego!) w drugim
rozwiązaniu pojawia się funkcja logarytmiczna, ale i tak jego postać jest bardzo sym-
patyczna. Ze względu na tę sympatyczną postać warto sprawdzić, że y2(x) spełnia
równanie (2.11.1), a także zauważyć, że o ile pierwsze rozwiązanie  obsługuje cały
zakres zmiennej x, to drugie rozwiązanie  jak zwykle w takich przypadkach  może
być użyte tylko dla x > 0. Oba rozwiązania stają się też osobliwe dla x ". To
nie jest niespodzianką  jak wynika z wzorów (2.11.2) punkt w nieskończoności jest
punktem osobliwym nieregularnym.
BG AGH
Metoda Frobeniusa 57
PROBLEM 2.12
Znajdz
rozwiązanie równania
1 - 2
x2y (x) + y(x) = 0 (2.12.1)
4
w okolicy punktu x = 0. Rozpatrz przypadek  0.
Równanie (2.12.1) to równanie Eulera, opisane w podrozdziale 2.7  Wybranych roz-
działów. . .  . Wiemy, że rozwiązaniem tego typu równania będą funkcje potęgowe.
PodstawiajÄ…c y(x) a" xÄ… do (2.12.1), mamy
1 - 2
Ä…(Ä… - 1)xÄ… + xÄ… = 0, (2.12.2)
4
co prowadzi do
1 - 2
Ä…(Ä… - 1) + = 0 (2.12.3)
4
 równania kwadratowego, z którego wyznaczamy wartości wykładnika potęgowego;
mamy ą1 = (1 + )/2 i ą2 = (1 - )/2. Dwa, liniowo niezależne, rozwiązania (2.12.1)
to
" "
y1(x) = x(1+)/2 = x x/2 oraz y2(x) = x(1-)/2 = x x-/2. (2.12.4)
"
Dla  0 pozostaje jedno rozwiązanie: y1(x) = x. Aby uzyskać drugie, możemy
zastosować wzór {2.82} z  Wybranych rozdziałów. . .  , albo metodę wrońskianu:

x
"
W (s)
y2(x) = y1(x) ds = x ln x. (2.12.5)
2
y1(s)
wrońskian równania (2.12.1)  jak wrońskian każdego równania, w którym współczyn-
nik pierwszej pochodnej, P (x) jest równy zeru  to stała, dla wygody przyjęta jako
równa jedności.
Warto zauważyć, że
"
y1(x, ) - y2(x, ) x(1+)/2 - x(1-)/2
lim = lim = . . . = x ln x. (2.12.6)
0  0 
(Przy obliczaniu powyższej granicy należy zastosować regułę de l Hospitala.) Wyra-
żenie (2.12.6), określające drugie rozwiązanie w postaci wyniku pewnego przejścia
granicznego, warto porównać z wzorami określającymi funkcję Bessela drugiego ro-
dzaju Yn(x) (por. wzory {2.77, 2.78} z podrozdziału 4.2  Wybranych rozdziałów. . .  .)
BG AGH
58 Metoda Frobeniusa
PROBLEM 2.13
Rozwiąż równanie Schrödingera dla czÄ…steczki dwu-
atomowej, której potencjał oddziaływania to
ëÅ‚ öÅ‚
a 1 a2
íÅ‚ Å‚Å‚
V (r) = -2A - (2.13.1)
r 2 r2
 tzw. potencjał Kratzera.
Potencjał Kratzera  równ.(2.13.1)  oddaje stosunkowo dobrze rozkład poziomów
energetycznych dwuatomowej cząsteczki, chociaż teraz w użyciu są inne, jeszcze lepsze
modele (np. potencjał Morse a). Ponieważ jednak rozwiązanie otrzymane na gruncie
modelu Kratzera posiada bardzo satysfakcjonujÄ…cÄ… interpretacjÄ™ fizycznÄ… warto wy-
konać rachunki dla tego modelu. Występujące we wzorze (2.13.1) parametry to: A 
stała wiązania (o wymiarze energii) oraz  naturalna jednostka długości a. Obliczając
pochodną dV/dr i przyrównując ją do zera, łatwo sprawdzimy, że odległość a odpo-
wiada minimum energii potencjalnej układu dwóch atomów, a więc ich najbardziej
prawdopodobnej odległości.
Problem rozpatrzymy dla sytuacji, kiedy jeden z atomów jest znacznie cięższy od
drugiego; wówczas środek masy układu dwóch atomów pokrywa się praktycznie ze
środkiem cięższego atomu, a funkcja falowa opisuje ruch lżejszego atomu wokół środka
masy. WprowadzajÄ…c zredukowanÄ… masÄ™ ukÅ‚adu µ: 1/µ = 1/m1+1/m2, gdzie m1, m2
to masy dwóch atomów, możemy zapisać równanie Schrödingera w postaci

2
a 1 a2
- È(r, ¸, Ć) - 2A - È(r, ¸, Ć) = EÈ(r, ¸, Ć). (2.13.2)
2µ r 2 r2
Funkcji falowej È(r, ¸, Ć) bÄ™dziemy szukać w postaci (por. problem atomu wodoru,
podrozdział 2.14  Wybranych rozdziałów. . .  )
ul(r)
È(r, ¸, Ć) = Rl(r)Ylm(¸, Ć) a" Ylm(¸, Ć). (2.13.3)
r
(Ponieważ nasz potencjał jest sferycznie symetryczny, zależności kątowe będą iden-
tyczne jak w problemie atomu wodoru  stÄ…d obecność harmonik sferycznych Ylm(¸, Ć);
podstawienie Rl = ul/r eliminuje z równania wyraz z pierwszą pochodną.) Procedury
identyczne jak w podrozdziale 2.14  Wybranych rozdziałów. . .  pozwalają sprowadzić
(2.13.2) do równania radialnego; dodatkowo, wprowadzamy bezwymiarową odległość
Á a" r/a od Å›rodka masy ukÅ‚adu, co prowadzi do

d2ul 2Ä…2 Ä…2 + l(l + 1)
+ -k2 + - ul = 0, (2.13.4)
dÁ2 Á Á2
BG AGH
Metoda Frobeniusa 59
gdzie dwie nowe (bezwymiarowe!) stałe to
2µa2
k2 = - E (2.13.5)
2
2µa2
i Ä…2 = A. (2.13.6)
2
Zgodnie z oczekiwaniami punkty osobliwe równania (2.13.4) to zero (regularny) i nie-
skończoność (nieregularny), a jeżeli tak to w rozwiązaniu pojawi się zapewne funk-
cja konfluentna. Asymptotyka równania (2.13.4) w nieskoÅ„czonoÅ›ci  dla Á ";
ul ul"  to
d2ul"
- k2ul" = 0,
dÁ2
z rozwiÄ…zaniem ul" = eÄ…kÁ. Wybieramy oczywiÅ›cie ujemny wykÅ‚adnik eksponenty,
ze względu na konieczność unormowania funkcji falowej.
Asymptotyka w okolicy drugiego punktu osobliwego  dla Á 0; ul ul0  to
d2ul0 Ä…2 + l(l + 1)
- ul0 = 0.
dÁ2 Á2
Ostatnie równanie to równanie Eulera, z rozwiÄ…zaniami ul0 = Á, gdzie  okreÅ›lamy
z równania
( - 1) - Ä…2 - l(l + 1) = 0.
Wyróżnik tego równania kwadratowego to

2
1
" = 1 + 4Ä…2 + 4l(l + 1) = 4 Ä…2 + l + .
2
Z dwóch rozwiązań

2
1 1
1,2 = Ä… Ä…2 + l + (2.13.7)
2 2
musimy wybrać to dodatnie, a więc ze znakiem  + przed pierwiastkiem3.
W świetle tych rozważań antycypujemy rozwiązanie równania (2.13.4) w postaci
ul(Á) = Áe-kÁv(Á), (2.13.8)
gdzie  to dodatni pierwiastek z wzoru (2.13.7).
Po podstawieniu do (2.13.4) dostajemy równanie

d2v 2 dv 2(Ä…2 - k)
+ - 2k + v(Á) = 0, (2.13.9)
dÁ2 Á dÁ Á
3
Ujemny wykładnik potęgowy stwarzałby problemy z normalizacją funkcji falowej. W dodatku,
przy wykÅ‚adniku dodatnim, funkcja falowa dąży do zera, przy Á 0, co odpowiada  logicznie 
niemożności ulokowania obu atomów w jednym punkcie.
BG AGH
60 Metoda Frobeniusa
bliskie formie kanonicznej równania konfluentnego. Tę ostatnią uzyskamy wprowadza-
jÄ…c nowÄ… zmiennÄ… x = 2kÁ; równanie (2.13.9) przyjmuje wówczas postać

d2v 2 dv  - Ä…2/k
+ - 1 - v(x) = 0, (2.13.10)
dx2 x dx x
z rozwiÄ…zaniem
v(x) = F ( - Ä…2/k, 2; x), albo v(Á) = F ( - Ä…2/k, 2; 2kÁ). (2.13.11)
Z ostatniej równoÅ›ci oraz wzoru (2.13.8) wynika, że nasza funkcja ul(Á) bÄ™dzie miaÅ‚a
postać
ul(Á) = Áe-kÁF ( - Ä…2/k, 2; 2kÁ). (2.13.12)
Z uwagi na asymptotykę funkcji konfluentnej (por. podrozdział 2.9.2  Wybranych
rozdziałów. . .  ) dla Á " takiej funkcji [a wÅ‚aÅ›ciwie wyrażajÄ…cej siÄ™ poprzez niÄ…
funkcji Rl(r)] nie będzie można unormować; pozostaje szukanie ratunku w urwaniu
nieskończonej sumy  szeregu konfluentnego i zastąpienie jej sumą skończoną  wie-
lomianem. Ma to miejsce, jeżeli pierwszy parametr funkcji konfluentnej jest ujemną
liczbą całkowitą
Ä…2 Ä…2
 - = -n  a" n = -n + , n = 0, 1, 2, . . . (2.13.13)
k k
Funkcja falowa [por. równanie (2.13.3)] przybiera postać
Ènlm(r, ¸, Ć) = C(r/a)n-1e-k(r/a)F (-n, 2; 2k r/a)Ylm(¸, Ć), (2.13.14)
gdzie stałą C można wyliczyć z warunku normalizacji. Natomiast poziomy energetycz-
ne dwuatomowej drobiny będą określone wzorem [por. (2.13.5), (2.13.13), (2.13.7)]
2
k2 2 2 Ä…4 Ä…4
E = - = - = - . (2.13.15)
2µa2 2µa2 (n + n)2 2µa2 n + 1 + (l + 1)2 + Ä…2 2
2 2
Taki wzór określający poziomy energetyczne na pewno nie jest przyjazny. Można go
przekształcić do bardziej czytelnej postaci, chociaż wymaga to sporo wysiłku. Wystę-
pujący w (2.13.15) parametr ą jest  w ogromnej większości przypadków praktycznych
 dużo większy od jedności. Dzieląc licznik i mianownik ostatniego ułamka w (2.13.15)
przez Ä…2 i wprowadzajÄ…c nowÄ… zmiennÄ… 1/Ä… a" º, możemy rozwinąć otrzymane wy-
rażenie w szereg Taylora wokół º = 0. Po żmudnych rachunkach otrzymujemy

1 1 1 1 1
2(n + ) (l + )2 (n + )2 (n + )(l + )2
2 2 2 2 2
E = -A 1 - - + 3 + 3 + . . . .
Ä… Ä…2 Ä…2 Ä…3
(2.13.16)
BG AGH
Metoda Frobeniusa 61
Aby uczynić ten wzór jeszcze czytelniejszym, zauważmy, że potencjał określony wzo-
rem (2.13.1) możemy rozwinąć w szereg Taylora wokół r = a (lub Á = 1). Z dokÅ‚ad-
nością do nieskończenie małych drugiego rzędu mamy

1 1 1 (r - a)2
V (Á) = -2A - H" -A + A[Á - 1]2 = -A + A . (2.13.17)
Á 2 Á2 a2
Zestawiając ostatnie wyrażenie z potencjałem klasycznego oscylatora harmonicznego,
o masie µ, czÄ™stoÅ›ci drgaÅ„ É i poÅ‚ożeniu równowagi w punkcie r = r0, mamy
1 (r - a)2
µÉ2(r - r0)2 = A , (2.13.18)
2 a2
skÄ…d otrzymujemy

2A
É = . (2.13.19)
µa2
Dodatkowo, zauważmy, że I = µa2 to moment bezwÅ‚adnoÅ›ci punktu materialnego
(masa µ, ramiÄ™ a  najbardziej prawdopodobna odlegÅ‚ość miÄ™dzy atomami). UwzglÄ™d-
niając te zależności, możemy przekształcić wzór (2.13.16) w postać rzeczywiście czy-
telnÄ…
2 2 2
1 1 2 1 3 1
E = - IÉ2 + É n + + l + - n +
2 2 2I 2 2
2I2
2
3 3 1 1
- n + l + + . . . (2.13.20)
2 2
2I2É
Pierwszy wyraz tego rozwinięcia to klasyczna energia kinetyczna ruchu obrotowe-
go; drugi  energia kwantowego (zwróćmy uwagę na składnik 1/2!) oscylatora har-
monicznego, poziomy oscylacyjne molekuły; trzeci  energia związana z orbitalnym
2 2
momentem pędu, jego kwantowy kwadrat to l(l + 1) H" (l + 1/2)2  kwanto-
we poziomy rotacyjne; czwarty  poprawka dla poziomów oscylacyjnych związanych
z anharmonicznością naszego oscylatora (rozwinięcie (2.13.17) zawiera nieskończenie
wiele wyrazów); wreszcie piąty to wyraz odpowiedzialny za sprzężenie pomiędzy ru-
chami oscylacyjnymi i rotacyjnymi. Czytelnik zechce (przynajmniej!) sprawdzić, że
wszystkie stałe poprzedzające wyrażenia zawierające liczby kwantowe n i l we wzorze
(2.13.20) mają rzeczywiście wymiar energii. Ambitny Czytelnik wyprowadzi, w opisa-
ny powyżej sposób (przynajmniej) dwa, trzy wyrazy rozwinięcia (2.13.20). Jego pełna
postać to zadanie dla tych, którzy naprawdę nie boją się  prostych choć żmudnych
 rachunków.
BG AGH
62 Metoda Frobeniusa
PROBLEM 2.14
Rozwiąż jednowymiarowe równanie Schrödingera
dla potencjału Yukawy:
e-Ä…x
V (x) = A (2.14.1)
x
w okolicy punktu x = 0.
Równanie Schrödingera ma postać
2
d2È(x)
- + V (x)È(x) = EÈ(x). (2.14.2)
2m dx2
Za potencjał  V (x)  podstawiamy wyrażenie z (2.14.1); rozwijając funkcję wykład-
niczą w szereg oraz dokonując prostych przekształceń, otrzymujemy

d2È(x) 1 1 1
+ E È(x) - A - Ä… + Ä…2x - Ä…3x2 + . . . È(x) = 0, (2.14.3)
dx2 x 2! 3!
2 2
gdzie E a" 2mE/ , A a" 2mA/ . Postulujemy rozwiązanie w zwykłej postaci
"

È(x) = akx+k, (2.14.4)
k=0
obliczamy drugÄ… pochodnÄ… i wstawiamy do (2.14.3). Mamy
"


ak( + k)( + k - 1)x+k-2 + E akx+k
k=1

1 1 1
-A - Ä… + Ä…2x - Ä…3x2 + . . . akx+k = 0. (2.14.5)
x 2! 3!
Kładąc k = 0 i przyrównując do zera współczynnik przy najniższej potędze (x-2),
otrzymujemy równanie określające
a0  ( - 1) = 0, (2.14.6)
z dwoma pierwiastkami: 0 oraz 1. Ponieważ ich różnica jest liczbą całkowitą, do
dalszych rachunków pozostawiamy większy:  = 1.
Współczynnik przy następnej potędze  x-1 = x0 = 1 jest równy (musimy uwzględ-
nić przyczynki od pierwszego wyrazu (2.14.5), z k = 1, oraz trzeciego, z k = 0)
2 · 1 · a1 - Aa0. (2.14.7)
BG AGH
Metoda Frobeniusa 63
Przyrównując go do zera dostajemy
A
a1 = a0. (2.14.8)
2
Do współczynnika kolejnej potęgi zmiennej x  x a" x1 = x  mamy przyczynki
od pierwszego członu (2.14.5) z k = 2, drugiego  z k = 0, oraz trzeciego z k = 0
(Aąa0), a także z k = 1 (-Aa1). Przyrównanie do zera tego współczynnika prowadzi
do równania
3 · 2 · a2 + E a0 + AÄ…a0 - Aa1 = 0, (2.14.9)
skÄ…d

1 A2
a2 = - E - AÄ… a0. (2.14.10)
6 2
Przyrównanie do zera współczynnika kolejnej potęga zmiennej x  x+1 a" x2 daje
równanie
1
4 · 3 · a3 + E a1 - Aa2 + AÄ…a1 - AÄ…2a0 = 0 (2.14.11)
2
[zauważmy, że mamy już trzy przyczynki od trzeciego członu z (2.14.5)], które może
posłużyć do obliczenia kolejnego współczynnika a3. Procedurę możemy kontynuować
 zakładamy, że mamy do czynienia z niewielkimi wartościami (odpowiednio przeska-
lowanej!) zmiennej x. Funkcja falowa będzie oczywiście zależała od stałej a0, której
wartość znajdziemy, obliczając odpowiednią wartość całki normalizacyjnej. Warto
zwrócić tu uwagę na fakt, że całkowanie musi odbyć się w granicach skończonych: od
pewnej minimalnej wartości zmiennej x (x H" 0) do pewnej skończonej wartości mak-
symalnej (x = xmax). (Położenie xmax = " prowadziłoby do nieskończonej wartości
całki z kwadratu funkcji falowej.) Procedury obliczeniowe nie prowadzą do kwanty-
zacji wartości energii układu  chodzi w nich raczej o znalezienie funkcji falowej dla
znanego (np. z pomiaru) E . Dlatego powyższy problem należy traktować jako przy-
kład przybliżonego rozwiązania równania, w którym funkcję potencjału przybliżamy
 dla x < 1  z dowolną (zadaną) dokładnością. Bardziej realistyczne ujęcie problemu
równania Schrödingera dla potencjaÅ‚u Yukawy, przy użyciu ukÅ‚adu współrzÄ™dnych
sferycznych, prowadzi  dla części radialnej funkcji falowej  do równania Bessela.
BG AGH
BG AGH
Rozdział 3
Zagadnienie Sturma Liouville a
W tym rozdziale przedstawiamy problemy ilustrujące różne aspekty zagadnienia Sturma
Liouville a  zagadnienia własnego, takiego jak zagadnienie drgającej struny w me-
chanice klasycznej, czy też problem niezależnego od czasu równania Schrödingera
w mechanice kwantowej.
Zaczynamy  problem 3.1  od dyskusji wpływu warunków brzegowych na rozwiąza-
nie ogólne zwyczajnego równania różniczkowego 2. rzędu, na przykładzie oscylatora
harmonicznego.
Kolejne trzy problemy (3.2, 3.3, 3.4) dotyczą wyznaczania postaci samosprzężonej
operatora. W problemie 3.5 pokazano, w jaki sposób zastosowanie metody separacji
zmiennych do równania falowego prowadzi do zagadnienia własnego, a w następnym
problemie, 3.6, jest dowiedziona jedna z ważniejszych własności zbioru funkcji wła-
snych w zagadnieniu Sturma Liouville a, mianowicie ich ortogonalność.
Problemy 3.7 3.12 przedstawiają różne zastosowania metody separacji zmiennych
do problemów fizycznych. I tak, w problemie 3.7 znajdujemy mody drgań membrany
prostokÄ…tnej, z kolei nastÄ™pny problem, 3.8, jest poÅ›wiÄ™cony równaniu Schrödingera
(widmo energetyczne cząstki uwięzionej w trójwymiarowej studni potencjału).
Kolejne cztery problemy dotyczą równania przewodnictwa cieplnego. W problemie 3.9
rozwiązujemy (2 + 1)-wymiarowe równanie przewodnictwa cieplnego, gdy zadane są
określone warunki brzegowe. Problemy 3.10 i 3.11 dotyczą sytuacji, kiedy widmo
wartości własnych operatora jest ciągłe, a problem 3.12 (wraz z jego rozszerzeniem,
sugerowanym do samodzielnego rozwiązania) można uznać za dość kompletny przy-
kład techniki separacji zmiennych dla (2 + 1)-wymiarowego równania przewodnictwa
cieplnego.
W problemach 3.13 i 3.14 generujemy rodziny wielomianów ortogonalnych opierając
siÄ™ na procedurze Grama Schmidta. W kolejnym problemie, 3.15, dowodzimy pew-
nego twierdzenia, z którego korzystamy w problemie 3.16, przy wyznaczaniu stałych
normalizacyjnych dla wielomianów Hermite a i Laguerre a, korzystając z  techniki
funkcji tworzÄ…cej (Hermite) lub wzoru Rodriguesa (Laguerre). Wielomiany Hermi-
65
BG AGH
66 Zagadnienie Sturma Liouville a
te a pojawiajÄ… siÄ™ ponownie w problemie 3.17, gdzie zostaje wyprowadzony jeden ze
związków rekurencyjnych, dla wielomianów o różnych stopniach.
Problem 3.18 dotyczy obliczania pewnego typu całek, w których występują wielo-
miany Laguerre a, a w problemie 3.19 pokazujemy, jak można wyrazić funkcję kwa-
dratową przez wielomiany Hermite a i Czebyszewa. Przedstawiona metoda może zo-
stać zastosowana do wyrażenia wielomianów wyższego stopnia przez dowolną rodzinę
wielomianów ortogonalnych. W końcu ostatni problem, 3.20, dotyczy kwantowego
oscylatora harmonicznego. W tym zadaniu obliczamy wariancjÄ™ wychylenia ze stanu
równowagi.
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 67
PROBLEM 3.1
Rozwiąż równanie oscylatora harmonicznego
d2g(x)
+ k2g(x) = 0 (3.1.1)
dx2
z dwupunktowymi warunkami:
a) g(0) = 1; g(L) = 1,
b) g(0) = 1; g(Ä„/k) = -1,
c) g(0) = 1; g(Ä„/k) = -2.
Przeprowadz
dyskusję otrzymanych wyników.
Przedstawione równanie jest przykładem liniowego równania różniczkowego o stałych
współczynnikach. Zapewne jest ono dobrze znane Czytelnikowi np. z kursu mechani-
ki klasycznej  stanowi ono opis ruchu wahadła matematycznego dla małych drgań.
Dlatego też nie będziemy omawiać szczegółowo sposobu jego rozwiązania, gdyż spo-
dziewamy się, że każdy z Czytelników już dobrze wie, jak to zrobić. Skupimy się
natomiast na roli, jakÄ… odgrywajÄ… warunki brzegowe w tym problemie1.
Ogólne rozwiązanie równania (3.1.1) ma postać
g(x) = A1 sin kx + A2 cos kx, (3.1.2)
gdzie A1 oraz A2 są stałymi, które należy wyznaczyć w oparciu o zadane warunki.
1
W przypadku równań różniczkowych zwyczajnych przez warunki brzegowe należy rozumieć wa-
runki narzucone na funkcję i/lub jej pierwszą pochodną na końcach przedziału zmiennej.
BG AGH
68 Zagadnienie Sturma Liouville a
Ad a)
Podstawiając g(0) = 1 oraz g(L) = 1 do rozwiązania (3.1.2), otrzymujemy układ
równań na poszukiwane współczynniki A1 oraz A2, którego rozwiązanie to A1 =
1, natomiast A2 = (1 - cos kL)/ sin kL. W rezultacie szczególne rozwiązanie
równania (3.1.1) ma postać
1 - cos kL
g(x) = cos kx + sin kx.
sin kL
Ad b)
Dla warunków g(0) = 1 i g(Ą/k) = -1 otrzymujemy jednoparametrową rodzinę
rozwiązań w postaci
g(x) = cos kx + A sin kx,
gdzie A jest dowolną stałą.
Ad c)
Układ równań wyznaczony przez warunki brzegowe g(0) = 1 i g(Ą/k) = -2 jest
sprzeczny, wobec czego nie istnieje szczególne rozwiązanie równania (3.1.1) przy
tak zadanych warunkach.
Wyniki tego zadania pokazują, jak dwupunktowe warunki brzegowe wpływają na roz-
wiązanie zwyczajnego równania różniczkowego. Zastosowanie warunków brzegowych
z podpunktu a) prowadzi do jednego rozwiązania, z podpunktu b) do nieskończonej
ilości rozwiązań i w końcu w podpunkcie c) do braku rozwiązań.
Na zakończenie proponujemy Czytelnikowi przeprowadzenie podobnej dyskusji, lecz
tym razem dotyczącej jednopunktowych warunków brzegowych (tzn. przy zadanych
g(a) = Ä…a oraz g (a) = ²a) bÄ…dz
warunków mieszanych, np. g(a) = Ä…a i g (b) = ²b,
gdzie a i b są odpowiednio lewym i prawym krańcem przedziału zmiennej x.
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 69
PROBLEM 3.2
Znajdz
operator różniczkowy L", sprzężony do opera-
tora
d2 d
L = ex + ex ,
dx2 dx
działający w przestrzeni funkcji g(x) całkowalnych
z kwadratem, takich że
g (0) = 0, g(1) = 0.
Jako iloczyn skalarny przyjmij

1
f|g = dx f(x)g(x). (3.2.1)
0
Operator sprzężony L" definiujemy za pomocą równości
f|Lg = L"f|g . (3.2.2)
Wobec tego do wyznaczenia L" użyjemy definicji iloczynu skalarnego (3.2.1), miano-
wicie

1
f|Lg = dx f(x) [Lg(x)] . (3.2.3)
0
Podstawiając w miejsce operatora L jego jawną postać, a następnie całkując dwa razy
przez części, dostajemy

1
dx f(x)[exg (x)]
0
1 1


= f(x)exg (x) - dx f (x)exg (x)

0
0
1 1

= f(x)exg (x) - f (x)exg(x)

0 0

1
+ dx [f (x)ex] g(x).
0
BG AGH
70 Zagadnienie Sturma Liouville a
Uwzględnienie warunków brzegowych, narzuconych na wartości funkcji g i jej pochod-
nej, wraz z (3.2.3), daje
f|Lg = e1f(1)g (1) + f (0)g(0) + L"f|g , (3.2.4)
skąd otrzymujemy już jawną postać L"f|g
L"f|g = -[e1f(1)g (1) + f (0)g(0)] + f|Lg . (3.2.5)
Z przeprowadzonego rachunku wynika, że otrzymany operator składa się z dwóch
części: wyrazu stałego, określonego przez wartości, jakie funkcje f(x) i g(x) oraz ich
pochodne przyjmują w punktach leżących na końcach przedziału całkowania, oraz
wyjściowego operatora różniczkowego L. Aby spełniona była równość (3.2.2), należy
zażądać znikania wyrazu stałego, tzn. przyjąć, że
e1f(1)g (1) + f (0)g(0) = 0.
Z kolei ten warunek zostanie spełniony, gdy przyjmiemy, że f (0) = 0 oraz f(1) = 0.
To oznacza, że funkcje f(x) oraz g(x) spełniają te same warunki na końcach prze-
działu całkowania.
Ten przykład powinien w pełni uświadomić Czytelnikowi, że warunki jedno-, dwu-
punktowe czy też mieszane, narzucone na obiekty działania operatora  funkcje, są
częścią definicji samego operatora. To właśnie one współdecydują o charakterze sprzę-
żenia. Więcej na ten temat Czytelnik znajdzie w następnym problemie.
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 71
PROBLEM 3.3
Wykaż, że hamiltonian cząstki swobodnej
2
d2
$
= - (3.3.1)
2m dx2
jest operatorem hermitowskim. Przyjmij, że iloczyn ska-
larny jest dany wzorem

a
Ći|Ćj = dx Ć"(x)Ćj(x). (3.3.2)
i
b
Hamiltonian jest operatorem całkowitej energii cząstki. Tutaj ograniczamy się do roz-
ważenia jego części odpowiadającej energii kinetycznej, ale uogólnienie tego wyniku
na przypadek obejmujący część potencjalną, reprezentowaną przez funkcję rzeczywi-
stÄ… nie jest trudne. OpierajÄ…c siÄ™ na podanej definicji iloczynu skalarnego,

a
Ći|HĆj = dx Ć"(x)HĆj(x) (3.3.3)
i
b
można stwierdzić, że całe zagadnienie sprowadza się do pokazania, że z równości
Ći|$
Ćj = $
Ći|Ćj , (3.3.4)
wynika: $
= $
, dla funkcji Ć(x) spełniających odpowiednie warunki brzegowe.
Aby to pokazać, wystarczy obliczyć prawą stronę wyrażenia (3.3.3), całkując dwa
razy przez części. W rezultacie otrzymujemy
a a

- Ć"(x)Ć (x) - [Ć"(x)] Ćj(x) + dx {$
Ć"(x)}Ćj(x).
i j i i
2m
b
b
Przedstawione wyrażenie sugeruje, że warunek hermitowskości operatora wynika z cha-
rakteru sprzężenia, jak to było wspomniane w poprzednim zadaniu. Znikanie wyrazu
stałego można zagwarantować na dwa sposoby2:
1) Żądając znikania funkcji Ćj(x) oraz Ć (x) na brzegach przedziału całkowania.
j
2) Żądając znikania funkcji Ćj(x) na brzegach, a następnie przyjęcia, że funkcje
sprzężone Ć"(x) spełniają te same warunki.
i
2
V.S. Arujo, F.A.B. Coutinho, J. Fernando Perez: Operator domains and self-adjoint operators,
Am. J. Phys 72, 203 (2004).
B
ÂGH
72 Zagadnienie Sturma Liouville a
Jeżeli funkcja falowa Ćj(x) i jej pochodna znikają na brzegu, to operator nazywamy
sprzężonym po hermitowsku, natomiast gdy mamy zadane warunki brzegowe tylko
dla samej funkcji Ćj(x), to żądając ich zgodności z warunkami dla funkcji Ć"(x),
i
doprowadzimy do samosprzężenia operatora.
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 73
PROBLEM 3.4
Znajdz
postać samosprzężoną równania Hermite a
y (x) - 2xy (x) + 2Ä…y(x) = 0, (3.4.1)
gdzie -" < x < ".
W celu wyznaczenia postaci samosprzężonej, mnożymy równanie (3.4.1) przez pewną
funkcję w(x), którą będziemy traktowali jako funkcję wagową. W rezultacie otrzymu-
jemy
w(x)y (x) - 2xw(x)y (x) = -2Ä…w(x)y(x), (3.4.2)
porównując lewą stronę równania (3.4.2) z
[w(x)y (x)] = w(x)y (x) + w y , (3.4.3)
otrzymujemy
w (x) = -2xw(x),
czyli równanie różniczkowe na funkcję wagową. Rozwiązaniem tego równania jest
funkcja
2
w(x) = e-x ,
zgodnie ze wzorami {3.67} i {3.58} w  Wybranych rozdziałach . . .  .
Ostatecznie, równanie Hermite a w postaci samosprzężonej to

2 2
e-x y (x) + 2Ä…e-x y(x) = 0.
BG AGH
74 Zagadnienie Sturma Liouville a
PROBLEM 3.5
Równanie drgającej struny ma postać
îÅ‚ Å‚Å‚
"2f " "f
ðÅ‚ ûÅ‚
- p(x) = 0, (3.5.1)
"t2 "x "x
gdzie f(x, t) oznacza wychylenie od stanu równowagi.
Wykaż, że jeśli funkcja f(x, t) może być przedstawiona
jako u(x)v(t), to funkcja u(x) spełnia równanie
[p(x)u (x)] + u(x) = 0.
To zadanie, z jednej strony pokaże Czytelnikowi, w jaki sposób może pojawić się za-
gadnienie Sturma Liouville a przy rozwiązywaniu konkretnych problemów fizycznych,
a z drugiej strony będzie stanowiło element jednej z metod rozwiązywania równań róż-
niczkowych cząstkowych, którą przedstawiamy w kolejnych zadaniach.
Zgodnie z podstawowÄ… ideÄ… metody separacji zmiennych, funkcjÄ™ f(x, t) postuluje-
my w postaci f(x, t) = u(x)v(t). Podstawiając to wyrażenie do równania (3.5.1),
otrzymujemy natychmiast
u(x)v (t) = [p(x)u (x)] v(t). (3.5.2)
DzielÄ…c obustronnie przez u(x)v(t) dostajemy
v (t) [p(x)u (x)]
= . (3.5.3)
v(t) u(x)
Spełnienie tej równości jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy obie jej strony będą
równe stałej, którą oznaczymy -. Zatem mamy równanie na funkcję u(x) w postaci
[p(x)u (x)] = -u(x), (3.5.4)
a więc, jak łatwo rozpoznać, w postaci zagadnienia własnego (por. wzór {3.38}  Wy-
branych rozdziałów. . .  ).
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 75
PROBLEM 3.6
Wykaż, że rozwiązania ui(x) i uj(x) jednorodnego za-
gadnienia Sturma Liouville a w przedziale [a, b], odpo-
wiadające różnym wartościom własnym i i j, spełniają
warunek

b
ui|uj = dx w(x)u"(x)uj(x) = 0.
i
a
Skoro funkcje u"(x) i uj(x) są rozwiązaniami zagadnienia Struma Liouville a, każda
i
z nich powinna spełniać równanie własne
[p(x)u" (x)] + q(x)u"(x) = iu"(x), (3.6.1)
i i i
[p(x)u (x)] + q(x)uj(x) = juj(x). (3.6.2)
j
Aby wykazać, że funkcje ui,j(x) określone w przedziale [a, b] są ortogonalne, należy
pomnożyć równanie (3.6.1) przez uj(x), zaś równanie (3.6.2) przez u"(x), po czym
i
odjąć je stronami. W wyniku otrzymujemy
[p(x)u" (x)] uj(x) - [p(x)u (x)] u" (3.6.3)
i j i
= (i - j)u"(x)uj(x).
i
Całkując obustronnie otrzymaną równość w rozpatrywanym przedziale z wagą w(x),
otrzymujemy

b

w(x)p(x) u" (x)uj(x) - u"(x)u (x)
i i j

a

b
= (i - j) dx w(x) u" (x)uj(x). (3.6.4)
i
a
Lewą stronę tej równości otrzymaliśmy w wyniku dwukrotnego całkowania przez czę-
ści. To wyrażenie jest równe zeru ze względu na warunki brzegowe jakie spełniają
funkcje ui,j(x) i/lub funkcja p(x) (por. wzór {3.35}  Wybranych rozdziałów. . .  ).
Uwzględniając założenie, że mamy do czynienia z różnymi wartościami własnymi,
tzn. i = j, widzimy, że zerowanie się wyrażenia


b
(i - j) dx w(x) u" (x)uj(x) = 0 (3.6.5)
i
a
implikuje warunek ortogonalności.
BG AGH
76 Zagadnienie Sturma Liouville a
PROBLEM 3.7
Membrana prostokątna jest zamocowana wzdłuż brze-
gów tak, że spełnia na nich  w każdej chwili t  nastę-
pujÄ…ce warunki:
Ć(0, y, t) = Ć(a, y, t) = 0, dla każdego 0 y b
oraz
Ć(x, 0, t) = Ć(x, b, t) = 0, dla każdego 0 x a,
gdzie przez Ć(x, y, t) oznaczamy wychylenia punktów
membrany od położeń równowagi. Dodatkowo, w chwili
poczÄ…tkowej mamy
Ć(x, y, 0) = h(x, y),


"
Ć(x, y, t) = v(x, y).


"t
t=0
Znajdz
mody drgań oraz ich częstości.
Analiza drgań poprzecznych płaskiej membrany jest oparta na (2+1) wymiarowym
klasycznym równaniu falowym,

"2 "2 1 "2
+ Ć(x, y, t) = Ć(x, y, t), (3.7.1)
"x2 "y2 c2 "t2

gdzie c = T/Á jest prÄ™dkoÅ›ciÄ… fal w membranie, T  naprężeniem membrany, nato-
miast Á jest gÄ™stoÅ›ciÄ… powierzchniowÄ… membrany.
Wychylenie poprzeczne membrany Ć(x, y, t) można wyznaczyć, stosując metodę se-
paracji zmiennych. W tym przypadku wygodnie jest rozdzielić funkcję Ć(x, y, t) na
część przestrzenną i część czasową,
Ć(x, y, t) = ś(x, y)T (t). (3.7.2)
Podstawiając funkcję daną wzorem (3.7.2) do równania falowego, a następnie dzieląc
obustronnie przez Å›(x, y)T (t), otrzymujemy


1 "2 "2 1 T (t)
+ Å›(x, y) = a" -k2, (3.7.3)
Å›(x, y) "x2 "y2 c2 T (t)
gdzie -k2 jest stałą separacji3.
3
Bliższa analiza, którą pozostawiamy Czytelnikowi, prowadzi do wniosku, że nie istnieją rozwią-
zania równania (3.7.3)  spełniające warunki brzegowe sformułowane w temacie zadania dla stałej
separacji 0.
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 77
Dzięki temu, równanie na część czasową przyjmie postać

T (t) + (ck)2T (t) = 0, (3.7.4)
którego rozwiązanie ogólne to
T (t) = At cos Ét + Bt sin Ét, (3.7.5)
gdzie É = ck.
Z kolei równanie na część przestrzenną ma postać

"2 "2
+ Å›(x, y) = -k2Å›(x, y). (3.7.6)
"x2 "y2
Aby znalez
ć funkcję ś(x, y), ponownie zastosujemy metodę rozdzielania zmiennych.
Przyjmujemy, że
Å›(x, y) = X(x)Y (y). (3.7.7)
Równanie (3.7.6) przybiera postać

X (x) Y (y)
+ = -k2. (3.7.8)
X(x) Y (y)
Postępowanie podobne do tego, które zostało przeprowadzone wyżej, pozwoli nam
otrzymać następujące równania:
X (x) + µ2X(x) = 0 (3.7.9)
i

Y (y) + ½2Y (y) = 0, (3.7.10)
gdzie -µ2 oraz -½2 sÄ… staÅ‚ymi separacji, które speÅ‚niajÄ… równanie
µ2 + ½2 = k2. (3.7.11)
Rozwiązaniami ogólnymi równań różniczkowych (3.7.9) i (3.7.10) są odpowiednio:
X(x) = Ax cos µx + Bx sin µx, (3.7.12)
oraz
Y (y) = Ay cos ½y + By sin ½y. (3.7.13)
Uwzględnienie warunków zamocowania membrany wzdłuż brzegów prowadzi do wnio-
sku, że funkcja X(x) spełnia warunki w postaci X(0) = X(a) = 0, zaś dla funkcji
BG AGH
78 Zagadnienie Sturma Liouville a
Y (y) mamy warunki brzegowe w postaci Y (0) = Y (b) = 0. Z kolei narzucenie tych
warunków brzegowych na rozwiązania ogólne (3.7.12) i (3.7.13) daje
X(x) = Bx sin µx, (3.7.14)
gdzie staÅ‚a separacji µ a" µn = (nÄ„/a), n " N oraz
Y (y) = By sin ½y, (3.7.15)
gdzie staÅ‚a separacji ½ a" ½m = (mÄ„/b), m " N.
Równanie wiążące stałe separacji, po uwzględnieniu ich dyskretnego charakteru, przyj-
mie postać
2 2
nĄ mĄ
2
2 = µ2 + ½m a" + . (3.7.16)
nm n
a b
Powracając z otrzymanymi wyrażeniami na funkcje X(x), Y (y) oraz T (t) do wzoru
(3.7.2) wyrażającego wychylenie membrany, możemy napisać rozwiązanie w postaci
Ćnm(x, y, t) = Ä…nm sin µnx sin ½my cos Énmt
+ ²nm sin µnx sin ½my sin Énmt, (3.7.17)
gdzie Ä…mn i ²mn sÄ… nowymi staÅ‚ymi (wyrażonymi przez stare staÅ‚e), które należy
wyznaczyć na podstawie kolejnej pary warunków  tym razem początkowych.
W chwili początkowej membrana ma kształt opisany przez funkcję h(x, y). Wobec tego
z warunku Ć(x, y, 0) = h(x, y) wynika, że
" "

Ä…nm sin µnx sin ½my = h(x, y), (3.7.18)
n=1 m=1
natomiast drugi z warunków początkowych, który interpretujemy jako prędkość punk-
tów membrany w chwili t = 0, prowadzi do wyrażenia
" "

²nmÉnm sin µnx sin ½my = v(x, y). (3.7.19)
n=1 m=1
Otrzymane funkcje trygonometryczne: sin µnx oraz sin ½my sÄ… ortogonalne, odpo-
wiednio, w przedziałach 0 x a oraz 0 y b. Mnożąc wyrażenie (3.7.18) przez
sin µkx sin ½ly, a nastÄ™pnie caÅ‚kujÄ…c wzglÄ™dem x oraz y, otrzymujemy

a b
dx dy h(x, y) sin µkx sin ½ly
0 0
Ä…kl = . (3.7.20)

a b
dx dy sin2 µkx sin2 ½ly
0 0
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 79
Analogiczne postępowanie z równaniem (3.7.19), daje nam

a b
dx dy v(x, y) sin µkx sin ½ly
1
0 0
²kl = . (3.7.21)

Ékl a b
dx dy sin2 µkx sin2 ½ly
0 0
Ostatecznie, wychylenie membrany prostokątnej spełniającej zadane warunki można
wyrazić jako superpozycję drgań podstawowych (tzw. modów), czyli
" "


Ć(x, y, t) = Ä…mn sin µnx sin ½my cos Énmt
n=1 m=1

+ ²mn sin µnx sin ½my sin Énmt , (3.7.22)
gdzie staÅ‚e Ä…mn i ²mn sÄ… dane, odpowiednio, przez (3.7.20) i (3.7.21).
Mnożąc obie strony równania (3.7.16) przez c2, otrzymujemy wyrażenie na częstość
drgań membrany w postaci

2 2

n m
Énm = cknm = cÄ„ + . (3.7.23)
a b
BG AGH
80 Zagadnienie Sturma Liouville a
PROBLEM 3.8
Znajdz
funkcje własne i wartości własne cząstki swo-
bodnej o masie m, znajdującej się w sześciennym pudle
o nieprzezroczystych Å›ciankach a×b×c, gdzie a = b = c.

Część przestrzenna funkcji falowej cząstki poruszającej się w ograniczonym obszarze
przestrzeni speÅ‚nia równania Schrödingera niezależne od czasu
2
- "2È(r) + U(r)È(r) = EÈ(r). (3.8.1)
2m
Fizycznie, pudło o nieprzezroczystych ściankach jest reprezentowane przez potencjał,
tak uformowany, że w obszarze (0, a) × (0, b) × (0, c) energia potencjalna czÄ…stki jest
stała (na ogół przyjmujemy ją jako równą zeru), natomiast na brzegu takiego obszaru
jest nieskończona. W tej sytuacji funkcja falowa znika na ściankach pudła, a tym
samym mamy wyznaczone warunki brzegowe dla naszego zagadnienia, mianowicie
È(0, y, z) = È(a, y, z) = 0,
È(x, 0, z) = È(x, b, z) = 0,
È(x, y, 0) = È(x, y, c) = 0.
SÄ… to tzw. dwupunktowe warunki brzegowe  charakterystyczne dla mechaniki kwan-
towej stanów związanych.
PrzyjmujÄ…c funkcjÄ™ falowÄ… w postaci
È(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) (3.8.2)
można się przekonać, że równanie wyjściowe (3.8.1) jest równoważne układowi trzech
zwyczajnych równań różniczkowych. Aby to wykazać, wystarczy podstawić funkcję
falowÄ… È(r) danÄ… wyrażeniem (3.8.2) do równania (3.8.1) i po kilku prostych prze-
kształceniach otrzymujemy

X (x) Y (y) Z (z)
= - - - k2, (3.8.3)
X(x) Y (y) Z(z)
gdzie k2 = 2mE/ . (Porównaj uwagę o znaku stałej separacji w problemie 3.7.)
Zgodnie z ideą metody separacji zmiennych, prawą stronę tego równania oznaczymy
2
przez -kx, co prowadzi do równania
2
X (x) + kxX(x) = 0, (3.8.4)
którego ogólne rozwiązanie zapiszemy w postaci kombinacji liniowej funkcji wykład-
niczych
X(x) = Axeikxx + Bxe-ikxx. (3.8.5)
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 81
Warunki brzegowe, jakie powinna spełniać funkcja falowa w punktach 0 i a, prowadzą
do układu równań na współczynniki Ax i Bx, który zapiszemy w postaci macierzowej

1 1 Ax 0
= . (3.8.6)
eikxa e-ikxa Bx 0
Układ ten posiada niezerowe rozwiązanie, wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik ma-
cierzy współczynników stojącej przy kolumnie niewiadomych Ax i Bx jest równy zeru.
StÄ…d dostajemy warunek w postaci
sin kxa = 0, (3.8.7)
który prowadzi do dyskretyzacji stałej separacji kx,
kxa = nxĄ,
gdzie nx = 1, 2, . . .
W tym miejscu należy zwrócić uwagę na fakt że dopuszczalne wartości nx należą do
zbioru liczb naturalnych. Wykluczenie liczb całkowitych niedodatnich wynika z defi-
nicji stałej k. Zapisując wyrażenie dane wzorem (3.8.5) w postaci trygonometrycznej,
Xnx(x) = Cx cos knxx + Dx sin knxx, (3.8.8)
można się przekonać, że jedynym rozwiązaniem spełniającym zadane warunki brze-
gowe jest funkcja
Xnx(x) = Dx sin knxx, (3.8.9)
gdzie Dx jest nową stałą.
Równanie na funkcję Y (y) otrzymujemy, odpowiednio przekształcając równanie (3.8.3)
do postaci

Y (y) Z (z)
2
= kx - k2 - . (3.8.10)
Y (y) Z(z)
2
Zastępując prawą stronę przez -ky, otrzymujemy równanie
2
Y (y) + kyY (y) = 0, (3.8.11)
którego szczególnym rozwiązaniem jest funkcja
Yny(y) = Dy sin knyy, (3.8.12)
gdzie kny = nyĄ/b.
W końcu funkcja Z(z) spełnia równanie
2
Z (z) + kzZ(z) = 0, (3.8.13)
BG AGH
82 Zagadnienie Sturma Liouville a
2 2 2
gdzie stała separacji -kz = kx + ky - k2.
Widzimy zatem, że stałe separacji spełniają równanie
2 2 2
k2 = kx + ky + kz. (3.8.14)
Podobnie jak w poprzednich przypadkach, po uwzględnieniu warunków brzegowych
mamy rozwiÄ…zanie, tj.
Znz(z) = Dz sin knzz, (3.8.15)
przy czym knz = nzĄ/c.
Funkcja falowa (3.8.2) ma postać
Ènxnynz(x, y, z) = D sin knxx sin knyy sin knzz.
Aby wyznaczyć stałą D = DxDyDz, skorzystamy z warunku normalizacji funkcji
falowej

a b c
dx dy dz |Ènxnynz(x, y, z)|2 = 1. (3.8.16)
0 0 0
Dzięki temu mamy
1
|D|2 = . (3.8.17)

a b c
dx dy dz sin2 knxx sin2 knyy sin2 knzz
0 0 0
Obliczając całki występujące w mianowniku tego wyrażenia, otrzymujemy abc/8, skąd
ostatecznie stała normalizacji wynosi

8
D = .
abc
Widmo energetyczne cząstki uwięzionej w rozważanym pudle jest dyskretne i wyraża
siÄ™ wzorem
2 2 2
2
nxĄ nyĄ nzĄ
Enxnynz = + + (3.8.18)
2m a b c
2
k2
= ,
2m
gdzie kwadrat wektora falowego k, wyrażony wzorem (3.8.14), przyjmuje wartości
dyskretne zgodnie z narzuconymi warunkami brzegowymi na stałe kx, ky, kz.
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 83
PROBLEM 3.9
Znajdz
rozwiązanie (1+1)-wymiarowego równania prze-
wodnictwa cieplnego
"2u(x, t) 1 "u(x, t)
- = 0, (3.9.1)
"x2 º "t
metodą separacji zmiennych, gdy funkcja u(x, t) spełnia
warunki:
u(0, t) = 0,

"u(x, t)


= 0,


"x
x=a
u(x, 0) = u0 sin3(Ä„x/2a).
WystÄ™pujÄ…ca w równaniu (3.9.1) staÅ‚a º to
k
º = ,
cÁ
gdzie c  ciepÅ‚o wÅ‚aÅ›ciwe oÅ›rodka, Á  jego gÄ™stość, a k to współczynnik przewodnictwa
cieplnego, występujący we wzorze wiążącym strumień ciepła Q z ujemnym gradientem
temperatury (1. prawo Fouriera)
"u
Q = -k .
"x
Podobnie jak w poprzednich zadaniach, zaczniemy od przedstawienia funkcji u(x, t)
w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których każda zależy od jednej zmiennej
u(x, t) = y(x)v(t). (3.9.2)
Podstawiając tę postać do równania (3.9.1) i postępując analogicznie jak w poprzed-
nich zadaniach, otrzymujemy
y (x) 1 v (t)
= .
y(x) º v(t)
BG AGH
84 Zagadnienie Sturma Liouville a
Oznaczając stałą separacji przez -2, dostajemy równanie na funkcję y(x) w dobrze
nam znanej postaci, mianowicie
y (x) + 2y(x) = 0,
którego ogólne rozwiązanie to
y(x) = A cos x + B sin x. (3.9.3)
Z kolei funkcja v(t) będąca rozwiązaniem równania
v (t) + º2v(t) = 0
ma postać
2
v(t) = Ce-º t. (3.9.4)
Podstawienie funkcji y(x) i v(t) danych odpowiednio przez wyrażenia (3.9.3) i (3.9.4)
do (3.9.2) pozwala skonstruować rozwiązanie w postaci
2
u(x, t) = C(A cos x + B sin x)e-º t
2
a" (Ä… cos x + ² sin x)e-º t, (3.9.5)
w którym należy okreÅ›lić możliwe wartoÅ›ci staÅ‚ej , a także wartoÅ›ci staÅ‚ych Ä… i ².
W dowolnej chwili czasu t funkcja u(x, t) musi spełniać warunki u(0, t) = 0 i

"u(x, t)

= 0,

"x
x=a
jak wynika z treści zadania. Dzięki temu otrzymujemy jednorodny układ równań na
współczynniki Ä… i ² w postaci

u(0, t) = 0
(3.9.6)
u (a, t) = 0.
Pierwsze z tych równaÅ„ daje Ä… = 0, i ² " R\{0}, natomiast z drugiego równania
wynika, że
² cos a = 0,
skąd dostajemy zbiór dyskretnych wartości parametru , numerowanych przez n =
0, 1, . . . w postaci
Ä„
 a" n = (2n + 1) = (2n + 1)0; ² a" ²n  staÅ‚a = 0. (3.9.7)

2a
W tej sytuacji otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań szczególnych, które są nu-
merowane przez liczbę n. Równanie (3.9.1) jest liniowe, dzięki czemu możemy skon-
struować ogólne rozwiązanie w postaci kombinacji liniowej tych szczególnych rozwią-
zań, tj. w postaci
"

u(x, t) = ²ne-knt sin nx. (3.9.8)
n=0
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 85
Uwzględniając ostatni warunek, o którym jest mowa w zadaniu, widzimy, że
"

Ä„
u(x, 0) = u0 sin3 x = ²n sin nx. (3.9.9)
2a
n=0
Współczynniki ²n moglibyÅ›my wyznaczyć standardowÄ… metodÄ…, wykorzystujÄ…cÄ… or-
togonalność funkcji trygonometrycznych (por. podrozdziały 3.2 i 3.4  Wybranych
rozdziałów . . .  ), niemniej warto zauważyć, że trzecia potęga sinusa to
1
sin3 Ä… = (3 sin Ä… - sin 3Ä…),
4
zatem, wypisując kilka wyrazów szeregu, występującego po prawej stronie równości
(3.9.9) i porównując je z wyrazami stojącymi po lewej stronie, widzimy, że
3
²0 = u0,
4
natomiast
1
²1 = - u0,
4
a wszystkie pozostaÅ‚e ²i = 0, wobec czego poszukiwana funkcja u(x, t) ma postać

1 2
u(x, t) = u0 3e-k0t sin 0x - e-9k0t sin 30x , (3.9.10)
4
gdzie 0 = Ä„/2a.
BG AGH
86 Zagadnienie Sturma Liouville a
PROBLEM 3.10
Wzdłuż dodatniej półosi 0x leży (prosty, jednorodny) pręt,
o (praktycznie) nieskończonej długości. Powierzchnia bocz-
na i  koniec w nieskończoności pręta są idealnie izolowa-
ne termicznie;  początek pręta, punkt x = 0, jest utrzy-
mywany w stałej temperaturze, T (0, t) = 0. W chwili po-
czątkowej, w drucie panował pewien rozkład temperatury 
T (x, 0) = f(x). Funkcja f(x) jest ograniczona i nieujemna,
dla wszystkich wartości zmiennej x, łącznie z x ". Znajdz

temperaturę punktów pręta, w funkcji położenia i czasu,
T = T (x, t). Temperatura ta spełnia (1+1)-wymiarowe rów-
nanie przewodnictwa cieplnego
"T (x, t) "2T (x, t)
= º , (3.10.1)
"t "x2
gdzie staÅ‚a º zostaÅ‚a okreÅ›lona w problemie 3.9.
Punktem wyjścia będzie metoda separacji zmiennych. Postulujemy
T (x, t) = X(x)T (t), (3.10.2)
a więc szukana temperatura to iloczyn dwóch funkcji jednej zmiennej: X(x) i T (t).
Po standardowych procedurach  obliczeniu pochodnych czÄ…stkowych, wstawieniu do
(3.10.1), podzieleniu obu stron równania przez X(x) T (t), dostajemy

1 T (t) X (x)
= = , (3.10.3)
º T (t) X(x)

gdzie  zgodnie z metodą separacji zmiennych   jest pewną stałą. Symbole i
oznaczajÄ… odpowiednio pierwszÄ… i drugÄ… pochodnÄ… (zwyczajnÄ…) danej funkcji, wzglÄ™-
dem  jej zmiennej.
Pierwsze z tych równań,

1 T (t)
= ,
º T (t)
to proste równanie o zmiennych rozdzielonych, z rozwiązaniem
T (t) = C1 exp(ºt), (3.10.4)
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 87
gdzie C1 to pewna stała, która w tej chwili nie ma żadnego znaczenia.
Zastanówmy się, co możemy powiedzieć o znaku naszej stałej separacji . Po pierwsze,
stała ta nie może być równa zeru, gdyż oznaczałoby to, że temperatura w ogóle
nie zależy od czasu [T (t) = C1 = constans], a to sprzeczne jest z fizyką problemu.
Dodatnie  oznaczałoby, że temperatura rośnie z upływem czasu, co  biorąc znowu
pod uwagę obraz fizyczny  nie jest możliwe (przypominamy f(x) 0). Pozostaje
więc jedyna możliwość  stała separacji jest ujemna,  = -k2, rozwiązanie części
 czasowej , wzór (3.10.4), to
T (t) = C1 exp(-k2ºt), (3.10.5)
a ogólne rozwiązanie równania opisującego zależność przestrzenną
X (x)
= -k2 (3.10.6)
X(x)
to oczywiście
X(x) = D sin kx + E cos kx, (3.10.7)
gdzie D i E to znowu pewne nieokreślone stałe. Ze względu na warunek T (0, t) a" 0
musimy zrezygnować z kosinusa. Uwzględniając te cząstkowe rozwiązania, możemy
zapisać temperaturę pręta w postaci
T (x, t) = C exp(-k2ºt) sin kx, (3.10.8)
gdzie C = C1 D  pewna stała.
W odróżnieniu od analogicznych problemów z transportu ciepła, bądz
ruchu falowego,
w obiektach o skończonej długości nie mamy w naszym problemie żadnej dodatkowej
przesłanki, która pozwoliłaby  skwantować (zdyskretyzować) występującą w rozwią-
zaniu (3.10.8) stałą k i  w konsekwencji  wyrazić temperaturę jako nieskończoną
sumę rozwiązań typu (3.10.8), uzyskanych dla takich skwantowanych wartościach
stałej, tworzących nieskończony, ale przeliczalny zbiór kn; n = 0, 1, . . .. Stała k może
zmieniać się w sposób ciągły, a jeżeli tak to odpowiednikiem wzorów typu
"

È(x, t) = CnXn(x)Tn(t); Xn a" X(kn), Tn a" T (kn)
n=0
(por. podrozdziały 3.2  3.4  Wybranych rozdziałów. . .  ) będzie

"
T (x, t) = C(k) exp(-k2ºt) sin kx dk (3.10.9)
0
 tzw. całka Fouriera (por. końcowy fragment podrozdziału 4.2.3  Wybranych roz-
działów. . .  ).
BG AGH
88 Zagadnienie Sturma Liouville a
Takie, a nie inne granice całkowania sugerują, że nasze k powinno być nieujemne.
Nie jest to konieczne  moglibyśmy jako granice całkowania przyjąć ą". Spróbuje-
my jednak  ograniczyć się do dodatnich k; będzie to kwestia tylko konsekwentnego
stosowania tego wyboru.
Jak wyznaczyć współczynniki C(k) całki fourierowskiej? Oczywiście, musimy skorzy-
stać z warunku
T (x, t = 0) = f(x),
który prowadzi do

"
T (x, 0) = f(x) = C(k) sin kx dk. (3.10.10)
0
Współczynniki C(k) naszej całki fourierowskiej to  z dokładnością do stałego czyn-
nika  te same współczynniki, które występują w sinusowej transformacie Fouriera
funkcji f(x). ParÄ™ transformat sinusowych Fouriera tworzÄ… funkcje4


"
2
gs(k) = fs(x) sin kx dx, (3.10.11)
Ä„
0


"
2
fs(x) = gs(k) sin kx dk, (3.10.12)
Ä„
0
przy czym funkcja f(x) musi spełniać kryterium nieparzystości5 f(-x) = -f(x).
Wzór (3.10.10), przy uwzględnieniu definicji (3.10.11) i (3.10.12), pozwala zapisać

" "
2 2
C(k) = f(x) sin kx dx a" f(u) sin ku du (3.10.13)
Ä„ Ä„
0 0
 współczynniki C(k) znajdziemy obliczając (niewłaściwe) całki z początkowego roz-
kładu temperatury. (Zauważ Czytelniku, że w (3.10.13) zmieniliśmy zmienną całko-
wania aby w kolejnych wzorach nie popaść w pewną kolizję oznaczeń.) Oczywiście,
aby całki takie istniały (były zbieżne) funkcja f(x) musi mieć odpowiedni charakter.
Zanim jednak zaczniemy się martwić o to, jakie kryteria powinna spełniać funkcja
f(x) spróbujmy zapisać nasze rozwiązanie (3.10.9) przy uwzględnieniu (3.10.13).
Mamy


" "
2
T (x, t) = f(u) sin ku du exp(-k2ºt) sin kx dk. (3.10.14)
Ä„
0 0
Zauważmy, że w naszej (podwójnej) caÅ‚ce wystÄ™puje czynnik exp(-k2ºt), który dla
dużych wartości k znakomicie  pracuje na rzecz zbieżności całki. Rzeczywiście, do-
kładna analiza wykazałaby, że podwójna całka (3.10.14) będzie zbieżna, pod warun-
kiem, że funkcja f(x) jest ograniczona. Można też zmienić szyk całkowania i napisać


" "
2
T (x, t) = exp(-k2ºt) sin ku sin kx dk f(u) du. (3.10.15)
Ä„
0 0
4
Por. na przykład Donald A. McQuarie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, t.II,
PWN, 2005.
5
Mówiąc prosto: nasz początkowy rozkład temperatury wzdłuż pręta  odbijamy w ujemnej półosi
x-ów zmieniając znak; dokonujemy (fikcyjnego)  rozszerzenia problemu na całą oś zmiennej x.
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 89
W tym momencie można uznać, że schemat rozwiązania został już doprowadzony do
samego końca. Pozostają  tylko rachunki, ale i one są dość ciekawe. Występujący
pod całką iloczyn sinusów można zastąpić sumą kosinusów
1
sin ku sin kx = {cos[k(u - x)] - cos[k(u + x)]} , (3.10.16)
2
co prowadzi do całek

"
2
Ä… exp(-k2ºt) cos[k(u Ä… x)] dk, (3.10.17)
Ä„
0
albo  w skrócie 

"
Ib a" exp(-ak2) cos bk dk; a > 0
0
( a a" ºt, b a" u Ä… x).
Taką całkę można obliczyć, rozwijając funkcję kosinus w szereg i całkując poszczególne
wyrazy tego szeregu, pomnożone przez funkcję wykładniczą. Znacznie łatwiej jest
jednak uzyskać wynik, jeżeli uciekniemy się do zgrabnego triku. Całka Ib jest funkcją
parametru b; różniczkując całkę względem b (wzór Leibniza, {2.143}), a następnie
całkując uzyskaną całkę przez części, mamy


" "
dIb 1 d
= - exp(-ak2)k sin bk dk = exp(-ak2) sin bk dk
db 2a dk
0
" " 0


1
= exp(-ak2) sin bk - b exp(-ak2) cos bk dk

2a
0
0
b
= - Ib,
2a
a zatem obliczenie całki sprowadza się do rozwiązania prostego równania różniczko-
wego o zmiennych rozdzielonych
dIb b
= - Ib. (3.10.18)
db 2a
Rozwiązanie  to oczywiście

b2
Ib = C exp - ,
4a
gdzie stałą całkowania C = Ib=0 wyliczamy z warunku
"

" "
" "
1 Ä„
Ib=0 = exp(-ak2) dk = " exp[-( ak)2]d( ak) = "
a 2 a
0 0
(całka Poissona; por. także wzór {1.137}  Wybranych rozdziałów. . .  ). Mamy więc

"

"
Ä„ -b2
"
Ib a" exp(-ak2) cos bk dk = exp ; a > 0. (3.10.19)
2 a 4a
0
BG AGH
90 Zagadnienie Sturma Liouville a
Korzystając z tego wyniku, możemy przekształcić (3.10.15) w
îÅ‚ Å‚Å‚
(u - x)2 (u + x)2

"
- -
1
ïÅ‚ śł
4ºt - e
4ºt
T (x, t) = " e f(u) du; t > 0 (3.10.20)
ðÅ‚ ûÅ‚
2 Ä„ºt 0
przy czym T (x, 0) = f(x).
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 91
PROBLEM 3.11
Korzystając z ogólnego rozwiązania problemu 3.10, wzo-
ru (3.10.20), znajdz
rozkład temperatury w półnieskończo-
nym pręcie, którego temperatura w chwili początkowej była,
w każdym punkcie, stała  T (x, 0) = f(x) = C.
To oczywiście  czyste rachunki. Wzór (3.10.20) przybiera postać
îÅ‚ Å‚Å‚
(u - x)2 (u + x)2

"
- -
C
ïÅ‚ śł
4ºt - e
4ºt
T (x, t) = " e du; t > 0 (3.11.1)
ðÅ‚ ûÅ‚
2 Ä„ºt 0
Dokonujemy zmiany zmiennej całkowania w pierwszej i drugiej całce
(u - x)2 (u + x)2
= v2 = w2
4ºt 4ºt
" "
u - x = v 4ºt u + x = w 4ºt
x x
u = 0 v = -" u = 0 w = "
4ºt 4ºt
u = " v = " u = " w = "
co prowadzi do


" "
C 2 2
T (x, t) = " e-v dv - e-w dw
Ä„
- "x "x
4ºt 4ºt

"x
2C 2 x
4ºt
= " e-w dw = Cerf " , (3.11.2)
Ä„
0 4ºt
gdzie funkcja erf, to funkcja błędu (por. podrozdział 1.5.3  Wybranych rozdzia-
łów. . .  ).
Problem takiego quasi-nieskończonego pręta, stygnącego  od pewnej stałej tempe-
ratury początkowej, w wyniku kontaktu jednego z końców pręta ze stałą (niższą)
temperaturÄ… jest  z formalnego punktu widzenia  analogiczny do problemu jedno-
wymiarowej dyfuzji, dla przypadku gdy  na wejściu pojawia się stała koncentracja
składnika, który dyfunduje w półnieskończony ośrodek, w którym początkowe stężenie
tego składnika było równe zeru (por. także problem 5.10).
BG AGH
92 Zagadnienie Sturma Liouville a
PROBLEM 3.12
Rozważamy dwa, nieskończenie długie pręty. Jeden z nich ma
przekrój w kształcie kwadratu o boku d, drugi  w kształcie
koła, o promieniu a tak dobranym, że pola powierzchni bocz-
nych obu prętów, przypadające na jednostkę ich długości, są
sobie równe.
Oba pręty nagrzano jednorodnie (równomiernie), a następnie
wprowadzono do ośrodka o temperaturze 0 K. Który z prętów
będzie stygnął szybciej:  kwadratowy czy  okrągły ?
Korzystamy ponownie z równania przewodnictwa cieplnego (3.10.1), ale tym razem
jest to równanie (2 + 1)-wymiarowe. Zapiszemy go w ogólnej postaci
"T (x, y, t)
= º T (x, y, t), (3.12.1)
"t
gdzie operator Laplace a w zależności od przekroju pręta będzie wyrażony we współ-
rzędnych kartezjańskich (kwadrat) lub biegunowych (koło).
Pręt o przekroju kwadratowym.
Temperatury pręta poszukujemy w postaci funkcji T (x, y, t) = X(x)Y (y)F (t), która
spełnia równanie

"T (x, y, t) "2T (x, y, t) "2T (x, y, t)
= º + (3.12.2)
"t "x2 "y2
z warunkami
T (x = 0, y, t) = T (x = d, y, t) = T (x, y = 0, t) = T (y = d, x, t) = 0. (3.12.3)
Metoda separacji zmiennych prowadzi natychmiast do

1 d2X(x) 1 d2Y (y) 1 dF (t)
º + = a" . (3.12.4)
X(x) dx2 Y (y) dy2 F (t) dt
Stała separacji  musi być ujemna:  a" -k2  wynika to zarówno z konieczności
spełnienia warunków (3.12.3), jak i z charakteru funkcji F opisującej zależność tem-
peratury od czasu (musi to być funkcja malejąca)6. Funkcja F (t) spełnia równanie
dF (t)
= -k2F (t), (3.12.5)
dt
6
Por. dyskusję kwestii znaku stałej separacji w problemie 3.11.
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 93
2
z rozwiązaniem F (t) = e-k t. Funkcje X(x) i Y (y) spełniają identyczne równania,
a także identyczne warunki brzegowe, wynikające z (3.12.3):
d2X(x)
2
+ kxX(x) = 0, X(x = 0) = X(x = d) = 0,
dx2
d2Y (y)
2
+ kyY (y) = 0, Y (y = 0) = Y (y = d) = 0,
dy2
k2
2 2
kx + ky = .
º
Rozwiązania tych równań to oczywiście
nxĄ
X(x) = sin kxx, gdzie kx a" (kx)n = , nx = 1, 2, . . .
d
nyĄ
Y (y) = sin kyy, gdzie ky a" (ky)n = , ny = 1, 2, . . .
d
Wynika stąd, że współczynnik zmiennej czasowej w wykładniku eksponenty to
ºÄ„2(n2 + n2)
x y
k2 a" k2(nx, ny) = , (3.12.6)
d2
a funkcja opisująca temperaturę kwadratowego pręta będzie miała postać

" "

ºÄ„2(n2 + n2)
nxĄ nyĄ
x y
T (x, y, t) = C(nx,ny) sin x sin y exp - t . (3.12.7)
d d d2
nx=1 ny=1
Współczynniki C(nx,ny) można wyznaczyć (w prosty sposób) z warunku jednorodno-
ści początkowego rozkładu temperatury w objętości pręta. Pozostawiamy to zadanie
Dociekliwemu Czytelnikowi (por. przypis na stronie 94).
Pręt o przekroju kołowym
Temperatura i spełniane przez nią równanie (już rozseparowane) to

º 1 d dR 1 dF
T = R(r)F (t); r = = -k2.
R r dr dr F dt
Odpowiednikiem warunków (3.12.3) jest teraz
R(r = a) = 0; R(r = 0) jest skończone. (3.12.8)
Postać części  czasowej rozwiązania jest oczywiście identyczna jak w poprzednim
przypadku, ale współczynnik k będzie określony pierwszym warunkiem (3.12.8); rów-
nanie radialne dla R(r) to
r2R + rR + (kr)2R = 0, (3.12.9)
BG AGH
94 Zagadnienie Sturma Liouville a
a więc równanie Bessela o wskaz
niku zero. Ze względu na warunki (3.12.8) rozwią-
zaniem będzie

Ä…0p
R(r) a" Rp(kr) = J0 r p = 1, 2, . . . (3.12.10)
a
gdzie Ä…0p to zera funkcji Bessela o wskaz
niku 0. Całe rozwiązanie ma postać


" 2

ºÄ…0p
Ä…0p
T (r, t) = CpJ0 r exp - t . (3.12.11)
a a2
p=1
I w tym przypadku znajomość (np. jednorodnego, jak w tym przypadku) rozkładu
temperatury początkowej pozwala wyznaczyć współczynniki Cp.
Mamy ogólne postacie rozwiązań dla obu przekrojów prętów. O szybkości stygnięcia
decydują pierwsze wyrazy szeregów, a konkretnie  stosunek występujących w nich
funkcji, które opisują zależność temperatury od czasu. Pierwsze wyrazy  bo chodzi
o to, aby wartość liczbowego współczynnika przy zmiennej czasowej była jak naj-
mniejsza (wartość eksponenty jest wtedy największa). Stosunek tych współczynników
zmiennej t, w pierwszych wyrazach szeregów dla koła i kwadratu to
2
wsp.1. wyrazu|koÅ‚o (p = 1) ºÄ…2 d2 1 d2 Ä…01
01
S = = · = .
wsp.1. wyr.|kwadrat (nx = ny = 1) a2 ºÄ„2(12 + 12) 2 a2 Ä„
(3.12.12)
Pozostaje wykorzystać warunek równości pól pobocznic (obwodów) prętów: 2Ąa = 4d,
skąd d/a = Ą/2 i wykorzystać fakt, że ą01 H" 2, 4. Podstawiając do (3.12.12), mamy
2 2
1 d2 Ä…01 1 Ä…01
S = = H" 0, 72. (3.12.13)
2 a2 Ä„ 2 2
Czas  płynie wolniej dla pręta o przekroju kołowym i dlatego ten ostatni stygnie
wolniej od pręta o przekroju kwadratowym.
Naturalnym rozszerzeniem tego problemu będzie konfrontacja stygnących sześcianu
i kuli o jednakowych polach powierzchni. Dla sześcianu rozwiązanie otrzymujemy, do-
dając jeszcze jedno równanie przestrzenne, które wygeneruje dodatkową liczbę  kwan-
tujÄ…cÄ… nz. Dla kuli problem sprowadzi siÄ™ do funkcji sferycznych Bessela, a konkretnie
funkcji j0(kr) (por. podrozdział 4.2.5  Wybranych rozdziałów. . .  ).
Dociekliwy Czytelnik zechce się zastanowić, czy zamieszczona w temacie jednorod-
ność początkowego rozkładu temperatury jest istotna w rozwiązywaniu problemu.
(Odpowiedz
w przypisie7.)
7
Jest istotna. Pozwala to szukać rozwiązania dla pręta kołowego od razu w postaci T = R(r)F (t),
abstrahując od ewentualnej zależności temperatury od kąta azymutalnego Ć. Prowadzi to do równania
Bessela z jednoznacznie określonym wskaz
nikiem. Nagrzanie niejednorodne mogłoby spowodować, że
rozwiązania szukalibyśmy w postaci podwójnego szeregu Fouriera-Bessela, z zależnością (harmonicz-
ną) od kąta Ć  taktowaną liczbą m (por. podrozdział 4.2.3  Wybranych rozdziałów. . .  ) i musie-
libyśmy identyfikować najmniejszy z występujących w nim współczynników w wykładniku czasowej
eksponenty  w takim szeregu niektóre współczynniki Cpm mogą być równe zeru. Natomiast dla pręta
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 95
PROBLEM 3.13
Skonstruuj funkcje ortonormalne Åšn(x) wykorzystujÄ…c
metodę Grama Schmidta, gdy dany jest zbiór funkcji
liniowo niezależnych un(x) = xn (n = 0, 1, . . .). Prze-
dział całkowania przyjmij od 0 do ", a wagę w postaci
w(x) = xe-x.
Metoda ortogonalizacji Schmidta (lub Grama Schmidta) służy do konstruowania ba-
zy ortonormalnej (a przynajmniej ortogonalnej) przy wykorzystaniu bazy, utworzonej
z funkcji liniowo niezależnych. Jak to zostało opisane w  Wybranych rozdziałach . . . 
(por. podrozdział 3.5), omawiana metoda jest procedurą sekwencyjną, opartą na wzo-
rze
n-1

Õn(x) = un(x) + anjÅšj(x), (3.13.1)
j=0
gdzie funkcja Õj(x) jest zrenormalizowanÄ… funkcjÄ… Åšj(x) speÅ‚niajÄ…cÄ… równanie
Åšj(x) = Ä…jÕj(x). (3.13.2)
Stałą ąj we wzorze (3.13.2) wyznaczamy z warunku

b
dx w(x) Åš2(x) = 1. (3.13.3)
j
a
Współczynniki anj mają postać

b
anj = - dx w(x) un(x)Åšj(x). (3.13.4)
a
Proces konstrukcji zbioru funkcji ortonormalnych {Åšn(x)} w przedziale (0, ") z wagÄ…
w(x) = x exp (-x) rozpoczniemy od przyjÄ™cia Åš0(x) = u0(x) = 1. FunkcjÄ™ Õ1(x)
wyznaczymy z wyrażenia
Õ1(x) = u1(x) + a10Åš0(x), (3.13.5)
gdzie u1(x) = x, zaś wartość współczynnika a10 jest określona przez całkę występującą
w wyrażeniu (3.5.3), czyli

"
a10 = - dx x2e-x = -2. (3.13.6)
0
kwadratowego w zasadzie należałoby sprawdzić, że jednorodne nagrzanie prowadzi do sytuacji w któ-
rym współczynnik C(1,1) jest różny od zera. A
atwy rachunek pokazuje, że niezerowe współczynniki
istniejÄ… dla wszystkich nieparzystych liczb kwantujÄ…cych nx, ny.
BG AGH
96 Zagadnienie Sturma Liouville a
Wynik ten podaliśmy natychmiast, ponieważ występująca tutaj całka jest niczym
innym jak wartoÅ›ciÄ… funkcji gamma Eulera, “(n + 1) dla n = 2. Przypomnijmy (por.
wzór {1.135} w  Wybranych rozdziaÅ‚ach . . .  ), że reprezentacja caÅ‚kowa “(n + 1) to

"
“(n + 1) = dx xne-x = n! (3.13.7)
0
Wobec tego funkcja Õ1(x) ma postać
Õ1(x) = x - 2. (3.13.8)
Zanim napiszemy jawną postać funkcji Ś1(x), musimy jeszcze obliczyć współczynnik
ą1. W tym celu podstawmy funkcję Śj(x) wyrażoną wzorem (3.13.2) do warunku
(3.13.3), skÄ…d otrzymujemy

b
2
Ä…j dx w(x)Õ2(x) = 1. (3.13.9)
j
a
Dla j = 1, wartość tej całki wynosi 2. Do jej obliczenia ponownie wykorzystaliśmy
"
wzór (3.13.7). Zatem ą1 = 1/ 2, a poszukiwana funkcja ma postać
1
"
Åš1(x) = (x - 2). (3.13.10)
2
Skonstruujemy jeszcze jawną postać funkcji Ś2(x). W tym przypadku mamy
Õ2(x) = u2(x) + a21Åš1(x) + a20Åš0(x), (3.13.11)
gdzie u2(x) = x2, natomiast współczynniki

"
a20 = - dx x3e-xÅš0(x) = -6 (3.13.12)
0
oraz

" "
1 12
a21 = - dx x3e-xÅš1(x) = -" dx x3e-x(x - 2) = -" . (3.13.13)
0 2 0 2
Po prostych przekształceniach, otrzymujemy
Õ2(x) = x2 - 6x + 6. (3.13.14)
Opierając się na warunku (3.13.9), otrzymujemy wartość współczynnika ą2. Pojawia-
jąca się w obliczeniach całka ma postać

"
dx xe-x(x2 - 6x + 6)2. (3.13.15)
0
Jej obliczenie sprowadza się do kilkakrotnego zastosowania reprezentacji całkowej
"
funkcji gamma Eulera danej wzorem (3.13.7). Ostatecznie współczynnik ą2 = 1/2 3,
wobec tego
1
"
Åš2(x) = (x2 - 6x + 6). (3.13.16)
2 3
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 97
PROBLEM 3.14
Znajdz
pierwsze trzy wielomiany Legendre a metodÄ…
ortogonalizacji Schmidta. Kwadrat normy wielomianu
przyjmij z warunku

1
2
dx [Pn(x)]2 = a" Nn. (3.14.1)
-1
2n + 1
Konstrukcja wielomianów Legendre a Pn(x) jest w zasadzie podobna do procedury
przedstawionej w poprzednim zadaniu, z tym, że uwzględnienie warunku normaliza-
cyjnego (3.14.1) pociąga za sobą nieznaczne zmiany. Zwróćmy uwagę, że poszukiwane
wielomiany są ortogonalne, a nie ortonormalne, jak to miało miejsce poprzednio. Po
uwzględnieniu stałej Nj, wzór na współczynniki anj występujące w wyrażeniu
n-1

Wn(x) = un(x) + anjPj(x), (3.14.2)
j=0
przyjmie postać

1
1
anj = - dx un(x)Pj(x). (3.14.3)
Nj -1
Z kolei uwzględnienie normy (3.14.1) w odniesieniu do wielomianów Wn(x) prowadzi
do warunku na współczynniki ąj w postaci8
Nj
2
Ä…j = , (3.14.4)

1
dx[Wj(x)]2
-1
które po pomnożeniu przez wielomian Wn(x) dają poszukiwany wielomian Legendre a
Pn(x). Zgodnie z tradycją przyjmujemy, że P0(x) = u0(x) = 1. Wielomian P1(x) =
ą1W1(x) znajdziemy, wyznaczając jawną postać W1(x) z równania
W1(x) = u1(x) + a10P0(x) = x, (3.14.5)
gdzie współczynnik a10 obliczony na podstawie wzoru (3.14.3) ma wartość zero, a na
podstawie warunku (3.14.4) stała ą1 = 1. Wobec tego wielomian P1(x) = x. Podob-
nie jak poprzednio, do wyznaczenia wielomianu P2(x) = Ä…2W2(x) najpierw musimy
8
Przypomnijmy, że poszukiwane wielomiany Legendre a Pn(x) są związane wielomianami Wn(x)
relacjÄ…: Pn(x) = Ä…n
Wn(x).
BG AGH
98 Zagadnienie Sturma Liouville a
znalez
ć jawną postać funkcji W2(x) na podstawie wyrażenia
W2(x) = u2(x) + a21P1(x) + a20P0(x)
1
= x2 - , (3.14.6)
3
a następnie obliczając współczynnik ą2, przy wykorzystaniu warunku (3.14.4), dosta-
jemy jego wartość równą 3/2. W tej sytuacji wielomian P2(x) ma postać
1
P2(x) = (3x2 - 1).
2
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 99
PROBLEM 3.15
Wykaż, że jeżeli wielomiany Wn(x) określone przez
współczynniki rozwinięcia funkcji tworzącej
"

gW (x, t) = CnWn(x)tn, (3.15.1)
n=0
sÄ… ortogonalne w przedziale [a, b] z wagÄ… w(x), to war-
tość całki

b
I = dx gW (x, t)gW (x, s) (3.15.2)
a
zależy od iloczynu zmiennych t oraz s, tzn. I = f(ts).
Przypomnijmy, że zgodnie ze wzorem {3.66} w  Wybranych rozdziałach . . .  warunek
ortogonalności wielomianów {Wn(x)}, gdzie n = 0, 1, . . ., z wagą w(x) w przedziale
[a, b] ma postać

b
dx w(x)Wn(x)Wm(x) = Nn´nm. (3.15.3)
a
gdzie Nn jest kwadratem normy wielomianu Wn(x).
Podstawiając funkcję tworzącą dla wielomianów Wn(x), daną wzorem (3.15.1), do
wyrażenia (3.15.2), otrzymujemy

" "
b

I = dx w(x) CnCmWn(x)Wm(x)tnsm. (3.15.4)
a
n=0 m=0
Zauważmy, że po zmianie kolejności całkowania i sumowania, dostajemy wyrażenie
w postaci

" "
b

I = CnCm dx w(x)Wn(x)Wm(x) tnsm, (3.15.5)
a
n=0 m=0
gdzie w nawiasie klamrowym występuje lewa strona warunku ortogonalności (3.15.3),
dla rozpatrywanych wielomianów. Po zastÄ…pieniu nawiasu przez Nn´nm wartość ob-
liczanej całki wynosi
"

2
I = NnCn(ts)n = f(ts). (3.15.6)
n=0
Zatem dla wielomianów ortogonalnych wartość całki zależy od iloczynu zmiennych s
i t. Zwróćmy uwagę, że gdy wielomiany Wn(x) są ortonormalne w rozpatrywanym
przedziale z wagÄ… w(x), to wszystkie kwadraty normy Nn = 1.
BG AGH
100 Zagadnienie Sturma Liouville a
PROBLEM 3.16
Oblicz stałą normalizacyjną dla wielomianów:
a) Hermite a,
b) Laguerre a.
Przez stałą normalizacyjną rozumiemy stałą Cn, przez którą należy pomnożyć dany
wielomian, aby jego kwadrat normy  równy początkowo Nn  stał się równy jedności.
Taką stałą będzie oczywiście
1
"
Cn = .
Nn
Wyznaczenie stałej normalizacyjnej sprowadza się więc do policzenia wartości Nn dla
danej rodziny wielomianów.
Do wyznaczenia stałej normalizacji dla wielomianów Hermite a zastosujemy metodę
opartą na własnościach funkcji tworzącej. Zgodnie ze wzorem {3.106} z  Wybranych
rozdziałów. . .  funkcja tworząca dla wielomianów Hermite a ma postać
"

Hn(x) 2
gH(x, t) = tn = e-t +2tx. (3.16.1)
n!
n=0
Mając do dyspozycji funkcję tworzącą, utworzymy całkę:

"
2
I = dx e-x gH(x, t)gH(x, s). (3.16.2)
-"
Z jednej strony, całkę tę możemy zapisać w postaci

" "
"

1 2
I = dx e-x Hn(x)Hm(x)tnsm, (3.16.3)
n!m!
-"
n=0 m=0
a z drugiej strony, używając jawnej postaci funkcji tworzącej, mamy

"
2 2 2
I = dx e-x e-t +2txe-s +2sx. (3.16.4)
-"
Oczywiście, obydwa te wyrażenia: (3.16.3) i (3.16.4) są sobie równe, tzn.

" "
" "

1 2 2
dx e-x Hn(x)Hm(x)tnsm = dx e-x +2(s+t)x-(t2+s2).
n!m!
-" -"
n=0 m=0
(3.16.5)
Właśnie na tym spostrzeżeniu będzie bazowała omawiana metoda. Oznaczmy wy-
rażenie po lewej stronie tożsamości (14.5) przez (L), a wyrażenie stojące po prawej
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 101
stronie, przez (P). Najpierw zajmiemy się prawą stroną wyrażenia (3.16.5). Podsta-
wiajÄ…c ¾ = x-(s+t) sprowadzamy tÄ™ caÅ‚kÄ™ do dobrze nam znanej postaci, czyli caÅ‚ki
Poissona

"
2
(P) = e2st d¾ e-¾ , (3.16.6)
-"
" "
której wartość wynosi Ą, wobec tego (P) = Ą exp (2st). Wygodniej będzie jednak
przedstawić funkcję wykładniczą w postaci szeregu potęgowego
"

"
2n
(P) = Ä„ tnsn, (3.16.7)
n!
n=0
o czym siÄ™ przekonamy za chwilÄ™.
Teraz zajmiemy się wyrażeniem (L). Korzystając z warunku ortogonalności (por. wzór
{3.66} z  Wybranych rozdziałów. . .  ),

"
2
dx e-x Hn(x)Hm(x) = Nn´nm, (3.16.8)
-"
przekształcamy (L) do postaci
" "

1
(L) = Nn´nmtnsm
n!m!
n=0 m=0
"

1
= Nntnsn. (3.16.9)
(n!)2
n=0
Następnie porównując ze sobą (L) i (P) dostajemy

"

"
1 Nn
- 2n Ä„ tnsn = 0, (3.16.10)
(n!) n!
n=0
a stąd wynika, że
"
Nn = Ä„2nn!, (3.16.11)
albo
1

Cn(Hermite a) = . (3.16.12)
"
Ä„2nn!
Tę samą metodę można zastosować do wyznaczenia stałej normalizacyjnej dla wie-
lomianów Laguerre a. Tu jednak przedstawimy nieco inny sposób jej wyznaczenia,
oparty na wzorze Rodriguesa. Na podstawie podrozdziału 3.7 z  Wybranych rozdzia-
łów. . .  wzór Rodriguesa dla wielomianów Laguerre a ma postać

1 dn
Ln(x) = ex xne-x . (3.16.13)
n! dxn
BG AGH
102 Zagadnienie Sturma Liouville a
Wiemy również, że wielomiany Laguerre a są ortogonalne w przedziale (0, ") z wagą
exp (-x). Wobec tego warunek ortogonalności dany wzorem {3.59} z  Wybranych
rozdziałów. . .  przyjmie postać

"
dx e-xLm(x)Ln(x) = Nn´mn. (3.16.14)
0
Oznaczając całkę występującą po lewej stronie tego wyrażenia przez Imn, można zapi-
sać symbolicznie: Imn = Nn´mn. Zwróćmy uwagÄ™, że przy takim zapisie wyznaczenie
wartość stałej Nn zostało sprowadzone do obliczenia wartości całki Imn, dla n = m.
W dalszej części, dla uproszczenia, będziemy oznaczać tę całkę przez In. Omawiana
metoda polega na podstawieniu za jeden z wielomianów Laguerre a, występujących
w całce In, z wzoru Rodriguesa. W rezultacie otrzymujemy wyrażenie w postaci

"
1 dn
In = dx Ln(x) xne-x , (3.16.15)
n! dxn
0
które policzymy całkując przez części. Wykonując wskazane działanie, dostajemy

" "

1 dn-1 d dn-1

In = Ln(x) xne-x - dx Ln(x) xne-x . (3.16.16)

n! dxn-1 dx dxn-1
0
0
Zauważmy, że pierwszy składnik tej różnicy jest równy zeru, wobec tego po wykonaniu
(n - 1)-krotnego całkowania przez części wyrażenia (3.16.16), otrzymujemy

(-1)n " dn
In = dx xne-x Ln(x) . (3.16.17)
n! dxn
0
Z kolei zapisanie wielomianu Laguerre a w postaci9
n

n! xk n-1 n! (-1)nxn
Ln(x) = (-1)k = (-1)k xk + (3.16.18)
(k!)2(n - k)! (k!)2(n - k)! n!
k=0 k=0
znacznie ułatwi nam dalsze obliczenie wartości tej całki, gdyż n-ta pochodna z pierw-
szego składnika tej sumy wynosi zero, natomiast drugi składnik daje (-1)nn! Tym
samym widzimy, że wartość całki (3.16.17) jest równa Nn = 1. (Do otrzymania te-
go wyniku ponownie skorzystaliśmy z reprezentacji całkowej funkcji gamma Eulera.)
Ostatecznie stała normalizacyjna dla wielomianów Laguerre a ma postać
Cn(Laguerre a) = 1.
Sprawdzenie tego wyniku możesz Czytelniku przeprowadzić stosując metodę omówio-
ną w podpunkcie a). Warto to zrobić!
9
Wzór (3.16.18) można otrzymać rozwijając wzór (3.16.13) według wzoru Leibniza na n-tą po-
chodną iloczynu dwóch funkcji

n

n
[u(x)v(x)](n) = u(x)(k)v(x)(n-k).
k
k=0
Jest on także bezpośrednią konsekwencją procedury ortogonalizacji Grama-Schmidta z narzuconym
warunkiem normalizacji L0(x) = 1.
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 103
PROBLEM 3.17
Wykaż, że dla wielomianów Hermite a zachodzi związek
d
Hn(x) = 2nHn-1(x). (3.17.1)
dx
Do wykazania związku (3.17.1) zastosujemy reprezentację całkową wielomianów Her-
mite a (por. wzór {3.108} w  Wybranych rozdziałach . . .  )

n! gH(x, t) n! exp [-t2 + 2tx]
Hn(x) = dt = dt , (3.17.2)
2Ä„i tn+1 2Ä„i tn+1
gdzie wykorzystaliśmy jawną postać funkcji tworzącej gH(x, t) (wzór {3.106}). Róż-
niczkując obustronnie po zmiennej x wyrażenie (3.17.2), dostajemy

d n! 2tgH(x, t)
Hn(x) = dt . (3.17.3)
dx 2Ä„i tn+1
Upraszczając otrzymane wyrażenie, a następnie porównując je z równością (3.17.2)
widzimy, że n!, występujące w liczniku przed znakiem całki, dobrze jest zapisać jako
n(n - 1)!, zatem

d (n - 1)! gH(x, t)
Hn(x) = 2n dt
dx 2Ä„i tn
= 2nHn-1(x) (3.17.4)
i tym samym wykazaliśmy słuszność związku (3.17.1).
BG AGH
104 Zagadnienie Sturma Liouville a
PROBLEM 3.18
Oblicz wartość całki

"
Imn = dx e-xx2Lm(x)Ln(x), (3.18.1)
0
gdzie Lm(x) sÄ… wielomianami Laguerre a.
Czytelnik sprawny w rozwiązywaniu problemów dostrzeże, że tę całkę da się wyrazić
za pomocą funkcji gamma Eulera, jeżeli wielomian Laguerre a przedstawimy w po-
staci10

n

n xk
Ln(x) = (-1)k . (3.18.2)
n - k k!
k=0
Podstawiając wyrażenie dane wzorem 3.18.2 do całki (3.18.1), dostajemy


m n
"

(-1)k+l m n
Imn = dx e-x xk+l+2
k!l! k l
0
k=0 l=0
m n

m!n!
= (-1)k+l “(k + l + 3)
(k!)2(l!)2(m - k)!(n - l)!
k=0 l=0
m n

m!n!(k + l + 2)!
= (-1)k+l . (3.18.3)
(k!)2(l!)2(m - k)!(n - l)!
k=0 l=0
Jednak w tym zadaniu chodzi raczej o zastosowanie relacji rekurencyjnej
pLp(x) = (2p - 1 - x)Lp-1(x) - (p - 1)Lp-2(x), (3.18.4)
dla wielomianów Laguerre a11. Przekształćmy tę relację  zmieniając (p - 1) q
i odpowiednio grupujÄ…c wyrazy do postaci
xLq(x) = 2(q + 1)Lq(x) - Lq(x) - (q + 1)Lq+1(x) - qLq-1(x). (3.18.5)
Wyrażenie podcałkowe x2Lm(x)Ln(x) w (3.18.1) można zapisać w postaci
[xLm(x)][xLn(x)], gdzie za oba czynniki podstawiamy wyrażenie dane wzorem (3.18.5).
Uwzględniając ten wynik, zapisujemy całkę Imn w postaci
Imn =

"
dx e-x [2(m + 1)Lm(x) - Lm(x) - (m + 1)Lm+1(x) - mLm-1(x)]
0
×[2(n + 1)Ln(x) - Ln(x) - (n + 1)Ln+1(x) - nLn-1(x)]. (3.18.6)
10
Por. przypis w problemie 3.16.
11
Wszystkie relacje rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych otrzymujemy w standardowy spo-
sób z funkcji tworzącej danych wielomianów. Por. podrozdział 4.1.2  Wybranych rozdziałów. . . 
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 105
Mnożąc przez siebie poszczególne składniki dwóch czynników iloczynu, otrzymujemy
16 wyrazów. Wartość tej całki zależy od relacji między wskaz
nikami m oraz n. Można
wyróżnić trzy ważne przypadki: n = m, n = m + 1 oraz n = m - 1. W przypadku,
gdy m = n, otrzymujemy 5 niezerowych przyczynków do całki Imn, mianowicie

"
Imm = 4(m + 1)2 dx e-x[Lm(x)]2
0

" "
- 4(m + 1) dx e-x[Lm(x)]2 + dx e-x[Lm(x)]2
0
0
" "
+ (m + 1)2 dx e-x[Lm+1(x)]2 + m2 dx e-x[Lm-1(x)]2.
(3.18.7)
0 0
Każda z otrzymanych całek jest kwadratem normy wielomianów Laguerre a, tzn.

"
dx e-x[Lq(x)]2 = 1, (3.18.8)
0
wobec czego wartość całki Imn, dla n = m to
Imm = 2(3m2 + 3m + 1). (3.18.9)
Uogólnienie otrzymanego wyniku na przypadek n = m ą 1 pozostawiamy zaintereso-
wanemu Czytelnikowi jako proste ćwiczenie.
BG AGH
106 Zagadnienie Sturma Liouville a
PROBLEM 3.19
Wyraz
funkcjÄ™ y(x) = 5x3+2x2-x+3 przez wielomiany:
a) Hermite a,
b) Czebyszewa.
Funkcja y(x) jest wielomianem stopnia trzeciego, wobec tego będziemy dążyć do
zapisania jej w postaci
3

y(x) = CnWn(x), (3.19.1)
n=0
gdzie Wn(x) sÄ… odpowiednimi wielomianami ortogonalnymi (Hermite a lub Czebysze-
wa), a Cn są współczynnikami, które należy wyznaczyć.
W podpunkcie a) wykorzystamy relacjÄ™ rekurencyjnÄ…,
Hn+1(x) = 2xHn(x) - 2nHn-1(x), (3.19.2)
do wyznaczenia wielomianów H3(x) oraz H2(x), przyjmując za dane H0(x) = 1 oraz
H1(x) = x. KÅ‚adÄ…c n = 1 w relacji (3.19.2), dostajemy H2(x) = 4x2-2, natomiast dla
n = 2, mamy H3(x) = 8x3 - 12x. Podstawiając jawną postać wielomianów Hermite a
do szeregu występującego po prawej stronie równości (3.19.1), otrzymujemy  po
uprzednim pogrupowaniu 
5x3 + 2x2 - x + 3 = 8C3x3 + 4C2x2 + (C1 - 12C3)x + (C0 - 2C2). (3.19.3)
Porównując współczynniki stojące przy tych samych potęgach po obu stronach rów-
ności, otrzymujemy: C0 = 4, C1 = 13/2, C2 = 1/2, oraz C3 = 5/8. Tak więc funkcja
y(x) wyrażona przez wielomiany Hermite a ma postać
5 1 13
y(x) = H3(x) + H2(x) + H1(x) + 4H0(x). (3.19.4)
8 2 2
W podpunkcie b) wygodnie jest skorzystać z relacji rekurencyjnej,
Tn+1(x) = 2xTn(x) - Tn-1(x), (3.19.5)
do generacji wielomianów drugiego i trzeciego stopnia, pamiętając o tym, że T0(x) =
1, a T1(x) = x. W rezultacie otrzymujemy T2 = 2x2 - 1 i T3 = 4x3 - 3x. Dalej,
schemat rozwiązania jest taki sam jak poprzednio, więc ograniczymy się do podania
wyniku końcowego
5 11
y(x) = T3(x) + T2(x) + T1(x) + 4T0(x). (3.19.6)
4 4
BG AGH
Zagadnienie Sturma Liouville a 107
W obu podpunktach wykorzystaliśmy relacje rekurencyjne, ale równie dobrze można
było zastosować do obliczeń kolejnych Wn(x) wzory Rodriguesa (por. podrozdział 3.7
w  Wybranych rozdziałach . . .  ). Jednak w tym przypadku kierowaliśmy się pewnym
pragmatyzmem ponieważ relacje rekurencyjne (uzyskiwane w standartowy sposób
z funkcji tworzącej wielomianów) są bez wątpienia prostszym sposobem otrzymania
żądanych wyników.
BG AGH
108 Zagadnienie Sturma Liouville a
PROBLEM 3.20
Oblicz wariancję wychylenia ze stanu równowagi
dla kwantowego oscylatora harmonicznego.
U podstaw mechaniki kwantowej leży zasada nieokreśloności, która dla pędu i poło-
żenia wyraża się wzorem
ÃxÃpx , (3.20.1)
2
gdzie Ãx i Ãpx sÄ… odpowiednio odchyleniami standardowymi (dyspersjami) poÅ‚ożenia
i pędu, czyli pierwiastkami ze średnich kwadratowych odchyleń tych wielkości od
ich wartości średnich. Wielkości te charakteryzują rozrzut mierzonych wartości pędu
i położenia wokół wartości średnich i są one jednoznacznie określone przez funkcje
falowe. Na przykład dla położenia x mamy
2
Ãx = Èn|[x - x n]2|Èn , (3.20.2)
gdzie x n jest wartością oczekiwaną operatora położenia x w stanie opisanym funkcją
falowÄ… Èn(x), która zgodnie ze wzorem {2.261} w  Wybranych rozdziaÅ‚ach . . .  ma
postać
"
Èn(x) = Cn exp [-x2/2]Hn( x), (3.20.3)


1 
gdzie stała Cn =  (por. problem 3.16), a reszta oznaczeń jest zgodna
2nn! Ä„
z tekstem  Wybranych rozdziałów . . .  .
Obliczenie wariancji (3.20.2) podzielimy na dwa etapy. W pierwszej kolejności obli-
czymy wartość oczekiwaną wychylenia,

"
x n = dx Èn(x)xÈn(x)
Ć
-"

2
Cn " 2 2
= dy e-y /2Hn(y)ye-y /2Hn(y)

-"

2
Cn " 2
2
= dy e-y yHn(y), (3.20.4)

-"
"
gdzie przeskalowaliśmy zmienną x zgodnie ze wzorem y = x.
Wartość całki w otrzymanym wyrażeniu wynosi zero, ponieważ funkcja podcałkowa
jest nieparzysta12, zaś przedział całkowania jest symetryczny.
Otrzymany wynik bardzo ułatwia obliczenie wariancji, gdyż problem został zredu-
kowany do obliczenia wartości oczekiwanej kwadratu operatora wychylenia, czyli
12
Aby to wykazać, wystarczy zauważyć, że kwadrat wielomianu o określonej parzystości [a tak jest
w przypadku Hn(y)] jest wielomianem zawierającym tylko parzyste potęgi.
BG Â
H
Zagadnienie Sturma Liouville a 109
2
Ãx = x2 n. To oznacza, że odpowiednia caÅ‚ka ma postać

2
Cn " 2
2
x2 n = dy e-y y2Hn(y) (3.20.5)
3/2 -"
Z kolei obliczenie tej całki można oprzeć na relacji rekurencyjnej dla wielomianów
Hermite a przedstawionej w problemie 3.17 tego rozdziału. Mnożąc ją obustronnie
przez x, dostajemy
1
x2Hn(x) = xHn+1(x) + nxHn-1(x)
2
1
= (n + 1/2)Hn(x) + Hn+2 + n(n - 1)Hn-2. (3.20.6)
4
Podstawiając otrzymane wyrażenie do całki (3.20.5), dostajemy

2
Cn " 2 1
x2 n = dy e-y [(n + 1/2)Hn(y) + Hn+2(y) + n(n - 1)Hn-2(y)]Hn(y).
4
3/2 -"
(3.20.7)
Korzystając z faktu, że wielomiany Hermite a są ortogonalne (z wagą wyrażającą się
przez funkcję Gaussa) w rozpatrywanym przedziale, można całe wyrażenie zreduko-
wać do postaci

2
"
Cn 2
2
x2 n = (n + 1/2) dy e-y Hn(y), (3.20.8)
3/2
-"
gdzie całka po prawej stronie jest kwadratem normy wielomianów Hermite a, równym
"
n! 2Ä„ (por. problem 3.16).
Ostatecznie wariancja wychylenia ze stanu równowagi dla kwantowego oscylatora har-
monicznego w stanie n wyraża się wzorem
"
2(2n + 1) 1
2
Ãx = x2 n = . (3.20.9)
2n+1 
BG AGH
BG AGH
Rozdział 4
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Tytuł rozdziału wyjaśnia jego treść, a jednocześnie nawiązuje do identycznego tytu-
łu jednego z rozdziałów  Wybranych rozdziałów. . .  . Pierwsze dwa problemy można
traktować jako rachunkową  rozgrzewkę ; kolejne trzy: 4.3,4.4 i 4.5 to wielomiany
Legendre a w kontekście równania Laplace a (dwa  klasyczne problemy z elektrosta-
tyki oraz jeden z teorii przewodnictwa cieplnego).
Wielomiany Legendre a  spotykają się z funkcjami Bessela w problemie 4.6, któ-
rego rozwiÄ…zanie, samo w sobie interesujÄ…ce, stanowi podstawÄ™ bardzo  fizycznego
problemu 4.7, dotyczącego rozpraszania cząstek na jądrach atomowych i przekrojów
czynnych dla procesów rozpraszania, problemu który powraca jeszcze raz w rozdziale
piÄ…tym (problem 5.13).
Pierwsze trzy problemy dotyczÄ…ce funkcji Bessela [4.8, 4.9 i 4.10] traktujÄ… o: zerach
funkcji Bessela Jn, dla różnych wartości wskaz
nika; ograniczeniu funkcji Jn i przedsta-
wieniu funkcji Jn w postaci całki. Kolejna reprezentacja całkowa funkcji Jn to także
treść problemu 4.14.
W problemach 4.11 4.13 i 4.15 liczymy różne całki z funkcji Bessela. Nagrodą za
te trudy są  fizyczne problemy 4.16 4.19, które z jednej strony wymagają takich
umiejętności jak obliczanie całek, z funkcjami podcałkowymi zawierającymi funkcje
Bessela, a z drugiej  uzmysławiają nam, jak  ważne jest równanie Bessela w pro-
blemach fizyki.
111
BG AGH
112 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
PROBLEM 4.1
Wykaż, że liczba (niewymierna) Ą/2 może być przedsta-
wiona jako granica nieskończonego iloczynu:

"
1
Ä„
2nxPn(x)Pn-1(x)dx = . (4.1.1)
-1
2
n=1
Każdy czynnik nieskończonego iloczynu to całka z iloczynu dwóch wielomianów, któ-
rych współczynniki liczbowe są liczbami wymiernymi. Wynika to z relacji rekurencyj-
nych pomiędzy wielomianami Legendre a, skojarzonych z wartościami dwóch pierw-
szych wielomianów  P0(x) = 1 i P1(x) = 1 · x. Jeżeli masz już Czytelniku za sobÄ…
rozdział z problemami dotyczącymi funkcji gamma Eulera, to zapewne dopatrujesz
się w tym problemie nawiązania do wzoru Wallisa. Oczywiście  równanie (4.1.1) to
jest iloczyn Wallisa. Jego poszczególne czynniki są ukryte pod całkami z iloczynów
wielomianów  pozostaje tylko wykazać, że te całki reprezentują te same wartości,
które wystąpiły w problemie 1.2.
Przyglądając się całce w (4.1.1), zauważamy w funkcji podcałkowej iloczyn xPn(x),
który można wyeliminować, korzystając z relacji rekurencyjnej {4.13} z  Wybranych
rozdziałów. . . 
(n + 1)Pn+1(x) - (2n + 1)xPn(x) + nPn-1(x) = 0; n = 1, 2 . . . , (4.1.2)
z której mamy
n + 1 n
xPn(x) = Pn+1(x) + Pn-1(x). (4.1.3)
2n + 1 2n + 1
Całka w (4.1.1) przekształca się w sumę dwóch całek

1 1
n + 1 n
2n × Pn+1(x)Pn-1(x) dx + Pn-1(x)Pn-1(x) dx , (4.1.4)
2n + 1 2n + 1
-1 -1
z których pierwsza jest równa zeru (z ortogonalności) a druga  kwadratowi normy
wielomianu Pn-1(x)

1
2 2
Pn-1(x)Pn-1(x) dx = = . (4.1.5)
2(n - 1) + 1 2n - 1
-1
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 113
Każdy z czynników iloczynu (4.1.1) to
n 2 4n2
2n = ,
2n + 1 2n - 1 4n2 - 1
a jak wiemy już z problemu 1.2 iloczyn Wallisa jest równy
"

4n2 Ä„
= . (4.1.6)
4n2 - 1 2
1
BG AGH
114 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
PROBLEM 4.2
Oblicz całkę

+1
I = xmPn(x) dx, (4.2.1)
-1
korzystajÄ…c z wzoru Rodriguesa.
Wzór Rodriguesa (wzór {3.97}  Wybranych rozdziałów. . .  ) określa n-ty wielomian
Legendre a jako pochodnÄ… n-tego stopnia

1 dn
Pn(x) = (x2 - 1)n , (4.2.2)
2nn! dxn
skąd nasuwa się automatycznie pomysł całkowania przez części. Po pierwszej kwadra-
turze całka (4.2.1) przybiera postać


+1
1 dn
I = xm (x2 - 1)n dx
2nn! dxn
-1
Å„Å‚ üÅ‚


òÅ‚ +1 żł

+1
1 dn-1 dn-1
= xm (x2 - 1)n - mxm-1 (x2 - 1)n dx
ół þÅ‚
2nn! dxn-1 dxn-1
-1
-1
= . . . (4.2.3)
Procedurę będziemy kontynuować  pochodna każdego stopnia (łącznie z zerowym)
wyrażenia (x2 - 1)n znika w punktach x = ą1, a więc w procedurze całkowania będą
 liczyły się tylko kolejne całki. Wyróżnimy dwa przypadki:
1)m < n
W tej sytuacji po m-krotnym zastosowaniu procedury całkowania,


(-1)m +1 dn-m dn-m-1
I = m! (x2 - 1)n dx = C (x2 - 1)n = 0 (4.2.4)
2nn! dxn-m dxn-m-1
-1
 całka równa się zeru. Nie jest to żadnym zaskoczeniem. Jeżeli przypomnimy so-
bie metodę ortogonalizacji Schmidta (podrozdział 3.5  Wybranych rozdziałów. . .  ),
to zrozumiemy łatwo, że potęga stopnia m zmiennej x należy do podprzestrzeni
funkcyjnej, którą napina pierwsze m + 1 ortogonalnych wielomianów Legendre a:
P0(x), P1(x), . . . , Pm(x), a więc da się przedstawić w postaci liniowej kombinacji tych
m + 1 wielomianów. Każdy następny wielomian, Pn(x), n > m jest ortogonalny do
każdego z wielomianów P0(x), P1(x), . . . , Pm(x)  a więc i do ich liniowej kombinacji,
jaką jest potęga xm.
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 115
2)m > n
Procedurę całkowania przez części stosujemy n-krotnie. Prowadzi to do całki

(-1)n +1
I = (xm)(n) (x2 - 1)n dx, (4.2.5)
2nn!
-1
gdzie
dn m!
(xm)(n) = xm = xm-n.
dxn (m - n)!
Zanim przystąpimy do obliczenia całki (4.2.5), zastanówmy się nad możliwymi pa-
rzystościami występujących z niej wskaz
ników n i m. Wyrażenie (x2 - 1)n zawiera
wyłącznie potęgi parzyste zmiennej x. W takim razie całka (4.2.5) będzie różna od
zera dla parzystej różnicy m - n (całkujemy po symetrycznym przedziale [-1, +1]).
Tak więc dla parzystego n = 2k wykładnik m zmiennej x musi być również parzysty:
m = 2p, a dla nieparzystego n = 2k + 1 wykładnik m zmiennej x musi być również
nieparzysty: m = 2p + 1.
Rozpatrzmy jeden z tych przypadków, drugi  zupełnie analogiczne rachunki  pozo-
stawiamy Czytelnikowi. Rachunki sÄ… w zasadzie proste  sprowadzajÄ… siÄ™ do skorzy-
stania z wzorów definicyjnych dla funkcji beta Eulera (podrozdział 1.5  Wybranych
rozdziałów. . .  ), ale doprowadzenie wyniku do estetycznej postaci będzie wymagało
nieco zachodu. Dla n = 2k i m = 2p równanie (4.2.5) przybiera postać

+1
1 (2p)!
I = x2(p-k)(1 - x2)2k dx. (4.2.6)
22k(2k)! (2p - 2k)!
-1
Występującą w nim całkę

+1 +1
2k
I1 = x2(p-k)(1 - x2) dx = 2 x2(p-k)(1 - x2)2k dx, (4.2.7)
-1 0
(bo funkcja podcałkowa jest parzysta) skojarzymy z definicją funkcji beta Eulera.
Zgodnie z wzorem {1.150}  Wybranych rozdziałów. . .  mamy

1
x2 = t
B(r + 1, q + 1) = tr(1 - t)q dt =
2xdx = dt
0

1
r!q!
q
= 2 x2r+1(1 - x2) dx = . (4.2.8)
(r + q + 1)!
0
We wzorze (4.2.7) r = p - k - 1/2, q = 2k. Mamy więc

+1
(p - k - 1/2)!(2k)!
I1 = 2 x2(p-k-1/2)+1(1 - x2)2k dx = , (4.2.9)
(p + k + 1/2)!
0
co daje
1 (2p)! 1 (2p)! (p - k - 1/2)!
I = · I1 = . (4.2.10)
22k(2k)! (2p - 2k)! 22k (2p - 2k)! (p + k + 1/2)!
BG AGH
116 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Występujące w powyższym wyrażeniu silnie połówkowych argumentów to odpowied-
nie gammy Eulera: (n + 1/2)! = “(n + 3/2). Można pozbyć siÄ™ tych maÅ‚o przyjaznych
symboli wykorzystując wzór {1.131}:
"
{1.131} [2(p - k) - 1]! Ä„
(p - k - 1/2)! = “(p - k + 1/2) =
22p-2k-1(p - k - 1)!
(p + k + 1/2)! = “(p + k + 3/2) = (p + k + 1/2)“(p + k + 1/2)
"
{1.131} [2(p + k) - 1]! Ä„
= (p + k + 1/2) .
22p+2k-1(p + k - 1)!
Podstawiamy powyższe wyniki do (4.2.10), redukujemy potęgi dwójki, upraszczamy
"
Ä„. Daje to
(2p - 2k - 1)! 1 (p + k - 1)!
I = 22k(2p)! · · . (4.2.11)
(2p - 2k)! (p - k - 1)! (p + k + 1/2)(2p + 2k - 1)!
Mianownik pierwszego ułamka  po uproszczeniu  to 2(p - k); przemnożenie go
przez mianownik następnego ułamka daje 2(p - k)! Licznik i mianownik ostatniego
ułamka przemnażamy przez 4(p+k)  w liczniku pozostaje 4(p+k)!, a w mianowniku
dostajemy zgrabne 2(2p + 2k + 1)! Po przeprowadzeniu tych nieco żmudnych operacji
dostajemy w końcu

+1
2 · 22k(2p)!(p + k)!
I = x2pP2k(x) dx = ; p k. (4.2.12)
(2p + 2k + 1)!(p - k)!
-1
Tak jak obiecaliśmy, pozostawiamy obliczenia drugiego przypadku: m = 2p + 1 i n =
2k + 1; p k Czytelnikowi. Podajemy tylko końcowy wynik

+1
22(k+1)(2p + 1)!(p + k + 1)!
I = x2p+1P2k+1(x) dx = ; p k. (4.2.13)
(2p + 2k + 3)!(p - k)!
-1
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 117
PROBLEM 4.3
W środku sfery o promieniu R, w odległości a < R od
jej środka, umieszczono punktowy ładunek q. Znajdz
po-
tencjaÅ‚ pola V (r, ¸) wewnÄ…trz sfery, jeżeli wiadomo, że
jest ona uziemiona: V (R, ¸) = 0.
Umieszczony wewnÄ…trz sfery Å‚adunek punktowy wytwarza, poprzez indukcjÄ™, Å‚adunek
powierzchniowy. Wprowadzamy układ współrzędnych jak na rysunku 4.3.1: oś 0z
umieszczamy tak, aby znalazł się na niej, w punkcie A, punktowy ładunek q.
Rysunek 4.3.1: A
adunek punktowy q, umieszczony w odległości a od środka sfery
o promieniu R
Zapewnia to symetrię osiową problemu; potencjały punktów wewnątrz sfery będą
zależaÅ‚y tylko od odlegÅ‚oÅ›ci od poczÄ…tku ukÅ‚adu r i kÄ…ta biegunowego ¸.
Dla dowolnego punktu P(r, ¸) wewnÄ…trz sfery potencjaÅ‚ V (r, ¸) bÄ™dzie superpozycjÄ…
dwóch przyczynków:
1) potencjału od punktowego ładunku q;
2) potencjału od ładunku wyindukowanego.
OznaczajÄ…c ten ostatni potencjaÅ‚ przez v(r, ¸), mamy (por. rysunek 4.3.1)
1 q 1 q
V (r, ¸) = + v(r, ¸) = " + v(r, ¸); r R. (4.3.1)
4Ä„ 0 Á 4Ä„ 0 r2 + a2 - 2ar cos ¸
O funkcji v(r, ¸) wiemy, że speÅ‚nia równanie Laplace a, a wiÄ™c jej ogólne rozwiÄ…zanie
(przy uwzględnieniu osiowej symetrii  braku zależności od kąta azymutalnego Ć) ma
BG AGH
118 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
postać (por.  Wybrane rozdziały. . .  , podrozdział 2.2)

"

1
v(r, ¸) = Ä…lrl + ²l Pl(cos ¸), (4.3.2)
rl+1
l=0
ale ze względu na wymaganą  skończoność rozwiązania w punkcie r = 0 wszystkie
współczynniki ²l bÄ™dÄ… równe zeru. Tak wiÄ™c równanie (4.3.1) przyjmie postać
"

1 q
V (r, ¸) = " + Ä…lrl Pl(cos ¸); r R. (4.3.3)
4Ä„ 0 r2 + a2 - 2ar cos ¸
l=0
Aby wyznaczyć współczynniki ąl korzystamy z warunku zerowania się potencjału na
powierzchni sfery: V (R, ¸) = 0, który przeprowadza równanie (4.3.3) w
"

1 q
" = - Ä…lRl Pl(cos ¸). (4.3.4)
4Ä„ 0 R2 + a2 - 2aR cos ¸
l=0
Lewa strona tej równości to (por.  Wybrane rozdziały. . .  , podrozdział 4.1.1)
1 q 1 q 1

" =
2
4Ä„ 0 R2 - 2aR cos ¸ + a2 4Ä„ 0 R
a a
1 - 2 +
R R
l
"

1 q a
= Pl(cos ¸). (4.3.5)
4Ä„ 0 R R
l=0
(Stosujemy tu definicję funkcji tworzącej wielomianów Legendre a i korzystamy z fak-
tu, że a < R.) Podstawiamy z powyższego równania do (4.3.4) i porównujemy współ-
czynniki przy wielomianach Pl. Mamy
l
1 q a
= -Ä…lRl, (4.3.6)
4Ä„ 0 R R
a więc
l
1 q a
Ä…l = - ; l = 0, 1, . . . (4.3.7)
4Ä„ 0 R R2
Szukana funkcja v(r, ¸) to
l
"

1 q a
v(r, ¸) = - rl Pl(cos ¸). (4.3.8)
4Ä„ 0 R R2
l=0
W zasadzie problem został rozwiązany, ale warto otrzymanemu rozwiązaniu przyjrzeć
się bliżej. A
atwo wykażemy, że otrzymana funkcja v(r, ¸) to potencjaÅ‚ punktowego Å‚a-
dunku  obrazu ładunku q  o pewnej wielkości (znak jego jest oczywiście przeciwny
do znaku Å‚adunku q) i umieszczonego na zewnÄ…trz sfery. Symetria osiowa problemu
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 119
Rysunek 4.3.2: Obraz Å‚adunku punktowego  Å‚adunek q , umieszczony (w punkcie
A )
w odlegÅ‚oÅ›ci x od Å›rodka sfery o promieniu R; OA·OA = R2
sugeruje, że taki obraz może znajdować się tylko na prostej, łączącej środek ukła-
du współrzędnych z ładunkiem q (punktem A). Przyjmijmy, że jest to ładunek q ,
umieszczony w punkcie A (por. rysunek 4.3.2), przy czym odległość OA = x. Dla
dowolnego punktu wewnątrz sfery, wytworzony przez ten ładunek potencjał  nie
zapominajmy, że x > r  to
1 q 1 q 1 q 1

V (r, ¸) = = " = .
2
4Ä„ 0 Á 4Ä„ 0 x2 - 2xr cos ¸ + r2 4Ä„ 0 x
r r
1 - 2 +
x x
(4.3.9)
Po raz kolejny pojawia się funkcja tworząca wielomianów Legendre a, mamy
l

1 q " r

V (r, ¸) = Pl(cos ¸). (4.3.10)
4Ä„ 0 x x
l=0

ZestawiajÄ…c teraz funkcjÄ™ v(r, ¸) [wzór (4.3.8)] i funkcjÄ™ V (r, ¸) [wzór (4.3.10)] i po-
równujÄ…c współczynniki przy iloczynach rlPl(cos ¸), otrzymujemy
l
q 1 q a
= - ; l = 0, 1, . . . (4.3.11)
x xl R R2
albo  po pomnożeniu i podzieleniu prawej strony przez a/R
l+1
1 R a
q = -q ; l = 0, 1, . . . (4.3.12)
xl+1 a R2
BG AGH
120 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
A
adunek q jest więc równy -qR/a i znajduje się w punkcie A będącym obrazem
inwersyjnym punktu A względem okręgu o promieniu R: mamy x = R2/a, albo
OA · OA = R2 (punkty A i A nazywamy także punktami symetrycznymi wzglÄ™-
dem okręgu1).
Zaprezentowana powyżej analiza ilustruje przykład metody obrazów, stosowanej czę-
sto w prostych zagadnieniach elektrostatyki, kiedy oprócz ładunków pojawiają się
powierzchnie ekwipotencjalne. Potencjał w obszarach znajdujących się  po jednej
(drugiej) stronie tych powierzchni można obliczać, uzupełniając rzeczywiste ładunki
obrazami  ładunkami pozornymi, które z jednej strony zapewniają stałą wartość (w
praktyce często równą zeru) potencjału na powierzchniach, a z drugiej  uczestniczą
w kreacji potencjału w obszarze gdzie mamy tylko ładunki rzeczywiste. W przypadku
układów: sfera + ładunek punktowy możemy rozważać też na przykład sytuację, kiedy
ładunek umieszczony jest na zewnątrz sfery. Jego obraz będzie wewnątrz  oczywiście
też w punkcie symetrycznym względem okręgu. We wzorze (4.3.2) zerować będą się
wszystkie współczynniki ąl, natomiast warunek zerowego potencjału na powierzch-
ni sfery pozwoli wyznaczyć wszystkie współczynniki ²l. Jeżeli sfera znajduje siÄ™ na
stałym, różnym od zera potencjale V0, to sytuację taką uwzględnimy, umieszczając
w środku sfery ładunek Q = 4Ą 0RV0.
Ciekawym uogólnieniem przedyskutowanego problemu jest rozszerzenie go na przypa-
dek, kiedy umieszczony wewnÄ…trz sfery Å‚adunek nie jest punktowy, ale posiada pewnÄ…
rozciągłość liniową2. Sytuację ilustruje rysunek 4.3.3  na odcinku o długości d pro-
mienia sfery mamy rozciągnięty jednorodnie ładunek q; gęstość liniowa tego ładunku
 = q/d. Aby tym razem określić współczynniki ąl, analogiczne do współczynników ąl
we wzorze (4.3.1) musimy określić przyczynek do potencjału punktu P , o promieniu
wodzącym r > d, pochodzący od liniowego ładunku. Nieskończenie mały przyczynek
do potencjału, dVd, generowany przez element ładunku o długości dz to
l
"

1 dz 1 dz z
dVd = " = Pl(cos ¸). (4.3.13)
4Ä„ 0 r2 - 2zr cos ¸ + z2 4Ä„ 0 r l=0 r
Całkując powyższy wzór względem zmiennej z, od z = 0 do z = d dostajemy
l
" "
d

 Pl(cos ¸) 1 d 1 d
Vd = zl dz = . . . = Pl(cos ¸). (4.3.14)
4Ä„ 0 l=0 rl+1 0 4Ä„ 0 r l + 1 r
l=0
Podkreślmy raz jeszcze  wzór (4.3.14) odpowiada sytuacji, kiedy odległość punktu
P od środka sfery jest większa od rozmiaru liniowego ładunku, r > d.
Pozostaje skorzystanie z warunku zerowania się całkowitego potencjału  sumy poten-
cjału Vd liniowego ładunku i potencjału v, generowanego przez ładunek wyindukowany
Å»
na powierzchni kuli
"

Vd(R, ¸) + v(R, ¸) = Vd(R, ¸) + Ä…lRl Pl(cos ¸) = 0 (4.3.15)
Å» Å»
l=0
1
Okrąg ten jest śladem przecięcia naszej sfery płaszczyzną, którą wyznaczają punkty O, A i A .
2
Pomysłodawcą i współautorem tego rozszerzenia jest dr Wilhelm Czapliński, WFiIS AGH.
BG
GH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 121
Rysunek 4.3.3: Liniowy ładunek q, umieszczony pomiędzy z = 0 a z = d
 do wzoru (4.3.13)
i wyznaczenie z niego współczynników ąl. Po prostych rachunkach
q 1 dl
Ä…l = - . (4.3.16)
4Ä„ 0 l + 1 R2l+1
Współczynniki ąl pozwalają wyznaczyć potencjał ładunku wyindukowanego na po-
Å»
wierzchni sfery dla dowolnego punktu jej wnętrza, oczywiście z wyjątkiem punktów
o współrzÄ™dnych (¸ = 0, 0 z d). PowiedzieliÅ›my, że wzór (4.3.14), podajÄ…cy
potencjał ładunku liniowego, jest poprawny jedynie dla r > d. Czy tylko? Dla r = d
ten wzór przybiera prostą postać
"

1 1
Vd =  Pl(cos ¸). (4.3.17)
4Ä„ 0 l=0 l + 1
Można wykazać, że dla ¸ = 0 ten szereg jest zbieżny3. Ale jak mamy w takim razie

postępować, gdybyśmy chcieli obliczyć potencjał dla punktu, którego promień wodzą-
cy jest mniejszy od rozmiaru liniowego ładunku, r < d? Aby obliczyć przyczynek do
tego potencjału, pochodzący od liniowego ładunku, procedurę całkowania względem
z  por. wzór (4.3.14)  musimy rozbić na dwa etapy:
(1) dla z zmieniajÄ…cego siÄ™ od zera do r,
(2) dla z zmieniajÄ…cego siÄ™ od r do d.
3
Dociekliwy Czytelnik znajdzie bez trudu sumÄ™ szeregu dla ¸ = Ä„ (ln 2) oraz sprawdzi bez wiÄ™ksze-
go trudu zbieżność szeregu dla ¸ = Ä„/2. Dla dowolnej, ale różnej od zera, wartoÅ›ci kÄ…ta biegunowego
wykazanie zbieżności już nie jest takie całkiem proste.
B 
GH
122 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Pierwszy etap dostarczy oczywiście wyniku identycznego z (4.3.17)
"

1 1
Vd(1) =  Pl(cos ¸). (4.3.17)
4Ä„ 0 l=0 l + 1
W drugim etapie, ze względu na relację z > r odpowiednikiem (4.3.13) będzie
l
"

1 dz r
dVd(2) = Pl(cos ¸), (4.3.18)
4Ä„ 0 z z
l=0
a więc


" "
d

 dz  d 1 1 1
Vd(2) = rlPl(cos ¸) = ln + rlPl(cos ¸) -
4Ä„ 0 l=0 zl+1 4Ä„ 0 r l rl dl
r
l=1

l
"

 d Pl(cos ¸) r
= ln + 1 - ,
4Ä„ 0 r l d
l=1
(4.3.19)
przy czym musi zachodzić ¸ = 0. PotencjaÅ‚ punktu wewnÄ…trz sfery, dla r < d oraz

¸ = 0 okreÅ›la suma trzech przyczynków  por. wzór (4.3.16) 

l
"

q q 1 d
V (r, ¸) = Vd(1) + Vd(2) - rlPl(cos ¸). (4.3.20)
4Ä„ 0 R l + 1 R2
l=0
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 123
PROBLEM 4.4
Metalowy krążek o promieniu a został naładowany ła-
dunkiem Q. Gęstość powierzchniowa ładunku wynosi
Q 1
"
Ã(Á) = ,
4Ä„ a a2 - Á2
gdzie Á jest odlegÅ‚oÅ›ciÄ… od Å›rodka krążka. Znajdz
poten-
cjaÅ‚ punktów P(r, ¸), dla r > a.
Problem rozpatrujemy w układzie współrzędnych sferycznych, oś 0z jest prostopadła
do płaszczyzny krążka i przechodzi przez jego środek. Zadanie znowu sprowadza się
do określenia nieznanych stałych w ogólnym  ale uwzględniającym osiową symetrię!
 rozwiązaniu równania Laplace a

"

1
V (r, ¸) = Ä…lrl + ²l Pl(cos ¸). (4.4.1)
rl+1
l=0
W nieskończoności potencjał krążka musi przypominać potencjał punktowego ładun-
ku, a więc wszystkie współczynniki ąl będą równe zero. Przepiszmy wzór (4.4.1),
wprowadzając nowe współczynniki bl, dzięki którym czytelniejszy staje się wymiar
potencjału (stosunki a/r są pozbawione wymiaru), a także jego asymptotyczna for-
ma dla r ".
l
" "

1 Q a
V (r, ¸) = ²l Pl(cos ¸) a" bl Pl(cos ¸). (4.4.2)
rl+1 r r
l=0 l=0
Współczynniki bl wyznaczymy, porównując ogólną postać rozwiązania z rozwiąza-
niem, które skonstruujemy w elementarny sposób dla punktów leżących na osi 0z,
dla z większego od promienia krążka. Dla takich punktów r = z a" h, przy czym
h > a; ¸ = 0, a wiÄ™c cos ¸ = 1. Równanie (4.4.2) redukuje siÄ™ do postaci (pamiÄ™taj-
my, żePl(1) a" 1)
l
"

Q a
V (h, 0) = bl . (4.4.3)
h h
l=0
Ten sam potencjał będzie równy sumie (całce) przyczynków od nieskończenie ma-
Å‚ych porcji Å‚adunku dq, zawartych w pierÅ›cieniach o promieniach: wewnÄ™trznym Á
i zewnÄ™trznym Á + dÁ
Q 1

dq = Ã(Á) · 2Ä„ÁdÁ = · 2Ä„ÁdÁ.
4Ä„ - Á2
a a2
BG AGH
124 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Rysunek 4.4.1: NaÅ‚adowany krążek o promieniu a i element Å‚adunku dq = à · 2Ä„ÁdÁ

OdlegÅ‚ość każdego punktu takiego pierÅ›cienia od punktu P(h, 0) to h2 + Á2
(por. rysunek 4.4.1). Mamy więc

a
1 2Ä„Q 1 Á dÁ
V (h, 0) = . (4.4.4)
4Ä„ 0 4Ä„a
0 h2 + Á2 a2 - Á2
Proste podstawienie

a2 - Á2 = u Á = 0 u = a,
ÁdÁ
-
= du Á = a u = 0,
a2 - Á2
a także Á2 = a2 - u2, a wiÄ™c h2 + Á2 = h2 + a2 - u2, przeksztaÅ‚ca (4.4.4) do caÅ‚ki
a

a

Q 1 du Q 1 u

V (h, 0) = " = arcsin " . (4.4.5)
4Ä„ 0 2a
0 h2 + a2 - u2 4Ä„ 0 2a h2 + a2 0
Podstawiamy, dzielimy licznik i mianownik ułamka przez h. Mamy
a
Q 1 Q 1 a
h

V (h, 0) = arcsin = arctg . (4.4.6)
2
4Ä„ 0 2a 4Ä„ 0 2a h
a
1 +
h
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 125
Ostatnie przejście łatwiej zrozumieć, jeżeli spojrzymy na rysunek 4.4.2. Uzyskane
rozwiÄ…zanie jest niewÄ…tpliwie bardzo estetyczne  ale nam potrzebne jest rozwiÄ…zanie
w postaci nieskończonego szeregu i funkcję arctg x (x < 1) musimy rozwinąć w szereg.
Oczywiście,  rozłożyć w szereg kojarzy się automatycznie z szeregiem Taylora.
x
Rysunek 4.4.2: Do wzoru (4.4.6): tg Ä… = x, sin Ä… = "
1 + x2
Ale warto uświadomić sobie, że  tradycyjna metoda konstrukcji takiego szeregu (ob-
liczanie kolejnych pochodnych) nie zawsze jest metodÄ… najprostszÄ…. FunkcjÄ™ arctg x
można przedstawić w postaci całki

x
1
arctg x = dt, (4.4.7)
1 + t2
0
gdzie funkcja podcałkowa to nic innego jak suma prostego szeregu geometrycznego
"

1 1
= = 1 + (-t2)l = 1 - t2 + t4 - t6 + . . . ; 0 t x < 1,
1 + t2 1 - (-t2)
l=1
(4.4.8)
który możemy scałkować wyraz po wyrazie4. I tak, dla x < 1 otrzymujemy
"

x3 x5 x7 x2l+1
arctg x = x - + - - . . . = (-1)l .
3 5 7 2l + 1
l=0
Podstawiamy do (4.4.6) i porównujemy współczynniki przy potęgach (a/h)l z odpo-
wiednimi współczynnikami w równaniu (4.4.3). Mamy więc
2l
" "

Q 1 (a/h)2l+1 Q 1 1 a
V (h, 0) = (-1)l = (-1)l (4.4.9)
4Ä„ 0 2a 2l + 1 8Ä„ 0 h 2l + 1 h
0 0
i w takim razie
1 1
bl a" b2l = (-1)l . (4.4.10)
8Ä„ 0 2l + 1
4
W przypadku szeregów potęgowych, jednostajnie zbieżnych, operacje całkowania i różniczkowania
są w pełni  legalne  nie zmieniają one bowiem kryteriów zbieżności, takich jak np. prosty test
d Alemberta. Przecież operacja całkowania szeregu potęgowego, a więc dzielenie wyższej (o jedność)
potęgi zmiennej x (x < 1!) przez powiększone o 1 wykładniki potęgowe może tylko działać na korzyść
zbieżności uzyskanego szeregu.
BG AGH
126 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Nieparzyste współczynniki są wszystkie równe zeru  to zresztą wynikało z parzystości
funkcji gęstości powierzchniowej ładunku. Wzór ogólny  równanie (4.4.2)  będzie
miał postać
2l
"

Q 1 a
V (r, ¸) = (-1)l P2l(cos ¸). (4.4.11)
8Ä„ 0r 2l + 1 r
l=0
Czy możemy coś powiedzieć o potencjale samego krążka? Wzór (4.4.11) jest w zasadzie
poprawny dla r > a, ale można spróbować poÅ‚ożyć w nim r = a i ¸ = Ä„/2. PotencjaÅ‚
byłby wówczas określony wzorem5

" "

Q 1 Q 1 (2l - 1)!!
V (r, ¸) = 2 · (-1)l P2l(0) = 1 + .
8Ä„ 0a 2l + 1 4Ä„ 0a 2l + 1 (2l)!!
l=0 l=1
(4.4.12)
Powstaje jednak pytanie; czy szereg występujący w (4.4.12) jest zbieżny. Okazuje się
że tak, a jego suma równa jest arcsin 1 = Ą/2.
Sprawdzenie tego nie jest trudne  znowu musimy rozwinąć funkcję, tym razem
arcsin x, w szereg i położyć x = 1. Ponownie korzystamy z techniki, jaką posłużyli-
śmy się w przypadku  rozwijania arkusa tangensa. Wzorem analogicznym do (4.4.7)
będzie

x
1
arcsin x = " dt, (4.4.13)
0 1 - t2
"
gdzie występująca w funkcji podcałkowej odwrotność pierwiastka 1 - t2 jest spe-
cjalnym przypadkiem funkcji tworzącej wielomianów Legendre a
"

1
" = P2l(0)t2l. (4.4.14)
1 - t2
l=0
Wartości parzystych wielomianów Legendre a w zerze, P2l(0), określone są wzorem
{4.25}  Wybranych rozdziałów. . .  6. Mamy więc rozwinięcie w postaci szeregu, który
możemy scałkować wyraz po wyrazie. W  Wybranych rozdziałach. . .  wzór {4.25}
był przedstawiany jako konsekwencja wzoru Taylora (MacLaurina), ale znowu warto
pokazać, że . . . nie jest to ani jedyna, ani najbardziej komfortowa droga. Każdy z nas
dobrze pamięta wzór Newtona na n-tą potęgę dwumianu

n

n
(a + b)n = akbn-k, (4.4.15)
k
k=0
5
O wartościach wielomianów Legendre a dla takich argumentów jak 1 lub 0 można przeczytać
w  Wybranych rozdziaÅ‚ach. . .  ; przypomnijmy: (2l Ä… 1)!! a" 1 · 3 · . . . · (2l Ä… 1)  iloczyn kolejnych
liczb nieparzystych; (2l)!! a" 2 · 4 · . . . · (2l)  iloczyn kolejnych liczb parzystych (= 2l l!); czynnik 2 
bo uwzględniamy przyczynki z obu powierzchni krążka!
6
Wzór ten obowiązuje dla l 1 (a nie dla l = 0, 1, . . ., jak napisane jest w  Wybranych rozdzia-
Å‚ach. . .  ); P0(0) = 1.
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 127
ale może nie każdy zdaje sobie sprawę z faktu, że wzór ten znakomicie  pracuje dla
wykładników potęgowych, które ani nie są całkowite, ani dodatnie7. I tak, nie ma
żadnych przeszkód, aby zapisać

"
-1/2
1
-1/2
" = 1 - t2 = 1 + (-t2)k, (4.4.16)
k
1 - t2
k=1
chociaż z postaci rozwijanego w szereg  dwumianu wynika, że rozwinięcie będzie
uwarunkowane relacją t2 < 1. Jedyna  dość zasadnicza  różnica pomiędzy wzora-
mi (4.4.15) i (4.4.16) sprowadza się do tego, że pierwszy z nich jest sumą skończoną
(wielomianem stopnia n), drugi  sumą nieskończoną. Oczywiście, w symbolu New-
tona silnie z połówkowych liczb (-1/2) i (-1/2 - k) można zastąpić odpowiednimi
funkcjami gamma Eulera, ale nie jest to konieczne. Stosując jawną postać symbolu
Newtona, przekształcamy wzór (4.4.16) do postaci
-1/2
(-1/2)! (-1/2)!
1 - t2 = 1 + (-t2)1 + (-t2)2 + . . . ,
1!(-1/2 - 1)! 2!(-1/2 - 2)!
a pamiętając o fundamentalnej własności silni (gammy Eulera)
m! = m(m - 1)!,
gdzie m nie musi być liczbą całkowitą  na przykład:
(-1/2)! = (-1/2)(-1/2 - 1)! = (-1/2)(-1/2 - 1)(-1/2 - 2)!,
dostajemy
-1/2
(-1/2) (-1/2)(-3/2)
1 - t2 = 1 + (-t2)1 + (-t2)2 + . . . (4.4.17)
1! 2!
lub ogólnie
"

1 (2n - 1)!!
" = 1 + t2n. (4.4.18)
2nn!
1 - t2
n=1
Całkując powyższy szereg, wyraz po wyrazie, w granicach t = 0 i t = x oraz kładąc
n = l, otrzymujemy nieskończoną sumę, która pojawia się we wzorze (4.4.12).
7
Wspaniale o tym opowiadają Donald Knuth (ojciec TEX-a) i jego współpracownicy w  Matema-
tyce konkretnej , PWN, 1996.
BG AGH
128 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Jeżeli ktoś wolałby8 sprawdzić tylko zbieżność szeregu występującego w (4.4.12), to
można obliczyć stosunek dwóch kolejnych wyrazów szeregu:
al 1 (2l - 1)!! 2(l + 1) + 1 [2(l + 1)]!!
= ·
al + 1 2l + 1 (2l)!! 1 [2(l + 1) - 1]!!
2l + 3 (2l + 2)!! (2l - 1)!! 2l + 3 2l + 2
= · · = ·
2l + 1 (2l)!! (2l + 1)!! 2l + 1 2l + 1
4l2 + 10l + 6 l2 + 2, 5l + 1, 5
= = .
4l2 + 4l + 1 l2 + l + 0, 25
Jak widać, granica stosunku al/al+1 przy l " jest równa jedności i prosty test
d Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu; można posłużyć się testem Gaussa
(por. dyskusje równania Legendre a w  Wybranych rozdziałach. . .  ). Stosunek dwóch
kolejnych wyrazów szeregu można wyrazić w postaci
al l2 + 2, 5l + 1, 5 1 1
= = 1 + 1, 5 - 0, 25 + . . .
al + 1 l2 + l + 0, 25 l l2
Najważniejszy jest współczynnik przy potędze 1/l  fakt, że jest on większy od jedno-
ści, gwarantuje zbieżność szeregu. Niemniej wykazanie, że wartość szeregu jest równa
Ą/2, wymaga rozwinięcia funkcji arcsin x w szereg Taylora.
Mamy więc
Q Ä„ Q
V (krążka) = = . (4.4.19)
4Ä„ 0a 2 8 0a
Możemy jeszcze obliczyć pojemność krążka
Q
C = = 8 0a (4.4.20)
V
 jest ona zaskakująco duża, bo wynosi prawie 2/3 pojemności sfery o takim samym
promieniu (a więc o dwukrotnie większej powierzchni)  Csf = 4Ą 0a.
8
Wolałby  a może poczuwałby się do obowiązku? Kładąc w (4.4.11) r = a, korzystamy z re-
prezentacji funkcji tworzącej wielomianów Legendre a w postaci szeregu dla t = 1, podczas gdy ta
reprezentacja obowiązuje w zasadzie dla |t| < 1. Okazuje się, że wzór określający funkcję tworzącą
wielomianów Legendre a jest słuszny także dla t = 1, jeśli tylko x < 1 (u nas  w tym konkretnym
przypadku  x = cos Ä„/2 = 0).
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 129
PROBLEM 4.5
Rozważamy ustalony rozkład temperatury w półkuli
o promieniu R. Górna powierzchnia półkuli jest utrzy-
mywana w temperaturze 350 K, natomiast podstawa
półkuli (okrąg o promieniu R)  w temperaturze 200 K.
Znajdz
temperatury T (r, ¸) punktów wewnÄ…trz półkuli,
to znaczy dla 0 r < R, 0 ¸ < Ä„/2.
Temperatura T spełnia równanie
"T (r, ¸)
"T (r, ¸) = º , (4.5.1)
"t
które dla stanu ustalonego redukuje siÄ™ do równania Laplace a "T (r, ¸) = 0. RozwiÄ…-
zaniem tego ostatniego jest funkcja [por. dyskusję w problemie 4.3, wzór (4.3.3)]
"

T (r, ¸) = Ä…lrl Pl(cos ¸); 0 r R, 0 ¸ Ä„/2 (4.5.2)
l=0
z warunkami
T (R, ¸) = 350 K; 0 ¸ < Ä„/2, (4.5.3)
T (r, Ä„/2) = 200 K; 0 r R. (4.5.4)
Zadanie rozwiążemy, opierając się na rozwiązaniu problemu dwóch półkul, znajdują-
cych się na równych co do wielkości i przeciwnych co do znaku potencjałach ąV0 (pod-
rozdział 4.1.3  Wybranych rozdziałów. . .  ). Zastanówmy się przede wszystkim, jak
wyglądałoby rozwiązanie problemu dla układu dwóch półkul, z których powierzchnia
górnej utrzymywana jest w temperaturze T1, a dolnej  w T2. Dla punktów znajdu-
jÄ…cych siÄ™ na równiku sfery (¸ = Ä„/2) możemy przyjąć, że temperatura jest Å›redniÄ…
z dwóch obszarów bezpośrednio sąsiadujących z równikiem  Tr = (T1 + T2)/2. Za-
raz zobaczymy, że takie intuicyjne9 założenie znajdzie potwierdzenie w stosowanym
formalizmie.
Aby nasz problem upodobnić maksymalnie do problemu z podrozdziału 4.1.3  Wy-
branych rozdziałów. . .  dokonamy prostej transformacji temperatury:
T1 + T2 T1 - T2
T1 = + a" Tr + T , (4.5.5)
0
2 2
T1 + T2 T1 - T2
T2 = - a" Tr - T (4.5.6)
0
2 2
9
Nasza intuicja ma zdrowe podstawy fizyczne. Stan ustalony odpowiada  zamarciu procesów
transportu ciepła. A to nastąpi wtedy, kiedy przyczynki  wynikające z różnicy temperatur  nad i
 pod równikiem  będą identyczne co do wartości bezwzględnej, ale przeciwnego znaku.
BG AGH
130 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
i będziemy rozważać układ dwóch półkul, w którym powierzchnia górnej półkuli
utrzymywana jest w temperaturze +T , a dolnej w -T . Temperatura T punktów
0 0
wewnątrz kuli będzie równa T = Tr + T . Ta ostatnia  temperatura T  spełnia, tak
jak temperatura T , równanie Laplace a, z warunkami T (r = R) = ąT . Korzystając
0
z wzoru {4.49}  Wybranych rozdziałów. . .  , możemy więc napisać
2k+1
"

4k + 3 r
T (r, ¸) = T P2k(0) P2k+1(cos ¸),
0
2k + 2 R
k=0
a podstawiajÄ…c jawnÄ… postać P2k(0) [wzór {4.25}], mamy dla r R, 0 ¸ Ä„
2k+1
"

(4k + 3)(2k - 1)!! r
T (r, ¸) = T (-1)k P2k+1(cos ¸). (4.5.7)
0
2k+1(k + 1)! R
k=0
Zwróćmy teraz uwagę na fakt, że szereg (4.5.7) zawiera tylko wielomiany Legendre a
o nieparzystych wskaz
nikach, a więc wielomiany, w których występują tylko nieparzy-
ste potÄ™gi zmiennej kosinusa ¸. Dla punktów, dla których wartość zmiennej kÄ…towej
jest równa ¸ = Ä„/2, kosinus ¸ jest równy zeru, a wiÄ™c i wartoÅ›ci wszystkich wie-
lomianów o nieparzystym wskaz
niku są w tych punktach równe zeru. Tak więc dla
wszystkich punktów podstawy górnej półkuli, bez względu na wartość r, temperatura
T jest równa zeru! Jest to logiczne  warunki brzegowe (powierzchnia dwóch półkul)
są par excellence nieparzyste, problem jest osiowo symetryczny  a więc ta  pery-
feryjna nieparzystość przenosi się do wnętrza kuli. Możemy sobie wyobrazić naszą
sferę, jako składającą się z cienkich, kolistych warstw, równoległych do powierzchni
równika. Dla każdej takiej warstwy temperatura zależy tylko od odległości od osi ku-
li, a para warstw symetrycznych względem płaszczyzny równika będzie miała  dla
punktów w tej samej odległości od osi kuli  temperatury różniące się tylko znakiem.
Dla granicznej płaszczyzny równika taka zwierciadlana symetria musi spowodować
zerową wartość temperatury (cały czas mówimy o temperaturze T !) dla wszystkich
punktów tej płaszczyzny.
Wracając do wyjściowego problemu, w którym T1 = 350 K, a T2 = 200 K  otrzy-
mujemy temperaturÄ™ wszystkich punktów półkuli  a wiÄ™c dla r R, ¸ " [0, Ä„/2] 
określoną wzorem
T1 + T2
T (r, ¸) = Tr + T (r, ¸) = + T (r, ¸) (4.5.8)
2
2k+1
"

(4k + 3)(2k - 1)!! r
= 275 K + 75 K (-1)k P2k+1(cos ¸).
2k+1(k + 1)! R
k=0
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 131
PROBLEM 4.6
FalÄ™ pÅ‚askÄ… È = eikz = eik rcos ¸ rozłóż w szereg
wielomianów Legendre a i funkcji sferycznych Bessela

"

Ä„
È = È(r, ¸) = (2l + 1)il Jl+1/2Pl(cos ¸). (4.6.1)
2kr
l=0
Już sama postać rozwinięcia uzmysławia nam, że rozpatrujemy problem w układzie
współrzÄ™dnych sferycznych. Fala pÅ‚aska, exp(ikz) = exp(ik rcos ¸) to część  prze-
strzenna równania fali, do której redukuje się rozwiązanie ogólne równania falowego,
po odrzuceniu harmonicznego czynnika czasowego exp(Ä…iÉt). Ta część przestrzenna
spełnia równanie Helmholtza10,
"È(r, ¸, Ć) + k2È(r, ¸, Ć) = 0, (4.6.2)
którego rozwiązanie, właśnie w układzie współrzędnych sferycznych, znalez
liśmy jako
(por. wzór {4.183}  Wybranych rozdziałów. . .  )
" l

È(r, ¸, Ć) = Rl(r)Ylm(¸, Ć)
l=0 m=0
" l

= [Aljl(kr) + Blyl(kr)]Ylm(¸, Ć). (4.6.3)
l=0 m=0
Występujące w nim jl(kr) i yl(kr) to sferyczne funkcje Bessela (por. wzory {4.177}
i {4.178}):

Ä„
jl(x) = Jl+1/2(x), (4.6.4)
2x

Ä„
yl(x) = Yl+1/2(x), (4.6.5)
2x
przy czym ze względu na osobliwość funkcji yl(kr) w zerze nie będzie ona przydatna
w ogólnej postaci rozwiązania (4.6.3). W postaci tej możemy również pominąć sumę
względem wskaz
nika m, gdyż nasza fala nie zależy od kąta azymutalnego Ć, co spro-
wadza siÄ™ do zastÄ…pienia funkcji Ylm(¸, Ć) wielomianami Legendre a. Tak wiÄ™c, fala
płaska z pewnością może być zapisana jako

" "

Ä„
È(r, ¸) = Aljl(kr)Pl(cos ¸) = Al Jl+1/2(kr)Pl(cos ¸). (4.6.6)
2kr
l=0 l=0
10
Por. np. podrozdział 4.2.2  Wybranych rozdziałów. . . 
BG AGH
132 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Jedyny problem to wyznaczenie współczynników Al. Nie ma przeszkód, aby zasto-
sować standardową procedurę, opartą na ortogonalności wielomianów Legendre a.
Oznaczmy cos ¸ a" x i Pl(cos ¸) = Pl(x); pomnóżmy obie strony (4.6.6) przez Pm(x)
i scałkujmy względem x od -1 do +1. Otrzymamy


"
+1 +1

Ä„
È(r, x)Pm(x) dx = Al Jl+1/2(kr) Pl(x)Pm(x) dx
2kr
-1 -1
l=0

Ä„ 2
= Am Jm+1/2(kr) . (4.6.7)
2kr 2m + 1
Występująca po lewej stronie całka  funkcja podcałkowa to iloczyn funkcji wykład-
niczej i wielomianu zmiennej x  na pewno nie jest zbyt trudna do obliczenia, ale
uzyskanie wyniku w postaci uogólnionej może być dość żmudne. Spróbujmy użyć
pewnego fortelu i policzmy całkę, zakładając, że mamy do czynienia z dużymi war-
tościami argumentu funkcji Bessela, kr ". Całkujemy oczywiście przez części

+1 +1 +1
d 1
È(r, x)Pm(x) dx = eikr xPm(x) dx = eikr x Pm(x) dx
dx ikr
-1 -1 -1
+1
(4.6.8)

eikr x +1 eikr x dPm(x)
= Pm(x) - dx = . . .


ikr ikr dx
-1
-1
Ponieważ każdy kolejny krok całkowania przez części będzie wprowadzał kolejny czyn-
nik ikr do mianownika, zachowujemy tylko pierwszy wyraz. Pamiętając, że Pm(1) = 1
m
oraz Pm(-1) = (-1)m, a także (-1)m = eiĄ , mamy


+1
1
È(r, x)Pm(x) dx " eikr - (-1)me-ikr
ikr
-1

1
= eikr - eimĄe-ikr
ikr

mĄ mĄ
2 2
ei(kr- ) - e-i(kr- )
2 imĄ
2
= e
kr 2i

2 mĄ
= im sin kr - . (4.6.9)
kr 2
Uzyskany wynik to postać asymptotyczna dla kr ". Możemy teraz równolegle
posłużyć się wzorem {4.87}, określającym zachowanie się funkcji Bessela pierwszego
rodzaju dla dużych wartości argumentu
1/2
2 nĄ Ą
Jn(x) H" cos x - - , (4.6.10)
x"
Ä„x 2 4
który pozwala nam zapisać występującą po prawej stronie (4.6.6) funkcję Jm+1/2(kr)
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 133
jako


2 m + 1/2 Ą 2 mĄ Ą
Jm+1/2(kr) = cos kr - Ä„ - = cos kr - -
Ä„kr 2 4 Ä„kr 2 2


2 mĄ
= sin kr - . (4.6.11)
Ä„kr 2
Pozostaje już tylko podstawienie do lewej i prawej strony równania (4.6.6) ze wzoru
(4.6.9) (lewa) i (4.6.11) (prawa). Mamy stÄ…d



2 mĄ Ą 2 mĄ 2
im sin kr - = Am sin kr - , (4.6.12)
kr 2 2kr Ä„kr 2 2m + 1
co pozwala określić współczynniki Am
Am = (2m + 1)im (4.6.13)
i kończy uzasadnienie wzoru (4.6.1).
BG AGH
134 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
PROBLEM 4.7
Rozpatrz rozpraszanie strumienia cząstek na bardzo cięż-
kim jądrze o promieniu R. Zakładamy:
(1) Cząstki nie oddziałują z jądrem, ale też nie mogą do
niego wnikać
Å„Å‚
òÅ‚
", dla r < R,
V (r) = (4.7.1)
ół
0 dla r > R.
Na powierzchni jÄ…dra funkcja falowa czÄ…stki znika,
tzn.
È(r = R, ¸) = 0. (4.7.2)
(2) Dla r " funkcja falowa rozproszonej czÄ…stki jest
superpozycją padającej fali płaskiej eikz oraz sferycz-
nej fali rozproszonej Ès(r, ¸); ta ostatnia to
eikr
r"
Ès(r, ¸) - f(¸) . (4.7.3)
--
r
Czynnik f(¸) to tzw. amplituda rozpraszania, zwiÄ…za-
na z przekrojem czynnym dla rozpraszania Ãs

Ãs = |f(¸)|2 sin ¸ d&!, (4.7.4)
4Ä„
gdzie d&! = sin ¸ d¸dĆ (caÅ‚kujemy po peÅ‚nym kÄ…cie
bryłowym).
(3) Długość fali cząstek jest znacznie większa od promie-
nia jÄ…dra:  R.
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 135
Stacjonarne równanie Schrödingera dla rozpraszanej czÄ…stki ma postać11
2
- È(r, ¸) = EÈ(r, ¸), (4.7.5)
2m
z warunkiem (4.7.2). Podobnie jak w problemie 4.6 mamy więc do czynienia z rów-
naniem Helmholtza (por. np. podrozdział 4.2.2  Wybranych rozdziałów. . .  ):
2mE
"È(r, ¸) + k2È(r, ¸) = 0; k2 a" , (4.7.6)
2
którego rozwiązanie w układzie współrzędnych sferycznych wyraża się wzorem {4.183}:
" l

È(r, ¸, Ć) = Rl(r)Ylm(¸, Ć)
l=0 m=0
" l

= [Aljl(kr) + Blyl(kr)]Ylm(¸, Ć). (4.7.7)
l=0 m=0
Umieszczając oś 0z w kierunku padającej fali płaskiej, uniezależniamy się od kąta Ć
i rozwiązanie (4.7.7) możemy zapisać w postaci
"

È(r, ¸) = Zl+1/2(kr)Pl(cos ¸), (4.7.8)
l=0
gdzie przez Zl+1/2(kr) oznaczyliśmy taką kombinację rozwiązań równania Bessela
(funkcji Bessela o wskaz
niku połówkowym), która należycie oddaje charakter szuka-
nego rozwiązania (patrz niżej).
Samo rozwiÄ…zanie, czyli funkcjÄ™ falowÄ… rozproszonej czÄ…stki, È(r, ¸) przedstawimy 
zgodnie z postulatem (2) w postaci sumy dwóch przyczynków
È(r, ¸) a" Èp(r, ¸) + Ès(r, ¸), (4.7.9)
gdzie Èp(r, ¸) to padajÄ…ca fala pÅ‚aska, a Ès(r, ¸) to rozproszona fala o symetrii sfe-
rycznej. Falę płaską potrafimy (por. problem 4.6) przedstawić w postaci

"

Ä„
Èp = Èp(r, ¸) = (2l + 1)il Jl+1/2(kr)Pl(cos ¸). (4.7.10)
2kr
l=0
Z kolei dla fali rozproszonej w rozwinięciu (4.7.8) kładziemy
(1)
Zl+1/2(kr) a" Hl+1/2(kr) a" Jl+1/2(kr) + i Yl+1/2(kr), (4.7.11)
11
Występująca w nim wielkość m to masa zredukowana układu cząstka-jądro. Ponieważ zakłada-
liśmy, że mamy do czynienia z bardzo ciężkim jądrem, m jest praktycznie masą rozpraszanej cząstki.
BG AGH
136 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
(1)
z uwagi na asymptotykę funkcji Hankela Hl+1/2(kr) dla dużych wartości argumentu.
Mamy bowiem (por. wzór {4.96})
1/2
2 ½Ä„ Ä„
(1)
H½ (x) H" exp +i x - - ,
x"
Ä„x 2 4
1
albo  dla ½ = l + 
2


2 (l + 1/2)Ä„ Ä„ 2 1
Hl+1/2(kr) " exp +i kr - - = eikr, (4.7.12)
Ä„kr 2 4 Ä„kr il+1
a więc nasza fala rozproszona,

Ä„ 1
Ès(r, ¸) <" Hl+1/2(kr) <" eikr,
2kr kr
jest rzeczywiście falą sferyczną. Tak więc funkcję falową (4.7.9) zapiszemy jako sumę

" "

Ä„ Ä„
È(r, ¸) = (2l + 1)il Jl+1/2(kr)Pl(cos ¸) + Ä…l Hl+1/2(kr)Pl(cos ¸),
2kr 2kr
l=0 l=0
(4.7.13)
gdzie współczynniki ąl są jeszcze nieokreślone. Wyznaczymy je z warunku (4.7.2) 
È(R, ¸) = 0, co daje
(2l + 1)ilJl+1/2(kR) + Ä…lHl+1/2(kR) = 0, (4.7.14)
dla każdego l. Mamy więc
(2l + 1)ilJl+1/2(kR)
Ä…l = (4.7.15)
Hl+1/2(kR).
Powyższy wzór można przedstawić w znacznie  zgrabniejszej postaci, jeżeli skorzy-
stamy z warunku (4.7.5):  R. Mamy bowiem  = 2Ą/k i warunek (4.7.5) jest rów-
noznaczny relacji kR 1. Dlatego też, występujące w liczniku i mianowniku ułamka
w równaniu (4.7.15) funkcje Jl+1/2(kR) i Hl+1/2(kR) możemy przybliżyć pierwszymi
wyrazami reprezentujących je szeregów (nb.  asymptotyka w okolicy zera funkcji
Hankela to asymptotyka funkcji Bessela drugiego rodzaju; udział funkcji Jl+11/2 w li-
niowej kombinacji (4.7.8) jest zaniedbywalny). Mamy bowiem (por. wzory {4.75}
 Wybranych rozdziałów. . .  )  dla kR 1 

1
l+ 2
kR 1 2 2l l!
Jl+1/2(kR) H" = (kR)l+1/2, (4.7.16)
2 “(l + 3/2) Ä„ (2l + 1)!
1
-(l+ 2 )
kR 1
Hl+1/2(kR) H" iYl+1/2(kR) H" i
2 “(-l + 1/2)

2 (2l)!
= -i (kR)-(l+1/2), (4.7.17)
Ä„ 2ll!
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 137
gdzie przy przekształcaniu funkcji gamma argumentu połówkowego korzystamy ze wzo-
rów podrozdziału 1.5.1  Wybranych rozdziałów. . .  . Podstawiając oba powyższe wy-
niki do (4.7.15) otrzymujemy
22l(l!)2
Ä…l = -il+1 (kR)2l+1. (4.7.18)
[(2l)!]2
Funkcja falowa fali rozproszonej została w pełni określona.
Jeżeli chodzi o przekrój czynny, to  jak widać z wzoru (4.7.18)  dla kR 1
rola wszystkich wyrazów z l 1 jest do pominięcia w porównaniu z przyczynkiem,
pochodzÄ…cym od l = 0. Mamy

Ä„ Ä„
Ès(r, ¸) H" Ä…0 H1/2(kr)P0(cos ¸) = -i(kR) H1/2(kr). (4.7.19)
2kr 2kr
Korzystając z asymptotyki (4.7.12) dla dużych odległości od jądra (a właściwie dla
dużych wartości kr), otrzymujemy
eikr
Ès(r, ¸)kr" H" -R . (4.7.20)
r
Jak widać, rozproszona fala jest nie tylko fala kulistą, ale w dodatku rozpraszanie jest
w peÅ‚ni izotropowe; czynnik f(¸) (amplituda rozpraszania) jest staÅ‚y i wynosi -R.
Jego kwadrat, wycałkowany po pełnym kącie bryłowym to  wzór (4.7.4)  przekrój
czynny na rozproszenie

Ãs = |f(¸)|2 sin ¸ d¸dĆ = 4Ä„R2. (4.7.21)
4Ä„
Otrzymaliśmy dobrze znany, a zarazem nieco zaskakujący rezultat  przekrój czynny,
który zwyczajowo utożsamiamy z powierzchnią przekroju  widzianego przez nad-
latującą cząstkę jest czterokrotnie większy od pola przekroju sfery reprezentującej
jÄ…dro.
Problem  rozproszeniowy powraca jeszcze w rozdziale piÄ…tym (problemy 5.1
i 5.13).
BG AGH
138 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
PROBLEM 4.8
Wykaż, posługując się relacjami rekurencyjnymi dla
funkcji Bessela, że pomiędzy dwoma zerami funkcji Bes-
sela J0(x) leży jedno i tylko jedno zero funkcji Bessela
J1(x) i vice versa.
Rzut oka na rysunek 4.3 podrozdziału 4.2  Wybranych rozdziałów. . .  sugeruje, że
obie funkcje: J0 i J1 mają nieskończoną liczbę zer. Wynika to także z wzoru {4.87},
opisującego zachowanie się funkcji Bessela dla dużych wartości argumentu  zacho-
"
wują się one jak funkcja kosinus, której amplituda maleje jak 1/ x. Zresztą sama
postać reprezentacji funkcji Bessela jako sumy nieskończonej, wzór {4.73}, pozwala
zauważyć to bliskie powinowactwo, jakie istnieje pomiędzy funkcjami Bessela a funk-
cjami trygonometrycznymi. Szereg reprezentujący funkcje Bessela zawiera  więcej
przyczynków w mianowniku niż analogiczne szeregi kosinusa i sinusa  stąd taka,
a nie inna, modulacja amplitudy.
Aby wykazać sformułowaną w temacie problemu tezę, załóżmy, że dwa kolejne zera
funkcji J0(x) to Ä…0,k i Ä…0,(k+1):
J0(Ä…0,k) = J0(Ä…0,(k+1)) = 0. (4.8.1)
Korzystamy z relacji rekurencyjnej {R2}, kładąc w niej p = 0, k = 1. Prowadzi to
do dobrze znanego zwiÄ…zku
dJ0
= -J1(x). (4.8.2)
dx
Wzór (4.8.1) mówi nam, że funkcja J0 jest równa zeru w punktach ą0,k i ą0,(k+1).
Opieramy się teraz na twierdzeniu Rolle a: pomiędzy dwoma zerami różniczkowalnej
(w całym tym przedziale) funkcji musi znajdować się przynajmniej jedno zero jej
pochodnej. Funkcja J0 jest różniczkowalna na całej osi 0x, a jeśli tak, to pomiędzy
punktami Ä…0,k i Ä…0,(k+1) znajduje siÄ™ co najmniej jedno x a" ¾, takie że J0 (¾) = 0,
a wiÄ™c  na mocy (4.8.2)  J1(¾) = 0.
Mamy już przynajmniej jedno zero funkcji J1; aby wykazać, że jest to jedyne zero po-
między ą0,k i ą0,(k+1) musimy powtórzyć powyższe rozumowanie, zamieniając funkcje
J0 i J1 rolami. Relacja rekurencyjna {R1} (p = 1, k = 1) prowadzi do zwiÄ…zku
dJ1
= -xJ0(x), (4.8.3)
dx
z którego (oraz z twierdzenia Rolle a) wynika, że pomiędzy dwoma kolejnymi zerami
funkcji J1 leży przynajmniej jedno zero jej pochodnej, a więc przynajmniej jedno
zero funkcji J0. Koniunkcja tych dwóch imperatywów  przynajmniej jedno będzie
spełniona wtedy i tylko wtedy, jeżeli przynajmniej jedno oznacza dokładnie jedno.
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 139
PROBLEM 4.9
Na podstawie wzoru {4.99}, określającego funkcję two-
rzącą funkcji Bessela wykaż, że funkcje Bessela są ogra-
niczone, a konkretnie
(1) : |J0(x)| 1; (4.9.1)
"
(2) : |Jn(x)| 2/2; n = 1, 2, . . . (4.9.2)
Korzystamy z funkcji tworzącej funkcji Bessela (wzór {4.99}), którą wypisujemy dla
dodatniego i ujemnego t

"

x 1
G(x, t) = exp t - = Jn(x) tn, (4.9.3)
2 t
n=-"

"

x 1
G(x, -t) = exp -t + = Jn(x) (-t)n. (4.9.4)
2 t
n=-"
Wymnożenie funkcji wykładniczych, występujących po lewej stronie powyższych rów-
ności daje jedność  a więc i oba szeregi (prawe strony) po pomnożeniu muszą dać 1.
Wynika z tego, że po wymnożeniu prawych stron i redukcji różne od zera będą tylko
te wyrazy, dla których wykładniki potęgowe zmiennej t redukują się do zera. Mamy

1 = J0(x) + J1(x)t1 + J2(x)t2 + . . . + J-1(x)t-1 + J-2(x)t-2 + . . .

× J0(x) + J1(x)(-t)1 + J2(x)(-t)2 + . . . + J-1(x)(-t)-1 + J-2(x)(-t)-2 + . . . .
Niezerowe przyczynki, o których mowa to
J0 · J0 + J1 · J-1(-1) + J-1 · J1(-1) + J2 · J-2(-1)2 + J-2 · J2(-1)2 + . . . = 1.
(4.9.5)
KorzystajÄ…c teraz z wzoru {4.74}
J-n(x) = (-1)nJn(x), (4.9.6)
przekształcamy równanie (4.9.5) w proste
[J0(x)]2 + 2[J1(x)]2 + 2[J2(x)]2 + . . . = 1. (4.9.7)
BG AGH
140 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Suma podwojonych (z wyjątkiem J0!) kwadratów funkcji Bessela jest równa jedno-
ści12. Wiemy, że J0(0) = 1 (można odczytać to bezpośrednio z wzoru {4.73})  wynika
stąd, że wartość bezwzględna tej funkcji dla x = 0 może być tylko mniejsza (pamię-

"
tamy o modulacji  amplitudy funkcji Bessela czynnikiem 1/ x  por. wzór {4.87}).
Dla wskaz
nika n różnego od zera, z wzoru (4.9.7) wynika, że podwojony kwadrat
funkcji Bessela, Jn(x); n 1, nie może przekroczyć jedności13. Mamy
1 2[Jn(x)]2; n 1, (4.9.8)
skąd druga część tezy  wzór (4.9.2).
"

12
Jedności jest także równa suma J0(x) + 2 J2k(x)  por. wzór {4.103}.
k=1
13
Tak byłoby, gdyby wszystkie pozostałe funkcje Bessela były, dla danej wartości zmiennej x, równe
zeru. Jest to  por. problem 4.8  niemożliwe, zera funkcji Bessela nigdy się nie  przekrywają (dla
skończonych wartości argumentu).
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 141
PROBLEM 4.10
Wyprowadz
całkową reprezentację funkcji Bessela

Ä„
1
Jn(x) = cos(n¸ - x sin ¸) d¸; n = 0, 1, 2, . . .
0
Ä„
(4.10.1)
Geneza wzoru (4.10.1)  jak wspominamy o tym w podrozdziale 4.2.1  Wybranych
rozdziałów. . .   tkwi w funkcji tworzącej funkcji Bessela (wzór {4.99}):

"

x 1
G(x, t) = exp t - = Jn(x) tn. (4.10.2)
2 t
n=-"
Występujące w nim funkcje Bessela to współczynniki szeregu Laurenta funkcji two-
rzącej, a jeżeli tak, to wyrażają się poprzez standardowe całki konturowe

1 exp[x/2(Å› - 1/Å›)]
Jn(x) = dÅ›. (4.10.3)
2Ąi śn+1
C
Gdyby przyjąć jako kontur całkowania C koło jednostkowe |ś| = 1 na płaszczyz
nie
zespolonej, a wiÄ™c podstawić do (4.10.3) Å› = ei¸ i wykonać caÅ‚kowanie wzglÄ™dem
kÄ…ta ¸, zmieniajÄ…cego siÄ™ od 0 do 2Ä„, to powinniÅ›my dostać wzór (4.10.1). Możemy
jednak posłużyć się nieco zmodyfikowaną procedurą. Oczywiście nie obejdzie się bez
całkowania (w końcu, naszym celem jest reprezentacja całkowa!), ale  przy okazji
możemy poddać rewizji różne nasze wiadomości.
Zacznijmy od zauważenia, że podstawienie t = ei¸ do okreÅ›lenia funkcji tworzÄ…cej
(4.10.2) prowadzi do



x ei¸ - e-i¸
G(x, t) = exp ei¸ - e-i¸ = exp ix = eix sin ¸
2 2i
= cos(x sin ¸) + i sin(x sin ¸). (4.10.4)
Z kolei prawą stronę (4.10.2) możemy, grupując wyrazy z ujemnymi i dodatnimi
wartościami tego samego wskaz
nika sumowania, przedstawić w postaci
"
n

ei¸ Jn(x) = J0(x) + ei¸J1(x) + e-i¸J-1(x) + ei2¸J2(x) + e-i2¸J-2(x) + . . .
n=-"
+ei(2k-1)¸J2k-1(x) + e-i(2k-1)¸J-(2k-1)(x) + ei(2k)¸J2k(x) + e-i(2k)¸J-2k(x) + . . .
(4.10.5)
BG AGH
142 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Korzystamy teraz z wzoru {4.74}
J-n(x) = (-1)nJn(x), (4.10.6)
co prowadzi do
"
n

ei¸ Jn(x) = J0(x) + ei¸ - e-i¸ J1(x) + ei2¸ + e-i2¸ J2(x) + . . .
n=-"

+ ei(2k-1)¸ - e-i(2k-1)¸ J2k-1(x) + ei(2k)¸ + e-i(2k)¸ J2k(x) + . . .
= J0(x) + 2i sin ¸J1(x) + 2 cos 2¸J2(x) + . . .
+ 2i sin[(2k - 1)¸]J2k-1(x) + 2 cos[(2k)¸]J2k(x) + . . . (4.10.7)
W tej nieskończonej sumie, funkcje Bessela o parzystym wskaz
niku występują jako
mnożniki kosinusów parzystych wielokrotnoÅ›ci kÄ…ta ¸, natomiast funkcje o wskaz
niku
nieparzystym  jako mnożniki sinusów nieparzystych wielokrotnoÅ›ci kÄ…ta ¸, w dodat-
ku przemnożonych przez i. Porównując rzeczywiste i urojone części wzorów (4.10.4)
i (4.10.7), dostajemy natychmiast
"

cos(x sin ¸) = J0(x) + 2 J2k(x) cos[2k¸], (4.10.8)
k=1
"

sin(x sin ¸) = 2 J2k-1(x) sin[(2k - 1)¸]. (4.10.9)
k=1
Powyższe wzory to przedstawienie w postaci szeregu Fouriera parzystej funkcji
cos(x sin ¸) i funkcji nieparzystej  sin(x sin ¸). Funkcje bazowe, kosinusy i sinusy
wielokrotnoÅ›ci kÄ…ta ¸ tworzÄ… bazÄ™ ortogonalnÄ…, z wagÄ… w(x) = 1, w przedziale [0, 2Ä„].
Zgodnie z wzorem {3.51} mamy więc, dla k = 1, 2, . . .,

2Ä„
cos(x sin ¸) cos [2k¸] d¸
1
0
J2k(x) =

2Ä„
2
cos2[2k¸] d¸
0

2Ä„
1
= cos(x sin ¸) cos [2k¸] d¸, (4.10.10)
2Ä„
0

2Ä„
sin(x sin ¸) sin [(2k - 1)¸] d¸
1
0
J2k-1(x) =

2Ä„
2
sin2[(2k - 1)¸] d¸
0

2Ä„
1
= sin(x sin ¸) [(2k - 1)¸] d¸. (4.10.11)
2Ä„
0
(Występujące w mianownikach całki są równe połowie długości przedziału całkowania,
a więc Ą.)
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 143
Całkowanie w przedziale [0, 2Ą] możemy zredukować do całkowania w przedziale [0, Ą],
korzystając z wzorów redukcyjnych dla funkcji trygonometrycznych oraz ich okreso-
wości. Mamy
cos 2k¸ = cos(2Ä„ - 2k¸) = cos(2kÄ„ - 2k¸) = cos[2k(Ä„ - ¸)],
a także sin ¸ = sin(2Ä„ - ¸) = - sin(Ä„ - ¸), co prowadzi na przykÅ‚ad do


2Ä„ Ä„ 2Ä„
cos(x sin ¸) cos 2k¸ d¸ = + cos(x sin ¸) cos 2k¸ d¸
0 0 Ä„

Ä„ 2Ä„
= cos(x sin ¸) cos 2k¸ d¸ + cos[-x sin(Ä„ - ¸)] cos[2k(Ä„ - ¸)] d¸.
0 Ä„
Zamiana zmiennej caÅ‚kowania w drugiej caÅ‚ce: ¸ Ä„ - ¸ i skorzystanie z parzystoÅ›ci
funkcji kosinus sprowadza drugą całkę do postaci identycznej z postacią pierwszej
całki. Podobnie można przekształcić także całkę (4.10.11). Możemy więc zapisać

Ä„
1
J2k(x) = cos(x sin ¸) cos [2k¸] d¸, (4.10.12)
Ä„
0
Ä„
1
J2k-1(x) = sin(x sin ¸) sin[(2k - 1)¸] d¸. (4.10.13)
Ä„
0
Ostatni krok, to wykorzystanie faktu, że w rozwiniÄ™ciu funkcji cos(x sin ¸) [wzór
(4.10.8)] występują jako funkcje bazowe wyłącznie kosinusy parzystych wielokrotności
kÄ…ta ¸; w rozwiniÄ™ciu funkcji sin(x sin ¸) [wzór (4.10.9)]  sinusy nieparzystych wielo-
krotnoÅ›ci kÄ…ta ¸. Dlatego caÅ‚ki, analogiczne do caÅ‚ek (4.10.12) i (4.10.13), bÄ™dÄ… równe
zeru14

Ä„
1
0 = sin(x sin ¸) sin [2k¸] d¸, (4.10.14)
Ä„
0
Ä„
1
0 = cos(x sin ¸) cos[(2k - 1)¸] d¸. (4.10.15)
Ä„
0
Możemy więc, rezygnując z parzystości bądz
nieparzystości wskaz
nika funkcji Bessela
i zamieniajÄ…c te parzyste (2k), bÄ…dz
nieparzyste (2k - 1) wskaz
niki jednym wskaz
ni-
kiem n, dodać do równania (4.10.12) równanie (4.10.14), przemnożone przez i, a do
równania (4.10.15) równanie (4.10.13), też przemnożone przez i. Prowadzi to do

Ä„
1
Jn(x) = [cos(x sin ¸) cos n¸ + i sin(x sin ¸) sin n¸]d¸
Ä„
0
Ä„
1
= cos(n¸ - x sin ¸)d¸; n = 1, 2, . . . (4.10.16)
Ä„
0
We wzorze (4.10.16) zaznaczamy, że wskaz
nik funkcji Bessela powinien być większy
od zera  bo wzór (4.10.10) dla k = 0 ma nieco inną postać. Występująca w mianow-
niku całka jest przecież równa nie Ą, ale 2Ą! Tak, ale w równaniu (4.10.8), funkcja
14
To, że całki te są równe zeru można sprawdzić także bezpośrednim rachunkiem, wykorzystującym
 jak wyżej  wzory redukcyjne i określone parzystości funkcji trygonometrycznych.
BG AGH
144 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
J0, w odróżnieniu wszystkich pozostałych funkcji o parzystym wskaz
niku, jest po-
zbawiona czynnika 2  wzór (4.10.16) jest więc poprawny także dla zerowej wartości
wskaz
nika. Mamy

Ä„ 2Ä„
1 1
J0(x) = cos(x sin ¸) d¸ = cos(x sin ¸) d¸. (4.10.17)
Ä„ 2Ä„
0 0
Co więcej, z zachowania się funkcji sinus w różnych ćwiartkach kąta pełnego wynika,
że całka

2Ä„
1
sin(x sin ¸) d¸ = 0, (4.10.18)
2Ä„
0
a więc można wzór (4.10.17) przekształcić do postaci

2Ä„ 2Ä„
1 1
J0(x) = eix sin ¸ d¸ = eix cos ¸ d¸. (4.10.19)
2Ä„ 2Ä„
0 0
Uwaga. Dla Czytelnika, który wolałby  ortodoksyjny sposób obliczenia współczyn-
ników w szeregu Laurenta: Wzór (4.10.3) po wspomnianym podstawieniu, Å› = ei¸,
daje

2Ä„
1
Jn(x) = exp[i(x sin ¸ - n¸)] d¸. (4.10.20)
2Ä„
0
Występującą w funkcji podcałkowej funkcje wykładniczą rozbijamy (wzór Eulera de
Moivre a) na sumę kosinusa i sinusa; łatwo pokazać (argumentacja oparta  jak wyżej
 na wzorach redukcyjnych i określonych parzystościach funkcji trygonometrycznych),
że caÅ‚ka z sinusa po peÅ‚nym zakresie kÄ…ta ¸ daje zero, a z kosinusa  jest równa
podwojonej caÅ‚ce od ¸ = 0 do ¸ = Ä„. Wcale nietrudne  warto spróbować. SkÄ…dinÄ…d,
zaprezentowany pełny schemat rozwiązania jest chyba bardziej  rozrywkowy .
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 145
PROBLEM 4.11
Wykaż, że całka z funkcji Bessela J0(kx) jest równa

"
1
J0(kx) dx = (4.11.1)
0
k
Zanim przystąpimy do konkretnych obliczeń, warto chyba utwierdzić się w przeko-
naniu, że wartość tej niewłaściwej całki jest skończona. Wystarczy znowu rzut oka
na wykres funkcji J0(x)  z faktu, że dla dużych wartości argumentu zera tej funk-
cji stają się praktycznie równoodległe (o odstępie równym Ą), a jej  amplituda jest
modulowana funkcją 1/x, wynika, że wartości pól podwykresu  powyżej i poniżej osi
0x  maleją ze wzrostem zmiennej x. Nasza całka to suma wartości tych pól z od-
powiednimi znakami  mamy więc szereg o wyrazach przemiennych i malejących co
do wartości bezwzględnej. Kryterium Leibniza zapewnia zbieżność takiego szeregu.
Zamiast obliczać bezpośrednio całkę (4.11.1), zajmiemy się całką, która tym bardziej
będzie zbieżna

"
I(a) a" e-axJ0(kx) dx, a 0. (4.11.2)
0
Za funkcję J0 podstawiamy jej reprezentację całkową (por. problem 4.10)

Ä„ Ä„/2
1 2
J0(kx) = cos(kx sin ¸) = cos(kx sin ¸) d¸, (4.11.3)
Ä„ Ä„
0 0
co prowadzi do


" Ä„/2
2
I(a) = e-ax cos(kx sin ¸) d¸ dx
Ä„
0 0


Ä„/2 "
2
= e-ax cos(kx sin ¸) dx d¸. (4.11.4)
Ä„
0 0
(Przestawienie kolejności całkowania może być usprawiedliwione bezwzględną zbież-
nością tej podwójnej całki.) Postać wewnętrznej całki Iw zaprasza do (dwukrotnego)
caÅ‚kowania przez części. Po podstawieniu b = k sin ¸) mamy

" "
Iw = e-ax cos(kx sin ¸) dx a" e-ax cos(bx) dx
0 0

" "
1 d[sin(bx)] a
= e-ax dx = e-ax sin(bx) dx
b dx b
0
0
"
a 1 a
= - e-ax cos(kx sin ¸) dx ,
b b b
0
BG AGH
146 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
albo
a a2
Iw = - Iw,
b2 b2
co prowadzi do

"
a
Iw = e-ax cos(kx sin ¸) dx = . (4.11.5)
b2 + a2
0
Wstawiając ten wynik do (4.11.4), otrzymujemy całkę

Ä„/2
2 a
I(a) = d¸, (4.11.6)
Ä„ k2 sin2 ¸ + a2
0
którą można całkiem prosto obliczyć stosując rachunek residuów (por. podrozdział 1.1
 Wybranych rozdziałów. . .  ). Końcowy wynik to
1
I(a) = " . (4.11.7)
a2 + k2
Otrzymujemy więc

"
1
I(a) a" e-axJ0(kx) dx = " , a 0. (4.11.8)
0 a2 + k2
Zauważ Czytelniku, że wynik ten to nic innego jak transformata Laplace a funkcji
J0(kx). W podrozdziale 4.2.3  Wybranych rozdziałów. . .  znajdziesz Czytelniku ten
sam wzór [wzór {4.148}], który można zweryfikować zresztą poprzez podstawienie
za J0(kx) nieskończonej sumy i sukcesywne całkowanie jej wyrazów przemnożonych
przez funkcjÄ™ e-ax.
Przechodząc w otrzymanym wyniku z a do zera, otrzymujemy żądany rezultat  wzór
(4.11.1). Przejście takie jest zupełnie  legalne  nie ulega wątpliwości, że funkcja
podcałkowa w (4.11.2), a więc i sama wartość całki, jest ciągłą funkcją parametru a.
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 147
PROBLEM 4.12
Oblicz całki

a
In a" xnJ0(kx) dx, dla n = 1, 2, 3 i 4. (4.12.1)
0
Ogólnie można stwierdzić, że w liczeniu tego typu całek pomocne są relacje reku-
rencyjne, zachodzące pomiędzy funkcjami Bessela. Większość z tych  naprawdę po-
trzebnych można znalez
ć w Tabeli 4.1  Wybranych rozdziałów. . .  . I tak dla:
n = 1
Korzystamy z relacji {R1}, kładąc w niej p = 1 i Z = J. Daje to
d
[xJ1(kx)] = kxJ0(kx). (4.12.2)
dx
W takim razie
x=a

a a

1 d 1 a
I1 = xJ0(kx) dx = [xJ1(kx)] dx = [xJ1(kx)] = J1(ka) (4.12.3)

k dx k k
0 0
x=0
(przypominamy: Jn(0) = 0 dla n 1).
n = 2
Całka ma postać

a ka
1
kx = t
I2 = x2J0(kx) dx = = t · tJ0(t)dt
1
dx = dt
k3 0
0
k

ka
1 d
= t · [tJ1(t)] dt. (4.12.4)
k3 0 dt
(Dokonaliśmy prostej zmiany zmiennej całkowania i wykorzystaliśmy raz jeszcze re-
lację (4.12.2) z k = 1.) Postać funkcji podcałkowej zaprasza do całkowania przez
części

ka ka


1
I2 = t · [tJ1(t)] - [tJ1(t)] dt . (4.12.5)

k3
0
0
Jeszcze raz korzystamy z relacji {R1} Tabeli 4.1  Wybranych rozdziałów. . .  ; kładąc
w niej p = 0, Z = J, k = 1, mamy zwiÄ…zek
dJ0
J1(t) = - , (4.12.6)
dt
BG AGH
148 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
którego używamy do obliczenia ostatniej całki po prawej stronie (4.12.5)

ka ka ka
dJ0
- [tJ1(t)] dt = t dt = kaJ0(ka) - J0(t) dt. (4.12.7)
dt
0 0 0
Uwzględniając wynik ostatniego całkowania w (4.12.5) otrzymujemy


ka
1
I2 = k2a2J1(ka) + kaJ0(ka) - J0(t) dt . (4.12.8)
k3
0
Może to stanowić pewne rozczarowanie, ale ostatniej całki nie można obliczyć anali-
tycznie. Nie ma wątpliwości, że sama całka  istnieje  wystarczy przyjrzeć się wykre-
sowi funkcji J0(x) w przedziale [0, ka] (gdzie ka to po prostu dowolna stała). Całkę
tę możemy obliczyć, na przykład wykorzystując reprezentację funkcji J0 w postaci
nieskończonej sumy [wzór {4.73}] i całkując ten (jednostajnie zbieżny!) szereg wyraz
po wyrazie. Mamy
2s
"
ka ka

(-1)s t
I0 = J0(t) dt = dt
(s!)2 2
0 0
s=0


ka
t2 t4 t6
= 1 - + - + . . . dt
22 24 · (2!)2 26 · (3!)2
0
k3a3 k5a5 k7a7
= ka - + - + . . . (4.12.9)
3 · 22 5 · 24(2!)2 7 · 26(3!)2
n = 3

a ka ka
1 1
I3 = x3J0(kx) dx = t3J0(t) dt = t2 · [tJ0(t)] dt
k4 0 k4 0
0

ka
1 d
= t2 · [tJ1(t)] dt, (4.12.10)
k4 0 dt
gdzie ostatnie przejście wynika znowu z relacji {R1}, czyli wzoru (4.12.2). Całkujemy
przez części

ka ka
1
I3 = t2 · tJ1(t) - 2 t2J1(t) dt

0
k4
0


ka
1 d
= k3a3J1(ka) - 2 [t2J2(t)] dt , (4.12.11)
k4 dt
0
gdzie ostatnie podstawienie
d
t2J1(t) = [t2J2(t)], (4.12.12)
dt
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 149
to relacja {R1} z p = 2. Ostatnia całka jest banalna; mamy

1
I3 = k3a3J1(ka) - 2k2a2J2(ka) . (4.12.13)
k4
W podobny sposób można obliczać całki typu I2k+1; pilny Czytelnik wykaże na przy-
kład

1
I5 = k5a5J1(ka) - 4k4a4J2(ka) + 8k3a3J3(ka) . (4.12.14)
k5
n = 4
Po prostych przekształceniach, wykorzystując podstawienia (4.12.2) i (4.12.12) otrzy-
mujemy

a ka
1
I4 = x4J0(kx) dx = t3 · [tJ0(t)] dt
k5 0
0


ka
1
= k4a4J1(ka) - 3 t · [t2J1(t)] dt
k5
0


ka
1
= k4a4J1(ka) - 3k3a3J2(ka) + 3 t2J2(t) dt . (4.12.15)
k5
0
W ostatniej całce podstawiamy za J2(t), wykorzystując relację {R6} z Tabeli 4.1
 Wybranych rozdziałów. . .  i kładąc w niej p = 1, Z = J, k = 1, co prowadzi do
2
J2(t) = J1(t) - J0(t)
t
i, w konsekwencji,

ka ka ka
t2J2(t) dt = 2 tJ1(t) dt - t2J0(t) dt.
0 0 0
Obie całki były już obliczane; po wykorzystaniu otrzymanych wyników mamy



ka
1
I4 = k4a4 - 3k2a2 J1(ka) - 3k3a3J2(ka) - 9kaJ0(ka) + 9 J0(t) dt ,
k5
0
(4.12.16)
gdzie ostatnia całka to całka (4.12.9), którą można obliczyć, tylko całkując wyraz
po wyrazie nieskończoną sumę, stanowiącą reprezentację funkcji J0. Podobnie będzie
dla wszystkich całek typu I2k. Nasuwa się więc wniosek, że takie całki powinniśmy
obliczać podstawiając ab initio za funkcję J0 szereg {4.73}, przemnażając jego kolejne
wyrazy przez x2k i całkując wyraz po wyrazie otrzymaną nieskończoną sumę. Nie ma
bowiem wielkiego sensu przekształcać funkcję podcałkową i rozbijać wynik na kilka
przyczynków, z których wszystkie z wyjątkiem ostatniego można obliczyć analitycznie,
jeżeli i tak nie minie nas całkowanie nieskończonej sumy, reprezentującej funkcję J0(x).
BG AGH
150 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
PROBLEM 4.13
Wykaż, że całka z funkcji Bessela Jn(kx) jest równa
îÅ‚ " Å‚Å‚n

"
1 a2 + k2 - a
ðÅ‚ ûÅ‚
"
I a" e-axJn(kx) dx = ;
0
k
a2 + k2
a 0, (4.13.1)
przy wykorzystaniu reprezentacji całkowej funkcji Bes-
sela

Ä„
1
Jn(x) = cos(n¸ - x sin ¸) d¸. (4.13.2)
0
Ä„
Pierwszym odruchem systematycznego Czytelnika powinna być chyba weryfikacja
 czy wzór (4.13.1) daje, przy n = 0, otrzymany w problemie 4.11 wynik [wzór
(4.11.8)]. Owszem, daje. Przystępujemy do uogólnienia tego wyniku.
Pierwszym krokiem będzie przekształcenie reprezentacji całkowej funkcji Bessela 
wzór (4.13.2)  do postaci, która okaże się  wygodniejsza do naszych celów. Wy-
korzystując schemat rachunkowy, który stosujemy także w problemie 4.10, możemy
przetransformować wzór (4.13.2) do postaci

Ä„ Ä„
1 1
Jn(x) = cos(n¸ - x sin ¸)d¸ = exp [i(n¸ - x sin ¸)] d¸ =
Ä„ Ä„
0 0

Ä„/2
1
= ¸ Ä„/2 - ¸ . . . = exp [i(x cos ¸ + n¸ + nÄ„/2)] d¸
Ä„
-Ä„/2

(-i)n Ä„/2 (-i)n Ä„
= eix cos ¸ein¸d¸ = eix cos ¸ cos(n¸) d¸. (4.13.3)
Ä„ Ä„
-Ä„/2 0
Czytelnik powinien sam przeanalizować poszczególne przejścia  nie ma w nich nic,
co stanowiłoby jakieś novum, w stosunku do przekształceń, z jakimi mieliśmy do
czynienia w poprzednich problemach.
PodstawiajÄ…c z (4.13.3) (x kx) do (4.13.1), mamy


Ä„
(-i)n "
I = e-ax eikx cos ¸ cos(n¸)d¸ dx
Ä„
0 0


(-i)n Ä„ "
= e-axeikx cos ¸ dx cos n¸ d¸. (4.13.4)
Ä„
0 0
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 151
Przestawienie porządku całkowania jest usprawiedliwione jednostajną zbieżnością po-
dwójnej całki. Całka  wewnętrzna jest bardzo prosta
"

" "
e-(a-ik cos ¸)x 1

e-axeikx cos ¸ dx = e-(a-ik cos ¸)x dx = =
-(a - ik cos ¸) 0 a - ik cos ¸
0 0
i w konsekwencji wzór (4.13.4) przybiera postać

(-i)n Ä„ cos n¸
I = d¸. (4.13.5)
Ä„ a - ik cos ¸
0
Ostatnią całkę obliczamy, posługując się, w standardowy sposób, techniką residuów.
Wynik tych obliczeń to
n
"

Ä„
cos n¸ inÄ„ a2 + k2 - a
d¸ = " .
a - ik cos ¸ k
0 a2 + k2
Postać wyniku jest wprawdzie nieco skomplikowana, ale same rachunki  zupełnie
proste. Skojarzenie ostatniego wyniku z równaniem (4.13.5) daje szukany rezultat 
wzór (4.13.1).
Dodajmy, że przeprowadzone rachunki można  przenieść na przypadek, kiedy stała
występująca w wykładniku eksponenty jest czysto urojona  a ią; ą > 0. Proste
przekształcenia dają natychmiast  dla Jn = J0 
Å„Å‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
" , k2 > Ä…2;
òÅ‚
"
k2 - Ä…2
e-iÄ…xJ0(kx) dx = (4.13.6)
-i
ôÅ‚
0 ôÅ‚
"
ół , ą2 > k2.
Ä…2 - k2
Uzyskane wzory to  z dokładnością do stałego czynnika  transformaty Fouriera
funkcji J0(x). Można, stosując wzór Eulera-de Moivre a do rozpisania występującej
pod całką eksponenty, tanim kosztem uzyskać też wzory na transformatę sinusową
i kosinusowÄ…. Znowu  dla uproszczenia  tylko dla J0(x)

"
1
J0(kx) cos Ä…x dx = " ; k2 > Ä…2, (4.13.7)
k2 - Ä…2
0
"
J0(kx) sin Ä…x dx = 0; k2 > Ä…2, (4.13.8)
0

"
J0(kx) cos Ä…x dx = 0; Ä…2 > k2, (4.13.9)
0
"
1
J0(kx) sin Ä…x dx = " ; Ä…2 > k2. (4.13.10)
0 Ä…2 - k2
BG AGH
152 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
PROBLEM 4.14
Wyprowadz
jeszcze jedną całkową reprezentację funkcji
Bessela
½
x

½-1/2
1
2

J½(x) = 2 1 - t2 cos xt dt
"
1
0
Ä„“ ½ +
2
(4.14.1)
i określ warunki, jakie muszą być spełnione dla stosowa-
nia powyższego wzoru.
Zajmijmy się samą całką, występująca w (4.14.1)

½-1/2
1
I = 1 - t2 cos xt dt.
0
Prawdę mówiąc  nie bardzo widzimy, jak mamy zacząć. Ale występujące w funkcji
podcałkowej wyrażenia są dość proste. Może więc wyrazić kosinus poprzez jego sze-
reg Taylora (MacLaurina) i spróbować całkować wyraz po wyrazie? Reprezentacja
kosinusa
"

(xt)2n
cos xt = (-1)n ,
(2n)!
n=0
jest szeregiem jednostajnie zbieżnym w przedziale t " [0, 1]. Jeżeli ½ speÅ‚nia warunek
½-1/2
½ 1/2, to szereg wynikajÄ…cy z przemnożenia szeregu kosinusa przez 1 - t2
pozostaje nadal szeregiem jednostajnie zbieżnym; umożliwia to zamianę kolejności
całkowania i sumowania. Całka I przybierze więc postać

"
½-1/2
1

(xt)2n " x2n 1 ½-1/2
I = 1 - t2 (-1)n dt = (-1)n 1 - t2 t2n dt.
(2n)! (2n)!
0 0
n=0 n=0
(4.14.2)
Występująca w (4.14.2) całka to (jedna z wielu) całkowa reprezentacja funkcji beta
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 153
Eulera. Mamy  por. wzory {1.150} i {1.148} 

½-1/2 ½-1/2
1 1
1
I1 a" 1 - t2 t2n dt = 1 - t2 t2(n-1/2) 2t dt =
2
0 0
t2 = u; 2t dt = du
=
t = 0 u = 0; t = 1 u = 1

1
= (1 - u)½+1/2-1 un+1/2-1 du
0
“ (½ + 1/2) “(n + 1/2)
= B(½ + 1/2, n + 1/2) = . (4.14.3)
“(½ + n + 1)
PodstawiajÄ…c z (4.14.3) do (4.14.2), otrzymujemy
"

1 x2n “ (½ + 1/2) “(n + 1/2)
I = (-1)n . (4.14.4)
2 (2n)! “(½ + n + 1)
n=0
Pozostaje przekształcenie gammy  połówkowego argumentu  por. wzór {1.31} 
" " "
“(2n) Ä„ Ä„(2n)! n Ä„(2n)!
“(n + 1/2) = = · = ; (4.14.5)
“(n)22n-1 2n 22n-1(n)! 22n(n)!
po podstawieniu do (4.14.4) mamy
"
2n
"

Ä„ (-1)n x
I = “(n + 1/2)(-1)n , (4.14.6)
2 (n)!“(½ + n + 1) 2
n=0
a po przemnożeniu ostatniej sumy przez czynnik pojawiający się przed całką w (4.14.1)
i zmianie wskaz
nika sumowania (n s) otrzymujemy
2s+½
"

(-1)s x
(s)!“(½ + s + 1) 2
s=0
 definicję funkcji Bessela w postaci nieskończonej sumy, wzór {4.73}. Stosowalność
reprezentacji (4.14.1) jest ograniczona wspomnianym już warunkiem ½ -1/2. Wte-
dy tylko dozwolona jest  kluczowa tutaj  zmiana kolejności całkowania i sumowania.
BG AGH
154 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
PROBLEM 4.15
Posługując się parametrycznym równaniem cykloidy 
krzywej zakreślanej przez punkt na obwodzie koła o pro-
mieniu R, toczÄ…cego siÄ™ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É po
poziomej prostej 
x = R(Ć - sin Ć), y = R(1 - cos Ć); Ć a" Ét
(4.15.1)
gdzie t jest zmienną czasową, wykaż, że zależność łączą-
ca explicite te dwie współrzędne ma postać
" "

nx 3 nx
y(x) = A0 + An cos a" R + 2R J (n) cos .
n
R 2 R
n=1 n=1
(4.15.2)
Rysunek 4.15.1: Cykloida. Promień koła, R = 1
Wzór który mamy wykazać to  oczywiście  nic innego jak szereg Fouriera dla y 
rzędnej punktu cykloidy. Rzut oka na rysunek 4.15.1 pozwala nam zauważyć, że:
(1) rzędna cykloidy jest funkcją parzystą, y(-x) = y(x);
(2) rzędna cykloidy jest funkcją okresową, a okresem  w języku zmiennej x  jest
obwód koła 2ĄR.
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 155
Oba te fakty tłumaczą taką, a nie inną, postać szeregu (4.15.2)15. Wyliczenie jego
współczynników  por. podrozdziały 3.3 i 3.4  Wybranych rozdziałów. . .   opiera się
na standardowych wzorach:

Ä„R
1
A0 = y(x) dx; (4.15.3)
Ä„R
0

Ä„R
2 nx
An = y(x) cos dx, n = 1, 2, . . . (4.15.4)
Ä„R R
0
Zmienna całkowania w powyższych wzorach to zmienna x z równania (4.15.1). Prze-
chodząc do bardziej  naturalnej zmiennej kątowej Ć mamy
x R(Ć - sin Ć); dx R(1 - cos Ć) dĆ; x = 0 Ć = 0; x = ĄR Ć = Ą
i całki (4.15.3) i (4.15.4) przekształcają się w16

Ä„ Ä„
1 R 3
A0 = [R(1 - cos Ć)]2 dĆ = (1 - cos Ć)2 dĆ = R; (4.15.5)
Ä„R Ä„ 2
0
0
Ä„
2R
An = cos(nĆ - x sin Ć)(1 - cos Ć)2 dĆ, n = 1, 2, . . . (4.15.6)
Ä„
0
Całka określająca współczynniki An, n 1, rozpada się, po podniesieniu dwumianu
(1 - cos Ć) do kwadratu, na sumę trzech całek:

Ä„
2R
I1 = cos(nĆ - n sin Ć) dĆ a" 2R · Jn(n), (por. 4.10) (4.15.7)
Ä„
0
Ä„
2R
I2 = cos(nĆ - n sin Ć) · (-2 cos Ć) dĆ, (4.15.8)
Ä„
0
Ä„
2R
I3 = cos(nĆ - n sin Ć) · (cos2 Ć) dĆ
Ä„
0

Ä„R
2R
= cos(nĆ - n sin Ć) · (1 - sin2 Ć) dĆ
Ä„
0

Ä„R
2R
= I1 - cos(nĆ - n sin Ć) · (sin2 Ć) dĆ a" I1 - I4. (4.15.9)
Ä„
0
Pierwsza całka to całkowa reprezentacja funkcji Bessela. Ponieważ w temacie poja-
wiają się drugie pochodne funkcji Jn zobaczmy, jaka jest ich postać, w kontekście
15
Argument kosinusa to  odpowiednio skalowana  zmienna kÄ…towa. Dla x = 2Ä„R powinna ona
przybrać wartość 2nĄ.

Ä„ Ä„
16
W obliczeniach pierwszej całki pojawiają się całki sin2 x dx oraz cos2 x dx. Można obli-
0 0
czać je, zamieniając kwadraty sinusa i kosinusa na funkcje kąta podwojonego. Ale znacznie łatwiej
policzymy je, zauważając, że przyczynki od obu funkcji podcałkowych (w przedziale [0, Ą]) są iden-
tyczne, a suma takich całek to całka z jedności, równa długości przedziału.
BG AGH
156 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
właśnie tej samej reprezentacji. Stosując wzór Leibniza (wzór {2.143}  Wybranych
rozdziałów. . .  ), otrzymujemy bez trudu

Ä„
1
Jn(x) = cos(nĆ - x sin Ć) dĆ, (4.15.10)
Ä„
0
Ä„
1
J (x) = sin(nĆ - x sin Ć) sin Ć dĆ, (4.15.11)
n
Ä„
0

Ä„
1
J (x) = - cos(nĆ - x sin Ć) sin2 Ć dĆ. (4.15.12)
n
Ä„
0
W ostatnim z trzech równań  (4.15.12)  odnajdujemy z dokładnością do stałego
czynnika oraz  uwaga!  dla x = n  całkę I4, ze wzoru (4.15.9). Pozostaje całka I2
 rozpisując podwojony iloczyn kosinusów w funkcji podcałkowej na sumę kosinusów
od argumentów będących sumą i różnicą argumentów kosinusów w iloczynie mamy

Ä„
2R
I2 = -2 cos(nĆ - n sin Ć) · (cos Ć) dĆ =
Ä„

0
Ä„ Ä„
2R
= - cos [(n + 1)Ć - n sin Ć] dĆ + cos [(n - 1)Ć - n sin Ć] dĆ
Ä„
0 0
= por. (4.15.10) = -2R {Jn+1(n) + Jn-1(n)} .
Ostatnie wyrażenie przekształcamy za pomocą relacji rekurencyjnej {4.102}  Wybra-
nych rozdziałów. . . 
2n
Jn+1(x) + Jn-1(x) = Jn(x), (4.15.13)
x
która dla x = n ma nieco prostszą postać
2n
Jn+1(n) + Jn-1(n) = Jn(n) = 2Jn(n). (4.15.14)
n
Powracając do określenia współczynników An  wzór (4.15.6)  mamy, po wykorzy-
staniu (4.15.10), (4.15.12), (4.15.14)

An = 2R · Jn(n) - Jn(n) + J (n) = 2R · J (n),
n n
w zgodzie z (4.15.2).
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 157
PROBLEM 4.16
Struna o długości L wykonuje drgania poprzeczne. Oba
końce struny sa zamocowane; gęstość liniowa jest funkcją
współrzÄ™dnej przestrzennej  Á = Á0(1 + kx). Znajdz

częstości własne drgań struny.
Oznaczmy wychylenie struny z poÅ‚ożenia równowagi jako È = È(x, t). Funkcja È
spełnia równanie falowe
"2È(x, t) 1 "2È(x, t)
- = 0. (4.16.1)
"x2 c2 "t2
Występujące w nim c, prędkość propagacji fali wzdłuż struny, wyraża się poprzez
gÄ™stość liniowÄ… struny Á i wielkość naprężenia stycznego T

T T T
c2 = = albo c = . (4.16.2)
Á Á0(1 + kx) Á0(1 + kx)
Ze względu na wspomnianą w temacie zadania zależność gęstości liniowej od współ-
rzędnej x także i prędkość propagacji fali zależy od położenia.
RozwiÄ…zania poszukujemy w postaci
È(x, t) = X(x)T (t) = X(x)eÄ…iÉt, (4.16.3)
a więc zależność czasową postulujemy a priori w postaci harmonicznej. Podstawia-
jąc z (4.16.3) do (4.16.1), mamy  dla przestrzennej części rozwiązania  równanie
Helmholtza
d2X(x) É2
+ X(x) = 0, (4.16.4)
dx2 c2
albo explicite
d2X(x) É2Á0
+ (1 + kx)X(x) = 0, (4.16.5)
dx2 T
z warunkami
X(0) = X(L) = 0. (4.16.6)
Prosta zmiana zmiennych (por. podrozdział 4.2.4  Wybranych rozdziałów. . .  )
1 1
1 + kx = kz; dx = dz; x = 0 z = ; x = L z = + L, (4.16.7)
k k
zamienia równanie (4.16.4) [ X(x) Z(z)] w
d2Z(z) É2Á0
+ k zZ(z) = 0, (4.16.8)
dz2 T
BG AGH
158 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
a warunki (4.16.6) w

1 1
Z = Z + L = 0. (4.16.9)
k k
Równanie (4.16.8) zapisane nieco prościej
Z (z) + azZ(z) = 0, (4.16.10)
(a  pewna dodatnia stała, w której nb.  tkwią częstości własne drgań struny)
przypomina mocno równanie Airy ego  równanie {4.98}
y (x) - xy(x) = 0,
którego rozwiązaniem są tak zwane funkcje Airy ego: Ai(x) i Bi(x), wyrażające się
2
poprzez modyfikowane funkcje Bessela: IÄ…1/3(¾), gdzie ¾ = x3/2. Ze wzglÄ™du na to
3
oczywiste powinowactwo równania Bessela i równania (4.16.8), możemy zastosować
do tego ostatniego  uniwersalny wzór {4.149}  równanie

x2y + (1 - 2A)xy + D2E2x2E + (A2 - E2p2) y = 0, (4.16.11)
(a, D, E, p  stałe), którego rozwiązaniem jest
y = xAZp(DxE), (4.16.12)
gdzie Zp to adekwatna kombinacja funkcji Bessela (por. podrozdział 4.2  Wybra-
nych rozdziałów. . .  ). Po pomnożeniu równania (4.16.10) przez z2 przekształcamy
równanie do postaci bezpośrednio porównywalnej z (4.16.11); mamy
z2Z (z) + a z3Z(z) = 0,
a więc
É2Á0
1 - 2A = 0 A = 1/2; 2E = 3 E = 3/2; D2E2 = k
T
i ostatecznie

2 Á0k
D = É . (4.16.13)
3 T
Uwzględniając powyższe przyporządkowania, możemy napisać rozwiązanie równania
(4.16.8) jako

" "
Z(z) = C1 zJ1/3 Dz3/2 + C2 zJ-1/3 Dz3/2 , (4.16.14)
gdzie D określone jest wzorem (4.16.13). Funkcje Ją1/3 to funkcje Bessela pierwszego
rodzaju, do których efektywnego obliczenia możemy posłużyć się np. wzorem {4.73}
 Wybranych rozdziałów. . .  (można go stosować zarówno dla dodatniej, jak i ujemnej
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 159
wartości niecałkowitego wskaz
nika!). Warunki (4.16.9) prowadzą do układu równań
jednorodnych

Å„Å‚
ôÅ‚ C1J1/3 Dk-3/2 + C2J1/3 Dk-3/2 = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚

3/2 3/2 (4.16.15)
ôÅ‚
1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
C1J1/3 D + L + C2J-1/3 D + L = 0,
ół
k k
analogicznego do układu {4.126}. Występują w nim trzy niewiadome: C1, C2 i D, przy
czym w tej ostatniej  por. (4.16.13)   tkwią częstości własne drgań struny. Liczbę
niewiadomych redukujemy do dwóch, dzieląc oba równania przez  na przykład  C1
i rozwiązujemy układ (4.16.15), eliminując z niego stosunek C2/C1. Oznaczmy
3/2
1 (1 + kL)3/2
Dk-3/2 a" Ä…; D + L = D a" Ä… · ².
k k3/2
Mamy zatem
Å„Å‚
C2
ôÅ‚
ôÅ‚
J1/3(Ä…) + J-1/3(Ä…) = 0
ôÅ‚
òÅ‚
C1
ôÅ‚
ôÅ‚ C2
ôÅ‚
ół
J1/3(Ä…²) + J-1/3(Ä…²) = 0
C1
i konsekwentnie
J-1/3(Ä…)J1/3(Ä…²) = J1/3(Ä…)J-1/3(Ä…²). (4.16.16)
To ostatnie równanie przestępne można rozwiązać numerycznie; przy określonych
dÅ‚ugoÅ›ci struny L i staÅ‚ej k, okreÅ›lone jest również ² = (1+kL)3/2. Szukamy wartoÅ›ci
ą (a więc i D), dla której spełnione jest (4.16.16). Analiza zachowania funkcji Ją1/3
pozwala stwierdzić, że takich wartości będzie nieskończenie wiele, tzn.
D a" Dm; m = 0, 1, 2, . . . ,
będzie więc i nieskończenie wiele częstości własnych, określonych [por. (4.16.13)]
wzorem

3 T
É a" Ém = Dm . (4.16.17)
2 Á0k
BG AGH
160 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
PROBLEM 4.17
Membrana kolista, o promieniu R, wykonuje drgania, opi-
sane funkcjÄ… wychylenia È = È(r, t). Brzeg membrany jest
nieruchomy. W chwili początkowej (t = 0) kształtem mem-
brany była paraboloida obrotowa, natomiast prędkości po-
szczególnych punktów membrany były równe zeru. Znajdz

È = È(r, t).
To, że wychylenie będzie tylko funkcją promienia wodzącego punktu membrany i cza-
su wynika z  izotropowoÅ›ci obu warunków brzegowych. Równanie, jakie speÅ‚nia È,
to oczywiście równanie falowe, które  rozpisane we współrzędnych biegunowych,
z uwzględnieniem braku zależności od zmiennej kątowej  redukuje się do (c  pręd-
kość fali)

1 "2È(r, t) 1 " "È(r, t)
= r . (4.17.1)
c2 "t2 r "r "r
Warunki  poczÄ…tkowe i brzegowe  to odpowiednio

r2
È(r, t = 0) a" ¨(r) = A 1 - ; (4.17.2)
R2
È(r = R, t) = 0. (4.17.3)
Metoda separacji zmiennych  podstawienie È(r, t) = R(r)T (t)  daje natychmiast
dwa równania

1 d2R(r) 1 dR(r)
+ =  a" -k2, (4.17.4)
R dr2 r dr
1 d2T (t)
= c2 = -c2k2. (4.17.5)
T (t) dt2
Wybór ujemnej stałej separacji prowadzi do równania Bessela o wskaz
niku zero dla
części radialnej, a jednocześnie gwarantuje nam rozwiązanie czasowe w języku funk-
cji harmonicznych. Z kombinacji liniowej funkcji Bessela o wskaz
niku równym zeru
pozostanie tylko J0, bo drugie rozwiÄ…zanie  funkcja Y0  jest osobliwa dla r = 0.
Uwzględniając drugi z warunków, możemy określić możliwe wartości stałej k w (4.17.2)
jako
Ä…0n
J0(kR) = 0 k a" kn = ; n = 1, 2, . . . (4.17.6)
R
gdzie Ä…0n to n-te zero funkcji J0.
Tak więc dla ustalonego n mamy

r
Èn(r, t) = J0 Ä…0n [C1n cos Ént + C2n sin Ént] , (4.17.7)
R
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 161
gdzie Én = ckn = cÄ…0n/R i, konsekwentnie,

"

r
È(r, t) = J0 Ä…0n [C1n cos Ént + C2n sin Ént] . (4.17.8)
R
n=1
Ponieważ pochodna czasowa tego rozwiązania musi być równa zeru dla t = 0 i dla
0 r R, wszystkie stałe C2n będą równe zeru. Wyznaczenie stałych C1n wymaga
skorzystania z warunku (4.17.2)


"

r2 r
A 1 - = È(r, 0) a" ¨(r) = J0 Ä…0n , (4.17.9)
R2 R
n=1
a wiÄ™c rozÅ‚ożenia funkcji ¨(r) w szereg funkcji Bessela J0(Ä…0nr/R). Dla obliczeÅ„
wygodnie jest podstawić r/R = x. Otrzymujemy (por. podrozdział 4.2.3  Wybranych
rozdziałów. . .  )


1
1 - x2 xJ0(Ä…0nx) dx
0
C1n = A . (4.17.10)

1
xJ02(Ä…0nx) dx
0
Całka w mianowniku to, zgodnie z wzorem {4.136}

1
1
xJ02(Ä…0nx) dx = J12(Ä…0n); (4.17.11)
2
0
całki w liczniku były liczone w problemie 4.12. Korzystając z uzyskanych tam wzorów
(4.12.3) i (4.12.3) dostajemy

1
1
xJ0(Ä…0nx) dx = J1(Ä…0n),
Ä…0n
0

1
1 2
x3J0(Ä…0nx) dx = J1(Ä…0n) - J2(Ä…0n),
Ä…0n Ä…2
0
0n
a więc
4 J2(Ä…0n)
C1n = A . (4.17.12)
2 2
Ä…0n J1 (Ä…0n)
Otrzymany wynik możemy jeszcze uprościć, wykorzystując relację [R6] z podrozdzia-
łu 4.2.1  Wybranych rozdziałów. . .  . Wynika z niej bowiem, że
Ä…0n 2
J1(ą0n) = [J0(ą0n) + J2(ą0n)] , a więc J2(ą0n) = J1(ą0n)
2 Ä…0n
i ostatecznie
8 1
C1n = A . (4.17.13)
3 2
Ä…0n J1 (Ä…0n)
BG AGH
162 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Tabela 4.17.1: Zera funkcji Bessela, J0; Ä…0n dla n = 1 10
n Ä…0n
n Ä…0n
6 18,07
1 2,40
7 21,21
2 5,52
8 24,35
3 8,65
9 27,49
4 11,79
10 30,63
5 14,93
Tak więc wychylenia punktów membrany opisuje funkcja


"

J0 r
1 Ä…0n R ct
È(r, t) = 8A cos Ä…0n . (4.17.14)
3
Ä…0n J1(Ä…0n) R
n=1
Prezentowany problem w pierwszym rzędzie wyjaśnia celowość zdobywania umiejęt-
ności w obliczaniu  całek z funkcji Bessela (warto przyjrzeć się bogatym tabelom
tego typu całek; monumentalne kompendium Abramowitza z lat 60., czy też słynne
tablice całek i sum Ryżyka i Gradsztejna poświęcają temu zagadnieniu całe, osob-
ne rozdziały). Wprawny Czytelnik potrafi zapewne napisać wzór (4.17.8) (i to już
z samą funkcją kosinus) natychmiast. Same obliczenia współczynników C1n są jednak
dość ciekawe, a końcowy wzór ma zwartą i estetyczną postać. Wreszcie warto zauwa-
żyć, że pojawienie się trzecich potęg kolejnych zer funkcji J0 w mianownikach tych
współczynników znakomicie działa na zbieżność szeregu, a właściwie  w praktyce 
pozwala nam zadowolić się pierwszymi kilkoma wyrazami nieskończonej sumy. Zera
funkcji Bessela rosną z odstępem, który praktycznie jest równy Ą (por. {4.87}). Pierw-
sze dziesięć zer funkcji J0(x) podajemy w tabeli 4.17.1 (z dokładnością do dwóch cyfr
po przecinku dziesiętnym). Wynika z niej na przykład, że odwrotność trzeciej potęgi
piątego zera jest dwieście czterdzieści razy mniejsza od odwrotności trzeciej potęgi
pierwszego zera. Dla dziesiątego zera analogiczny stosunek to przeszło dwa tysiące!
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 163
PROBLEM 4.18
Idealnie giętki łańcuch (lina), o długości L i gęstości linio-
wej µ, jest zawieszony za swój górny koniec wzdÅ‚uż osi 0z.
A
ańcuch wykonuje  małe drgania w płaszczyz
nie pionowej,
utworzonej przez oÅ› 0z i poziomÄ… oÅ› 0x.
Małość drgań pozwala wprowadzić następujące uproszczenia:
(1) każdy punkt łańcucha porusza się poziomo, wzdłuż
osi 0x. Te wychylenia oznaczamy jako x(z, t);
(2) wszystkie kąty, jakie tworzy styczna do łańcucha z osią
pionową, są na tyle małe, że  w zależności od potrzeby
 sinus i tangens takiego kąta są sobie równe i równe
mierze Å‚ukowej kÄ…ta;
(3) naprężenie (napięcie)  fizycznie: siła styczna do łańcu-
cha  jest, w danym punkcie, równa ciężarowi tej części
łańcucha która znajduje się poniżej; innymi słowy  ko-
sinusy kątów, o których mowa w (2), przyjmujemy jako
równe jedności.
Zapisz równanie ruchu łańcucha i rozwiąż go.
Jako warunek brzegowy przyjmij zadany rozkład poziomych
prędkości punktów łańcucha w chwili t = 0:
"x
(z, t = 0) a" G(z), a także fakt, że x(z, 0) = 0.
"t
Zanim zajmiemy się matematyką, pozwólmy sobie na małą dygresję historyczną. Pro-
blem  kołyszącego się łańcucha rozwiązał, przeszło 250 lat temu, Daniel Bernoulli,
znakomity szwajcarski matematyk i fizyk, syn również wybitnego matematyka Jana17.
Daniel zajmował się bardzo wieloma zagadnieniami związanymi z, jakże istotnymi
w ówczesnych czasach, problemami . . . żeglugi dalekomorskiej: ożaglowaniem i jego
rozmieszczeniem, rozłożeniem ładunków w ładowni, kołysaniem się statków itp. Pro-
blem łańcucha podjął, w dobre pięćdziesiąt lat po Bernoullim, sam wielki Leonhard
17
Por. http://www.ftj.agh.edu.pl/<"lenda/cicer/node6.htm, a także . . . /<"lenda/bern/bern.pdf.
BG AGH
164 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Euler. Obaj uczeni, w sposób od siebie niezależny, doszli w swoich rachunkach do
pewnych funkcji, których  ojcem chrzestnym został jednak jeszcze trzeci  Friedrich
Wilhelm Bessel. Bessel był znakomitym astronomem i w swoich  astronomicznych
rachunkach używał funkcji wprowadzonych wcześniej przez Bernoulliego i Eulera. A
ponieważ w wieku dziewiętnastym, kiedy to matematycznym dokonaniom wyszuki-
wano par force patronów, astronomia była szalenie modna. . .
Rysunek 4.18.1: Do wyprowadzenia równania ruchu łańcucha
Wyprowadzenie równania kołyszącego się łańcucha (cały czas zakładamy małość wy-
chyleń poziomych poszczególnych partii łańcucha!) przypomina standardowe wypro-
wadzenie równania falowego. Rozważamy kawałek łańcucha, o długości "z, znajdują-
cy się pomiędzy punktem o współrzędnej z i z + "z. Naprężenia styczne na końcach
tego elementu (por. rysunek 4.18.1) oznaczamy odpowiednio przez T (z) i T (z + "z).
Naprężenia sÄ… styczne do Å‚aÅ„cucha, a za ruch  w poziomie  elementu masy µ"z
odpowiedzialna jest różnica składowych stycznych naprężeń Tx(z + "z) i Tx(z). Te
składowe styczne, rzuty naprężeń na poziomy kierunek osi x, to
Tx(z + "z) = (T + "T ) sin Ä… oraz Tx(z) = T sin Ä….
"T  to różnica wielkości naprężeń (całkowitych) na dwóch końcach łańcucha, wy-
nikająca z ciężaru rozważanego elementu, natomiast kąty ą i ą to kąty pomiędzy
stycznymi na obu końcach łańcucha i kierunkiem osi 0z. Ich sinusy są równe ich tan-
gensom, a te ostatnie to nic innego jak pochodne dx/dz funkcji opisujÄ…cej wychylenie
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 165
punktu łańcucha (x) o współrzędnej pionowej z. Pochodne te możemy oznaczyć jako

dx dx

sin Ä… H" tg Ä… = ; sin Ä… H" tg Ä… = .

dz dz
z z+"z
Ponieważ w równaniu ruchu pojawi się przyspieszenie i zmienna czasowa, zapisz-
my równania określające poziome składowe naprężeń, używając symboli pochodnych
czÄ…stkowych. Mamy

"x
Tx(z) = T sin Ä… a" T |z ; (4.18.1)

"z
z

"x
Tx(z + "z) = (T + "T ) sin Ä… a" T |z+"z , (4.18.2)

"z
z+"z
gdzie przez T |z i T |z+"z oznaczamy odpowiednio całkowitą wartość naprężenia na
dwóch końcach elementu łańcucha. Oba czynniki występujące po prawej stronie (4.18.2)
rozwijamy w szereg Taylora w zmiennej z:
"T
T |z+"z a" T + "T = T |z + "z + . . .
"z

"x "x " "x

= + "z + . . .

"z "z "z "z
z+"z z
W rozwinięciach taylorowskich18 zachowujemy tylko wyrazy, w których "z występu-
je w pierwszej potędze; formułując równanie, położymy "z a" dz  a więc długość
elementu łańcucha stanie się nieskończoną małą pierwszego rzędu, a wyrazy nieskoń-
czenie małe drugiego i wyższych rzędów będziemy konsekwentnie zaniedbywać. Po
podstawieniu z tych dwóch równań do (4.18.2) dostajemy

"T "x " "x

Tx(z + "z) = T |z + "z + "z

"z "z "z "z
z

"x " "x "T "x

H" T |z + T |z "z + "z . (4.18.3)

"z "z "z "z "z
z z
Z równań (4.18.3) i (4.18.1) obliczamy różnicę składowych poziomych naprężeń
działających na oba końce elementu łańcucha

" "x "T "x

Tx(z + "z) - Tx(z) = T |z "z + "z

"z "z "z "z
z

" "x
= T "z
"z "z
"2x
i przyrównujemy jÄ… do iloczynu masy µ"z i przyspieszenia elementu Å‚aÅ„cucha
"t2

"2x " "x
µ"z = T "z. (4.18.4)
"t2 "z "z
18
Występujące w nich pochodne są obliczane w punkcie z.
BG AGH
166 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
Występujące w (4.18.4) całkowite naprężenie T równe jest ciężarowi części łańcucha,
znajdujÄ…cej siÄ™ poniżej punktu z: T = T (z) = µgz. Ostatecznie

"2x " "x
µ"z = µgz "z, (4.18.5)
"t2 "z "z
a wiÄ™c  zakÅ‚adajÄ…c, że gÄ™stość Å‚aÅ„cucha µ jest staÅ‚Ä…  mamy

"2x " "x
= gz (4.18.6)
"t2 "z "z
 pierwsza część problemu, znalezienie równania ruchu, została zakończona.
Równanie (4.18.6) rozwiązujemy metodą separacji zmiennych: podstawiamy x(z, t) =
Z(z)T (t), i po wykonaniu prostych, standardowych przekształceń przyrównujemy le-
wą i prawą stronę równania do pewnej stałej . Dwa rozseparowane równania to
dT (t)
= T (t), (4.18.7)
dt

d dZ(z)
gz = Z(z). (4.18.8)
dz dz
Zaczynamy od prostszego równania (4.18.7). Z naszego doświadczenia, wiemy już, że
zasadnicze znaczenie będzie miała  dodatniość czy też  ujemność stałej separacji
. Dla tej drugiej możliwości,  a" -k2 równanie (4.18.7) sprowadza się  zgodnie
z naszymi oczekiwaniami  do równania ruchu harmonicznego, z rozwiązaniem
T (t) a" Tk(t) = Ak cos kt + Bk sin kt, (4.18.9)
natomiast równanie (4.18.8) to
k2
z2Z + zZ + zZ = 0, (4.18.10)
g
które mocno przypomina równanie Bessela o wskaz
niku 0. Odwołując się do  uniwer-
salnej postaci równania sprowadzalnego do równania Bessela, wzoru {4.149}  Wy-
branych rozdziałów. . .  , znajdujemy bez trudu, że rozwiązaniem (4.18.10) będzie
kombinacja liniowa funkcji Bessela o wskaz
niku 0, ale z argumentem nieco bardziej
skomplikowanym

" "
k k
Z(z) a" Zk(z) = CkJ0 z + DkY0 z . (4.18.11)
" "
g g
Wskaz
nik k stałych Ck i Dk przypomina nam, że wybór stałych zależy (może zależeć)
od wyboru konkretnej stałej separacji k. Oczywiście z kombinacji liniowej (4.18.11)
odrzucamy Y0, ponieważ punkt z = 0  dolny koniec łańcucha  należy do obszaru
naszych zainteresowań. Podobnie, jeżeli założymy, że w chwili początkowej łańcuch
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 167
zwisał idealnie pionowo  x(z, t = 0) = 0, dla wszystkich wartości z z przedziału
[0, L] musimy wyrzucić kosinusy z (4.18.9). Ostatecznie ogólna postać rozwiązania
dla naszych poziomych oscylacji to


" "
k k
x(z, t) = (AkCk)J0 z sin kt a" CkJ0 z sin kt; Ck a" AkCk.
" "
g g
k k
(4.18.12)
Wskaz
nik k pod sumą oznacza, że sumujemy po wszystkich możliwych wartościach
stałej separacji ( a" -k2). Te możliwe wartości dostajemy z warunku uwięzienia
górnego końca łańcucha

" "
k k
x(L, t) = 0, J0 L = 0 L = Ä…0n (4.18.13)
" "
g g
 gdzie ą0n to n-te zero funkcji Bessela J0. Mamy więc

g
k a" kn = Ä…0n (4.18.14)
L
i rozwiązanie (4.18.12) przybiera już bardzo czytelną postać



"
kn g
x(z, t) = CnJ0 z sin knt; kn = Ä…0n, (4.18.15)
"
g L
n=1
albo explicite



z g
x(z, t) = CnJ0 Ä…0n sin Ä…0nt. (4.18.16)
L L
n=1
Występujące w nim stałe Cn wyznaczymy, wykorzystując zadany rozkład prędkości
punktów łańcucha w chwili t = 0. Mamy




" g z
x(z, t) = Cn Ä…0nJ0 Ä…0n = G(z), (4.18.17)

"t L L
t=0
n=1
gdzie G(z) jest pewną zadaną funkcją, która reprezentuje rozkład prędkości punktów
łańcucha w chwili t = 0. Funkcję tę rozkładamy w szereg funkcji Bessela


"
z
J0 Ä…0n z .
L
Można to zrobić tak, jak jest to opisane w podrozdziale 4.2.3  Wybranych rozdzia-
łów. . .  . Jedyny  drobny  problem to zamiana odpowiednio skalowanego argumentu
"
funkcji Bessela  pierwiastka ze zmiennej z na nowÄ… zmiennÄ…, np. z a" y i odpo-
wiednie przetłumaczenie  na język tej nowej zmiennej naszej funkcji G(z).
BG AGH
168 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
PROBLEM 4.19
W jednorodnym walcu o wysokości H i promieniu podstawy
R generowane jest ciepło, z prędkością (ilość ciepła na jed-
nostkę czasu i na jednostkę objętości) q, która jest liniową
funkcjÄ… temperatury: q = a + bT ; a, b > 0.
Pobocznica walca i obie jego podstawy sÄ… utrzymywane
w stałej temperaturze Tp. Zakładamy:
(1) temperatura walca nie zależy od czasu, rozważamy stan
ustalony "T/"t = 0;
(2) temperatura walca zależy tylko od odległości r od osi
walca, tzn. T = T (r).
Dodatkowo przyjmujemy, że
"T/"r < 0
(ciepło jest wypromieniowywane na zewnątrz).
Znajdz
rozkład temperatury wewnątrz walca.
Zacznijmy od bilansu przestrzennego ciepła, które produkowane jest, w jednostce cza-
su, w objętości elementarnego walca, o wysokości H i promieniu r (r < R). Oznaczając
to ciepło przez Qr mamy

r
Qr = q dV = 2Ä„H (a + bT )Á dÁ. (4.19.1)
0
Całkowanie po objętości walca o promieniu r sprowadza się do całkowania po  ru-
rach o wysokoÅ›ci H, promieniu wewnÄ™trznym równym Á, a zewnÄ™trznym  Á + dÁ,
od Á = 0, do Á = r.
Ta ilość ciepła, wyprodukowana w jednostce czasu w objętości walca o promieniu r,
musi być, w tej samej jednostce czasu, wydalona  na zewnątrz z tego walca  bo
założyliśmy, że temperatura dowolnego punktu walca nie zmienia się w czasie. Przyj-
mujemy też, że transport ciepła odbywa się zgodnie z I prawem Fouriera  strumień
ciepła (ilość ciepła na jednostkę czasu i jednostkę powierzchni) jest, co do wartości
bezwzględnej, proporcjonalny do przestrzennego gradientu temperatury i skierowany
przeciwnie. Mamy więc

r
dT
Qr = 2Ä„H (a + bT )Á dÁ = -2Ä„rHk , (4.19.2)
dr
0
BG AGH
Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 169
gdzie k jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego [[k] J/(m·s·K)].
Takie równanie różniczkowo-całkowe sprowadzamy do równania różniczkowego. W tym
celu różniczkujemy obie jego strony względem r (por. wzór Leibniza, {2.143}). Otrzy-
mujemy stÄ…d


d dT d2T dT
2Ä„H(a + bT )r = -2Ä„Hk r = 2Ä„Hk r + , (4.19.3)
dr dr dr2 dr
a po prostych przekształceniach
d2T 1 dT b a
+ + T = - . (4.19.4)
dr2 r dr k k
To niejednorodne równanie drugiego rzędu rozwiązujemy w standardowy sposób, za-
czynając od równania jednorodnego
d2T dT b
r2 + r + r2T = 0. (4.19.5)
dr2 dr k
Jest to równanie Bessela o zerowej wartości wskaz
nika, jego ogólne rozwiązanie to
(por. {4.82} i {4.83})
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚

b b
T = T (r) = C1J0 íÅ‚ rÅ‚Å‚ + C2Y0 íÅ‚ rÅ‚Å‚ . (4.19.6)
k k
Ponieważ funkcja Y0 jest osobliwa dla r = 0, stałą C2 musimy przyjąć jako równą
zeru.
Z kolei, całka szczególna równania niejednorodnego będzie równa stałej C3 (bo nie-
jednorodność równania to pewna stała). Prosty rachunek daje
a
C3 = -
b
i rozwiązanie równania (4.19.4) przybiera postać
ëÅ‚ öÅ‚

b a
T (r) = C1J0 íÅ‚ rÅ‚Å‚ - . (4.19.7)
k b
Stałą C1 wyznaczymy z warunku T (r = R) = Tp. Mamy
ëÅ‚ öÅ‚

b a
T (R) = C1J0 íÅ‚ RÅ‚Å‚ - = Tp, (4.19.8)
k b
skÄ…d
a
+ Tp
b

C1 = (4.19.9)
b
J0 R
k
BG AGH
170 Legendre, Bessel i trochÄ™ fizyki
i ostatecznie
ëÅ‚ öÅ‚
a
+ Tp
b a
b

T = T (r) = J0 íÅ‚ rÅ‚Å‚ - . (4.19.10)
k b
b
J0 R
k
Uwaga: Jeżeli w temacie zadania dokonać niewielkiej zmiany i funkcję szybkości  pro-
dukcji ciepła przedstawić jako q = a - bT (ujemny znak stałej mówi nam, że mamy
do czynienia z absorpcjÄ…, a nie produkcjÄ…), to wzorem analogicznym do (4.19.10)
będzie
ëÅ‚ öÅ‚
a
- + Tp
b a
b

T = T (r) = I0 íÅ‚ rÅ‚Å‚ - , (4.19.11)
k b
b
I0 R
k
gdzie I0 to modyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju.
BG AGH
Rozdział 5
Transformaty i równania
całkowe; funkcje Greena
Problemy 5.1 i 5.2 to  fizyczne spojrzenie na transformatÄ™ Fouriera: pierwszy z nich
dotyczy słynnych eksperymentów Roberta Hofstadtera (rozproszenie wysokoenerge-
tycznych elektronów na jądrach atomowych) z lat 50. XX wieku; drugi pokazuje, jak
pewne  oczywiste własności fali elektromagnetycznej wynikają z odpowiedniego po-
traktowania równań Maxwella transformatą Fouriera.
Problemy 5.3 i 5.4 mają charakter bardziej formalny i związane są z pewnymi własno-
ściami tej transformaty. Z kolei problem 5.5 to ilustracja sposobu zamiany równania
różniczkowego na równoważne mu równanie całkowe  wykorzystując metodę trans-
formaty całkowej. Po raz pierwszy pojawia się  właściwie dopiero jako pojęcie 
funkcja Greena, dlatego też analogiczny problem, ale już z użyciem innej techniki,
prezentujemy pod koniec rozdziału (problem 5.26).
Problemy 5.6 i 5.7 związane są z własnościami transformaty Laplace a; w pierwszym
z nich pojawia się, tak ważne w zastosowaniach fizycznych, pojęcie splotu funkcji i
twierdzenie o transformacie splotu. Metoda transformaty Laplace a w zastosowaniu
do rozwiązania zwyczajnego równania różniczkowania to treść problemu 5.8.
Problemy 5.9 i 5.10 to znowu przewodnictwo cieplne  a więc równanie o pochod-
nych cząstkowych, które rozwiązujemy metodą transformaty Laplace a. W tych dwóch
problemach główny nacisk położony jest na znajdywanie transformaty odwrotnej 
Czytelnik, który opanował rachunek residuów i całkowanie na płaszczyz
nie zespolonej
będzie mógł z pełną satysfakcją uznać, że poświęcone trud i czas nie poszły na marne.
Fizyka jest także  mocno obecna w problemie 5.11 (ruchy Browna i transformata
Laplace a) a także  w kontekście mechaniki kwantowej w problemach 5.12 i 5.13. Te
dwa ostatnie problemy ilustrują obecność języka równania całkowego w problemach
mechaniki kwantowej  (powracamy tu, po raz kolejny, do problemu rozpraszania).
Problemy 5.14 5.21 to standardowe zadania z równań całkowych  typu Fredhol-
ma i Volterry. Prawie każdy problem jest rozwiązywany wszystkimi technikami, o któ-
171
BG AGH
172 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
rych mowa w  Wybranych rozdziałach. . .  (metody iteracyjne: szereg Neumanna i
rezolwenta oraz metoda jąder zdegenerowanych), a które mogą znalez
ć zastosowa-
nie w konkretnym zadaniu. W rozwiązywaniu równań klasy Volterry stosujemy także
technikÄ™ transformaty Laplace a.
Problem 5.22 to  historyczny problem tautochrony (albo izochrony) sformułowany
w języku równania całkowego. Stanowi on swoistego rodzaju apologię  specjalnego
zainteresowania fizyków cykloidą  krzywą która nie tylko jest tautochroną ale i bra-
chistochroną pola sił ciężkości.
Ostatnia część rozdziału to kilka przykładów konstrukcji funkcji Greena (znowu przy
użyciu alternatywnych technik) dla różnych operatorów różniczkowych, poddanych
dwupunktowym warunkom brzegowym. Ostatni problem  5.27  omawia w sposób
bardzo szczegółowy taką konstrukcję dla bardzo typowego operatora, ale dla przedzia-
łu zarówno skończonego jak i nieskończonego. Problem ten jest znowu pomyślany jako
możliwie kompletny przegląd różnych technik i różnych kłopotów, z jakimi możemy
mieć do czynienia w tego typu rachunkach.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 173
PROBLEM 5.1
Oblicz transformatę Fouriera z potencjału Yukawy
1 qQ
V (r) = e-Ä…r. (5.1.1)
4Ä„ 0 r
Potencjał Yukawy jest potencjałem krótkozasięgowym. Wynika to stąd, że długoza-
sięgowy potencjał kulombowski (czynnik 1/r) jest intensywnie tłumiony na dużych
odległościach przez funkcję wykładniczą exp (-ąr). Miarą tego tłumienia jest para-
metr ą. Potencjał Yukawy jest na tyle uniwersalny, że dość często pojawia się w róż-
nych obliczeniach kwantowo-mechanicznych związanych z fizyką atomową, ciała sta-
łego czy też fizyką jądrową. Przykładowo, w pustej przestrzeni oddziaływanie między
dwoma ładunkami elektrycznymi jest opisane prawem Coulomba. Taki sam układ 
dwóch ładunków, umieszczony w plazmie, wymaga już pewnej modyfikacji potencjału
kulombowskiego, ponieważ wybrane przez nas ładunki są ekranowane przez chmurę
ładunku pochodzącą od pozostałych cząstek naładowanych. W związku z tym zasięg
oddziaływania ulega zmianie. Zauważmy, że zapisanie potencjału Yukawy w postaci
1 qQ(r)
V (r) = ,
4Ä„ 0 r
pozwala nam dostrzec  dobrze znany z kursu elektrodynamiki  potencjał Coulomba.
Oczywiście ceną, jaką za to płacimy, jest zależność ładunku od współrzędnych prze-
strzennych. Ten (formalny) problem można jednak rozwiązać za pomocą procedury,
która nosi nazwę renormalizacji ładunku. Ta idea jest dobrze znana w fizyce wysokich
energii czy też w fizyce ciała stałego.
Wróćmy jednak to naszego zadania. Transformatę Fouriera z funkcji V (r) będzie-
my oznaczać w następujący sposób: F[V (r)] a" V(k), a ponadto będziemy używać
niesymetrycznej konwencji dla transformat Fouriera, tzn.

V(k) = d3r V (r)e-ik·r, (5.1.2)
natomiast transformata odwrotna to

1
V (r) = d3k V(k)eik·r. (5.1.3)
(2Ä„)3
Zanim rozpoczniemy rachunki, zauważmy, że potencjał Yukawy jest potencjałem
sferycznie-symetrycznym, tzn. V (r) = V (r), co znakomicie uprości nam obliczenia,
gdyż symetria potencjału automatycznie wymusza na nas użycie współrzędnych sfe-
rycznych:
x = r cos Õ sin Ń, y = r sin Õ sin Ń, z = r cos Ń,
BG AGH
174 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
gdzie 0 r < ", 0 Õ < 2Ä„, 0 Ń Ä„.
Przechodząc do współrzędnych sferycznych, transformata Fouriera z potencjału Yuka-
wy ma postać

1
V(k) = d3r V (r)e-ik·r
(2Ä„)3/2

2Ä„ Ä„ "
= dÕ dŃ sin Ń dr r2V (r)e-ikr cos Ń
0 0 0

" 1
= 2Ä„g2 dr re-Ä…r dÅ› e-ikrÅ›
0 -1
= 2Ä„g2I(k), (5.1.4)
gdzie nowa zmienna to ś = cos Ń, natomiast czynnik liczbowy g2 = qQ/(4Ą 0).
W rezultacie, obliczenie transformaty Fouriera z potencjału Yukawy sprowadza się do
policzenia całki w postaci

"
2
I(k) = dr e-Ä…r sin kr. (5.1.5)
k
0
Obliczenie wartości tej całki pozostawimy Czytelnikowi jako proste ćwiczenie1. My
zadowolimy się podaniem wyniku końcowego, czyli I(k) = 2/(ą2 + k2). Zatem trans-
formata Fouriera z potencjału Yukawy ma postać
4Ä„g2
V(k) = . (5.1.6)
Ä…2 + k2
Zwróćmy uwagę, że transformata Fouriera z potencjału Yukawy ma również symetrię
sferyczną, czego należało się spodziewać.
Czytelnik, który pasjonuje się rachunkami z pewnością zechce  powtórzyć rachun-
ki wstecz  tzn. posługując się zadaną postacią V(k) [wzór (5.1.6)] oraz wzorem
(5.1.3), określającym transformatę odwrotną, odtworzy postać potencjału oddziały-
wania  wzór wyjściowy (5.1.1). Rachunki są proste; całka analogiczna do całki
(5.1.5) wymaga zastosowania rachunku residuów. Powtarzając te rachunki, Czytelnik
uczci pamięć noblisty (A.D. 1961) Roberta Hofstadtera, którego rodzice, polscy Ży-
dzi, wyemigrowali z Polski z końcem XIX w. R. Hofstadter, poprzez analizę wyników
rozproszeń wysokoenergetycznych elektronów na jądrach atomów (lata pięćdziesiąte
XX w.) określił strukturę ładunku jąder, kładąc eksperymentalne podwaliny pod teo-
rię kwarków. Bezpośrednim wynikiem pomiarów Hofstadtera były przekroje czynne
dla rozpraszania elektronów; przekroje te okazują się bezpośrednio związane z trans-
formatą Fouriera potencjału oddziaływania. Eksperymentalnie znaleziona transfor-
mata fourierowska potencjału pozwalała  poprzez rachunki transformaty odwrotnej
 odtworzyć sam potencjał; ten z kolei jest bezpośrednio powiązany z funkcją roz-
kładu ładunku w jądrze (de facto ta ostatnia jest . . . też transformatą fourierowską
1
Najprościej  całkujemy dwukrotnie przez części.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 175
potencjału, pomnożoną przez pewną stała i podzieloną przez kwadrat transferu pędu
przy rozproszeniu.
Por. także problemy 4.7 i 5.13.
BG AGH
176 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
PROBLEM 5.2
Przeprowadz
analizę Fouriera równań Maxwella dla pola
elektromagnetycznego w próżni. Przyjmij, że w dowol-
nej chwili czasu t natężenie pola elektrycznego E(r, t)
można wyrazić przez

1
E(r, t) = d3k E(k, t)eik·r.
(2Ä„)3
Podstawowymi wielkościami charakteryzującymi pole elektromagnetyczne w dowol-
nym punkcie przestrzeni r i chwili czasu t są wektor natężenia pola elektrycznego
E(r, t) oraz wektor indukcji pola magnetycznego B(r, t). Wiemy, że pole elektro-
magnetyczne rozchodzi się w postaci fal poprzecznych z prędkością światła c, a jego
składowe, czyli pole elektryczne i pole magnetyczne, drgają w płaszczyznach wza-
jemnie prostopadłych. Kierunek rozchodzenia się fali elektromagnetycznej pokrywa
siÄ™ z wektorem Poyntinga S = E × B, który jest zwiÄ…zany z szybkoÅ›ciÄ… przepÅ‚ywu
energii.
W pustej przestrzeni, tj. z dala od ładunków i prądów, pole elektromagnetyczne speł-
nia równania Maxwella w postaci
" · E(r, t) = 0, (5.2.1)
"
" × E(r, t) = - B(r, t), (5.2.2)
"t
" · B(r, t) = 0, (5.2.3)
1 "
" × B(r, t) = E(r, t), (5.2.4)
c2 "t
Z tego układu równań wynika, że każda składowa pola elektromagnetycznego spełnia
równanie falowe.
E(r, t) = 0, B(r, t) = 0,
1 "2
gdzie jest operatorem d Alemberta: = " - .
c2 "t2
Aby się o tym przekonać wystarczy skorzystać z tożsamości
" × (" × A) = "(" · A) - "2A,
gdzie A jest funkcjÄ… wektorowÄ… zmiennych r i t.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 177
Zapewne pamiętamy, że równanie falowe jest równaniem liniowym. To akademickie
stwierdzenie ma bardzo ważne konsekwencje, gdyż pozwala nam przedstawić ogólne
rozwiązanie takiego równania w postaci kombinacji liniowej rozwiązań szczególnych,
czyli

1
E(r, t) = d3k E(k, 0)ei(k·r-Ét)
(2Ä„)3

1
= d3k E(k, t)eik·r, (5.2.5)
(2Ä„)3
gdzie É = ck jest czÄ™stoÅ›ciÄ… oscylacji pola E w ustalonym punkcie przestrzeni.
Innymi słowy, możemy rozłożyć pole E(r, t) na fale płaskie, które są matematycznie
najprostszymi rozwiązaniami równania falowego2. Podobnie można postąpić z polem
magnetycznym B(r, t), tzn. wyrazić je przez transformatę Fouriera,

1
B(r, t) = d3k B(k, t)eik·r. (5.2.6)
(2Ä„)3
Przejdz
my teraz do równania (5.2.1) wyrażającego prawo Gaussa w pustej przestrzeni.
Wyraz
my pole E(r, t) przez transformatÄ™ Fouriera (5.2.5). W tej sytuacji dywergencja
pola E(r, t) przyjmie postać

1
" · E(r, t) = " · d3k E(k, 0)ei(k·r-Ét)
(2Ä„)3

1
= d3k " · E(k, t)eik·r . (5.2.7)
(2Ä„)3
W celu obliczenia dywergencji występującej w wyrażeniu danym wzorem (5.2.7) wy-
korzystamy tożsamość

" · E(k, t)eik·r = "eik·r · E(k, t) + eik·r" · E(k, t).
Tylko pierwszy składnik sumy po prawej stronie powyższej tożsamości daje niezerowy
wkÅ‚ad do wyrażenia danego wzorem (5.2.7), gdyż w próżni, mamy " · E(k, t) = 0.
Wobec tego

1 1
d3k " · E(k, t)eik·r = d3k "eik·r · E(k, t)
(2Ä„)3 (2Ä„)3

1
= d3k ik · E(k, t)eik·r. (5.2.8)
(2Ä„)3
Na tej podstawie wnioskujemy, że transformata Fouriera z prawa Gaussa w pustej
przestrzeni (por. wzór (5.2.1)) spełnia równanie
k · E(k, t) = 0. (5.2.9)
2
Być może Czytelnika zaniepokoi użycie całki do wyrażenia kombinacji liniowej, ale przecież zmien-
na k jest prawie ciągła, więc to nie powinno być dużym zaskoczeniem.
BG AGH
178 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Z tego równania wynika, że wektor natężenie pola elektrycznego jest prostopadły do
kierunku rozchodzenia siÄ™ fali.
Następne w kolejności jest prawo Faradaya, równanie (5.2.2), z którego wynika, że
zmieniajÄ…ce siÄ™ w czasie pole magnetyczne B(r, t) powoduje powstanie wirowego pola
elektrycznego E(r, t)  oznacza to, że oba pola są wzajemnie sprzężone.
Postępując podobnie jak w poprzednim przypadku, pola E(r, t) oraz B(r, t) wystę-
pujące w równaniu (5.2.2) zastępujemy odpowiednimi transformatami Fouriera (por.
wzory (5.2.5) oraz (5.2.6)) i w rezultacie otrzymujemy równość
"
" × E(r, t) + B(r, t)
"t

1 "
= d3k " × E(k, t)eik·r + B(k, t)eik·r . (5.2.10)
(2Ä„)3 "t
Pierwszy składnik sumy występującej w nawiasie klamrowym pod znakiem całki prze-
kształcamy zgodnie z tożsamością

" × E(k, t)eik·r = "eik·r × E(k, t) + " × E(k, t) eik·r.
DziÄ™ki temu, funkcja podcaÅ‚kowa w (5.2.10) upraszcza siÄ™, ponieważ " × E(k, t) = 0,
a " exp [ik · r] = ik exp [ik · r]. Zatem mamy

1 "
d3k ik × E(k, t) + B(k, t) eik·r = 0, (5.2.11)
(2Ä„)3 "t
a stąd wynika, że prawo Faradaya w przestrzeni wektora falowego k ma postać
"
i[k × E(k, t)] = - B(k, t). (5.2.12)
"t
Na podstawie tego równania wnioskujemy, że w dowolnej chwili czasu t wektory k, E
oraz B tworzą układ prawoskrętny, gdyż
k × E = ÉB.
Transformaty Fouriera pozostałych dwóch równań Maxwella, ze względu na ich  sy-
metrię , można w zasadzie odgadnąć, gdyż sposób ich wyprowadzenia jest taki sam,
jak to przedstawiono powyżej. Ograniczymy się do podania ich postaci. Równanie
k · B(k, t) = 0 (5.2.13)
odpowiada równaniu (5.2.3), a z kolei odpowiednikiem równania (5.2.4) jest
"
ic2[k × B(k, t)] = E(k, t). (5.2.14)
"t
Na zakończenie tego zadania powróćmy jeszcze do wyrażenia opisującego transforma-
tÄ™ Fouriera pola elektrycznego (magnetycznego). Zgodnie z dyskusjÄ… przeprowadzonÄ…
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 179
w podrozdziale 2.1  Wybranych rozdziałów. . .  rozwiązanie równania falowego można
napisać w postaci

1
E(r, t) = d3k E(k, 0)ei(k·r-Ét) + E"(k, 0)e-i(k·r-Ét) . (5.2.15)
(2Ä„)3
W tym przypadku wyrażenie podcałkowe reprezentuje superpozycję dwóch fal pła-
skich biegnących w przeciwnych kierunkach. Pojawienie się wyrazu sprzężonego E"(k, 0)
gwarantuje, że pole elektryczne jest rzeczywiste.
BG AGH
180 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
PROBLEM 5.3
Wykaż, że miÄ™dzy funkcjÄ… È(x) a jej transformatÄ… Fo-
uriera Ć(k) zachodzi związek

" "
1
dx |È(x)|2 = dk |Ć(k)|2, (5.3.1)
-" -"
2Ä„
przy zaÅ‚ożeniu, że funkcja È(x) ma transformatÄ™
Fouriera.
Przedstawiony związek jest treścią twierdzenia Rayleigha Plancherela, które można
traktować jako szczególny przypadek równości Parsevala,

" "
1
"
dx F (x)G(x) = dk F"(k)G(k),
2Ä„
-" -"
gdzie funkcje F (x) oraz G(x) są całkowalne z kwadratem, natomiast F (k) oraz G(k)
sÄ… ich transformatami Fouriera.
Dość często spotykamy się z tym twierdzeniem w elektronice (np. w teorii sygna-
łów), ale również mamy z nim do czynienia w mechanice kwantowej. Wystarczy tylko
zauważyć, że gdy È(x) nadamy sens funkcji falowej czÄ…stki w reprezentacji poÅ‚ożenio-
wej, to wyraz po lewej stronie (5.3.1) opisuje prawdopodobieństwo znalezienia cząstki
w rzeczywistej przestrzeni jednowymiarowej. Z kolei funkcja Ć(k) odpowiada funk-
cji falowej w reprezentacji wektora falowego (reprezentacji  pędowej ). Tym samym
wyrażenie po prawej stronie tej równości można traktować jako prawdopodobieństwo
zmierzenia wektora falowego, gdy stan czÄ…stki jest opisany przez funkcjÄ™ falowÄ… È(x).
Zatem widzimy, że transformata Fouriera

"
1
È(x) = dk Ć(k)eikx. (5.3.2)
2Ä„
-"
umożliwia nam zmianę reprezentacji funkcji falowej.
Przepiszmy lewą stronę równości (5.3.1), wykorzystując definicję kwadratu modułu
funkcji È(x). PodstawiajÄ…c w miejsce funkcji È(x) oraz jej sprzężenia È"(x) transfor-
matę wyrażoną wzorem (5.3.2), dostajemy

" " " "
1 1
dx È"(x)È(x) = dx dk Ć"(k)e-ikx dk Ć(k )eik x .
2Ä„ 2Ä„
-" -" -" -"
Korzystając z twierdzenia Fubiniego o zmianie kolejności całkowania, przekształcamy
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 181
prawą stronę powyższego wyrażenia do postaci

"
dx È"(x)È(x) =
-"

" "
1 1
dk dk Ć"(k)Ć(k ) dx e-i(k-k )x . (5.3.3)
2Ä„ 2Ä„
-" -"
Zgodnie ze wzorem {2.193} z  Wybranych rozdziałów. . .  , wyrażenie występujące
w nawiasie klamrowym, to nic innego, jak jedna z możliwych reprezentacji delty Di-
raca. Zatem mamy

" " "
1
dx È"(x)È(x) = dk dk Ć"(k)Ć(k )´(k - k )
2Ä„
-" -" -"

"
1
= dk Ć"(k)Ć(k), (5.3.4)
2Ä„
-"
gdzie w pierwszej kolejności wykonaliśmy całkowanie po zmiennej k , korzystając
z własności delty Diraca wyrażonej wzorem {2.190} z  Wybranych rozdziałów. . .  .
Tym samym otrzymaliśmy prawą stronę równości (5.3.1).
BG AGH
182 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
PROBLEM 5.4
Odpowiedz
układu na zaburzenie typu delta Diraca
w chwili t = 0 może być reprezentowana przez funk-
cjÄ™ odpowiedzi Ç(t) opisanÄ… wyrażeniem
Ç(t) = Ç0 exp (iÉ0t) exp (-“t)H(t), (5.4.1)
gdzie H(t) jest funkcjÄ… Heaviside a.
Znajdz
funkcjÄ™ odpowiedzi zależnÄ… od czÄ™stoÅ›ci É.
W teorii liniowej odpowiedzi, każdy układ fizyczny jest traktowany jako tzw. czar-
na skrzynka. Jego własności można określać na podstawie odpowiedzi, którą otrzy-
mujemy po przyłożeniu do rozważanego układu zewnętrznego zaburzenia. Na przy-
kład w fizyce ciała stałego, badając własności transportowe, czy też magnetyczne
układu, wprowadzamy dla scharakteryzownaia układu pojęcie funkcji odpowiedzi.
I tak, w przypadku zaburzenia kryształu polem elektrycznym, wyjściu odpowiada
gęstość prądu elektrycznego, a funkcji odpowiedzi  przewodnictwo elektryczne (pra-
wo Ohma); przy zaburzeniu polem magnetycznym funkcją odpowiedzi jest podatność
magnetyczna, a odpowiedzią namagnesowanie. Podobnych przykładów można podać
znacznie więcej, ale dla nas istotne jest to, że funkcja odpowiedzi pojawia się w za-
gadnieniach nierównowagowej mechaniki statystycznej. W ogólnym przypadku teorii
liniowej odpowiedzi, związek przyczynowo-skutkowy można wyrazić wzorem
Ji(t) = Çij(t) " Xj(t), (5.4.2)
czyli odpowiedz
układu jest splotem funkcji odpowiedzi i zaburzenia.
Podobnie jak w poprzednich zadaniach, przyjmiemy niesymetrycznÄ… konwencjÄ™ dla
transformat Fouriera,

"
1
Å›(É) = F[Ç(t)] = dt Ç(t)e-iÉt. (5.4.3)
2Ä„
-"
PodstawiajÄ…c jawnÄ… postać funkcji Ç(t) do wzoru (5.4.3), dostajemy

"
1
Å›(É) = dt Ç0eiÉ0te-“tH(t) e-iÉt. (5.4.4)
2Ä„
-"
Z definicji funkcji Heaviside a (por. wzór {2.205} z  Wybranych rozdziałów. . .  ) wy-
nika, że jest ona równa jedności dla chwil t > 0, natomiast dla t < 0 jest równa
zeru. Wykres funkcji to  schodek jednostkowy , rozgraniczajÄ…cy sytuacjÄ™  niebytu
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 183
(dla t < 0) od  stanu ustalonego (dla t > 0). Dzięki temu całka po lewej stronie
wyrażenia danego wzorem (5.4.4) przyjmie postać

"
1
Å›(É) = Ç0 dt e-[“+i(É-É0)]t. (5.4.5)
2Ä„
0
Obliczenie wartości tej całki jest proste; poszukiwana funkcja odpowiedzi ma postać
1 Ç0
Å›(É) = . (5.4.6)
2Ä„i (É - É0) - i“
Wygodnie jest przekształcić to wyrażenie do postaci

1 “ É0 - É
Å›(É) = Ç0 + i , (5.4.7)
2Ä„ (É - É0)2 + “2 (É0 - É)2 + “2
gdzie oddzieliliśmy część rzeczywistą od urojonej.
BG AGH
184 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
PROBLEM 5.5
Niejednorodne równanie Helmholtza ma postać
["2 - µ2]È(r) = S(r), (5.5.1)
gdzie µ " R\{0}.
Zakładając, że interesującym nas rozwiązaniem jedno-
rodnego równania Helmholtza jest funkcja È0(r), znajdz

równanie caÅ‚kowe na funkcjÄ™ È(r). Przyjmij, że funkcje
È(r) i S(r) majÄ… transformaty Fouriera.
Równanie Helmholtza pojawia się dość często w różnych działach fizyki (por. punkt
C w podrozdziale 2.1 z  Wybranych rozdziałów. . .  ), dlatego też nie będziemy tutaj
omawiać jego kontekstu fizycznego, a raczej skupimy się na zastosowaniu techniki
transformat Fouriera do wyprowadzenia odpowiedniego równania całkowego. Dopiero
wówczas powrócimy do zagadnień fizycznych, nawiązując do mechaniki kwantowej.
WyrażajÄ…c w równaniu Helmholtza funkcje È(r) oraz S(r) przez ich transformaty
Fouriera

1
È(r) = d3k Ć(k)eik·r, (5.5.2)
(2Ä„)3

1
S(r) = d3k S(k)eik·r, (5.5.3)
(2Ä„)3
dostajemy po prostych przekształceniach wyrażenie w postaci

1
d3k (ik)2Ć(k) - µ2Ć(k) - S(k) eik·r = 0, (5.5.4)
(2Ä„)3
z którego wynika
- k2Ć(k) - µ2Ć(k) = S(k). (5.5.5)
Zatem widzimy, że zastosowanie techniki transformat Fouriera pozwoliło przekształcić
równanie Helmholtza w równanie algebraiczne, którego rozwiązaniem jest funkcja
S(k)
Ć(k) = - . (5.5.6)
µ2 + k2
W tym momencie dalsze postępowanie wydaje się intuicyjnie oczywiste. Transformu-
jemy obie strony równania (5.5.6) i w rezultacie otrzymujemy wyrażenie w postaci

1 S(k)
È(r) = - d3k eik·r. (5.5.7)
(2Ä„)3 µ2 + k2
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 185
Teraz powinniśmy wykonać jeszcze jeden krok pośredni, a mianowicie przetransfor-
mować funkcję S(k) do przestrzeni rzeczywistej, stosując odwrotną transformatę Fo-
uriera,


S(k) = d3r S(r )e-ik·r . (5.5.8)
Dzięki temu dostajemy równanie

1 eik·(r-r )
È(r) = d3r - d3k S(r ), (5.5.9)
(2Ä„)3 µ2 + k2
w którym zmieniliśmy kolejność całkowania.
Całkę w nawiasie klamrowym można policzyć metodą residuów (por. podrozdział 1.1
z  Wybranych rozdziałów. . .  ) po uprzednim przejściu do współrzędnych sferycznych
(por. problem 5.1). Po wykonaniu tego rachunku, otrzymujemy

1 e-µ|r-r |
G(r - r ) = - . (5.5.10)
4Ä„ |r - r |
UwzglÄ™dniajÄ…c rozwiÄ…zania jednorodnego równania Helmholtza, tj. È0(r), możemy
zapisać poszukiwane równanie całkowe w postaci

È(r) = È0(r) + d3r G(r - r )S(r ), (5.5.11)
gdzie jądro całkowe G(r - r ) jest dane wzorem (5.5.10).
Patrząc na to zadanie od strony formalnej, możemy powiedzieć, że znalezienie równa-
nia całkowego sprowadza się do problemu odwrócenia operatora różniczkowego. Jeżeli
lewÄ… stronÄ™ równania (5.5.1) oznaczymy przez L = "2 - µ2, to wówczas równanie
Helmholtza możemy zapisać symbolicznie jako
LÈ(r) = S(r), (5.5.12)
a stąd wynika, że
È(r) = L-1S(r). (5.5.13)
Operator odwrotny L-1, który  jak wynika z naszych dotychczasowych rozważań 
jest operatorem całkowym z jądrem danym przez G(r - r ), ma postać

L-1S(r) = d3r G(r - r )S(r ). (5.5.14)
Mnożąc z lewej strony to równanie przez operator L, otrzymujemy równość

LL-1S(r) = S(r) = d3r LG(r - r )S(r ). (5.5.15)
Zwróćmy uwagę, że ta równość będzie spełniona tylko wtedy, gdy jądro całkowe speł-
nia równanie
LG(r - r ) = ´(r - r ). (5.5.16)
BG AGH
186 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Wydaje się, że nie powinno być dla nas zaskoczeniem (por. dyskusję w podrozdziale
5.5.1 z  Wybranych rozdziałów. . .  ), że jądro całkowe to poprostu . . . funkcja Greena
 por. także problemy 5.23 5.27.
Na zakończenie tego zadania zastanówmy się chwilę nad uogólnieniem otrzymane-
go wyniku. Jeżeli niejednorodność S(r) przedstawimy w postaci iloczynu V (r)È(r),
gdzie V (r) jest  dobrze zachowującą się funkcją w tym sensie, że wartość całki po-
zostaje skończona, to wówczas nasze równanie (5.5.11) można zapisać w następujący
sposób

È(r) = È0(r) + d3r G(r - r )V (r )È(r ). (5.5.17)
Z kolei to równanie można rozwiązać metodą iteracyjną (por. podrozdział 5.2  Wy-
branych rozdziałów. . .  ). W fizyce, a w szczególności w kwantowej teorii rozpraszania
przedstawiona procedura przybliżania dokładnego rozwiązywania równania (5.5.17)
nosi nazwę przybliżenia Borna, zaś samo równanie nosi nazwę równania Lipmanna
Schwingera, oczywiÅ›cie, przy zaÅ‚ożeniu, że funkcja È0(r) jest akceptowalnym fizycznie
rozwiązaniem równania jednorodnego. Innymi słowy, równanie (5.5.17) to nic innego
jak reprezentacja całkowa równania Schrodingera wraz z odpowiednim warunkiem
brzegowym. Ten ostatni, to odpowiedni, jakościowy charakter, jakiego oczekujemy
od rozwiązań równania  funkcji falowych. Przypomnijmy, że dla stanów związanych
oczekujemy, iż w nieskończoności funkcja falowa dąży do zera (warunek całkowalno-
ści w kwadracie), natomiast w przypadku stanów rozproszeniowych oczekujemy, że
z dala od centrum rozpraszajÄ…cego, reprezentowanego przez funkcjÄ™ V (r), mamy do
czynienia z falą płaską.
Byłoby wspaniale, gdyby Czytelnik zastanowił się nad tym zadaniem w kontekście
mechaniki kwantowej i uzasadnił poczynione uwagi na ten temat oraz odpowiedział,
jaką  dobrze znaną  zasadę wyraża równanie Lipmana Schwingera?
BG ÄGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 187
PROBLEM 5.6
Wykaż, że transformata Laplace a splotu jest równa ilo-
czynowi transformat
[f(t) " g(t)] = [f(t)] [g(t)]. (5.6.1)
L L L
Na początek, przypomnijmy, że splotem dwóch funkcji rzeczywistych f(t) i g(t), które
są ciągłe w przedziale [0, t], dla t 0, nazywamy odwzorowanie przyporządkowujące
tym funkcjom, wyrażenie w postaci

t
" : f, g " R du f(t - u)g(u), (5.6.2)
0
które oznaczamy przez f(t) " g(t).
W celu wykazania równości (5.6.1), która nosi nazwę twierdzenia Borela o splocie,
rozważmy jej lewą stronę, którą zgodnie z definicją transformaty Laplace a zapiszemy


" " t
L [f(t)"g(t)] = dt e-st[f(t)"g(t)] = dt e-st du f(t-u)g(u) , (5.6.3)
0 0 0
gdzie wykorzystaliśmy podaną wcześniej definicję splotu  wzór (5.6.2).
Wyrażenie występujące po prawej stronie (5.6.3) przekształcimy zgodnie ze wzorem3,

b t b b
dt du h(t, u) = du dt h(t, u), (5.6.4)
a a a u
do postaci

" "
du dt e-stf(t - u)g(u)
0 u

" u
= du g(u) dt e-stf(t - u)
0 0

" "
= du g(u) dw e-s(u+w)f(w)
0 0

" "
= du e-sug(u) dw e-swf(w) . (5.6.5)
0 0
Otrzymany wynik to nic innego jak iloczyn g(s)f(s), czyli prawa strona (5.6.1). Zatem
wykazaliśmy, że transformata Laplace a splotu funkcji jest równa iloczynowi trans-
format Laplace a.
3
Wyprowadzenie tego wzoru, znajdzie Czytelnik w podręcznikach do analizy matematycznej, np.
G. M. Fichtenholtz:  Rachunek różniczkowy i całkowy , tom. 3, Wydawnictwa Naukowe PWN,
Warszawa 1995.
BG AGH
188 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
PROBLEM 5.7
Wykaż, że transformata Laplace a z funkcji okresowej,
f(t) = f(t + T ), gdzie T jest okresem funkcji f(t), wy-
raża się wzorem

T
1
[f(t)] = dt f(t)e-st. (5.7.1)
L
1 - e-sT 0
Już niejednokrotnie mieliśmy okazję, aby przekonać się o tym, że funkcje okresowe
stanowią wyjątkowo ważną klasę funkcji pojawiających się w różnych zagadnieniach
fizycznych. W tym zadaniu chcemy znalez
ć ogólną postać transformaty Laplace a
z funkcji okresowych. Należy jednak zaznaczyć, że transformata Laplace a nadaje się
przede wszystkim do badania funkcji określonych na półosi dodatniej.
Zgodnie z definicją, transformata Laplace a z funkcji f(t) wyraża się wzorem

"
L [f(t)] = dt e-stf(t). (5.7.2)
0
Całkę występująca po prawej stronie definicji (5.7.2) można przekształcić do postaci

" T "
dt e-stf(t) = dt e-stf(t) + dt e-stf(t), (5.7.3)
0 0 T
gdzie T  okres funkcji f(t) jest traktowany jako punkt podziału półprostej.
Zauważmy, że pierwsza z całek, znajdujących się po prawej stronie powyższej równości
występuje w wyrażeniu (5.7.1) dlatego też pozostawimy ją bez zmian. Dokonując
w drugiej całce zmiany zmiennych t = u + T , otrzymujemy

" "
du e-s(u+T )f(u + T ) = e-sT du e-suf(u), (5.7.4)
T 0
gdzie skorzystaliśmy z faktu, że funkcja f(u) jest okresowa.
Podstawiając otrzymany wynik do wyrażenia (5.7.3), dostajemy

T
1 - e-sT [f(t)] = dt e-stf(t), (5.7.5)
L
0
a stÄ…d, po obustronnym podzieleniu przez czynnik [1 - exp (-sT )], otrzymujemy
poszukiwany wynik.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 189
PROBLEM 5.8
Znajdz
rozwiązanie równania
[tf (t)] + tf(t) = 0, (5.8.1)
metodÄ… transformaty Laplace a. Przyjmij jednopunkto-
we warunki brzegowe w postaci f(0) = 1.
W podrozdziale 2.5 z  Wybranych rozdziałów. . .  poznaliśmy metodę rozwiązywania
równań różniczkowych drugiego rzędu, polegającą na szukaniu rozwiązania w postaci
szeregu Frobeniusa. Wówczas zaznaczyliśmy, że jest to standardowa metoda znaj-
dowania rozwiązania. Teraz pokażemy jak  pracuje technika transformat Laplace a
w zastosowaniu do rozwiązywania równań różniczkowych, na przykładzie równania
(5.8.1), które  jak Czytelnik zapewne zauważył  jest równaniem Bessela o wskaz
ni-
ku równym zeru.
Stosując przekształcenie Laplace a do obu stron równania (5.8.1), dostajemy

L [tf (t)] + tf(t) = 0. (5.8.2)
L
Zanim przejdziemy do dalszych rachunków, wprowadz
my oznaczenie na transformatÄ™
Laplace a z funkcji f(t), mianowicie [f(t)] = F (s). Całkując dwukrotnie przez
L
części, dostajemy


"

L [tf (t)] = dt e-st[tf (t)] = -s2F (s) + sF (s). (5.8.3)
0
Podobnie postępujemy z drugim wyrazem w równaniu (5.8.1) i w rezultacie mamy

L [tf(t)] = -F (s). (5.8.4)
Po podstawieniu otrzymanych wyników, tj. (5.8.3) i (5.8.4), do równania (5.8.2),
widzimy, że zastosowanie techniki tranformat Laplace a pozwoliło obniżyć rząd rów-
nania różniczkowego. Otrzymaliśmy liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu
o stałych współczynnikach w postaci,

(1 + s2)F (s) + sF (s) = 0. (5.8.5)
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja
1
F (s) = C " , (5.8.6)
1 + s2
BG AGH
190 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
gdzie C jest stałą, którą należy wyznaczyć z warunku początkowego.
W celu znalezienia oryginału, czyli funkcji f(t), należy wziąć obustronnie odwrotną
-1
transformatę Laplace a [F (s)] z wyrażenia (5.8.6). Zanim to jednak zrobimy, to
L
zauważmy, że funkcję F (s) można przekształcić do postaci
-1/2
C 1
F (s) = 1 + , (5.8.7)
s s2
a następnie rozwinąć ją w szereg (dwumianowy, o połówkowym wykładniku ujemnym
 por. wzór (4.4.18) w problemie 4.4) tak, że mamy
"

(2n)! 1
F (s) = C (-1)n . (5.8.8)
22n(n!)2 s2n+1
n=0
Przedstawienie funkcji F (s) w postaci szeregu wydaje siÄ™ o tyle bardziej przyjazne,
że obliczenie odwrotnej transformaty Laplace a odbywa się wyraz po wyrazie, przy
wykorzystaniu własności

1 t2n
-1
L = . (5.8.9)
s2n+1 (2n)!
Dzięki temu możemy napisać
2n
"

(-1)n t
-1
f(t) = [F (s)] = C . (5.8.10)
L
(n!)2 2
n=0
Szereg występujący po prawej stronie tego wyrażenia definiuje funkcję Bessela J0(t),
(por. wzór {2.54}  Wybranych rozdziałów. . .  ), a zatem mamy
f(t) = CJ0(t), (5.8.11)
przy czym stała C = 1. To ostatnie wynika z warunku f(0) = 1 podanego w temacie,
oraz z J0(0) = 1.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 191
PROBLEM 5.9
Nieskończenie długi walec o promieniu a jest zanurzony
w oÅ›rodku o staÅ‚ej temperaturze ¸0. W chwili poczÄ…tkowej
temperatura wszystkich punktów wewnętrznych walca wy-
nosiła
¸(r, t = 0) = 0; dla r < a.
Znajdz
temperaturÄ™ punktów walca ¸(r, t) metodÄ…
transformaty Laplace a.
Temperatura spełnia równanie przewodnictwa cieplnego (por. np. problem 3.10, w któ-
rym m.in. okreÅ›lony jest sens fizyczny staÅ‚ej º)

"¸(r, t) º " "¸(r, t)
= º ¸(r, t) = r . (5.9.1)
"t r "r "r
Jak widzimy, z operatora Laplace a, zapisanego we współrzędnych cylindrycznych,
pozostał tylko człon odpowiedzialny za zależność od współrzędnej radialnej. Warunki
brzegowe dla naszego rozwiÄ…zania to
¸(r, t = 0) = 0, r < a; ¸(a, t) = ¸0, t > 0. (5.9.2)
Definiujemy transformatÄ™ Laplace a szukanej temperatury jako
L


"
Ń(r, s) = ¸(r, t) = e-st¸(r, t) dt (5.9.3)
L
0
i poddajemy transformacie równanie (5.9.1) oraz drugi z warunków (5.9.2). Zwy-
czajne równanie różniczkowe dla Ń(r, s) ma postać
d2Ń 1 dŃ 1
+ - sŃ = 0, (5.9.4)
dr2 r dr º
z warunkiem
¸0
Ń(r = a, s) = . (5.9.5)
s
W równaniu (5.9.4) wprowadzamy4 nowÄ…, bezwymiarowÄ… zmiennÄ…, Á = r/a co pro-
wadzi do
d2Ń 1 dŃ a2 ¸0
+ - sŃ = 0, Ń(Á = 1, s) = . (5.9.6)
dÁ2 Á dÁ º s
4
Nie jest to operacja konieczna, ale zwykle zależy nam na  odwymiarowywaniu zmiennych. Za
chwilę zresztą wrócimy  ze względów czysto praktycznych  do starej zmiennej r. Najprościej po-
zbawimy zmienną radialną wymiaru mnożąc obie strony równania (5.9.4) przez a2.
BG AGH
192 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Równanie (5.9.6) identyfikujemy jako modyfikowane równanie Bessela o wskaz
ni-
ku 0 (por. wzory {4.84} i {4.85} oraz rysunek 4.5  Wybranych rozdziałów. . .  ). Jego
ogólnym rozwiązaniem będzie


s s
Ń(Á, s) = C1I0 a Á + C2K0 a Á . (5.9.7)
º º
Stałą C2 przyjmujemy równą zeru ze względu na osobliwość5 funkcji K0 dla r = 0;
stałą C1 wyliczamy z warunku (5.9.5)


s ¸0
Ń(Á = 1, s) = C1I0 a = .
º s
Ostatecznie  powracajÄ…c do zmiennej r  mamy

s
¸0 I0 r
º
Ń(r, s) = . (5.9.8)
s
s
I0 a
º
Pozostaje nam znalezienie transformaty odwrotnej

s

¸0 Å‚+i" I0 r ds
-1

¸(r, t) = (Ń(r, s)) = ets º . (5.9.9)
L
s
2Ä„i s
Å‚-i"
I0 a
º
Całkowanie odbywa się na płaszczyz
nie zespolonej Çs, po linii prostej, równolegÅ‚ej
do osi urojonej. Stała ł musi być tak dobrana, aby wszystkie osobliwości biegunowe
funkcji podcałkowej znajdowały się po lewej stronie prostej  wówczas prostą uzupeł-
niamy o  lewy półokrąg [zwrócony swą wypukłością w stronę ujemnej półosi (s)]
 por. rysunek 5.9.1  i całkę liczymy metodą residuów. Kluczową sprawą jest przy
tym zerowanie się całki konturowej po łuku półokręgu, przy jego promieniu dążącym
do nieskończoności. Zwykle takie znikanie całki po półokręgu przyjmujemy  z góry
za zagwarantowane  gdyż w przeciwnym przypadku nie można by było zastosować
rachunku residuów do liczenia całki wzdłuż prostej. Spróbujmy prześledzić tę kwestię
nieco dokładniej. Jak wynika z rysunku 5.9.1 naszym konturem całkowania będzie
praktycznie  lewy półokrąg, którego średnica leży na osi urojonej.Znikanie całki
konturowej po łuku półokręgu, przy promieniu półokręgu zmierzającym, jest konse-
kwencjÄ…, odpowiednio zmodyfikowanego, lematu Jordana. Ten ostatni (por. podroz-
dział 1.1  Wybranych rozdziałów. . .   rysunek 1.2 i przypis na stronie czwartej)
gwarantuje znikanie analogicznej całki z funkcji

lim f(Å›)eiÄ…Å› dÅ› = 0; Ä… > 0 (5.9.10)
R"
CR
5
Osobliwość ta dotyczy wprawdzie nie szukanego rozwiązania, ale jego transformaty Laplace a.
Z prezentowanego w dalszym ciągu rachunku wynika niezbicie, że taka  osobliwa transformata daje
 po odwróceniu  równie  osobliwy oryginał.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 193
Rysunek 5.9.1: Kontur na płaszczyz
nie Cs do obliczeń całki (5.9.9) i (pierwsze trzy)
bieguny funkcji podcałkowej, związane z kwadratami zer funkcji J0
dla półokręgu CR położonego w górnej półpłaszczyz
nie zespolonej, (Å›) 0, pod
warunkiem, że granicą funkcji f(ś) przy ś " jest zero. Kontur na rysunku 5.9.1
powstaje z konturu z rysunku 1.2  Wybranych rozdziałów. . .  w wyniku obrotu tego
ostatniego konturu o kąt Ą/2. Zamiast jednak obracać kontur CR z rysunku 1.2 o kąt
Ą/2 możemy obrócić płaszczyznę Cś o kąt -Ą/2, a więc dokonać transformacji
ś e-iĄ/2ś = -iś,
co przekształca całkę (5.9.10) w

lim f(Å›)eiÄ…(-iÅ›) dÅ› = lim f(Å›)eÄ…Å› dÅ› = 0; Ä… > 0. (5.9.11)
R" R"
CR CR
Tak więc uogólniony lemat Jordana pozwala wyrokować o znikaniu całki po  lewym
półokręgu na płaszczyz
nie Çs, o ile towarzyszÄ…ca eksponencie ets funkcja f(s)  por.
wzór 5.9.9  zachowuje się odpowiednio przy s "; (s) 06. Tak jest w naszym
przypadku  zapewnia to ułamek 1/s w (5.9.9). W funkcji podcałkowej występuje
6
Upraszczając nieco wywód: w lemacie Jordana o znikaniu całki po  górnym półokręgu decydo-
wała część rzeczywista wykładnika eksponenty eiąz (z = x + iy)  a więc e-y, gdzie y było nieujemne
(górna półpÅ‚aszczyzna). W caÅ‚ce (5.9.9) analogiczny wykÅ‚adnik to t · (s). Dla lewej półpÅ‚aszczy-
zny mamy (s) 0, a zmienna czasowa t jest większa od zera  tak więc i tutaj rzeczywista część
wykładnika jest niedodatnia.
B"
A"
H
194 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
jeszcze stosunek dwóch funkcji I0

s
I0 r
º
, (5.9.12)
s
I0 a
º
którego granica, przy zmiennej s zmierzającej do nieskończoności w lewej półpłasz-
czyz
nie Çs powinna być staÅ‚a. Podpowiada nam to . . . pragmatyzm, intuicja, ale jeżeli
chcemy te nie do końca naukowe argumenty zweryfikować, to możemy zawsze posłu-
żyć się reprezentacją funkcji I0(z) (z  zmienna zespolona, bez żadnych ograniczeń7)
w postaci szeregu
k
1
"
z2

4
I0(z) = 1 + . (5.9.13)
(k!)2
k=1
Ponieważ w liczniku (5.9.12) argument funkcji I0 zawiera mnożnik r, a w mianowniku
 a, przy czym r a możemy być spokojni, że stosunek (5.9.12) na lewym półokręgu
zmierza, przy promieniu półokręgu rosnącym nieograniczenie, do zera (ewentualnie
do 1, dla r = a). Dlatego

îÅ‚ Å‚Å‚
s

I0 r

ïÅ‚ śł
1
-1
ïÅ‚

¸(r, t) = Ń(r, s) = Res ets º ; s = skśł . (5.9.14)
L
ðÅ‚ ûÅ‚
s
s
k
I0 a
º
Przyjrzyjmy się osobliwościom  punktom s = sk  funkcji podcałkowej w (5.9.9).
Funkcja ta

s
I0 r
1

f(s) = ets º
s
s
I0 a
º
ma oczywiście biegun pierwszego rzędu w s = 0, z residuum równym jedności (nie
zapominajmy  I0(0) = 1). Kolejne osobliwości to punkty, w których może się zerować

s
I0 a , występujące w mianowniku ułamka. Na pierwszy rzut oka wydaje się to
º
niemożliwe  z wspomnianego już rysunku 4.5  Wybranych rozdziałów. . .  wynika
przecież, że funkcja I0(x) nie ma miejsc zerowych! Ale nie zapominajmy, że jesteśmy
na płaszczyz
nie zespolonej i że dla argumentu czysto urojonego mamy
I0(ix) = J0(x). (5.9.15)
7
Niestety, nie możemy użyć wzoru {4.90}, podającego asymptotykę funkcji I0 dla czysto rzeczywi-
stego argumentu x, przy x ". Rozszerzenie tego wzoru na płaszczyznę zespoloną, dla I0 = I0(z)
jest poprawne tylko dla | arg(z)| Ä„/2.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 195

s
Z tej ostatniej relacji wynika, że funkcja I0 a będzie równa zeru dla argumentu
º

s Ä…2
0k
i a = Ä…0k, albo s a" sk = - º; k = 1, 2, . . .
º a2
 bieguny funkcji podcałkowej w (5.9.9) leżą (por. rysunek 5.9.1) na ujemnej półosi
rzeczywistej pÅ‚aszczyzny Çs, w punktach, które sÄ… ujemnymi kwadratami zer Ä…0k
funkcji Bessela J0,  skalowanymi jednostkami8 a2/º. SÄ… to  jak zawsze w przypadku
funkcji Bessela  bieguny pierwszego rzędu, bo pochodna funkcji J0 to (z dokładnością
do stałego czynnika) funkcja J1, a jak wiemy zera funkcji Bessela o różnych (kolejnych)
wskaz
nikach nigdy siÄ™ nie przekrywajÄ… (por. problem 4.8). Na rysunku 5.9.1 na
ujemnej osi rzeczywistej zmiennej s zaznaczyliśmy kwadraty pierwszych trzech zer
funkcji Bessela J0  bieguny funkcji podcałkowej w (5.9.9). Residua we wszystkich
biegunach, z wyjątkiem s = 0, policzymy najprościej jako

îÅ‚ Å‚Å‚
s
I0 r
ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚

Res ets º ; s = skśł
ðÅ‚ ûÅ‚
s
s
I0 a
º

îÅ‚ Å‚Å‚
s
I0 r
2
ïÅ‚ śł
1 Ä…0k
ïÅ‚

= Res ets º ; s = sk = - º; k = 1, 2, . . .śł
ðÅ‚ ûÅ‚
s
s a2
I0 a
º

r

Ä…2 J0 Ä…0k 1
a
0k

= - exp -º t a2 · . (5.9.16)
2
a2 º · Ä…0k d I0 s
a
Ä…2
ds º 0k
s=sk=- º
a2
Policzenie pochodnej nie jest trudne, chociaż wymaga zmiany zmiennej. Mamy

s

= x
d s a2
º

I0 a = = J1(Ä…0k). (5.9.17)

d 1 d
ds º 2ºÄ…0k
s=sk
= "
ds 2 ºs dx
(W obliczeniach korzystamy z relacji rekurencyjnej {R1} dla funkcji Bessela.) Uwzględ-
niajÄ…c (5.9.16) i (5.9.17) (i nie zapominajÄ…c o jednostkowym residuum dla s = 0!),
otrzymujemy ostateczną postać wzoru (5.9.14), który daje nam szukane rozwiązanie

îÅ‚ Å‚Å‚
r

J0
" Ä…0k
2

ïÅ‚
ą0k śł
a
śł
¸(r, t) = ¸0 ïÅ‚1 - 2 exp -º t . (5.9.18)
ðÅ‚
Ä…0kJ1 (Ä…0k) a2 ûÅ‚
k=1
8
Jeżeli Czytelniku zastanawiasz się przypadkiem nad problemem jednostek, to zauważyłeś z pew-
nością, że jednostka zmiennej zespolonej s ma wymiar, będący odwrotnością wymiaru czasu. To
tylko konsekwencja bezwymiarowego iloczynu st lub ts w jądrze całkowym transformaty Laplace a
i jej transformaty odwrotnej.
BG AGH
196 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Zgodnie z tym, czego można było oczekiwać, zależność radialna wyraża się poprzez
funkcję cylindryczną Bessela J0. Przebieg czasowy to  również zgodnie z oczekiwania-
mi  typowa dla fizycznych zjawisk zależność typu [1 - exp(-t/Ä)], gdzie Ä odgrywa
rolÄ™ czasu charakterystycznego problemu (u nas Ä a" Äk = a2/(Ä…2 º).
0k
Oczywiście, problem ten można rozwiązać, stosując standardową technikę separacji
zmiennych. Wymaga to pewnej drobnej zmiany niewiadomej funkcji. Zamiast ¸(r, t)
użyjemy
Åš(r, t) = ¸0 - ¸(r, t) a" R(r)T (t). (5.9.19)
Równanie (5.9.1) rozpadnie się na dwa równania: proste równanie pierwszego rzędu
dla funkcji T (t) oraz zwykłe równanie Bessela o wskaz
niku zero dla R(r), z warunkiem
R(r = a) = 0, który wygeneruje ortogonalny i zupełny zbiór funkcji J0(ą0kr/a). Tego
ostatniego trzeba bÄ™dzie użyć do rozwiniÄ™cia funkcji Åš(r, t = 0) = ¸0. NiewÄ…tpliwie,
technika separacji zmiennych dostarczy nam rozwiÄ…zania (5.9.18) szybciej i kosztem
mniejszego wysiłku. Ale jeżeli ktoś lubi niebanalne rachunki, to zaprezentowana tutaj
technika transformaty Laplace a sprawi mu z pewnością więcej satysfakcji.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 197
PROBLEM 5.10
Rozpatrujemy półnieskończony ośrodek jednorodny, ograni-
czony płaszczyzną x = 0. W chwili początkowej (t = 0)
temperatura wszystkich punktów ośrodka była równa zeru,
natomiast płaszczyzna graniczna x = 0 jest utrzymywana
caÅ‚y czas w temperaturze ¸0. Znajdz
temperaturę punktów
oÅ›rodka, ¸ = ¸(x, t), metodÄ… transformaty Laplace a.
Tak jak w problemie 5.9 mamy do rozwiązania równanie przewodnictwa cieplnego
"¸(x, t) "2¸(x, t)
= º . (5.10.1)
"t "x2
StaÅ‚a º to współczynnik przewodnictwa cieplnego. Warunki brzegowe dla naszego
rozwiÄ…zania to
¸(x, t = 0) = 0, x > 0; ¸(0, t) = ¸0, t > 0. (5.10.2)
Definiujemy transformatÄ™ Laplace a szukanej temperatury jako
L


"
Ń(x, s) = ¸(x, t) = e-st¸(x, t) dt (5.10.3)
L
0
i poddajemy transformacie równanie (5.10.1) oraz drugi z warunków (5.10.2). Zwy-
czajne równanie różniczkowe dla Ń(x, s) ma postać
d2Ń(x, s) s
= Ń(x, s), (5.10.4)
dx2 º
z warunkiem
¸0
Ń(x = 0, s) = , (5.10.5)
s
a jego rozwiązaniem będzie
¸0 "
Ń(x, s) = e-x s/º. (5.10.6)
s
Drugie rozwiązanie z dodatnim wykładnikiem w funkcji wykładniczej odrzucamy 
temperatura ¸(x, t) dla x " musi dążyć do zera, a to narzuca analogiczny warunek
na jej transformatę Ń(x, s).
W tym momencie można zaglądnąć do tablic odwrotnej transformaty Laplace a. Na-
wet w tych stosunkowo skromnych powinniśmy znalez
ć bez trudu, że transformata
odwrotna funkcji określonej w (5.10.6) to


x
-1
¸(x, t) = Ń(s, t) = ¸0erfc " , (5.10.7)
L
2 ºt
BG AGH
198 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
gdzie erfc(z) to dopełnienie funkcji błędu (por. {1.142}).
To, że taka transformata odwrotna będzie ława do wyszukania w tablicach wynika z
 popularności sytuacji fizycznej, opisanej w temacie tego problemu. Bardzo często
zdarza się, że  na wejściu do niezaburzonego ośrodka o stałej temperaturze (albo
o stałym stężeniu pewnego składnika  równania rządzące procesami przewodnictwa
cieplnego i procesami dyfuzji są przecież identyczne) pojawia się, skokowo, stały sy-
gnał (temperatura, stężenie). Właśnie z uwagi na wagę tego problemu spróbujmy
wyprowadzić wzór (5.10.7), obliczając transformatę odwrotną metodą całki kontu-
rowej. Wiemy, że



"
¸0 Å‚+i" s ds ¸0 Å‚+i" ds
-1
L Ń(s, t) = exp ts - x a" exp ts - b s ,
2Ä„i º s 2Ä„i s
Å‚-i" Å‚-i"
(5.10.8)
"
gdzie podstawiliÅ›my b = x/ º.
Całkujemy po prostej równoległej do osi urojonej Cs i umieszczonej tak, aby wszystkie
Rysunek 5.10.1: Kontur na płaszczyz
nie Çs do obliczeÅ„ caÅ‚ki (5.10.8)
osobliwości funkcji podcałkowej znajdowały się po lewej stronie tej prostej. Zgodnie
z praktyką, prostą  uzupełniamy do konturu zamkniętego, ale z uwagi na niejedno-
znaczność funkcji podcałkowej (pierwiastek!) musimy wybrać nasz kontur w specjalny
sposób. Będzie to kontur jak na rysunku 5.10.1, w którym  lewy półokrąg rozdzie-
liliśmy na dwa segmenty  górny i dolny, uzupełnione przez linię cięcia (odcinki CD
i EF na rysunku) wzdÅ‚uż ujemnej osi urojonej i maÅ‚y okrÄ…g CÁ, który obiega punkt
BG A"
H
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 199
"
s = 0, punkt rozgałęzienia s (por. podrozdział 1.1.1  Wybranych rozdziałów. . .  ).
Całki po górnym i dolnym segmencie półokręgu znikają przy promieniu półokręgu
dążącym do nieskończoności. Wiemy już (por. problem 5.9), że aby to uzasadnić,
wystarczy wykazać
"
1
lim exp -b s = 0. (5.10.9)
s"; (s) 0 s
Czynnik 1/s rodzi duże nadzieje, ale pozostaje weryfikacja zachowania się funkcji
wykładniczej. Mamy

"

" "
Ć Ć Ć
e-b s 1 1


= s = ReiĆ = e-b R(cos 2 +i sin 2 ) = e-b R cos 2 .


s ReiĆ R
Na łuku BC mamy Ć " [Ą/2, Ą], a więc Ć/2 " [Ą/4, Ą/2]; po obejściu punktu s = 0
argument s zmienia się o -2Ą i dlatego na łuku FA Ć " [-Ą, -Ą/2] albo Ć/2 "
[-Ą/2, -Ą/4]. Wartość kosinusa Ć/2 jest więc w obu przypadkach dodatnia (nieujem-
na), co gwarantuje
"
" Ć
1 1
lim exp -b s = lim e-b R cos 2 = 0. (5.10.10)
s"; (s) 0 s R" R
Ponieważ wewnątrz tak skonstruowanego konturu funkcja podcałkowa nie ma żadnych
osobliwości całka konturowa jest równa zeru, co prowadzi do

Å‚+i" " " "
"
exp ts - b s ds + ets-b s ds + ets-b s ds + ets-b s ds
Å‚-i" CD EF CÁ
a" I + I1 + I2 + I3 = 0. (5.10.11)
Całka I1 (górna granica cięcia) przy podstawieniu s = eiĄR; ds = ieiĄdR prze-
ksztaÅ‚ca siÄ™ (przy R " oraz przy Á 0) w

"
"
dR
I1 e-Rte-ib R ;
R
0
podobnie  dla dolnej granicy cięcia, podstawienie s = e-iĄR; ds = -ie-iĄdR 
otrzymujemy

"
"
dR
I2 - e-Rteib R .
R
0
Obie te całki możemy połączyć, pozbywając się jednocześnie pierwiastka przez pod-
stawienie R = k2; dR = 2kdk. Daje to

" "
" "
dR 2 sin bk
I1 + I2 - e-Rt eib R - e-ib R = -4i e-k t dk.
R k
0 0
CaÅ‚ka po maÅ‚ym okrÄ™gu CÁ, przy Á 0 daje (por. {1.7} i dalsze obliczenia w  Wy-
branych rozdziałach. . .  )

Ä„
I3 i dĆ = 2Ąi.
-Ä„
BG AGH
200 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Uwzględniając te wyniki w (5.10.11), dostajemy


"
Ń0 2 2 sin bk
-1
I = Ń(s, t) = Ń0 1 - e-k t dk . (5.10.12)
L
2Ä„i Ä„ k
0
Nasze zabiegi przekształciły wyjściową całkę (5.10.8) w . . .  zwykłą całkę, która nie
wyglÄ…da zbyt przyjaz
nie. Musimy uciec się do zdobytych już wiadomości, połączonych
z pewnym zgrabnym trikiem. Całka w (5.10.12) kojarzy nam się z całką (3.10.19)
z problemu 3.10

"

"
Ä„ -b2
"
Ib a" exp(-tk2) cos bk dk = exp t > 0. (5.10.13)
4tz
0 2 t
Konkretnie, całkę

"
2 sin bk
e-k t dk
k
0
można otrzymać drogÄ… . . . caÅ‚kowania caÅ‚ki (5.10.13) wzglÄ™dem parametru b a" ² od
² = 0 do ² = b. Zobaczmy


b "
exp(-tk2) cos ²k dk d² = . . . caÅ‚kujemy pod znakiem caÅ‚ki. . .
0 0
²=b
" "
1 2 sin bk
= exp(-tk2) sin ²k dk = e-k t dk.
k k
0 0
²=0
Jeżeli tak, to wartość naszej całki w (5.10.12) obliczymy, całkując w identyczny
sposób prawą stronę równości (5.10.13) Prowadzi to do

"

" b
2 sin bk Ä„ -²2
e-k t dk = " exp d²
k 4t
0 0 2 t

2
b
"
² ²
= Ä„ exp - " d "
0 2 t 2 t
(5.10.14)
"
b
= ²/2 t = u; ² = b u = "
2 t
b
"
Ä„ 2 2 Ä„ b Ä„ x
2 t
" "
= · " e-u du = erf = erf .
2 Ä„ 2 2
0 2 t 4ºt
W ostatnim wierszu wykorzystaliśmy definicję funkcji erf(x)  wzór {1.142}  Wybra-
nych rozdziałów. . .  . Pozostaje już tylko podstawić wynik uzyskany w (5.10.14) do
(5.10.12)


2 Ä„ x x
-1
" "
L Ń(s, t) = ¸0 1 - · erf = ¸0erfc , (5.10.15)
Ä„ 2
4ºt 4ºt
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 201
w zgodzie z postulowanym (na podstawie tablic) wyrażeniem (5.10.7).
Dyskutowany, a właściwie pracowicie  policzony problem stanowi znakomitą apolo-
gię naszych trudów, poniesionych przy opanowaniu techniki liczenia całek metodami
residuów. Rachunki na etapie transformaty  wprost są prawie banalne; rachunki
transformaty odwrotnej odwołują się już do sporych umiejętności i wiadomości mate-
matycznych. Poniesiony trud  oprócz satysfakcji  pozwala jednak dobrze zrozumieć,
skąd w tym rzeczywiście  ważnym problemie fizycznym pojawia się jako rozwiązanie
twór dość egzotyczny  dopełnienie funkcji błędu, erfc(x)9.
9
Bardzo pouczające jest także wyprowadzenie wzoru (5.10.7) przez zastąpienie stałego (w czasie)
z
ródła ciepła (stężenia) w x = 0 superpozycją nieskończonej liczby punktowych (w czasie i przestrzeni)
z
ródeł, umieszczonych na ujemnej półosi x < 0. Dla takich z
ródeł typu dirakowskiej delty rozwiąza-
niem równania (5.10.1) jest krzywa gaussowska; tak więc dla superpozycji z
ródeł będziemy mieli do
czynienia z funkcjami błędu. Por. http://www.ftj.agh.edu.pl/<"lenda/transport/adendum.pdf.
BG AGH
202 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
PROBLEM 5.11
Ciężka cząstka o masie m porusza się w cieczy lekkich
cząstek, które ją potrącają w sposób przypadkowy. Pod
wpływem tych uderzeń rozważana cząstka ulega przy-
spieszeniu, zgodnie z równaniem

mć(t) = -Å‚0‹(t) + Õn´(t - tn), (5.11.1)
n
gdzie ł0 jest współczynnikiem tarcia dla siły tarcia pro-
porcjonalnej do prÄ™dkoÅ›ci, natomiast Õn jest miarÄ… siÅ‚y
popchnięć.
Zakładając, że w chwili początkowej t = 0 cząstka znaj-
duje się w położeniu x(0) = x0, a jej prędkość wynosi
‹(0) = 0, znajdz
równanie ruchu x(t) metodą transfor-
mat Laplace a.
Ruch ciężkiej cząstki zanurzonej w cieczy lekkich cząstek, które zderzają się z nią loso-
wo jest najstarszym i najlepiej znanym w fizyce przykładem procesu stochastycznego.
Zjawisko to zostało zaobserwowane po raz pierwszy w XIX wieku przez R. Browna
 angielskiego botanika, który zauważył, że pyłek roślinny zawieszony w wodzie nie
pozostaje w miejscu, lecz wykonuje złożone ruchy. Badania J. Perrina nad tymi ru-
chami potwierdziły atomową hipotezę budowy materii, a niezależne prace teoretyczne
prowadzone przez A. Einsteina i M. Smoluchowskiego na poczÄ…tku XX wieku pozwo-
liły zrozumieć naturę tego zjawiska. Ogólnie można powiedzieć, że przyczyną ruchów
Browna jest cieplny ruch cząstek cieczy, w której jest zanurzona ciężka cząstka. Więcej
szczegółów na ten temat Czytelnik zapewne pozna podczas wykładów fizyki staty-
stycznej.
Równanie (5.11.1) jest równaniem Newtona, w którym prawa strona odpowiada sile
stochastycznej działającej na cząstkę. Dzieląc to równanie obustronnie przez masę m,
dostajemy

ć(t) = -²‹(t) + Åšn´(t - tn), (5.11.2)
n
gdzie ² = Å‚0/m, natomiast Åšn = Õn/m.
Zanim przystąpimy do rozwiązania równania (5.11.2) techniką transformaty Lapla-
ce a, to wcześniej wyznaczymy transformaty Laplace a poszczególnych wyrazów w tym
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 203
równaniu. Tak więc transformata Laplace a wyrazu po lewej stronie ma postać
L [ć(t)] = -sx(0) - ‹(0) + s2X(s), (5.11.3)
gdzie X(s) = [x(t)].
L
Z kolei transformata Laplace a pierwszego wyrazu po prawej stronie równania (5.11.2)
to
L [‹(t)] = -x(0) + sX(s) (5.11.4)
i w końcu transformata Laplace a z ostatniego wyrazu po prawej stronie równania
(5.11.2) ma postać

L [ Åšn´(t - tn)] = Åšn [´(t - tn)] = Åšne-stn. (5.11.5)
L
n n n
Biorąc obustronnie transformatę Laplace a z równania (5.11.2), dostajemy

L [ć(t)] = -² [x(t)] + Åšn [´(t - tn)]. (5.11.6)
L L
n
Po podstawieniu wyrażeń (5.11.3-5.11.5) do równania (5.11.6) i wykorzystaniu wa-
runków początkowych otrzymujemy następujące równanie algebraiczne

s2X(s) - sx0 = ²x0 - ²sX(s) + Åšne-stn, (5.11.7)
n
którego rozwiązaniem jest funkcja
x0s ²x0 e-stn
X(s) = + + Åšn . (5.11.8)
s(s + ²) s(s + ²) s(s + ²)
n
W celu znalezienia rzeczywistego równania ruchu rozpatrywanej cząstki, musimy po-
liczyć odwrotną transformatę Laplace a z równania (5.11.8)


1 1 e-stn
-1 -1
x(t) = L x0 + ² x0 + Åšn -1 . (5.11.9)
L L
s + ² s(s + ²) s(s + ²)
n
Znalezienie równań ruchu wymaga wyznaczenia oryginałów z wyrazów znajdujących
się po prawej stronie równania (5.11.9). Odwrotna transformata Laplace a dla pierw-
szego wyrazu z prawej strony tego równania ma postać

1
-1
L = e-²t. (5.11.10)
s + ²
Do obliczenia transformaty odwrotnej kolejnego składnika zastosujemy metodę roz-
kładu na ułamki proste, zgodnie z którą mamy

1 1 1 1 1
-1 -1
L = L - = 1 - e-²t . (5.11.11)
s(s + ²) ² s s + ² ²
BG A
H
204 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Z kolei wyznaczenie oryginału z ostatniego składnika w (5.11.9) wymaga zastosowania
metody residuów zgodnie ze wzorem


1
-1
L [G(s)] = ds estG(s) = Res G(s)est; s = si , (5.11.12)
2Ä„i
i=1
przy czym residuum funkcji w punkcie si obliczamy na podstawie wzoru

1 dk-1
Res G(s)est; s = si = lim (s - si)kG(s)est . (5.11.13)
ssi
(k - 1)! dsk-1
Nasza funkcja G(s) [trzeci składnik prawej strony równania (5.11.9)] ma dwa bie-
guny pierwszego rzÄ™du: s1 = 0 oraz s2 = -², bÄ™dÄ…ce miejscami zerowymi równania
s(s + ²) = 0. Zastosowanie wzoru (5.11.13) daje nam, o czym siÄ™ Å‚atwo przekonać,
dla s = 0 przyczynek Res[G(s) exp (st); s1 = 0] = ²-1, natomiast dla s = -², dosta-
jemy przyczynek Res[G(s) exp (st); s2 = -²] = -²-1 exp [-²(t - tn)]. StÄ…d wynika,
że równanie ruchu dla cząstki Browna ma postać


1
x(t) = x0 + Õn 1 - e-²(t-tn) . (5.11.14)
Å‚0 n
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 205
PROBLEM 5.12
Podaj warunek zbieżności dla iteracyjnego rozwiązania
równania całkowego w postaci

"
im
È(x) = eikx - dx eik|x-x |V (x )È(x ), (5.12.1)
2
-"
k
gdzie potencjał V (x) przyjmuje wartość V0 wewnątrz prze-
działu [-a/2, a/2], a na zewnątrz tego przedziału jest toż-
samościowo równy zeru.
Równanie (5.12.1) to nic innego jak całkowa postać jednowymiarowego równania
Schrödingera ze staÅ‚ym potencjaÅ‚em V0 znikajÄ…cym na zewnÄ…trz przedziaÅ‚u [-a/2, a/2],
która w kwantowej teorii rozpraszania funkcjonuje pod nazwą równania Lippmana
Schwingera. Jak dobrze wiemy, na podstawie podrozdziału 5.1 z  Wybranych roz-
działów. . .  , jest to równanie Fredholma drugiego rodzaju, które formalnie zapiszemy
w postaci

a/2
È(x) = Ć0(x) +  dx K(x, x )È(x ). (5.12.2)
-a/2
Jedną z podstawowych technik rozwiązywania tego typu równań całkowych jest me-
toda iteracyjna, dzięki której dostajemy jednoznaczne rozwiązanie w postaci szeregu
Neumanna pod warunkiem, że jądro równania całkowego (5.12.2) jest całkowalne
z kwadratem, tzn.

a/2 a/2
dx dx |K(x, x )|2 = B2, (5.12.3)
-a/2 -a/2
a występujący w równaniu (5.12.2) parametr  spełnia nierówność
1
|| < , (5.12.4)
B
gdzie B jest pewną skończoną liczbą.
Porównując równania (5.12.1) i (5.12.2) możemy zidentyfikować jądro całkowe jako
K(x, x ) = exp (ik|x - x |),
natomiast parametr  ma postać
2
 = i[mV0/( k)].
BG AGH
206 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Z warunku (5.12.3) wynika, że B2 = a2, natomiast z nierówności (5.12.4), mamy
mV0 1
< , (5.12.5)
2
k a
skąd, po uwzględnieniu k = p = mv otrzymujemy równoważny warunek w postaci
V0a
< 1. (5.12.6)
v
Ten wynik oznacza, że przy wysokich energiach, gdy energia kinetyczna wyraz
nie
przewyższa energię potencjalną, metoda iteracyjna daje dokładne wyniki, tzn. szereg
Neumanna jest zbieżny.
Kryterium dane wzorem (5.12.6) można stosunkowo łatwo uogólnić na przypadek po-
tencjału V (x). W tym celu należy zastąpić licznik wyrażenia danego wzorem (5.12.6)
przez wartość średnią z potencjału V (x), zgodnie ze wzorem

"
1
V = dx V (x). (5.12.7)
a
-"
Do zilustrowania tego wyniku posłużymy się potencjałem krótkozasięgowym, mode-
lowanym przez deltÄ™ Diraca scentrowanÄ… w punkcie x = 0, czyli V (x) = V ´(x). A
atwo
zauważyć, że po skorzystaniu z własności {2.187} z  Wybranych rozdziałów. . .  na-
tychmiast odtwarzamy kryterium (5.12.6).
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 207
PROBLEM 5.13
Oblicz w pierwszym przybliżeniu Borna różniczkowy prze-
krój czynny na rozpraszanie cząstek na potencjale Yukawy.
Rozpraszanie cząstek na różnego rodzaju obiektach mikroskopowych dostarcza nam
informacji na temat ich struktury. Oczywiście z  rachunkowego punktu widzenia
obiekt mikroskopowy jest modelowany przez odpowiednio dobrany potencjał10. I tak,
Yukawa poszukując wyjaśnienia krótkozasięgowego charakteru oddziaływań między
nukleonami w jądrach, pokazał, że potencjał typu
e-r/R
V (r) = g2 (5.13.1)
r
jest możliwie najprostszym przybliżeniem tego typu oddziaływań. W teorii jądra ato-
mowego, parametr R jest zasięgiem działania sił jądrowych i można go wyrazić jako
/(mpc), gdzie mp jest masą cząstki odpowiedzialnej za przenoszenie oddziaływań
między nukleonami w jądrze, z kolei g2 jest stałą sprzężenia dla tego oddziaływania.
W mechanice kwantowej opis rozpraszania najwygodniej jest przeprowadzić opierając
się na równaniu całkowym Lipmanna Schwingera,

m eip|r-r |/
È(r) = eip·r/ - d3r V (r )È(r ). (5.13.2)
2Ä„ 2 |r - r |
W typowym eksperymencie rozproszeniowym przyjmujemy, że detektor znajduje się
z dala od centrum rozpraszajÄ…cego, tak jak to przedstawiono na rysunku 5.13.2.
Uwzględnienie tego przybliżenia w równaniu (5.13.2) oznacza, że długość wektora
r - r jest w przybliżeniu równa odległości r pomniejszonej o rzut r na kierunek r,
tzn. |r-r | H" r-r ·nr, gdzie nr jest wersorem wzdÅ‚uż kierunku wyznaczonego przez
wektor r. Zastosowanie tego wyrażenia do wykładnika eksponenty pod znakiem całki
można interpretować jako różnice fazowe pomiędzy falami docierającymi z różnych
punktów leżących wewnątrz obszaru rozpraszania. W mianowniku wyrażenia podcał-
kowego przyjmiemy, że |r - r | H" r, co z kolei oznacza iż zakładamy, że osłabianie
fal dochodzących do detektora z różnych punktów leżących wewnątrz obszaru rozpra-
szania jest jednakowe. Po zastosowaniu tych przybliżeń, równanie (5.13.2) przyjmie
postać11

m eikr
È(r) H" eik·r + - d3r e-ik ·r V (r )È(r ) , (5.13.3)
2Ä„ 2 r
10
Por. także problem 4.7 i 5.1.
11
W literaturze można spotkać się z określeniem postać asymptotyczna równania Lippmana
Schwingera.
BG AGH
208 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Rysunek 5.13.2: Typowy ekperyment rozproszeniowy: padająca fala płaska
i rozbiegajÄ…ca siÄ™ fala kulista
gdzie wprowadziliśmy wektory falowe: k = p/ dla fali padającej oraz k = pnr/
dla fali rozproszonej.
Wyrażenie w nawiasie klamrowym jest amplitudą fali kulistej f(k, k ) (powstałej na
skutek rozproszenia) i nosi nazwÄ™ amplitudy rozpraszania,

m
f(k, k ) = - d3r e-ik ·r V (r )È(r ). (5.13.4)
2Ä„ 2
Zwróćmy uwagę, że zawiera ona informację o centrum rozpraszającym, a co więcej 
można ją bezpośrednio powiązać z różniczkowym przekrojem czynnym, mianowicie
dÃ
= |f(k, k )|2. (5.13.5)
d&!
Uzasadnienie tego związku Czytelnik znajdzie w podręcznikach do mechaniki kwan-
towej. Zaznaczmy jednak, że wyrażenie (5.13.5) łączy w sobie aspekt falowy z korpu-
skularnym.
Zastosowanie procedury iteracyjnej pozwala wyrazić amplitudę rozpraszania w po-
staci szeregu Neumanna,
"

f(k, k ) = fn(k, k ), (5.13.6)
n=0
przy czym

m
fn(k, k ) = - d3r e-ik ·r V (r )Èn-1(r ), (5.13.7)
2Ä„ 2
dla n = 1, 2, . . ., z kolei funkcja Èn-1(r ) jest n - 1 przybliżeniem funkcji È(r ) speÅ‚-
niającej równanie Lippmana Schwingera.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 209
Przekrój czynny obliczony w pierwszym przybliżeniu Borna odpowiada sytuacji, w któ-
rej funkcja falowa występująca pod znakiem całki w wyrażeniu (5.13.4) jest przybli-
żona przez niejednorodność w równaniu (5.13.3)  czyli falę płaską. W rezultacie
dostajemy

m
f1(k, k ) = - d3r e-ik ·r V (r )eik·r
2Ä„ 2

m
= - d3r e-iq·r V (r ), (5.13.8)
2Ä„ 2
gdzie q = k - k jest przekazem pędu
podczas rozproszenia elastycznego o war-
tości
¸
q = 2k sin , (5.13.9)
2
przy czym ¸ jest kÄ…tem rozpraszania jak to
pokazano na rysunku 5.13.3.
Rysunek 5.13.3: Obliczanie długości
wektora q
Jak łatwo zauważyć, obliczenie amplitudy rozpraszania w pierwszym przybliżeniu
Borna sprowadza się do wyznaczenia transformaty Fouriera z potencjału V (r). To
zagadnienie już zostało przedstawione w problemie 5.1, zatem poszukiwana amplitu-
da rozpraszania ma postać
2m g2
f1(k, k ) = - , (5.13.10)
2
¸
(1/R)2 + 4k2 sin2
2
a stąd wynika, że różniczkowy przekrój czynny, zgodnie ze wzorem (5.13.5) ma postać
2
dà 2mg2 1
= . (5.13.11)
2
d&! 2
(1/R)2 + 4k2 sin2 ¸/2
BG AGH
210 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
W szczególności, jeżeli przejdziemy z R - ", co odpowiada potencjałowi kulom-
bowskiemu, to odtworzymy formułę rozpraszania otrzymaną po raz pierwszy przez
E. Rutherforda, która opisuje rozpraszanie naładowanej cząstki o ładunku e i masie
m na nieruchomym Å‚adunku Q, tzn.
2
dà g2 1
= , (5.13.12)
d&! 4E sin4 ¸/2
gdzie E jest energiÄ… kinetycznÄ… padajÄ…cej czÄ…stki, a g2 = eQ/(4Ä„ 0).
Warto wiedzieć, że Rutherford wyprowadził wyrażenie dane wzorem (5.13.12) meto-
dami mechaniki klasycznej, a otrzymany wynik pozwolił mu wyjaśnić doświadczalne
wyniki rozpraszania cząstek ą na złocie i postawić hipotezę istnienia jądra atomowe-
go.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 211
PROBLEM 5.14
Rozwiąż równanie całkowe

x
Ć(x) = x2 +  (x - t)Ć(t) dt (5.14.1)
0
Nasze równanie to równanie Volterry, drugiego rodzaju, niejednorodne. Jądro równa-
nia jest jądrem różnicowym i to w najprostszej postaci: K(x, t) = K(x-t) = x-t. Ta
częsta postać zależności funkcyjnej jąder całkowych wywodzi się z równie często wy-
stępującej w fizyce zależności typu splotu  występująca w równaniu całka to właśnie
splot dwóch funkcji K(x - t) i Ć(t), z których pierwsza zależy od  względnej odległo-
ści zmiennych. Splotem może być na przykład natężenie promieniowania, rejestro-
wane przez przesuwający się wzdłuż osi odwiertu detektor. Sygnał detektora zależy
od koncentracji pierwiastka promieniotwórczego w warstwach skały (Ć(t); zmienna
t to głębokość warstwy) i  funkcji odpowiedzi detektora, umieszczonego w pozycji
(głębokości) x. Ta ostatnia jest funkcją różnicy położeń12 warstwy i detektora (x-t).
Podobnie widmo promieniowania gamma, rejestrowane przez układ spektrometrycz-
ny, jest splotem13 widma fizycznego (rzeczywistego udziału kwantów o określonych
energiach) i znowu  funkcji odpowiedzi układu, który rejestruje kwanty z przedziału
energetycznego (E , E + dE ) w przedziale (E, E + dE)14.
Równanie (5.14.1) możemy rozwiązywać metodami  standardowymi : szeregu Neu-
manna, albo rezolwenty (por. podrozdział 5.2 i 5.3  Wybranych rozdziałów...  ), ale
ze względu na różnicową postać jądra możemy też stosować metodę transformaty La-
place a. Rozpatrzmy wszystkie te trzy metody.
Metoda rezolwenty
Metoda rezolwenty (por. podrozdział 5.3  Wybranych rozdziałów. . .  ) jest zdecydo-
wanie najbardziej uniwersalna  pamiętajmy, że rezolwenty, raz obliczonej dla kon-
kretnego jądra równania, można użyć do rozwiązywania wszystkich równań niejed-
norodnych z takim właśnie jądrem i różnymi funkcjami f(x), reprezentującymi nie-
jednorodności równania. Pierwsze jądro iterowane K1(x, t) = K(x, t) = x - t. Jądro
K2(x, t), zgodnie z wzorem {5.60}  Wybranych rozdziałów. . .  , to

x x
K2(x, t) = K1(x, s)K1(s, t) ds = (x - s)(s - t) ds = . . .
t t
Sukces dalszych rachunków zależy w dużym stopniu od umiejętnego podejścia do
12
Mówiąc dokładniej: funkcją różnicy położeń centralnych punktów detektora i warstwy, ponieważ
tak detektor, jak i warstwa posiadajÄ… pewne rozmiary liniowe.
13
Więcej na temat splotu  por. problemy 5.4 i 5.6.
14
Funkcja odpowiedzi idealnego ukÅ‚adu to delta Diraca: ´(E -E). Nawet w takiej wyidealizowanej
sytuacji funkcja odpowiedzi zależy od różnicy (E - E)!
BG AGH
212 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
obliczenia takiej całki. Oczywiście, można wymnożyć dwa dwumiany, występujące
w funkcji podcałkowej i całkować uzyskany wielomian wyraz po wyrazie. Znacznie
łatwiej dostrzeżemy jednak ogólny wzór w iteracji jeżeli będziemy całkować przez
części:

x x
d 1
K2(x, t) = (x - s)(s - t) ds = (x - s) (s - t)2 ds
ds 2
t
s=x t

x

1 1 1

= (x - s) (s - t)2 + (s - t)2 ds = (x - t)3.

2 2 2 · 3
t
s=t
Iteracja już prawie jest widoczna, ale dla pewności policzymy jeszcze kolejne jądro
iterowane

x x
1
K3(x, t) = K1(x, s)K2(s, t) ds = (x - s) (s - t)3 ds
2 · 3
t
t
x
d 1
= (x - s) (s - t)4 ds
ds 2 · 3 · 4
t
s=x

x

1 1 1

= (x - s) (s - t)3 + (s - t)4 ds = (x - t)5.

2 · 3 · 4 2 · 3 · 4 2 · 3 · 4 · 5
t
s=t
Ogólną postacią n-ego jądra iterowanego będzie więc
(x - t)2n-1
Kn(x, t) = ; n = 1, 2, . . . , (5.14.2)
(2n - 1)!
albo
(x - t)2(n+1)-1 (x - t)2n+1
Kn+1(x, t) = = ; n = 0, 1, . . . , (5.14.3)
[2(n + 1) - 1]! (2n + 1)!
co prowadzi do rezolwenty
" " "

(x - t)2m+1
R(x, t) = m-1Km(x, t) = mKm+1(x, t) = m .
(2m + 1)!
m=1 m=0 m=0
Zapisanie takiego szeregu w postaci zwartej wymaga ujednolicenia wykładników lamb-
dy i dwumianu
2m 2m+1.
" "
1
m =  = " 

Ostatecznie
2m+1
"
"
(x - t)
"
1 1
"
R(x, t) = " = sinh[ (x - t)].
(2m + 1)!
 
m=0
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 213
Rozwiązaniem równania (5.14.1) będzie więc

x
Ć(x) = f(x) +  R(x, t)f(t) dt
0

x
"
1
= x2 +  " sinh[ (x - t)]t2 dt
0 


x
"
d
= x2 + - cosh[ (x - t)] t2 dt
dt
0
t=x x
" "
= x2 - cosh[ (x - t)]t2 + 2 cosh[ (x - t)]t dt

t=0
0


x
"
2 d
= " - sinh[ (x - t)] t dt
dt
 0
t=x

x
" "

2 2
= - " sinh[ (x - t)]t + " sinh[ (x - t)] dt

  0
t=0
t=x
"
2
= - cosh[ (x - t)]

t=0


"
2
= cosh x - 1 . (5.14.4)

Metoda szeregu Neumanna
Doświadczenie zdobyte w konstrukcji rezolwenty niewątpliwie ułatwi iteracyjne roz-
wiązywanie równania. Punktem wyjściowym iteracji będzie
Ć0(x) = f(x) = x2.
Kolejne przybliżenie to

x x
Ć1(x) = x2 +  (x - t)Ć0(t) dt = x2 +  (x - t)t2 dt
0 0
x4
= . . . = x2 + 
3 · 4
i dalej


x x
t4
Ć2(x) = x2 +  (x - t)Ć1(t) dt = x2 +  (x - t) t2 +  dt
3 · 4
0 0
x4 x6
= . . . = x2 +  + 2 .
3 · 4 3 · 4 · 5 · 6
Specjalnie pozostawiamy mianowniki ułamków w postaci rozbitej na czynniki, aby ła-
twiej uchwycić rekurencję. Ewidentnie, we wszystkich mianownikach brakuje dwójki,
a ujednolicenie potęg lambdy i zmiennej x uzyskamy podobnie jak w poprzedniej me-
todzie, wyciÄ…gajÄ…c przed nawias czynnik 1/ i wprowadzajÄ…c lambdÄ™ pod pierwiastek.
Ostatecznie

" " " "
2 (x )2 (x )4 (x )6 (x )n
Ćn(x) = + + + . . . +
 2! 4! 6! n!
BG AGH
214 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
i  zgodnie z (5.14.4) 

"
2
Ć(x) = lim Ćn(x) = cosh x - 1 . (5.14.5)
n"

Metoda transformaty Laplace a
Ponieważ występująca po prawej stronie równania (5.14.1) całka to splot dwóch
funkcji, to stosując transformatę Laplace a do obu stron tego równania (i pamię-
L
tając, że transformata ze splotu jest równa iloczynowi transformat jego składowych)
otrzymujemy
[Ć] = [x2] +  [x] · [Ć],
L L L L
a po uporzÄ…dkowaniu
2
L [x2]
s3
L [Ć] = = , (5.14.6)
1
1 -  [x]
L
1 - 
s2
gdzie wykorzystaliśmy

" "
1 “(n + 1)
L [xn] = e-sxxn dx = e-sx(sx)n d(sx) = . (5.14.7)
sn+1 0 sn+1
0
Pozostaje przekształcenie (5.14.6) do postaci bardziej przyjaznej dla zastosowania
transformaty odwrotnej

2 1 1 1 2
L [Ć] = = " + " -
s(s2 - )  s
s -  s + 

2 s 1
= " - .

s2 - ( )2 s
Jeszcze raz korzystamy z (5.14.7), a także z


1 1 1 1 s
L [cosh kx] = L ekx + e-kx = + = .
2 2 s - k s + k s2 - k2
Transformata odwrotna  nasze rozwiÄ…zanie  to


"
2 s 1 2
-1
" - = cosh x - 1 . (5.14.8)
L

s2 - ( )2 s 
Zestawienie trzech technik wykazuje niewątpliwie wyższość metody transformaty La-
place a (pod warunkiem, że znamy podstawy tej techniki!). Nie zapominajmy jednak,
że jej użycie jest uwarunkowane różnicową postacią jądra. Metoda iteracyjna, prowa-
dząca czy to do rezolwenty, czy  bezpośrednio  do rozwiązania jest bardziej uni-
wersalna, ale i przy jej stosowaniu potrzebna jest znajomość reprezentacji pewnych
funkcji w postaci nieskończonych sum.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 215
PROBLEM 5.15
Udowodnij, że rezolwenta równania całkowego typu Vol-
terry o jądrze różnicowym, K(x, t) = K(x - t) zależy
także od różnicy (x - t). Wykorzystując ten fakt, ten
fakt wykaż, że
[K(x - t)]
L
[R(x - t)] = . (5.15.1)
L
1 -  [K(x - t)]
L
To, że jądro zależne od różnicy x-t prowadzi do rezolwenty zależnej od takiej właśnie
różnicy, widzieliśmy już na konkretnym przykładzie  w problemie 5.12. Rzeczywi-
ście, tak być musi zawsze. Drugie jądro iterowane, K2(x, t) zgodnie z wzorem {5.60}
 Wybranych rozdziałów. . .  to

x
K2(x, t) = K(x, s)K1(s, t) ds = . . . K(x, s) = K(x - s); K1(s, t) = K(s - t) . . .
t
s - t = " ds = d"
x
= K(x - s)K(s - t) ds = s = x " = x - t
t
s = t " = 0

x-t
= K(x - t - ")K(") d" a" K2(x - t)
0
 po wycałkowaniu względem nowej zmiennej " podstawiamy za tą zmienną albo
liczbę (0) albo x - t  wynik całkowania może więc zależeć tylko od różnicy x - t.
Identycznie będą wyglądać obliczenia kolejnych jąder Kn(x, t) a" Kn(x - t); suma
takich jąder, pomnożonych przez kolejne potęgi parametru  będzie więc zależała od
różnicy x - t. Wykazaliśmy więc
"

R(x, t) = m-1Km(x - t) a" R(x - t). (5.15.2)
m=1
Dla równania o jądrze różnicowym

x
Ć(x) = f(x) +  K(x - t)Ć(t) dt (5.15.3)
0
metoda transformaty Laplace a prowadzi do

x
L [Ć(x)] = [f(x)] +  [ K(x - t)Ć(t) dt]
L L
0
= [f(x) +  [K(x - t)] · [Ć(x)], (5.15.4)
L L L
BG AGH
216 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
albo, po uporzÄ…dkowaniu,
L [f]
L [Ć] = . (5.15.5)
1 -  [K]
L
Z kolei, po obliczeniu rezolwenty, funkcję Ć znajdujemy z równania (por. {5.64})

x
Ć(x) = f(x) +  R(x - t)f(t) dt. (5.15.6)
0
Potraktowanie obu stron tego równania transformatą Laplace a prowadzi do
[Ć] = [f] +  [R] · [f].
L L L L (5.15.7)
Wyznaczamy z tego równania transformatę rezolwenty
[Ć] [f]
L - L
L [R] = (5.15.8)
 [f]
L
i  ostatni krok  podstawiamy w (5.15.8) za [Ć] z równania (5.15.5). Mamy
L
L [f]
- L [f]
1 -  [K] L [K]
L
L [R] = = . . . = . (5.15.9)
 [f] 1 -  [K]
L L
Tak więc, dla równań klasy Volterry z jądrami różnicowymi technika transformaty
Laplace a oferuje dodatkowe ułatwienia  znalezienie rezolwenty równania sprowadza
się do obliczenia transformaty Laplace a jądra równania, prostej algebry i znalezienia
transformaty odwrotnej.
W podrozdziale 5.3  Wybranych rozdziałów. . .  obliczaliśmy rezolwentę dla równania
(por. {5.62})

x
Ć(x) = ex + ex-tĆ(t) dt. ({5.62})
0
Warto sprawdzić, jak wyglądałyby te obliczenia przy zastosowaniu równania (5.15.9).
Transformata Laplace e jądra równania to

1
[K(x
L - t)] = ex-t = .
L
s - 1
Wzór (5.15.9) prowadzi do
L [K] 1
L [R] = = . . . = .
1 -  [K] s - (1 + )
L
BiorÄ…c transformatÄ™ odwrotnÄ…, mamy

1
-1
L = e(1+)(x-t).
s - (1 + )
Ponieważ w równaniu {5.62}  = 1, mamy ostatecznie
R(x - t;  = 1) = e2(x-t)
w pełnej zgodzie z równaniem {5.63}.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 217
PROBLEM 5.16
Znajdz
rozwiązanie równania całkowego typu Volterry

x
x3
Ć(x) = - 2x - Ć(t) dt. (5.16.1)
0
3
Znowu mamy do wyboru trzy metody: metodÄ™ rezolwenty, metodÄ™ iteracyjnÄ… (szereg
Neumanna) i technikę transformaty Laplace a. Prześledzimy w skrócie wszystkie trzy.
Metoda transformaty Laplace a.
StosujÄ…c transformatÄ™ Laplace a do obu stron (5.16.1) [po prawej stronie mamy
transformatę splotu; por. też (5.14.7)] otrzymujemy
1 3! 1 1
L [Ć] = - 2 - L [Ć] · , (5.16.2)
3 s4 s2 s
albo po uporzÄ…dkowaniu

1 2(1 - s2)
L [Ć] 1 + = ,
s s4
co prowadzi do

2 2
L [Ć] = - = x2 - 2x . (5.16.3)
L
s3 s2
W obliczaniu transformat korzystamy z (5.14.7). Tak więc
Ć(x) = x2 - 2x. (5.16.4)
Metoda rezolwenty.
Dla tak prostego jądra równania całkowego  K(x, t) = 1  obliczenie rezolwenty jest
prawie natychmiastowe. Rachunki są analogiczne do obliczeń rezolwenty dla jądra
K(x, t) = ex-t, w podrozdziale 5.3  Wybranych rozdziałów. . .  (por. {5.63}, a także
problem 5.18); poprzestajemy na obliczeniu dwóch pierwszych jąder iterowanych

x
K2(x, t) = 1 · 1 ds = x - t,
t

x
(x - t)2
K3(x, t) = 1 · (s - t) ds = ,
2!
t
. . . = . . .
(x - t)n
Kn(x, t) = . . . = .
n!
BG AGH
218 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Rezolwenta będzie równa
" "

R(x, t; ) = m-1Km(x, t) = mKm+1(x, t)
m=1 m=0
"

(x - t)m
= m = e(x-t). (5.16.5)
m!
m=0
Pozostaje weryfikacja:


x x
x3 t3
Ć(x) = f(x) + R(x, t;  = -1)f(t) dt = - 2x - e-(x-t) - 2t dt
3 3
0 0
= . . . = x2 - 2x, (5.16.6)
w zgodzie z (5.16.4)
Metoda szeregu Neumanna.
To najmniej skuteczna  przynajmniej w tym przypadku  technika. Podajemy wyniki
obliczeń kolejnych przybliżeń rozwiązania; ponieważ nie mamy lepszych pomysłów
jako przybliżenie zerowe przyjmujemy Ć0(x) = f(x).
x3
Ć0(x) = - 2x,
3
x3 x4
Ć1(x) = - 2x + x2 - ,
3 3 · 4
x4 x5
Ć2(x) = -2x + x2 - + ,
3 · 4 4 · 5
x5 x6
Ć3(x) = -2x + x2 + - ,
3 · 4 · 5 3 · 4 · 5 · 6
x6 x7
Ć4(x) = -2x + x2 - + .
3 · 4 · 5 · 6 3 · 4 · 5 · 6 · 7
Ogólna postać (łatwo ją napisać znając konkretną postać rozwiązania!) to
2xn+2 2xn+3
Ćn(x) = x2 - 2x - (-1)n + (-1)n ; n 2. (5.16.7)
(n + 2)! (n + 3)!
xn
Przy przejściu granicznym z n do nieskończoności wyrażenia typu dążą (dla skoń-
n!
czonego x) do zera; pozostajÄ… dwa pierwsze wyrazy w zgodzie z (5.16.4) i (5.16.6).
Dodajmy, że niewiele pomoże, jeżeli iterację zaczniemy od nieco innego Ć0(x). Oczy-
wiście, zaczynając od Ć0(x) = x2 - 2x sukces osiągamy natychmiast, ale trudno
doprawdy aby ktoś wymagał od nas aż tak dalece posuniętej intuicji!
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 219
PROBLEM 5.17
Znajdz
rozwiązanie równania całkowego typu Volterry

x
Ć(x) = x3x - 3x-tĆ(t) dt. (5.17.1)
0
Poprzestaniemy na metodzie rezolwenty i metodzie iteracyjnej15. Ta pierwsza  obli-
czenia identyczne jak w problemie 5.14  prowadzi do sekwencji jÄ…der iterowanych
K1(x, t) = 3x-t,

x
K2(x, t) = 3x-s · 3s-t ds = 3x-t(x - t),
t

x
(x - t)2
K3(x, t) = 3x-s · 3s-t(s - t) ds = 3x-t ,
2!
t
. . . = . . .
(x - t)n
Kn(x, t) = . . . = 3x-t ,
n!
z której  por. (5.16.5)  otrzymujemy rezolwentę
R(x, t; ) = 3x-te(x-t). (5.17.2)
Rozwiązaniem równania całkowego będzie więc funkcja

x
Ć(x) = f(x) +  R(x, t;  = -1)f(t) dt
0

x

= x3x - 3x-te-x+t t3t dt = . . . = 3x 1 - e-x . (5.17.3)
0
Równie prosto przebiegają obliczenie kolejnych iteracji. Podajemy końcowe wyniki:
Ć0(x) = x3x,
x2
Ć1(x) = x3x - · 3x,
2
x2 x3
Ć2(x) = x3x - · 3x + · 3x,
2 3!
x2 x3 x4
Ć3(x) = x3x - · 3x + · 3x - · 3x.
2 3! 4!
15
Dociekliwy Czytelnik, dysponujący średniej klasy tablicami transformat Laplace a, rozwiąże bez
większych kłopotów równanie (5.17.1), stosując technikę transformaty Laplace a.
BG AGH
220 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Ogólny wyraz to

x2 x3 xn+1
Ćn(x) = x - + - . . . + (-1)n 3x
2 3! (n + 1)!

= 1 - e-x 3x,
w zgodzie z (5.17.3).
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 221
PROBLEM 5.18
Znajdz
rozwiązanie równania całkowego typu Fredholma

1
Ć(x) = ex - ex-tĆ(t) dt. (5.18.1)
0
Do wyboru mamy trzy metody: rezolwenty, iteracji, a także metodę wynikającą z fak-
tu, że jądro naszego równania jest jądrem separowalnym.
Metoda rezolwenty
Ta metoda jest zaskakujÄ…co skuteczna. Pierwsze jÄ…dro iterowane

1 1
K2(x, t) = ex-ses-t ds = ex-t ds = ex-t, (5.18.2)
0 0
a więc i wszystkie pozostałe (!) są takie same jak wyjściowe
Kn(x, t) = K1(x, t) = ex-t. (5.18.3)
Rezolwenta będzie równa
" "

1
R(x, t; ) = mKm+1(x, t) = ex-t m = ex-t . (5.18.4)
1 - 
m=0 m=0
Ostatni wzór wymaga oczywiście || < 1  warunek ten nie jest spełniony dla rów-
nania (5.18.1), dla którego  = -1. Ale . . . gdyby  wbrew regułom!  spróbować
policzyć rozwiązanie według  zwykłego wzoru

b
Ć(x) = f(x) +  R(x, t; )f(t) dt
a

1
1 1 1
= ex - ex-t et dt = ex - ex = ex. (5.18.5)
1 - (-1) 2 2
0
Tak obliczona funkcja Ć(x) spełnia równanie (5.18.1)! Ta miła niespodzianka wy-
nika m.in. z faktu, że stosowana przez nas metoda konstrukcji rezolwenty poprzez
znajdowanie sekwencji jÄ…der iterowanych jest nieco  sztucznie restryktywna. Kon-
kurencyjna metoda, tzw. metoda wyznaczników Fredholma, pozwoliłaby uzyskać wzór
(5.18.4) bez ograniczeń16 dla parametru ! Zobaczmy, jak  pracują pozostałe meto-
dy.
16
Jedynym ograniczeniem będzie  = 1. Zauważmy przy okazji, że kryterium d Alemberta zbieżno-

ści szeregu nie wyklucza zbieżności szeregu, jeżeli wartość bezwzględna stosunku kolejnych wyrazów
|an+1/an| = 1!
BG AGH
222 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Metoda jÄ…dra separowalnego (zdegenerowanego)
Jądro równania (5.18.1) jest jądrem separowalnym
K(x, t) = exe-t a" M1(x)N1(t),
a jeżeli tak, to rozwiązanie powinno mieć postać (pamiętajmy, że  = -1)
Ć(x) = f(x) + C1M1(x) = ex(1 - C1). (5.18.6)
Podstawiamy do (5.18.1)

1
ex(1 - C1) = ex - exe-tet(1 - C1) dt
0
i wyliczamy niewiadomÄ… C1
1
(1 - C1) = [1 - (1 - C1)] C1 = .
2
Wstawienie takiej wartości C1 do (5.18.6) daje taki sam wynik jaki uzyskaliśmy
(wbrew regułom!) z równaniu (5.18.5).
Metoda iteracyjna
To nie koniec niespodzianek. Położenie
Ć0(x) = f(x) = ex
daje natychmiast

1
Ć1(x) = ex - ex-tet dt = 0.
0
Oczywiście następna iteracja  i wszystkie parzyste iteracje  będą równe
Ć2(x) = f(x) = ex a" Ć2n(x);
iteracje nieparzyste  tak jak pierwsza  będą równe zeru!
Na niewiele zdadzą się próby zaczynania od innej funkcji Ć0. Na przykład dla Ć0 = 1
dostajemy identyczny,  oscylacyjny charakter kolejnych  parzystych i nieparzystych
 iteracji. Ale już położenie Ć0 = 1/2 daje  i to natychmiast  szukane rozwiązanie.
Jak widać, standardowe metody rozwiązywania standardowych postaci równań mogą
kryć w sobie nie lada niespodzianki!
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 223
PROBLEM 5.19
Znajdz
rozwiązanie równania całkowego typu Fredholma

1
Ć(x) = e-x +  xetĆ(t) dt. (5.19.1)
0
I znowu do wyboru mamy trzy metody: rezolwenty i szeregu Neumanna oraz metodÄ™
jÄ…dra separowalnego. Zacznijmy od tej ostatniej.
Metoda jÄ…dra separowalnego (zdegenerowanego)
Jądro równania (5.19.1) jest jądrem separowalnym i  rachunki identyczne jak w pro-
blemie 5.16 
K(x, t) = xet a" M1(x)N1(t);
a także
Ć(x) = f(x) + C1M1(x) = e-x + C1x. (5.19.2)
Podstawiamy do (5.19.1)


1
e-x + C1x = e-x +  xet e-t + C1t dt
0
i wyliczamy stałą C1; otrzymujemy
1
C1 = ;  = 1. (5.19.3)

1 - 
Nasze rozwiązanie (warto sprawdzić) to

Ć(x) = f(x) + C1N1(x) = e-x + x;  = 1. (5.19.4)

1 - 
Metody iteracyjne: rezolwenta i szereg Neumanna
A
atwo zauważyć, że podobnie jak w problemie 5.18 wszystkie jądra iterowane są
równe jądru wyjściowemu:

1 1
K2(x, t) = xesset ds = xet ses ds = xet,
0 0

1
bo całka ses ds = 1. Rezolwenta  rachunki jak w problemie 5.16 
0
1
R(x, t; ) = xet ; || < 1. (5.19.5)
1 - 
BG AGH
224 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Jak widać, ograniczenia dotyczące wartości  są znowu znacznie bardziej restryktywne
niż w przypadku wzoru (5.19.4)! Po obliczeniu rezolwenty pozostaje wyliczenie całki

1
1
Ć(x) = e-x +  xet e-t dt
1 - 
0

= . . . = e-x + x; || < 1. (5.19.6)
1 - 
Te same zbyt restryktywne ograniczenia pojawiajÄ… siÄ™ w konstrukcji szeregu Neuman-
na. Kolejne iteracje to
Ć0(x) = e-x,

1
Ć1(x) = e-x +  xete-t dt = e-x + x,
0

1
Ć2(x) = e-x +  xet[e-t + t] dt
0
= . . . = e-x + x(1 + ),

1
Ć3(x) = e-x +  xet[Ć2(t)] dt = . . .
0
= e-x + x(1 +  + 2).
Tak więc
Ćn = e-x + x(1 +  + 2 + . . . + n)
i w granicy  dla n ", ale znowu przy warunku || < 1 otrzymujemy znalezione
wcześniej rozwiązanie [wzory (5.19.4) i (5.19.6)].
Ostatnie dwa przykłady unaoczniają, wspomnianą już w  Wybranych rozdziałach. . . 
nieco przesadną ostrożność, towarzyszącą standardowym procedurom iteracyjnym
w konstrukcji szeregu Neumanna lub rezolwenty równania całkującego. Od tych (zbęd-
nych) ograniczeń wolna jest metoda jądra separowalnego  i to zdecydowanie prze-
mawia na jej korzyść.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 225
PROBLEM 5.20
Znajdz
rozwiązanie równania całkowego typu Fredholma
drugiego rodzaju, niejednorodnego


1
Ć(x) = x3-x +  x2 - 2xt Ć(t) dt. (5.20.1)
-1
Jest to równanie o jądrze separowalnym
K(x, t) = x2 - 2xt a" M1(x)N1(t) + M2(x)N2(t). (5.20.2)
Przyjmując dla prostoty M1 = x2, M2 = x, widzimy, że nasze rozwiązanie musi mieć
postać

Ć(x) = x3-x +  [C1M1(x) + C2M2(x)] = x3-x +  C1x2 + C2x
(5.20.3)
= x3 + C1x2 + (C2 - 1)x.
Moglibyśmy zastosować metodę opisaną w podrozdziale 5.41.  Wybranych rozdzia-
łów. . .  , ale w gruncie rzeczy prościej jest (jądro składa się tylko z dwóch składników!)
uciec się do rachunków bezpośrednich. Podstawiając z (5.20.3) do (5.20.1) otrzymu-
jemy


1
x3 + C1x2 + (C2 - 1)x = x3 - x +  x2 - 2xt t3 + C1t2 + (C2 - 1)t dt
-1


1
= x3 - x + x2 t3 + C1t2 + (C2 - 1)t dt
-1


1
- 2x t4 + C1t3 + (C2 - 1)t2 dt.
-1
Obliczenia są proste  całki z wyrazów zawierających nieparzyste potęgi zmiennej t
będą równe zeru. Po wykonaniu pozostałych obliczeń, redukcji identycznych wyrazów
po obu stronach równania i podzieleniu przez  otrzymujemy równanie

2 2 2
C1x2 + C2x = C1 x2 - 2 + (C2 - 1) x,
3 5 3
które posłuży do wyznaczenia współczynników C1 i C2. I tak, porównując współczyn-
niki przy x2 mamy
2
C1 = C1 . (5.20.4)
3
BG AGH
226 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Równanie to będzie spełnione zawsze dla  = 3/2; wówczas stała C1 może być zupełnie
dowolna: C1 a" C. Natomiast dla  = 3/2 stała C1 musi być równa zeru. Mamy więc


C  = 3/2,
C1 = (5.20.5)
0  = 3/2.

Porównanie współczynników przy x prowadzi do równania

2 2
C2 = -2 + (C2 - 1) ,
5 3
z którego wyznaczamy C2
8 1 3
C2 = ;  = - . (5.20.6)

5 3 + 4 4
Podstawiając znalezione współczynniki do (5.20.3) i przeprowadzając redukcję współ-
czynników pierwszej potęgi zmiennej x dostajemy
Å„Å‚
3(5 + 4) 3 3
ôÅ‚
ôÅ‚

ôÅ‚ Ć(x) = x3 - ;  = ,  = - ,
ôÅ‚
òÅ‚
5(3 + 4) 2 4
Ć(x) = (5.20.7)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
11 3
ôÅ‚
ół
Ć(x) = x3 - x + Cx2;  = .
15 2
Oczywiście należałoby zastanowić się nad otrzymanymi wynikami w kontekście alter-
natywy Fredholma. Dwie wartości 1 = 3/2 i 2 = -3/4 to wartości własne równania
jednorodnego


1
Ć0(x) =  x2 - 2xt Ć0(t) dt, (5.20.8)
-1
z funkcjami własnymi
3
Ć0(x) a" Ć1(x) = x2 dla 1 = ,
2
3
Ć0(x) a" Ć2(x) = x dla 2 = - .
4
Dla pierwszej wartości parametru lambda, ze względu na ortogonalność niejednorod-
ności równania (5.20.1) (funkcji x3 - x) do funkcji własnej Ć1 = x2 w przedziale
[-1, +1], istnieje  jak wykazaliśmy  niejednoznaczne rozwiązanie równania niejed-
norodnego.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 227
Przedział całkowania występujący w tym problemie nieodparcie kojarzy się nam z wie-
lomianami Legendre a. Dlatego można szukać rozwiązania w postaci
Ć(x) = a0P0(x) + a1P1(x) + a2P2(x) + a3P3(x), (5.20.9)
gdzie cztery pierwsze wielomiany Legendre a to

1 1
P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 3x2 - 1 , P3(x) = 5x3 - 3x .
2 2
Rachunki będą bardzo podobne  podstawiamy z (5.20.9) do (5.20.1) zarówno po
lewej, jak i prawej (pod całką, w języku zmiennej t) stronie. Całkowanie będzie jesz-
cze łatwiejsze (wykorzystujemy ortogonalność wielomianów do pojawiających się pod
całką P0(t) = 1 i P1(t) = t). Po wykonaniu całkowania dostajemy

1 1 4
a0 + a1x + a2 3x2 - 1 + a3 5x3 - 3x = x3 - x + 2a0x2 - a1x. (5.20.10)
2 2 4
Porównanie wyrazów wolnych i współczynników przy x2 prowadzi do dwóch równań
a2
a0 = ,
2
3
a2 = 2a0,
2
z których wynika, że dla  = 3/2 jeden z tych współczynników  np. a0  przyjmujemy
dowolny, a drugi  a2 = 2a0; dla  = 3/2 musimy przyjąć je oba równe zeru. Porów-

nanie współczynników przy x3 daje natychmiast a3 = 2/5; natomiast porównanie
współczynników przy x daje
3 3a3 - 2 6 3
a1 = = - ,  = - .

2 3 + 4 5(3 + 4) 4
Wstawiając tak znalezione współczynniki do (5.20.9), otrzymujemy te same rozwią-
zania, które pojawiły się jako (5.20.7).
BG AGH
228 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
PROBLEM 5.21
Znajdz
wartości i funkcje własne równania całkowego
typu Fredholma

Ä„
Ć(x) =  (cos x cos 2t + cos 2x cos t + 1)Ć(t) dt.
0
(5.21.1)
Jądro naszego równania jest jądrem symetrycznym: K(x, t) = K(t, x), co gwarantuje
istnienie przynajmniej jednej wartości własnej. Dodatkowo, wszystkie wartości własne
będą rzeczywiste (por. podrozdział 5.4.3  Wybranych rozdziałów. . .  ).
Jądro równania jest w dodatku jądrem separowalnym
3

K(x, t) = cos x cos 2t + cos 2x cos t + 1 a" Mj(x)Nj(t), (5.21.2)
j=1
gdzie
M1(x) = cos x, M2(x) = cos 2x, M3(x) = 1;
N1(t) = cos 2t, N2(t) = cos t, N3(t) = 1.
Funkcje własne równania (5.21.1), określone z dokładnością do multyplikatywnej
stałej, są kombinacją liniową funkcji Mk(x) (por. {5.80})
n

Ć(x) =  CkMk(x), ({5.80})
k=1
której współczynniki Ck obliczamy, rozwiązując układ równań jednorodnych (jak
{5.77}, ale z wszystkimi wyrazami wolnymi równymi zeru)
Å„Å‚
ôÅ‚ (1 - a11)C1 -a12C2 -a13C3 = 0,
òÅ‚
(5.21.3)
- a21C1 +(1 - a22)C2 -a23C3 = 0,
ôÅ‚
ół
-a31C1 -a32C2 +(1 - a33)C3 = 0.
Wyznacznik tego układu (por. {5.81}) to


(1 - a11) -a12 -a13


"() = - a21 (1 - a22) -a23
. (5.21.4)


-a31 -a32 (1 - a33)

Ä„
Obliczamy współczynniki amk = Nm(t)Mk(t) dt, korzystając z wzoru {5.74}.
0
Rachunki sÄ… natychmiastowe  funkcje Nm i Mk to trzy pierwsze wyrazy ciÄ…gu
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 229
{cos nx}, n = 0, 1, 2, który  jak wiemy  jest ciągiem funkcji ortogonalnych w prze-
dziale [0, Ą]; ich kwadrat normy jest równy połowie długości przedziału całkowania
(dla n = 0), bÄ…dz
całej długości (n = 0)17. Sześć z dziewięciu współczynników jest

równych zeru

Ä„ Ä„ Ä„
a11 = cos 2t cos t dt, a13 = cos 2t dt, a22 = cos t cos 2t dt,
0 0 0

Ä„ Ä„ Ä„
a23 = cos t dt, a31 = cos t dt, a32 = cos 2t dt,
0 0 0
a trzy różne od zera to

Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ Ä„
a12 = cos 2t cos 2t dt = , a21 = cos t cos t dt = , a33 = dt = Ä„.
2 2
0 0 0
Nietrywialne rozwiązanie układu (5.21.3)  różne od zera niewiadome C1, C2 i C3 
istnieje dla wartości , dla których "() = 0. Wstawiając obliczone amk do (5.21.4),
otrzymujemy:

Ä„

1 - 0

2

Ä„2
Ä„

= (1 - Ä„) 1 - 2 = 0 (5.21.5)
- 1 0

4

2

0 0 1 - Ä„
z rozwiÄ…zaniami 1 = 1/Ä„ oraz 2,3 = Ä…2/Ä„.
Wstawiając znalezione wartości własne do układu równań (5.21.3) otrzymujemy:
1
 = 1 =
Ä„
Å„Å‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
C1 - C2 + 0 · C3 = 0
ôÅ‚
òÅ‚
2
1
- C1 + C2 + 0 · C3 = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 2
ół
0 · C1 + 0 · C2 + 0 · C3 = 0,
z rozwiązaniem: C1 = C2 = 0, oraz C3 = dowolna liczba a" C. Funkcją własną,
odpowiadającą wartości własnej 1 = 1/Ą będzie więc
Ć(x) a" Ć1(x) = C1M3(x) = C. (5.21.6)
17
Por. przypis na stronie 157.
BG AGH
230 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
2
 = 2 =
Ä„
Å„Å‚
ôÅ‚
C1 - C2 + 0 · C3 = 0
òÅ‚
-C1 + C2 + 0 · C3 = 0
ôÅ‚
ół
0 · C1 + 0 · C2 + (-2) · C3 = 0,
z rozwiązaniem: C1 = C2 = dowolna liczba a" C2, oraz C3 = 0. Funkcją własną,
odpowiadającą wartości własnej 2 = 2/Ą będzie więc
Ć(x) = C1M1(x) + C2M2(x) a" Ć2(x) = C2 [cos x + cos 2x] . (5.21.7)
W końcu dla
2
 = 3 = -
Ä„
Å„Å‚
ôÅ‚
C1 + C2 + 0 · C3 = 0
òÅ‚
C1 + C2 + 0 · C3 = 0
ôÅ‚
ół
0 · C1 + 0 · C2 + (-2) · C3 = 0,
z rozwiązaniem: C1 = -C2 = dowolna liczba a" C, oraz C3 = 0. Funkcją własną,
odpowiadającą wartości własnej 3 = -2/Ą będzie więc
Ć(x) a" Ć3(x) = C1M1(x) + C2M2(x) = C [cos x - cos 2x] . (5.21.8)
Ten przykład uświadamia nam, że funkcje własne równania jednorodnego z jądrem
separowalnym nie muszą być tożsame z funkcjami Mk(x), występującymi w jądrze.
Zawsze jednak będą to liniowe kombinacje tych funkcji.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 231
PROBLEM 5.22
Sformułuj i rozwiąż równanie całkowe, opisujące problem tau-
tochrony  krzywej, po której porusza się punkt materialny pod
wpływem sił ciężkości, przy czym czas osiągnięcia  wysokości
zerowej nie zależy od wartości wysokości, z której punkt roz-
poczÄ…Å‚ ruch.
Takie izochroniczne wahadło nazywa się wahadłem Huyghensa.
Rysunek 5.22.1: Ruch w polu sił ciężkości po segmencie cykloidy
Sytuację przedstawia rysunek 5.22.1. Ześlizgujący się (bez tarcia!) po tautochronie18
punkt materialny zamienia swoją energię potencjalną w energię kinetyczną. Jeżeli
punkt  startowy ma współrzędne (X, Y ) to prędkość w punkcie, którego wysokość
jest równa y, będzie równa

v a" v(y) = 2g(Y - y), (5.22.1)
a jej współrzędna y będzie równa

dy
vy = = - 2g(Y - y) sin ¸, (5.22.2)
dt
gdzie ¸ = ¸(y) to kÄ…t nachylenia prostej, stycznej w punkcie (x, y) do trajektorii19.
Czas T , potrzebny na osiągnięcie  poziomu zero , obliczamy, wyliczając element czasu
dt z (5.22.2)
1
dt = -
dy (5.22.3)
2g(Y - y) sin ¸
18
Przy lekturze tego problemu będzie pomocny mały słowniczek greckich terminów. I tak:
brakhus  krótki; tauto  taki sam; isos  równy, ten sam; chronos  czas.
19
Wybieramy ujemny pierwiastek, bo  por. rysunek  vy < 0; dodatkowo sin ¸ = sin(Ä„ - ¸) > 0.
BG AGH
232 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
i całkując otrzymaną równość w granicach t = 0 i t = T (względem czasu) oraz y = Y
i y = 0 (względem zmiennej y)

T 0 Y
1 1
dt = T = - dy = dy. (5.22.4)
2g(Y - y) sin ¸ 2g(Y - y) sin ¸
0 Y 0
Aby uzyskane równanie całkowe przedstawić w postaci zbliżonej do postaci kanonicz-
nej (por. podrozdział 5.1  Wybranych rozdziałów. . .  ) wprowadzamy oznaczenie

1
a" Ć(y) oraz 2gT = f(Y ), (5.22.5)
sin ¸(y)
co prowadzi do znajomej formy kanonicznej  równania klasy Volterry, pierwszego
rodzaju

Y
Ć(y) dy
" = f(Y ). (5.22.6)
Y
0 - y
Nasz problem zakłada, że czas podróży T ma być niezależny od Y , tak że niejedno-
"
rodność równania (5.22.6) jest stałą: f(Y ) = 2gT a" C, ale podamy rozwiązanie
dla przypadku bardziej ogólnego. Metoda, którą zastosujemy, pozwala uogólnić rów-
nanie (5.22.6) do postaci

Y
Ć(y) dy
= f(Y ); 0 < Ä… < 1, (5.22.7)
(Y - y)Ä…
0
która jest postacią uogólnionego równania Abela. Po znalezieniu ogólnej postaci roz-
wiązania tego równania  funkcji Ć(y), wyrażającej odwrotność sinusa kąta stycznej
do trajektorii ruchu od współrzędnej y punktu styczności  powrócimy do problemu
tautochrony, kładąc ą = 1/2 i f(Y ) = C.
Różnicowa postać jądra równania całkowego, wraz z typem równania (Volterry) za-
prasza do użycia techniki transformaty Laplace a; lewa strona równania to splot nie-
znanej funkcji Ć(y) i funkcji potęgowej. Poddając transformacji Laplace a obie strony
(5.22.7) i pamiętając, że transformata Laplace a funkcji potęgowej to
L
“(p + 1)
L {yp} = , (5.22.8)
sp+1
otrzymujemy

“(-Ä… + 1)
-Ä…
L Y L {Ć(Y )} = L {Ć(Y )} = {f(Y )} (5.22.9)
L
s-Ä…+1
albo
1 L {f(Y )} L {f(Y )} “(Ä…) 1
L {Ć(Y )} = =
s “(-Ä… + 1) sÄ… “(-Ä… + 1) sÄ… “(Ä…)

1
Ä…-1
= {f(Y )} Y . (5.22.10)
L L
“(Ä…)“(-Ä… + 1)
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 233
W mianowniku ostatniego ułamka za iloczyn funkcji gamma podstawiamy wyrażenie
ze wzoru {1.127} i ostatecznie

1 sin Ä„Ä…
Ä…-1
L {Ć(Y )} = {f(Y )} Y . (5.22.11)
L L
s Ä„
Zarówno po lewej, jak i prawej stronie mamy iloczyny transformat Laplace a (1/s to 
por. (5.22.8)  transformata jedności); poddając (5.22.11) transformacie odwrotnej,
otrzymujemy po lewej i prawej stronie równania sploty funkcji

Y Y
sin Ä„Ä…
Ć(y) dy = (Y - y)ą-1f(y) dy, (5.22.12)
Ä„
0 0
a więc sama funkcja Ć(Y ) będzie określona przez odpowiednią pochodną (por. też
wzór Leibniza {2.143})

Y
sin Ä„Ä… d
Ć(Y ) = (Y - y)ą-1f(y) dy. (5.22.13)
Ä„ dY
0
Problem tautochrony sprowadza się do przyjęcia f(Y ) = C i położenia ą = 1/2.
Z równania (5.22.13) dostajemy

Y
sin Ä„/2 d dy 1 1
"
Ć(Y ) = C = . . . = . (5.22.14)
Ä„ dY Ä„
(Y
0 - y) Y
Punkt Y jest jednak zupełnie dowolnym punktem naszej trajektorii, a więc zależność
(5.22.14) będzie słuszna dla dowolnego y
1 C 1
Ć(y) = = . (5.22.15)
"
sin ¸(y) Ä„ y
Pozostaje  rozwikłanie ostatniego równania i wyprowadzenie zeń parametrycznych
równań krzywej, po której podróżuje punkt materialny. Parametrem równań będzie
kÄ…t ¸  dla wyliczenia współrzÄ™dnej y podnosimy obie strony równania (5.22.15) do
kwadratu, otrzymujÄ…c
2 2
C C
y(¸) = sin2 ¸ = (1 - cos 2¸). (5.22.16)
Ä„2 2Ä„2
Wyliczenia drugiej współrzędnej dokonujemy, korzystając z oczywistego
dy dy
= tg ¸ dx = . (5.22.17)
dx tg ¸
Z równań (5.22.15) i (5.22.17) dostajemy
2 2
C 2 sin ¸ cos ¸ d¸ C
dx = = (1 + cos 2¸) d¸,
Ä„2 tg ¸ Ä„2
BG AGH
234 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Rysunek 5.22.2: Wahadło z więzami cykloidalnymi
co prowadzi do
2
C
x = (2¸ + sin 2¸) + C1. (5.22.18)
2Ä„2
2
Po wprowadzeniu oznaczeÅ„: C /Ä„2 a" R i 2¸ = Åš, oraz poÅ‚ożeniu staÅ‚ej caÅ‚kowania
C1 = 0, równanie parametryczne tautochrony przybiera postać
x(Åš) = R(Åš + sin Åš), (5.22.19)
y(Åš) = R(1 - cos Åš), (5.22.20)
przy czym nie zapominajmy, że współrzędna x jest określona (wynika to z operacji
całkowania, ale także pozostaje w zgodzie z rysunkiem 5.22.1) z dokładnością do
dowolnej stałej addytywnej.
Czytelnik zechce sprawdzić, że:
(1) przesuwajÄ…c argument kÄ…towy o Ä„: Åš Åš + Ä„ w obu wzorach;
(2) dodając do współrzędnej x stałą ĄR: x x + ĄR; oraz
(3) odbijając naszą trajektorię w osi 0x i przesuwając ją w górę o 2R: y -y + 2R
przekształcimy nasze równania (5.22.19) i (5.22.20) do postaci, którą spotkaliśmy
w problemie 4.15. Cykloida jest więc tautochroną (albo izochroną) pola sił ciężkości
 wahadło, na którego ruch nałożyć więzy cykloidalne20, będzie wahać się ze stałym
okresem, niezależnie od początkowego kąta wychylenia. Ten ostatni nie musi już być
 mały  jak było to w przypadku uproszczonego opisu ruchu wahadła matematycz-
nego. Pierwszym fizykiem, który to wykazał, w połowie XVII wieku, był Christian
Huyghens. Nazwisko tego uczonego kojarzy się nam w pierwszym rzędzie z opisem zja-
wisk falowych, ale warto wiedzieć, że opublikowane w 1673 opus magnum Huyghensa
nosiło tytuł  Horologium oscillatorium i traktowało m.in. o zegarach do dokładnego
pomiaru czasu. Ta ostatnia potrzeba wynikała z pasji astronomicznych Huyghensa 
dzięki ulepszonemu własnoręcznie teleskopowi był on pierwszym obserwatorem pier-
ścieni Saturna.
Problem cykloidy jako tautochrony, albo izochrony, jest zarazem problemem brachisto-
chrony  cykloida okazuje się być trajektorią, która zapewnia najszybszy (zachodzący
w najkrótszym czasie) spadek, pod wpływem sił ciężkości, pomiędzy dwoma punkta-
mi, które nie leżą na linii pionowej. Tym problemem zajmował się już sam Galileusz (w
20
Por. rysunek 5.22.2. Długość wahadła l = 4R.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 235
latach trzydziestych XVII wieku), ale nie potrafił go poprawnie rozwiązać21. W roku
1696 Jan Bernoulli w  Acta Eruditorum wezwał  najtęższych matematyków świa-
ta do rozwiÄ…zania tego problemu. RozwiÄ…zali go: Newton, Leibniz, de l Hospital (n.b.
uczeń Jana Bernoulliego) oraz brat Jana, Jakub. Z ciekawostek: Jakub znał prawi-
dłową odpowiedz
już od pewnego czasu, i zachodzą podejrzenia, że jego (młodszy)
brat . . . zapoznał się z nią przed ogłoszeniem konkursu. Leibniz nie tylko rozwiązał
problem, ale podał (prawidłowo!) nazwiska wszystkich matematyków, którzy z nim
się uporają. Newton, będący już w nie najlepszej kondycji psychicznej, po otrzymaniu
wyzwania zamknął się na cały wieczór w swojej pracowni i wyszedł z niej o 4. rano
z gotowym rozwiÄ…zaniem.
Dzisiejsze sformułowanie i rozwiązanie problemu brachistochrony odwołuje się do ra-
chunku wariacyjnego  a więc sztuki znajdowania wartości ekstremalnych dla wyrażeń
całkowych, w zależności od trajektorii, wzdłuż której obliczana jest całka. Ale tędzy
matematycy z końca XVII wieku nie znali jeszcze tego narzędzia. Ich metodyka by-
ła bardzo . . .  fizyczna ; Jan Bernoulli rozwiązał ten problem w oparciu o zasadę
Fermata.
21
Dodajmy, że Galileusz interesował się również . . . cykloidą, ale w innym kontekście. On też jest
autorem nazwy tej krzywej, nazwy wywodzącej się z greckiego kykloides  mający kształt koła.
Galileusz wykazał, że łuk o kształcie cykloidy wyjątkowo dobrze znosi obciążenia  dlatego cykloidalne
łuki można często spotkać w konstrukcji mostów.
BG AGH
236 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
PROBLEM 5.23
Znajdz
rozwiązanie równania
y (x) + k2y(x) = -x, (5.23.1)
które spełnia warunki brzegowe w postaci
y (0) = y(Ä„/k) = 0, (5.23.2)
stosujÄ…c metodÄ™ funkcji Greena.
Rozpatrywane równanie (5.23.1) jest jednowymiarowym niejednorodnym równaniem
różniczkowym drugiego rzędu. Występująca w nim zmienna x należy do przedzia-
łu obustronnie domkniętego x " [0, Ą/k]. Zgodnie ze wzorem {5.121}  Wybranych
rozdziałów. . .  oczekujemy, że rozwiązanie tego równania będzie miało postać

Ä„/k
y(x) = d¾ G(x, ¾)f(¾), (5.23.3)
0
gdzie jÄ…dro caÅ‚kowe w wyrażeniu po prawej stronie, G(x, ¾), jest funkcjÄ… Greena, na-
tomiast funkcja f(¾) to  wziÄ™ta ze znakiem przeciwnym  niejednorodność równania
(5.23.1), f(x) = x.
Cała trudność rozwiązania równania (5.23.1) zaproponowaną metodą funkcji Greena
przenosi się na na konstrukcję samej funkcji Greena, gdyż całkowanie występują-
ce w rozwiązaniu (5.23.3) pozostaje sprawą czysto techniczną. Szczegółowy schemat
konstrukcji funkcji Greena został przedstawiony w podrozdziale 5.5.2.  Wybranych
rozdziałów. . .  . Zgodnie z nim, funkcja Greena spełnia równanie w postaci
G (x, ¾) + k2G(x, ¾) = -´(x - ¾), (5.23.4)
gdzie znak różniczkowania ( ) oznacza pochodną (i to w zasadzie cząstkową; por.
uwagi na ten temat w problemie 5.27) względem zmiennej x.
Równanie to należy uzupełnić o odpowiednie warunki nałożone na funkcję Greena,
ale jak dobrze wiemy, warunki te muszą być zgodne z warunkami nałożonymi na
poszukiwanÄ… funkcjÄ™ y(x), czyli
G (0, ¾) = G(Ä„/k, ¾) = 0. (5.23.5)
Dla x = ¾, funkcja Greena speÅ‚nia jednorodne równanie

G (x, ¾) + k2G(x, ¾) = 0, (5.23.6)
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 237
którego ogólnym rozwiązaniem jest funkcja
G(x, ¾) = A(¾) cos kx + B(¾) sin kx. (5.23.7)
Na lewo od punktu podziaÅ‚u ¾, tzn. dla 0 x < ¾, funkcjÄ™ Greena oznaczymy przez
GL(x, ¾); na prawo od tego punktu  dla ¾ < x Ä„/k  połóżmy G(x, ¾) a" GP (x, ¾).
Obie funkcję mają tę samą postać ogólną, daną wzorem (5.23.7), z tym, że stałe A
i B występujące w ogólnym rozwiązaniu mają odpowiednie wskaz
niki , tj. L oraz P .
Z warunku na lewym brzegu

"GL(x, ¾)

= 0 (5.23.8)

"x
x=0
wynika, że funkcja GL(x, ¾) ma postać
GL(x, ¾) = AL(¾) cos kx. (5.23.9)
Z kolei warunek na drugim końcu przedziału określoności zmiennej x,
G(Ä„/k, ¾) = 0 (5.23.10)
daje nam funkcjÄ™ GP (x, ¾) w postaci,
GP (x, ¾) = BP (¾) sin kx. (5.23.11)
W kolejnym etapie konstrukcji funkcji Greena, dla rozpatrywanego zagadnienia, sko-
rzystamy z warunku ciągłości:
GL(x, ¾) = GP (x, ¾), (5.23.12)
w punkcie x = ¾, skÄ…d dostajemy równość
AL(¾) cos k¾ = BP (¾) sin k¾, (5.23.13)
oraz z warunku na  skok pochodnej

"GP (x, ¾) "GL(x, ¾) 1

- = - = -1, (5.23.14)

"x "x p(¾)
x=¾ x=¾
gdzie funkcja p = p(x) jest współczynnikiem drugiej pochodnej funkcji y(x) w równa-
niu (5.23.1), pod warunkiem że to ostatnie zapisane jest w postaci samosprzężonej.
W naszym problemie równanie (5.23.1) ma postać samosprzężoną, p(x) = 1.
Z warunku (5.23.14) wynika, że
kBP (¾) cos k¾ + kAL(¾) sin k¾ = -1. (5.23.15)
BG AGH
238 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
A
ącząc ze sobą warunki (5.23.13) i (5.23.15), dostajemy układ równań na niewiadome
współczynniki AL oraz BP w postaci

cos k¾ - sin k¾
AL(¾) 0
= , (5.23.16)
- sin k¾ cos k¾
BP (¾) -1/k
którego rozwiązanie ma postać

AL(¾) = -(1/k) sin k¾,
(5.23.17)
BP (¾) = -(1/k) cos k¾.
Zatem poszukiwana funkcja Greena ma postać
Å„Å‚
òÅ‚ -(1/k) cos kx sin k¾; 0 x ¾,
G(x, ¾) = (5.23.18)
ół
-(1/k) sin kx cos k¾; ¾ x Ä„/k,
a więc, zgodnie z wprowadzonymi wcześniej oznaczeniami, mamy
1
GL(x, ¾) = - cos kx sin k¾, (5.23.19)
k
oraz
1
GP (x, ¾) = - sin kx cos k¾. (5.23.20)
k
W celu wyznaczenia funkcji y(x) spełniającej warunki (5.23.2) podstawiamy do wzoru
(5.23.3) otrzymaną funkcję Greena oraz niejednorodność równania (5.23.1)  w re-
zultacie dostajemy22

x Ä„/k
y(x) = d¾ GP (x, ¾)f(¾) + d¾ GL(x, ¾)f(¾)
0 x

x Ä„/k
1 1
= - sin kx d¾ ¾ cos k¾ - cos kx d¾ ¾ sin k¾. (5.23.21)
k k
0 x
Obliczenie całek występujących w tym wyrażeniu pozostawimy Czytelnikowi jako
proste ćwiczenie. Ostatecznie, rozwiązaniem równania (5.23.1) z warunkami (5.23.2)
jest funkcja

1
y(x) = sin kx - Ä„ cos kx - kx . (5.23.22)
k3
Na zakończenie proponujemy Czytelnikowi sprawdzenie poprawności otrzymanego
wyniku.
22
Porównaj dyskusję przeprowadzoną pod koniec podrozdziału 5.5.2 z  Wybranych rozdziałów. . .  .
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 239
PROBLEM 5.24
Znajdz
rozwiązanie równania
d2G(x, ¾)
= -´(x - ¾), (5.24.1)
dx2
w postaci szeregu, zakładając że funkcja Greena, spełnia
dwupunktowe warunki brzegowe w postaci
G(0, ¾) = G(1, ¾) = 0. (5.24.2)
W tym problemie pokazujemy innÄ… metodÄ™ konstruowania funkcji Greena. Jest ona
oparta na rozwiązaniu problemu własnego dla operatora różniczkowego (por. podroz-
działy 3.2 i 3.8  Wybranych rozdziałów. . .  ).
Równanie własne dla operatora
d2
L = . (5.24.3)
dx2
ma postać
d2Ć(x)
= -Ć(x), (5.24.4)
dx2
gdzie Ć(x) jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną i spełniającą warunki brzegowe
(5.24.2): Ć(0) = Ć(1) = 0. Jak dobrze wiemy, rozwiązanie ogólne równania (5.24.4)
ma postać23
" "
Ć(x) = C1 sin x + C2 cos x. (5.24.5)
Uwzględnienie warunków brzegowych prowadzi do wniosku, że funkcjami własnymi
operatora L sÄ… funkcje
Ć(x) a" Ćn(x) = C1n sin nĄx; n = 1, 2, . . . , (5.24.6)
a odpowiadające im wartości własne to  a" n = (nĄ)2, gdzie n = 1, 2, . . . Stałe C1n
wyznaczymy z warunku normalizacji

1
"
dx Ćm(x)Ćn(x) = ´nm C1n a" C1 = 2,
0
23
Takie rozwiązanie zakłada dodatniość wartości własnej . Dla  0 nie istnieją rozwiązania
spełniające warunki (5.24.2).
BG AGH
240 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
"
a więc funkcje Ćn(x) = 2 sin nĄx są ortonormalne w rozpatrywanym przedziale
z wagÄ… w(x) = 1. FunkcjÄ™ G(x, ¾) rozkÅ‚adamy teraz w szereg funkcji wÅ‚asnych, Ćn(x),
operatora L
"

G(x, ¾) = Gn(¾)Ćn(x), (5.24.7)
n=1
gdzie Gn(¾) sÄ… niewiadomymi współczynnikami rozwiniÄ™cia. Aby je wyznaczyć, wy-
starczy podstawić wyrażenie dane wzorem (5.24.7) do równania (5.24.1), a następnie
wykorzystać równanie własne (5.24.4). Mamy
"

- nGn(¾)Ćn(x) = -´(x - ¾). (5.24.8)
n=1
Mnożymy obustronnie tę równość przez funkcję Ćm(x), a następnie całkujemy obie
strony otrzymanego równania względem zmiennej x w przedziale [0, 1]

"
1 1

- nGn(¾) dx Ćn(x)Ćm(x) = - dx ´(x - ¾)Ćm(x) = -Ćm(¾) (5.24.9)
0 0
n=1
i korzystając z relacji ortonormalności funkcji własnych operatora L otrzymujemy
wyrażenie na współczynniki rozwinięcia w postaci
1 1
Gm(¾) = Ćm(¾) = Ćm(¾). (5.24.10)
m (mĄ)2
Podstawiając to wyrażenie do rozwinięcia (5.24.7), ostatecznie dostajemy poszukiwa-
ne rozwiÄ…zanie w postaci
"

sin nÄ„x sin nÄ„¾
G(x, ¾) = 2 . (5.24.11)
(nĄ)2
n=1
Pilny Czytelnik zechce powtórzyć konstrukcję funkcji Greena metodą analogiczną
do tej, jakiej użyliśmy w problemie 5.23 i dokonać konfrontacji uzyskanych wyni-
ków. Nagrodą za te (niewielkie) trudy będzie wzór na sumę odwrotności kwadratów
liczb nieparzystych, który uzyskuje się, kładąc w uzyskanych wyrażeniach  równaniu
(5.24.11) oraz  nowej definicji funkcji G, w postaci zwartej  x = ¾ = 1/2.
Przedstawiona metoda może być z powodzeniem zastosowana do rozwiązywania li-
niowych równań niejednorodnych
Ly(x) = f(x), (5.24.12)
jeśli potrafimy rozwiązać problem własny dla operatora L, tzn. znalez
ć zbiór orto-
normalnych24 funkcji własnych {Ćn(x)} i odpowiadających im wartości własnych n.
24
Dokładniej: ortonormalnych z wagą w(x) = 1. Por. uwagi na stronie 143  Wybranych rozdzia-
łów. . . 
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 241
Wówczas bowiem możemy przedstawić niewiadomą funkcję y(x) oraz funkcję f(x)
w postaci szeregów
" "

y(x) = anĆn(x), oraz f(x) = bnĆn(x). (5.24.13)
n=1 n=1
Podstawiając te rozwinięcia do równania (5.24.12), a następnie wykonując kilka pro-
stych przekształceń algebraicznych, dostajemy wyrażenie na funkcję y(x) w postaci
"

1
y(x) = bnĆn(x). (5.24.14)
n
n=1
Zwróćmy jednak uwagę, że jednoznaczne rozwiązanie, w postaci szeregu (5.24.14),
istnieje tylko w przypadku, kiedy wszystkie wartości własne są różne od zera, tzn.
n = 0, dla każdego n.

Aby pokazać związek tego rozwiązania z metodą funkcji Greena (por. podrozdział 3.8
 Wybranych rozdziałów. . .  ), wystarczy zauważyć, że współczynnik rozwinięcia bn
odpowiada rzutowi funkcji f(x) na element bazowy Ć"(x), a zatem można go wyrazić
przez iloczyn skalarny

bn = dx Ć" (x)f(x). (5.24.15)
n
Podstawiając to wyrażenie do równania (5.24.14), dostajemy

"

1
y(x) = Ćn(x) d¾ Ć" (¾)f(¾). (5.24.16)
n
n
n=1
Następnie zakładając jednostajną zbieżność sumy, możemy dokonać zamiany sumowa-
nia z całkowaniem [tak jak zrobiliśmy to w przypadku wyprowadzenia wzoru (5.24.9)]
i w rezultacie dostajemy

"

Ć" (¾)Ćn(x)
n
y(x) = d¾ f(¾). (5.24.17)
n
n=1
Wyrażenie w nawiasie klamrowym jest niczym innym jak przedstawieniem spektral-
nym funkcji Greena,
"

Ć" (¾)Ćn(x)
n
G(x, ¾) = , (5.24.18)
n
n=1
które otrzymaliśmy w tym przykładzie [por. wzór (5.24.11)]. Zatem rozwiązanie rów-
nania (5.24.12) możemy rzeczywiście przedstawić w postaci

y(x) = d¾ G(x, ¾)f(¾). (5.24.19)
BG AGH
242 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
PROBLEM 5.25
Rozwiąż, stosując metodę funkcji Greena, równanie
d2y
+ Ä„2y(x) = - cos Ä„x (5.25.1)
dx2
dla zmiennej x należącej do przedziału [0, 1], z warunkami
y(0) = y(1), (5.25.2)
y (0) = y (1). (5.25.3)
Schemat rozwiązywania równań różniczkowych metodą funkcji Greena przedstawiony
w podrozdziale 5.5.2  Wybranych rozdziałów. . .  wymaga sformułowania warunków
brzegowych niezależnie ( osobno ) dla obu krańców przedziału zmiennej x. W tym
problemie, warunki uległy swoistemu  wymieszaniu  przekonamy się, że metoda
funkcji Greena będzie i tutaj skuteczna.
Przede wszystkim rzÄ™dzie zauważmy, że dwie funkcje GL(x, ¾) i GP (x, ¾), okreÅ›lone
odpowiednio dla  lewej (0 x < ¾) i  prawej (¾ < x 1) części przedziaÅ‚u bÄ™dÄ…
na pewno liniowymi kombinacjami rozwiązań równania jednorodnego w stosunku do
równania (5.25.1), którymi są funkcje cos Ąx i sin Ąx. Możemy więc zapisać
GL(x, ¾) = aL cos Ä„x + bL sin Ä„x, (5.25.4)
GP (x, ¾) = aP cos Ä„x + bP sin Ä„x. (5.25.5)
Cztery współczynniki aL, bL, aP i bP (zależne od konkretnej wartoÅ›ci ¾) wyznaczymy
z układu czterech równań: dwa warunki brzegowe (5.25.2) i (5.25.3) uzupełnimy
o warunek równoÅ›ci obu funkcji w punkcie x = ¾
GP (¾, ¾) - GL(¾, ¾) = 0 (5.25.6)
i warunek na skok pochodnej

"GP "GL 1

- = - = -1. (5.25.7)

"x "x p(¾)
x=¾ x=¾
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 243
Układ czterech równań będzie miał postać:
üÅ‚
(5.25.6) aP cos Ä„¾ + bP sin Ä„¾ - aL cos Ä„¾ - bL sin Ä„¾ = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
żł
(5.25.7) Ä„ [-aP sin Ä„¾ + bP cos Ä„¾ + aL sin Ä„¾ - bL cos Ä„¾] = -1,
(5.25.8)
ôÅ‚
(5.25.2) aP cos Ä„ + bP sin Ä„ - aL cos 0 - bL sin 0 = 0, ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
þÅ‚
(5.25.3) Ä„ [-aP sin Ä„ + bP cos Ä„ + aL sin 0 - bL cos 0] = 0.
Pozostaje tylko zastosowanie metody Cramera  wyznacznik główny układu25 to


cos Ä„¾ sin Ä„¾ - cos Ä„¾ - sin Ä„¾



- sin Ä„¾ cos Ä„¾ sin Ä„¾ -bL cos Ä„¾

= 4,

-1 0 -1 0



0 -1 0 -1
natomiast wzory okreÅ›lajÄ…ce poszczególne współczynniki aL,P = aL,P (¾)
i bL,P = bL,P (¾) to


0 sin ¾ - cos ¾ - sin ¾


1

1 1
- cos ¾ sin ¾ - cos ¾

aP = = sin Ä„¾,
Ä„

4 2Ä„

0 0 -1 0


0 -1 0 -1


cos ¾ 0 - cos ¾ - sin ¾


1

1 1
- sin ¾ - sin ¾ - cos ¾

bP = = - cos Ä„¾,
Ä„

4 2Ä„

-1 0 -1 0


0 0 0 -1


cos ¾ sin ¾ 0 - sin ¾


1

1 1
- sin ¾ cos ¾ - sin ¾

aL = = - sin Ä„¾,
Ä„

4 2Ä„

-1 0 0 0


0 -1 0 -1


cos ¾ sin ¾ - cos ¾ 0


1

1 1
- sin ¾ cos ¾ sin ¾ -

bL = = cos Ä„¾.
Ä„

4 2Ä„

-1 0 -1 0


0 -1 0 0
25
Drugie i czwarte równanie układu (5.25.8) dzielimy przez Ą.
BG AGH
244 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
Podstawiając z tych do równań wzorów (5.25.4) i (5.25.5) otrzymujemy dwie skła-
dowe funkcji Greena
üÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
GL(x, ¾) = (- cos Ä„x sin Ä„¾ + sin Ä„x cos Ä„¾) ; 0 x < ¾, ôÅ‚
żł
2Ä„
(5.25.9)
ôÅ‚
1 ôÅ‚
ôÅ‚
þÅ‚
GP (x, ¾) = (cos Ä„x sin Ä„¾ - sin Ä„x cos Ä„¾) ; ¾ < x 1.
2Ä„
Zauważmy, że zamiana zmiennych x "! ¾ (a wiÄ™c i zamiana relacji pomiÄ™dzy x i ¾ na
przeciwne), powoduje  wymianę składowych
GL(x, ¾) "! GP (¾, x) i GP (x, ¾) "! GL(¾, x)
 tak jak należało tego oczekiwać.
Pozostaje podstawienie do podstawowego wzoru

1 x 1
y(x) = f(¾)G(x, ¾) d¾ = f(¾)GP (x, ¾) d¾ + f(¾)GL(x, ¾) d¾
0 0 x

x
1
= cos Ä„¾ (cos Ä„x sin Ä„¾ - sin Ä„x cos Ä„¾) d¾
2Ä„
0

1
1
+ cos Ä„¾ (- cos Ä„x sin Ä„¾ sin Ä„x cos Ä„¾) d¾
2Ä„
x
1
= · · · = [1 - 2x] sin Ä„x.
4Ä„
Czytelnika zachęcamy do wykonania wszystkich (!) rachunków samodzielnie, a także
do sprawdzenia, czy uzyskane rozwiązanie spełnia równanie i warunki pojawiające się
w temacie zadania.
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 245
PROBLEM 5.26
Stosując metodę funkcji Greena, przekształć równanie
d2y
+ y(x) = ex, (5.26.1)
dx2
poddane warunkom
y(0) = y (0) (5.26.2)
y(1) = y (1), (5.26.3)
w równoważne mu równanie całkowe.
W podrozdziale 5.1  Wybranych rozdziałów. . .  pokazana jest ekwiwalencja równania
całkowego i układu: równanie różniczkowe oraz warunki brzegowe, spełniane przez
rozwiązanie równania. Przy okazji pokazana jest też metoda przekształcenia takiego
układu w równanie całkowe  za pomocą bezpośredniego rachunku. Warto jednak zdać
sobie sprawę z faktu, że technika funkcji Greena pozwala dokonać takiej transformacji
w sposób prostszy.
Równanie (5.26.1) możemy przecież traktować jako równanie typu
Ly(x) = -f(x), (5.26.4)
poddane warunkom (5.26.2) i (5.26.3), w którym operator L to operator drugiej
pochodnej, a  niejednorodność tego równania, funkcja f(x) to
f(x) = y(x) - ex. (5.26.5)
Konstruując funkcję Greena dla operatora L, spełniającą warunki (5.26.2) i (5.26.3),
będziemy mogli użyć standardowej formuły

1
y(x) = f(¾)G(x, ¾) d¾ (5.26.6)
0
 podstawienie w niej funkcji f(¾) okreÅ›lonej przez (5.26.5) doprowadzi wÅ‚aÅ›nie do
równania całkowego.
Konstrukcja funkcji Greena jest bardzo prosta. Jednorodne równanie
d2y
= 0
dx2
BG AGH
246 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
ma rozwiązanie ogólne
y(x) = Ax + B. (5.26.7)
Dwa rozwiÄ…zania: y1(x), dla lewej części przedziaÅ‚u 0 x < ¾, speÅ‚niajÄ…ce warunek
(5.26.2) oraz y2(x), dla prawej części przedziaÅ‚u ¾ < x 1, speÅ‚niajÄ…ce warunek
(5.26.3) to odpowiednio (z dokładnością do stałej multyplikatywnej)
y1(x) = x + 1,
y2(x) = x.
Wykorzystując nasze doświadczenie w konstrukcji funkcji Greena, a konkretnie sy-
metrię funkcji [por. też {5.143}], możemy napisać

C(x + 1)¾; 0 x < ¾,
G(x, ¾) = (5.26.8)
Cx(1 + ¾); ¾ < x 1,
gdzie stałą C określimy ze skoku pochodnej
"G(x, ¾) "G(x, ¾) 1
|x=¾ - |x=¾- = - = -1 C = -1,
+
"x "x p(¾)
a więc ostatecznie

-(x + 1)¾; 0 x < ¾,
G(x, ¾) = (5.26.9)
-x(1 + ¾); ¾ < x 1.
Powracamy do równania (5.26.6), w którym podstawiamy za f(¾) wyrażenie (5.26.5),
a za funkcję Greena  wyrażenie (5.26.9).Otrzymujemy

1 1 1
y(x) = f(¾)G(x, ¾) d¾ =  y(¾) d¾ + [-e¾]G(x, ¾) d¾
0 0 0

1 x 1
=  G(x, ¾)y(¾) d¾ - x [-e¾](1 + ¾) d¾ - (1 + x) [-e¾]¾ d¾
0 0 x

1
= . . . =  G(x, ¾)y(¾) d¾ + ex. (5.26.10)
0
Otrzymane równanie to równanie typu Fredholma, drugiego rodzaju, niejednorodne
z jądrem określonym alternatywą (5.26.9).
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 247
PROBLEM 5.27
Znajdz
funkcjÄ™ Greena dla operatora
d2
L = - k2. (5.27.1)
dx2
Rozpatrz przypadki:
a) skończonego przedziału zmiennej x; x " [0, a];
b) przedziału nieskończonego x " (-", +").
Jako warunki brzegowe przyjmij znikanie funkcji Greena
na krańcach przedziału.
Problem ten jest bliski problemowi 5.23  występujący tam operator miał postać bar-
dzo zbliżoną do postaci operatora w równaniu (5.27.1), chociaż warunki brzegowe,
jakim poddane było rozwiązanie były nieco inne. Ponieważ jest to ostatni problem
tego rozdziału, poświęcony funkcjom Greena, rozwiążemy go w sposób możliwie kom-
pletny, rozpatrując różne możliwe techniki, prowadzące do rozwiązania.
Ad a) x " [0, a]; warunki
G(x = 0, ¾) = 0, (5.27.2)
G(x = a, ¾) = 0. (5.27.3)
Zgodnie ze schemat opisanym w podrozdziale 5.5.2  Wybranych rozdziałów. . .  roz-
poczynamy od rozwiązania równania jednorodnego
d2y
Ly(x) = - k2y(x) = 0. (5.27.4)
dx2
Jego rozwiązanie ogólne to funkcja y0(x)
y0(x) = Aekx + Be-kx. (5.27.5)
Dla  lewej (L) części przedziaÅ‚u zmiennej x, tzn. dla x " [0, ¾), dobieramy staÅ‚e A
i B tak, aby funkcja
y1(x) a" ALekx + BLe-kx; 0 x < ¾, (5.27.6)
spełniała warunek (5.27.2). Mamy
y1(0) = AL + BL = 0, BL = -AL,
BG AGH
248 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
albo

AL
y1(x) = AL ekx - e-kx = sinh kx. (5.27.7)
2
Stała multiplikatywna, AL/2, nie jest w tym rozwiązaniu istotna, dlatego ostatecznie
możemy przyjąć
y1(x) = sinh kx; 0 x < ¾. (5.27.8)
Znalezienie odpowiedniego rozwiązania dla  prawej części (P ) przedziału zmiennej
x, tzn. dla x " (¾, a] wymaga nieco wiÄ™cej zachodu. Mamy
y2(x) a" AP ekx + BP e-kx; ¾ < x a (5.27.9)
z warunkiem (5.27.3), a więc
y2(a) = AP eka + BP e-ka = 0.
Jedną z dwóch stałych AP i BP możemy przyjąć dowolnie (rozwiązanie równania
jednorodnego są przecież zawsze określone z dokładnością do pewnego stałego mnoż-
nika); kładąc AP = e-ka, dostajemy
y2(a) = e-kaeka + BP e-ka = 0 BP = -eka,
a więc
1
y2(x) = ek(x-a) - e-k(x-a) = sinh(x - a). (5.27.10)
2
Pomijamy znowu nieistotny czynnika 1/2; przyjmujemy
y2(x) = sinh k(x - a); ¾ < x a. (5.27.11)
Operator równania ma postać  por. (5.27.1)  samosprzężoną, warunki brzegowe są
dwupunktowe  zatem funkcja Greena bÄ™dzie symetryczna G(x, ¾) = G(¾, x). Korzy-
stamy z równania {5.143} i zapisujemy
Å„Å‚
1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - y1(x)y2(¾) = - sinh kx sinh k(¾ - a) 0 x < ¾,
òÅ‚
C C
G(x, ¾) = (5.27.12)
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 1
ôÅ‚
ół - y2(x)y1(¾) = - sinh k(x - a) sinh k¾ ¾ < x a.
C C
Wyznaczenie czynnika -1/C wymaga skorzystania z warunku na  skok pochodnej
funkcji Greena dla x = ¾. Ze wzoru {5.117}
+
"G x=¾ 1

= - = -1 {5.117}

"x p(¾)
x=¾-
(nasze p(x) w (5.27.1) to jedność!) dostajemy
1 "
- [sinh k(x - a) sinh k¾ - sinh kx sinh k(¾ - a)]x=¾ = -1,
C "x
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 249
albo
k [cosh k(¾ - a) sinh k¾ - cosh kx sinh k(¾ - a)]x=¾ = C.
Po podstawieniu x = ¾ przeksztaÅ‚camy wyrażenie w kwadratowym nawiasie, korzy-
26
stając z tożsamości
sinh Ä… cosh ² - cosh Ä… sinh ² = sinh(Ä… - ²).
Ostatecznie otrzymujemy
k sinh[k¾ - (k¾ - ka)] = k sinh[ka] = C. (5.27.13)
PodstawiajÄ…c do (5.27.12), mamy
Å„Å‚
ôÅ‚
sinh kx sinh k(¾ - a) 0 x < ¾,
òÅ‚
1
G(x, ¾) = - × (5.27.14)
ôÅ‚
k sinh ka
ół
sinh k(x - a) sinh k¾ ¾ < x a,
albo, pozbywajÄ…c siÄ™ ujemnych znaków (wyrażenia (¾ - a) i (x - a) sÄ… zawsze nie-
dodatnie)
Å„Å‚
ôÅ‚
sinh kx sinh k(a - ¾) 0 x < ¾,
òÅ‚
1
G(x, ¾) = × (5.27.15)
ôÅ‚
k sinh ka
ół
sinh k(a - x) sinh k¾ ¾ < x a.
Zauważmy, że nasz problem można także rozwiązać, korzystając z wzorów, jakie po-
jawiają się w podrozdziale 3.8  Wybranych rozdziałów. . .  . Wzór {3.131} możemy
przepisać  dla  jednowymiarowego zagadnienia, z jakim mamy tu do czynienia 
w postaci
"

Ćn(x)Ćn(¾)
G(x, ¾) = . (5.27.16)
2
k2 + kn
n=0
Zmieniliśmy tylko znak stałej k2 w równaniu {3.131}, gdyż to ostatnie odpowiada
przypadkowi operatora Helmholtza " + k2, a nasz operator (5.27.1) zawiera ujemnÄ…
stałą -k2. Funkcje Ćn(x) to unormowane rozwiązania równania (por. {3.123})
d2Ćn(x)
2
= -knĆn(x),
dx2
spełniające warunki (5.27.2) i (5.27.3): Ćn(0) = Ćn(a) = 0, a więc

2
2 2 nĄ nĄ
2
Ćn(x) = sin knx = sin x; kn = ; n = 1, 2, . . . (5.27.17)
a a a a
26
Nieufny Czytelnik, pamiętający zapewne identyczną tożsamość dla  zwykłych sinusów i kosi-
nusów może sprawdzić ten wzór, podstawiając za funkcje hiperboliczne sumy i różnice eksponent,
z dodatnim i ujemnym wykładnikiem. Za słusznością wzoru przemawiają także odpowiednie parzy-
stości funkcji hiperbolicznych.
BG AGH
250 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena

a
(Czynnik (2/a) to konsekwencja unormowania funkcji: Ć2 (x) dx = 1, dla każdego
n
0
n; por. problem 5.25.) Jeżeli tak, to nic nie stoi na przeszkodzie, aby funkcję Greena
operatora (5.27.1) zapisać w postaci
nĄ nĄ
"
sin x sin ¾

2
a a
G(x, ¾) = . (5.27.18)
2
a nĄ
n=1
k2 +
a
Taka postać może nie być specjalnie  wygodna w standardowych rachunkach, z jaki-
mi mamy do czynienia przy rozwiązywaniu równań niejednorodnych metodą funkcji
Greena, ale może być przydatna, jeżeli w rozwiązywanym problemie pojawią się obiek-
ty (funkcje) zapisane w języku funkcji bazowych Ćn(x).
Ad b) x " (-", +"); warunki
lim G(x, ¾) = 0, (5.27.19)
x-"
lim G(x, ¾) = 0. (5.27.20)
x+"
Odpowiednikami funkcji y1 i y2 z pierwszej części problemu, a więc rozwiązaniami
równania (5.27.1), spełniającymi warunki (5.27.19) lub (5.27.20) będą teraz proste
y1 = ekx; x " (-", ¾), (5.27.21)
y2 = e-kx; x " (¾, "). (5.27.22)
FunkcjÄ™ Greena zapisujemy w postaci
Å„Å‚
1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - y1(x)y2(¾) = - ekxe-k¾ -" < x < ¾,
òÅ‚
C C
G(x, ¾) = (5.27.23)
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 1
ôÅ‚
ół - y2(x)y1(¾) = - e-kxek¾ ¾ < x < ".
C C
Jeszcze raz korzystamy z wzoru {5.117} dla obliczenia skoku pochodnej i stałej -1/C.
Proste rachunki prowadzÄ… do

1 "
- e-kxek¾ - ekxe-k¾ = -1,
x=¾
C "x
albo -1/C = 1/(2k), skÄ…d
Å„Å‚
1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - y1(x)y2(¾) = ekxe-k¾ -" < x < ¾,
òÅ‚
C 2k
G(x, ¾) = (5.27.24)
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 1
ôÅ‚
ół - y2(x)y1(¾) = e-kxek¾ ¾ < x < ".
C 2k
Dociekliwy Czytelnik może odczuwać pewien dyskomfort, związany z nieskończono-
ścią przedziału naszej zmiennej x. Czy schematy, które wprowadziliśmy w  Wybra-
nych rozdziałach. . .  dla w zasadzie skończonego przedziału można bezkarnie powielać
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 251
w sytuacji, kiedy oba końce przedziału uciekają do nieskończoności? A konkretnie,
czy mamy prawo oczekiwać, że dla takiego przedziału funkcja Greena będzie sy-
metryczna? Aby rozwiać te wątpliwości, powtórzmy konstrukcję funkcji Greena dla
operatora (5.27.1) i przedziału x " (-", +"), posługując się . . . bezpośrednim ra-
chunkiem. Przy okazji, przypomnimy sobie nasze skromne wiadomości z  funkcji
Diraca i  funkcji Heaviside a . Ta ostatnia to  por. {2.205} 

0 x < ¾,
H(x - ¾) = (5.27.25)
1 x > ¾,
dodatkowo  por. {2.206}  pochodna  funkcji Heaviside a to delta Diraca
"H(¾ - x) "H(x - ¾)
- = = ´(x - ¾) = ´(¾ - x). (5.27.26)
"x "x
Wprowadzając  funkcję Heaviside a, możemy zapisać naszą funkcję Greena dla ope-
ratora (5.27.1) oraz obu(!) warunków (5.27.19) oraz (5.27.20) w postaci
G(x, ¾) = ekxu1(¾)H(¾ - x) + e-kxu2(¾)H(x - ¾). (5.27.27)
W postaci tej wprowadziliÅ›my specjalnie oznaczenia u1,2(¾) na części zależne od
zmiennej ¾  rezygnujemy z postulatu a priori symetrii naszej funkcji; funkcje H
od odpowiednich argumentów  wycinają z tego ogólnego wzoru odpowiednie jego
wyrazy, w zależnoÅ›ci od relacji pomiÄ™dzy zmiennymi x i ¾.
Funkcja Greena powinna spełniać niejednorodne równanie różniczkowe, z operato-
rem L, określonym przez (5.27.1) i z niejednorodnością reprezentowaną przez deltę
Diraca27:
"2G(x, ¾)
- k2G(x, ¾) = -´(x - ¾). (5.27.28)
"x2
Zaczynamy od obliczenia pierwszej pochodnej funkcji G(x, ¾) [wzór (5.27.27)] wzglÄ™-
dem x, pamiętając o relacji (5.27.26). Mamy (uwaga na wszystkie ujemne znaki przy
różniczkowaniu!)

"G
= k ekxH(¾ - x)u1(¾) - e-kxH(x - ¾)u2(¾)
"x

- ekxu1(¾) - e-kxu2(¾) ´(x - ¾). (5.27.29)
W wyrażeniu na pierwszą pochodną funkcji Greena nie ma jednak miejsca na deltę
Diraca. Gdyby jej współczynnik  wyraz w kwadratowym nawiasie w drugim wierszu
równania (5.27.29)  był różny od zera, to obliczenie drugiej pochodnej funkcji G
27
Podobnie jak w równaniu (5.27.26), a także wszystkich poprzednich problemach dotyczących
funkcji Greena, używamy i w tym problemie symbolu pochodnej cząstkowej ze względów czysto
formalnych; dodajmy jednak, że mimo, że funkcja Greena jest funkcją dwóch zmiennych bardzo
często w literaturze przedmiotu profesjonaliści stosują znak pochodnej zwyczajnej.
BG AGH
252 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
doprowadziłoby nas do obliczania pochodnej z delty Diraca  a tego absolutnie nie
potrafimy zrobić! Dlatego też

ekxu1(¾) - e-kxu2(¾) ´(x - ¾) = ek¾u1(¾) - e-k¾u2(¾) ´(x - ¾) = 0
[pamiÄ™tamy  por. wzór {2.202}  f(x)´(x - a) = f(a)´(x - a)], a stÄ…d
ek¾u1(¾) = e-k¾u2(¾) a" u(¾).
Nasze  ciągle nieokreślone  funkcje u1,2(x) możemy więc zapisać jako
u1(¾) = e-k¾u(¾), (5.27.30)
u2(¾) = ek¾u(¾). (5.27.31)
Wzór (5.27.27) ulegnie więc pewnemu uproszczeniu; dostajemy

G(x, ¾) = u(¾) ek(x-¾)H(¾ - x) + e-k(x-¾)(¾)H(x - ¾) . (5.27.32)
Z kolei, pierwsza pochodna funkcji G, po podstawieniu uzyskanych wyników do (5.27.29)
będzie miała postać

"G
= ku(¾) e-k(¾-x)H(¾ - x) - e-k(x-¾)H(x - ¾) . (5.27.33)
"x
Różniczkujemy raz jeszcze (5.27.33) względem zmiennej x. Mamy

"2G
= k2u(¾) e-(k-x)H(¾ - x) + e-k(x-¾)H(x - ¾)
"x2

- ku(¾) e-k(¾-x) + e-k(x-¾) ´(x - ¾). (5.27.34)
Drugi wyraz po prawej stronie  jeszcze raz korzystamy z {2.202}  redukuje siÄ™
jednak do prostego

-ku(¾) e-k(¾-x) + e-k(x-¾) ´(x - ¾) = -2ku(¾)´(x - ¾).
Ostatecznie  podstawiamy do (5.27.28) z (5.27.34) i (5.27.32)  nasze równanie
dla funkcji G(x, ¾) to
"2G(x, ¾)
- k2G(x, ¾) = -2ku(¾)´(x - ¾) = -´(x - ¾). (5.27.35)
"x2
Ostatnia równość pozwala nam okreÅ›lić funkcjÄ™ u(¾)
1
u(¾) = ;
2k
BG AGH
Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena 253
podstawiajÄ…c do (5.27.32), otrzymujemy

1
G(x, ¾) = ek(x-¾)H(¾ - x) + e-k(x-¾)(¾)H(x - ¾) , (5.27.36)
2k
w zgodzie z uzyskanym wcześniej równaniem (5.27.24), zapisanym w postaci dwu-
wierszowej alternatywy.
Super-dociekliwemu Czytelnikowi możemy jeszcze zaprezentować weryfikację wzorów
(5.27.24) oraz (5.27.36), korzystającą z rozkładu na funkcje bazowe. Jest to w pew-
nym stopniu niespodzianka, gdyż na pierwszy rzut oka trudno nam wyobrazić sobie
nieskończony zbiór funkcji Ćn(x), które spełniałyby równanie
d2Ćn(x)
2
= -knĆn(x) (5.27.37)
dx2
i dodatkowo warunki (5.27.19) i (5.27.20): Ćn(-") = Ćn(") = 0. Z teorii szeregów
Fouriera28 wynika jednak, że trochę  wbrew regułom taką zespoloną bazę fourierow-
ską z ciągłym widmem wartości własnych tworzą funkcje
1
"
Ćº(x) = eiºx, gdzie º dowolna liczba z przedziaÅ‚u (-", +"). (5.27.38)
2Ä„
Funkcje te są unormowane  ale w przedziale [-Ą, +Ą]  całka

2
+Ä„

Ćº(x) dx = 1 (5.27.39)

-Ä„
i niewątpliwie ortogonalne w całym przedziale zmiennej x

+" +"
1
Ćº(x)Ć" (x) dx = eiºxe-iº x dx
º
2Ä„
-" -"

+"
1
= ei(º-º )x dx = ´(º - º )
2Ä„
-"
= 0 dla º = º . (5.27.40)

Pojawienie się definicji całkowej dirakowskiej delty  por. wzór {2.193}, a także wzór
(5.3.4) w problemie 5.3  to konsekwencja ciągłego widma wartości własnych rów-
nania (5.27.37): kn º, przy czym, tak jak powiedzieliÅ›my, º jest dowolnÄ… liczbÄ….
Odpowiednikiem wzoru (5.27.16) będzie teraz

" +"
Ćº(x)Ć"(¾) 1 eiº(x-¾)
º
G(x, ¾) = dº = dº (5.27.41)
º2 + k2 2Ä„ º2 + k2
-" -"
 zamiast sumy pojawiła się całka, a znak sprzężenia zespolonego [podobnie jak
w (5.27.40)] jest potrzebny, bo nasze funkcje bazowe nie są już rzeczywiste; użycie ze-
spolonej sprzężonej gwarantuje nam nieujemność kwadratu normy funkcji bazowych,
28
Na przykład F.Sneddon,  Fourier Transforms , Dover Books on Mathematics, 1995.
BG AGH
254 Równania i transformaty całkowe. Funkcje Greena
por. (5.27.39). Całkę pojawiającą się w (5.27.41) obliczymy oczywiście rachunkiem
residuów; funkcja podcałkowa ma na płaszczyz
nie zespolonej Ǻ dwie osobliwości
biegunowe (bieguny 1. rzÄ™du) w punktach º = Ä…ik, leżących na osi urojonej, sy-
metrycznie względem osi rzeczywistej. Funkcja podcałkowa spełnia warunki lematu
Jordana (por. podrozdział 1.1.1  Wybranych rozdziałów. . .  , a także problemy 5.9
i 5.10 tego rozdziaÅ‚u); w zależnoÅ›ci od relacji pomiÄ™dzy x i ¾ zamykamy kontur caÅ‚-
kowania półkolem na górnej półpłaszczyz
nie (º) 0)  dla x > ¾, albo na dolnej
półpłaszczyz
nie (º) 0)  dla x < ¾ (w tym drugim przypadku dodatni kierunek
obiegu konturu caÅ‚kowania odpowiada przejÅ›ciu od º = +" do º = -"!). Funkcja
Greena określona wzorem (5.27.41) przybiera postać
Å„Å‚
ôÅ‚
eiº(x-¾) e-k(x-¾)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ = dla x > ¾,
ôÅ‚
ôÅ‚
º + ik 2k
òÅ‚
º=ik
1
G(x, ¾) = · 2Ä„i ×

ôÅ‚
2Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚ eiº(x-¾) ek(x-¾)

ôÅ‚
ôÅ‚
= dla x < ¾.
ôÅ‚
ół

º - ik 2k
º=-ik
Zauważmy, że uzyskaną alternatywę
Å„Å‚
ôÅ‚
e-k(x-¾)
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x > ¾
ôÅ‚
òÅ‚
2k
G(x, ¾) = (5.27.42)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ek(x-¾)
ôÅ‚
ół
dla x < ¾
2k
możemy też zapisać w postaci zgrabnego wzoru
1
G(x, ¾) = e-k|x-¾|, (5.27.43)
2k
obowiązującego dla całego zakresu zmiennej x i pozostającego w pełnej zgodności
z rozwiÄ…zaniami (5.27.24) oraz (5.27.36).
BG AGH