MATURA 2006
Trening przed maturÄ…  MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Trening A  pełne rozwiązania
Wszystkie poniższe zadania pochodzą z ksiązki naszego wydawnictwa
 Matematyka  nowa matura - 1001 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami
cz.II . Numeracja zadań jest zgodna z książką.
Opracowanie:
dr inż. Artur NOWOŚWIAT, autor książki.
ROZWI
ZANIA ZADAC

Trening A (A
atwiejszy)
3
12. 38 +17 5 = 9 + 4 5 .
Podnosząc obie strony równości do potęgi 6 otrzymujemy postać równoważną, gdyż lewa
i prawa strona równości są dodatnie:
23
= .
(38 +17 5) (9 + 4 5)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, mamy:
L = 1444 +1292 5 +1445 = 2889 +1292 5 ,
P = 729 + 972 5 + 2160 + 320 5 = 2889 +1292 5 . Zatem L = P .
21. Zgodnie z założeniami zadania mamy:
1 1 1 1 4 3
öÅ‚ öÅ‚ëÅ‚1- öÅ‚
v1 = vëÅ‚1+ , oraz v2 = v1 ëÅ‚1- öÅ‚ , zatem v2 = vëÅ‚1+ = v Å" Å" = v .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
3 4 3 4 3 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Odp. Cena produktu nie zmieniła się i wynosi v.
65. W ciÄ…gu jednego dnia pracy trzej pracownicy wykonajÄ…:
1 1 1 1 1 1 5 4 3 12 1
+ + = + + = + + = = część pracy.
12 15 20 3Å" 4 3Å"5 4Å"5 3Å" 4Å"5 3Å" 4Å"5 3Å" 4Å"5 12Å"5 5
Zatem całą pracę wykonają w 5 dni.
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.matura.onet.pl - Trening przed maturÄ… - MATEMATYKA strona 1
127. Zgodnie z założeniem zadania mamy:
g b = b2 + 2b2 - b = 3b2 - b . Rozwiązujemy więc równanie:
( )
g b =-b , czyli 3b2 - b =-b , 3b2 = 0 , b = 0 .
( )
Odp. b = 0 .
197. Reszta ta wynosi W , wobec tego:
(-1
)
W =
(-1
) (-1 -(-1 +
)4000 )3999 (-1 +
)1997 (-1 - 4 = 1+1-1+1- 4 =-2 .
)1996
327. Równanie trygonometryczne cos x = a ma rozwiązanie, gdy -1 d" a d" 1, otrzymujemy:
-1 d" m +1 d" 1. Dodając -1 do stron nierówności, mamy:
- 2 d" m d" 0. Mamy więc: m " - 2, 0 .
463. Mamy ciÄ…g arytmetyczny a1, a2, a3, , an .
Z warunków zadania otrzymujemy:
a1 + a4 = 11,
Å„Å‚
òÅ‚a Å" a3 = 7.
ół 1
Najpierw wyznaczamy ten ciąg. Stosując wzór na n- ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy
układ równań który rozwiązujemy:
a1 + a1 + 3r = 11, 2a1 + 3r = 11,
Å„Å‚ Å„Å‚
òÅ‚a Å" a1 + 2r = 7. òÅ‚a Å" a1 + 2r = 7.
( ) ( )
1 1
ół ół
11- 2a1
Z pierwszego równania wyznaczamy r = i wstawiamy do drugiego równania
3
ëÅ‚ 11 2 öÅ‚
a1 ìÅ‚ a1 + 2Å"ëÅ‚ - a1 öÅ‚ = 7 .
ìÅ‚÷Å‚÷Å‚
3 3
íÅ‚Å‚Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe
1 22
2 2
- a1 + a1 - 7 = 0, a1 - 22a1 + 21 = 0 .
3 3
StÄ…d a1 = 1 (" a1 = 21.
11 2 9
Dla a1 = 1 mamy r = - Å"1 = = 3.
3 3 3
11 2 11
Dla a1 = 21 mamy r = - Å" 21 = -14 < 0 sprzeczność, gdyż dla r < 0 nie wszystkie wyrazy
3 3 3
ciągu będą dodatnie.
Ostatecznie otrzymujemy ciąg w którym a1 = 1, r = 3.
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.matura.onet.pl - Trening przed maturÄ… - MATEMATYKA strona 2
Szukana różnica p wynosi:
p = a2 + a4 + + a200 a1 + a3 + + a199 = a2 - a1 + a4 - a3 + + a200 - a199 =
( )-( ) ( ) ( ) ( )
=100r = 300.
Odp. Suma wyrazów o numerach parzystych jest o 300 większa od sumy wyrazów o
numerach nieparzystych.
613*. Wyznaczamy promień r okręgu.
Sześciokąt składa się z sześciu trójkątów równobocznych o
r
3
boku r. Pole każdego z tych trójkątów jest równe r2 . Pole
r
r
4
figury podanej w treści zadania jest równe różnicy pól koła i
sześciokąta foremnego. Mamy więc kolejno:
3
Ä„ r2 - 6Å" r2 = 4Ä„ - 6 3 ,
4
4Ä„ - 6 3
r2 Å"= 4Ä„ - 6 3 ,
4
r2
= 1, stąd r2 = 4 , a więc r = 2 . Stąd obwód okręgu 2Ą r = 4Ą .
4
Odp. Obwód okręgu jest równy 4Ą .
675.
Promień kuli opisanej na sześcianie o krawędzi a jest połową jego
1
R1
przekątnej R1 = a 3 , natomiast promień kuli wpisanej w ten
2
R2 R2
1
sześcian jest połową jego krawędzi R2 = a . Różnica objętości
2
R1
wynosi:
îÅ‚ëÅ‚ öÅ‚3 ëÅ‚ 1 3 Å‚Å‚
4 4 44 1
333 3
V1 -V2 = Ä„ R1 - Ä„ R2 = Ä„ R1 - R2 = Ä„ a 3 - aöÅ‚ śł =
( ) ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 33 2
ïÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ 2 Å‚Å‚ śł
ðÅ‚ûÅ‚
4 11 4 11
ëÅ‚
= Ä„ Å"3a3 3 - a3 öÅ‚ = Ä„ Å" a3 3 3 -1 = Ä„ a3 3 3 -1 .
( ) ( )
ìÅ‚÷Å‚
3 88 3 86
íÅ‚Å‚Å‚
1
Odp. Różnica objętości wynosi Ą a3 3 3 -1 .
( )
6
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.matura.onet.pl - Trening przed maturÄ… - MATEMATYKA strona 3
766. W celu wyznaczenia punktu symetrycznego do punktu A( - 2, 9 ) względem prostej l o
2
równaniu y = x + 6 znajdujemy prostą l prostopadłą do danej prostej i przechodzącą przez
3
punkt A. Następnie wyznaczamy punkt przecięcia tych prostych. Póz
niej wyznaczamy punkt
2
symetryczny do A korzystając ze wzoru na środek odcinka. Ponieważ ml = , więc
3
3 3
2
z warunku prostopadłości ml2 =- . Zatem l : y - 9 =- ( )
x + 2 .
2 2
l Wyznaczamy punkt S przecięcia prostych l i l :
y
A - 2, 9
( )
Å„Å‚y - 9 =- 3
x + 2 ,
( )
ôÅ‚
ôÅ‚
2
òÅ‚
S a, b
( )
2
ôÅ‚
2
A x1, y1
( ) y = x + 6.
ôÅ‚
ół 3
x
Podstawiając y z drugiego równania do równania
2
l
pierwszego mamy
23
x + 6 - 9 =- x - 3,
32
2 3
ëÅ‚ öÅ‚
+ x = 0, x = 0 .
ìÅ‚ ÷Å‚
3 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Stąd S 0, 6 . Ponieważ S jest środkiem odcinka AA , więc
( )
-2 + x1 9 + y1
= 0, = 6, stÄ…d x1 = 2, y1 = 3.
22
2
Odp. Punkt A ( 2, 3 ) jest symetryczny do punktu A.
906. Wyznaczamy liczbę osób w poszczególnych grupach wiekowych:
Liczba osób z przedziału wiekowego 18  25 lat:
301
Å"120 = Å"120 = 10 .
360 12
Liczba osób z przedziału wiekowego 26  30 lat:
60
Å"120 = 20 .
360
Liczba osób z przedziału wiekowego 31  45 lat:
1201
Å"120 = Å"120 = 40 .
3603
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.matura.onet.pl - Trening przed maturÄ… - MATEMATYKA strona 4
Liczba osób z przedziału wiekowego powyżej 45 lat:
150
Å"120 = 50.
360
wiek 18 - 25 26 - 30 31 - 45 e" 46
liczba osób 10 20 40 50
a) KorzystajÄ…c ze schematu losowania bez zwracania:
d"30 lat >30lat
120 = 30 + 90
2 = 0 + 2
Mamy więc
90
ëÅ‚ öÅ‚
90Å"89
ìÅ‚ ÷Å‚
2
90Å"89 267
1Å"2
íÅ‚ Å‚Å‚
P A = = == .
( )
120Å"119
120
ëÅ‚ öÅ‚ 120Å"119 476
ìÅ‚ ÷Å‚
1Å"2
2
íÅ‚ Å‚Å‚
b) Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, że obie osoby mają mniej niż 45 lat:
70
ëÅ‚ öÅ‚
70Å"69
ìÅ‚ ÷Å‚
2
7Å"69 7 Å"23 161
íÅ‚ Å‚Å‚
1Å" 2
2
P B = === = ,
( )
120Å"119
120
ëÅ‚ öÅ‚ 12Å"119 4Å"119 476
ìÅ‚ ÷Å‚
1Å" 2
2
íÅ‚ Å‚Å‚
wobec tego:
161 315
2
P B =1- P B =1- = .
( ) ( )
476 476
c) Ponieważ 10 osób ma mniej niż 26 lat, więc prawdopodobieństwo wylosowania osoby która ma
1
mniej niż 26 lat jest równe p = , natomiast prawdopodobieństwo wylosowania osoby starszej
12
11
jest równe q = 1- p = . Mogą zajść dwie możliwości:
12
młodsza  młodsza lub starsza  młodsza.
Mamy więc
1
P C = p Å" p + q Å" p = p + q p = p = .
( ) ( )
12
© CKA 2006. Plik pobrany ze strony www.matura.onet.pl - Trening przed maturÄ… - MATEMATYKA strona 5