Zad.1
Przez ile miesięcy z kapitału równego 20 tys. zł może być wypłacana renta stała w wysokości 2 tys. zł
miesięcznie z dołu, przy założeniu miesięcznej kapitalizacji zarówno renty jak i kapitału? Miesięczna stopa
procentowa wynosi 1%.
(1,01)n - 1
20(1,01)n = 2 Å"
0,01
0,2(1,01)n = 2(1,01n - 1)
0,2(1,01)n = 2 Å"(1,01)n - 2
2 = (2 - 0,2)(1,01)n
1,1111 = 1,01n
ln1,1111
n =
ln1,01
n = 10,59
Odp. Przez 10,6 miesięcy.
Zad.2
Zwycięzca teleturnieju ma do wyboru cztery formy odebrania nagrody:
a) dostaje od razu 10000 zł
b) dostaje od razu 5000 zł, a po dwóch latach dostaje 7000 zł
c) będzie dostawał co roku przez 5 lat z góry 2500 zł (pierwsza płatność od razu)
d) będzie dostawał 1500 zł co roku z dołu do końca życia
Która forma nagrody jest najkorzystniejsza dla zwycięzcy teleturnieju? Roczna stopa procentowa 20%.
Porównywać można wyłącznie wartości tych nagród sprowadzone do tego samego momentu w czasie, np.:
na chwilę obecną. Liczymy wtedy Present Value każdej formy nagrody:
Ad. a) PV=10000
Ad. b) PV=5 + 7(1,2)-2 = 9861,11
1 1,25 - 1
PV = 2,5 Å" Å" = 8971,84
Ad. c)
1,24 0,2
Ad. d) Tu nie da się policzyć PV, bo nie wiemy, ile ta osoba ma żywota przed sobą. Policzmy, ile
musiałaby żyć, aby PV z tych corocznych wypłat po 1500 było równe 10000.
1 1,2n - 1
10 = 1,5 Å" Å"
1,2n 0,2
1
2 = 1,5 Å" Å"(1,2n - 1)
1,2n
1
1,33 = Å"(1,2n - 1)
1,2n
1
1,33 = 1 -
1,2n
1,2-n = 0,33
ln 0,33
- n =
ln1,2
n = 6,03
Aby PV corocznych płatności po 1500 zł każda była równa tej z podpunktu a), klient musiałby żyć jeszcze
co najmniej 6,03 lat. Nie wiadomo, czy klient jest młody czy stary. Według mnie powinno się wybrać odp.
a).
Zad. 3
Jaka jest efektywna stopa oprocentowania lokat, jeżeli kwartalna stopa nominalna wynosi 5%, a
kapitalizacja jest roczna?
1
4
ref = (1 + 0,05 Å" 4) - 1 = 4,66%
Zad.4 (?)
Zad.5 (?)
Zad.6 (?)
Zad.7
Jaka jest wartość wewnętrzna akcji, jeżeli spółka w zeszłym roku wypłaciła dywidendę w wysokości 50 zł i
zamierza co roku zwiększać wysokość dywidendy o 2%? Rynkowa stopa zwrotu wynosi 0,22.
50(1 + 0,02)
P0 = = 255 zl
0,22 - 0,02
Zad. 8
Bank A udziela kredytów przy nominalnej rocznej stopie procentowej 22% przy kapitalizacji ciągłej, a
Bank B udziela kredytów przy kapitalizacji miesięcznej z roczną stopą procentową 22,5%. Który bank
posiada lepszÄ… ofertÄ™?
Bank A : ref = e0,22 - 1 = 0,2461
12
0,225
ëÅ‚1 öÅ‚
Bank B : ref = +
ìÅ‚ ÷Å‚ - 1 = 0,2497
12
íÅ‚ Å‚Å‚
Odp.: Lepszą ofertą dysponuje Bank A (ma niższą efektywną stopę oprocentowania kredytów).
Zad. 9 (?)
Zad. 10
Jaka była średnia stopa procentowa w ciągu ostatnich 10 lat, jeżeli bank zmieniał sposoby naliczania
odsetek w następujący sposób:
- w ciągu trzech pierwszych lat stosował stopę dyskontową d=0,2
- w ciÄ…gu trzech kolejnych lat intensywność oprocentowania wynosiÅ‚a ´=0,18
- przez 4 ostatnie lata obowiązywała stopa procentowa i=0,16
d
i =
stopa procentowa równoważna stopie dyskontowej 0,2:= 0,25
1 - d
ref = e0,18 -1 = 0,1972
stopa procentowa równoważna efektywności oprocentowania 0,18 (kapitalizacja ciągła):
3 3 4
10 10 10
Åšrednia stopa procentowa:
rÅ›r = 0,25 × 0,1972 × 0,16 = 0,1948
Odp.: Średnia stopa procentowa w ciągu ostatnich 10 lat wyniosła 19,48%.
Zad. 11
Ile wynosi rata kredytu hipotecznego zaciągniętego na 10 lat na sumę 200 mln zł, jeżeli stopa dyskontowa
wynosi 0,2?
d 0,2
R = S Å" = 200 Å" = 44,812
1 - (1 - d)n 1 - 0,810
Odp.: Wysokość raty równa jest 44,812 mln zł.
Zad. 12 (?)
Zad. 13
Ile wynosi rzeczywista stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji wynosi 11%, roczna stopa procentowa
wynosi 16%, a kapitalizacja jest kwartalna?
4
0,16
ëÅ‚1+ öÅ‚
ref =
ìÅ‚ ÷Å‚ - 1 = 0,1699
íÅ‚ 4 Å‚Å‚
0,1699-0,11
rrz = = 5,39%
1+0,11
Odp.: Rzeczywista stopa procentowa wyniosła 5,39%.
Zad. 14
Jaka jest cena bieżąca obligacji 10-letniej o nominalnej cenie 5000 zł oprocentowanej 18% rocznie
(odsetki płatne co roku z dołu), jeżeli do terminu wykupu pozostało 5 lat, a rynkowa stopa procentowa
wynosi 16%?
ëÅ‚ öÅ‚
1 1,165-1
÷Å‚
C5 = 5000ìÅ‚1+(0,18-0,16)Å" Å" = 5327,43 zl
ìÅ‚
1,165 0,16 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Odp.: Wartość bieżąca obligacji wynosi 5327,43 zł.
Zad. 15
Dane są dwa kapitały: jeden wynosi 200 zł w dniu 01.01.1999r., a drugi 297,68 zł w dniu 01.01.2001r.
Czy oba te kapitały są równoważne na dzień 01.01.2000r.? Oprocentowanie złożone, stopa procentowa
22%, kapitalizacja roczna.
Z twierdzenia dotyczącego oprocentowania złożonego wynika, że jeśli dwa kapitały są równoważne na
jakiś moment w czasie, to są one również równoważne na każdy inny moment. Zatem wystarczy dowieść,
że są one równoważne np. na dzień 01.01.2001r.
( )2
FV = 200 1+0,22 = 297,68
Kapitał o wartości 200 zł oprocentowujemy na dwa lata:
Jest on zatem równoważny kapitałowi drugiemu na dzień 01.01.2001r., a więc także na każdy inny dzień
(w tym na 01.01.2000r.)
Zad. 16
Klient kupił 28-dniowy bon skarbowy opiewający na 1000 zł po cenie nominalnej 992 zł. Po 18 dniach
sprzedał go na rynku wtórnym przy stopie dyskontowej 24%. Jaki był roczny realny zysk klienta?
( )
FV = PV 1-d Ò! 0,992 = 1 Å" (1 - d ) Ò! d = 0,8%
Obliczam dyskonto emitenta bonu:
0,24 × 28
= 0,01867 = 1,87
Obliczam dyskonto rynkowe 28-dniowe (tzn. wyrażone w tym samym okresie co dyskonto emitenta):%
360
Miesięczny (28-dniowy) zysk realny klienta wynosi: 0,8% - 1,87% = -1,07% (strata)
Zatem roczny zysk realny klienta wynosi ok.: 12 x (-1,07%) = -12,84% = -0,1284 (strata)
Zad. 17
Jaka jest wartość bieżąca rent wypłacanych kwartalnie z góry przez 10 lat w wysokości 5000 zł, jeżeli
roczna stopa procentowa wynosi 20%, a kapitalizacja jest kwartalna?
1 1,0540 -1
PV = 5 Å" Å" = 90085 zl
1,0539 0,05
Zad. 18 (?)
Zad. 19
Po ilu kwartałach kapitał potroi swą wartość, jeżeli zakładamy oprocentowanie złożone, kapitalizację
kwartalną z góry oraz roczną stopę dyskontową d=0,16?
( )-n
3 = 1-0,04
0,96-n = 3
ln3
- n =
ln0,96
n = 26,91
Odp.: Po 27 kwartałach (dokładnie po 26,91 kwartałach).
Zad. 20
Jaka jest wartość bieżąca (t=0 początek roku) ciągu dwóch płatności - jednej w wysokości 300 zł na
koniec marca oraz drugiej w wysokości 500 zł na koniec września? Oprocentowanie proste z roczną stopą
dyskontowÄ… 0,2.
Dyskontujemy obie wartości na dzień t=0, czyli 01.01.:
3 9
( ) ( )
PV = 300 1-12Å"0,2 + 500 1-12Å"0,2 = 710 zl
Odp.: Wartość bieżąca tego ciągu płatności wynosi 710 zł.