1
5ØRÜ5Ø[Ü, 0 d" 5Øß d" ,
5Ø[Ü
[ ] ([ ]) ( )
1. Niech © = 0, 1 , 5ØCÜ = 5Øß5Ø?Ü, 1! = ,! 0, 1 . Połóżmy 5ØKÜ5Ø[Ü 5Øß = {
1
0, < 5Øß d" 1.
5Ø[Ü
5ØCÜ
a) Czy 5ØKÜ5Ø[Ü 0, gdy 5Ø[Ü "?
5Ø]Ü.5Ø]Ü.
b) Czy 5ØKÜ5Ø[Ü 0, gdy 5Ø[Ü "?
5Ø?Ü5Ø]Ü
c) Czy 5ØKÜ5Ø[Ü 0, gdy 5Ø[Ü "?
d) Czy 5ØKÜ5Ø[Ü Å‚' 0, gdy 5Ø[Ü "?
RozwiÄ…zanie:
5ØCÜ
(a) Sprawdzimy, czy 5ØKÜ5Ø[Ü 0, gdy 5Ø[Ü "?
Przypomnijmy, że
5ØCÜ
(| | )
5ØKÜ5Ø[Ü 5ØKÜ Ô! Ä„" lim 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü - 5ØKÜ > 5Øß = 0.
5Ø[Ü"
5Øß>0
Zauważmy, że
1
(| | ) ( ) ( )
Ä„" lim 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü - 0 > 5Øß = lim 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü > 5Øß d" 5Ø[Ü" 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü = 5ØRÜ5Ø[Ü = lim = 0.
lim
5Ø[Ü
5Ø[Ü" 5Ø[Ü" 5Ø[Ü"
5Øß>0
5ØCÜ
StÄ…d 5ØKÜ5Ø[Ü 0, gdy 5Ø[Ü ".
5Ø]Ü.5Ø]Ü.
(b) Sprawdzimy, czy 5ØKÜ5Ø[Ü 0, gdy 5Ø[Ü "?
Skorzystamy z warunku, że
"
5Ø]Ü.5Ø]Ü.
{| | }
5ØKÜ5Ø[Ü 5ØKÜ Ô! Ä„" lim 5ØCÜ (Â" 5ØKÜ5Ø[Ü - 5ØKÜ d" 5Øß ) = 1
5ØAÜ"
5Øß>0 5Ø[Ü=5ØAÜ
Zauważmy, że dla 5Øß > 0 i dostatecznie dużych 5ØAÜ mamy
" " "
1
1 1
{| | } { }
5ØCÜ (Â" 5ØKÜ5Ø[Ü - 0 d" 5Øß ) = 5ØCÜ (Â" 5ØKÜ5Ø[Ü = 0 ) = 5ØCÜ (Â" [5Ø[Ü, 1]) = 5ØCÜ ([5ØAÜ, 1]) = 1 - .
5ØAÜ
5Ø[Ü=5ØAÜ 5Ø[Ü=5ØAÜ 5Ø[Ü=5ØAÜ
Zatem
"
1
{| | }
lim 5ØCÜ (Â" 5ØKÜ5Ø[Ü - 0 d" 5Øß ) = lim (1 - ) = 1,
5Ø[Ü" 5Ø[Ü"
5ØAÜ
5Ø[Ü=5ØAÜ
5Ø]Ü.5Ø]Ü.
co oznacza, że 5ØKÜ5Ø[Ü 0, gdy 5Ø[Ü ".
5Ø?Ü5Ø]Ü
(c) Sprawdzimy, czy 5ØKÜ5Ø[Ü 0, gdy 5Ø[Ü "?
( ) | |5Ø]Ü 5ØRÜ5Ø[Ü5Ø]Ü
Zauważmy, że dla 5Ø]Ü " 0, +" , 5Ø8Ü 5ØKÜ5Ø[Ü = < " oraz
5Ø[Ü
5ØRÜ5Ø[Ü5Ø]Ü
| |5Ø]Ü | |5Ø]Ü [( )5Ø]Ü ( ) ( )]
lim 5Ø8Ü 5ØKÜ5Ø[Ü - 0 = lim 5Ø8Ü 5ØKÜ5Ø[Ü = lim 5ØRÜ5Ø[Ü " 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü = 5ØRÜ5Ø[Ü + 05Ø]Ü " 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü = 0 = lim = +"
5Ø[Ü" 5Ø[Ü" 5Ø[Ü" 5Ø[Ü"
5Ø[Ü
1
5Ø?Ü5Ø]Ü
Zatem nie jest prawdÄ…, że 5ØKÜ5Ø[Ü 0, gdy 5Ø[Ü ".
(d) Sprawdzimy, czy 5ØKÜ5Ø[Ü Å‚' 0, gdy 5Ø[Ü "?
Zauważmy, że
0, 5ØeÜ < 0,
1
( ) ( ) 1
5Ø9Ü5ØKÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ = { - , [ )
5ØeÜ " 0, 5ØRÜ5Ø[Ü ,
5Ø[Ü
1, 5ØeÜ e" 5ØRÜ5Ø[Ü.
Ponadto
( ) ( )
lim 5Ø9Ü5ØKÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = {0, 5ØeÜ < 0 = 5Ø9Ü5ØKÜ0 5ØeÜ , gdzie 5ØKÜ0 a" 0,
5Ø[Ü" 1, 5ØeÜ e" 0
czyli 5ØKÜ5Ø[Ü Å‚' 0, gdy 5Ø[Ü ".
2. Wiadomo, że prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi ok. 0,515.
Oszacować prawdopodobieństwo (z twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a), że wśród 10
tysięcy noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt.
RozwiÄ…zanie:
Niech zmienna losowa 5ØKÜ okreÅ›la liczbÄ™ urodzonych chÅ‚opców wÅ›ród 10 tysiÄ™cy
noworodków. OczywiÅ›cie zmienna losowa 5ØKÜ ma rozkÅ‚ad dwumianowy z parametrami 5Ø[Ü =
10 000 oraz 5Ø]Ü = 0,515. Z centralnego twierdzenia granicznego de Moivre'a-Laplace'a
mamy, że
5ØKÜ - 5Ø8Ü5ØKÜ 5ØKÜ - 5Ø[Ü5Ø]Ü 5ØKÜ - 5150
( )
= = ~5ØAÜ 0,1 .
5Øß5ØKÜ 49,9775
5Ø[Ü5Ø]Ü5Ø^Ü
"
Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi
5ØKÜ - 5150 5000 - 5150 5ØKÜ - 5150
( )
5ØCÜ 5ØKÜ d" 5000 = 5ØCÜ ( d" ) = 5ØCÜ ( d" -3,0014) H"
49,9775 49,9775 49,9775
(-3,0014 = 1 - Åš 3,0014 = 1 - 0,9987 = 0,0013,
) ( )
H" Åš
( ) ( )
gdzie Åš 5ØeÜ jest dystrybuanta rozkÅ‚adu normalnego 5ØAÜ 0,1 .
2
3. Wiadomo, że średnia waga dorosłego człowieka wynosi 75 kg i odchylenie
standardowe wagi wynosi 3 kg (ale nie wiemy dokładnie jaki jest to rozkład). Samolot
zabiera 81 pasażerów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów
przekroczy 6 ton.
RozwiÄ…zanie:
Zauważmy, że z centralnego twierdzenia granicznego Lindeberga-Levy'ego wynika,
że dla ciÄ…gu 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkÅ‚adzie,
takim, że
5Øß = 5Ø8Ü5ØKÜ1 = 5Ø8Ü5ØKÜ2 =. . . = 5Ø8Ü5ØKÜ5Ø[Ü oraz 5Øß2 = 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ1 = 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ2 =. . . = 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ5Ø[Ü < "
wynika, że dla dostatecznie dużych 5Ø[Ü
5ØFÜ5Ø[Ü - 5Ø8Ü5ØFÜ5Ø[Ü
( )
~5ØAÜ 0, 1 ,
5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØFÜ5Ø[Ü
"
gdzie
5ØFÜ5Ø[Ü = 5ØKÜ1 + 5ØKÜ2+. . . +5ØKÜ5Ø[Ü,
5Ø8Ü5ØFÜ5Ø[Ü = 5Ø8Ü5ØKÜ1 + 5Ø8Ü5ØKÜ2 + ï" + 5Ø8Ü5ØKÜ5Ø[Ü = 5Ø[Ü5Øß,
5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØFÜ5Ø[Ü = 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ1 + 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ2+. . . +5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ5Ø[Ü = 5Ø[Ü5Øß2.
Zatem niech zmienna losowa 5ØKÜ5ØVÜ okreÅ›la wagÄ™ (w kg) 5ØVÜ -tego pasażera, gdzie 5ØVÜ =
1, 2, & ,81. Natomiast zmienna losowa 5ØFÜ81 = 5ØKÜ1 + 5ØKÜ2+. . . +5ØKÜ81 okreÅ›la Å‚Ä…cznÄ… wagÄ™ tych
pasażerów.
Zamieniając tony na kg otrzymujemy, że szukane prawdopodobieństwo wynosi
5ØFÜ81 - 5Ø8Ü5ØFÜ81 6000 - 5Ø8Ü5ØFÜ81
( ) ( )
5ØCÜ 5ØFÜ81 > 6000 = 1 - 5ØCÜ 5ØFÜ81 d" 6000 = 1 - 5ØCÜ ( d" ) =
5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØFÜ81 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØFÜ81
" "
5ØFÜ81 - 81 " 75 6000 - 81 " 75 5ØFÜ81 - 81 " 75 6000 - 81 " 75
= 1 - 5ØCÜ ( d" ) = 1 - 5ØCÜ ( d" ) =
"81 " 32 "81 " 32 "81 " 32 "81 " 32
5ØFÜ81 - 6075 6000 - 6075
(-2,7778 =
)
= 1 - 5ØCÜ ( d" ) H" 1 - Åš
27 27
( ) ( )
= 1 - (1 - Åš 2,7778 ) = Åš 2,7778 = 0,9973.
3
4. Zmienne losowe 5ØKÜ i 5ØLÜ sÄ… niezależne i majÄ… jednakowe rozkÅ‚ady wykÅ‚adnicze z
parametrem 5Øß = 1. OkreÅ›lmy nastÄ™pujÄ…ce zmienne losowe 5ØHÜ = 5ØKÜ + 5ØLÜ oraz 5ØIÜ = 5ØKÜ - 5ØLÜ.
Wyznaczyć gęstość rozkładu łącznego wektora (dwuwymiarowej zmiennej losowej)
( ) ( )
5ØKÜ, 5ØLÜ , a nastÄ™pnie gÄ™stość wektora 5ØHÜ, 5ØIÜ oraz gÄ™stoÅ›ci brzegowe zmiennych 5ØHÜ i V. Czy
zmienne losowe 5ØHÜ i V sÄ… niezależne?
RozwiÄ…zanie:
Niech 5ØSÜ5ØKÜ(5ØeÜ) bÄ™dzie gÄ™stoÅ›ciÄ… zmiennej losowej 5ØKÜ, a 5ØSÜ5ØLÜ(5ØfÜ) gÄ™stoÅ›ciÄ… zmiennej
losowej 5ØLÜ. Wówczas
-5ØeÜ
5ØRÜ-5ØfÜ, 5ØfÜ > 0
( ) ( )
5ØSÜ5ØKÜ 5ØeÜ = {5ØRÜ , 5ØeÜ > 0 oraz 5ØSÜ5ØLÜ 5ØfÜ = { .
0, 5ØeÜ d" 0 0, 5ØfÜ d" 0
KorzystajÄ…c z niezależnoÅ›ci zmiennych losowych 5ØKÜ i 5ØLÜ możemy wyznaczyć gÄ™stość
( )
dwuwymiarowej zmiennej losowej 5ØKÜ, 5ØLÜ :
5ØRÜ-5ØeÜ " 5ØRÜ-5ØfÜ, 5ØeÜ > 0 i 5ØfÜ > 0
5ØRÜ-(5ØeÜ+5ØfÜ), 5ØeÜ > 0 i 5ØfÜ > 0
( ) ( ) ( )
5ØSÜ(5ØKÜ,5ØLÜ) 5ØeÜ, 5ØfÜ = 5ØSÜ5ØKÜ 5ØeÜ " 5ØSÜ5ØLÜ 5ØfÜ = { = { .
0, 5ØeÜ d" 0 lub 5ØfÜ d" 0
0, 5ØeÜ d" 0 lub 5ØfÜ d" 0
( )
Aby wyznaczyć gÄ™stość dwuwymiarowej zmiennej losowej 5ØHÜ, 5ØIÜ musimy
skorzystać z odpowiedniego wzoru na zmianę zmiennych.
2
( )
Niech !: 5ØEÜ+ 5ØEÜ2 bÄ™dzie przeksztaÅ‚ceniem danym wzorem ! 5ØeÜ, 5ØfÜ = (5ØeÜ + 5ØfÜ, 5ØeÜ - 5ØfÜ).
Wyznaczymy teraz odwzorowanie odwrotne !-1. W tym celu niech
5ØbÜ = 5ØeÜ + 5ØfÜ
!: {5ØcÜ = 5ØeÜ - 5ØfÜ dla 5ØeÜ > 0 i 5ØfÜ > 0.
Stąd dodając i odejmując powyższe równania stronami otrzymujemy, że
5ØbÜ+5ØcÜ
5ØeÜ =
5ØbÜ-5ØcÜ
2
!-1: { dla 5ØbÜ+5ØcÜ > 0 i > 0.
5ØbÜ-5ØcÜ
2 2
5ØfÜ =
2
Rozwiązując układ równań
5ØbÜ + 5ØcÜ
> 0
2
{
5ØbÜ - 5ØcÜ
> 0
2
dostajemy, że
4
5ØbÜ + 5ØcÜ
> 0
2
{
5ØbÜ - 5ØcÜ
> 0
2
{5ØbÜ + 5ØcÜ > 0
5ØbÜ - 5ØcÜ > 0
DodajÄ…c stronami otrzymujemy, że 5ØbÜ > 0. Ponadto z powyższego ukÅ‚adu nierównoÅ›ci
dostajemy, że
{5ØcÜ > -5ØbÜ ,
5ØcÜ < 5ØbÜ
| |
czyli 5ØcÜ " (-5ØbÜ, 5ØbÜ) lub 5ØcÜ < 5ØbÜ.
StÄ…d ostatecznie
5ØbÜ+5ØcÜ
5ØeÜ =
2
!-1: { dla 5ØbÜ > 0 i 5ØcÜ " (-5ØbÜ, 5ØbÜ).
5ØbÜ-5ØcÜ
5ØfÜ =
2
Obliczmy teraz jakobian przekształcenia odwrotnego !-1:
5Øß5ØeÜ 5Øß5ØeÜ 1 1
1 1 1
5Ø=Ü!-1 |5Øß5ØbÜ 5Øß5ØcÜ| = |2 2 = - - = - .
=
5Øß5ØfÜ 5Øß5ØfÜ 1 1| 4 4 2
-
5Øß5ØbÜ 5Øß5ØcÜ 2 2
( )
Zatem gÄ™stość dwuwymiarowej zmiennej losowej 5ØHÜ, 5ØIÜ wyraża siÄ™ wzorem:
( ) | |
5ØSÜ(5ØKÜ,5ØLÜ) !-1(5ØbÜ, 5ØcÜ) " 5Ø=Ü!-1 , dla 5ØbÜ > 0 i 5ØcÜ " (-5ØbÜ, 5ØbÜ)
( )
5ØSÜ(5ØHÜ,5ØIÜ) 5ØbÜ, 5ØcÜ = { =
0, poza
5ØbÜ + 5ØcÜ 5ØbÜ - 5ØcÜ 1
= {5ØSÜ(5ØKÜ,5ØLÜ) ( 2 , 2 ) " |- | , dla 5ØbÜ > 0 i 5ØcÜ " (-5ØbÜ, 5ØbÜ) =
2
0, poza
1 5ØRÜ-5ØbÜ
-(5ØbÜ+5ØcÜ+5ØbÜ-5ØcÜ)
2 2
(-5ØbÜ,
) (-5ØbÜ,
)
" , dla 5ØbÜ > 0 i 5ØcÜ " 5ØbÜ , dla 5ØbÜ > 0 i 5ØcÜ " 5ØbÜ
= {5ØRÜ = { .
2 2
0, poza 0, poza
Wyznaczymy teraz gÄ™stoÅ›ci rozkÅ‚adów brzegowych, czyli gÄ™stoÅ›ci zmiennych 5ØHÜ =
5ØKÜ + 5ØLÜ oraz 5ØIÜ = 5ØKÜ - 5ØLÜ.
5ØbÜ
+"
5ØRÜ-5ØbÜ
5ØRÜ-5ØbÜ
+" 5ØQÜ5ØcÜ, 5ØbÜ > 0 5ØbÜ5ØRÜ-5ØbÜ, 5ØbÜ > 0
[ ]5ØbÜ
5ØcÜ , 5ØbÜ > 0
-5ØbÜ
( ) ( )
5ØSÜ5ØHÜ 5ØbÜ = +" 5ØSÜ(5ØHÜ,5ØIÜ) 5ØbÜ, 5ØcÜ 5ØQÜ5ØcÜ = { = { = {
2
2
0, 5ØbÜ d" 0 .
-5ØbÜ
0, 5ØbÜ d" 0
-"
0, 5ØbÜ d" 0
5
+" +"
5ØRÜ-5ØbÜ 1 1
( ) ( ) [-5ØRÜ-5ØbÜ = " (0 + 5ØRÜ-|5ØcÜ|)
]+"
5ØSÜ5ØIÜ 5ØcÜ = +" 5ØSÜ(5ØHÜ,5ØIÜ) 5ØbÜ, 5ØcÜ 5ØQÜ5ØbÜ = +" 5ØQÜ5ØbÜ = "
| |
5ØcÜ
2 2 2
| |
-" 5ØcÜ
5ØRÜ-|5ØcÜ|
= , dla 5ØcÜ " 5ØEÜ.
2
Zauważmy, że np.
( )
5ØSÜ(5ØHÜ,5ØIÜ) 1,2 = 0
oraz
5ØRÜ-2 1
( ) ( )
5ØSÜ5ØHÜ 1 " 5ØSÜ5ØIÜ 2 = 5ØRÜ-1 " = `" 0,
2 25ØRÜ3
czyli zmienne losowe 5ØHÜ i V nie sÄ… niezależne.
( ) ( ) ( )
5. Zmienne losowe 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü sÄ… niezależne i majÄ… dystrybuanty 5Ø9Ü1 5ØeÜ , 5Ø9Ü2 5ØeÜ , & , 5Ø9Ü5Ø[Ü 5ØeÜ .
( )
Wyznaczyć dystrybuanty zmiennych losowych 5Ø@Ü5Ø[Ü = max 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü oraz
( )
5ØZÜ5Ø[Ü = min 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü . Ponadto wyznaczyć dystrybuanty zmiennych losowych 5Ø@Ü5Ø[Ü i
5ØZÜ5Ø[Ü przy dodatkowym zaÅ‚ożeniu, że zmienne losowe 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü majÄ… taki sam rozkÅ‚ad,
( ) ( ) ( ) ( )
czyli 5Ø9Ü1 5ØeÜ = 5Ø9Ü2 5ØeÜ = & = 5Ø9Ü5Ø[Ü 5ØeÜ = 5Ø9Ü 5ØeÜ .
RozwiÄ…zanie:
KorzystajÄ…c z niezależnoÅ›ci zmiennych losowych 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü otrzymujemy, że
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
5Ø9Ü5Ø@Ü5Ø[Ü 5ØeÜ = 5ØCÜ 5Ø@Ü5Ø[Ü d" 5ØeÜ = 5ØCÜ max 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ = 5ØCÜ 5ØKÜ1 d" 5ØeÜ, & , 5ØKÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ =
( ) ( )
= 5ØCÜ 5ØKÜ1 d" 5ØeÜ " & " 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ = 5Ø9Ü5ØKÜ1(5ØeÜ) " & " 5Ø9Ü5ØKÜ5Ø[Ü(5ØeÜ)
oraz
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )
5Ø9Ü5ØZÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = 5ØCÜ 5ØZÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ = 5ØCÜ min 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ = 1 - 5ØCÜ min 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü > 5ØeÜ =
( ) ( ) ( )
= 1 - 5ØCÜ 5ØKÜ1 > 5ØeÜ, & , 5ØKÜ5Ø[Ü > 5ØeÜ = 1 - 5ØCÜ 5ØKÜ1 > 5ØeÜ " & " 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü > 5ØeÜ =
( ) ( )
= 1 - (1 - 5ØCÜ 5ØKÜ1 d" 5ØeÜ ) " & " (1 - 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ ) = 1 - (1 - 5Ø9Ü5ØKÜ1(5ØeÜ)) " & " (1 - 5Ø9Ü5ØKÜ5Ø[Ü(5ØeÜ)).
Ponadto, gdy dodatkowo zmienne losowe 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü majÄ… taki sam rozkÅ‚ad, czyli
( ) ( ) ( ) ( )
5Ø9Ü1 5ØeÜ = 5Ø9Ü2 5ØeÜ = & = 5Ø9Ü5Ø[Ü 5ØeÜ = 5Ø9Ü 5ØeÜ
to
( ) ( )
5Ø9Ü5Ø@Ü5Ø[Ü 5ØeÜ = 5Ø9Ü5Ø[Ü 5ØeÜ
oraz
6
5Ø[Ü
( ) ( )
5Ø9Ü5ØZÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = 1 - (1 - 5Ø9Ü 5ØeÜ ) .
Jeżeli dodatkowo zaÅ‚ożymy, że zmienne losowe 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü majÄ… (tÄ™ samÄ… ) funkcjÄ™
gÄ™stoÅ›ci 5ØSÜ(5ØeÜ), czyli
( ) ( )
5ØSÜ 5ØeÜ = 5Ø9Ü2 5ØeÜ ,
to wówczas funkcje gÄ™stoÅ›ci zmiennych 5Ø@Ü5Ø[Ü i 5ØZÜ5Ø[Ü majÄ… postać
( ) ( )
5ØSÜ5Ø@Ü5Ø[Ü 5ØeÜ = 5Ø[Ü5Ø9Ü5Ø[Ü-1 5ØeÜ 5ØSÜ(5ØeÜ)
oraz
5Ø[Ü-1
( ) ( )
5ØSÜ5ØZÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = 5Ø[Ü(1 - 5Ø9Ü 5ØeÜ ) 5ØSÜ(5ØeÜ).
1
{ } ( )
6. Niech 5ØKÜ5Ø[Ü, 5Ø[Ü e" 1 bÄ™dzie ciÄ…giem zmiennych losowych takim, że 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü = 1 = 1 -
5Ø[Ü
1
( ) { }
i 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü = 0 = . Wyznaczyć sÅ‚abÄ… granicÄ™ ciÄ…gu 5ØKÜ5Ø[Ü, 5Ø[Ü e" 1 .
5Ø[Ü
RozwiÄ…zanie:
Na poczÄ…tku wyznaczmy dystrybuantÄ™ zmiennej losowej 5ØKÜ5Ø[Ü:
0, 5ØeÜ < 0
1
( ) ( )
5Ø9Ü5ØKÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = 5ØCÜ 5ØKÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ = {5Ø[Ü , 0 d" 5ØeÜ < 1
.
1, 5ØeÜ e" 1
( )
Obliczmy teraz do czego dąży dystrybuanta 5Ø9Ü5ØKÜ5Ø[Ü 5ØeÜ , gdy 5Ø[Ü ":
0, 5ØeÜ < 0
1
( )
lim 5Ø9Ü5ØKÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = lim { = {0, 5ØeÜ < 1 .
, 0 d" 5ØeÜ < 1
5Ø[Ü" 5Ø[Ü" 1, 5ØeÜ e" 1
5Ø[Ü
1, 5ØeÜ e" 1
Zauważmy, że funkcja graniczna jest dystrybuantÄ… zmiennej losowej 5ØKÜ0:
( )
5Ø9Ü5ØKÜ0 5ØeÜ = {0, 5ØeÜ < 1 ,
1, 5ØeÜ e" 1
( ) { }
zatem zmienna losowa 5ØKÜ0 taka, że 5ØCÜ 5ØKÜ0 = 1 = 1 jest sÅ‚abÄ… granicÄ… ciÄ…gu 5ØKÜ5Ø[Ü, 5Ø[Ü e" 1 , co
zapisujemy jako
5ØKÜ5Ø[Ü Ò! 5ØKÜ0 lub 5ØKÜ5Ø[Ü Ò! 1.
Zauważmy, że zbieżność
( ) ( )
lim 5Ø9Ü5ØKÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = 5Ø9Ü5ØKÜ0 5ØeÜ
5Ø[Ü"
7
ma miejsce dla wszystkich 5ØeÜ " 5ØEÜ, a wystarczyÅ‚oby, aby zbieżność ta miaÅ‚a miejsce dla
{ }
wszystkich punktów ciÄ…gÅ‚oÅ›ci dystrybuanty granicznej 5Ø9Ü5ØKÜ0, czyli dla 5ØeÜ " 5ØEÜ\ 1 ( u nas dla
5ØeÜ0 = 1 zbieżność ta też ma miejsce).
{ }
7. Niech 5ØKÜ5Ø[Ü, 5Ø[Ü e" 1 bÄ™dzie ciÄ…giem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
( ) ( )
rozkÅ‚adzie jednostajnym 5ØHÜ 0, 1 . Wyznaczyć rozkÅ‚ad graniczny dla 5ØLÜ5Ø[Ü = 5Ø[Ü 1 - 5Ø@Ü5Ø[Ü .
RozwiÄ…zanie:
{ }
Ponieważ 5ØKÜ5Ø[Ü, 5Ø[Ü e" 1 jest ciÄ…giem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
( )
rozkÅ‚adzie jednostajnym 5ØHÜ 0, 1 , to
( )
1, 5ØeÜ " 0,1
( )
5ØSÜ5ØKÜ5Ø[Ü(5ØeÜ) = 5ØSÜ 5ØeÜ = {
( ), dla 5Ø[Ü e" 1
0, 5ØeÜ " 0,1
oraz
0, 5ØeÜ < 0
( )
5Ø9Ü5ØKÜ5Ø[Ü(5ØeÜ) = 5Ø9Ü 5ØeÜ = {5ØeÜ, 0 d" 5ØeÜ < 1, dla 5Ø[Ü e" 1.
1, 5ØeÜ e" 1
Ponadto, przy naszych założeniach, dystrybuanta zmiennej losowej
( )
5Ø@Ü5Ø[Ü = 5ØZÜ5ØNÜ5ØeÜ 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü ma postać (na mocy zadania 1):
0, 5ØeÜ < 0
( ) ( )
5Ø9Ü5Ø@Ü5Ø[Ü 5ØeÜ = 5Ø9Ü5Ø[Ü 5ØeÜ = {5ØeÜ5Ø[Ü, 0 d" 5ØeÜ < 1.
1, 5ØeÜ e" 1
Wyznaczymy teraz dystrybuantÄ™ zmiennej losowej 5ØLÜ5Ø[Ü w oparciu o dystrybuantÄ™
zmiennej losowej 5Ø@Ü5Ø[Ü
5ØeÜ 5ØeÜ
( ) ( ) ( ( ) )
5Ø9Ü5ØLÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = 5ØCÜ 5ØLÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ = 5ØCÜ 5Ø[Ü 1 - 5Ø@Ü5Ø[Ü d" 5ØeÜ = 5ØCÜ (1 - 5Ø@Ü5Ø[Ü d" ) = 5ØCÜ (5Ø@Ü5Ø[Ü e" 1 - ) =
5Ø[Ü 5Ø[Ü
5ØeÜ 5ØeÜ 5ØeÜ
= 1 - 5ØCÜ (5Ø@Ü5Ø[Ü < 1 - ) = 1 - 5ØCÜ (5Ø@Ü5Ø[Ü d" 1 - ) = 1 - 5Ø9Ü5Ø@Ü5Ø[Ü (1 - )
5Ø[Ü 5Ø[Ü 5Ø[Ü
5ØeÜ
0, 1 - < 0
5Ø[Ü
5Ø[Ü
5ØeÜ 5ØeÜ
= 1 - (1 - ) , 0 d" 1 - < 1
=
5Ø[Ü 5Ø[Ü
5ØeÜ
1, 1 - e" 1
{
5Ø[Ü
8
1, 5ØeÜ > 5Ø[Ü 0, 5ØeÜ d" 0
5Ø[Ü 5Ø[Ü
5ØeÜ 5ØeÜ
= { - (1 - ) , 0 < 5ØeÜ d" 5Ø[Ü 1 - (1 - ) , 0 < 5ØeÜ d" 5Ø[Ü
= { .
1
5Ø[Ü 5Ø[Ü
0, 5ØeÜ d" 0 1, 5ØeÜ > 5Ø[Ü
MajÄ…c dystrybuantÄ™ zmiennej losowej 5ØLÜ5Ø[Ü możemy już wyznaczyć jej rozkÅ‚ad
graniczny:
0, 5ØeÜ d" 0
5Ø[Ü
5ØeÜ
( )
lim 5Ø9Ü5ØLÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = lim { - (1 - ) , 0 < 5ØeÜ d" 5Ø[Ü
= {10, 5ØeÜ d" 0 0 = {10, 5ØeÜ < 0 0.
1
5Ø[Ü" 5Ø[Ü" - 5ØRÜ-5ØeÜ, 5ØeÜ > - 5ØRÜ-5ØeÜ, 5ØeÜ e"
5Ø[Ü
1, 5ØeÜ > 5Ø[Ü
Zauważmy, że otrzymana w granicy funkcja jest dystrybuantą zmiennej losowej o
( )
rozkÅ‚adzie wykÅ‚adniczym z parametrem 5Øß = 1 (czyli zmiennej losowej 5Ø8Ü5ØeÜ5Ø]Ü 1 ).
Oczywiście powyższa zbieżność ma miejsce dla wszystkich punktów ciągłości granicznej
dystrybuanty (czyli dla wszystkich 5ØeÜ " 5ØEÜ).
Zatem
( )
5ØLÜ5Ø[Ü Ò! 5Ø8Ü5ØeÜ5Ø]Ü 1 ,
( )
czyli granicznym rozkÅ‚adem zmiennej losowej 5ØLÜ5Ø[Ü = 5Ø[Ü 1 - 5Ø@Ü5Ø[Ü jest rozkÅ‚ad wykÅ‚adniczy z
parametrem 5Øß = 1.
{ }
8. Niech 5ØKÜ5Ø[Ü, 5Ø[Ü e" 1 bÄ™dzie ciÄ…giem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
1
( )
rozkÅ‚adzie wykÅ‚adniczym 5Ø8Ü5ØeÜ5Ø]Ü 1 . Wyznaczyć rozkÅ‚ady graniczne dla 5ØLÜ5Ø[Ü = 5ØRÜ5Ø@Ü5Ø[Ü,
5Ø[Ü
5ØMÜ5Ø[Ü = 5Ø@Ü5Ø[Ü - ln 5Ø[Ü.
RozwiÄ…zanie:
{ }
Skoro 5ØKÜ5Ø[Ü, 5Ø[Ü e" 1 jest ciÄ…giem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
( )
rozkÅ‚adzie wykÅ‚adniczym 5Ø8Ü5ØeÜ5Ø]Ü 1 , to
-5ØeÜ
( )
5ØSÜ5ØKÜ5Ø[Ü(5ØeÜ) = 5ØSÜ 5ØeÜ = {5ØRÜ , 5ØeÜ > 0, dla 5Ø[Ü e" 1
0, 5ØeÜ d" 0
oraz
( )
5Ø9Ü5ØKÜ5Ø[Ü(5ØeÜ) = 5Ø9Ü 5ØeÜ = {1 0, 5ØeÜ < 0 0, dla 5Ø[Ü e" 1.
- 5ØRÜ-5ØeÜ, 5ØeÜ e"
Wyznaczmy najpierw dystrybuantÄ™ zmiennej losowej 5Ø@Ü5Ø[Ü
0, 5ØeÜ < 0
( ) ( )
5Ø9Ü5Ø@Ü5Ø[Ü 5ØeÜ = 5Ø9Ü5Ø[Ü 5ØeÜ = {(1 - 5ØRÜ-5ØeÜ)5Ø[Ü e" 0.
, 5ØeÜ
9
Wyznaczymy teraz dystrybuantÄ™ zmiennej losowej 5ØLÜ5Ø[Ü
1
0, 5ØeÜ d" 0
( ) ( ) ( )
5Ø9Ü5ØLÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = 5ØCÜ 5ØLÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ = 5ØCÜ ( 5ØRÜ5Ø@Ü5Ø[Ü d" 5ØeÜ) = 5ØCÜ 5ØRÜ5Ø@Ü5Ø[Ü d" 5Ø[Ü5ØeÜ = {5ØCÜ(5Ø@Ü d" ln(5Ø[Ü5ØeÜ)), 5ØeÜ > 0 =
5Ø[Ü
5Ø[Ü
1
0, 5ØeÜ d" 0
0, 5ØeÜ <
0, 5ØeÜ d" 0
5Ø[Ü
0, ln(5Ø[Ü5ØeÜ) < 0
= {5Ø9Ü (ln(5Ø[Ü5ØeÜ)), 5ØeÜ > 0 = { = { .
5Ø[Ü
1 1
5Ø[Ü
5Ø@Ü5Ø[Ü
(1 - ) , 5ØeÜ e"
(1 - 5ØRÜ- ln(5Ø[Ü5ØeÜ)) , ln(5Ø[Ü5ØeÜ) e" 0
5Ø[Ü5ØeÜ 5Ø[Ü
Zatem
1
0, 5ØeÜ <
0, 5ØeÜ d" 0
5Ø[Ü
( )
lim 5Ø9Ü5ØLÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = lim { = { 1 ,
5Ø[Ü
5Ø[Ü" 5Ø[Ü" 1 1
5ØeÜ
5ØRÜ- , 5ØeÜ > 0
(1 - ) , 5ØeÜ e"
5Ø[Ü5ØeÜ 5Ø[Ü
1
czyli rozkÅ‚adem granicznym zmiennej losowej 5ØLÜ5Ø[Ü = 5ØRÜ5Ø@Ü5Ø[Ü jest rozkÅ‚ad zmiennej losowej 5ØLÜ0
5Ø[Ü
( )
5ØLÜ5Ø[Ü Ò! 5ØLÜ0 o dystrybuancie
0, 5ØeÜ d" 0
( )
5Ø9Ü5ØLÜ0 5ØeÜ = { 1 .
5ØeÜ
5ØRÜ- , 5ØeÜ > 0
Wyznaczymy teraz dystrybuantÄ™ zmiennej losowej 5ØMÜ5Ø[Ü
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5Ø9Ü5ØMÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = 5ØCÜ 5ØMÜ5Ø[Ü d" 5ØeÜ = 5ØCÜ 5Ø@Ü5Ø[Ü - ln 5Ø[Ü d" 5ØeÜ = 5ØCÜ 5Ø@Ü5Ø[Ü d" 5ØeÜ + ln 5Ø[Ü = 5Ø9Ü5Ø@Ü5Ø[Ü 5ØeÜ + ln 5Ø[Ü =
0, 5ØeÜ < - ln 5Ø[Ü
0, 5ØeÜ + ln 5Ø[Ü < 0
= { 5Ø[Ü
= { 5ØRÜ-5ØeÜ 5Ø[Ü .
(1 - 5ØRÜ-(5ØeÜ+ln 5Ø[Ü)) , 5ØeÜ + ln 5Ø[Ü e" 0
(1 - ) , 5ØeÜ e" -ln 5Ø[Ü
5Ø[Ü
Zatem
0, 5ØeÜ < - ln 5Ø[Ü
-5ØeÜ
( )
lim 5Ø9Ü5ØMÜ5Ø[Ü 5ØeÜ = lim { 5ØRÜ-5ØeÜ 5Ø[Ü = 5ØRÜ-5ØRÜ , 5ØeÜ " 5ØEÜ,
5Ø[Ü" 5Ø[Ü"
(1 - ) , 5ØeÜ e" ln 5Ø[Ü
5Ø[Ü
czyli rozkÅ‚adem granicznym zmiennej losowej 5ØMÜ5Ø[Ü = 5Ø@Ü5Ø[Ü - ln 5Ø[Ü jest rozkÅ‚ad zmiennej
( )
losowej 5ØMÜ0 5ØMÜ5Ø[Ü Ò! 5ØMÜ0 o dystrybuancie
-5ØeÜ
( )
5Ø9Ü5ØMÜ0 5ØeÜ = 5ØRÜ-5ØRÜ , 5ØeÜ " 5ØEÜ.
10
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ZARZĄDZANIE FINANSAMI cwiczenia zadania rozwiazaneEI etap zadania rozwiazaniaARYT ZADANIA i rozwiazania5 2 1 Zadania rozwiązane2 2 1 Zadania rozwiązaneStatystyka zadania rozwiązaniaC Builder 06 2 gotowe rozwiazania?u202Zadania z rozwiązaniami SPwięcej podobnych podstron