I. ZMIENNA LOSOWA DYSKRETNA
&!  przestrzeń zdarzeń elementarnych
&! = {É1, É2, É3, É4, É5, & }; gdzie É1  zdarzenie elementarne
A  zdarzenie losowe;
P(A)  prawdopodobieństwo zdarzenia; n  moc zbioru (liczba elementów)
P(A) = n(A)/n(&!)
X  zmienna losowa  jest to funkcja, której argumentami są zdarzenia elementarne,
a wartościami liczby rzeczywiste.
F(x) = y
X(É1) = a õ R, skrót X = a
xi  wartość pojedyncza zmiennej losowej X
Przykład 1.
Rzut symetrycznÄ… monetÄ….
&! = { o, r }, gdzie o  orzeł, r  reszka.
N(&!) = 2
Np. A  zdarzenie polegające na tym, że wypadł orzeł
A = { o }, n(A) = 1
P(A) = n(A)/n(&!) = ½ = 0,5
X(o) = 0
X® = 1
Przykład 2.
Rozważmy rzut sześcienną kostką do gry.
&! = {É1, É2, É3, É4, É5, & } = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(&!) = 6;
A  zdarzenie polegające na tym, że wypadła parzysta liczba oczek.
A = {2, 4, 6}; n(A) = 3
P(A) = n(A)/n(&!) = 3/6 = ½ = 0,5
X(1) = 1; X(2) = 2; X(3) = 3; X(4) = 4; X(5) = 5; X(6) = 6.
Suma prawdopodobieństw równa się 1.
Funkcja prawdopodobieństwa składa się z dwóch części:
1  wartość zmienna losowa;
2  prawdopodobieństwo, z jakim zmienna losowa przyjmuje te wartości.
Zadanie nr 1. W grupie studenckiej przeprowadzono sprawdzian. Niech X oznacza ocenÄ™
losowo wybranego studenta. Zakładając, że stosunek ocen bdb, db, dst, ndst ma się jak 1:4:3:2,
wyznacz dla określonej tak zmiennej losowej X:
a) funkcję prawdopodobieństwa i jej wykres;
b) dystrybuantÄ™ i jej wykres;
c) prawdopodobieństwo P(X<3,5), korzystając:
- z funkcji prawdopodobieństwa;
- z dystrybuanty;
d) prawdopodobieństwo P(3d"X<4,5), korzystając:
- z funkcji prawdopodobieństwa;
- z dystrybuanty;
Ad. Zadanie 1 pkt a)
bdb = 5;
db = 4;
dst = 3;
ndst = 2;
&! = {É1, É2, É3, É}, & } = {2,3,4,5}; n(&!) = 4;
ilość poszczególnych zdarzeń to 5  1; 4  4; 3  3; 2  2;
1:4:3:2 obliczamy sumę zdarzeń czyli 1+4+3+2 = 10
pi  prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia
p2  prawdopodobieństwo wystąpienia oceny ndst.
p2 = ilość zdarzeń ndst / sumę wszystkich zdarzeń = 2/10 = 0,2
p3 = ilość zdarzeń dst / sumę wszystkich zdarzeń = 3/10 = 0,3
p4 = ilość zdarzeń db / sumę wszystkich zdarzeń = 4/10 = 0,4
p5 = ilość zdarzeń bdb / sumę wszystkich zdarzeń = 1/10 = 0,1
Funkcja prawdopodobieństwa:
xi 2 3 4 5 ©

pi 0,2 0,3 0,4 0,1 1
* W tabeli układamy od najmniejszej do największej oceny
n(&!) 4
©
pi = 1 sprawdzenie ©
pi = ©
pi = 0,2+0,3+0,4+0,1 = 1
i=1 i=1
Wykres funkcji prawdopodobieństwa
funkcja prawdopodobieństwa
0,5
0,4
0,3
pi
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6
xi
b) dystrybuanta i wykres
Dystrybuanta  jest to funkcja, która odpowiada na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo,
że zmienna losowa przyjmuje wartość mniejszą lub równą jakiejś liczbie.
Oznaczamy jÄ… symbolem F(x), natomiast F(a) = P(xd"a), czyli
P(Xd"3) = 0,5 = F(3)
P(Xd"2) = 0,2 = F(2)
P(Xd"6) = 1 = F(6)
P(Xd"1) = 0 = F(1)
Wzór dystrybuanty
0 dla x < 2
0,2 dla 2 d" x < 3
F(x) = 0,5 dla 3 d" x < 4
0,9 dla 4 d" x < 5
1 dla x e" 5
Wykres dystrybuanty
F(x)
1,0
0,9
0,5
0,2
0 1 2 3 4 5 6 x
F(a) = P(xd"a)
P(xd"3) = F(3) = 0,5
P(xd"2) = F(2) = 0,2
P(xd"6) = F(6) = 1
P(xd"1) = F(1) = 0
c) prawdopodobieństwo P(X<3,5), korzystając:
z funkcji prawdopodobieństwa:
P(x<3,5) = P(x=2) + P(x=3) = 0,2 + 0,3 = 0,5
z dystrybuanty:
P(XP(x<3,5) = F(3,5)  P(x=3,5) = 0,5  0 = 0,5
d) Prawdopodobieństwo P(3d"x<4,5) korzystając:
z funkcji prawdopodobieństwa:
P(3d"x<4,5) = P(x=3) + P(x=4) = 0,3 + 0,4 = 0,7
z dystrybuanty:
P(ad"XP(3d"x<4,5) = F(4,5)  F(3) + P(x=3)  P(x=4,5) = 0,9  0,5 + 0,3  0 = 0,7
Zadanie 2. Pewna gra polega na rzucie 3 monetami i otrzymaniu wygranej 10 zł w przypadku
wyrzucenia trzech orłów, a przegraniu 6 zł w pozostałych przypadkach. Traktując  wygraną ,
jako zmienną losową podaj jej funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę.
Funkcja prawdopodobieństwa
xi -6 10 ©

pi ^! [! 1
&! = {(o,o,o), (o,o,r), (o,r,o), (r,o,o), (r,r,o), (r,o,r), (o,r,r), (r,r,r)}; n(&!) = 8;
rzucie 3 monetami wyrzucenie trzech orłów występuje tylko raz dlatego pi = [!,
lub szansa na wyrzucenie orÅ‚a w jednej monecie jest równa ½ dlatego przy trzech orÅ‚ach
wynosi:
½ * ½ * ½ = [!
dlatego F(x) (dystrybuanta) wynosi:
0 dla x < -6
F(x) = ^! dla -6 d" x < 10
1 dla x e" 10
Wykres funkcji prawdopodobieństwa:
funkcja prawdopodobienstwa
1
7/8
7/9
2/3
1/2
pi
2/5
1/4
1/8
1/8
0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
xi
Wykres dystrybuanty:
F(x)
1
7/8
1/8
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
Zadanie 3. Myśliwy ma cztery naboje i strzela do momentu trafienia celu albo do momentu
wystrzelenia wszystkich naboi. Liczba wystrzelonych naboi jest zmiennÄ… losowÄ…. Podaj jej
rozkład wiedząc, że prawdopodobieństwo trafienia celu przy każdym strzale jest równe 0,8.
Funkcja prawdopodobieństwa:
xi 1 2 3 4 ©

Sprawdzenie ©
= 0,8 + 0,16 + 0,032 +
pi 0,8 0,16 0,032 0,008 1
0,008 = 1
1- oznacza, że myśliwy strzelił raz i trafił za pierwszym razem,
2- oznacza, że myśliwy strzelił dwa razy i trafił za drugim razem,
3- oznacza, że myśliwy strzelił trzy razy i trafił za trzecim razem,
4- oznacza, że myśliwy strzelił cztery razy i trafił za czwartym razem lub nie trafił wcale.
Prawdopodobieństwo trafienia za każdym razem wynosi 0,8, stąd też wynika, że
prawdopodobieństwo nietrafienia wynosi 0,2.
P1  prawdopodobieństwo trafienia za pierwszym razem
p1 = 0,8
p2  prawdopodobieństwo trafienia za drugim razem, czyli iloczyn prawdopodobieństwa, że
za pierwszym razem myśliwy nie trafił oraz prawdopodobieństwa trafienia za drugim razem
p2 = 0,2 * 0,8 = 0,16
p3  prawdopodobieństwo trafienia za trzecim razem, czyli iloczyn prawdopodobieństwa, że
za pierwszym razem myśliwy nie trafił, za drugim razem myśliwy nie trafił oraz
prawdopodobieństwa trafienia za trzecim razem
p3 = 0,2 * 0,2 * 0,8 = 0,032
p4  prawdopodobieństwo trafienia za czwartym razem lub nie trafienia wcale, czyli suma
iloczynu prawdopodobieństwa, że za pierwszym razem myśliwy nie trafił, za drugim razem
myśliwy nie trafił, za trzecim razem myśliwy nie trafił i prawdopodobieństwa trafienia za
czwartym razem z iloczynem prawdopodobieństwa, że za pierwszym razem myśliwy nie trafił,
za drugim razem myśliwy nie trafił, za trzecim razem myśliwy nie trafił i za czwartym razem
myśliwy nie trafił.
P4 = 0,2 * 0,2 * 0,2 * 0,8 + 0,2 * 0,2 * 0,2 * 0,2 = 0,0064 + 0,0016 = 0,008
Zadanie 4. Robotnik obsługuje 3 maszyny. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny
maszyna nie będzie wymagać jego interwencji wynosi 0,6 dla pierwszej maszyny oraz 0,7 dla
drugiej i trzeciej maszyny. Przy założeniu, że maszyny pracują niezależnie od siebie, wyznacz
funkcję prawdopodobieństwa liczby X maszyn, które w ciągu godziny ich pracy nie
wymagajÄ… interwencji robotnika.
Funkcja prawdopodobieństwa:
xi 0 1 2 3 ©

Sprawdzenie ©
= 0,294 + 0,448 + 0,222 +
pi 0,294 0,448 0,222 0,036 1
0,036 = 1
0  oznacza, że żadna z maszyn w ciągu godziny nie będzie wymagała interwencji
1  oznacza, że jedna z maszyn w ciągu godziny będzie wymagała interwencji
2  oznacza, że dwie maszyny w ciągu godziny będą wymagały interwencji
3  oznacza, że wszystkie maszyny w ciągu godziny będą wymagały interwencji
Jeżeli prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny nie będzie wymagana interwencja dla
pierwszej maszyny wynosi 0,6 to oznacza, że prawdopodobieństwo interwencji dla pierwszej
maszyny wynosi 0,4. Podobnie w przypadku dwóch pozostałych maszyn, tzn., jeżeli
prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny nie będzie wymagana interwencja dla drugiej i
trzeciej maszyny wynosi 0,7 to oznacza, że prawdopodobieństwo interwencji dla każdej z
nich wynosi 0,3. Stąd też:
p1  prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny nie zepsuje się żadna z maszyn
p1 = 0,6 * 0,7 * 0,7 = 0,2940
p2  prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny zepsuje się jedna z maszyn z trzech
p2 = 0,4 * 0,7 * 0,7 + 0,6 * 0,3 * 0,7 + 0,6 * 0,7 * 0,3 = 0,4480
p3  prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny zepsują się dwie maszyny z trzech
p3 = 0,4 * 0,3 * 0,7 + 0,4 * 0,7 * 0,3 + 0,6 * 0,3 * 0,3 = 0,2220
p4  prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny zepsują się trzy maszyny
p4 = 0,4 * 0,3 * 0,3 = 0,0360
Zadanie 5. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem:
0 dla x < 1
1/6 dla 1 d" x < 4
F(x) = 3/6 dla 4 d" x < 6 P(X=5) = 0; F(5) = 3/6
5/6 dla 6 d" x < 8
1 dla x e" 8 P(X=8) = 1  5/6 = 1/6
F(8) = 1
II. Oblicz P(5d"Xd"8)
xi 1 4 6 8 ©

pi 1/6 2/6 2/6 1/6 1
Zgodnie ze wzorem
P(ad"Xd"b) = F(b)  F(a) + P(X=a)
P(5d"Xd"8) = F(8)  F(5) + P(X=5) = 1  3/6 + 0 = 3/6 + 0 = 3/6
b) Oblicz P(0P(aP(0II. Oblicz P(X<4,5)
P(XP(X<4,5) = F(4,5)  P(X=4,5) = 3/6  0 = 3/6
d) Określ funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej
Funkcja prawdopodobieństwa:
xi 1 4 6 8 ©

pi 1/6 2/6 2/6 1/6 1
Zadanie 6. Która z następujących funkcji jest dystrybuantą zmiennej losowej skokowej.
Odpowiedz
uzasadnij.
-0,1 dla x < -10
0 dla x < 1
0,3 dla -10 d" x < -4
0,3 dla 1 d" x < 4
F(x) = 0,6 dla -4 d" x < 6
F(x) = 0,2 dla 4 d" x < 6
0,7 dla 6 d" x < 8
0,5 dla 6 d" x < 8
1,2 dla x e" 8
1 dla x e" 8
Żadna z podanych funkcji nie jest dystrybuantą zmiennej losowej skokowej. W pierwszej
funkcji nie zachodzi właściwość funkcji niemalejącej, tzn. dla x1 < x2 nie zachodzi
F(x1) d" F(x2), np. dla x1 = 1 i x2 = 4 jest F(1) > F(2) (0,3 > 0,2)
W drugiej funkcji nie zachodzi własność 0 d" F(x) d" 1 (dlatego, że jest -0,1 d" F(x) d" 1,2)
Zadanie 7. Zmienna losowa X ma funkcją prawdopodobieństwa postaci:
xi -3 -1 3 5
pi 0,1 0,2 0,5 0,2
Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa losowej U, jeśli
a) U = 2X + 3
b) U = X2  5.
Ad. a) U = 2X + 3
dla xi = Ui
U1 = 2x1 + 3 = 2 (-3) + 3 = -6 + 3 = -3; p1 = 0,1
U2 = 2x2 + 3 = 2 (-1) + 3 = -2 + 3 = 1; p2 = 0,2
U3 = 2x3 + 3 = 2 (3) + 3 = 6 + 3 = 9; p3 = 0,5
U4 = 2x4 + 3 = 2 (5) + 3 = 10 + 3 = 13; p4 = 0,2
U1 `" U2 `" U3 `" U4 dlatego
Funkcja prawdopodobieństwa losowej U
Ui -3 1 9 13 ©

pi 0,1 0,2 0,5 0,2 1
Ad. b) U = X2  5
dla xi = Ui
U1 = (x1)2  5 = (-3)2  5 = 9  5 = 4; p1 = 0,1
U2 = (x2)2  5 = (-1)2  5 = 1  5 = -4; p2 = 0,2
U3 = (x3)2  5 = (3)2  5 = 9  5 = 4; p3 = 0,5
U4 = (x4)2  5 = (5)2  5 = 25  5 = 20; p4 = 0,2
U1 = U3 dlatego p1 + p3 = 0,1 + 0,5 = 0,6; natomiast
Funkcja prawdopodobieństwa losowej U
Ui -4 4 20 ©

pi 0,2 0,6 0,2 1
II. ZMIENNA LOSOWA CI
GA
A
Ze zmienną losową ciągłą wiąże się funkcja gęstości, która przyjmuje wartości nieujemne.
Jest to odpowiednik funkcji prawdopodobieństwa zmiennej dyskretnej. W oparciu o funkcję
gęstości obliczmy prawdopodobieństwa.
Funkcję gęstości zmiennej losowej X typu ciągłego nazywamy funkcję f(x) określoną
następująco:
P (xf(x) = lim
"x0 "x
Własności funkcji gęstości:
1. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego spełnia
warunki:
a) f(x) e" 0 dla dowolnego x õ R,
b) pole figury ograniczone wykresem krzywej f(x) oraz osiÄ… 0X wynosi 1
+ "
+" f(x) dx = 1
- "
2. Jeżeli funkcja f(x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu
ciÄ…gÅ‚ego, to P(X=a) = 0 dla dowolnego a õ R.
3. Jeżeli f(x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego,
to P(aprostymi x = a, x = b czyli:
b
+" f(x) dx
a
Zadanie 1. Dana jest następująca funkcja
0 dla x > 3
F(x) = 1/5 dla 3 d" x < 8
0 dla x < 8
a) Naszkicuj wykres
b) Sprawdz
, czy może być ona funkcją gęstości pewnej zmiennej losowej X, jeżeli tak, to
oblicz prawdopodobieństwo P(5d"Xd"7)
Ad. a)
F(x)
1/5
P
b
3 a 8 x
Ad. b)
a = 8  3 = 5
b = 1/5
P = a * b = 1/5 * 5 = 1
Podana funkcja jest funkcją gęstości, ponieważ spełnia dwa warunki, po pierwsze przyjmuje
wartości nieujemne, po drugie  pole pod jej wykresem wynosi 1.
P(5d"Xd"7)
F(x)
1/5
P
b
5 a 7 x
a = 7  5 = 2
b = 1/5
P = a * b = P(5d"Xd"7) = 2 x 1/5 = 2/5; P(5Zadanie 2. Zmienna losowa X podlega rozkładowi wg gęstości danej wzorem:
0 dla x < 0
F(x) = cx dla 0 d" x d" 4
0 dla x > 4
a) Oblicz stałą c tak, by funkcja była gęstością.
b) Narysuj wykres gęstości.
c) Oblicz prawdopodobieństwo P(Xd"2).
d) Oblicz prawdopodobieństwo P(X>3).
e) Oblicz prawdopodobieństwo P(1d"Xd"3).
Ad. a)
4c
3c
2c P h
c a
a
0 1 2 3 4
P  pole trójkąta
P = ½ a * h = ½ 4 * 4c = 8c
Przy założeniu, że zmienna losowa X podlega rozkładowi gęstości to pole figury pod funkcją
wynosi 1.
P = 1 8c = 1 c = 1/8
Stąd też stała c wynosi 1/8 tak by funkcja była gęstością.
Ad. b)
F(x)
4/8
3/8
2/8
1/8 P
1 2 3 4 x
Ad. c)
P(Xd"2)  powstaje pole trójkÄ…ta, czyli P = ½ * a * h
a = 2; b = 2/8
P = ½ a * h = ½ * 2 * 2/8 = 2/8 = ź
Ad. d)
P(X>3) powstaje pole trapezu, czyli P = ½ * (a + b) * h
a = 3/8; b = 4/8; h = 4  3 = 1
P = ½ * ( 3/8 + 4/8) * 1 = ½ * 7/8 * 1 = 7/16
Ad. e)
P(1d"Xd"3)  powstaje pole trapezu, czyli P = ½ * (a + b) * h
a = 1/8; b = 3/8; h = 3  1 = 2
P = ½ * (1/8 + 3/8) * 2 = ½ * 4/8 * 2 = 4/8 = ½
Zadanie 3. Zmienna losowa ma rozkład o gęstości:
x dla 0 d" x < 1
F(x) = 2-x dla 1 d" x < 2
0 dla w pozostałych przypadkach, ( w domyśle to x e" 2 oraz x < 0)
a) Naszkicuj wykres funkcji gęstości
b) Oblicz prawdopodobieństwo P(X<0,5)
c) Oblicz prawdopodobieństwo P(X<1,5)
d) Oblicz prawdopodobieństwo P(0,5d"Xd"1,5)
Ad. a)
F(x) = x Â0,1)
1 h2
½ h3
½ 1 1,5 2 x
P = ½ * a1 * h1
Ad. b)
P(X<0,5)  pole trójkÄ…ta, czyli P = ½ * a1 * h1
a1 = ½; h1 = ½
P = ½ * a1 * h1 = ½ * ½ * ½ = 1/8
Ad. c)
P(X<1,5)  pole trójkąta o boku a2 = 1 i wysokości h2 = 1 plus pole trapezu o bokach:
b = h2 = 1; a = h3 = ½ i wysokoÅ›ci h = 1,5  1 = ½ czyli pole figury wynosi:
P = (½ * a2 * h2) + [½ * (a + b) * h] = (1/2 * 1 * 1) + [1/2 * (1/2 + 1) * 1/2]
= ½ + [½ * 3/2 * ½] = ½ + 3/8 = 4/8 + 3/8 = 7/8
Ad. d)
P(0,5d"Xd"1,5)  suma pola trapezu (Pa) o bokach aa = h1 = 1/2; ba = h2 = 1; i wysokości
ha = 1  ½ = ½ oraz pola trapezu (Pb) o bokach ab = h3 = 1/2; bb = h2 = 1; i wysokoÅ›ci
hb = 1,5  1 = ½, czyli
P = Pa + Pb = [½ * (1/2 + 1) * ½] + [½ * (1/2 + 1) * ½] = [½ * 3/2 * ½] + [½ * 3/2 * ½] =
= 3/8 + 3/8 = 6/8 = ¾
lub liczone przez odjęcie prawdopodobieństw
P(0,5d"Xd"1,5) = P(Xd"1,5) - P(X<0,5) = 7/8  1/8 = 6/8 = ¾
Zadanie 4. Zmienna losowa ma gęstość prawdopodobieństwa daną wzorem
½ x dla 0 d" x < 2
F(x) = 0 dla pozostałych (w domyśle to x e" 2 oraz x < 0)
a) Naszkicuj wykres funkcji gęstości.
b) Oblicz prawdopodobieństwa.
Ad. a)
F(x)
1
¾
½
ź
½ 1 3/2 2 x
Ad. b) Prawdopodobieństwa obliczane są na tej samej zasadzie jak w zadaniu nr 2.
III. PARAMETRY ROZKA
ADU ZMIENNEJ LOSOWEJ DYSKRETNEJ
E(x)  wartość przeciętna, oczekiwana
k
E(x) = ©
xi pi
i=1
D2(x) - wariancja
k
D2(x) = ©
(xi  E(x))2 pi  pierwszy sposób
i=1
D2(x) = E(x2)  (E(x))2 = m2  (m1)2, - drugi sposób
gdzie E(x) = m1; E(x2) = m2 = ©
xi2 pi
D(x) = " D2(x) - odchylenie standardowe
D(x)
V = - współczynnik zmienności
E(X)
Mo  dominanta, modalna
Q1; Q2; Q3  kwartyl 1  szy, 2  gi, 3  ci.
Q1  kwartyl pierwszy
0,25 0,75 P(X d" Q1) e" 0,25; P(X e" Q1) e" 0,75
Q1
Q2  kwartyl pierwszy
0,50 0,50 P(X d" Q1) e" 0,50; P(X e" Q1) e" 0,50
Q2
Q3  kwartyl pierwszy
0,75 0,25 P(X d" Q1) e" 0,75; P(X e" Q1) e" 0,25
Q3
Q2 = Me  mediana, wartość środkowa
Zadanie nr 1. Prawdopodobieństwo zachorowania na chorobę zakaz
nÄ… Z w n-tym dniu od
zetknięcia się z chorym ma następujący rozkład:
Xk 0 1 2 3 4 5
pk 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1 0,05
Oblicz: wartość przeciętną, wariancję, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności,
kwartyle, dominantę. Przedstaw interpretację otrzymanych wyników.
Ad. Wartość przeciętna E(X), wariancja D2(x), średnie odchylenie D(x),
(xi  (xi  E(x))2
xi pi xi pi xi  E(x) xi2 xi2 pi pisk
E(x))2 pi
0 0,1 0 -2,1 4,41 0,4410 0 0 0,1
1
0,25 0,25 -1,1 1,21 0,3025 1 0,25 0,35 Q1= 1
2
0,3 0,6 -0,1 0,01 0,0030 4 1,2 0,65 Q2= 2
3
0,2 0,6 0,9 0,81 0,1620 9 1,8 0,85 Q3= 3
4 0,1 0,4 1,9 3,61 0,3610 16 1,6 0,95
5 0,05 0,25 2,9 8,41 0,4205 25 1,25 1
" 1 2,1 x x 1,69 x 6,1 x
pisk  prawdopodobieństwo skumulowane, szukany Q1  kwartyl pierwszy czyli 0,25; szukany Q2 
kwartyl drugi czyli 0,50; szukany Q3  kwartyl trzeci czyli 0,75.
k
E(x) = ©
xi pi = 2,1 (wartość przeciętna)
i=1
Przeciętnie zachorowanie wystąpiło w drugim dniu od momentu zetknięcia się z chorym.
k
D2(x) = ©
(xi  E(x))2 pi = 1,69 (wariancja)  pierwszy sposób
i=1
D2(x) = E(x2)  (E(x))2 = 6,1  (2,1)2 = 6,1  4,41 = 1,69  drugi sposób
Czas do kwadratu nie podlega interpretacji
D(x) = " D2(x) = " 1,69 = 1,3
Poszczególne dni zachorowań odchylają się od przeciętnego dnia średnio o 1,3 dnia.
Ad. współczynnik zmienności, kwartyle, dominanta:
D(x) 1,3
V = = H" 0,62 = 62 %
E(X) 2,1
Zróżnicowanie dni zachorowań wynosi 62 %
Dominanta wynosi Mo = 2 (bo największe prawdopodobieństwo jest 0,3)
Najbardziej prawdopodobne było zachorowanie w 2-gim dniu od momentu zetknięcia
z chorym.
Q1= 1. Prawdopodobieństwo zachorowania w pierwszym dniu lub wcześniej jest większe
bÄ…dz
równe 0,25 i jednocześnie prawdopodobieństwo zachowania w pierwszym dniu lub
póz
niej jest większe bądz
równe 0,75.
Q1= 2. Prawdopodobieństwo zachorowania w drugim dniu lub wcześniej jest większe bądz

równe 0,50 i jednocześnie prawdopodobieństwo zachowania w drugim dniu lub póz
niej jest
większe bądz
równe 0,50.
Q1= 3. Prawdopodobieństwo zachorowania w trzecim dniu lub wcześniej jest większe bądz

równe 0,75 i jednocześnie prawdopodobieństwo zachowania w trzecim dniu lub póz
niej jest
większe bądz
równe 0,25.
Zadanie 2. Rozkład zmiennej losowej X określa funkcja prawdopodobieństwa:
Xi 5 10 15 20 35
pi 0,1 0,3 0,4 0,1 0,1
Dysponując tym rozkładem oblicz podstawowe parametry charakteryzujące rozkład tej
zmiennej.
xi pi xi pi xi  E(x) (xi  E(x))2 (xi  E(x))2 pi xi2 xi2 pi pisk
5 0,1 0,5 -10 100 10,00 25 2,5 0,1
10
0,3 3 -5 25 7,50 100 30 0,4 Q1= 10
15 Q2= 15
0,4 6 0 0 0,00 225 90 0,8
Q3= 15
20 0,1 2 5 25 2,50 400 40 0,9
35 0,1 3,5 20 400 40,00 1225 122,5 1
" 1 15 x x 60,00 x 285 x
pisk  prawdopodobieństwo skumulowane, szukany Q1  kwartyl pierwszy czyli 0,25; szukany Q2 
kwartyl drugi czyli 0,50; szukany Q3  kwartyl trzeci czyli 0,75.
Ad. Wartość przeciętna E(X), wariancja D2(x), średnie odchylenie D(x),
k
E(x) = ©
xi pi = 15 (wartość przeciętna)
i=1
Przeciętną wartością przyjmowaną przez zmienną losową jest 15.
k
D2(x) = ©
(xi  E(x))2 pi = 60 (wariancja)  pierwszy sposób
i=1
D2(x) = E(x2)  (E(x))2 = 285  (15)2 = 285  225 = 60  drugi sposób
Åšrednie odchylenie
D(x) = " D2(x) = " 60 H" 7,75
Poszczególne wartości zmiennej losowej odchylają się od wartości przeciętnej średnio o 7,75.
Ad. współczynnik zmienności, kwartyle, dominanta:
D(x) 7,75
V = = H" 0,52 = 52 %
E(X) 15
Zróżnicowanie zmiennej losowej wynosi 52 %.
Dominanta wynosi Mo = 15 (bo największe prawdopodobieństwo jest 0,4)
Najbardziej prawdopodobne jest to, że zmienna losowa przyjmuje wartość 15.
Q1= 10. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą lub równą 10
jest większe bądz
równe 0,25 i jednocześnie prawdopodobieństwo, że zmienna losowa
przyjmie wartość większą bądz
równą 10 jest większe bądz
równe 0,75.
Q1= 15. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą lub równą 15
jest większe bądz
równe 0,50 i jednocześnie prawdopodobieństwo, że zmienna losowa
przyjmie wartość większą bądz
równą 15 jest większe bądz
równe 0,50.
Q1= 15. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą lub równą 15
jest większe bądz
równe 0,75 i jednocześnie prawdopodobieństwo, że zmienna losowa
przyjmie wartość większą bądz
równą 15 jest większe bądz
równe 0,25.
Zadanie 3. Wyznacz wartość dominującą i kwartyle w rozkładzie. Podaj interpretacje
otrzymanych wyników.
Xi 2 5 7 10
pi 1/9 2/9 5/9 1/9
xi pi pisk
2 1/9 0,11
5
2/9 0,33 Q1= 5
7 Q2= 7
5/9 0,89
Q3= 7
10 1/9 1
" 1 x
pisk  prawdopodobieństwo skumulowane, szukany Q1  kwartyl pierwszy czyli 0,25; szukany Q2 
kwartyl drugi czyli 0,50; szukany Q3  kwartyl trzeci czyli 0,75.
Dominanta wynosi Mo = 7 (bo największe prawdopodobieństwo jest 5/9)
Najbardziej prawdopodobne jest to, że zmienna losowa przyjmuje wartość 7.
Q1= 5. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą lub równą 5 jest
większe bądz
równe 0,25 i jednocześnie prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie
wartość większą bądz
równą 5 jest większe bądz
równe 0,75.
Q1= 7. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą lub równą 7 jest
większe bądz
równe 0,50 i jednocześnie prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie
wartość większą bądz
równą 7 jest większe bądz
równe 0,50.
Q1= 7. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą lub równą 7 jest
większe bądz
równe 0,75 i jednocześnie prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie
wartość większą bądz
równą 7 jest większe bądz
równe 0,25.
Zadanie 4. Rozkład skokowej zmiennej losowej X określony jest dystrybuantą:
0 dla x < 1
0,15 dla 1 d" x < 3
F(x) = 0,25 dla 3 d" x < 5
0,50 dla 5 d" x < 7
0,80 dla 7 d" x < 10
1 dla x e" 10
Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, dominantę i medianę
zmiennej losowej X.
Ad. Wartość przeciętna (oczekiwana) E(X), wariancja D2(x), średnie odchylenie
(standardowe) D(x),
pisk
xi pi xi pi xi2 xi2 pi
0,15
1 0,15 0,15 1 0,15
3 0,25 Q1= 3
0,10 0,30 9 0,90
5 0,50 Q2= 5
0,25 1,25 25 6,25
7 0,80 Q3= 7
0,30 2,10 49 14,70
1
10 0,20 2,00 100 20,00
x
" 1 5,80 x 42,00
pisk  prawdopodobieństwo skumulowane, szukany Q1  kwartyl pierwszy czyli 0,25; szukany Q2 
kwartyl drugi czyli 0,50; szukany Q3  kwartyl trzeci czyli 0,75.
k
E(x) = ©
xi pi = 5,80 (wartość przeciętna)
i=1
Przeciętną wartością przyjmowaną przez zmienną losową jest 5,80.
D2(x) = E(x2)  (E(x))2 = 42  (5,8)2 = 42  33,64 = 8,4
Åšrednie odchylenie
D(x) = " D2(x) = " 8,4 H" 2,89
Poszczególne wartości zmiennej losowej odchylają się od wartości przeciętnej średnio o 2,89.
Ad. Dominanta i mediana
Dominanta wynosi Mo = 7 (bo największe prawdopodobieństwo jest 0,3)
Najbardziej prawdopodobne jest to, że zmienna losowa przyjmuje wartość 7.
Q2 = Me  mediana, wartość środkowa
Me = 5
Zadanie 5. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:
Xi -2 -1 2 5
pi 0,3 0,1 0,2 0,4
Wyznacz różnymi sposobami wartość przeciętną i wariancję zmiennej losowej:
a) U = 2X-3 i W = X2 +1;
b) U = 2X +1 i W = X2 +2.
Ad. a)
Ui = 2Xi  3
xi pi E(x) = xi pi xi2 xi2 pi
Ui = 2Xi  3 Ui pi Ui2 Ui2 pi
-2 0,30 -7,00 -2,10 49,00 14,70 -0,6 4 1,20
-1 0,10 -5,00 -0,50 25,00 2,50 -0,1 1 0,10
2 0,20 1,00 0,20 1,00 0,20 0,4 4 0,80
5 0,40 7,00 2,80 49,00 19,60 2 25 10,00
" 1 x 0,40 x 37,00 1,7 x 12,10
E(U) = 0,40 lub
Dla U = aX + b E(U) = aE(X) + b
E(U) = E(2X-3) = 2E(X)  3 = 2 * 1,7  3 = 0,4
Przeciętną wartością przyjmowaną przez zmienną losową jest wartość równa 0,4.
D2(U) = E(U2)  (E(U))2 = 37  (0,40)2 = 37  0,16 = 36,84
D2(X) = E(x2)  (E(x))2 = 12,10  (1,7)2 = 12,10  2,89 = 9,21
D2(U) = D2(2X  3) = (2)2 D2(X) = 4 x 9,21 = 36,84
Wariancja wynosi 36,84
Dla W = x2 + 1
w1 = (-2)2 + 1 = 5
w2 = (-1)2 + 1 = 2
w3 = (2)2 + 1 = 5
w3 = (5)2 + 1 = 26
W związku z tym, że w1 = w3 funkcja prawdopodobieństwa przedstawiona będzie następująco:
wi 2 5 26
pi 0,1 0,5 0,4
Dlatego też
wi pi
wipi
wi2 wi2 pi
2 0,10 0,20
4,00 0,40
5 0,50 2,50
25,00 12,50
26 0,40 10,40
676,00 270,40
" 1 13,10
x 283,30
E(W) = 13,10 lub
E(W) = E(x2 + 1) = E(x2) + E(1) = 12,10 + 1 = 13,10
Przeciętną wartością przyjmowaną przez zmienną losową jest wartość równa 13,10.
D2(W) = E(W2)  (E(W))2 = 283,30  (13,10)2 = 283,3  171,61 = 111,69
D2(X2) = E((x2)2)  (E(x2))2 = E(x4)  (E(x2))2 = 258,10  (12,10)2 = 258,10  146,41= 111,69
D2(W) = D2(x2 + 1) = (1)2 D2(X2) = 1 * 111.69 = 111,69
Wariancja wynosi 111,69
Ad. b)
Ui = 2Xi + 1
xi pi Ui = 2Xi + 1 Ui pi Ui2 Ui2 pi E(x) = xi pi xi2 xi2 pi xi4 xi4 pi
-2 0,30 -3,00 -0,90 9,00 2,70 -0,6 4 1,20 16,00 4,80
-1 0,10 -1,00 -0,10 1,00 0,10 -0,1 1 0,10 1,00 0,10
2 0,20 5,00 1,00 25,00 5,00 0,4 4 0,80 16,00 3,20
5 0,40 11,00 4,40 121,00 48,40 2 25 10,00 625,00 250,00
" 1 x 4,40 x 56,20 1,7 x 12,10 x 258,10
E(U) = 4,40 lub
Dla U = aX + b E(U) = aE(X) + b
E(U) = E(2X+1) = 2E(X) + 1 = 2 * 1,7 + 1 = 4,40
Przeciętną wartością przyjmowaną przez zmienną losową jest wartość równa 4,4.
D2(U) = E(U2)  (E(U))2 = 56,20  (4,40)2 = 56,20  19,36 = 36,84
D2(X) = E(x2)  (E(x))2 = 12,10  (1,7)2 = 12,10  2,89 = 9,21
D2(U) = D2(2X + 1) = (2)2 D2(X) = 4 * 9,21 = 36,84
Wariancja wynosi 36,84
Dla W = x2 + 2
w1 = (-2)2 + 2 = 6
w2 = (-1)2 + 2 = 3
w3 = (2)2 + 2 = 6
w3 = (5)2 + 2 = 27
W związku z tym, że w1 = w3 funkcja prawdopodobieństwa przedstawiona będzie następująco:
wi 3 6 27
pi 0,1 0,5 0,4
Dlatego też
wi pi
wipi
wi2 wi2 pi
3 0,10 0,30
9,00 0,90
6 0,50 3,00
36,00 18,00
27 0,40 10,80
729,00 291,60
" 1 14,10
x 310,50
E(W) = 14,10 lub
E(W) = E(x2 + 2) = E(x2) + E(2) = 12,10 + 2 = 14,10
Przeciętną wartością przyjmowaną przez zmienną losową jest wartość równa 13,10.
D2(W) = E(W2)  (E(W))2 = 310,50  (14,10)2 = 310,50  198,81 = 111,69
D2(X2) = E((x2) 2)  (E(x2))2 = E(x4)  (E(x2))2 = 258,10  (12,10)2 = 258,10  146,41= 111,69
D2(W) = D2(x2 + 2) = (1)2 D2(X2) = 1 * 111.69 = 111,69
Wariancja wynosi 111,69
IV. DWUWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA SKOKOWA I JEJ PARAMETRY
" " pij = 1; pij, gdzie i  nr wiersza, j  nr kolumny
pi pj
Zadanie 1. Losujemy jednÄ… kartÄ™ z talii 52 kart. Oznaczamy przez X zmiennÄ… losowÄ…
przyjmującą wartość 0 dla karty nietreflowej, a wartość 1 dla pozostałych kart; przez Y
zmienną losową przyjmującą odpowiednio wartości dla asa 5, dla króla 4, dla damy 3, dla
pozostałych 0.
a) Podać rozkład zmiennej losowej (X,Y);
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe;
c) Wyznaczyć rozkłady warunkowe.
d) Zbadać niezależność zmiennych losowych X,Y;
e) Policzyć wariancję sumy zmiennych D2(X+Y).
Ad. a) Rozkład zmiennej losowej (X,Y)
pij = P(X = xi, Y = yj)
p11 = P(X = 0, Y = 0)  prawdopodobieństwo, że wylosujemy kartę nietreflową oraz że będzie
ona mniejsza od damy (lub mniejsza równa waletowi);
p12 = P(X = 0, Y = 3)  prawdopodobieństwo, że wylosujemy kartę nietreflową oraz że będzie
ona damÄ…;
p13 = P(X = 0, Y = 4)  prawdopodobieństwo, że wylosujemy kartę nietreflową oraz że będzie
ona królem;
p14 = P(X = 0, Y = 5)  prawdopodobieństwo, że wylosujemy kartę nietreflową oraz że będzie
ona asem;
p21 = P(X = 1, Y = 0)  prawdopodobieństwo, że wylosujemy kartę treflową oraz że będzie
ona mniejsza od damy (lub mniejsza równa waletowi);
p22 = P(X = 1, Y = 3)  prawdopodobieństwo, że wylosujemy kartę treflową oraz że będzie
ona damÄ…;
p23 = P(X = 0, Y = 4)  prawdopodobieństwo, że wylosujemy kartę treflową oraz że będzie
ona królem;
p24 = P(X = 0, Y = 5)  prawdopodobieństwo, że wylosujemy kartę nietreflową oraz że będzie
ona asem;
X\Y 0 3 4 5 pi
p11 p12 p13 p14
0 39/52
30/52 3/52 3/52 3/52
p21 p22 p23 p24
1 13/52
10/52 1/52 1/52 1/52
p j 40/52 4/52 4/52 4/52 1
Ad. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe
X\Y 0 3 4 5 pi
0 30/52 3/52 3/52 3/52 39/52
Rozkład brzegowy X
1 10/52 1/52 1/52 1/52 13/52
p j 40/52 4/52 4/52 4/52 1
Rozkład brzegowy Y
Rozkład brzegowy X - poniżej podkreślony ciemniejszą ramką
xi pi xi pi xi2 xi2 pi
0 39/52 0 0 0
1 13/52 13/52 1 13/52
" 1 13/52 X 13/52
E(x) = 13/52 = ź
D2(X) = E(x2)  (E(x))2 = 13/52  (13/52)2 = ź - (1/4)2 = 4/16  1/16 = 3/16
Rozkład brzegowy Y  poniżej podkreślony ciemniejszą ramką
yj p j yj pj yj2 yj2pj
0 40/52 0 0 0
3 4/52 12/52 9 36/52
4 4/52 16/52 16 64/52
5 4/52 20/52 25 100/52
" 1 48/52 X 200/52
E(y) = 48/52
D2(Y) = E(y2)  (E(y))2 = 200/52  (48/52)2 = 10400/2704  2304/2704 = 8096/2704 =
169/506 H" 3
Ad. c) Wyznaczyć rozkłady warunkowe
Rozkłady warunkowe x
X/Y = yj
1o X/Y = 0
2o X/Y = 1
3o X/Y = 4
4o X/Y = 5
1o X/Y = 0, dla P(X = xi / Y = 0), tj. przy założeniu, że karta będzie treflem lub nie ale będzie
mniejsza od damy
P(X = 0 / Y = 0) = p11 / p 1 = (30/52) / (40/52) = 30/52 * 52/40 = 30/40 = ¾
P(X = 1 / Y = 0) = p21 / p 1 = (10/52) / (40/52) = 10/52 * 52/40 = 10/40 = ź
2o X/Y = 3, dla P(X = xi / Y = 3), tj. przy założeniu, że karta będzie treflem lub nie ale będzie
damÄ…
P(X = 0 / Y = 3) = p12 / p 2 = (3/52) / (4/52) = 3/52 * 52/4 = ¾
P(X = 1 / Y = 3) = p22 / p 2 = (1/52) / (4/52) = 1/52 * 52/4 = ź
3o X/Y = 4, dla P(X = xi / Y = 4), tj. przy założeniu, że karta będzie treflem lub nie ale będzie
królem
P(X = 0 / Y = 4) = p13 / p 3 = (3/52) / (4/52) = 3/52 * 52/4 = ¾
P(X = 1 / Y = 4) = p23 / p 3 = (1/52) / (4/52) = 1/52 * 52/4 = ź
4o X/Y = 5, dla P(X = xi / Y = 5), tj. przy założeniu, że karta będzie treflem lub nie ale będzie
asem
P(X = 0 / Y = 5) = p14 / p 4 = (3/52) / (4/52) = 3/52 * 52/4 = ¾
P(X = 1 / Y = 5) = p24 / p 4 = (1/52) / (4/52) = 1/52 * 52/4 = ź
xi P(X = xi / Y = 0) P(X = xi / Y = 3) P(X = xi / Y = 4) P(X = xi / Y = 5)
0 3/4 3/4 3/4 3/4
1 1/4 1/4 1/4 1/4
" 1 1 1 1
Rozkłady warunkowe y
Y/X = xi
1o Y/X = 0
2o Y/X = 1
1o Y/X = 0, dla P(Y= yj / X=0), tj. przy założeniu, że wylosowana karta nie będzie treflem
P(Y= y1 / X=0) = p11 / p1 = (30/52) / (39/52) = 30/52 * 52/39 = 30/39 = 10/13
P(Y= y2 / X=0) = p12 / p1 = (3/52) / (39/52) = 3/52 * 52/39 = 3/39 = 1/13
P(Y= y3 / X=0) = p13 / p1 = (3/52) / (39/52) = 3/52 * 52/39 = 3/39 = 1/13
P(Y= y4 / X=0) = p14 / p1 = (3/52) / (39/52) = 3/52 * 52/39 = 3/39 = 1/13
2o Y/X = 1, dla P(Y= yj / X=1), tj. przy założeniu, że wylosowana karta będzie treflem
P(Y= y1 / X=1) = p21 / p2 = (10/52) / (13/52) = 10/52 * 52/13 = 10/13
P(Y= y2 / X=1) = p22 / p2 = (1/52) / (13/52) = 1/52 * 52/13 = 1/13
P(Y= y3 / X=1) = p23 / p2 = (1/52) / (13/52) = 1/52 * 52/13 = 1/13
P(Y= y4 / X=1) = p24 / p2 = (1/52) / (13/52) = 1/52 * 52/13 = 1/13
yj
P(Y= yj / X=0) P(Y= yj / X=1)
0 10/13 10/13
3 1/13 1/13
4 1/13 1/13
5 1/13 1/13
" 1 1
Ad. d) Zbadać niezależność zmiennych losowych X,Y.
Niezależność
Stochastyczna (wg prawdopodobieństwa) Korelacyjna (liniowa)
pij = pi * p j ń = 0  brak zależności liniowej
ń `" 0  występuje zależność liniowa
Jeżeli równe są wszystkie równości to
zmienne są niezależne
Jeżeli przynajmniej 1 (jedna) równość jest
fałszywa to zmienne są zależne
L = P
Badanie niezależności stochastycznej pij = pi * p j
p11 = 30/52 p1 * p 1 = 39/52 * 40/52 = 3/4 * 40/52 = 30/52 L = P
p12 = 3/52 p1 * p 2 = 39/52 * 4/52 = 3/4 * 4/52 = 3/52 L = P
p13 = 3/52 p1 * p 3 = 39/52 * 4/52 = 3/4 * 4/52 = 3/52 L = P
p14 = 3/52 p1 * p 4 = 39/52 * 4/52 = 3/4 * 4/52 = 3/52 L = P
p21 = 10/52 p2 * p 1 = 13/52 * 40/52 = 1/4 * 40/52 = 10/52 L = P
p22 = 1/52 p2 * p 2 = 13/52 * 4/52 = 1/4 * 4/52 = 1/52 L = P
p23 = 1/52 p2 * p 3 = 13/52 * 4/52 = 1/4 * 4/52 = 1/52 L = P
p24 = 1/52 p2 * p 4 = 13/52 * 4/52 = 1/4 * 4/52 = 1/52 L = P
Ponieważ wszystkie równości są prawdziwe zmienna losowa X i Y są niezależne.
Jeżeli zmienne losowe są niezależne to nie występuje również zależność liniowa, stąd ń = 0 
brak zależności liniowej. Zmienne liniowe są nieskorelowane.
Zadanie 2. Rzucamy jedną kostką do gry. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartość 0, gdy
wyrzucimy parzystą liczbę oczek oraz wartość 1, gdy wyrzucimy nieparzystą liczbę oczek.
Zmienna losowa Y przyjmuje wartość 1, gdy liczba wyrzuconych oczek jest podzielna przez
trzy, oraz wartość dwa, gdy liczba oczek nie jest podzielna przez 3.
a) Wyznaczyć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y);
b) Zbadać niezależność zmiennych losowych X,Y.
Ad. a)
Należy przyjąć, że
&! = {É1, É2, É3, É4, É5, & } = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(&!) = 6
p11 = P(X = 0, Y = 1)
A1  zdarzenie polegające na tym, że wypadła parzysta liczba oczek oraz liczba wyrzuconych
oczek jest podzielna przez 3.
A1 = {6}; n(A1) = 1
p11 = P(A1) = n(A1)/n(&!) = 1/6
p12 = P(X = 0, Y = 2)
A2  zdarzenie polegające na tym, że wypadła parzysta liczba oczek oraz liczba wyrzuconych
oczek nie jest podzielna przez 3.
A2 = {2, 4}; n(A1) = 2
p12 = P(A2) = n(A2)/n(&!) = 2/6
p21 = P(X = 1, Y = 1)
A3  zdarzenie polegające na tym, że wypadła nieparzystą liczbę oczek oraz liczba
wyrzuconych oczek jest podzielna przez 3;
A3 = {3}; n(A1) = 1
p21 = P(A3) = n(A3)/n(&!) = 1/6
p22 = P(X = 1, Y = 2)
A4  zdarzenie polegające na tym, że wypadła nieparzystą liczbę oczek oraz liczba
wyrzuconych oczek nie jest podzielna przez 3
A4 = {1, 5}; n(A1) = 2
p22 = P(A4) = n(A4)/n(&!) = 2/6
X\Y 1 2 pi
p11 p12
0 3/6
1/6 2/6
p21 p22
1 3/6
1/6 2/6
p j 2/6 4/6 1
Ad. b) Zbadać niezależność zmiennych losowych X,Y.
L = P
Badanie niezależności stochastycznej pij = pi * p j
p11 = 1/6 p1 * p 1 = 3/6 * 2/6 = 6/36 = 1/6 L = P
p12 = 2/6 p1 * p 2 = 3/6 * 4/6 = 12/36 = 2/6 L = P
p21 = 1/6 p2 * p 1 = 3/6 * 2/6 = 6/36 = 1/6 L = P
p22 = 2/6 p2 * p 2 = 3/6 * 4/6 = 12/36 = 2/6 L = P
Ponieważ wszystkie równości są prawdziwe zmienna losowa X i Y są niezależne.
Jeżeli zmienne losowe są niezależne to nie występuje również zależność liniowa, stąd ń = 0 
brak zależności liniowej. Zmienne X i Y nie są skorelowane.
Zadanie 3. Dany jest rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y);
X\Y y1 y2
x1 0,20 0,30
x2 0,20 0,30
a) Wyznacz rozkłady warunkowe
b) Co można powiedzieć o zależności pomiędzy zmiennymi X, Y.
Ad. a)
X\Y y1 y2 pi
x1 0,2 0,3 0,5
x2 0,2 0,3 0,5
p j 0,4 0,6 1
Rozkłady warunkowe x
X/Y = yj
1o X/Y = y1
2o X/Y = y2
1o X/Y = y1, dla P(X = xi / Y = y1),
P(X = x1 / Y = y1) = p11 / p 1 = 0,2 / 0,4 = 2/10 * 10/4 = 2/4 = ½
P(X = x2 / Y = y1) = p21 / p 1 = 0,2 / 0,4 = 2/10 * 10/4 = 2/4 = ½
2o X/Y = y2, dla P(X = xi / Y = y2),
P(X = x1 / Y = y2) = p12 / p 2 = 0,3 / 0,6 = 3/10 * 10/6 = 3/6 = ½
P(X = x2 / Y = y2) = p22 / p 2 = 0,3 / 0,6 = 3/10 * 10/6 = 3/6 = ½
X\Y P(X = xi / Y = y1) P(X = xi / Y = y2)
x1 ½ ½
x2 ½ ½
" 1 1
Rozkłady warunkowe y
Y/X = xi
1o Y/X = x1
2o Y/X = x2
1o Y/X = x1, dla P(Y= yj / X= x1),
P(Y= y1 / X= x1) = p11 / p1 = 0,2 / 0,5 = 2/10 * 10/5 = 2/5
P(Y= y2 / X= x1) = p12 / p1 = 0,3 / 0,5 = 3/10 * 10/5 = 3/5
2o Y/X = x2, dla P(Y= yj / X= x2),
P(Y= y1 / X= x2) = p21 / p2 = 0,2 / 0,5 = 2/10 * 10/5 = 2/5
P(Y= y2 / X= x2) = p22 / p2 = 0,3 / 0,5 = 3/10 * 10/5 = 3/5
yj
P(Y= yj / X= x1) P(Y= yj / X= x2)
y1 2/5 2/5
y2 3/5 3/5
" 1 1
Ad. b) Co można powiedzieć o zależności pomiędzy zmiennymi X, Y.
L = P
Badanie niezależności stochastycznej pij = pi * p j
p11 = 0,2 p1 * p 1 = 0,5 * 0,4 = 0,2 L = P
p12 = 0,3 p1 * p 2 = 0,5 * 0,6 = 0,3 L = P
p21 = 0,2 p2 * p 1 = 0,5 * 0,4 = 0,2 L = P
p22 = 0,3 p2 * p 2 = 0,5 * 0,6 = 0,3 L = P
Ponieważ wszystkie równości są prawdziwe zmienna losowa X i Y są niezależne.
Jeżeli zmienne losowe są niezależne to nie występuje również zależność liniowa, stąd ń = 0 
brak zależności liniowej. Zmienne X i Y nie są skorelowane.
Zadanie 4. Dany jest rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y):
X\Y 0 4
-2 0 1/3
0 1/3 0
2 0 1/3
Zbadaj czy zmienne losowe sÄ…:
a) niezależne
b) nieskorelowane
Ad. a)
X\Y 0 4 pi
p11 p12
-2 1/3
0 1/3
p21 p22
0 1/3
1/3 0
p31 p32
2 1/3
0 1/3
p j 1/3 2/3 1
p11 = 0; p1 * p 1 = 1/3 * 1/3 = 1/9 L `" P
p12 = 1/3; p1 * p 2 = 1/3 * 2/3 = 2/9 L `" P
p21 = 1/3; p2 * p 1 = 1/3 * 1/3 = 1/9 L `" P
p22 = 0; p2 * p 2 = 1/3 * 2/3 = 2/9 L `" P
p31 = 0; p3 * p 1 = 1/3 * 1/3 = 1/9 L `" P
p32 = 1/3; p3 * p 2 = 1/3 * 2/3 = 2/9 L `" P
Ponieważ przynajmniej jedna równość jest fałszywa zmienne losowe X i Y są zależne.
Ad. b)
cov (X,Y)
Å„ =
2
" D (X) * D2(Y)
cov (X,Y) = E(X*Y)  E(X) * E(Y)
E(X,Y) = ©
©
xi yi pij
i j
xi pi xi pi xi2 xi2 pi
-2 1/3 -2/3 4 4/3
0 1/3 0 0 0
2 1/3 2/3 4 4/3
" 1 0 x 8/3
E(x) = 0
D2(X) = E(x2)  (E(x))2 = 8/3  (0)2 = 8/3
yi p j yi p j yi2 yi2 p j
0 1/3 0 0 0
4 2/3 8/3 16 32/3
" 1 8/3 x 32/3
E(y) = 8/3
D2(Y) = E(y2)  (E(y))2 = 32/3  (8/3)2 = 32/3  64/9 = 96/9  64/9 = 32/9
E(X,Y) = ©
©
xi yi pij
i j
E(X,Y) = (x1 * y1 * p11) + (x1 * y2 * p12) + (x2 * y1 * p21) + (x2 * y2 * p22) + (x3 * y1 * p31) + (x3
* y2 * p32) = ((-2) * 0 * 0) + ((-2) * 4 * 1/3) + (0 * 0 * 1/3) + (0 * 4 * 0) + (2 * 0 * 0 ) + (2 * 4
* 1/3) = 0 + (- 8/3) + 0 + 0 + 0 + 8/3 = - 8/3 + 8/3 = 0
cov (X,Y) = E(X*Y)  E(X) * E(Y) = 0  0 * 8/3 = 0
cov (X,Y) 0
Å„ = = = 0
2
" D (X) * D2(Y) " 8/3 * 32/9
Brak zależności liniowej. Zmienne losowe X i Y są nieskorelowane.
Zadanie 5. Dany jest rozkład zmiennej losowej (X,Y) w postaci tablicy:
X\Y 2 3 4 5
1 0,1 0,15 0 0
2 0,2 0,1 0 0
3 0 0,25 0,05 a
a) Wyznacz wartość a
b) Znalez
ć rozkłady brzegowe
c) Znalez
ć rozkłady warunkowe
Ad. a)
X\Y 2 3 4 5 pi
1 0,1 0,15 0 0 0,25
2 0,2 0,1 0 0 0,3
3 0 0,25 0,05 a 0,3 + a
p j 0,3 0,5 0,05 a 1
" p j = 1 = 0,3 + 0,5 + 0,05 + a
a = 1  (0,3 + 0,5 + 0,05) = 1  0,85 = 0,15
lub
" pi = 1 = 0,25 + 0,3 + 0,3 + a
a = 1  (0,25 + 0,3 + 0,3) = 1  0,85 = 0,15
Wartość a wynosi 0,15
Ad. b) Znalez
ć rozkłady brzegowe
X\Y 2 3 4 5 pi
p11 p12 p13 p14
1
0,25
0,1 0,15 0 0
p21 p22 p23 p24
2
0,3
Rozkład brzegowy X
0,2 0,1 0 0
p31 p32 p33 p34
3 0,45
0 0,25 0,05 0,15
p j 0,3 0,5 0,05 0,15 1
Rozkład brzegowy Y
Rozkład brzegowy X - poniżej podkreślony ciemniejszą ramką
xi pi xi pi xi2 xi2 pi
1 0,25 0,25 1 0,25
2 0,3 0,6 4 1,2
3 0,45 1,35 9 4,05
" 1 2,2 X 5,5
E(x) = 2,2
D2(X) = E(x2)  (E(x))2 = 5,5  (2,2)2 = 5,5  4,84 = 0,66
Rozkład brzegowy Y  poniżej podkreślony ciemniejszą ramką
yi p j yi p j yi2 yi2 p j
2 0,3 0,6 4 1,2
3 0,5 1,5 9 4,5
4 0,05 0,2 16 0,8
5 0,15 0,75 25 3,75
" 1 3,05 X 10,25
E(y) = 3,05
D2(Y) = E(y2)  (E(y))2 = 10,25  (3,05)2 = 10,25  9,3025 = 0,9475
Ad. c) Znalez
ć rozkłady warunkowe
Rozkłady warunkowe x
X/Y = yj
1o X/Y = 2
2o X/Y = 3
3o X/Y = 4
4o X/Y = 5
1o X/Y = 2, dla P(X = xi / Y = 2),
P(X = 1 / Y = 2) = p11 / p 1 = 0,1 / 0,3 = 1/10 * 10/3 = 1/3
P(X = 2 / Y = 2) = p21 / p 1 = 0,2 / 0,3 = 2/10 * 10/3 = 2/3
P(X = 3 / Y = 2) = p31 / p 1 = 0 / 0,3 = 0
2o X/Y = 3, dla P(X = xi / Y = 3),
P(X = 1 / Y = 3) = p12 / p 2 = 0,15 / 0,5 = 15/100 * 100/50 = 15/50 = 3/10
P(X = 2 / Y = 3) = p22 / p 2 = 0,1 / 0,5 = 1/10 * 10/5 = 1/5 = 2/10
P(X = 3 / Y = 3) = p32 / p 2 = 0,25 / 0,5 = 25/100 * 100/50 = 25/50 = 5/10
3o X/Y = 4, dla P(X = xi / Y = 4),
P(X = 1 / Y = 4) = p13 / p 3 = 0/ 0,05 = 0
P(X = 2 / Y = 4) = p23 / p 3 = 0 / 0,05 = 0
P(X = 3 / Y = 4) = p33 / p 3 = 0,05 / 0,05 = 1
4o X/Y = 5, dla P(X = xi / Y = 5),
P(X = 1 / Y = 5) = p14 / p 4 = 0 / 0,15 = 0
P(X = 2 / Y = 5) = p24 / p 4 = 0 / 0,15 = 0
P(X = 3 / Y = 5) = p34 / p 4 = 0,15 / 0,15 = 1
xi P(X = xi / Y = 2) P(X = xi / Y = 3) P(X = xi / Y = 4) P(X = xi / Y = 5)
1 1/3 3/10 0 0
2 2/3 2/10 0 0
3 0 5/10 1 1
" 1 1 1 1
Rozkłady warunkowe y
Y/X = xi
1o Y/X = 1
2o Y/X = 2
3o Y/X = 3
1o Y/X = 1, dla P(Y= yj / X=1),
P(Y= 2 / X=1) = p11 / p1 = 0,1 / 0,25 = 10/100 * 100/25 = 10/25 = 2/5
P(Y= 3 / X=1) = p12 / p1 = 0,15 / 0,25 = 15/100 * 100/25 = 15/25 = 3/5
P(Y= 4 / X=1) = p13 / p1 = 0 / 0,25 = 0
P(Y= 5 / X=1) = p14 / p1 = 0 / 0,25 = 0
2o Y/X = 2, dla P(Y= yj / X=2),
P(Y= 2 / X=2) = p21 / p2 = 0,2 / 0,3 = 2/10 * 10/3 = 2/3
P(Y= 3 / X=2) = p22 / p2 = 0,1 / 0,3 = 1/10 * 10/3 = 1/3
P(Y= 4 / X=2) = p23 / p2 = 0 / 0,3 = 0
P(Y= 5 / X=2) = p24 / p2 = 0 / 0,3 = 0
3o Y/X = 3, dla P(Y= yj / X=3),
P(Y= 2 / X=3) = p31 / p3 = 0 / 0,45 = 0
P(Y= 3 / X=3) = p32 / p3 = 0,25 / 0,45 = 25/100 * 100/45 = 25/45 = 5/9
P(Y= 4 / X=3) = p33 / p3 = 0,05 / 0,45 = 5/100 * 100/45 = 5/45 = 1/9
P(Y= 5 / X=3) = p34 / p3 = 0,15 / 0,45 = 15/100 * 100/45 = 15/45 = 3/9
yj P(Y= yj / X=1) P(Y= yj / X=2) P(Y= yj / X=3)
2 2/5 2/3 0
3 3/5 1/3 5/9
4 0 0 1/9
5 0 0 3/9
" 1 1 1
Zadanie 6. Dane są rozkłady brzegowe zmiennej losowej dwuwymiarowej (X,Y):
xi 1 2 3
P(X = xi) 0,25 0,5 0,25
yj 0 1 2 3 5
P(Y= yj) 0,2 0,1 0,3 0,1 0,3
Wiedząc, że zmienne losowe X, Y są niezależne wyznaczyć:
a) rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)
b) dystrybuantę i dystrybuanty rozkładów brzegowych
Ad. a)
X\Y 0 1 2 3 5 pi
1 p11 p12 p13 p14 p15 0,25
2 p21 p22 p23 p24 p25 0,5
3 p31 p32 p33 p34 p35 0,25
p j 0,2 0,1 0,3 0,1 0,3 1
Jeżeli zmienna losowa dwuwymiarowa jest niezależna zachodzi równość
pij = pi * p j
p11 = p1 * p 1 = 0,25 * 0,2 = 25/100 * 2/10 = 50/1000 = 0,05
p12 = p1 * p 2 = 0,25 * 0,1 = 25/100 * 1/10 = 25/1000 = 0,025
p13 = p1 * p 3 = 0,25 * 0,3 = 25/100 * 3/10 = 75/1000 = 0,075
p14 = p1 * p 4 = 0,25 * 0,1 = 25/100 * 1/10 = 25/1000 = 0,025
p15 = p1 * p 5 = 0,25 * 0,3 = 25/100 * 3/10 = 75/1000 = 0,075
p21 = p2 * p 1 = 0,5 * 0,2 = 5/10 * 2/10 = 10/100 = 0,1
p22 = p2 * p 2 = 0,5 * 0,1 = 5/10 * 1/10 = 5/100 = 0,05
p23 = p2 * p 3 = 0,5 * 0,3 = 5/10 * 3/10 = 15/100 = 0,15
p24 = p2 * p 4 = 0,5 * 0,1 = 5/10 * 1/10 = 5/100 = 0,05
p25 = p2 * p 5 = 0,5 * 0,3 = 5/10 * 3/10 = 15/100 = 0,15
p31 = p3 * p 1 = 0,25 * 0,2 = 25/100 * 2/10 = 50/1000 = 0,05
p32 = p3 * p 2 = 0,25 * 0,1 = 25/100 * 1/10 = 25/1000 = 0,025
p33 = p3 * p 3 = 0,25 * 0,3 = 25/100 * 3/10 = 75/1000 = 0,075
p34 = p3 * p 4 = 0,25 * 0,1 = 25/100 * 1/10 = 25/1000 = 0,025
p35 = p3 * p 5 = 0,25 * 0,3 = 25/100 * 3/10 = 75/1000 = 0,075
Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) przedstawia się więc następująco:
X\Y 0 1 2 3 5 pi
1 0,05 0,025 0,075 0,025 0,075 0,25
2 0,1 0,05 0,15 0,05 0,15 0,5
3 0,05 0,025 0,075 0,025 0,075 0,25
p j 0,2 0,1 0,3 0,1 0,3 1
Ad. b) dystrybuantę i dystrybuanty rozkładów brzegowych
Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)
1o Dla x < 1 lub y < 0 mamy F(x,y) = 0
2o Dla 1 d" x < 2 i 0 d" y < 1 mamy F(x,y) = 0,05
3o Dla 1 d" x < 2 i 1 d" y < 2 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 = 0,075
4o Dla 1 d" x < 2 i 2 d" y < 3 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,075 = 0,15
5o Dla 1 d" x < 2 i 3 d" y < 5 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,075 + 0,025 = 0,175
6o Dla 1 d" x < 2 i y e" 5 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,075 + 0,025 + 0,075 = 0,25
7o Dla 2 d" x < 3 i 0 d" y < 1 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,1 = 0,15
8o Dla 2 d" x < 3 i 1 d" y < 2 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,1 + 0,05 = 0,225
9o Dla 2 d" x < 3 i 2 d" y < 3 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,075 + 0,1 + 0,05 + 0,15 = 0,45
10o Dla 2 d" x < 3 i 3 d" y < 5 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,075 + 0,025 + 0,1 + 0,05 + 0,15
+ 0,05 = 0,525
11o Dla 2 d" x < 3 i y e" 5 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,075 + 0,025 +0,075 + 0,1 + 0,05 +
0,15 + 0,05 + 0,15 = 0,75
12o Dla x e" 3 i 0 d" y < 1 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,1 + 0,05 = 0,2
13o Dla x e" 3 i 1 d" y < 2 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,1 + 0,05 + 0,05 + 0,025 = 0,3
14o Dla x e" 3 i 2 d" y < 3 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,075 + 0,1 + 0,05 + 0,15 + 0,05 +
0,025 + 0,075 = 0,6
15o Dla x e" 3 i 3 d" y < 5 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,075 + 0,025 + 0,1 + 0,05 + 0,15 +
0,05 + 0,05 + 0,025 + 0,075 + 0,025 = 0,7
16o Dla x e" 3 i y e" 5 mamy F(x,y) = 0,05 + 0,025 + 0,075 + 0,025 + 0,075 + 0,1 + 0,05 + 0,15
+ 0,05 + 0,15 + 0,05 + 0,025 + 0,075 + 0,025 + 0,075 = 1
0 dla x < 1 lub y < 0
0,05 dla 1 d" x < 2 i 0 d" y < 1
0,075 dla 1 d" x < 2 i 1 d" y < 2
0,15 dla 1 d" x < 2 i 2 d" y < 3 lub 2 d" x < 3 i 0 d" y < 1
0,175 dla 1 d" x < 2 i 3 d" y < 5
0,2 dla x e" 3 i 0 d" y < 1
0,225 dla 2 d" x < 3 i 1 d" y < 2
F(X,Y) = 0,25 dla 1 d" x < 2 i y e" 5
0,3 dla x e" 3 i 1 d" y < 2
0,45 dla 2 d" x < 3 i 2 d" y < 3
0,525 dla 2 d" x < 3 i 3 d" y < 5
0,6 dla x e" 3 i 2 d" y < 3
0,7 dla x e" 3 i 3 d" y < 5
0,75 dla 2 d" x < 3 i y e" 5
1 dla x e" 3 i y e" 5
Dystrybuanta rozkładu brzegowego X
0 dla x < 1
F1(x) = 0,25 dla 1 d" x < 2
0,75 dla 2 d" x < 3
1 dla x e" 3
Dystrybuanta rozkładu brzegowego Y
0 dla y < 0
0,2 dla 0 d" y < 1
F2(y) = 0,3 dla 1 d" y < 2
0,6 dla 2 d" y < 3
0,7 dla 3 d" y < 5
1 dla y e" 5
Zadanie 7. Dane są dystrybuanty rozkładów brzegowych dwuwymiarowej zmiennej losowej
(X,Y):
0 dla x < 0
F1(x) = 0,25 dla 0 d" x < 1
0,50 dla 1 d" x < 3
1 dla x e" 3
0 dla y < 0
F2(y) = 0,25 dla 0 d" y < 4
1 dla y e" 4
Wiedząc, że zmienne losowe są niezależne wyznaczyć:
a) rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)
b) dystrybuantÄ™ dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)
Ad. a)
xi 0 1 3
P(X = xi) 0,25 0,25 0,5
yj 0 4
P(Y= yj) 0,25 0,75
StÄ…d
X\Y 0 4 pi
0 p11 p12 0,25
1 p21 p22 0,25
3 p31 p32 0,5
p j 0,25 0,75 1
Po uproszczeniu
X\Y 0 4 pi
0 p11 p12 1/4
1 p21 p22 1/4
3 p31 p32 2/4
p j 1/4 3/4 1
Jeżeli zmienna losowa dwuwymiarowa jest niezależna zachodzi równość
pij = pi * p j
p11 = p1 * p 1 = 1/4 * 1/4 = 1/16
p12 = p1 * p 2 = 1/4 * 3/4 = 3/16
p21 = p2 * p 1 = 1/4 * 1/4 = 1/16
p22 = p2 * p 2 = 1/4 * 3/4 = 3/16
p31 = p3 * p 1 = 2/4 * 1/4 = 2/16
p32 = p3 * p 2 = 2/4 * 3/4 = 6/16
Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)
X\Y 0 4 pi
0 1/16 3/16 4/16
1 1/16 3/16 4/16
3 2/16 6/16 8/16
p j 4/16 12/16 1
Ad. b) Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)
1o Dla x < 0 lub y < 0 mamy F(x,y) = 0
2o Dla 0 d" x < 1 i 0 d" y < 4 mamy F(x,y) = 1/16
3o Dla 0 d" x < 1 i y e" 4 mamy F(x,y) = 1/16 + 3/16 = 4/16
4o Dla 1 d" x < 3 i 0 d" y < 4 mamy F(x,y) = 1/16 + 1/16 = 2/16
5o Dla 1 d" x < 3 i y e" 4 mamy F(x,y) = 1/16 + 3/16 + 1/16 + 3/16 = 8/16
6o Dla x e" 3 i 0 d" y < 4 mamy F(x,y) = 1/16 + 1/16 + 2/16 = 4/16
7o Dla x e" 3 i y e" 4 mamy F(x,y) = 1/16 + 3/16 + 1/16 + 3/16 + 2/16 + 6/16 = 1
0 dla x < 0 lub y < 0
1/16 dla 0 d" x < 1 i 0 d" y < 4
F(x,y) = 2/16 dla 1 d" x < 3 i 0 d" y < 4
4/16 dla 0 d" x < 1 i y e" 4 lub x e" 3 i 0 d" y < 4
8/16 dla 1 d" x < 3 i y e" 4
1 dla x e" 3 i y e" 4
Zadanie 8. Dana jest zmienna losowa X o zbiorze wartości {1,2} oraz zmienna losowa Y
o zbiorze wartości {3,4}. Rozkłady warunkowe zmiennej losowej (X,Y) mają postać:
X P(X / Y = 3) P(X / Y = 4) Y P(Y / X = 1) P(Y / X = 2)
1 0,6 0,6 3 0,5 0,5
2 0,4 0,4 4 0,5 0,5
Wyznacz rozkład zmiennej losowej (X,Y).
X\Y 3 4 pi
1 p11 p12 p1
2 p21 p22 p2
p j p 1 p 2 1
Na samym początku wykorzystujemy wzory na rozkłady brzegowe:
P(X = 1 / Y = 3) = p11 / p 1 = 0,6 P(Y = 3 / X = 1) = p11 / p1 = 0,5
P(X = 2 / Y = 3) = p21 / p 1 = 0,4 P(Y = 4 / X = 1) = p12 / p1 = 0,5
p 1 = p11 / 0,6 = p21 / 0,4 p1 = p11 / 0,5 = p12 / 0,5
p11 = (p21 / 0,4) * 0,6 = 6/4 p21 p11 = p12
p11 = 6/4 p21 P(Y = 3 / X = 2) = p21 / p2 = 0,5
P(Y = 3 / X = 2) = p22 / p2 = 0,5
p21 = p22
p11 + p12 + p21 + p22 = 1 z wyliczonych wyżej danych wychodzi:
6/4 p21 + 6/4 p21 + p21 + p21 = 1
5 p21 = 1
p21 = p22 = 1/5 = 0,2
p11 = p12 = 6/4 p21 = 6/4 * 0,2 = 6/4 * 2/10 = 12/40 = 3/10 = 0,3
p 1 = p11 / 0,6 = 0,3 / 0,6 = 3/6 = 0,5
" p j = 1 = p 1 + p 2 = 0,5 + p 2
p 2 = 1  0,5 = 0,5
p1 = p11 / 0,5 = 0,3 / 0,5 = 3/5 = 0,6
" pi = 1 = p1 + p2 = 0,6 + p2
p2 = 1  0,6 = 0,4
Stąd rozkład zmiennej losowej (X,Y) wynosi:
X\Y 3 4 pi
1 0,3 0,3 0,6
2 0,2 0,2 0,4
p j 0,5 0,5 1
Zadanie 9. Dany jest rozkład zmiennej losowej (X,Y) w postaci tablicy:
X\Y 2 3 5
1 0,10 0,30 0,10
2 0,20 0,15 0,15
a) Znalez
ć rozkłady brzegowe i warunkowe
b) Zbadać czy zmienne losowe X, Y są niezależne
c) Obliczyć warunkowe wartości oczekiwane i warunkowe odchylenia standardowe
d) Wyznaczyć współczynnik korelacji.
Ad. a) Znalez
ć rozkłady brzegowe i warunkowe
X\Y 2 3 5 pi
1 0,10 0,30 0,10 0,50
Rozkład brzegowy x
2 0,20 0,15 0,15 0,50
p j 0,30 0,45 0,25 1,00
Rozkład brzegowy y
Rozkład brzegowy x
xi pi
1 0,5
2 0,5
" 1
Rozkład brzegowy y
yi p j
2 0,3
3 0,45
5 0,25
" 1
Rozkłady warunkowe x
X/Y = yj
1o X/Y = 2
2o X/Y = 3
3o X/Y = 5
1o X/Y = 2, dla P(X = xi / Y = 2),
P(X = 1 / Y = 2) = p11 / p 1 = 0,1 / 0,3 = 1/3
P(X = 2 / Y = 2) = p21 / p 1 = 0,2 / 0,3 = 2/3
2o X/Y = 3, dla P(X = xi / Y = 3),
P(X = 1 / Y = 3) = p12 / p 2 = 0,3 / 0,45 = 3/10 * 100/45 = 30/45 = 10/15 = 2/3
P(X = 2 / Y = 3) = p22 / p 2 = 0,15 / 0,45 = 15/100 * 100/45 = 15/45 = 1/3
3o X/Y = 5, dla P(X = xi / Y = 5),
P(X = 1 / Y = 5) = p13 / p 3 = 0,1 / 0,25 = 1/10 * 100/25 = 10/25 = 2/5
P(X = 2 / Y = 5) = p23 / p 3 = 0,15 / 0,25 = 15/100 * 100/25 = 15/25 = 3/5
xi P(X = xi / Y = 2) P(X = xi / Y = 3) P(X = xi / Y = 5)
1 1/3 2/3 2/5
2 2/3 1/3 3/5
" 1 1 1
Rozkłady warunkowe y
Y/X = xi
1o Y/X = 1
2o Y/X = 2
1o Y/X = 1, dla P(Y= yj / X=1),
P(Y= 2 / X=1) = p11 / p1 = 0,1 / 0,5 = 1/5 = 2/10
P(Y= 3 / X=1) = p12 / p1 = 0,3 / 0,5 = 3/5 = 6/10
P(Y= 5 / X=1) = p13 / p1 = 0,1 / 0,5 = 1/5 = 2/10
2o Y/X = 2, dla P(Y= yj / X=2),
P(Y= 2 / X=2) = p21 / p2 = 0,2 / 0,5 = 2/5 = 4/10
P(Y= 3 / X=2) = p22 / p2 = 0,15 / 0,5 = 15/100 * 100/50 = 15/50 = 3/10
P(Y= 5 / X=2) = p23 / p2 = 0,15 / 0,5 = 15/100 * 100/50 = 15/50 = 3/10
yj
P(Y= yj / X=1) P(Y= yj / X=2)
2 2/10 4/10
3 6/10 3/10
5 2/10 3/10
" 1 1
Ad. b) Zbadać czy zmienne losowe X, Y są niezależne
pij = pi * p j
p11 = 0,10 p1 * p 1 = 0,5 * 0,3 = 5/10 * 3/10 = 15/100 = 0,15 L `" P
p12 = 0,30 p1 * p 2 = 0,5 * 0,45 = 5/10 * 45/100 = 225/1000 = 0,225 L `" P
p13 = 0,10 p1 * p 3 = 0,5 * 0,25 = 5/10 * 25/100 = 125/1000 = 0,125 L `" P
p21 = 0,20 p2 * p 1 = 0,5 * 0,3 = 5/10 * 3/10 = 15/100 = 0,15 L `" P
p22 = 0,15 p2 * p 2 = 0,5 * 0,45 = 5/10 * 45/100 = 225/1000 = 0,225 L `" P
p23 = 0,15 p2 * p 3 = 0,5 * 0,25 = 5/10 * 25/100 = 125/1000 = 0,125 L `" P
Ponieważ przynajmniej jedna równość jest fałszywa zmienne losowe X i Y są zależne.
Jeżeli zmienne losowe są zależne to może wystąpić również zależność liniowa.
Ad. c) Obliczyć warunkowe wartości oczekiwane i warunkowe odchylenia standardowe
xi P(X = xi / Y = 2) xi P xi2 xi2 p
1 1/3 1/3 1 1/3
2 2/3 4/3 4 8/3
" 1 5/3 X 3
E(X= xi / Y = 2) = 5/3
D2(X= xi / Y = 2) = E(x2)  (E(x))2 = 9/3  (5/3)2 = 81/9  25/9 = 56/9
D(X= xi / Y = 2) = " D2(X= xi / Y = 2) = "56/9 = 2,4944383 H" 2,49
Przeciętną wartością przyjmowaną w rozkładzie warunkowym x pod warunkiem y = 2 jest
wartość 5/3. Poszczególne wartości w rozkładzie warunkowym x pod warunkiem y = 2
odchylają się od wartości przeciętnej średnio o 2,49.
xi P(X = xi / Y = 3) xi P xi2 xi2 p
1 2/3 2/3 1 2/3
2 1/3 2/3 4 4/3
" 1 4/3 X 2
E(X= xi / Y = 3) = 4/3
D2(X= xi / Y = 3) = E(x2)  (E(x))2 = 6/3  (4/3)2 = 18/9  16/9 = 2/9
D(X= xi / Y = 3) = " D2(X= xi / Y = 3) = "2/9 = 0,471405 H" 0,47
Przeciętną wartością przyjmowaną w rozkładzie warunkowym x pod warunkiem y = 3 jest
wartość 4/3. Poszczególne wartości w rozkładzie warunkowym x pod warunkiem y = 3
odchylają się od wartości przeciętnej średnio o 0,47.
xi P(X = xi / Y = 5) xi P xi2 xi2 p
1 2/5 2/5 1 2/5
2 3/5 6/5 4 12/5
" 1 8/5 X 14/5
E(X= xi / Y = 5) = 8/5 = 1 3/5
D2(X= xi / Y = 5) = E(x2)  (E(x))2 = 14/5  (8/5)2 = 70/5  64/5 = 6/5
D(X= xi / Y = 5) = " D2(X= xi / Y = 5) = "6/5 = 1,095445 H" 1,1
Przeciętną wartością przyjmowaną w rozkładzie warunkowym x pod warunkiem y = 5 jest
wartość 8/5. Poszczególne wartości w rozkładzie warunkowym x pod warunkiem y = 5
odchylają się od wartości przeciętnej średnio o 1,1.
yj yi p yi2 yi2 p
P(Y= yj / X=1)
2 1/5 2/5 4 4/5
3 3/5 9/5 9 27/5
5 1/5 5/5 25 25/5
" 1 16/5 X 56/5
E(Y= yj / X=1) = 16/5 = 3 1/5
D2(Y= yj / X=1) = E(y2)  (E(y))2 = 56/5  (16/5)2 = 280/25  256/25 = 24/25
D(Y= yj / X=1) = " D2(Y= yj / X=1) = "24/25 = 0,979796 H" 1
Przeciętną wartością przyjmowaną w rozkładzie warunkowym y pod warunkiem x = 1 jest
wartość 16/5. Poszczególne wartości w rozkładzie warunkowym y pod warunkiem x = 1
odchylają się od wartości przeciętnej średnio o 1.
yj yi p yi2 yi2 p
P(Y= yj / X=2)
2 4/10 8/10 4 16/10
3 3/10 9/10 9 27/10
5 3/10 15/10 25 75/10
" 1 32/10 X 118/10
E(Y= yj / X=2) = 32/10 = 3,2
D2(Y= yj / X=2) = E(y2)  (E(y))2 = 11,8  (3,2)2 = 11,8  10,24 = 1,56
D(Y= yj / X=2) = " D2(Y= yj / X=2) = "1,56 = 1,249 H" 1,25
Przeciętną wartością przyjmowaną w rozkładzie warunkowym y pod warunkiem x = 2 jest
wartość 3,2. Poszczególne wartości w rozkładzie warunkowym y pod warunkiem x = 2
odchylają się od wartości przeciętnej średnio o 1,25.
Ad. d) Wyznaczyć współczynnik korelacji.
cov (X,Y)
Å„ =
2
" D (X) * D2(Y)
cov (X,Y) = E(X*Y)  E(X) * E(Y)
xi pi xi pi xi2 xi2 pi
1 0,5 0,5 1 0,5
2 0,5 1 4 2
" 1 1,5 X 2,5
E(x) = 1,5
D2(x) = E(x2)  (E(x))2 = 2,5  (1,5)2 = 2,5  2,25 = 0,25
yi p j yi p j yi2 yi2 p j
2 0,3 0,6 4 1,2
3 0,45 1,35 9 4,05
5 0,25 1,25 25 6,25
" 1 3,2 11,5
E(y) = 3,2
D2(y) = E(y2)  (E(y))2 = 11,5  (3,2)2 = 11,5  10,24 = 1,26
E(X,Y) = ©
©
xi yi pij
i j
E(X,Y) = (x1 * y1 * p11) + (x1 * y2 * p12) + (x1 * y3 * p13) + (x2 * y1 * p21) + (x2 * y2 * p22) + (x2
* y3 * p23) = (1 * 2 * 0,1) + (1 * 3 * 0,3) + (1 * 5 * 0,1) + (2 * 2 * 0,2) + (2 * 3 * 0,15) + (2 *
5 * 0,15) = 0,2 + 0,9 + 0,5 + 0,8 + 0,75 + 1,5= 4,65
cov (X,Y) = E(X,Y)  E(X) * E(Y) = 4,65  (1,5 * 3,2) = 4,65  4,8 = - 0,15
cov (X,Y) - 0,15
Å„ = = = - 0,267261
2
" D (X) * D2(Y) " 0,25 * 1,26
W związku z faktem, że ń `" 0 występuje zależność liniowa. Współczynnik korelacji wynosi:
- 0,267261.