Poni\
ej przedstawiono standardowy tok otrzymywania charakterystyk częstotliwościowych:
1. Wyznaczenie transmitancji operatorowej
2. Wykonanie podstawienia s = Éj
3. Wyznaczenie Re(G(jÉ )) oraz Im(G(jÉ ))-najczęściej poprzez pomno\
enie przez
sprzÄ™\
enie mianownika
4. Wyznaczenie P(É ) i Q(É ) przynajmniej dla É =0, É =É , É = +"
s
5. Wykreślenie charakterystyki amplitudowo  częstotliwościowej
6. Wyznaczenie M(É ) oraz L(É )
7. Wyznaczenie zakresów przybli\
eÅ„ (É <<É , É >>É ) i odpowiednich wzorów
s s
L(É ) dla nich
8. Obliczenie spadku na dekadę dla obydwóch zakresów
9. Wyznaczenie wartoÅ›ci L(É ) dla jednej wartoÅ›ci É z pierwszego zakresu i jednej z
drugiego (mogą być punkty przecięcia z osiami)
10. Wykreślenie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej
11. Wyznaczenie wzoru na Õ( É)
12. WyznaczenieÕ( É) przynajmniej dla É =0, É =É , É = +"
s
13. Wykreślenie logarytmicznej charakterystyki fazowej
Uwaga: Trzy wartoÅ›ci É sÄ… minimalna liczbÄ… potrzebÄ… do wykreÅ›lenia wszystkich
charakterystyk. Aczkolwiek charakterystyki bÄ™dÄ… tym dokÅ‚adniejsze, im wiÄ™cej wartoÅ›ci É
zostanie u\
ytych w tabeli.
Sposób u\
ycia powy\
szego algorytmu  ręcznego wyznaczania charakterystyk został
przedstawiony na poni\
szym przykładzie.
PRZYKA
AD 1
Transmitancja operatorowa członu automatyki (jakiego??) jest dana wzorem:
3
G(s) =
s + 5
Wyznacz charakterystyki częstotliwościowe tego członu
RozwiÄ…zanie
Jako, \
e zadanie zostało postawione w sposób, który podał ju\
w treści transmitancję,
przechodzimy do punktu 2 (w przeciwnym wypadku trzeba przekształcić problem poprzez
modelowanie matematyczne do postaci transmitancji).
2. Stosujemy podstawienie s = Éj
StÄ…d
3
G( jÉ) =
jÉ + 5
_________________________________________________________________________________________________
1
Powered by xtoff® [e-mail]
 3. Wyznaczono część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej:
3 5 - jÉ 15 - 3 jÉ 15 - 3 jÉ
G( jÉ) = Å" = =
2 2 2
jÉ + 5 5 - jÉ 25 - j É 25 + É
Po uporzÄ…dkowaniu:
15 - 3 jÉ 15 3É
G( jÉ) = = - Å" j = Re(G( jÉ)) + Im(G( jÉ)) Å" j = P(É) + jQ(É)
2 2 2
25 + É 25 + É 25 + É
StÄ…d:
15
P(É) =
2
25 + É
3É
Q(É) = -
2
25 + É
Wykonano tabelę argumentów:
,
É 0, 5
+ "
0
P(É) 3 3
5 10
Q(É) 0 0
3
10
Na jej podstawie wykreślono charakterystykę Nyquista (punkt 5 algorytmu):
_________________________________________________________________________________________________
2
Powered by xtoff® [e-mail]
Ad. 6
Wyznaczono M(É):
2
152 (3É)2 152 + 9É
M (É) = P2 (É) + Q2 (É) = + =
2 2 2
(25 + É )2 (25 + É )2 (25 + É )2
L(É) = 20log M (É)
Ad. 7
Jak widzimy, gdy É<<5 to mo\
emy w wyra\
eniu M(É) pominąć wpÅ‚yw wyra\
enia
É2 , czyli
152 15 3
M (É) == = =
252 25 5
3
L(É)= 20 log .
5
JeÅ›li natomiast É>>5 to nie mo\
emy pominąć w M(É) wpÅ‚ywu wyra\
enia É2 .
Mo\
emy jednak pominąć wpływ stałych(225 w liczniku i 25 w mianowniku). Otrzymujemy
wtedy
2
9É 3
M (É) == =
2
(É )2 É
3
L(É)= 20 log .
É
Jest to podstawa do ręcznego wykreślenia charakterystyk Bodego(!!!)
Ad. 8
Obliczenie spadku na dekadę dla obydwóch zakresów
Do obliczenia tego spadku/wzrostu (tak naprawdÄ™ nachylenia prostej aproksymujÄ…cej do osi
logÉ) nale\
y posłu\
yć się związkiem:
L(10É) - L(É) = 20[log M (10É) - log M (É)]
Czyli dla podanych przybli\
eń:
É<<5 É>>5
3 3 3 3
L(10É)-L(É)= 20 log -20log =0 L(10É) - L(É) = 20log - 20log =
5 5 10É É
Jest to prosta o równolegÅ‚a do osi É, o
3 É
20log = 20log10-1 = -20dB / dekadÄ™
3
10É 3
wartoÅ›ci L(É)=20 log H"-4.4369
5
Tak więc prosta z tego zakresu opada o 20
dB na ka\
dÄ… dekadÄ™
_________________________________________________________________________________________________
3
Powered by xtoff® [e-mail]
Ad. 9
Wyznaczenie wartoÅ›ci L(É ) dla jednej wartoÅ›ci É z pierwszego zakresu i jednej z
drugiego
Znając kąty nachylenia dla prostych z obydwóch zakresów nale\
y znać ju\
tylko po
jednym punkcie z ka\
dego, aby móc narysować aproksymowaną charakterystykę
częstotliwościową modułu.
3
- Przyjmijmy, \
e 10-3<<5, zatem dla pierwszego zakresu L(10-2)= 20 log H"-4.4369
5
- Następnie przyjmijmy, \
e 103>>5, zatem dla drugiego zakresu:
3
L(102)= 20 log = 20log3 - 20log102 = -4.4369 - 40 = -44.4369
102
Podane wartoÅ›ci É sÄ… tylko przykÅ‚adem. W rzeczywistoÅ›ci mo\
na tu stosować dowolne É .
Ad. 10
Wykreślenie charakterystyki:
-naniesienie na wykres punktu z pierwszego zakresu:
-na następnej dekadzie(czyli 10-2+1) nanosimy punkt, który ma wartość mniejszą o spadek na
dekadę. Oczywiście akurat w tym przypadku mamy do czynienia z funkcją stałą, więc w
nastÄ™pnej dekadzie rysujemy punkt o tej samej wartoÅ›ci L(É ):
_________________________________________________________________________________________________
4
Powered by xtoff® [e-mail]
-przeciÄ…gamy liniÄ™ przerywanÄ… przez zadane punkty:
-naniesienie na wykres punktu z drugiego zakresu:
-na poprzedniej dekadzie(czyli 102-1) nanosimy punkt, który ma wartość większą o spadek na
dekadÄ™. Jako, \
e charakterystyka opada, to na poprzedniej dekadzie punkt będzie wy\
ej ni\

ten na dekadzie 2 (o 20 dB):
_________________________________________________________________________________________________
5
Powered by xtoff® [e-mail]
-przeciÄ…gamy liniÄ™ przerywanÄ… przez zadane punkty:
(!)Wszystkie powy\
sze operacje powinny być wykonywane na tym samym wykresie. Jednak,
ze względu na czytelność tego przykładu, były wykonywane na kilku(!)
W tym momencie wykres powinien wyglądać następująco:
W punkcie przecięcia wykresów mo\
na odczytać És :
_________________________________________________________________________________________________
6
Powered by xtoff® [e-mail]
Z wykresu odczytujemy És H" 100.66 H" 4.57 . Zatem przybli\
enie És =5 nie byÅ‚o obarczone
du\
ym błędem. Przybli\
a nam on tak\
e prawdziwÄ… logarytmicznÄ… amplitudowo-
częstotliwościową charakterystykę. Poni\
ej zaprezentowano tÄ… charakterystykÄ™, uzyskanÄ… w
pakiecie Matlab®:
Nale\
y koniecznie zauwa\
yć, i\
charakterystyka wykreślona  ręcznie jest najbardziej
niedokÅ‚adna wÅ‚aÅ›nie dlaÉs (!)
Ad. 11
Wyznaczenie wzoru na Õ( É)
Przekształcając wzór:
Q(É)
Õ(É)= argG( jÉ) = arc tg
P(É)
Otrzymujemy dla zadanego przykładu:
3É
-
25 + É2 = arc tg É
Õ(É) = arc tg
15
5
25 + É2
Ad. 12
Wyznaczono tabelÄ™:
,
É 0, 5
+ "
Õ(É) [rad] 0
Ä„ Ä„
4 2
_________________________________________________________________________________________________
7
Powered by xtoff® [e-mail]
Ad. 13
Wykreślono charakterystykę fazowo-częstotliwościową
Uwaga:
1
É = És oraz
Dla powy\
szej charakterystyki nale\
ałoby wyznaczyć wartości jeszcze dla
5
É = 5És
, a następnie aproksymować tą charakterystykę odpowiednimi asymptotami
ukośnymi. Taki zabieg pozwoli na dokładniejsze jej wyznaczenie. Jednak przed tym
procesem nale\
y zastanowić się nad problemem, jaka właściwie dokładność potrzebujemy.
Ten zabieg bywa czasochłonny a tylko w niewielkim stopniu poprawia wygląd
charakterystyki (mo\
na lepiej zobaczyć  wypukłość funkcji). Jeśli zale\
y nam na bardzo
dobrej dokładności, to du\
o szybszym i przyjemniejszym sposobem będzie wykorzystanie
komputera.
_________________________________________________________________________________________________
8
Powered by xtoff® [e-mail]