PRZYKA
AD 1
Rozłó\
na ułamki proste następującą funkcję operatorową:
- 3s2 + 4
G(s) =
s(s + 2)(s + 3)
Rozwiązanie
Przy pomocy rozkładu na ułamki proste otrzymujemy:
K1 K2 K3
G(s) = + +
s s + 2 s + 3
Czyli
2
- 3s + 4 K1 K2 K3
= + +
s(s + 2)(s + 3) s s + 2 s + 3
Po przemno\
eniu przez mianownik lewej części równania otrzymano:
- 3s2 + 4 = K1 (s + 2)(s + 3) + K2s(s + 3) + K3s(s + 3)
Przekształcając:
- 3s2 + 4 = (K1 + K2 + K3 )s2 + (5K1 + 3K2 + 2K3 )s + 6K1
Porównując współczynniki równania
K1 + K2 + K3 = -3
ńł
�ł5K + 3K2 + 2K3 = 0
�ł
1
�ł
6K1 = 4
ół
Z rozwiązania powstałego układu równań uzyskuje się następujące wyniki
2
ńł
K1 =
�ł
3
�ł
K2 = 2
�ł
�ł
23
3
�łK = - 3
ół
Stąd:
- 3s2 + 4 2 1 1 23 1
G(s) = = + 2 -
s(s + 2)(s + 3) 3 s s + 2 3 s + 3
_________________________________________________________________________________________________
1
Powered by xtoff� [e-mail]
PRZYKA
AD 2
Rozłó\
na ułamki proste (stosując metodę Residuum) funkcję operatorową z poprzedniego
zadania:
Rozwiązanie
Aby obliczyć K1 korzystamy ze wzoru
2
- 3s + 4 4 2
K1 = (sG(s)) = = =
s=0
(s + 2)(s + 3) 6 3
s=0
Aby obliczyć K2 korzystamy ze wzoru
- 3s2 + 4 - 8
K2 = ((s + 2)G(s)) = = = 4
s=-2
s(s + 3) - 2
s=-2
Aby obliczyć K1 korzystamy ze wzoru
- 3s2 + 4 - 23 23
K3 = ((s + 3)G(s)) = = = -
s=-3
s(s + 2) - 3(-3 + 2) 3
s=-3
Jak widać metoda Residuum jest znacznie szybsza, a wyniki są takie same
PRZYKA
AD 3
Rozłó\
na ułamki proste następującą funkcję operatorową:
1
G(s) =
s(s + 1)3 (s + 2)
Rozwiązanie
Jak widać funkcja ta ma potrójny biegun w s = -1. Rozkład funkcji operatorowej G(s) na
ułamki proste odbywa się według zale\
ności:
1 K1 K2 K3 K4 K5
= + + + +
s(s +1)3(s + 2) s s + 2 s +1 (s +1)2 (s +1)3
Po przemno\
eniu przez mianownik lewej części równania otrzymano:
1 = K1(s + 1)3 (s + 2) + K2s(s + 1)3 + K3s(s + 1)2 (s + 2) + K s(s + 1)(s + 2) + K5s(s + 2)
4
_________________________________________________________________________________________________
2
Powered by xtoff� [e-mail]
Przekształcając:
1 = (K1 + K2 + K3 )s4 + (5K1 + 3K2 + 4K3 + K4 )s3 + (9K1 + 3K2 + 5K3 + 3K4 + K5 )s2 +
+ (7K1 + K2 + 2K3 + 2K + 2K5 )s + 2K1
4
Porównując współczynniki równania
K1 + K2 + K3 = 0
ńł
�ł5K + 3K2 + 4K3 + K4 = 0
1
�ł
�ł9K + 3K2 + 5K3 + 3K4 + K5 = 0
�ł
1
�ł7K + K2 + 2K3 + 2K4 + 2K5 = 0
1
�ł
�ł =1
ół2K1
Z rozwiązania powstałego układu równań uzyskuje się następujące wyniki
1
ńłK =
1
�ł
2
�ł
1
�ł
2
�łK = 2
�ł
3
�łK = -1
�łK4 = 0
�ł
�ł -1
=
ółK5
Uzyskany w ten sposób rozkład funkcji operatorowej na ułamki proste
1 1 1 1 1 1
G(s) = + - -
2 s 2 s + 2 s + 1 (s + 1)3
PRZYKA
AD 4
Rozłó\
na ułamki proste następującą funkcję operatorową (obydwiema metodami):
- s + 8
G(s) =
s(s2 + 2s + 10)
Rozwiązanie
1. Metoda Residuum:
Transmitancję mo\
emy zapisać:
- s + 8 - s + 8 K1 K2 K3
G(s) = = = + +
s(s2 + 2s +10) s(s +1+ 3 j)(s +1- 3 j) s s +1+ 3 j s +1- 3 j
wówczas współczynnik odpowiadający biegunowi rzeczywistemu jednokrotnemu
- s + 8 4
K1 = (sG(s)) = =
s=0
(s2 + 2s +10) 5
s=0
_________________________________________________________________________________________________
3
Powered by xtoff� [e-mail]
Współczynniki odpowiadające biegunom zespolonym jednokrotnym są następujące
- s + 8
K2 = ((s +1- 3 j)G(s)) = =
s=(-1+3 j)
s(s +1+ 3 j)
s=(-1+3 j)
143
j Ą
- 4 + 3 j 1
180
= = e
5 2
- s + 8
K3 = ((s +1+ 3 j)G(s)) = =
s=(-1-3 j)
s(s +1- 3 j)
s=(-1-3 j)
143
- j Ą
- 4 - 3 j 1
180
= = e
5 2
W ten sposób otrzymano:
143 143
- j Ą - j Ą
180 180
4 1 1 e 1 e
G(s) = + +
5 s 2 s +1+ 3 j 2 s +1- 3 j
2. Metoda algebraiczna:
Transmitancję mo\
emy zapisać:
K1 K2s + K3
- s + 8
G(s) = = +
s(s2 + 2s + 10) s s2 + 2s + 10
Czyli
2
- s + 8 = K1 (s + 2s + 10) + (K2s + K3 )s
Po przekształceniu:
- s + 8 = (K1 + K2 )s2 + (2K1s + K3 )s + 10K1
Porównując stronami współczynniki równania otrzymano:
4
ńł
K1 =
�ł
5
�ł
4
�ł
K2 = -
�ł
5
�ł
�łK3 = -13
�ł
5
ół
_________________________________________________________________________________________________
4
Powered by xtoff� [e-mail]
W ten sposób otrzymano:
- s + 8 4 1 1 4s +13
G(s) = = -
s(s2 + 2s +10) 5 s 5 s2 + 2s +10
Otrzymane wyniki ró\
nią się od siebie, ale z podstawową znajomością zagadnienia liczb
zespolonych mo\
na z łatwością wyprowadzić z transmitancji otrzymanej z metody residuum
transmitancję otrzymaną z metody algorytmicznej.
PRZYKA
AD 5
Wyznacz transmitancję odwrotną ka\
dej G(s) z poprzednich przykładów:
Rozwiązanie
-przykład 1
- 3s2 + 4 2 1 1 23 1
G(s) = = + 2 -
s(s + 2)(s + 3) 3 s s + 2 3 s + 3
Odczytując wprost z tablicy transformat:
2 1 2
Ł-1 �ł łł = 1(t)
�ł3 s śł
3
�ł �ł
Korzystając z tablicy transformat:
Lp. Oryginał f(t) Transformata F(s)
1(t) - skok jednostkowy 1
2.
s
( funkcja Heavyside'a)
i z własności funkcji  Przesunięcie w dziedzinie zespolonej :
{eat f (t)}= F(s - a)
Ł
Wyznaczamy:
1 1
Ł-1 �ł2 łł = 2Ł-1 �ł łł = 2e-2t �"1(t)
�ł �łs + 2śł
s + 2śł
�ł �ł �ł �ł
oraz
�ł- 23 1 23 1 23
łł
= - Ł-1 �ł łł = - e-3t �"1(t)
Ł-1
�ł �łs + 3śł 3
3 s + 3śł 3
�ł �ł �ł �ł
_________________________________________________________________________________________________
5
Powered by xtoff� [e-mail]
Zatem:
2 23 2 23
f (t) = 1(t) + 2e-2t �"1(t) - e-3t �"1(t) = [ + 2e-2t - e-3t ]�"1(t)
3 3 3 3
-przykład 3
1 1 1 1 1 1
G(s) = + - -
2 s 2 s + 2 s + 1 (s + 1)3
Pierwsze trzy składniki wynoszą odpowiednio (postępowanie jak w poprzednim podpunkcie):
1 1 1
Ł-1 �ł łł = 1(t)
�ł2 s śł
2
�ł �ł
1 1 1 1 1
łł �ł łł
Ł-1 �ł
�ł2 s + 2śł = 2 Ł-1 �łs + 2śł = 2 e-2t �"1(t)
�ł �ł �ł �ł
1 1
�ł łł
-1
Ł-1 �ł- łł = -Ł = -e-t �"1(t)
�ł
s + 1śł �ł s + 1śł
�ł �ł �ł �ł
1
Składnik - nale\
y obliczyć następująco:
(s +1)3
Lp. Oryginał f(t) Transformata F(s)
1 1
4.
n-1
t ;n e" 1
(t -1)! sn
Czyli:
1 1
2
Ł-1 �ł łł = t
�ł śł
s3 2
�ł �ł
Korzystamy z własności funkcji  Przesunięcie w dziedzinie zespolonej :
{eat f (t)}= F(s - a)
Ł
Wyznaczamy:
�ł łł
1 1
2
Ł-1�ł = t �"e-1t
śł
2
�ł(s +1)3 �ł
_________________________________________________________________________________________________
6
Powered by xtoff� [e-mail]
Zatem:
1 1
2
f (t) = �"1(t) - e-t �"1(t) + t �" e-t �"1(t)
2 2
-przykład 4
4 1 1 4s + 13
G(s) = -
5 s 5 s2 + 2s + 10
Oryginał pierwszego składnika:
4 1 4
�ł łł
-1
Ł = 1(t)
�ł5 s śł
5
�ł �ł
Drugi składnik nale\
y przekształcić w następujący sposób:
1 4s + 13 4 s + 1 3 3
- = - -
2
5 s + 2s + 10 (s + 1)2 + 32 (s + 1)2 + 32
5 5
a. Korzystając z własności  Liniowość
Ł{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s)
Otrzymano:
�ł łł �ł łł
1 4s + 13 4 s + 1 3 3
łł
Ł-1 �ł- = - Ł-1 �ł(s - Ł-1 �ł(s
�ł
5 s2 + 2s + 10śł 5 + 1)2 + 32 śł 5 + 1)2 + 32 śł
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł
b. Korzystając z własności funkcji  Przesunięcie w dziedzinie zespolonej :
{eat f (t)}= F(s - a)
Ł
oraz z tabeli transformat:
Lp. Oryginał f(t) Transformata F(s)
s
9.
cos�t
2
s2 + �
�
8.
sin�t
2
s2 + �
_________________________________________________________________________________________________
7
Powered by xtoff� [e-mail]
Otrzymano:
1 4s +13 4 3
łł
Ł-1�ł- = - cos(3t)e-t - sin(3t)e-t
�ł
5 s2 + 2s +10śł 5 5
�ł �ł
Zatem ostatecznie:
4 4 3
f (t) = 1(t) - cos(3t)e-t - sin(3t)e-t
5 5 5
PRZYKA
AD 6
Wyznacz transformatę Laplace'a F(s) funkcji pokazanej na poni\
szym rysunku, gdzie f(t) = 0,
dla t < 0 oraz dla t > 2a.
Rozwiązanie:
Funkcja f(t) mo\
e zostać zapisana następująco:
0, dla t < 0
ńł
�ł
A, dla 0 < t d" a
�ł
f (t) =
�ł- A dla a < t d" 2a
�ł
�ł
0, dla t > 2a
ół
lub w inny sposób
f (t) = A *1(t) - 2A*1(t - a) + A*1(t - 2a) dla 0 d" t < 2a
Powy\
sze równanie jest praktycznie zawsze najprostszym sposobem uzyskania
transmitancji odpowiadającej odpowiedniemu wykresowi. Teraz wystarczy zastosować
transformatę Laplace'a:
_________________________________________________________________________________________________
8
Powered by xtoff� [e-mail]
F(s) = Ł{f (t)} = Ł{A *1(t)} + Ł{- 2A *1(t - a)} + Ł{A*1(t - 2a)}
Korzystając z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej otrzymujemy:
1 1 1 A A
F(s) = A - 2A e-as + A e-2as = (1 - 2e-as + e-2as ) = (1 - e-as )2
s s s s s
_________________________________________________________________________________________________
9
Powered by xtoff� [e-mail]