MATEMATYKA FINANSOWA


Rachunek odsetek prostych

Wykorzystywany w okresie krótkim do 1 roku

Wzór ogólny


Wzór przy uwzględnieniu odniesienia czasowego


np. w przypadku okresu dziennego


Zadanie 1
Od jakiej kwoty otrzymano 15 zł odsetek za okres 2 miesięcy przy stopie
procentowej 18% w skali roku.


Zadanie 2
Przy jakiej stopie procentowej przypada 4 zł odsetek od kwoty 200 zł za 30 dni




Wzór na kapitał końcowy


Wzór na kapitał końcowy, gdy odnosimy się do okresów rocznych


Zadanie 3
Wpłacono do banku kwotę 850 zł wkład ten jest oprocentowany wg stopy
procentowej 14% w skali roku. Jaki będzie stan konta w dwóch latach


Zadanie 4
Po ilu latach kapitał początkowy w wysokości 750 zł złożony na 11% podwoi się



Wzór na odsetki przy regularnych kwotach wpłat

gdzie :
K
kwota wpłaty
r
stopa procentowa
n
ilość wpłat
m
częstotliwość wpłat

Wzór na kapitał końcowy


Zadanie 5
Jaką wielkość należy wpłacać przez 3 kwartały, aby zgromadzić wraz z odsetkami
kwotę 1500 zł, roczna stopa procentowa wnosi 10%








Zadanie 6
Wyznaczyć wartość lokaty 10000 zł po upływie roku, jeżeli w pierwszych 5
miesiącach stopa procentowa wynosiła 12% a w kolejnych siedmiu 10%


Zadanie 7
Kupujesz urządzenie za 10000 zł zapłatę odroczono o 45 dni przy stopie
procentowej, 27% jaką kwotę zapłacisz regulując zobowiązanie


Zadanie 8
Ulokowałeś 100 zł na 6 lat, stopa oprocentowania zmieniała się, co 2 lata i
wynosiła odpowiednio 17%, 15%, 13% jaką kwotę dysponujesz powyżej wymienionym
okresie utrzymywania lokaty




Zadanie 9
Przez ile kwartałów powinno się wpłacać kwotę po 50 zł aby stan konta przy
oprocentowaniu 35% w skali roku wyniósł 941,25 zł


Zadanie 10
Ulokowano w banku kwotę 600 zł w dniu 5 marca nominalna stopa procentowa 36%,
jaką kwotę pobierze lokato dawca w dniu 9 maja tego samego maja, jeśli odsetki
nie są kapitalizowane

dzień
miesiąc
9
5
5
3
4
2
2 miesiące i 4 dni = 2*30+4 = 64 dni



Zadanie 11
Ile powinno się trzymać kapitał, aby wzrósł on, co najmniej 2,5 raz, ale nie
więcej niż 3 razy przy rocznej stopie procentowej 14%








Zadanie 12
Pod koniec każdego z 5 kolejnych miesięcy wpłacamy na rachunek bankowy 500 zł
przy oprocentowaniu, 10% jaką kwotę będziemy dysponować na koniec 5 miesiąca.






Rachunek oprocentowania składanego

Zadanie 1
Ulokowałeś 100 zł na 6 lat, stopa oprocentowania zmniejszała się, co 2 lata i
wynosiła odpowiednio 17,15,13. Jaką kwotą dysponujesz po wyżej wymienionym
okresie lokaty w przypadku?
kapitalizacji rocznej
oprocentowania ciągłego

a)

b)
Zadanie 2
Chcesz ulokować 1000 zł na 2 lata, cztery banki oferują poniższe warunki dla
lokat
Bank A
oprocentowanie proste, r = 20%, kapitalizacja na koniec okresu
Bank B
oprocentowanie nominalne 19%, kapitalizacja kwartalna
Bank C
oprocentowanie efektywne 20,5%
Bank D
oprocentowanie nominalne 18,5%, kapitalizacja ciągła

Który z banków oferuje najlepsze warunki. Dla każdego z banków znaleźć
oprocentowanie efektywne.



Najkorzystniej ulokować pieniądze w banku C

ref < r przy zastosowaniu rachunku odsetek prostych
ref > r przy zastosowaniu kapitalizacji m-razy (dziennej, miesięcznej lub
kwartalnej)
ref > r przy zastosowaniu kapitalizacji ciągłej

Zadanie 3
Wpłacasz pewną kwotę na rachunek o stopie oprocentowania nominalnego 18% i
kapitalizacji półrocznej. Po jakim czasie kwota na rachunku będzie dwukrotnie
większa



Zadanie 4
Ilość pieniędzy złożonych na rachunku wzrasta po półtora roku o 50% przy
kapitalizacji miesięcznej. Jaka była by stopa nominalna i efektywna

Zadanie 5
Wpłacasz 100 zł na 5 lat. Jaka stopa efektywnego oprocentowania zapewni
podwojenie oszczędności przy kapitalizacji kwartalnej




Zadanie 6
Pewien kapitał złożono na procent składany, kapitalizacja odsetek następuje, co
kwartał a efektywna roczna stopa procentowa jest równa 33%. Ile wynosi zgodna
stopa procentowa a ile nominalna stopa


Zadanie 7
Na rachunku umieszczasz 100 zł, kapitalizacja kwartalna, stopa oprocentowania
efektywnego 15%. Pieniądze wycofujesz po 8 miesiącach. Jaką kwotę otrzymasz


Zadanie 8
Po 3 latach na rachunku jest 1000 zł. Jaką kwotę wpłacono przy nominalnej
stopie procentowej, 16% jeżeli kapitalizacja była?
roczna
ciągła

a)

b)





Rachunek oprocentowania składanego

Zadanie 1
Wyznaczyć nominalną stopę procentową dla kapitału w wysokości 2000 zł, który po
dwóch latach przyniósł 500 zł odsetek przy rocznej stopie kapitalizacji.







Zadanie 2
Wpłacasz 500 zł na 5 lat, jaka stopa oprocentowania efektywnego zapewni
podwojenie Twoich oszczędności przy kapitalizacji tygodniowej.


Zadanie 3
Bank zmienił oprocentowanie z 20% na 22%. Równocześnie wydłużył kapitalizacje z
kwartału na pół roku. Czy prawdziwa jest informacja banku, że zmiana ta nie
pogorszy sytuacji jego klientów.


Stopa efektywna w drugim przypadku przy stopie nominalnej 22% i kapitalizacji
półrocznej jest wyższa niż w przypadku pierwszym, tak więc sytuacja klienta nie
została pogorszona.




Dyskonto handlowe i matematyczne

Zadanie 4
W jakim okresie czasu stopa dyskontowa wynosząca 20% i stopa procentowa 25% są
sobie równoważne

Tylko dla okresu 1 roku stopy te są sobie równoważne

Powyżej jednego roku DH > DM
Powyżej jednego roku DH < DM

Zadanie 5
Bank oferuje 17% oprocentowanie oszczędności w skali roku przy kapitalizacji
kwartalnej. Jaka co najmniej powinna być stopa dyskontowa w skali roku zakupu
papierów wartościowych, aby rentowność tej operacji była wyższa od rentowności
lokaty bankowej?


Zadanie 6
Jaka jest stopa procentowa (rentowność) oraz stopa dyskontowa zakupu za 900
papierów wartościowych o nominale 1000 zł i terminie jego wykupu za 5
miesięcy?




Zadanie 7
Za ile najmniej powinieneś kupić papier wartościowy o nominale 10000 zł i
terminie wykupu 15 dni, aby osiągnąć rentowność 25%


Zadanie 8
Możliwy jest zakup papieru wartościowego przy stopie dyskontowej 25% lub
rentowności 30%. Na ile dni przed terminem wykupu ta druga możliwość jest
korzystniejsza. Proszę wyznaczyć dyskonto handlowe i matematyczne dla okresu
120 dni przy wartości nominalnej 100 zł

Dla okresu n < 240 wybór jest korzystny



Zadanie 9
Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości
nominalnej 100 zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2


Zadanie 10
Firma otrzymała ofertę zakupu środka trwałego przy natychmiastowej zapłacie
gotówką 4000 zł albo przy zapłacie 4800 za dwa lata. Firma ma możliwość
uzyskania kredytu bankowego na okres 2 lat oprocentowanego 21% w skali roku
przy kapitalizacji kwartalnej. Jaką decyzję powinno podjąć kierownictwo tej
firmy?
Firma powinna zapłacić za dwa lata kwotę 4800 zł.




Model rat równych przy kapitalizacji rocznej z dołu (bez wyprzedzenia) i z góry
z (wyprzedzeniem)

Zadanie 1
Jaka będzie wartość 500 zł po 2 latach przy kwartalnych ratach z dołu oraz
góry, jeżeli nominalna stopa procentowa wynosi 32%, a odsetki kapitalizowane są
kwartalnie

W = 500
n = 2
m = 4
r = 32%
Zadanie 2
Cena samochodu wynosi 35000 zł, jakiej równej wysokości wkłady wnoszone na
koniec kolejnych miesięcy pozwolą zgromadzić w ciągu 2 lat niezbędny fundusz na
jego zakup. Bank stosuje miesięczną kapitalizację przy miesięcznej stopie
procentowej wynoszącej 2%


Zadanie 3
Przy jaki okres czasu należy wpłacać z góry stałą kwotę 100 zł przy rocznej
stopie procentowej 24% i kapitalizacji rocznej, aby uzbierać dokładnie 500 zł







Zadanie 4
Przez 5 lat będziemy otrzymywać rocznie 500 zł oblicz ile warte są te pieniądze
obecnie jeśli:
płatności występują bez wyprzedzenia
płatności występują z wyprzedzeniem

Zakłada się, że nominalna stopa procentowa wynosić będzie 25%, a kapitalizacja
ma miejsce jeden raz w roku

a)
b)

Wpłaty niezgodne

Kapitalizacja odsetek jest częstsza niż wpłaty
model rat równych przy kapitalizacji rocznej z dołu bez wyprzedzenia

model rat równych przy kapitalizacji rocznej z góry z wyprzedzeniem

kapitalizacja śródroczna
kapitalizacja ciągła

np.
okres wpłat co kwartał a okres kapitalizacji co miesiąc czyli m = 3/1 = 3
okres wpłat co rok a okres kapitalizacji co pół roku czyli m = 1/0,5 = 2


Zadanie 5
Na koniec każdego półrocza wpłacano na konto kwotę 500 zł, wyznaczyć przyszłą
wartość sumy wkładów oszczędnościowych po 4 latach, jeżeli bank stosuje
kapitalizacje kwartalną przy rocznej stopie procentowej 16%

r = 0,08 dlatego że wpłaty są półroczne i roczną stopę procentową należy
podzielić przez 2


Zadanie 6
Wpłacasz 300 zł co pół roku przy stopie procentowej 10% jaką kwotę otrzymasz po
3 latach jeżeli bank stosuje kapitalizację ciągłą wpłaty dokonywane są bez
wyprzedzenia (z dołu)


















Zadanie 1
Zwracasz 10000 zł przy stopie procentowej 24% dług spłacisz z dołu w 8
miesięcznych równych ratach. Wyznacz kwotę raty jeżeli kapitalizacja odsetek
jest:
dzienna
miesięczna

wpłaty niezgodne
wpłaty zgodne
Zadanie 2
Lokujesz 10000 zł na 10 lat, stopa oprocentowania 17%, stopa inflacji 14%.
Kapitalizacja na końcu roku. Jaką nominalną oraz realną kwotę będziesz
dyskontować po podanym okresie


Zadanie 3
Lokujesz przez 10 lat po 100 zł
na początku każdego roku
na końcu każdego roku
Oprocentowanie wynosi 5%, inflacja 3,5%. Kapitalizacja na końcu roku. Jaką
realną kwotę będziesz dysponować po tym okresie

a)
b)
Szybsze rozwiązanie podpunktu b to wynik z podpunktu a podzielić przez (1+r)

Zadanie 4
Ile powinno się ulokować w banku, aby móc kupić za 5 lat mieszkanie o obecnej
wartości 60000 zł, stopa procentowa dla oszczędności oferowana przez bank
wynosi 16%, stopa inflacji (wzrost cen mieszkania) równa jest 9%, kapitalizacja
raz w roku




Zadanie 1
Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 90000 zł oprocentowanego na 16%
kredyt ten ma być spłacony w 6 równych kwotach płatności uiszczanych na końcu
roku

Kolejne lata
Dług na początku okresu
Rata kapitałowa
Rata odsetkowa
Kwota płatności
Dług na koniec okresu
1
90000
10025,14
14400
24425,14
79974,86
2
79974,86
11629,16
12795,97
24425,14
68345,70
3
68345,70
13489,83
10935,31
24425,14
54855,87
4
54855,87
15648,21
8776,93
24425,14
39207,66
5
39207,66
18151,92
6273,22
24425,14
21055,74
6
21055,74
21056,23
3368,91
24425,14
0
S


56550,34



Rata odsetkowa = Dług na początku okresu * stopa procentowa
Kwota płatności = Rata kapitałowa + rata odsetkowa
Dług na koniec okresu = Dług na początku okresu
rata kapitałowa


Zadanie 2
Pewien przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości 2000 zł oprocentowanie
nominalne kredytu 36% w skali roku kredyt ten należy spłacić w ciągu 4 lat w
ratach kapitałowych o stałej wysokości płatnych na koniec każdego roku. Dokonać
amortyzacji kredytu





Kolejne lata
Dług na początku okresu
Rata kapitałowa
Rata odsetkowa
Kwota płatności
Dług na koniec okresu
1
2000
500
720
1220
1500
2
1500
500
540
1040
1000
3
1000
500
360
860
500
4
500
500
180
680
0
S


1800



Rata odsetkowa = Dług na początku okresu * stopa procentowa
Kwota płatności = Rata kapitałowa + rata odsetkowa
Dług na koniec okresu = Dług na początku okresu
rata kapitałowa


Zadanie 3
Kredyt w wysokości 10000 zł ma zostać spłacony w 4 równych rocznych ratach
kapitałowych. Stopa procentowa 14%. Kapitalizacja odsetek miesięczna. Ustalono
że okres spłaty kredytu rozpoczyna się po upływie 2 lat od momentu jego
zaciągnięcia. Sporządzić plan amortyzacji tego długu jeżeli karencję objęte są
spłaty
kapitału i odsetek
samego kapitału

Wzór ogólny na spłatę kredytu przy zastosowaniu karencji

Wzór ogólny na spłatę kredytu przy zastosowaniu karencji w przypadku spłat
niezgodnych

a)

Kolejne lata
Dług na początku okresu
Rata kapitałowa
Rata odsetkowa
Kwota płatności
Dług na koniec okresu
1
10000
-
-
-
-
2
-
-
-
-
13209,87
3
13209,87
3302,47
1972,23
5274,70
9907,40
4
9907,40
3302,47
1479,17
4781,64
6604,93
5
6604,93
3302,47
986,11
4288,58
3302,47
6
3302,47
3302,47
493,11
3795,57
0
S


4930,61



Rata odsetkowa = Dług na początku okresu * stopa procentowa
Kwota płatności = Rata kapitałowa + rata odsetkowa
Dług na koniec okresu = Dług na początku okresu
rata kapitałowa


b)


Kolejne lata
Dług na początku okresu
Rata kapitałowa
Rata odsetkowa
Kwota płatności
Dług na koniec okresu
1
10000
-
1493
1493
10000
2
10000
-
1493
1493
10000
3
10000
2500
1493
3993
7500
4
7500
2500
1119,75
3619,75
5000
5
5000
2500
746,50
3246,50
2500
6
2500
2500
373,25
2873,25
0
S


6718,5



Rata odsetkowa = Dług na początku okresu * stopa procentowa
Kwota płatności = Rata kapitałowa + rata odsetkowa
Dług na koniec okresu = Dług na początku okresu
rata kapitałowa

Zadanie 4
Po 3 letnim okresie karencji obejmującym tylko raty kapitałowe dług w wysokości
80000 zł należy spłacać w jednakowych kwotach płatności po 30000 zł, bank
stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 10%. Ułożyć plan
spłaty długu




Kolejne lata
Dług na początku okresu
Rata kapitałowa
Rata odsetkowa
Kwota płatności
Dług na koniec okresu
1
80000
-
8000
80000
80000
2
80000
-
8000
80000
80000
3
80000
-
8000
80000
80000
4
80000
22000
8000
30000
58000
5
58000
24200
5800
30000
33800
6
33800
26620
3380
30000
7180
6,25
7180
7180
179,73
30000
0



41359,73



W okresie 6,25 stopę procentową należy podzielić r/4

Rata odsetkowa = Dług na początku okresu * stopa procentowa
Kwota płatności = Rata kapitałowa + rata odsetkowa
Dług na koniec okresu = Dług na początku okresu
rata kapitałowa

Zadanie 5
Który z banków oferuje lepsze warunki do zaciągnięcia kredytu jeżeli w
pierwszym banku stopa oprocentowania kredytu wynosi 20% a odsetki trzeba płacić
co kwartał w drugim banku nominalna stopa procentowa wynosi 22% a odsetki
należy płacić co pół roku

bank 1
bank 2
Lepsze warunki do zaciągnięcia kredytu oferuje bank 1

Zadanie 6
Bank udziela kredytów wg. stopy 20% przy miesięcznym poborze odsetek. Klient
chciałby zaciągnąć kredyt w wysokości 5000 zł na okres 12 miesięcy spłacając go
jednorazowo wraz z odsetkami na koniec jego trwania. Jeżeli bank zaakceptuje
propozycję klienta to, jakie powinna być stopa tego kredytu, aby jego koszt nie
odbiegał od standardowo udzielanych. Ile powinien zwrócić po upływie roku
kredytobiorca