Co to jest renta (annuity)?
Rentą lub ciągiem płatności okresowych długoterminowych, nazywamy ciąg wpłat lub wypłat
płaconych w równych odstępach czasu
Przykłady:
Renta, emerytura, wypłata odsetek z ulokowanego kapitału, spłaty pożyczki ratalne, czynsz,
składki ubezpieczeniowe i członkowskie
Rodzaje rent:
Podział 1:
Renty pewne  renty wypłacane przez cały z góry uwzględniony okres, niezależnie od tego
czy rentobiorca żyje czy nie żyje
Renty życiowe  enty wypłacane tylko do momentu śmierci rentobiorcy
Podział 2:
Renty czasowe  gdy liczba rat jest skończona
Renty wieczyste (perpetuity)  gdy liczba rat jest nieskończona
Podział 3:
Renty proste  gdy kapitalizacja odsetek jest równoczesna z wpłatami (wypłatami) renty
Renty uogólnione  gdy okresy płatności są krótsze lub dłuższe od okresów kapitalizacji
odsetek
Podział 4:
Renty płatne natychmiast
Renty odroczone  gdy moment dokonania pierwszej wpłaty jest przesunięty w czasie
Podział 5:
Renty płatne z dołu
Renty płatne z góry
Renty stałe
Renty o zmiennej wysokości (np. tworzące ciąg matematyczny)
Renty roczne
Renty kwartalne
A. Renty pewne z dołu (corocznie i w stałej wysokości równej R)
Rys. 1
Między funkcjami s{n|r} i a {n|r} zachodzi związek
s{n|r} = a{n|r}* (1 +r)^n
Renty wypłacane z góry (corocznie i w stałej wysokości tównej R)
Rys. 2
- Aby móc pobierać z dołu przez n lat rentę w wysokości R rocznie, należy zgromadzić
kapitał rentowy w wydokości danej wzorem (1).
- Aby móc pobierać analogiczną rentę z góry, trzeba zgromadzić kapitał określony wzorem
(5)
Renty wieczyste
Są to ciągi płatności dokonywane okresowe na rzecz rentobiorcy (lub osób przez niego
upoważnionych), przez nieskończenie długi okres czasu
Ze wzorów 1 i 5 wynika, że gdy n->~ to wartość aktualna renty wieczystej wypłacanej z dołu
wynosi
PV = R/r (9)
A renty wieczystej wypłacanej z góry:
PV = R(1+r) / r (10)
Wniosek:
Jeśli dysponujemy kapitałem rentowym w wysokości S to wysokość renty wieczystej płatnej
z dołu nie może przekroczyć wielkości
R{max} = S*r (11)
Oraz wielkości
R{max} = S*r / (1+r) (12)
Rozliczenia związane ze spłatą długów
Przez spłatę dłlugów będziemy rozumieli spłatę kredytu lub pożyczki
Kredyt i pożyczka to nie to samo!
Kredyt:
- udzielają go tylko banki
- umowa jest zawarta w formie pisemnej
- udzielany jest na określony cel  bank może kontrolować sposób wykorzystania kredytu
- udzielany jest odpłatnie (prowizje, odsetki)
- operacje są bezgotówkowe
Pożyczka:
- w przypadku pożyczki następuje przeniesienie własności określonej kwoty pienięznej na
pożyczkobiorcę
- umowa pisemna przy kwocie powyżej 500zł
- cel nie musi być określony
- można pożyczać pieniądze nieodpłatnie
Niech S oznacza wielkość zaciągniętego długu
Dług będzie spłacacy w częściach zwanych ratami. Liczbę rat oznaczamy przez N, a stopę
procentową (roczną) przez r
Def: Mówimy, że dług został spłacony, jeżeli w określonym czasie, suma wpłacanych rat jest
równa zaciągniętej kwocie wraz z odsetkami z tytułu użytkowania wypożyczonego kapitału.
Inaczej dług został spłacony, jeżli aktualna wartość strumienia spłaconych rat jest równa
wartości zaciągniętego długu.
A{n} - wysokość n-tej raty
T{n}  kwota długu
Z{n}  odsetki spłacane w n-tej racie
S{n}  reszta długu, która po zostaje do wpłacenia po n-tej racie
Z  suma wszystkich odsetek (odsetki skumulowane)
Zachodzi związek:
A{n} = T{n} + Z{n} (1)
Raty mogą być spłacane:
- zgodnie z okresem stopy procentowej lub w podokresach
- z dołu, z góry
Raty mogą być jednakowej wysokości lub różnej (najczęściej malejące)
Części długi T{n} uwzględnione w kolejnych ratach mogą być jednakowej lub różnej
wysokości
Odsetki mogą być doliczane w podokresach lub z okresem stopy procentowej
Istnieje zatem wiele różnych planów spłaty długu
Każdy plan sprowadza się do określenia ciągów
(A{n}), (T{n}), (Z{n}), (S{n})
Oraz Rys.3
Przyjmujemy na razie, że raty płacone są zgodnie z okresem kapitalizacji i z dołu
Znane są wysokości rat
Pozostałe elemenety planu spłaty dlugu wyznacz się wtedy z poniższych wzorów. We
wzorach tych q=1+r i oznacza czynnik procentowy
Rys. 4
Reszta S{n} długu, która pozostała do spłacenia po n ratach jest równa różnicy między
wartością całego długu w chwili n, a wartością w chwili n strumienia dotychczas spłaconych
rat:
Rys.5
Odsetki Z{n} płąconej w n-rej racie są równe odsetkom od reszty długu na końcu n-1-szego
okresu kapitalizacji
Rys. 6
--
Znany jest ciąg (T{n})
Wtedy: Rys.7m
Problem 1: Dług S mamy spłacić w N ratach. Zakładając, że wysokości rat A{1}, A{2}, & ,
A{n-1} zostały uzgodnione z wierzycielem, obliczyć wysokość A{n} ostatniej raty oraz ciągu
(T{n}), (Z{n}) i (S{n})
Zarówno wielkość ostatniej raty, jak i elemenety wymienionych ciągów możemy obliczyć
poslugując się wzorami podanymi w schemacie 1, uwzględniając równość S{n} = 0.
Wyznaczyć plan spłaty kredytu konsumpcyjnego w wysokości S = 100 000 PLN
zaciągniętego na okres 5 lat, znając wysokość 4 rat:
1: 40 000, 2: 30 000, 3: 20 000, 4: 20 000
Wiedząc, że oprocentowanie wynosi 10%. Pomijając koszty prowizji i ubezpieczenia
Mamy N=5, r=0.1, q= 1.1 musimy obliczyć:
A{5}, S{1}, & , S{4}, T{1},& , T{5}, Z{1}, & Z{5}, Z
Z{1} = S{0}*r = 100*0.1 = 10
T{1} = A{1}  Z{1} = 30
S{1} = S{0}  T{1} = 100  30 = 70
Z{2} = S{1}*r = 70 * 0.1 = 7
T{2} = A{2}  Z{2} = 30  7 = 23
S{2} = S{1}  T{2} = 70  23 = 47
Z{3} = S{2}*r = 4.7
T{3} = A{3}  Z{3} = 20  4.7 = 15.3
S{3} = S{2}  T{3} = 47  15.3 = 31.7
Z{4} = S{3}*r = 3.17
T{4} = A{4}  Z{4} = 20-3.17 = 16.83
S{4} = S{3}  T{4} = 31.7-16.83 = 14.87
Z{5} = S{4}*r = 1.487
T{5} = A{5}  Z{5} = A{5}  1.487
S{5} = 0 = S{4}  T{5}, T{5} = 14.87
A{5} = 1.487 + 14.87 = 16.357
A = 126357
T = 100000
Z = 26357
{TABELA_1}
Problem 2:
Dług S chcemy spłacić w N ratach, z których każda zawiera równą (jednakową) część długu,
rzn. W każdej racie A{n}
T{n} = S / N = T (n = 1, & , N)
Przypadek 1
Spłaty zgodnie z okresem stopy prcentowej i okresem kapitalizacji
Ciągi S{n}, Z{n} i A{n} można wyznaczyć posługując się wzorami występującymi w
chamecia II:
Rys. 8
Przypadek 2
Spłaty w podokresach stopy procentowej
Rok zostal podzielony na m>1 równych podokresów. Dług s ma być spłacony w mN ratach.
W tym przypadku:
Rys. 9
Również liczy m elementów
Z zależności od sposobu w jaki doliczane są odsetki, otrzymujemy różne plany spłaty długu.
Odpowiednie wzory otrzymuje się stosując formuły schematu II.
Plan 1
Odsetki doliczane sa w podokresach, wedlug aktualnego stanu dlugu.
Obliczenia wykonuje się analoicznie jak w przypadku 1 z tym, że:
- zaimast T = S/N przyjmujemy T=S/mN
- zamiast stopy procentowej r przyjmujemy stopę r/m
- liczba rat jest równa mN
Dla każdego k=1,2,.., mN otrzymujemy:
Rys. 10;
A
atwo zauważyć, że gdy m=1 wzory te są takie same jak w przypadku 1, dla m>1 natomiast
Ż < Z
Oznacza, że częstsze spłacanie długu jest korzystne
Dokładniej:
Rys. 11
Przykład 2:
Kredyt 70 000 PLN ma być spłacony w ciągu 10 lat. W miesięcznych ratach zawierających
równą część długu. Zakładając, że roczna stopa procentowa wynodi r=0,06 oraz, że odsetki
doliczane są według opisanego wyżej planu, obliczyć wysokość skumulowanych odsetek Ż
Ponieważ S = 70 000, N = 10, r=0,06
Ze wzoru(**) otrzymuemy:
Z-Ż = 70 000 * 0,06 * [(12*10+1)/24] ~= 21 175
Problem 3 (Raty o równych wysokościach)
Dług S chcemy spłacić w ratach o równej wysokości np. A
Spłaty zgodnie z okresem stopy procentowej i okresem kapitalizacji
Wysokość A stałej raty możńa bliczyć ze wzoru podanego w schemacie 1:
Rys. 12
Spłaty w podokresach stopy proentowej
Rok podzielony jest na m>1 podokresów i w każdym z tych podokresów dokonuje się spłaty
sługu w równych ratach o wielkości a. A
ączna liczba rat wynosi mN.
Podobnie jest przy ratach o równych częściach długu, w zależności od sposobu doliczania
odsetek i od tego, czy raty będą płacone z góry, czy z dołu otrzmyjue się różne wzory na
wysokość stałej raty a oraz pozostałe elementy planu spłaty dlugu.
1. Poniżej doliczane są zgodnie z okresem stopy procentowej (np. co roku) raty płacone z
góry:
Rys. 13
2. Odsetki doliczane są w podokresach na podstawie względnej stopy procentowej,
ratypłacone z góry.
Rys. 14
Elementy matematyki ubezpieczeniowej (aktuarialnej)
Bijak W., Podgórska M.  Matematyka finansowa
Matłoka M  Matematyka w ubezpieczeniach na życie
Skałba M.  Ubezpieczenia na życie
Zmienne losowe  jest to taka wielkość, która w wyniku doświadczenia przyjmuje określoną
wartość, znaną po zrealizowaniu doświadczenia, a nie dającą się przewidzieć przed realizacją
doświadczenia.
Zmienne losowane oznacza się dużymi lietarmi X, Y, K, T&
Wartości jakie przybierają te zmienne nazywane sią realizacjami i oznaczane sią małymi
literami odpowiednio przez x, y, k, t, ...
Zmienne losowe dzieli się na:
- Zmienne skokowe (dyskretne)
- Zmienne ciągłe
Def. Zmiennymi losowymi, skokowymi nazywamy takie zmienne, które mają skończony lub
przeliczalny zbiór wartości.
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcę
F(x) = P { X <= x}
Jeżeli dystrybuanta F ma pochodną, to pochodna ta nazywa się gęstością (funkcją gęstości)
prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, czyli:
F(x) = F`(x), F(x) = (całka)(x, -~) F(x)dx
F(x) >= 0
P(a<= X <= b) = (całka) (b,a) F(t) dt
(całka) (~, -~) f(x) dx = 1
Mówimy, że ciągła zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (prostokątny) w przedziałe [a,
b], jeżeli funkcja gęstości twej zmiennej ma postać
F(X) = { 1/ (b-1) dla a<= x <= b
{ 0 dla xb
Dystrybuanta zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym jest postaci
F(X) = {0 dla x {x-a/b-a dla a<= x <= b
{1 dla x > b