Kapitalizacja, Dyskonto
" Procent. Stopa procentowa.
" Wartość przyszła lokaty przy różnych skokowych częstościach
kapitalizacji. Kapitalizacja ciągła.
" Wartość obecna znanej wartości przyszłej przy różnych częstościach
dyskonta. Dyskonto ciągłe.
" Efektywna stopa procentowa.
Procent (Interest) - opłata za prawo do korzystania z kapitału
pieniężnego.
Stopa procentowa (Interest rate) - stosunek procentu do poczÄ…tkowej
wartości kapitału x 100. Potocznie, stopa procentowa jest nazywana
procentem.
Stopa zwrotu, stopa dochodu (rate of return, yield) - różnica względna
między dochodem z inwestycji a wydatkami na nią, wyrażona w
procentach.
Oprocentowanie proste (Simple interest) - procent jest liczony od
wartości kapitału początkowego i jest on proporcjonalny do długości czasu,
na który kapitał został udostępniony. Przy oprocentowaniu prostym odsetki
nie są kapitalizowane (nie są dodawane do kapitału początkowego na
koniec okresu oprocentowania).
WPn = A 1+ rn = A + Arn = A + I,
( )
gdzie: r  stopa procentowa, n  liczba okresów oprocentowywania, I 
wartość procentu.
Oprocentowanie złożone (Compound interest) - procent składany.
Procent jest doliczany do kapitału na koniec każdego okresu odsetkowego
i suma ta stanowi kapitał na początek kolejnego okresu oprocentowania.
Stosowane są różne standardy traktowania czasu dla okresów kapitalizacji
 czas mierzony odcinkami (np. miesiąc, pół roku, rok itp.) lub czas liczony
w sposób ciągły.
Regułą rynkową jest kapitalizacja dla dyskretnych przedziałów czasu, w
wykładach uniwersyteckich chętnie jest stosowana kapitalizacja ciągła.
n
WPn = A 1+ r = A+ I 1
( )
gdzie: I  skapitalizowana wartość procentu.
1
Proste obliczenia z zakresu matematyki finansowej
Kapitalizacja odsetek
" Kapitalizacja dyskretna:
A  kapitał ulokowany na koncie,
n  liczba lat, na którą lokujemy kapitał,
r  roczna stopa oprocentowania kapitału (stopa procentowa w skali
roku, p.a. = per annum),
f& Wartość przyszła po n okresach  WP , kapitalizacja roczna:
n
n
WPn = A 1+ r
( )
f& Wartość przyszła po n okresach, kapitalizacja dyskretna z
częstotliwością m razy w roku - WP
n/m
mn
r
öÅ‚
WPn / m = AëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
f& Efektywna stopa procentowa dla kapitalizacji dyskretnej (m razy w
roku).
Jest to stopa, która równoważy efekt kapitalizacji w podokresach
danego okresu:
m
r
ëÅ‚1+ öÅ‚
r = -1
ef ìÅ‚ ÷Å‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
" Kapitalizacja ciągła
mn
r
öÅ‚
WPn / m = lim AëÅ‚1+ = Aern
ìÅ‚ ÷Å‚
m"
m
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: e = stała = 2,71828; liczba niewymierna, definiowana jako:
x
1
öÅ‚
limëÅ‚1+ = e = 2,71828...
ìÅ‚ ÷Å‚ .
x"
x
íÅ‚ Å‚Å‚
f& Efektywna stopa procentowa dla kapitalizacji ciągłej (kapitalizacja
ciągła w roku):
r
ref = e -1
ZWI
ZEK ZACHODZ
CY MI
DZY STOP
PROCENTOW
KAPITALIZACJI
CI
GA
EJ W DANYM OKRESIE I RÓWNOWAŻN
STOP
PROCENTOW

KAPITALIZACJI DYSKRETNEJ W TYM SAMYM OKRESIE:
r  stopa oprocentowania wkładu w skali roku dla kapitalizacji
1
ciągłej,
http://notatek.pl/elementy-matematyki-finansowej-z-przykladami?notatka
r - równoważna stopa oprocentowania wkładu dla kapitalizacji m
2
razy w roku.
Mamy zależność:
mn
r
ëÅ‚ öÅ‚
r1n 2
Ae = A 1+
ìÅ‚ ÷Å‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
r2 m
ëÅ‚ öÅ‚
1
er = 1+
ìÅ‚ ÷Å‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
Logarytmując stronami otrzymamy związek między r i r :
1 2
r2 öÅ‚
r1 = mlnëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: ln jest symbolem logarytmu naturalnego, ln (logarytmu o
e
podstawie e).
Zakładając znajomość r możemy z powyższej równości obliczyć r :
1 2
r1
m
r2 = mëÅ‚ e - 1öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Dyskontowanie wartości przyszłej WP
" Wartość bieżąca  WB
Jej obliczenie polega na dyskontowaniu wartości przyszłej (po n latach),
które jest działaniem odwrotnym do kapitalizacji. Chcemy obliczyć WB
n
przy założeniu znajomości WP .
n
f& Dyskontowanie dyskretne z częstotliwością raz w roku znanej
wartości WP :
n
WPn
-n
WBn = = WPn 1+ r
( )
n
1+ r
( )
f& Dyskontowanie dyskretne z częstotliwością m razy w roku znanej
wartości WP :
n
-mn
WPn r
WBn / m = = WPn ëÅ‚1+ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
mn
m
r íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚1+ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
f& Dyskontowania ciągłe znanej wartości WP :
n