1. PROCENT PROSTY I SKLADANY 1
Matematyka Finansowa
1 Procent prosty i sk adany
Definicja 1.1 Odsetkami I nazywamy r żnice pomiedzy kwota kredytu kwota zwracana.
Definicja 1.2 Oprocentowanie lub stopa procentowa i jest to wysokós� odsetek od kredytu, za ustalony
c
okres trwania tego kredytu, wyrażona jako procent pożyczonej kwoty.
Definicja 1.3 Roczna stopa procentowa R jest to stopa okr�slajaca procent kwoty kredytu, jaka trzeba
zap aci� z tytu u odsetek za jeden rok trwania tego kredytu.
c
Definicja 1.4 Okres bazowy to okres po up ywie kt rego naliczane sa odsetki.
Oznaczmy przez K kwote końcowa lokaty, a przez P kwote poczatkowa. W wczas zachodza
nastepujace wzory
a. Odsetki proste
I = P i.
b. Końcowa kwota lokaty (kredytu) przy jednokrotnym naliczeniu odsetek
K = P + I = P (1 + i).
c. Stopa procentowa w okresie bazowymi odsetki wobec rocznej stopy procentowej
t t
i = R lub i = R ,
360 365
gdzie t jest r wne dlugości okresu bazowego wyrażonego w dniach.
1.1 Kapitalizacja prosta
" Odsetki naliczane sa od kwoty poczatkowej P,
" Odsetki za n-ty okres bazowy doliczane sa na koniec tego okresu dajac kwote K.
Końcowa kwota lokaty, przy n-krotnym naliczaniu odsetek
K = P (1 + ni).
1. PROCENT PROSTY I SKLADANY 2
1.2 Kapitalizacja z ożona
" Odsetki za n-ty okres bazowy naliczane sa od kwoty za okres poprzedzajacy.
" Odsetki za n-ty okres bazowy doliczane sa na koniec tego okresu dajac kwote K.
Końcowa kwota lokaty, przy n-krotnym naliczaniu odsetek
K = P (1 + i)n.
Zadanie 1.1 Oprocentowanie lokaty wynosi 8% w skali roku. Jaki kapita musia by� na niej ulo-
c
kowany, j�sli po 5 latach wartós� lokaty wynios a 5000PLN a ponadto a) kapitalizacja jest prosta b)
c
z ożona.
Zadanie 1.2 Ile wynosi roczna stopa kredytu, j�sli dnia 1 stycznia pożyczamy 1000P LN, a dnia 1
kwietnia bedziemy musieli zwr ci� 1050P LN.
c
Zadanie 1.3 Jaka kwote należy zwr ci� za 6 miesiacy, jeżeli kwota lokaty wynosi 2000P LN, a roczna
c
stopa procentowa wynosi 9% przy kapitalizacji miesiecznej.
Zadanie 1.4 Kwote 2000P LN wp acamy na konto o oprocentowaniu 6, 6% i kapitalizacji kwartalnej.
Po roku ca a got wke przelewamy na inne konto o oprocentowaniu 7, 2% i kapitalizacji p rocznej.
Koszt tej transakcji wynosi 3, 50P LN. Jaka kwota bedziemy dysponowa� po kolejnych 2 latach?
c
Zadanie 1.5 Po ilu latach kapita oprocentowany na 10% w skali roku zostanie podwojony j�sli a)
kapitalizacja jest prosta b)kapitalizacja jest z ożona.
Jeżeli odsetki naliczane sa od poczatkowej kwoty lokaty, to nazywamy je odsetkami prostymi,
a kapitalizacje prosta. Natomiast jeżeli odsetki naliczane sa za poprzednie podokresy to odsetki
nazywamy sk adanymi, a kapitalizacje z ożona.
Zadanie 1.6 Jaka jest wartós� rocznej stopy procentowej, skoro wp acajac na konto 2000P LN po
c
trzech latach otrzymamy 3147P LN.
Zadanie 1.7 Poczatkowa kwota lokaty wynosi 1000P LN. Roczna stopa procentowa wynosi 7, 2%.
Obliczy� wartós� lokaty po up ywie roku, jeżeli bank kapitalizuje odsetki co kwarta (co miesiac).
c c
Zadanie 1.8 Kwote 1000P LN wp acamy na konto o oprocentowaniu 13, 2% i kapitalizacji miesiecznej.
Po 6 miesiacach ca a got wke przelewamy na inne konto o oprocentowaniu 12% i kapitalizacji kwartal-
nej Jaka kwota bedziemy dysponowa� po kolejnych 6 miesiacach?
c
Zadanie 1.9 Po ilu latach na lokacie na kt ra wp acil�smy 1000P LN otrzymamy 1500P LN, jeżeli
roczna stopa procentowa wynosi 12%.
Zadanie 1.10 Ile stracimy w por wnaniu z ulokowaniem pieni� w banku, inwestuj� kwot� 1000P LN
edzy ac e
i otrzymuj� po trzech latach 1250P LN Zak adamy, że roczna stopa procentowa w banku wynosi 12%
ac
i odsetki s� kapitalizowane co cztery miesi�
a ace?
Podrecznik [2]: Zadania 1-7 Rozdzial 4.
1.3 Kapitalizacja z g ry
W przypadku kapitalizacji z g ry wyznaczone beda kolejne wartość K kapitalu P. Na poczatku pier-
wszego okresu kapitalizacji do kwoty poczatkowej P, dopisane sa odsetki P d. Odsetki te traktowane
jako nowa wplata daja odsetki (P d) d = P d2. Odsetki P d2 znowu traktowane sa jako kolejna wplata
dajaca odsetki (P d) d. Proces ten powtarza sie w nieskończoność. Wobec tego po jednym okresie
bazowym mamy
1. PROCENT PROSTY I SKLADANY 3
K = P + P d + P d2 + P d3 + ...
= P 1 + d + d2 + d3 + ...
1
= P = P (1 - d)-1.
1 - d
Po n okresach bazowych otrzymamy
K = P (1 - d)-n.
Zadanie 1.11 Bank A dokonuje kapitalizacji z do u przy rocznej stopie procentowej 10%, natomiast
Bank B z g ry przy rocznej stopie 9%. W kt rym banku bardziej op aca sie ulokawa� pieniadze na
c
rok?
Zadanie 1.12 Wyznacz zależnós� pomiedzy stopa procentowa z do u i z g ry.
c
1.4 Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej
Odsetki za n-ty okres kapitalizacji doliczany jest na koniec tego okresu dajac kwote Kn.
Zal żmy, że przez pierwszych n1 okres w kapitalizacji stopa procentowa wynosi i1, podczas kole-
jnych n2 wynosi i2 itd. W wczas wartość kwoty K0 po n = n1 + n2 + ... + nr okresach bazowych
wynosi
" przy kapitalizacji prostej
K = P (1 + n1i1 + n2i2 + ... + nrir).
" przy kapitalizacji zlożonej
1 2 r
K = P (1 + i1)n (1 + i2)n ...(1 + ir)n .
Zadanie 1.13 Obliczy� przysz a wartós� dwuletniej obligacji podlegajacej kapitalizacji kwartalnej dla
c c
kt rej w ciagu pierwszego roku roczna stopa procentowa jest r wna 6%, a drugiego 5%. Wartós�c
emisyjna obligacji wynosi 100P LN.
Zadanie 1.14 Jaka jest przysz a wartós� 18-miesiecznej lokaty podlegajacej kapitalizacji miesiecznej,
c
jeżeli w ciagu pierwszych 6 miesiecy stopa procentowa wynios a 6% kolejnych 6 miesiecy 4, 8%, a
ostatnich sz�sciu 3, 6%?
1.5 Kapitalizacja ciag a
W przypadku kapitalizacji zlożonej jeżeli roczna stopa procentowa wynosi R, a odsetki sa kapitali-
R
zowane m razy w ciagu roku, to stopa procentowa za 1 okres bazowy wynosi natomiast wartość
m
lokaty podlegajacej kapitalizacji zlożonej po t latach
tm
R
K = P 1 + .
m
W przypadku granicznym mamy do czynienia z kapitalizacja ciagla. Dla kapitalizacji zlożonej
mamy
m m Rt
tm Rt
R R
R 1 1
K = lim P 1 + = lim P 1 + = P lim 1 + = P eRt.
m m
m" m" m"
m
R R
1. PROCENT PROSTY I SKLADANY 4
Zadanie 1.15 Obliczy� przysz a wartós� dwuletniej obligacji podlegajacej kapitalizacji ciag ej dla kt rej
c c
w ciagu pierwszego roku roczna stopa procentowa jest r wna 6%, a drugiego 5%. Wartós� emisyjna
c
obligacji wynosi 100P LN.
Zadanie 1.16 Jaka jest przysz a wartós� rocznej lokaty podlegajacej kapitalizacji miesiecznej, jeżeli
c
w ciagu pierwszych 6 miesiecy stopa procentowa wynosi 6% a w ciagu 6 kolejnych 5%?
Zadanie 1.17 Jaka bedzie aktualne saldo rachunku oszczednósciowego na kt rym 3 lata temu ulokowano
10000P LN jeżeli przez pierwsze 6 miesiecy roczna stopa procentowa wynosi a 6% przez nastepne 18
miesiecy 4, 5% a przez kolejny rok 4%. Rachunek podlega kapitalizacji miesiecznej?
Zadanie 1.18 Obliczy� przysz a wartós� kwoty 1000P LN,po czterech latach, jeżeli podlega ona kapi-
c c
talizacji ciag ej, a roczna stopa procentowa wynosi 3%.
1.6 Dyskonto proste i sk adane
Definicja 1.5 Proces obliczania warósci poczatkowej P kapita u na podstawie wartósci końcowej K
nazywamy dyskontowaniem. W zależnósci od rodzaju oprocentowania m wimy o dyskoncie prostym,
lub sk adanym.
a. W przypadku procentu prostego otrzymujemy
K
P = = K(1 + ni)-1.
1 + ni
b. W przypadku procentu skladanego otrzymujemy
K
P = = K(1 + i)-n.
(1 + i)n
Zadanie 1.19 Jaka jest obecna wartós� kwoty 2000P LN, kt ra otrzymamy dok adnie za rok, j�sli
c
stopa dyskontowa jest r wna 12%.
Zadanie 1.20 Co op aca nam sie bardziej? Sprzeda� dom klientowi A za 300000P LN, czy klientowi
c
B za 330000P LN, ale kwote otrzyma� dopiero po p roku, biorac pod uwage że pieniadze potrzebujemy
c
teraz, a roczna stopa kredytu wynosi 18%.
Zadanie 1.21 Na rachunku bankowym dysponuemy kwota 10000P LN, kt ra jest wynikiem ulokowa-
nia na nim 4 lata wcz�sniej kwoty 6355P LN. Jaka jest wysokós� stopy dyskontowej.
c
Zadanie 1.22 Za trzy lata skarb państwa ma wykupi� obligacje za kwot� 3000P LN. Ile maksymal-
c e
nie możemy zap aci� za te obligacje, jeżeli roczna stopa procentowa w banku wynosi 6% i odsetki s�
c a
kapitalizowane co kwarta ?
Zadanie 1.23 Na rachunku bankowym dysponuemy kwota 5000P LN, kt ra jest wynikiem z ożenia
na nim 3 lata wcz�sniej lokaty na 6% rocznie. Obliczy� jaka kwote ulokowal�smy przed trzema laty.
c
Zadanie 1.24 Kt ra forma promocji na samoch d o wartósci 50000P LN jest korzystniejsza, jeżeli
roczna stopa procentowa wynosi 12%.
a. 70% wartósci p acimy teraz, a 30% za rok
b. rabat wysokósci 2500P LN.
Zadanie domowe
Zadanie 1.25 Jaka jest obecna wartós� kwoty 1000P LN, kt ra otrzymamy dok adnie za rok, j�sli
c
stopa dyskontowa jest r wna 14%.
1. PROCENT PROSTY I SKLADANY 5
Zadanie 1.26 Na rachunku bankowym dysponuemy kwota 5000P LN, kt ra jest wynikiem ulokowania
na nim 8 lat wcz�sniej kwoty 2822P LN. Jaka jest wysokós� stopy dyskontowej.
c
Zadanie 1.27 Kt ra forma promocji na samoch d o wartósci 25000P LN jest korzystniejsza, jeżeli
roczna stopa procentowa wynosi 12%.
a. 50% wartósci p acimy teraz, a 50% za rok
b. rabat wysokósci 2000P LN.
Podrecznik [2]: Zadania 8-11 Rozdzial 4.
1.7 Nominalna i efektywna stopa procentowa
Czestotliwość kapitalizowania odsetek powoduje, że kapital zdeponowany w banku przyrasta szybciej,
niż określa to nominalna stopa procentowa. Dlatego konieczne jest wprowadzenie efektywnej stopy
procentowej
Definicja 1.6 Efektywna stopa procentowa jest to stopa procentowa uwzgledniajaca czestós� nalicza-
c
nia odsetek.
Oznaczmy przez Re efektywna stope procentowa.
a. Odsetki przez caly czas trwania lokaty sa r wne
I = P Re.
Wobec tego
Re = [(1 + i)m - 1] ,
gdzie i oznacza oprocentowanie lokaty za jeden okres bazowy, a m oznacza liczbe okres w w
ciagu roku.
b. jeżeli odsetki bazowe sa kapitalizowane nie cześciej niż rok, to
Re = (1 + i)1/m - 1 ,
gdzie m to liczba lat trwania inwestycji, a i to oprocentowanie za caly okres inwestycji.
Zadanie 1.28 Obliczy� efektywna stope procentowa dla okres w miesiecznych, kwartalnych, p rocz-
c
nych i rocznych okres w kapitalizacji, jeżeli nominalna stopa procentowa wynosi 6%.
Zadanie 1.29 Inflacja wynosi 10% rocznie. Jak� roczn� nominalna stop� procentow� powinien za-
a a e a
oferowa� bank przy kwartalnej kapitalizacji odsetek, aby jego klienci nie tracili si y nabywczej swoich
c
pieni�
edzy?
Zadanie 1.30 Kowalski dysponuje pewna kwota i chce ja ulokowa� na okres d uższy niż rok. Co
c
op aca mu sie bardziej: ulokowa� ja na rachunku oprocentowanym na 12, 5% w skali roku i kapitalizacji
c
rocznej, czy 12% i kapitalizacji miesiecznej?
Zadanie 1.31 W co op aca sie bardziej zaiwestowa� pieniadze: W obligacje skarbowe z roczna stopa
c
procentowa 13%, czy w banku z roczna stopa procentowa 12,5% i kapitalizacja miesieczna?
Zadanie domowe
Zadanie 1.32 Na lokacie bankowa zdeponowal�smy 1000P LN po dw ch latach otrzymal�smy 1200P LN.
Ile wynosi efektywna stopa procentowa
Zadanie 1.33 Jaka jest wysokós� nominalnej stopy procentowej, jeżeli wysokós� efektywnej wynosi
c c
6, 167%, a kapitalizacja jest miesieczna
Zadanie 1.34 W kt rym banku op aca sie bardziej zaiwestowa� pieniadze: W banku A z roczna stopa
c
procentowa 6% i kapitalizacja kwartalna, czy w banku B z roczna stopa procentowa 6, 2% i kapitalizacja
miesieczna?
Podrecznik [2]: Zadania 12-14 Rozdzial 4.
2. STRUMIENIE PIENIEDZY 6
1.8 Realna stopa procentowa
Definicja 1.7 Realna stopa procentowa jest to efektywna stopa procentowa odniesiona do realnego
spadku si y nabywczej pieniadza, czyli inflacji. Inaczej: Realne tempo pomnażania pieniadza w czasie.
Realna stopa procentowa wyraża sie nastepujacym wzorem
Re - Ri
Rr = .
1 + Ri
Zadanie 1.35 Oblicz realna stope procentowa rachunku o nominalnej stopie procentowej 4% w skali
roku i kapitalizacji kwartalnej, jeżeli inflacja wynosi 1, 9%.
Zadanie 1.36 Nominalna stopa procentowa pewnej lokaty wynosi 6, 6%. Bank kapitalizuje odsetki co
miesiac, natomiast roczna inflacja wynosi 2%. Oblicz realna stope procentowa.
Podrecznik [3] zadania 13, 14, 18, 19, 26, 31, 32, 34, 35, 36. str 20-23
2 Strumienie pieniedzy
Definicja 2.1 Strumieniem pieniedzy nazywamy ciag wp yw w w r żnych okresach czasowych.
Rozpatrzmy strumień pieniedzy A0, A1, ..., An.
a. Obecna wartość A0 jest r wna A0, natomiast Ai jest r wna Ai/(1 + i)i
b. Wartość obecna strumienia pieniedzy jest r wna
n
Ak
P = .
(1 + i)k
k=0
c. Wartość K strumienia pieniedzy na koniec n-tego okresu jest r wna
n
Ak(1 + i)n n
K = = Ak(1 + i)n-k.
(1 + i)k
k=0 k=0
Zadanie 2.1 D użnik musi zwr ci� 1000P LN za kwarta , 2000P LN za dwa kwarta y i 1000P LN za
c
trzy kwarta y. Jaka jest obecna wartós� a jaka na koniec trzeciego okresu. Kwartalna stopa procentowa
c
wynosi 4%.
Zadanie 2.2 W ciagu najbliższych czterech miesiecy zarobimy odpowiednio 1000P LN, 1200P LN,
1400P LN i 1000P LN. Jaka bedzie wartós� tego strumienia na koniec czwartego miesiaca oraz na
c
koniec roku, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12%, a ponadto wynagrodzenie otrzymujemy
a. z g ry;
b. z do u.
Zadanie 2.3 Kredyt wysokósci 10000P LN sp acano w ratach p rocznych. Po pierwszym p roczu
sp acono 3000P LN, po trzecim nie sp acono nic, a po czwartym sp acono 4000P LN. Jaka jest
wysokós� drugiej raty? Roczna stopa procentowa wynosi 10%.
c
Zadanie 2.4 Na lokate wp acono 1000P LN pod koniec pierwszego miesiaca, 2000P LN pod koniec
drugiego i 1000P LN pod koniec czwartego. Jaka musia a by� wysokós� trzeciej raty,
c c
a. jeżeli po czterech miesiacach otrzymal�smy 5080, 50P LN, a roczna stopa procentowa wynosi 12%.
b. jeżeli po roku otrzymal�smy 5245, 29P LN, a roczna stopa procentowa wynosi 12%.
Podrecznik [2]: Zadania 18-19 Rozdzial 4.
3. KOSZT I AMORTYZACJA KREDYT W 7
2.1 Strumień r wnych p atności
Definicja 2.2 Strumień r wnych p atnósci to strumień pieniedzy, w kt rym wszystkie wyp aty sa
r wne.
a. Wartość K strumienia r wnych platności A na koniec n-tego okresu jest r wna:
(1) przy platnościach z dolu
n
1 - (1 + i)n 1 - (1 + i)n (1 + i)n - 1
Kd = A(1 + i)n-k = A = A = A ;
1 - (1 + i) -i i
k=1
(2) przy platnościach z g ry
n
1 - (1 + i)n 1 - (1 + i)n (1 + i)n - 1
Kg = A(1+i)n-k+1 = A(1+i) = A(1+i) = A(1+i) ;
1 - (1 + i) -i i
k=1
b. Wartość bieżaca strumienia r wnych platności
(1) przy platnościach z dolu
1 (1 + i)n - 1
Pd = Kd = A ; (1)
(1 + i)n i(1 + i)n
(2) przy platnościach z g ry
1 (1 + i)n - 1
Pg = Kg = A ;
(1 + i)n i(1 + i)n-1
Zadanie 2.5 Ile rzeczyw�scie kosztowa nas dom w chwili odbioru, j�sli wp acal�smy Deweloperowi
przez trzy lata comiesiecznie po 5000P LN, natomiast roczna stopa procentowa w banku wynosi a w
tym czasie 6% i kapitalizacja by a miesieczna?
Zadanie 2.6 Dealer udostepnia nam samoch d po zap aceniu kwoty 1000P LN. Nastepnie po up ywie
miesiaca musimy zacza � p aci� 24 raty wysokósci 1400 z . miesiecznie. Roczna stopa procentowa
c c
wynosi 6%. Ile rzeczyw�scie kosztuje nas samoch d w chwili oddania go do naszej dyspozycji?
Zadanie 2.7 Jakim funduszem bedziemy dysponowa� po dw ch latach, jeżeli na poczatku każdego
c
kwarta u wp aca� bedziemy na konto bankowe 3000P LN? Roczna stopa procentowa wynosi 4, 4% i
c
odsetki sa kapitalizowane co kwarta .
Zadanie 2.8 Jaka kwote należy wp aca� na poczatku każdego roku, aby po dziesieciu latach dys-
c
ponowa� kwota 20000P LN. Roczna stopa procentowa wynosi 5,5%.
c
Zadanie 2.9 Kt ra oferta jest korzystniejsza?
a. sprzedaż samochodu natychmiast za 80000P LN
b. sprzedaż samochodu, gdy kupujacy 50000P LN zap aci natychmiast, a nastepnie w trzech r wnych
ratach kwartalnych po 11000? Roczna stopa procentowa wynosi 12%.
Podrecznik [2]: Zadania 20-25 Rozdzial 4.
3 Koszt i amortyzacja kredyt w
Definicja 3.1 Rata kapita owa to cz�s� raty kredytu, kt rej sp ata pomniejsza zad użenie klienta wobec
c
banku o kwote tej raty.
3. KOSZT I AMORTYZACJA KREDYT W 8
3.1 Kredyt o sta ych ratach kapita owych
W przypadku kredytu o stalych ratach kapitalowych rate kapitalowa wyznaczamy ze wzoru
S0
R = .
n
Zadanie 3.1 Przedsiebiorca zaciagna kredyt w wysokósci 12000P LN na okres 3 lat. Nominalna
roczna stopa procentowa wynosi 20%. Do wyboru ma 3 warianty sp aty tego kredytu
a. Kredyt sp acany na koniec każdego roku (3 raty).Należne odsetki beda p atne przy każdej r wnej
racie kapita owej.
b. Kredyt sp acany w r wnych ratach kapita owych p atnych na końcu każdego p rocza, a odsetki
sa p acone na końcu każdego roku.
c. Kredyt sp acany w r wnych ratach kapita owych p atnych na końcu każdego p rocza. Należne
odsetki beda p atne przy każdej r wnej racie kapita owej i naliczane od kwoty kredytu na poczatku
roku.
Sporzadzi� plan amortyzacji oraz zbada� efektywnós� powyższych wariant w kredytu.
c c c
3.2 Kredyt o sta ych ratach acznych
W przypadku kredytu o stalych ratach lacznych rate laczna wyznaczamy ze wzoru
i(1 + i)n
A = S0 .
(1 + i)n - 1
Zadanie 3.2 (jak w 3.1) Przedsiebiorca zaciagna kredyt w wysokósci 12000P LN na okres 3 lat.
Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20%. Do wyboru ma 2 formy sp aty tego kredytu
a. Kredyt sp acany na koniec każdego roku (3 raty) w r wnych ratach acznych.
b. Kredyt sp acany na koniec każdego p rocza w r wnych ratach acznych.
Sporzadzi� plan amortyzacji oraz zbada� efektywnós� powyższych wariant w kredytu.
c c c
Zadanie 3.3 Wyznacz wysokós� raty kredytu mieszkaniowego wysokósci 300000P LN p atnego w rat-
c
ach miesiecznych zaciagnietego na 20 lat, j�sli roczna stopa procentowa tego kredytu wynosi 6%.
Zadanie 3.4 Kredyt wysokósci 6300P LN o oprocentowaniu 12, 6% p atny w sta ych ratach acznych
należy sp aci� w czterech r wnych ratach p rocznych. Ile wynosi wysokós� raty? Sporzadzi� plan
c c c
amortyzacji tego kredytu.
Zadanie 3.5 Wysokós� kredytu p atnego w 4 sta ych rocznych ratach acznych r wnych 2256, 09P LN
c
wynosi 8000P LN. Wyznacz roczna stope procentowa.
Zadanie 3.6 Co op aca sie bardziej: kupi� telewizor o wartósci 3999P LN na raty (10 rat po 424P LN)
c
czy wzia � na niego kredyt w banku p atny w r wnych ratach miesiecznych, na 10% rocznie.
c
Zadanie 3.7 Po jakim czasie Kowalski sp aci samoch d o wartósci 50000P LN, j�sli miesiecznie jest
w stanie p aci� 1000P LN, a roczna stopa procentowa wynosi 4, 4%
c
Zadanie 3.8 Kowalski zamierza kupi� mieszkanie za rok. Obecnie dysponuje kwota 100000P LN.
c
Cena mieszkania wynosi 250000P LN. Co op aca mu sie bardziej
" ulokowa� pieniadze na rok przy stopie procentowej r wnej 6% i kapitalizacji miesiecznej, a potem
c
wziac kredyt na 8% rocznie.
" ulokowa� pieniadze w kasie mieszkaniowej na 4% rocznie a potem wzia � w niej kredyt 5, 4%
c c
rocznie.
3. KOSZT I AMORTYZACJA KREDYT W 9
Na splate kretytu jest w stanie przeznaczyć miesiecznie 1500P LN.
Zadanie 3.9 Na samoch d o wartósci 50000P LN obowiazuja 2 alternatywne promocje
" rabat 3000P LN
" kredyt 0% p atny w 12 ratach miesiecznych.
Biorac pod uwage, że nie dysponujemy got wka określić wyb r kt rej promocji jest bardziej opla-
calny, jeśli stopa kredytu wynosi 9, 6%.
3.3 Konwersja kredytu
Definicja 3.2 Konwersja kredytu nazywamy zmiane warunk w sp aty kredytu. Konwersja może by�c
przeprowadzona zar wno na wniosek kredytodawcy jak i kredytobiorcy. J�sli konwersja dotyczy stopy
procentowej w wczas zmiana tej stopy wia że sie z op ata karna.
Zadanie 3.10 (Jak w 3.1b) Przedsiebiorca zaciagna kredyt w wysokósci 12000P LN na okres 3 lat.
Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20%. Kredyt jest sp acany w r wnych ratach kapita owych
p atnych na końcu każdego p rocza, a odsetki sa p acone na końcu każdego roku. Po sp aceniu dw ch
pierwszych rat kredytobiorca zwr ci sie z prósba o obniżenie stopy procentowej do 18%. Kredytodawca
wyrazi zgode na zmiane stopy procentowej przy czym zażada op aty karnej 400P LN. Op ata ta ma
by� doliczona do salda kredytu na poczatku drugiego roku i sp acona w ostatniej racie. Sporzadzi� plan
c c
amortyzacji i oceni� op acalnós� konwersji.
c c
W przypadku kredyt w platnych w r wnych ratach lacznych, konwersja jest oplacalna jeśli spel-
niony jest warunek.
i(1 + i)m
(Si + x) < A,
(1 + i)m - 1
gdzie A oznacza wysokość raty przed konwersja, a Si saldo kredytu przed konwersja, natomiast i stope
procentowa za jeden okres bazowy po konwersji, x oznacza wysokość prowizji.
Zadanie 3.11 (Jak w 3.2b) Przedsiebiorca zaciagna kredyt w wysokósci 12000P LN na okres 3 lat.
Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20%. Kredyt jest sp acany na koniec każdego p rocza w
r wnych ratach acznych. Po sp acie 3 pierwszych rat kredytobiorca zwr ci sie z prósba o obniżenie
stopy procentowej do 16%. Kredytodawca wyrazi zgode na obniżenie stopy procentowej przy czym jako
op aty karnej zarzada 400P LN. U oży� plan amortyzacji kredytu z konwersja. Oceni� op acalnós�c
c c
oraz wyznaczy� op ate karna, przy kt rej konwersja jest op acalna.
c
3.4 Karencja kredytu
Karencja w splacie kredytu pozwala na odroczenie splacania kapitalu kredytu, należy w tym czasie
splacać tylko cześć odsetkowa raty kredytowej.
Zadanie 3.12 (Jak w 3.2a) Przedsiebiorca zaciagna kredyt w wysokósci 12000P LN na okres 3 lat.
Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20% a kredyt sp acany na koniec każdego roku w r wnych
ratach acznych. Dodatkowo podlega on 2 letniej karencji. Sporzadzi� plan amortyzacji tego kredytu.
c
Podrecznik [3] zadania 6, 7, 9, 11, 17, 21, 22. str 48-50.
3.5 Prowizja
Prowizje nalicza sie od rat kapitalowych i dodaje do kwoty kredytu.
Zadanie 3.13 (Jak w 3.2a) Przedsiebiorca zaciagna kredyt w wysokósci 12000P LN na okres 3 lat.
Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20%. Kredyt sp acany jest na koniec każdego roku w
r wnych ratach acznych. Kredyt jest objety prowizja r wna 2%. Sporzadzi� plan amortyzacji tego
c
kredytu.
4. LEASING 10
3.6 Konsolidacja kredytu
Definicja 3.3 Konsolidacja kredytu jest to po aczenie kredyt w poprzez wyznaczenie acznej wartósci
zad użenia u tego samego kredytodawcy w momencie dokonania konsolidacji i sp acenie nowego kredytu
na nowych wynegocjowanych warunkach.
Zadanie 3.14 Pewna firma sp aca dwa kredyty zaciagniete w tym samym banku. W rozważanym
momencie firma mia a do sp acenia 7 p rocznych rat po 1000PLN przy rocznej stopie procentowej
18% i 15 rat miesiecznych o wysokósci 1500P LN przy rocznej stopie procentowej 15%.Wyznaczy� 10
c
nowych p atnósci kwartalnych przy rocznej stopie procentowej 16%.
Zadanie 3.15 Pewna firma sp aca dwa kredyty zaciagniete w tym samym banku. W rozważanym
momencie firma mia a do sp acenia 12 miesiecznych rat 500PLN przy rocznej stopie procentowej 12%
i 6 rat kwartalnych o wysokósci 1500P LN przy rocznej stopie procentowej 11%.Wyznaczy� 10 nowych
c
p atnósci kwartalnych przy rocznej stopie procentowej 11, 6%.
Podrecznik [3] zadania 6, 7, 9, 11, 17, 21, 22. str 48-50.
4 Leasing
Definicja 4.1 Leasing jest umowa, w kt rej jedna strona - leasingodawca przekazuje drugiej stronie
- leasingobiorcy prawo do użytkowania okr�slonego dobra na uzgodniony okres, w zamian za okr�slone
p atnósci.
W przypadku leasingu o stalych ratach lacznych rate laczna wyznaczamy ze wzoru
Wk i(1 + i)n-1
A = W - ,
(1 + i)n (1 + i)n - 1
gdzie W jest wartościa poczatkowa przedmiotu leasingu, a Wk jest wartościa końcowa przedmiotu
leasingu.
Ze wzgledu na charakter zobowiazań wyr żniamy dwa rodzaje leasingu:
a. leasing operacyjny - zaklada, że przedmiot leasingu bedzie używany przez wielu użytkownik w,
czyli czas na kt ry zawarta jest umowa leasingu jest istotnie kr tszy od czasu normatywnego
zużycia przedmiotu leasingu. Leasingobiorca ponosi także koszty utrzymania i konserwacji
przedmiotu leasingu, kt re stanowia cześć oplat leasingowych
b. leasing finansowy - czas trwania umowy jest zbliżony do czasu normatywnego zużycia przed-
miotu leasingu. Leasingobiorca ma jednocześnie zagwarantowane prawo do zakupu przedmiotu
leasingu w momencie wygaśniecia umowy.
Zadanie 4.1 Wartós� przedmiotu leasingu wynosi 20000P LN. Umowa zosta a zawarta na okres
c
1 roku a roczna stopa procentowa wynios a 12%. Obliczy� wysokós� p atnej kwartalnie r wnej raty
c c
leasingowej oraz dokona� rozliczenia umowy leasingowej j�sli
c
a. Wartós� końcowa przedmiotu wynosi 4000P LN.
c
b. Nie ma opcji zakupu.
Zadanie 4.2 Wartós� przedmiotu leasingu wynosi 35000P LN. Umowa zosta a zawarta na okres
c
4 lat. Dokona� rozliczenia umowy leasingowej, jeżeli wartós� końcowa przedmiotu leasingu wynosi
c c
5000P LN. Umowa leasingowa przewiduje, że przedmiot leasingu bedzie sp acany w r wnych rocznych
ratach acznych. Roczna stopa procentowa wynosi 10%.
Zadanie 4.3 Wartós� komputera przenósnego wynosi 4000P LN. Umowa zosta a zawarta na okres
c
2 lat. Obliczy� wysokós� p atnej na końcu każdego p rocza r wnej raty kapita owej oraz dokona�c
c c
rozliczenia umowy leasingowej (bez opcji zakupu), jeżeli roczna stopa procentowa w pierwszym roku
wynios a 10%, a w drugim 12%.
Podrecznik [3] zadania 1-5 str. 59.
5. RENTY 11
5 Renty
Definicja 5.1 Renta to ciag p atnósci dokonywanych w pewnym ustalonym okresie z ustalona czes-
totliwóscia. P atnósci te pochodza z wcz�sniej zgromadzonego kapita u rentowego.
Kapital rentowy może być wplacany
a. jednorazowo
b. w formie skladek przez wiele lat.
Kapital to zakualizowana wartość netto wszystkich platności
Renty dzielimy na
a. pewne - wyplacane przez uzgodniony okres czasu niezależnie od tego czy rentobiorca żyje, czy
nie
b. życiowe - platne nie dlużej niż do chwili zgonu
5.1 Renty pewne
Wyr żniamy renty pewne terminowe i wieczyste
Renta pewna terminowa
1 1 i
Wprowadz
my oznaczenia � = i d = 1 - � = 1 - = . Wartość obecna renty terminowej
1+i 1+i 1+i
pewnej:
" renta platna z g ry (kapitalowa)
.. 1 - �n 1 - �n
Ź
an = 1 + � + �2 + ... + �n-1 = = ,
1 - � d
" renta platna z dolu (zwykla)
1 - �n 1 1 - �n 1 1 - �n 1 - �n
Ź
an = � + �2 + ... + �n = � = = = .
i
1 - � 1 + i d 1 + i i
1+i
Uwaga 5.1 Wz r na rente terminowa z g ry może zosta� wykorzystany do wyznaczenia wartósci
c
poczatkowej leasingu, a z do u kredytu.
Renta pewna wieczysta
Wartość obecna renty wieczystej pewnej:
" renta platna z g ry (kapitalowa)
.. 1 1
Ź
a" = 1 + � + �2 + �3 + ... = = A ,
1 - � d
" renta platna z dolu (zwykla)
1 1 1 1 1 1
Ź
a" = � + �2 + �3 + ... = � = = = .
i
1 - � 1 + i d 1 + i i
1+i
Uwaga 5.2 Zachodza nastepujace wzory
..
Ź Ź
an = an(1 + i),
..
Ź Ź
a" = a"(1 + i).
5. RENTY 12
Ponadto
..
Ź Ź
a" = a" + 1.
Zadanie 5.1 Wyznacz wartós� aktualna renty wieczystej w wysokósci 15000P LN p atnej na koniec
c
każdego roku, j�sli roczna stopa procentowa r wna jest 8%
Zadanie 5.2 Jaka można otrzyma� rente kapita owa wp acajac 15 lat wcz�sniej kwote 150000P LN
c
na 6% rocznie.
Zadanie 5.3 Pracownik przez 20 lat odk ada na fundusz emerytalny kwote 6000P LN na koniec
każdego roku przy stopie R = 6%.
a. wyznacz wartós� od ożonego funduszu
c
b. Wyznacz maksymalna rente wieczysta, jaka można otrzyma� z tego funduszu
c
Zadanie 5.4 Jakich wp at musia dokonywa� pracownik przez 20 lat z do u, aby otrzymywa� rente
c c
zwyk a przez 10 lat w wysokósci 20000PLN rocznie.
Zadanie 5.5 Przez ile lat można pobiera� rente sta a z do u w wysokósci 20000P LN oddajac kapita
c
150000P LN na 6%.
Zadanie 5.6 Przez ile lat można pobiera� rente w wysokósci 16000P LN rocznie z do u, jeżeli wk ady
c
oszczednósciowe przez 25 lat wynios y 6000P LN rocznie z g ry, a R = 15%.
Zadanie 5.7 Przez ile lat można pobiera� rente w wysokósci 20000P LN rocznie zamiast renty 14000P LN
c
rocznie przez 20 lat. Roczna stopa procentowa wynosi 6%.
5.2 Tablice trwania życia
Przyjete oznaczenia:
l0- wielkość populacji żyjacych w wieku 0.
lx- liczba os b, kt re dożyly wieku x.
dx = lx - lx+1- liczba os b populacji zmarlych w przedziale x, x + 1
lx+n
px+n = - prawdopodobieństwo, że osoba majaca dzisiaj x lat przeżyje przynajmniej x + n.
lx
lx+n lx+n+1 dx+n
qx+n = - = - prawdopodobieństwo, że osoba majaca dzisiaj x lat przeżyje
lx lx lx
dokladnie x + n.
qx+n- prawdopodobieństwo śmierci w najbliższym roku
px+n- prawdopodobieństwo przeżycia najbliższego roku
Zadanie 5.8 Oblicz prawdopodobieństwo, że 20 letni meżczyzna przeżyje jeszcze przynajmniej
a. 20lat
b. 30lat
c. 50lat
Zadanie 5.9 Oblicz prawdopodobieństwo, że 70 letnia kobieta przeżyje dok adnie
a. 5lat
b. 10lat
5. RENTY 13
5.3 Symbole komutacyjne
Wyr żniamy nastepujace symbole komutacyjne
Dx = �xlx- zdyskontowana liczba os b żyjacych, kt re osiagnely x lat
" "
Nx = Dx+k = �xlx = Dx + Dx+1 + Dx+2 + Dx+3 + ... = lx�x + lx+1�x+1 + lx+2�x+2 +
k=0 k=0
lx+3�x+3 + ...
Cx = �x+1dx- zdyskontowana liczba os b zmarlych w wieku x lat
" "
Mx = Cx+k = �x+1dx = Cx+Cx+1+Cx+2 = dx�x+1+dx+1�x+2+dx+2�x+3+dx+4�x+4+...
k=0 k=0
5.4 Renty życiowe
Renta życiowa wieczysta
" renta platna z g ry (kapitalowa)
lx+1 lx+2 lx+3
.. lx lx lx
lx
Ź
ax = + + + + ...
lx 1 + i (1 + i)2 (1 + i)3
lx+1 lx+2 lx+3
lx lx lx
lx
= + + + + ...
lx 1 + i (1 + i)2 (1 + i)3
1 lx+1 lx+2 lx+3
= lx + + + + ...
lx 1 + i (1 + i)2 (1 + i)3
1
= lx�x + lx+1�x+1 + lx+2�x+2 + lx+3�x+3 + ...
lx�x
Nx
=
Dx
" renta platna z dolu (zwykla)
lx+1 lx+2 lx+3 lx+4
lx lx lx lx
Ź
ax = + + + + ...
(1 + i) (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4
lx+1 lx+2 lx+3 lx+4
lx lx lx lx
= + + + + ...
1 + i (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4
1 lx+1 lx+2 lx+3 lx+4
= + + + + ...
lx 1 + i (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4
1
= lx+1�x+1 + lx+2�x+2 + lx+3�x+3 + lx+4�x+4 + ...
lx�x
Nx+1
=
Dx
" renta odroczona o m lat platna z g ry
.. Nx+m
aŹ = A
m|
x
Dx
" renta odroczona o m lat platna z dolu
Nx+m+1
Ź
ax = A
m|
Dx
Renta życiowa terminowa (n-letnia)
6. UBEZPIECZENIA ŻYCIOWE 14
" renta platna z g ry
.. Nx - Nx+n
Ź
ax:n = .
Dx
" renta platna z dolu
Nx+1 - Nx+n+1
Ź
ax:n = .
Dx
" renta odroczona o m lat platna z g ry
.. Nx+m - Nx+n+m
Ź
ax:n = .
m|
Dx
" renta odroczona o m lat platna z dolu
Nx+m+1 - Nx+n+m+1
Ź
ax:n = .
m|
Dx
Zadanie 5.10 Wyznacz wartós� aktualna renty a) wieczystej b) 30 letniej wysokósci 18000P LN jaka
c
otrzyma 50 letni meżczyzna.
Zadanie 5.11 Wyznacz rente jaka otrzyma 60-latek, j�sli na funduszu zebra 100000P LN zak adajac,
że renta bedzie p atna z g ry i
a. bedzie ja otrzymywa dożywotnio,
b. bedzie ja otrzymywa do 80 roku życia.
Zadanie 5.12 40-latek zebra na funduszu 150000P LN. Wyznacz rente jaka bedzie on otrzymywa
poczawszy od 60 roku życia, zak adajac, że renta jest p atna na poczatku każdego roku i
a. bedzie ja otrzymywa dożywotnio,
b. bedzie ja otrzymywa do 80 roku życia.
Zadanie 5.13 Jaka wieczysta rente otrzyma osoba 60 letnia, j�sli na funduszu uzbiera a 200000P LN
j�sli
a. jest kobieta,
b. jest meżczyzna.
6 Ubezpieczenia życiowe
Rodzaje ubezpieczeń życiowych:
a. ubezpieczenie na życie (na wypadek śmierci), ubezpieczyciel wyplaca świadczenie w roku śmierci
ubezpieczonego
b. ubezpieczenie na dożycie, ubezpieczyciel wyplaca świadczenie w przypadku dożycia przez ube-
pieczonego wieku określonego w umowie ubezpieczeniowej
c. ubezpieczenie mieszane, wyplata świadczenia nastepuje gdy ubezpieczony dożyje określonego
wieku, lub gdy jego śmierć nastapi przed tym terminem
d. ubezpieczenie renty, kt re może być dożywotnie lub czasowe
6. UBEZPIECZENIA ŻYCIOWE 15
Skladka brutto jest suma nastepujacych kwot:
a. skladka netto - zaspokaja roszczenia ubezpieczonego
b. koszty obslug ubezpieczenia
c. fundusz rezerwowy
d. fundusz na realizacje ubocznych cel w dzialalności ubepieczeniowej
Wartość skladki brutto czesto ustala sie poprzez pomnożenie skladki netto przez 1,2
6.1 Jednorazowa sk adka netto
Jednorazowa skladka netto przy jednostkowej sumie ubezpieczenia 1PLN platna na koniec roku śmierci.
Wieczyste ubezpieczenie na życie
" Jednorazowa skladka netto
Mx
Ax = .
Dx
" Roczna skladka netto
Ax
Px = .
�Ź
x
n-letnie ubezpieczenie na życie
" Jednorazowa skladka netto
Mx - Mx+n
A1 = .
Ź
x:n
Dx
" Roczna skladka netto
A1
Ź
1 x:n
Px:n = .
Ź
Ź
�x:n
n-letnie ubezpieczenie na dożycie
" Jednorazowa skladka netto
Dx+n
Ax:n 1 = .
Ź
Dx
" Roczna skladka netto
Ax:n 1
Ź
Px:n 1 = .
Ź
Ź
�x:n
n-letnie ubezpieczenie na życie i dożycie
" Jednorazowa skladka netto
Mx - Mx+n + Dx+n
Ź
Ax:n = A1 + Ax:n 1 = .
Ź Ź
x:n
Dx
" Roczna skladka netto
Ź
Ax:n
1
Ź Ź
Px:n = lub Px:n = Px:n + Px:n 1.
Ź Ź
Ź
�x:n
1
Zadanie 6.1 Obliczy� jednorazowa sk adke netto za ubezpieczenie mieszane wystawione dla 40-latka
c
na okres 10 lat ze �swiadczeniem p atnym w wysokósci 1000PLN
Zadanie 6.2 Obliczy� jednorazowa sk adke netto za ubezpieczenie mieszane wystawione dla 40-latka
c
zna okres 10 lat ze �swiadczeniem p atnym w wysokósci 1000PLN
Zadanie 6.3 Obliczy� jednorazowa sk adke netto za ubezpieczenie terminowe na życie na okres 10 lat
c
wystawione 40-latkowi ze �swiadczeniem 4000PLN
Zadanie 6.4 40-latka jest zainteresowana kupnem ubezpieczenia na dożycie na okres 10 lat z suma
ubezpieczenia 4000P LN. Ile wynosi jednorazowa sk adka netto i roczna sk adka netto dla tego ubez-
pieczenia.
7. WYCENA PAPIER W WARTOŚCIOWYCH 16
7 Wycena papier w wartościowych
7.1 Weksle
Definicja 7.1 Wekslem nazywamy papier wartósciowy o � okr�slonej przez prawo formie, w
sc�sle
kt rym wystawca albo sam przyrzeka zap ate okr�slonej kwoty pienieżnej (weksel w asny), albo też
poleca zap ate osobie trzeciej (weksel trasowany).
" Weksel wlasny zobowiazuje wystawce (lub wystawc w) do zaplacenia określonej sumy pieniedzy.
" Weksel trasowany zobowiazuje inna osobe zwana transatem wskazana przez wystawce zwanego
transantem do zaplacenia określonej kwoty pieniedzy.
trasant trasat remitent
(wystawca weksla (dlużnik, kt ry staje sie akceptantem, (pożyczkodawca, osoba kt ra
wskazujacy dlużnika) po wyrażeniu zgody na placenie) inkasuje kwote od dlużnika)
Funkcje weksla:
" platnicza - gdy jest wreczony przy zakupie towar w, lub uslug.
" kredytowa - w transakcjach kupna-sprzedaży, nabywca otrzymuje kr tkoterminowy kredyt.
" obiegowa - zwiazana z możliwościa nieograniczonego przenoszenia praw wekslowych z jednej
osoby na druga za pomoca indosu (żyra). Indos ma forme pisemnego oświadczenia umieszczonego
na odwrotnej stronie weksla (grzbiecie) lub na zlaczonej z nim karcie dodatkowej (przedlużku).
Weksel zaopatrzony w indos może być wreczany jako zaplata w wielu transakcjach handlowych.
" gwarancyjna - polega na zabezpieczeniu zaplaty weksla przez wszystkie osoby na nim podpisane.
" refinansowa - istnieje możliwość zlożenia weksla w banku do dyskonta, czyli wykupienia go
przez bank przed terminem platności.
Kredyt dyskontowy
Z reguly wewnetrzne regulaminy bank w stanowia, że bank dyskontuje weksle gdy termin ich
zaplaty uplywa nie wcześniej, niż po 15 dniach od daty zlożenia i nie p z
niej niż 3 miesiace. Skupione
przez banki weksle moga być zlożone do redyskonta w banku centralnym NBP. Bank komercyjny
wystepuje w roli sprzedajacego. Transakcja redyskonta przebiega tak jak dyskonta.
Aktualna wartość weksla wyraża sie wzorem
Wa = Wn - DH lub Wa = Wn - Dm,
gdzie
Wn oznacza wartość nominalna weksla,
DH jest dyskontem handlowym i wyraża sie wzorem
t
DH = Wnd ,
365
Dm jest dyskontem matematycznym i wyraża sie wzorem
t
Dm = Wad ,
365
d jest ustalona przez bank roczna stopa dyskontowa,
t jest czasem pozostalym do terminu jego platności wyrażonym w dniach.
Zadanie 7.1 W dniu 22 wrz�snia przed ożono do dyskonta weksel o nominalnej wartósci 15000P LN.
Obowiazujaca w tym dniu stopa dyskontowa wynios a 20% w skali roku, a termin p atnósci weksla
up ywa 4 grudnia tego roku. Obliczy� dyskonto matematyczne i handlowe oraz odpowiadajace im
c
wartósci aktualne.
7. WYCENA PAPIER W WARTOŚCIOWYCH 17
Zadanie 7.2 W pewnym banku komercyjnym na 30 dni przed wykupem z ożono do dyskonta weksel
o wartósci 10000P LN przy rocznej stopie dyskontowej 13%. Po pietnastu dniach bank komercyjny
z oży weksel do redyskonta w NBP przy rocznej stopie procentowej 11%. Ile zarobi na tych operacjach
bank komercyjny?
Wartość nominalna weksla odnowionego wyraża se wzorem
t
1 - d
365
Wn = Wn,
t
1 - d 365
gdzie t oznacza liczbe dni do odnowionego terminu platności, a d stope dyskontowa odnowionego
weksla.
Zadanie 7.3 D użnik powinien sp aci� weksel o wartósci nominalnej 5000P LN w dniu 30 marca. W
c
dniu 1 marca zwr ci sie do banku o odroczenie p atnósci do 30 kwietnia. Jaka jest nowa wartós�c
nominalna weksla, jeżeli stopa dyskontowa wynosi 15%?
Zadanie 7.4 Hazardzista ma do sp acenia 3 weksle:
a. weksel o nominalnej wartósci 10000P LN p atny za 35 dni i rocznej stopie dyskontowej 10%,
b. weksel o nominalnej wartósci 25000P LN p atny za 20 dni i rocznej stopie dyskontowej 14%,
c. weksel o nominalnej wartósci 5000P LN p atny za 40 dni. i rocznej stopie dyskontowej 12%
d. Okr�sli� wartós� nominalna weksla r wnoważnego tym trzem wekslom przy rocznej stopie dyskon-
c c
towaj d = 12%.
Termin p atnósci weksla r wnoważnego wynosi 35 dni.
Przy dyskontowaniu weksli banki opr cz dyskonta pobieraja dodatkowe oplaty
" oplate ryczaltowa R (wyrażona kwotowo)
" oplate proporcjonalna p stanowiaca określony procent obliczany od wartości nominalnej weksla
skorygowana dlugościa okresu poprzedzajacego splate weksla.
Rzeczywisty koszt zlozenia weksla do dyskonta wynosi zatem
t
Kr = DH + R + Wnp .
365
Zadanie 7.5 Dwa banki oferuja nastepujace warunki dyskontowania weksli. Pierwszy bank: d = 18%,
p = 0.9%, R = 25P LN. Drugi bank d = 20%, p = 0.5%, R = 20P LN. W kt rym banku najkorzystniej
zdyskontowa� weksel o wartósci nominalnej 8000PLN p atny za 30 dni?
c
Podrecznik zadania 1-9 str 139.
7.2 Bony skarbowe
Definicja 7.2 Bony skarbowe sa to papiery wartósciowe potwierdzajace ich posiadaczom zobowiazania
skarbu państwa z tytu u zaciagnietej pożyczki.
Bony skarbowe emitowane sa przez Ministerstwo Finans w i sa dokumentami na okaziciela. Ze
wzgled w bezpieczeństwa podlegaja rejestracji w Centralnym Rejestrze Bon w Skarbowych. Moga
być przedmiotami obrotu krajowymi osobami fizycznymi i prawnymi sp lkami krajowymi nie posi-
adajacymi osobowości prawnej oraz zagranicznymi osobami prawnymi i fizycznymi. Obrotem bon w
skarbowych zajmuje sie bank centralny. Istnieje rynek pierwotny i wt rny bon w skarbowych.
Wynagrodzeniem nabywc w bon w skarbowych jest r żnica miedzy wartościa nominalna bonu a
cena jego zakupu - dyskonto, kt re wyraża sie wzorem
7. WYCENA PAPIER W WARTOŚCIOWYCH 18
D = Wn - Cz,
gdzie Cz jest cena zakupu.
Dyskonto wyraża sie wzorem
t
D = Wnd ,
365
Wobec powyższego roczna stope dyskontowa d wyrażona w skali roku można zapisać wzorem
D 365
d = ,
Wn t
gdzie t jest liczba dni od momentu zakupu bonu do dnia jego wykupu przez emitenta.
Cena zakupu bonu skarbowego w zależności od dnia jego wykupu przez emitenta
t
Cz = Wn 1 - d ,
365
Jeżeli przyjmiemy, że Wn = 100
Rentowność wyraża sie wzorem
D 365
R =
Cz t
Cena zakupu bonu skarbowego w oparciu o znana rentowność:
Wn
Cz = .
t
1 + R
365
Jeżeli znana jest stopa dyskontowa, to można skorzystać ze wzoru wzoru na rentowność
d
R = Wn .
Cz
Zadanie 7.6 Bank zamierza zainwestowa� w 26-tygodniowe bony skarbowe o wartósci nominalnej
c
100000P LN. Jaka bedzie cena zakupu tych bon w i ile wyniesie rentownós� j�sli roczna stopa dyskon-
c,
towa wynios a 17%?
Zadanie 7.7 Inwestor ma do wyboru kupno bonu skarbowego 13-tygodniowego przy stopie dyskontowej
15%, 26-tygodniowego przy stopie dyskontowej 13%. Kt ra inwestycja jest dla niego korzystniejsza?
Zadanie 7.8 Inwestor naby na przetargu 39-tygodniowy bon skarbowy o nominale 10000P LN za
9750P LN i odsprzeda go po 11 dniach przy rynkowej stopie 7% Przy jakiej stopie dyskontowej
inwestor naby bon i za jaka cene go odsprzeda .
Zadanie 7.9 Ile wynosi � stopa dyskontowa i � rentownós� przyjetych ofert kupna 13-
srednia srednia c
tygodniowych bon w skarbowych o wartósci 10000PLN, j�sli ceny zakupu wynios y 9750P LN, 9785P LN,
9770P LN.
Zadanie 7.10 Jaka jest rentownós� 36 tygodniowego bonu o wartósci 5000P LN, jeżeli stopa dyskon-
c
towa tych bon w wyniesie 10%.
Zadanie 7.11 Co op aca sie bardziej: ulokowa� pieniadze w banku na rok przy rocznej stopie pro-
c
centowej 6% i kapitalizacji miesiecznej, czy kupi� 52-tygodniawe bony skarbowe o stopie dyskontowej
c
5, 5%
7. WYCENA PAPIER W WARTOŚCIOWYCH 19
7.3 Certyfikaty depozytowe
Certyfikaty depozytowe to rodzaj depozytu na okaziciela. Daje to możliwość obrotu nim na rynku
wt rnym. Moga być emitowane jedynie przez najlepsze banki, co gwarantuje wysoki poziom bez-
pieczeństwa. Z tego powodu ich rentowność jest niższa od lokat terminowych.
Istnieja dwa rodzaje certyfikat w
" certyfikaty ze stalym kuponem - emitowane na okres 30 dni.
" certyfikaty indeksowane - emitowane na okres 90 dni - stopa procentowa stala określona na
podstawie stawek dla walut obcych (LIBOR): dolara amerykańskiego, euro, frankaszwajcarskiego
oraz funta brytyjskiego.
Cechy stale certyfikatu
" emitent - bank, kt ry przyjal depozyt i zaświadczenie, że splaci go wraz z odsetkami w ustalonym
terminie.
" wartość nominalna - kapital zdeponowany u emitenta,
" okres trwania - data rozpoczecia i zapadalności (wykupu)
" nominalna stopa procentowa nazywana także kuponem.
Wartość certyfikatu w dniu wykupu (zapadalności):
t
Wc = Wn 1 + i ,
365
gdzie r jest roczna stopa procentowa, natomiast odsetki sa r wne
t
I = Wni .
365
Rentowność certyfikatu dana jest wzorem
Wc - Wn 365
R = .
Wn t
Zadanie 7.12 Inwestor naby w dniu emisji 90-dniowy certyfikat depozytowy o wartósci nominalnej
10000P LN. Jego nominalna stopa procentowa wynosi 10%. Jaka kwote otrzyma inwestor w dniu
wykupu? Wyznacz rentownós� certyfikatu
c
Zadanie 7.13 Certyfikat depozytowy o wartósci 10000P LN zosta sprzedany za 10150P LN po 40
dniach. Oblicz rentownós� tej inwestycji.
c
Certyfikat można kupić na rynku wt rnym. W wczas jego wartość w dniu zakupu jest r wna
t
1 + i
C = Wn 365 ,
t
1 + R
365
gdzie t jest oznacza liczbe dni od dnia zakupu certyfikatu do dnia jego wykupu, natomiast R jest
ustalona stopa rentownościa certyfikatu.
Zadanie 7.14 Inwestor naby na rynku pierwotnym 90 dniowy certyfikat depozytowy z kuponem 6%
za 100000PLN. Po miesiacu sprzeda go na rynku wt rnym z kuponem 4%. Oblicz wartós� certyfikatu
c
w dniu sprzedaży oraz uzyskana przez inwestora rentowanós�c.
8. METODY OCENY OPLACALNOŚCI INWESTYCJI 20
8 Metody oceny op acalności inwestycji
8.1 Metody statyczne
Metody statyczne oceny oplacalności inwestycji zwane r wnież metodami niedyskontowymi nie uwzgled-
niaja czasowej wartości pieniadza. Dlatego też metody te zalecane sa we wstepnych fazach oceny
projekt w inwestycyjnych. Umożliwiaja one dyskwalifikacje zamierzeń inwestycyjnych przed bardziej
szczeg lowymi analizami.
a. Okres zwrotu nak ad w inwestycyjnych
Okres zwrotu naklad w inwestycyjnych jest czasem niezbednym do tego, aby naklady ponie-
sione na inwestycje zostaly calkowicie zr wnane z nadwyżkami finansowymi osiagnietymi dzieki
realizacji danego projektu.
W sytuacji gdy dochody osiagniete z realizacji danego projektu w kolejnych latach sa r wne
w wczas okres zwrotu naklad w inwestycyjnych dany jest wzorem
I
T =
CF
gdzie I jest suma naklad w inwestycyjnych, natomiast CF jest roczna nadwyżka finansowa
bedaca rezultatem danego przedsiewziecia. W przypadku gdy nadwyżki finansowe sa r żne w
poszczeg lnych latach w wczas szukamy najmniejszego T , takiego że spelniona jest nier wność
T
CFt - I e" 0
t=1
b. Ksiegowa stopa zwrotu
Ksiegowa stopa zwrotu nazywana r wnież stopa zwrotu z inwestycji stanowi miare oplacalności
inwestycji rzeczowych. Jest ona stosunkiem przecietnego zysku netto spodziewanego w okresie
rozpatrywanego projektu do wielkości poczatkowych naklad w inwestycyjnych. Ksiegowa stope
zwrotu można zatem wyznaczyć ze wzoru
Zn
ARR = ,
I
gdzie Zn jest przecietnym zyskiem netto osiagnietym w trakcie funkcjonowania przedsiewziecia,
natomiast I jest wartościa poczatkowa naklad w inwestycyjnych
c. Analiza progu rentowności
Pod pojeciem progu rentowności rozumiemy wielkość produkcji, dla kt rej przychody ze sprzedaży
sa r wne poniesionym kosztom. Oznaczmy przez c koszt sprzedaży wyrobu, przez Ks sume
koszt w stalych produkcji, przez q liczbe sprzedanych jednostek natomiast przez kz koszt zmien-
ny. Pr g rentowności wyznacza sie z nastepujacego r wnania
cq = Ks + kzq.
Zatem ilościowy pr g rentowności można wyznaczyć ze wzoru
Ks
q0 = .
c - kz
Pr g rentownosci można wyznaczyć także wartościowo. W wczas
cKs
cq0 = .
c - kz
Podobnie jest w sytuacji produkcji wieloasortymentowej. Oznaczmy przez ci cene sprzedaży
i-tego wyrobu, przez kzi jednostkowe koszty zmienne i-tego wyrobu, przez qi wielkość produkcji
8. METODY OCENY OPLACALNOŚCI INWESTYCJI 21
i-tego wyrobu, Ks koszty stale, q globalna produkcje i wi udzial i-tego wyrobu w wielkości
globalnej produkcji. Zachodzi wz r
T T
ciqi = Ks + kzqi.
i=1 i=1
Inaczej można zapisać
T T
ciwiq = Ks + kzwiq.
i=1 i=1
Zatem
Ks
q0 = .
T
(ci - kz) wi
i=1
Innym zagadnieniem jest wyznaczenie ceny minimalnej w sytuacji z g ry określonej wielkości
sprzedaży q.
kzq + Ks
cmin = .
q
na podstawie tego samego wzoru można wyznaczyć graniczny poziom jednostkowych koszt w
zmiennych
cq - Ks
max
kz = .
q
Margines bezpieczeństwa projektu inwestycyjnego z punku widzenia jednostkowej ceny sprzedaży
wyraża sie wzorem
c - cmin
Mc = .
c
Margines bezpieczeństwa projektu inwestycyjnego z punktu widzenia jednostkowych koszt w
zmiennych dany jest wzorem
max
kz - kz
Mk = .
z
kz
Zadanie 8.1 Pewna firma zainwestowa a 10000P LN w urzadzenia produkcyjne, kt rych żywotnós�c
wynosi 5 lat. Przewiduje sie, że w każdym roku eksploatacji urzadzenie przyniesie nadwyżke 2500P LN.
Obliczy� okres zwrotu nak ad w inwestycyjnych.
c
Zadanie 8.2 Przedsiebiorstwo zamierza podja � inwestycje, kt ra wymaga poniesienia jednorazowych
c
nak ad w w wysokósci 5000P LN. Przewidywane nadwyżki inwestycyjne w kolejnych latach wynosza.od-
powiednio 1500P LN, 1700P LN, 2000P LN, 1500P LN, 1000P LN. Wyznaczy� okres zwrotu ponie-
c
sionych nak ad w.
Zadanie 8.3 Pewne przedsiebiorstwo zamierza podja � inwestycje umożliwiajaca zwiekszenie zysk w.
c
Rozpatruje 2 projekty inwestycyjne. Pierwszy wymaga poniesienia nak ad w inwestycyjnych 9000P LN,
drugi 12000P LN. Nadwyżki finansowe zwiazane z eksploatacja tych inwestycji przedstawione sa w
tabeli
t 1 2 3 4 5
A 3000 3500 3000 2500 2000
B 4000 5000 3500 3000 2000
Kt ry z projekt w należa o by przyjac do realizacji w pierwszej kolejnósci?
Zadanie 8.4 Stosujac metode ksiegowej stopy zwrotu dokona� wyboru lepszego spósr d dw ch pro-
c
jekt w inwestycyjnych. W przypadku pierwszego projektu wielkós� poczatkowych wydatk w inwest-
c
ycyjnych wynosi 8000P LN, natomiast przecietne zyski sa r wne 500P LN. W przypadku drugiego
wielkós� poczatkowych wydatk w inwestycyjnych wynosi 5000P LN natomiast przecietne zyski sa r wne
c
350P LN.
8. METODY OCENY OPLACALNOŚCI INWESTYCJI 22
Zadanie 8.5 Pewna firma produkuje artyku , kt ry sprzedaje po cenie 25P LN za sztuke. Koszty sta e
wynosza 1000P LN, natomiast zmienne 15P LN. Oblicz pr g rentownósci.
Zadanie 8.6 Obliczy� progi rentownósci produkcji trzech wyrob w A, B, C, na podstawie danych
c
zawartych w tabeli.
A B C
jednostkowa cena sprzedaży 20 25 30
jednostkowe koszty zmienne 12 17 12
udzia w sprzedaży 0, 2 0, 5 0, 3
Globalne koszty sta e wynosza 20000P LN.
Zadanie 8.7 Dokona� analizy granicznego poziomu ceny oraz wyznaczy� margines bezpieczeństwa j�sli
c c
jednostkowe koszty zmienne wynosza 40P LN, a koszty sta e 80000P LN. Popyt na wyroby szacowany
jest na 20000P LN sztuk przy cenie 50P LN.
Zadanie 8.8 Dokona� analizy granicznego poziomu jednostkowych koszt w oraz wyznaczy� margines
c c
bezpieczeństwa j�sli popyt na wyroby szacowany jest na 50000 sztuk przy cenie 30PLN. Koszty sta e
wynosza 100000P LN. Koszty zmienne szacowane sa na 20P LN
8.2 Metody dynamiczne
Metody dynamiczne oceny oplacalności inwestycji nazywane r wnież metodami dyskontowymi uwzgled-
niaja fakt zmiany wartości pieniadza w czasie. Proces dyskontowania wartości pieniadza w czasie
pozwala ocenić zamierzenia inwestycyjne poprzez sprowadzenie do por wnywalności naklad w i efek-
t w realizowanych w r żnych momentach czasowych. Fakt ten pozwala na zwieksenie prezcyzji oceny
oplacalności inwestycji.
8.2.1 Metoda wartości zaktuakizowanej netto
Aktualna wartość przeplyw w netto przyjmuje wz r
n n
CFt Nt
NP V = - .
(1 + r)t (1 + r)t
t=0 t=0
gdzie Nt oznacza naklady przewidywane na realizacje inwestycji, natomiast CFt - spodziewane wplywy
pienieżne. W sytuacji znanych przyplyw w netto NCFt (NCFt = CFt - Nt) powyższy wz r można
zapisać w postaci
n
NCFt
NP V = .
(1 + r)t
t=0
Zadanie 8.9 Firma rozważa dwa projekty inwestycyjne A i B. Przewidywane przep ywy pienieżne
netto tych projekt w w kolejnych latach ich eksploatacji przedstawiaja sie nastepujaco
t 0 1 2 3 4
projekt A -300 400 500 700 600 .
projekt B -600 800 700 600 500
Pos ugujac sie metoda zaktualizowanej wartósci netto dokona� wyboru projektu przy za ożeniu, że stopa
c
dyskontowa zosta a przyjeta na poziomie r = 10%.
Zadanie 8.10 Firma rozważa dwa projekty inwestycyjne A i B. Roczne nak ady na realizacje inwest-
ycji wynosza 200PLN dla pierwszego i 300PLN dla drugiego projektu.Spodziewane nak ady pienieżne
tych projekt w w kolejnych latach ich eksploatacji przedstawiaja sie nastepujaco
t 0 1 2 3 4
projekt A 100 400 300 200 300 .
projekt B 200 300 400 400 300
Pos ugujac sie metoda zaktualizowanej wartósci netto dokona� wyboru projektu przy za ożeniu, że stopa
c
dyskontowa zosta a przyjeta na poziomie r = 6%.
8. METODY OCENY OPLACALNOŚCI INWESTYCJI 23
Sytuacja komplikuje sie, jeśli naklady inwestycyjne nie sa zdeterminowane. W wczas konieczne
jest wyznaczenie wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego wplyw w pienieżnych, by w konsek-
wencji m c wyznaczyć wartość oczekiwana i odchylenie standardowe wartości zaktualizowanej netto.
Wartość oczekiwana wplyw w pienieżnych w roku t dana jest wzorem
n
CF = ptiCFti,
t
i=1
natomiast ich odchylenie standardowe
n
2
�CF = pti CFti - CF .
t
t
i=1
Średnia zakualizowana wartość netto może zostać wyznaczona wedlug formuly
n
CF
t
NP V = - N0,
(1 + r)t
t=0
gdzie N0 jest jednorazowym nakladem inwestycyjnym. Odchylenie standardowe wartości netto dane
jest wzorem
n
�CF 2
t
�NP V = .
(1 + r)t
t=0
Najważniejsza wielkościa slużaca do oceny inwestycji w warunkach ryzyka jest wsp lczynnik zmien-
ności
�NP V
VNP V = .
NP V
Zadanie 8.11 Wed ug czterech niezależnych ekspert w projekt inwestycyjny może przyni�s� w kole-
c
jnych latach wp ywy
rok 1 2 3
ekspert I 200 300 400
ekspert II 300 400 500
ekspert III 400 300 300
ekspert IV 200 200 400
Inwestycja wymaga jednorazowych nak ad w w wysokósci 100PLN. Zak adana stopa dyskontowa wynosi
5%. Oceni� op acalnós� inwestycji za pomoca metody zaktualizowanej wartósci netto. Wyznaczy�c
c c
wsp czynnik zmiennósci
Zadanie 8.12 Wartósci oczekiwane i odchylenia standardowe wp yw w pienieżnych dw ch projekt w
inwestycyjnych dane sa w poniższej tabeli
rok 1 2 3
projekt A NP V 300 400 300
�NP V 100 100 150
projekt B NP V 400 350 400
�NP V 200 150 200
Pierwsza inwestycja wymaga jednorazowych naklad w w wysokości 100PLN, a druga w wysokości
200PLN. Na podstawie wartości wsp lczynnika zmienności określ, kt ry projekt jest bardziej opla-
calny.
8. METODY OCENY OPLACALNOŚCI INWESTYCJI 24
8.2.2 Metoda wewnetrznej stopy zwrotu
Metode wewnetrznej stopy zwrotu stosuje sie w wczas, gdy zachodzi konieczność ustalenia wartości
stopy dyskontowej przy kt rej suma zdyskontowanych wplyw w pienieżnych jest r wna symie zdyskon-
towanych naklad w inwestycyjnych. Wobec tego wewnetrzna stopa zwrotu jest to taka wartość stopy
dyskontowej przy kt rej zaktualizowana wartość netto jest r wna 0. Mamy zatem zależność
n
NCFt
= 0.
(1 + IRR)t
t=0
Z postaci powyższego r wnania widać, że znalezienie analitycznego wzoru na IRR może być bardzo
skomplikowane. Dlatego trzeba poslużyć sie wzorem przybliżonym
P V (r2 - r1)
IRR = r1 + ,
P V + |NV |
gdzie r1 jest stopa dyskontowa dla kt rej NP V > 0, r2 jest stopa dyskontowa dla kt rej NP V < 0,
P V jest wartościa NP V dla r1, natomiast NV jest wartościa NP V dla r2.
Aby jakość przybliżenia byla dobra ważne jest aby wartości r1, r2 byly sobie bliskie. Zwykle
przyjmuje sie, że ich r żnica nie powinna przekraczać 0, 1%.
Zadanie 8.13 Obliczy� wewnetrzna stope zwrotu inwestycji wymagajacej jednorazowych nak ad w
c
w wysokósci 1000P LN i dla kt rej szacowane wp ywy pienieżne w kolejnych pieciu latach wynosza
200P LN, 300P LN, 200P LN, 400P LN, 300P LN.
Zadanie 8.14 Obliczy� wewnetrzna stope zwrotu inwestycji wymagajacej jednorazowych nak ad w
c
w wysokósci 2000P LN i dla kt rej szacowane wp ywy pienieżne w kolejnych pieciu latach wynosza
300P LN, 400P LN, 500P LN, 600P LN, 300P LN.
8.2.3 Metoda zmodyfikowanej wewnetrznej stopy zwrotu
Metoda ta uwzglednia możliwość reinwestowania wplyw w pienieżnych. Zal z
my że wplywy pienieżne
podlegaja reinwestowaniu wedlug stopy procentowej r. Wobec tego zmodyfikowana wewnetrzna stopa
zwrotu to taka stopa, kt ra spelnia r wność
n
Nt n CFt(1 + r)n-t
= .
(1 + r)t (1 + MIRR)n
t=0 t=0
Z powyższej zajeżności można wyznaczyć
1
n n
CFt(1 + r)n-t
t=0
MIRR = - 1.
1
n n
Nt
(1+r)t
t=0
Uwaga 8.1 Godne uwagi sa jedynie te projekty, dla kt rych MIRR > r.
Zadanie 8.15 Oceń czy projekt inwestycjny należy przyja � do realizacji, j�sli na poczatku wymaga on
c
poniesienia nak ad w inwestycyjnych r wnych 1000PLN, a w pieciu kolejnych latach przyniesie wp ywy
r wne odpowienio 200P LN, 300P LN, 500P LN, 400P LN, 300P LN. Wp ywy sa reinwestowane ze
stopa procentowa 10%.
Zadanie 8.16 Kt ry projekt inwestycyjny należa oby przyja � do realizacji w pierwszej kolejnósci opier-
c
ajac sie na zmodyfikowanej stopie zwrotu, j�sli stopa procentowa wynosi 10%. Wp ywy i nak ady
LITERATURA 25
przedstawia poniższa tabela
rok 0 1 2 3 4
projekt A nak ady - 200 100 300 300
wp ywy 900 - - - -
projekt B nak ady - 200 100 300 400
wp ywy 800 - - - -
Literatura
[1] Dobija M., Smaga E., Podstawy Matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN 1995.
[2] Matloka M., Matematyka z elementami zastosowań w ekonomii, wyd. WSB w Poznaniu 1998
[3] Matloka M., Matematyka w finansach i bankowósci, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w
Poznaniu, Poznań 2002.
[4] Matloka M., Matematyka w ubezpieczeniach na życie, wyd. WSB w Poznaniu 1997
[5] Smaga E., Arytmetyka Finansowa, PWN 1999.