MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 1
Dr Anna Górska
WARTOŚĆ PIENI
DZA JAKO FUNKCJA CZASU
Pieniądze posiadane w danym momencie charakteryzują się najwy\
szym stopniem płynności.
Mo\
liwość dowolnego dysponowania tymi środkami (np. w działalności gospodarczej, na giełdzie,
poprzez lokowanie w bankach) jest z
ródłem potencjalnych zysków.
Wartość pieniądza zale\
y zatem od czasu, w którym znajduje się w naszej dyspozycji  środki
posiadane w danym momencie mają dla nas większą wartość od tych samych nominalnie kwot
uzyskanych w przyszłości. Podobnie, im póz
niej określona kwota znajdzie się w naszym posiadaniu,
tym jej obecna wartość jest mniejsza.
Kwoty pienię\
ne pochodzące z ró\
nych okresów mogą być porównywane po określeniu
(aktualizacji) ich wartości w tym samym momencie czasu. Punktem odniesienia mo\
e być
w szczególności:
" okres bie\
ący  mówimy o aktualnej (bie\
ącej, teraz
niejszej) wartości pieniądza (present value),
stosuje się oznaczenia: PV, Ko
" chwila w przyszłości  mówimy o przyszłej wartości pieniądza (future value), stosuje się
oznaczenia: FV, K1.
Przy aktualizacji kwot pienię\
nych na określoną chwilę będziemy mieli do czynienia
z pojęciami oprocentowania oraz dyskontowania.
Definicja1. Oprocentowaniem nazywamy określenie przyszłej wartości pieniądza na podstawie
znanej wartości aktualnej.
Ró\
nicę Z=K1-Ko=FV-PV nazywamy odsetkami, mamy wówczas zale\
ność wartości przyszłej od
wartości aktualnej i odsetek w postaci K1=Ko+Z lub FV=PV+Z.
Definicja2. Dyskontowaniem nazywamy określenie bie\
ącej wartości pieniądza na podstawie
znanej wartości przyszłej.
Ró\
nicę D=K1-Ko nazywamy tutaj dyskontem, wartość aktualną dostajemy z zale\
ności Ko=K1-D.
OPROCENTOWANIE
Odsetki określone wzorem Z=K1-Ko wyra\
ają się w jednostkach pienię\
nych (wielkość mianowana),
są miarą bezwzględną przyrostu wartości kapitału, związaną z wartością kwoty początkowej Ko.
W zastosowaniach wygodniejsza okazała się miara względna przyrostu wartości kapitału  stopa
procentowa.
Definicja. Miarę tempa wzrostu wartości kapitału nazywamy stopą procentową i określamy
wzorem:
Z K1 - K0
r = =
K0 K0
UWAGA: Stopa procentowa r jest wielkością niemianowaną  określa, jaką część kwoty Ko stanowią
odsetki Z.
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 2
Dr Anna Górska
Przedział czasu Ts na podstawie którego określane jest oprocentowanie, nazywamy okresem stopy
procentowej. Wówczas symbole K1, K2, & , oznaczają wartości przyszłe kwoty początkowej Ko po
upływie 1, 2, & okresów Ts.
DYSKONTOWANIE
Ze względu na sposób obliczania dyskonta pomniejszającego wartość kapitału wyró\
nia się
dyskonto matematyczne i handlowe.
Dyskonto matematyczne (rzeczywiste proste) DM wyznacza się od aktualnej (nieznanej) wartości
kapitału na podstawie obowiązującej stopy procentowej r: DM=K0r.
Wówczas K0=K1-DM=K1-K0r, a z wynikającej stąd zale\
ności K1=K0(1+r) wyznacza się
wartość zdyskontowaną kapitału K1 w postaci
K1
K = .
0
1+ r
Na podstawie powy\
szego wzoru mo\
na wyznaczyć kwotę samego dyskonta w zale\
ności od K1
K1r
DM =
1+ r
Dla n okresów:
Kn
K0 =
1+ r �" n
Kn r �" n Kn
Dn = Kn - K0 = Kn - = Kn �" = r �" n �" = r �" n �" K0
1+ rn 1+ r �" n 1+ r �" n
Dyskonto handlowe DH wyznacza się od przyszłej (znanej) wartości kapitału na podstawie
przewidywanej stopy procentowej d (stopy dyskontowej):
DH=K1d.
Dyskonto handlowe za okres n wyznaczamy ze wzoru: DH = K �" d �" n
n
Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość zdyskontowaną kapitału K1 w postaci:
K0=K1-DH=K1(1-d).
K0 = Kn - DH = Kn �"(1- d �" n)
Roczna stopa dyskontowa jest to stosunek dyskonta handlowego do kwoty nale\
nej wierzycielowi po
upływie roku.
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 3
Dr Anna Górska
KAPITALIZACJA
Przez kapitalizację odsetek rozumieć będziemy ich dopisywanie do kapitału. Symbolem Tk
oznaczać będziemy okres kapitalizacji (okres konwersji)  czas po którym odsetki dopisywane są do
kapitału. Ze względu na sposób obliczania odsetek i czas ich dopisywania do kapitału mo\
na
zdefiniować trzy grupy zawierające po dwa rodzaje kapitalizacji:
" kapitalizacja prosta  oprocentowaniu podlega wyłącznie kapitał początkowy;
" kapitalizacja zło\
ona  oprocentowaniu podlega cały zgromadzony kapitał, zawierający zarówno
kapitał początkowy, jak równie\
dopisane wcześniej odsetki;
" kapitalizacja z dołu  odsetki dopisywane są na końcu okresów kapitalizacji;
" kapitalizacja z góry  odsetki dopisywane są na początku okresów kapitalizacji;
" kapitalizacja zgodna  odsetki dopisywane są w okresach równych okresowi nominalnej stopy
procentowej (Tk=Ts);
" kapitalizacja niezgodna  odsetki dopisywane są w okresach ró\
nych od okresu nominalnej
stopy procentowej (Tk `" Ts).
Kombinacje tych warunków określają ró\
ne modele kapitalizacji:
KAPITALIZACJA
PROSTA ZA
OśONA
Z DOA
U Z GÓRY Z DOA
U Z GÓRY
" ZGODNA " ZGODNA " ZGODNA " ZGODNA
" NIEZGODNA " NIEZGODNA " NIEZGODNA
" NIEZGODNA
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 4
Dr Anna Górska
1. KAPITALIZACJA PROSTA Z DOA
U ZGODNA
" PROSTA  odsetki naliczane są od kapitału początkowego K0
" Z DOA
U  odsetki są dopisywane na koniec okresów kapitalizacji
" ZGODNA  okres stopy procentowe jest taki sam jak okres kapitalizacji (Ts=Tk)
t= 0 1 2 & . n-1 n
Zn= Z1=K0r Z2=K0r .& Zn-1 Zn
Pn= K0 P1 P2 & . Pn-1 Pn
Przyszła wartość kapitału K0 po upływie n okresów stopy procentowej:
P = K0 (1+ nr)
n
P
n
K0 =
1+ nr
n
= Pn - K0 = K0nr
"Zi
i=1
kr
Pn+k = Pn �ł1+ �ł
�ł �ł
1+ nr
�ł łł
kr
Pn-k = Pn �ł1- �ł
�ł �ł
1+ nr
�ł łł
2. KAPITALIZACJA ZA
OśONA Z DOA
U ZGODNA
" ZA
OśONA  odsetki naliczane są od nagromadzonego kapitału
" Z DOA
U  jw.
" ZGODNA  jw.
t= 0 1 2 & . n-1 n
Zn= Z1=K0r Z2=K1r & . Zn-1 Zn
Kn= K0 K1 K2 & Kn-1 Kn
Przyszła wartość kapitału K0 po upływie n okresów stopy procentowej (po n okresach kapitalizacji 
w modelu zgodnym):
K = K0 (1+ r)n
n
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 5
Dr Anna Górska
Kn
K0 =
n
(1+ r)
n
= Kn - K0 = K0[(1+ r)n -1]
"Zi
i=1
n+k k
Kn+k = K0(1+ r) = Kn(1+ r)
Kn
n-k
Kn-k = K0(1+ r) =
k
(1+ r)
3. KAPITALIZACJA ZA
OśONA Z GÓRY ZGODNA
" Z GÓRY  odsetki naliczane są na początku okresu kapitalizacji
" ZA
OśONA  jw.
" ZGODNA  jw.
Przyszła wartość kapitału K0 na początku n tego okresu kapitalizacji:
Wn = K0 (1- r)-n
K0 = Wn (1- r)n
n
= Wn - K0 = K0[(1- r)-n -1]
"Zi
i=1
-(n+k ) -k
Wn+k = K0(1- r) = Wn(1- r)
-(n-k )
Wn-k = K0(1- r) = Wn (1- r)k
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 6
Dr Anna Górska
4. KAPITALIZACJA NIEZGODNA
NIEZGODNA  okres stopy procentowej nie pokrywa się z okresem kapitalizacji (Ts `" Tk )
o Kapitalizacja w podokresach  okres stopy procentowej jest całkowitą wielokrotnością
okresu kapitalizacji
o Kapitalizacja w nadokresach  okres kapitalizacji jest całkowitą wielokrotnością okresu
stopy procentowej
Ts
m =
Tk
Jeśli r jest roczną stopą procentową (stopa nominalna) (Ts=1 rok) stosuje się często nazewnictwo:
Kapitalizacja m (liczba Typ kapitalizacji
kapitalizacji w roku)
trzyletnia 1/3
w nadokresach
dwuletnia 1/2
roczna 1 zgodna
półroczna 2
kwartalna 4
miesięczna 12 w podokresach
tygodniowa 52
dobowa 360
(m  krotne dopisywanie odsetek w ciągu jednego okresu stopy procentowej)
WZGL
DNA (DOSTOSOWANA) STOPA
r
r =
m
Przyszła wartość kapitału K0 w kapitalizacji niezgodnej po k okresach kapitalizacji wynosi:
" PROSTA
r
�ł
Pk / m = K0 �ł1+ k
�ł �ł
m
�ł łł
" ZA
OśONA Z DOA
U
k
r
Kk / m = K0 �ł1+ �ł
�ł �ł
m
�ł łł
" ZA
OśONA Z GÓRY
-k
r
�ł
Wn = K0�ł1- �ł
�ł
m
�ł łł
(k=n m)
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 7
Dr Anna Górska
" KAPITALIZACJA CIAGA
A
Rozpatrując kapitalizację niezgodną zło\
oną oraz m " mamy kapitalizację ciągłą:
r
�"m�"m
n�"m
�ł �łm
r 1
�ł
�ł �ł
Kn," = lim K0�ł1+ = K0 lim�ł1+ = K0 �"er�"n
�ł �ł
m �ł
m" m"
m
�ł łł
�ł r łł
r
- �"(-n�"m)
-n�"m
m
�ł �ł
r 1
�ł �ł
Wn," = lim K0 �ł1- �ł = K0 lim�ł1+ = K0 �"er�"n
�ł �ł
m �ł
m" m"
m -
�ł łł
�ł r łł
Przyszła wartość kapitału K0 po n okresach stopy procentowej r wynosi:
K(n) = K0enr
K (t) = K0et r
K0 = K(t)e-t r
Zt = K(t) - K0 = K0 (et r -1)
Twierdzenie1.
Wartość przyszła kapitału K0 w modelu kapitalizacji prostej nie zale\
y od okresu kapitalizacji.
r
�ł
Pnm / m = K0 �ł1+ nm = K0 (1+ nr) = Pn
�ł �ł
m
�ł łł
Twierdzenie2.
Dla dowolnej, ustalonej wielokrotności okresu stopy procentowej przyszła wartość kapitału K0
w modelu kapitalizacji zło\
onej z dołu jest rosnącą funkcją częstości kapitalizacji.
Wniosek1.
Dla dowolnych liczb naturalnych n i m zachodzi nierówność:
Kn=Kn/1 d" Kn m/m
Twierdzenie3.
Dla dowolnej, ustalonej wielokrotności okresu stopy procentowej przyszła wartość kapitału K0
w modelu kapitalizacji zło\
onej z góry jest malejącą funkcją częstości kapitalizacji.
Wniosek2.
Dla dowolnych liczb naturalnych n i m zachodzi nierówność:
Wn m/m d" Wn/1=Wn
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 8
Dr Anna Górska
Wniosek3.
Dla dowolnych liczb naturalnych n i m zachodzi nierówność (dla tej samej stopy procentowej):
Kn d" Kn m/m d" Wn m/m d" Wn
nm -nm
r r
-n
K0 (1+ r)n d" K0 �ł1+ �ł d" K0 �ł1- �ł d" K0(1- r)
�ł �ł �ł �ł
m m
�ł łł �ł łł
STOPA EFEKTYWNA I RÓWNOWAśNA
Zało\
enia:
" Okres stopy procentowej Ts = 1 rok
" r  roczna stopa (nominalna)
Ts 1
" częstość kapitalizacji m = =
Tk Tk
" Zale\
ności na wartość przyszłą kapitału w ró\
nych modelach kapitalizacji będziemy traktować
jako funkcje stopy procentowej.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
nm
r
K0 (1+ r)n d" K0 �ł1+ �ł
�ł �ł
m
�ł łł
Definicja1.
d
Efektywną stopę procentową r w modelu kapitalizacji zło\
onej z dołu nazywamy stopę roczną, dla
e f
r
której K (rd )= K ( ).
n e f nm / m m
nm
r
d
K0 (1+ ref )n = K0 �ł1+ �ł
�ł �ł
m
�ł łł
m
r
Zatem red = (1+ ) -1 ( red > r dla m>1)
f m f
Stopa ta równowa\
y efekt kapitalizacji w podokresach poprzez zwiększenie stopy nominalnej
d
(rocznej) r do wartości r .
e f
Definicja2.
Równowa\
ną stopą procentową rrd nazywamy stopę, odniesioną do okresu kapitalizacji Tk, dla której
d
K (r)= K (r ).
n nm / m r
nm
K0 (1+ r)n = K0(1+ rd )
r
d
m
r
Zatem rrd = 1+ r -1 ( r < dla m>1)
r m
r
Stopa ta równowa\
y efekt kapitalizacji w podokresach poprzez zmniejszenie stopy dostosowanej
m
do wartości rrd .
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 9
Dr Anna Górska
& & & & & & & & & & & & & & & & & & &
-nm
r
-n
K0 �ł1- �ł d" K0(1- r)
�ł �ł
m
�ł łł
Definicja3.
Efektywną stopę procentową reg w modelu kapitalizacji zło\
onej z góry nazywamy stopę roczną, dla
f
r
której Wnm / m( )= Wn(reg ).
f
m
m
g
r
Zatem reg = 1- (1- ) ( ref < r dla m>1)
f
m
Stopa ta równowa\
y efekt kapitalizacji w podokresach poprzez zmniejszenie stopy nominalnej
(rocznej) r do wartości reg .
f
Definicja2.
Równowa\
ną stopą procentową rrg nazywamy stopę, odniesioną do okresu kapitalizacji Tk, dla której
Wnm / m(rrg )= Wn(r).
m
r
Zatem rrg = 1- 1- r ( rrg > dla m>1)
m
r
Stopa ta równowa\
y efekt kapitalizacji w podokresach poprzez zwiększenie stopy dostosowanej do
m
wartości rrg .
UWAGI:
1) Wysokość stóp efektywnych i równowa\
nych nie zale\
y od n  liczby lat (tzn. liczby okresów
stopy procentowej)
2) Stopy efektywne mają ten sam okres Ts co stopa nominalna r (niwelują skutki kapitalizacji
niezgodnej)
r
3) Stopy równowa\
ne mają ten sam okres Tk co stopa dostosowana (równowa\
ą efekt
m
kapitalizacji niezgodnej)
EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA DLA KAPITALIZACJI CI
GA
EJ
ref = er -1
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 10
Dr Anna Górska
Stopy efektywne i stopy równowa\
ne pozwalają na równowa\
ne zastępowanie (bez zmiany efektu
oprocentowania) kapitalizacji zgodnych kapitalizacjami niezgodnymi:
" Kn = K0 (1+ r)n = K0 (1+ rrd )nm
k
k
r
�ł
d m
" Kk / m = K0�ł1+ = K0(1+ ref )
�ł �ł
m
�ł łł
" Wn = K0 (1- r)-n = K0 (1- rrg )-nm
-k
k
r -
�ł
g m
" Wk / m = K0�ł1- �ł
= K0(1 - ref )
�ł
m
�ł łł
RÓWNOWAśNOŚĆ WARUNKÓW OPROCENTOWANIA
Mówimy, \
e warunki oprocentowania są równe jeśli przyszłe wartości po czasie t kapitału będą takie
same.
Warunki oprocentowania będą równe, jeśli roczne stopy efektywne są równe.
KAPITALIZACJA PRZY ZMIENNEJ STOPIE PROCENTOWEJ
Załó\
my, \
e w czasie n okresów stopy procentowej (lat) stopa procentowa zmieni się p razy: przez
pierwsze n1 okresów (lat) stopa wynosi r1, przez następne n2 okresów stopa wynosiła r2, w końcu
w ostatnim okresie np. stopa wynosiła rp. Wówczas po n=n1+n2+& +np okresach stopy procentowej
(latach) wartość przyszła kapitału wyniesie:
" kapitalizacja prosta
P(n) = K0 (1+ n1r1 +... + nprp )
" kapitalizacja zło\
ona z dołu
p
1
K = K0 (1+ r1)n K(1+ rp )n
n
" kapitalizacja zło\
ona z góry
p
1
Wn = K0 (1- r1)-n K(1- rp )-n
" kapitalizacja ciągła
p 1
1
K(n) = K0er n1 Ker np = K0er n1+K+rpnp
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 11
Dr Anna Górska
Dla syntetycznej oceny całego okresu n lat wprowadza się pojęcie uśrednionej stopy procentowej
nazywanej stopą przeciętną.
Definicja
Przeciętną stopą procentową nazywamy taką stopę rprz, przy której przyszła wartość kapitału K0 po
n  okresach stopy procentowej jest taka sama, jak przy zmieniającej się stopie procentowej
" kapitalizacja prosta
1
p
rprz = (n1r1 + K + nprp )
n
" kapitalizacja zło\
ona z dołu
d p
n 1
rprz = (1 + r1)n K(1 + rp )n - 1
" kapitalizacja zło\
ona z góry
g p
1
n
rprz = 1- (1- r1)n K(1 - rp )n
" kapitalizacja ciągła
1
c
rprz = (n1r1 +K+ nprp )
n
UWAGI:
1. Jeśli ri=r dla i=1, 2, & , n, tzn. stopy są stałe w rozpatrywanym okresie to stopa przeciętna
rprz=r w ka\
dym z modeli.
2. W szczególnym przypadku stopy mogą zmieniać się corocznie. Oznacza to, \
e wszystkie ni=1
i w konsekwencji n=p. Po odpowiedniej modyfikacji powy\
szych zale\
ności wyznaczyć
mo\
na stopy przeciętne w postaci:
1
p
rprz = (r1 +K+ rn )
n
n
rd = (1+ r1)K(1+ r ) -1
prz n
g
n
rprz =1- (1- r1)K(1- rn )
1
rc = (r1 +K+ r )
prz n
n
3. Wartość stopy przeciętnej zale\
y od modelu kapitalizacji, przy czym jest taka sama dla
kapitalizacji prostej i ciągłej.
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 12
Dr Anna Górska
" kapitalizacja prosta
P(n) = K0 (1+ n1r1 + ... + nprp ) = K0 (1+ nrprz )
" kapitalizacja zło\
ona z dołu
p d
1
Kn = K0 (1+ r1)n K(1+ rp )n = K0 (1+ rprz )n
Itd.
OPROCENTOWANIE LOKATY Z UWZGL
DNIENIEM INFLACJI
Realną (rzeczywistą) stopą procentową rre nazywamy realne tempo pomna\
ania wartości pieniądza
w czasie.
i  stopa inflacji
1) Okres stopy procentowej r jest równy okresowi stopy inflacji i, przy czy okresem tym jest 1 rok.
Nominalny wzrost wartości kapitału K0 po jednym okresie wyra\
a formuła:
K1nom = K0 (1+ r)
Rzeczywisty wzrost wartości kapitału K0 po jednym okresie wyra\
a formuła:
K0
re
K = (1 + r) .
1
1+ i
Realna stopa procentowa jest równa:
r - i
r = .
re
1+ i
W przypadku kapitalizacji niezgodnej, przy m  krotnym dopisywaniu odsetek w okresie stopy
procentowej r, realną (rzeczywistą) stopę efektywną określa równanie
m
r
ref - i
(1+ )
m
rre,ef = -1 =
1+ i 1+ i
2) Kapitał pienię\
ny K0 pomna\
ał swoją wartość przez n okresów stopy procentowej r, zgodnie
z modelem kapitalizacji zło\
onej z dołu zgodnej. Stopa inflacji na przestrzeni tych n okresów
mogła zmieniać swoją wartość.
Załó\
my, \
e przez n1 pierwszych okresów wynosiła i1, przez następnych n2 okresów i2, itd. Niech
n=n1+n2+& +np.
p
1
Na przestrzeni n okresów poziom cen wzrósł o czynnik (1+ i1)n K(1+ ip )n .
MATEMATYKA FINANSOWA WYKA
AD 1 13
Dr Anna Górska
Zatem stopa inflacji wynosi:
p
1
i = (1+ i1)n K(1+ ip )n -1
Oraz
(1+ r)n
re
Kn = K0
p
1
(1+ i1)n K(1+ ip )n
Przeciętna stopa inflacji:
p
1
n
iprz = (1+ i1)n K(1+ ip )n -1