7. Okres zwrotu nakładów
Okres zwrotu nakładów związanych z określonym przedsięwzięciem inwestycyjnym
oznacza czas, jaki jest niezbędny do wyrównania (zwrotu) przez wpływy poniesionych
wydatków. Krótszy okres zwrotu oznacza wcześniejsze odzyskanie zamrożonych środków
finansowych, natomiast długi okres zwrotu jest dla firmy niekorzystny, gdyż wiąże się z
ryzykiem i niepewnością.
Okres zwrotu nakładów inwestycyjnych (Oz) określa następujący wzór:
= (1)
N - łączna suma nakładów w zł;
- średnioroczne wpływy pieniężne (w zł/rok)
8. Okresy zwrotu nakładów dla niejednakowych wpływów
-
= + " ę
-
Oz - okres zwrotu nakładów inwestycyjnych
R - ostatni rok, w którym nie zwracają się jeszcze poniesione nakłady
N - wartość nakładu inwestycyjnego
W1 - skumulowane wpływy w roku, w którym nie zwracają się jeszcze poniesione
nakłady
W2 - skumulowane wpływy w roku, w którym zwracają się poniesione nakłady
Przykład (okres zwrotu nakładów)
Firma rozważa jeden z dwóch projektów inwestycyjnych, dla których wartość nakładów
wynosi 100 zł, a oczekiwane wpływy przedstawia tablica:
Projekt A Projekt B
Rok Wpływy pieniężne
Wpływy
Bieżące Skumulowane
1 20 20 40
2 70 90 40
3 40 130 40
4 60 190 40
5 30 220 40
220 200
Projekt A:
-
= + = + , = , = + , " ę =
-
= + ą
Projekt B:
= = = , = + , " ę = + ę
Firma powinna wybrać projekt inwestycyjny A, gdyż okres zwrotu z inwestycji jest krótszy.
9. KSIEGOWA STOPA ZWROTU:
Księgowa stopa zwrotu (ARR) zwana również stopą zwrotu z inwestycji (ROI) wyraża
procentowy stosunek przeciętnego - założonego w okresie rozpatrywania projektu -zysku
netto do wielkości nakładów początkowych. W sposób ogólny księgową stopę zwrotu
można przedstawić następująco:
= " % (2)
Zn - roczny zysk netto osiągany w trakcie funkcjonowania przedsięwzięcia
N - wartość kapitału służącego sfinansowaniu początkowych nakładów inwestycyjnych
1 | S t r o n a
Można wyróżnić kilka odmian księgowej stopy zwrotu.
Bazując na wielkościach rocznych: ARRI i ARRII:
+
= % = %
Bazując na wielkościach przeciętnych: ARRIII i ARRIV
= % = %
Zn - roczny zysk netto
- średnioroczny zysk netto obliczony z całego okresu funkcjonowania danego
przedsięwzięcia
N - zaangażowany kapitał (nakład) całkowity
Nw - wielkość zaangażowanego kapitału własnego (zakładowego)
O - roczne odsetki od kredytu
Formuły (3) i (4) wymagają wybrania reprezentatywnego roku w okresie trwania
projektu
Formuły (5) i (6) bazują na warto ciach średnich
W przypadku wielu projektów wybieramy projekt o największej stopie zwrotu.
W przypadku pojedynczego projektu porównujemy wartość obliczonej stopy zwrotu ze
stopą graniczną (określoną na podstawie rynkowej stopy procentowej)
Przykład (księgowa stopa zwrotu)
Firma rozważa projekt inwestycyjny o nakładach 50 tys. zł, z czego 30 tys. zł będzie
finansowana z kredytów bankowych. Przewidywane koszty i zyski przedstawia tablica.
Określona przez inwestora graniczna stopa zwrotu wynosi 16%.
rok
1 2 3 4
koszty całkowite: 12 800 11 000 10 500 12 000
w tym odsetki od kredytu 4 400 2 000 1 000 600
Zysk brutto 14 000 16 000 20 000 10 000
Zysk netto 8 400 9 600 12 000 6 000
+ 9600 + 2000
= 100% = 100% = 23,2%
50000
9600
= 100% = 100% = 48%
20000
1
 8400 + 9600 + 12000 + 6000
4
= 100% = 100% = 18%
50000
Projekt jest opłacalny dla inwestora.
10. METODY ANALIZY PROGÓW RENTOWNOŚCI I WRAŻLIWOŚCI
PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH
Próg rentowności jest to punktem wyrównywania, w którym realizowane przychody ze
sprzedaży dokładnie pokrywają poniesione koszty.
Analiza progu rentowności projektów inwestycyjnych powinna być stosowana we
wstępnej fazie ich oceny. Próg rentowności może być wyrażony ilościowo lub
wartościowo.
Ilościowy próg rentowności oznacza taką liczbę sprzedanych produktów, przy której
przychody ze sprzedaży zrównują się z poniesionymi na ich wytworzenie kosztami.
Wartościowy próg rentowności oznacza taki poziom przychodów ze sprzedaży, który
pokrywa wszystkie koszty produkcji.
2 | S t r o n a
Całkowite przychody (P) są równe iloczynowi ceny (c) sprzedaży wyrobu i liczby (x)
sprzedanych jednostek, czyli:
= "
Równanie całkowitych kosztów produkcji (K) przyjmuje natomiast następującą postać:
= " +
Kz  jednostkowe koszty zmienne produkcji
Ks  koszty stałe
11. Ilościowy próg rentowności
Ilościowy próg rentowności pokazuje ile sztuk produktu mamy sprzedać, aby pokryć
koszty stałe.
Próg rentowności znajduje się w punkcie, w którym P = K (wielkość produkcji pokryje
poniesione koszty), tzn.:
" = " +
Stąd ilościowy próg rentowności wynosi:
= = =
-
x jest ilościowym progiem rentowności produkcji wyrobu (krytycznym punktem
produkcji)
12. Wartościowy próg rentowności
Wartościowy próg rentowości wskazuje jaka wartość sprzedaży pokrywa nasze koszty
stałe
Próg rentowności w ujęciu wartościowym można wyznaczyć mnożąc próg
rentowności w ujęciu ilościowym przez cenę jednostkową
= " =
-
3 | S t r o n a
13. Próg rentowności w produkcji wieloasortymentowej
Próg rentowności przy produkcji wieloasortymentowej przedsiębiorstwo osiągnie wtedy,
gdy suma kosztów stałych i kosztów zmiennych poszczególnych produktów będzie
równa sumie przychodów ze sprzedaży wszystkich asortymentów,
=
" -
i  numer asortymentu
ci  cena i-tego asortymentu
- jednostkowe koszty zmienne produkcji i-tego asortymentu
 udział procentowy poszczególnych asortymentów w rozmiarach produkcji
- koszty stałe
14. METODY ANALIZY PROGÓW RENTOWNOŚCI I WRAŻLIWOŚCI
PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH
Różnica pomiędzy całkowitymi przychodami (P) i całkowitymi kosztami (K) określona 1
jest mianem zysku operacyjnego (Z-D), tzn.
= -
Wykorzystując zależności = " i = " + , relację 11 można przedstawić w
postaci:
= " - " +
Lub
= - " +
Różnica - , oznacza marżę brutto (marżę pokrycia na poziomie jednostkowym)
jaką można uzyskać na każdym sprzedanym produkcie.
Próg rentowności produkcji może być zastosowany do ustalenia stopnia wykorzystania
zdolności produkcyjnej lub stopnia zaspokojenia przewidywanego popytu w punkcie
BEP.
= %
xm - zdolność produkcyjna (lub poziom zaspokojenia przewidywanego popytu) w
jednostkach fizycznych
x - punkt krytyczny produkcji (próg rentowności BEP)
xz  stopień wykorzystania zdolności produkcyjnych
Graniczny poziom jednostkowej ceny sprzedaży jest to taki poziom, przy którym
sprzedając zakładaną ilość produktów nie osiągamy zysku i nie poniesiemy strat.
= +
cmin - graniczny poziom jednostkowej ceny sprzedaży
- zakładana wielkość sprzedaży
Kz - jednostkowy koszt zmienny
Ks  koszt stały
Graniczny poziom jednostkowy kosztów zmiennych określa równanie:
= -
- graniczny poziom jednostkowych kosztów zmiennych
W analizowanym projekcie inwestycyjnym można wyznaczyć tzw. margines
(strefę) bezpieczeństwa (MS).
4 | S t r o n a
Margines bezpieczeństwa projektu inwestycyjnego stanowi różnicę między planowanym
poziomem produkcji, odpowiadającym poziomowi zdolności produkcyjnej (lub
poziomowi zaspokojenia przewidywanego popytu), a poziomem produkcji określonym
przez próg rentowności. Margines bezpieczeństwa musi być rozpatrywany ze względu na
jednostkowe ceny sprzedaży i jednostkowe koszty zmienne.
15. MARGINES BEZPIECZEC
STWA
Margines bezpieczeństwa informuje o ile może ulec zmniejszenie planowanych
dochodów ze sprzedaży pod wpływem czynników zewnętrznych tj. zakłóceń na rynkach
zbytu, zmniejszania zamówień, zaostrzenia warunków technicznych, ograniczenia dostaw
materiałów i surowców produkcyjnych.
im większy margines bezpieczeństwa tym mniejsze ryzyko działania
przedsiębiorstwa i mniejsza perspektywa produkcji przynoszącej straty finansowe
wysoki margines bezpieczeństwa gwarantuje przedsiębiorstwu stabilność
działania, ponieważ zaistniałe zakłócenia na rynku nie powodują negatywnych
skutków w postaci utraty rentowności
Margines bezpieczeństwa informuje o ile maksymalnie możemy zmniejszyć przychód
ze sprzedaży, aby przedsiębiorstwo nie poniosło strat.
W kategorii jednostkowej ceny sprzedaży margines bezpieczeństwa określa
następująca relacja:
-
= %
c - jednostkowa cena sprzedaży
cmin  graniczny poziom jednostkowej ceny sprzedaży
W kategorii poziomu jednostkowego kosztu zmiennego produkcji (MS), przedstawia
równanie:
-
= %
- graniczny poziom jednostkowych kosztów zmiennych
- jednostkowy koszt zmienny
Margines bezpieczeństwa (MS)
MS < 0 inwestycja przynosi straty
MS = PR pokryte koszty, brak zysku
0,5 < MS < l zysk inwestycji
16. Dynamiczne metody oceny projektów inwestycyjnych
Metody dynamiczne (metody dyskontowe), w przeciwieństwie do statycznych,
uwzględniają zmianę wartości pieniądza w czasie. Pozwalają na sprowadzenie do
porównywalności nakłady i efekty realizowane w różnych okresach czasu.
Wśród najczęściej stosowanych metod dyskontowych możemy wyróżnić:
1. NPV - Net Present Value  wartość zaktualizowana netto
2. IRR - Internal Rate of Return - wewnętrzna stopa zwrotu
3. MIRR - Modified Rate of Return - zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu
4. Pi - Profitability Index  wskaz
nik rentowności.
17. NPV - Net Present Value - wartość zaktualizowana netto
NPV jest to wartość otrzymana poprzez zdyskontowanie oddzielnie dla każdego roku
przepływów pieniężnych przez cały okres trwania projektu, przy określonym poziomie
stopy dyskontowej (procentowej). Stopa procentowa odzwierciedla graniczną
rentowność projektu.
5 | S t r o n a
 =
+
Gdzie:
NPV - wartość zaktualizowana netto
NCFt - przepływ pieniężny netto w kolejnych latach okresu obliczeniowego; różnica
między wpływami (przychodami) a wypływami (rozchodami)
r- poziom stopy dyskontowej
- współczynnik dyskontujący dla kolejnych lat okresu obliczeniowego
t= 0,1,...,n - kolejne lata okresu obliczeniowego
Gdy:
NPV > 0 - inwestycja opłacalna
NPV < 0 - inwestycja nieopłacalna.
Jeśli nakłady inwestycyjne są ponoszone w kolejnych latach okresu obliczeniowego
to NPV obliczamy ze wzoru:
= -
+ +
- przepływy pieniężne netto w kolejnych latach okresu obliczeniowego( bez
nakładów)
- nakłady inwestycyjne w kolejnych latach okresu obliczeniowego.
Jeśli nakłady inwestycyjne są ponoszone w roku t=0 to NPV obliczamy ze wzoru
= -
+
CFt - przepływy pieniężne netto w kolejnych latach okresu obliczeniowego (bez
nakładów)
N - globalne nakłady inwestycyjne
Wykorzystanie metody NPV dla oceny projektów inwestycyjnych wymaga ustalenia
kosztów użycia kapitału (w metodzie tej koszt użycia kapitału jest równy stopie
dyskontowej).
Na wysokość kosztu użycia kapitału wpływają m.in.:
z
ródła finansowania przedsięwzięcia
oprocentowanie kredytu
wysokość podatku dochodowego
rentowność osiągana przy alternatywnym lokowaniu środków
ryzyko związane z inwestowaniem na danym rynku.
= + ; + =
Gdzie:
r - koszt użycia kapitału - stopa dyskontowa
Kb - koszt użycia kredytów bankowych
Kw- koszt użycia kapitałów własnych
w1 - udział kredytów bankowych w ogólnych środkach finansowych przeznaczonych na
finansowanie inwestycji
w2 - udział kapitału własnego w finansowaniu inwestycji.
= -
Gdzie
Kb - koszt użycia kredytów bankowych
6 | S t r o n a
i - bankowa stopa procentowa
Pd  stopa podatku dochodowego
Przykład  NPV: Firma rozważa sposób inwestycji kwoty 120tys. zł na 4 lata. Projekt
przewiduje otrzymanie po kolejnych 12-miesiecznych okresach
odpowiednio 60tys. zł, 20tys. zł, 30tys. zł i 40tys. zł. Istnieje możliwość
alternatywnego ulokowania tych pieniędzy na 4-letniej lokacie bankowej
o stałym oprocentowaniu 10% płatnym na koniec każdego roku (roczne
kapitalizacja odsetek).
t 0 1 2 3 4 Suma
N 120 000 0 0 0 0 120 000
CFt 0 60 000 20 000 30 000 40 000
1
1 0,91 0,83 0,75 0,68
1 + r
0 54 600 16 600 22 500 27 200 120 900
1 +
= - = - =
+
Projekt jest opłacalny.
18. IRR - Internal Rate of Return - wewnętrzna stopa zwrotu
IRR to taka stopa zwrotu przy której NPV = 0 przy danym okresie trwania projektu i
znanych przepływach pieniężnych (IRR to stopa procentowa, przy której obecna wartość
strumieni wydatków jest równa obecnej wartości strumieni wpływów). Zakładamy, że
stopa reinwestycji jest równa wewnętrznej stopie zwrotu.
=
+
Przybliżony wynik można otrzymać stosując metodę kolejnych iteracji (przybliżeń):
1. Ustalamy przepływy pieniężne netto w kolejnych latach realizacji i funkcjonowania
analizowanego przedsięwzięcia
2. Wybieramy dwie stopy procentowa - r1 przy której NPV jest zbliżone do 0 ale dodatnie
i r2 przy której NPV jest zbliżone do zera ale ujemne.
3. Stosujemy przybliżoną formułę interpelacji liniowej:
-
= +
| |
+
IRR - wewnętrzna stopa zwrotu
r1 - poziom stopy procentowej przy której NPV > 0
r2 - poziom stopy procentowej przy której NPV < 0
PV - poziom NPV obliczonej na podstawie r1
NV - poziom NPV obliczonej na podstawie r2
Im różnica między r1 a r2 jest mniejsza tym ustalony na podstawie powyższego wzoru
wynik jest dokładniejszy.
Opłacalny jest projekt z najwyższą stopą zwrotu lub wyższą od stopy granicznej.
Przykład  IRR (wewnętrzna stopa zwrotu)
Firma rozważa sposób inwestycji kwoty 120tys. zł na 4 lata. Projekt przewiduje
otrzymanie po kolejnych l2-miesięcznych okresach odpowiednio 60tys. zł, 20tys. zł, 30tys.
zł i 40tys. zł. Istnieje możliwość alternatywnego ulokowania tych pieniędzy na
4-letniej lokacie bankowej o stałym oprocentowaniu 10% płatnym na koniec każdego roku
(roczna kapitalizacja odsetek).
7 | S t r o n a
rok NCFt r=9% r=10% r=11% r=12%
0 -120 000 -120 000 -120 000 -120 000 -120 000
1 60 000 55 200 54 600 54 000 53 400
2 20 000 16 800 16 600 16 200 16 000
3 30 000 23 100 22 500 21 900 21 300
4 40 000 28 400 27 200 26 400 25 600
NPV 3 500 900 -1 500 -3 700
- , - ,
= + = , + = , = , %
| |
+ +
Projekt jest opłacalny.
19. Zastosowanie IRR i NPV
W przypadku oceny pojedynczego projektu metody NPV i IRR dadzą ten sam efekt
W przypadku kilku projektów mogą dać inne rezultaty - wybiera się wówczas metodę
NPV(konstrukcja metody NPV opiera się na założeniu, że przepływy pieniężne będą
reinwestowane wg przyjętej stopy procentowej. W metodzie IRR zakładamy, że stopa
reinwestycji będzie równa właśnie obliczonej wewnętrznej stopie zwrotu)
Najczęściej inwestorzy orientują się w tempie pomnażania kapitału na rynku - więc
sami wybierają stopę dyskontową dla danego projektu.
Koszt kapitału jest znany
Stopa dyskontowa
np. w postaci Koszt kapitału trudny do
odzwierciedla rzeczywisty
oprocentowania kredytów ustalenia
koszt kapitału
długoterminowych.
Stosuje się NPV i IRR. Lepsza jest IRR. Lepsza jest NPV.
IRR odzwierciedla wówczas Pozwala na ustalenie Przedstawia aktualną
rzeczywistą stopę zwrotu najlepszych proporcji wartość efektu netto przez
zainwestowanego kapitału, między kapitałem własnym cały okres inwestycji.
która jest tożsama z ceną a obcym, gdyż IRR
kapitału na rynku wyznacza maksymalną
nieprzekraczalną cenę
kapitału
20. NIIRR - Modified Rate of Return -zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu
Stopa reinwestycji - stopa procentowa informujące o poziomie rentowności osiąganej z
tytułu bieżącego inwestowania osiąganych przez firmę dodatnich przepływów
pieniężnych. Jest ona zazwyczaj różna od IRR
MIRR to taka wartość stopy dyskontowej, która zrównuje zaktualizowaną wartość
końcową dodatnich przepływów pieniężnych z wartością bieżącą ujemnych przepływów
pieniężnych  stopa reinwestycji jest równa kosztowi kapitału.
+
=
+ +
Gdzie:
MIRR - wewnętrzna stopa zwrotu uwzględniająca przewidywana stopę reinwestycji
COFt - ujemne przepływy pieniężne w roku t
CIFt - dodatnie przepływy pieniężne w roku t
r - stopa dyskontowa stosowana przez inwestora - koszt kapitału
n - okres obliczeniowy będący sumą okresu ponoszenia nakładów (budowy) i okresu
osiągania dodatnich CF
8 | S t r o n a
Po przekształceniach otrzymujemy wzór:
"
+
= -
" +
Gdy MlRR > r - projekt inwestycyjny przyjmuje się do realizacji.
W przypadku kilku projektów wybiera się ten, którego wartość MIRR jest największa.
Przykład  MIRR (Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu)
Firma rozważa sposób inwestycji kwoty 120tys. zł na 4 lata. Projekt przewiduje
otrzymanie po kolejnych l2-miesięcznych okresach odpowiednio 60tys. zł, 20tys. zł, 30tys.
zł i 40tys. zł. Graniczny koszt kapitału inwestora wynosi 10%. Oczekiwana rentowność
kapitału (koszt kapitału) wynosi 14%.
CIFt(1+r)n-t
rok t Wpływy CIFt Nakłady COFt n=4
1 +
r=0,14
r=0,14
0 0 120 000 0 120 000
1 60 000 0 88 893 0
2 20 000 0 25 992 0
3 30 000 0 34 200 0
4 40 000 0 40 000 0
150 000 189085 189 085 120 000
"
+ "
= - = - = , = %
"
" +
Projekt jest opłacalny.
21. PI - Profitability Index - wskaz
nik rentowności = wskaz
nik zyskowności
PI to wskaz
nik stosowany gdy mamy dokonać wyboru jednego spośród kilku projektów
(dla których NPV>0) przy ograniczonych możliwościach finansowych.
PI - to iloraz sumy zdyskontowanych dodatnich przepływów pieniężnych do sumy
zdyskontowanych ujemnych przepływów.
" +
=
" +
Jeżeli:
PI > 1 - projekt inwestycyjny przyjmuje się do realizacji
W przypadku oceny kilku projektów wybieramy ten, dla którego PI jest największe.
22. Podejście probabilistyczne
= ś ś ł ó
= - ł ó
Średnia wartość NPV i odchylenie standardowe NPV
= -
+
9 | S t r o n a
 =
+
=
Współczynnik zmienności NPV
=
W tej metodzie
średnia wartość NPV powinna być dodatnie
współczynnik zmienności NPV jak najmniejszy - im jest większy tym projekt
bardziej ryzykowny
W podejściu probabilistycznym wybieramy projekt z dodatnią średnią wartością NPV oraz
najmniejszym współczynnikiem zmienności odzwierciedlającym ryzyko projektu. Jeżeli
projekt jest jeden i jest bardzo ryzykowny można zaostrzyć kryterium NPV poprzez
podniesienie stopy dyskontowej.
Przykład  Podejście probabilistyczne
Wykorzystując podejście probabilistyczne, ocenić za pomocą kryterium NPV projekt
inwestycyjny wymagający nakładów inwestycyjnych w wysokości 5 000zł. Zakładana
stopa dyskontowa (bez uwzględnienia ryzyka) wynosi 10%, a rozkład wpływów wraz z
oszacowanymi przez ekspertów prawdopodobieństwami ich realizacji przedstawia się
następująco (projekt dotyczy dwuletniego przedsięwzięcia).
Rok Wpływy w zł Prawdopodobieństwo realizacji
(Wj) wpływów
(Pj)
1 3.000 0,2
4.000 0,5
5.000 0,3
2 2.000 0,2
4.000 0,4
5.000 0,4
-
Rok t (Wj) (Pj)
= -
+
+
+
3.000 0,2 600 242.000
1 4.000 0,5 2.000 5.000
5.000 0,3 1.500 243.000
suma 1 4.100 490.000 700 0,91 3731 405769
2.000 0,2 400 800.000
2 4.000 0,4 1.600 0
5.000 0,4 2.000 400.000
826672,28
suma 1 4.000 1.200.000 1095,44 0,83 3320
1232441,28
suma 7051
=
=
10 | S t r o n a
 = - =
= - = ,
= - = - =
+
= = , = ,
,
= = = %
Średnia wartość NPV jest dodatnia, współczynnik zmienności wynosi 54%, projekt jest
umiarkowanie ryzykowny. Można zaostrzyć kryterium NPV. Jeżeli nadal średnie NPV
będzie dodatnie projekt może zostać zaakceptowany.
Podnosząc stopę dyskontową do 12%
= - = + - = -
+ + , + ,
= = , = ,
,
= = = %
Średnia wartość NPV jest dodatnia. Projekt może być przyjęty do realizacji.
11 | S t r o n a