Matematyka Finansowa  Wzory
Kapitalizacja odsetek
Kapitalizacja z dołu
I. DA
+ZG+ZA
 model podstawowy
Kn = K0 * (1+ r)n
Kn
K0 =
(1+ r)n
II. DA
+ZG+PR
Kn = K0 * (1+ n * r)
III. DA
+NZ+ZA

DA
 kapitalizacja z dołu
ZG  kapitalizacja zgodna
r ZA
 kapitalizacja zło\
ona
Kn = K0 * (1+ )n*m
PR  kapitalizacja prosta
m
NZ  kapitalizacja niezgodna
OS
m =
OK
Kn  kapitał po n latach
r
K = K0 * (1+ )k
k K0 - kapitał początkowy
m
m
r  oprocentowanie
n  liczba lat
IV. DA
+NZ+PR
m  liczba kapitalizacji w okresie
k  liczba okresów kapitalizacji
Kn = K0 * (1+ n * r)
r
K = K0 * (1+ k * )
k
n
m
V. DA
+NZ+ZA
; m "
Kn = K0 * en*r
Kt = K0 * er*t
VI. DA
+NZ+PR; m "
Kn = K0 * (1+ n * r)
1
Kapitalizacja odsetek cd.
Kapitalizacja z góry
VII. GR+ZG+ZA

K0
Kn =
(1- r)n
VIII. GR+ZG+PR
Kn = K0 * (1+ n * r)
IX. GR+NZ+ZA

GR  kapitalizacja z góry
ZG  kapitalizacja zgodna
K0
ZA
 kapitalizacja zło\
ona
Kn =
r
PR  kapitalizacja prosta
(1- )n*m
m
NZ  kapitalizacja niezgodna
OS
m =
Kn  kapitał po n latach
OK
K0 K0 - kapitał początkowy
K =
k
r r  oprocentowanie
m
(1- )k
n  liczba lat
m
m  liczba kapitalizacji w okresie
k  liczba okresów kapitalizacji
X. GR+NZ+PR
Kn = K0 * (1+ n * r)
XI. GR+NZ+ZA
; m "
Kn = K0 * en*r
Kt = K0 * er*t
XII. GR+NZ+PR; m "
Kn = K0 * (1+ n * r)
2
Efektywna stopa procentowa
Kapitalizacja z dołu
I. DA
+ZG+ZA

ref = r
II. DA
+ZG+PR
n
ref = 1+ n * r -1
DA
 kapitalizacja z dołu
ZG  kapitalizacja zgodna
ZA
 kapitalizacja zło\
ona
III. DA
+NZ+ZA

PR  kapitalizacja prosta
NZ  kapitalizacja niezgodna
r
ref = (1+ )m -1
m
ref- efektywna stopa procentowa
r  oprocentowanie
IV. DA
+NZ+PR
n  liczba lat
m  liczba kapitalizacji w okresie
n
ref = 1+ n * r -1
V. DA
+NZ+ZA
; m "
ref = er -1
VI. DA
+NZ+PR; m "
n
ref = 1+ n * r -1
3
Efektywna stopa procentowa cd.
Kapitalizacja z góry
VII. GR+ZG+ZA

r
ref =
1- r
VIII. GR+ZG+PR
n
ref = 1+ n * r -1
GR  kapitalizacja z góry
ZG  kapitalizacja zgodna
IX. GR+NZ+ZA
ZA
 kapitalizacja zło\
ona
PR  kapitalizacja prosta
NZ  kapitalizacja niezgodna
1
ref = -1
r
(1- )m
ref- efektywna stopa procentowa
m
r  oprocentowanie
n  liczba lat
X. GR+NZ+PR
m  liczba kapitalizacji w okresie
k  liczba okresów kapitalizacji
n
ref = 1+ n * r -1
XI. GR+NZ+ZA
; m "
ref = er -1
XII. GR+NZ+PR; m "
n
ref = 1+ n * r -1
4
Weksle
ds Wakt - wartość aktualna w chwili dyskonta
Wakt = Wnom * (1- *t)
weksla
365
Wnom -Wakt 365 Wnom - wartość nominalna, po upływie
ds = *
Wnom t czasu zapadalności
ds - stopa dyskontowa (roczna)
Wnom -Wakt 365
rt = *
t - czas do dyskonta
Wakt t
rt - rentowność bie\
ąca (zysk banku)
Bony
ds
Cs - wartość sprzeda\
y bona na przetargu
Cs = Cn * (1- *t)
365
Cn - wartość nominalna
Cn - Cs 365
ds - stopa dyskontowa (roczna) (ustalana
ds = *
Cn t
przez rynek)
Cn - Cs 365 t - l. dni na jaki wystawiamy bon
rb = *
rb - rentowność bonu (roczna)
Cs t
Ciągi płatności
I. OS=OK=OP
a. Płatność z góry
OS  okres stopy
(1+ r)n -1
Kn = C * (1+ r)
OK  okres kapitalizacji
r
OP  okres płatności
1
1-
Kn - kapitał po n płatnościach
(1+ r)n
K0 = C(1+ r)
K0 - obecna wartość ciągu płatności
r
C  kwota płatności (stała)
b. Płatność z dołu
r  stopa procentowa
(1+ r)n -1
Kn = C *
ref - efektywna stopa procentowa
r
n  liczba płatności
1
1- m  liczba kapitalizacji (lub płatności) w
(1+ r)n
okresie stopy procentowej
K0 = C *
r
5
Ciągi płatności cd.
OS
II. OS=OP i OS `" OK ( m = )
OK
a. Płatność z góry
(1+ ref )n -1
Kn = C * (1+ ref )
ref
1
1-
(1+ ref )n
K0 = C(1+ ref )
ref
b. Płatność z dołu
(1+ ref )n -1
Kn = C *
ref
1
1-
OS  okres stopy
(1+ ref )2
K0 = C * OK  okres kapitalizacji
ref
OP  okres płatności
OS
Kn - kapitał po n płatnościach
III. OS=OK i OS `" OP ( m = )
OP
K0 - obecna wartość ciągu płatności
a. Płatność z góry
C  kwota płatności (stała)
m +1 (1+ r)n -1
r  stopa procentowa
Kn = (C * m + C * r * ) *
2 r
ref - efektywna stopa procentowa
1
n  liczba płatności
1-
m +1 (1+ r)n m  liczba kapitalizacji (lub płatności) w
K0 = (C * m + C * r * ) *
okresie stopy procentowej
2 r
b. Płatność z dołu
m -1 (1+ r)n -1
Kn = (C * m + C * r * ) *
2 r
1
1-
m -1 (1+ r)n
K0 = (C * m + C * r * ) *
2 r
IV. INNE
Nale\
y uzgodnić przynajmniej 2
charakterystyki (np. sprowadzić okres
stopy do okresu kapitalizacji), a
następnie stosujemy model II lub III, a
czasem I.
6
Renty kapitałowe
I. RENTA CZASOWA
(ANNUITY)
a. Płatność z dołu
(1+ r)n -1
Kn = C
r
1
1-
(1+ r)n
K0 = C
r
K0 *r
C = e =
1
1-
(1+ r)n
b. Płatność z góry
Kn - kapitał po n płatnościach
C  kwota płatności (stała)
(1+ r)n -1
e  wysokość renty (stała)
Kn = C *(1+ r)
r
r  stopa procentowa
1
n  liczba płatności
1-
(1+ r)n
K0 = C *(1+ r)
emax,w - maksymalna renta wieczysta
r
K0 *r
C = e =
1
(1+ r)[1- ]
(1+ r)n
II. RENTA WIECZYSTA
(PERPETUITY)
a. Płatność z dołu
emax,w = K0 *r
b. Płatność z góry
K0 *r
emax,w =
1+ r
7
Spłata długów-Kredyty
I. An=Aa"const  stałe renty
kapitałowo-odsetkowe
r
A = S0(1+ r)N
(1+ r)N -1
(1+ r)N - (1+ r)n
Sn = S0
(1+ r)N -1
(1+ r)N - (1+ r)n-1
Zn = S0 * r *
(1+ r)N -1
Sn - poziom, stan długu po zapłaceniu n-tej
(1+ r)n-1
Tn = S0 *r
raty
(1+ r)N -1
Zn  wysokość odsetek w n-tym okresie
An - wysokość raty kapitałowo-odsetkowej
II. Tn=Ta"const  malejące renty
Tn - wysokość spłaty kapitału w n-tym
kapitałowo-odsetkowe
okresie (rata kapitałowa)
S0
T =
N
S0
Sn = (N - n)
N
N - n +1
Zn = S0 *r
N
S0
An = [1+ r(N - n +1)]
N
8