LOKATY
kapitalizacja prosta kapitalizacja złożona z dołu
zgodna zgodna reguły uzgadnianie stopy %
okres stopy %
dla k=2
Pn =� K0(�1+� nr)� Kn =� K0(1+� r)n
m =�
okres kapitalizacji
69
ln(�Kn / K0)�
kr
R69 �� n =� +� 0,35
n =�
Pn+�k =� Pn ć�1+� ��
�� ��
100r m
ln(1+� r)
1+� nr r
Ł� ł� ć�1+� ��
ref =� -�1
�� ��
72
m
Ł� ł�
R72 �� n =�
kr Kn+�k =� K0 (1+� r)n+�k =� Kn (1+� r)k
Pn-�k =� Pn ć�1-� �� 100r
�� ��
1
1+� nr
Ł� ł�
r =� (�1+� ref )� -�1
m
Kn
Kn-�k =� K0 (1+� r)n-�k =�
(1+� r)k
1
dla k=3
rr =� (�1+� r)� -�1
m
niezgodna
niezgodna
110
R110 �� n =� +� 0,52
r
��
r
100r
Pnm/ m =� K0ć�1+� nm
�� ��
Knm/ m =� K0 (1+� )nm
m
Ł� ł�
m
r przeciętne
r przeciętne kapitalizacja ciągła
n1r1 +� n2r2 +� . +� nprp
np
n 1 2
K(�n)� =� K0 �� enr
rprz =� (�1+� r1)�n ��(�1+� r2)�n ��...��(�1+� rp)� -�1
rprz =�
n
ref =� er -�1
K0 =� K(�n)� �� e-�nr
kapitalizacja złożona z góry
Kn Ł� Knm / m Ł� K Ł� Wnm / m Ł� Wn
(� )�
n
zgodna niezgodna r przeciętne
-�nm
metoda liczb procentowych
Wn =� K0(�1-� r)�-�n
r
ć� ��
Wnm/ m =� K0 1-�
�� ��
m
Ł� ł�
N N
r
K0 =� Wn(�1-� r)�n
Pn =� +� �� ti
i i
��S 360 ��S
m
i=�1 i=�1
n1r1 +� n2r2 +� ...+� nprp
r
ć�1-� ��
ln(�K0 /Wn )�
ref =� 1-� rprz =�
�� ��
n =�
m n
Ł� ł� N N
ln(�1-� r)�
r
Pn =� +� �� ti
i i
��S 365 ��S
n i=�1 i=�1
r =� 1-� K0 /Wn
1
rr =� 1-� (�1-� r)�
Wn+�k =� Wn(�1-� r)�-�k m
rachunek czasu - reguły
Wn-�k =� Wn(�1-� r)�k
dokl.liczba dni przyblizona.liczba dni
dokladna =� przyblizona =�
365 365
dokl.liczba dni
przyblizona.liczba dni
bankowa =� zwykla =�
r przeciętne
360 360
np
n 1 2
rprz =� 1-� (�1-� r1)�n ��(�1-� r2)�n ��...��(�1-� rp)�
WKA
ADY OSZCZ
DNOŚCIOWE
kapitalizacja prosta kapitalizacja złożona
z dołu z dołu
q =� 1+� r
n -�1 n -�1 1
�� ��
Kn =� Enć�1+� r K0 =� Enć�1+� r
�� �� �� ��
2 2 1+� nr
Ł� ł� Ł� ł�
qn -�1 1 qn -�1
Kn =� E K0 =� E ��
q -�1
Kn =� E1 +� E2 +�... +� En +�[�E1(�n -�1)�+� E2(�n -� 2)�+� ... +� En -�1]��� r qn q -�1
z góry z góry
q =� 1+� r
n +�1 n +�1 1
�� ��
Kn =� Enć�1+� r K0 =� Enć�1+� r
�� �� �� ��
2 2 1+� nr
Ł� ł� Ł� ł�
qn -�1 1 qn -�1
Kn =� Eq K0 =� E ��
q -�1
Kn =� E1 +� E2 +�...+� En +�[�E1n +� E2(�n -�1)�+�...+� En]���r qn-�1 q -�1
kapitalizacja ciągła
z dołu z góry
okr.wkladow >� okr.kapit. �� ref
enr -�1 e-�nr -�1 enr -�1
d
Kn =� E ; K0 =� E Kn =� Eer =� er Kn ;
er -�1 1-� er er -�1 okr.wkladow <� okr.kapit. �� rr
e-�nr -�1
d
K0 =� Eer =� er K0
1-� er
RENTY
stała z dołu Kr stała z góry wieczysta z dołu
�� ć� ��
Kr
lnć�1-�
�� �� �� ��
ln��1-�
��
e
Ł� ł� eq
Ł� ł�
wartość końcowa kapitału n =� -�
qn -�1
n =� -�
ln(�1+� r)�
En =� eq
ln q
q -�1
d
qn -�1
ew =� K �� r
En =� e
rK 1
q -�1
ć� �� e =� ��
e�� q 1
��
1
K =� ����1-� q wieczysta z góry
�� �� 1-�
r
qn
ć� ��
Ł� ł�
e 1
qn
��1-� ��
wartość początkowa kapitału K =�
K �� r
�� �� g
r
qn
ew =�
Ł� ł�
q
rK
wysokość renty e =�
1
1-� KN =� K �� qN -� EN =� 0
q =� 1+� r
n
q
SPA
ATA DA
UGÓW
S - dług r - stopa
Sn =� Sn-�1 -�Tn
odsetki liczone od spłaconego
jednorazowa spłata odsetek
%
kredytu
A - rata łączna
An =� Tn +� Zn
Z1 =� T1 �� r ; Z2 =� (�T1 +�T2 )�r
N - liczba rat
Z3 =� (�T1 +�T2 +�T3)�r ć�
S q-�N -�1��
Zn =� r �� Sn-�1
��
Zn =� qn �� N +�
T1... - raty kapitałowe
Tn
�� ��
N q -�1
Ł� ł�
Z1...Zn - odsetki
raty kapitałowe tworzą ciąg arytmetyczny
kapitałowe
równe raty
Sn - dług bieżący
2S malejący
kapitałowe
rosnący Tn =� n
(�N +�1)�N
n - kolejna rata
Tn =� (�N -� n +�1)�(�N 2S
+�1)�N
S
T =�
N
ustalone raty łączne: N -�1rat równe raty łączne A1 =� A2 =� ...=� AN równe raty łączne dla
kapitalizacji ciągłej
N N -�1 N -�2
Sq =� A1q +� A2q +�...+� AN q -�1
N
Nr
A =� Sq
Se (�er -�1)�
N
A =�
q -�1
Nr
e -�1
Nr
e -�1
Nr
Se =� A ;
Zn =� Sn-�1(�er -�1)�
N
N
er -�1
średni czas trwania kredytu A q -�1 q -�1
N
S =� �� Sn =� Sq -� A =� 0
N
q -�1
q -�1
q
różne raty
równe raty
kapitałowe
kapitałowe
N
i
��T ��ti
t=�1
t =�
S
N +�1
t =�
2
odsetki Z =� S ��r ��t
dla kapital. ciągłej
Z =� S(�er -�1)���t