Wzory matematyczne
Na podstawie: D. Halliday, R. Resnick, J. Walker,
Podstawy Fizyki, tom 1, dodatek E, PWN, Warszawa 2003
Opracował mgr inż. Karol Tarnowski
Niech � będzie mniejszym z kątów między wektorami

i b. Zachodzą związki:
a
Symbole matematyczne
= równa się

� = b � = axbx + ayby + azbz = ab cos �,
a b a
H" równa się w przybliżeniu
<" jest tego samego rzędu wielkości

= nie jest równe


Ć
a" jest równe tożsamościowo, jest zdefiniowane jako
� 5
k


> jest większe niż ( jest dużo większe niż)
� = - � = ax ay az
a b b a

< jest mniejsze niż ( jest dużo mniejsze niż)
bx by bz

jest większe lub równe (czyli nie mniejsze niż)

ay az ax az Ć ax ay

jest mniejsze lub równe (czyli nie większe niż) = � - 5
+ k
by bz bx bz bx by
ą plus albo minus
" jest proporcjonalne do = (aybz - byaz)� + (azbx - bzax)5
+
Ł suma
Ć
+ (axby - bxay)k,
xśr wartość średnia x


� = ab sin �,
a b

Geometria
Koło o promieniu r: obwód = 2Ąr; pole powierzchni

= Ąr2. � ( � = b � ( � = � ( �
a b c) c a) c a b),
Kula o promieniu r: pole powierzchni = 4Ąr2, obję-
4
tość = Ąr3. � ( � = ( � b - ( � c.
a b c) a c) a b)
3
Walec obrotowy o promieniu podstawy r i wysokości
h: pole powierzchni = 2Ąr2 + 2Ąrh; objętość = Ąr2h.
Wzory Cramera
Trójkąt o podstawie a i wysokości h: pole powierzchni
1
= ah. Układ równań z dwiema niewiadomymi x i y
2
Iloczyny wektorów a1x + b1y = c1 oraz a2x + b2y = c2
Ć
Niech �, 5
i k będą wektorami jednostkowymi kierun-
ma rozwiązanie
ków x, y i z. Zachodzą związki:


Ć Ć Ć Ć
� � � = 5
� 5
= k � k = 1, � � 5
= 5
� k = k � � = 0, c1 b1


c2 b2 c1b2 - c2b1


Ć Ć x = =
� � � = 5
� 5
= k � k = 0,

a1 b1 a1b2 - a2b1


Ć Ć Ć
a2 b2
� � 5
= k, 5
� k = �, k � � = 5
.
Dowolny wektor o składowych wzdłuż osi x, y i z
a
oraz


równych ax, ay i az można przedstawić w postaci
a1 c1


a2 c2 a1c2 - a2c1

Ć
= ax� + ay5
+ azk.
a
y = = .

a1 b1 a1b2 - a2b1



a2 b2
Niech b i będą dowolnymi wektorami o długo-
a, c
ściach (modułach) a, b i c. Zachodzą związki:
� ( + = ( � + ( �
a b c) a b) a c),
Równanie kwadratowe i jego rozwiązanie
"
-b ą b2 - 4ac
Jeśli ax2 + bx + c = 0, to x = .
(s � = � (s = s( � (s  skalar).
a) b a b) a b)
2a
1
ą + � ą - �
cos ą + cos � = 2 cos cos
2 2
Funkcje trygonometryczne kąta �
oś y
ą + � ą - �
y x
cos ą - cos � = -2 sin sin
sin � = cos � =
2 2
r r
y x
tg � = ctg � = r
y
x y
Pochodne
r r
�
sec � = cosec � =
W poniższych wzorach u i v są dowolnymi funkcjami
oś x
x y
0
x
zmiennej x, a a i m są stałymi.
Twierdzenie Pitagorasa Pochodne:
dx
W trójkącie prostokątnym
c
1. = 1
a
a2 + b2 = c2. dx
d du
b
2. (au) = a
dx dx
Trójkąty
d du dv
3. (u + v) = +
Kąty: A, B, C.
dx dx dx
Boki im przeciwległe: a, b, c.
dxm
A + B + C = Ą.
4. = mxm-1
dx
sin A sin B sin C
= = .
a b c
d 1
5. ln x =
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.
dx x
Kąt zewnętrzny D = A + C.
d dv du
6. (uv) = u + v
dx dx dx
d
C
7. ex = ex
dx
b a
d
8. sin x = cos x
dx
A B D
c
d
9. cos x = - sin x
dx
Tożsamości trygonometryczne
d
sin(Ą/2 - �) = cos �
10. tg x = sec2 x
dx
cos(Ą/2 - �) = sin �
d
sin �/ cos � = tg �
11. ctg x = - cosec2 x
dx
sin2 � + cos2 � = 1
d
sec2 � - tg2 � = 1
12. sec x = tg x sec x
dx
cosec2 � - ctg2 � = 1
d
13. cosec x = - ctg x cosec x
sin 2� = 2 sin � cos �
dx
cos 2� = cos2 � - sin2 � = 2 cos2 � - 1 = 1 - 2 sin2 �
d du
14. eu = eu
sin(ą ą �) = sin ą cos � ą cos ą sin �
dx dx
cos(ą ą �) = cos ą cos � " sin ą sin �
d du
15. sin u = cos u
tg ą ą tg �
dx dx
tg(ą ą �) =
1 " tg ą tg �
d du
ą ą � ą " �
16. cos u = - sin u
sin ą ą sin � = 2 sin cos
dx dx
2 2
2


"
2 1 � 3 � 5 � . . . � (2n - 1) Ą
16. x2ne-ax dx =
2n+1an a
Rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe 0


nx n(n - 1)x2
dx
(1 + x)n = 1 + + + . . . (x2 < 1)
17. " = ln x + x2 + a2
1! 2!
x2 + a2
x2 x3
xdx 1
ex = 1 + x + + + . . .
18. = -
2! 3!
(x2 + a2)3/2 (x2 + a2)1/2
1 1
ln(1 + x) = x - x2 + x3 - . . . (|x| < 1)

2 3
dx x
19. =
�3 �5
(x2 + a2)3/2 a2 (x2 + a2)1/2
sin � = � - + - . . . (� w radianach)
3! 5!

"
2 n!
20. x2n+1e-ax dx = (a > 0)
�2 �4
2an+1
cos � = 1 - + - . . . (� w radianach) 0
2! 4!

xdx
�3 2�5
21. = x - a ln(x + a)
tg � = � + + + . . . (� w radianach)
x + a
3 15
Uwagi
Całki
Obszerniejsze tablice dostępne na stronach:
W poniższych wzorach u i v są dowolnymi funkcjami
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tablicacałek,
zmiennej x, a a i m są stałymi. Do każdej z całek nie-
http://www.math.com/tables/integrals/tableof.htm
oznaczonych należy dodać dowolną stałą całkowania.
a także w literaturze:

1. Matematyka. Poradnik encyklopedyczny I. N.
1. dx = x
Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew

2. Inegrały i riady specjalnyje funkcii, A. P. Prudnikow,
2. audx = a udx
Ju. A. Bryczkow, O, I. Mariczew

3. Handbook of Mathematical Functions, Abramowitz,
3. (u + v)dx = udx + vdx
Stegun

4. Mathematical Handbook for Scientists and Engine-
xm+1
4. xmdx = (m = -1)

ers: Definitions, Theorems, and Formulas for Refe-
m + 1
rence and Review, G. Korn, T. Korn

dx
5. = ln |x| 5. Tables of Integrals and Other Mathematical Data: H.
x
Dwight

dv du
Generator całek online:
6. u dx = uv - v dx
dx dx
http://integrals.wolfram.com/

7. exdx = ex
Wrocław, 12.10.2009

8. sin xdx = - cos x

9. cos xdx = sin x

10. tg xdx = ln | sec x|

1 1
11. sin2 xdx = x - sin 2x
2 4

1
12. e-axdx = - e-ax
a

1
13. xe-axdx = - (ax + 1)e-ax
a2

1
14. x2e-axdx = - (a2x2 + 2ax + 2)e-ax
a3

"
n!
15. xne-axdx =
an+1
0
3