WZORY  STATYSTYKA MATEMATYCZNA
1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA
A
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:
P(A) =�
W�
2. ZMIENNE LOSOWE
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej X:
k
pi =� 1
P (X =� xi ) =� pi ,
��
i=�1
Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej X:
F(x) =� P(X <� x) =� pi
��
xi Ł�x
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X:
Ą�
f (x) ł� 0 f (x)dx =� 1
,
��
-�Ą�
Dystrybuanta dla zmiennej losowej ciągłej X:
x
F(x) =� P(X <� x) =� f (t)dt
��
-�Ą�
3. PARAMETRY ZMIENNYCH LOSOWYCH:
Wartość oczekiwana skokowej zmiennej losowej X:
k
E(X ) =� pi
��xi
i=�1
Wartość oczekiwana ciągłej zmiennej losowej X:
Ą�
E(X ) =� xf (x)dx
��
-�Ą�
Wariancja skokowej zmiennej losowej X:
k k
2
2
D2 (X ) =� -� E(X ))� pi =� pi -� E2 (X )
��(�xi ��x1
i=�1 i=�1
Odchylenie standardowe zmiennej losowej X:
Ą� Ą�
2
D2 (X ) =� -� E(X ))� f (x)dx =� x2 f (x)dx -� E2 (X )
i
��(�x ��
-�Ą� -�Ą�
Odchylenie standardowe zmiennej losowej X:
D(X ) =� D2 (X )
4. WYBRANE ROZKA
ADY DYSKRETNE
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego):
n
ć� ��
n-�k
P(X =� k) =� �� �� pk (�1-� p)� E(X ) =� np
, ,
D2 (X ) =� np(�1-� p)�
��k ��
Ł� ł�
- 1 -
Rozkład Poissona:
l�k
P(X =� k) =� e-�l�, E(X ) =� l� , D2 (X ) =� l�
k!
5. WYBRANE ROZKA
ADY CI
GA
E
Rozkład normalny N (�m�;s� )�:
(�x-�m� )�2
-�
1
2
2s�
f (x) =� e
s� 2p�
X -�m�
U =�
s�
X ~ N(�m�;s� )�����U ~ N(�0;1)�
��
Standaryzacja:
6. PRZEDZIAA
Y UFNOŚCI
Przedział ufności dla średniej (wartości oczekiwanej) m�:
MODEL I
Populacja ma rozkład normalny N(m�;s�);s� - znane:
s� s�
x -� ua� <� m� <� x +� ua�
n n
MODEL II
Populacja ma rozkład normalny N(m�;s�);s� - nieznane; nd"30:
%5ń %5ń
x -� ta� ,n-�1 <� m� <� x +� ta� ,n-�1
n n
lub
s s
x -� ta� ,n-�1 <� m� <� x +� ta� ,n-�1
n -�1 n -�1
MODEL III
Populacja ma rozkład normalny N(m�;s�) lub dowolny inny rozkład zbliżony do rozkładu
normalnego;s� - nieznane; n>30:
s s
x -� ua� <� m� <� x +� ua�
n n
Przedział ufności dla wariancji s�2:
Populacja ma rozkład normalny N(m�;s�); nd"30:
ns2 2 ns2
(�n -�1)�%5ń2 2 (�n -�1)�%5ń2
<� s� <�
<� s� <�
lub
c2 c1
c2 c1
2 2
gdzie c1 =� c�1-� a� ;n-�1 , c2 =� c�
1 1
a� ;n-�1
2 2
Przedział ufności dla odchylenie standardowego s� :
Populacja ma rozkład normalny N(m�;s�) lub zbliżony do normalnego; n>30:
s s
<� s� <�
ua� ua�
1+� 1-�
2n 2n
- 2 -
Przedział ufności dla wskaz
nika struktury p:
m m m m
ć�1-� �� ć�1-� ��
�� �� �� ��
m n n m n n
-� ua� Ł� ł� <� p <� +� ua� Ł� ł�
n n n n
7. MINIMALNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY
MODEL I
2 2
ua�s�
Populacja ma rozkład normalny N(m�;s�);s� - znane:
n ł�
2
d
MODEL II
2
ta� ,n0 -�1%5ń2
Populacja ma rozkład normalny N(m�;s�);s� - nieznane:
n ł�
2
d
%5ń2
gdzie jest wariancją wyznaczoną z próby wstępnej o liczebności n0 zgodnie z wzorem:
n0
1
2
%5ń2 =� -� x)�
��(�xi
MODEL III
n0 -�1
i=�1
Populacja ma rozkład dwupunktowy:
2
-� jeżeli znany jest spodziewany rząd wielkości szacowanego
ua� p(�1-� p)�
n ł�
wskaz
nika struktury (p);
2
d
2
ua�
n ł� -� jeżeli nie jest znany rząd wielkości szacowanego wskaz
nika
2
4d
struktury (p).
8. PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
Test istotności dla średniej (wartości oczekiwanej) m�:
H0 : m� =� m�0
H1 : m� ą� m�0
lub H1 : m� <� m�0 lub H1 : m� >� m�0
MODEL I
Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(m�;s�);s� - znane, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest
statystyka:
x -� m�0
u =� n
s�
o rozkładzie normalnym N(0;1).
MODEL II
Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(m�;s�);s� - nieznane, nd"30, to sprawdzianem hipotezy
zerowej jest statystyka:
x -� m�0 x -� m�0
t =� n =� n -�1
%5ń s
o rozkładzie t-Studenta o (n-1) stopniach swobody.
MODEL III
Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(m�;s�) lub zbliżony do rozkładu normalnego;s� - nieznane,
n>30, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:
x -� m�0
u =� n
s
o rozkładzie normalnym N(0;1).
- 3 -
Test istotności dla wariancji s�2:
2 2
H0 :s� =� s�0
2 2
H1 :s� >� s�
0
Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(m�;s�) to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:
ns2 (�n -�1)�%5ń2
2
c� =� =�
2 2
s� s�
0 0
2
o rozkładzie c� z (n-1) stopniami swobody.
2
c�
Jeżeli liczebność próby n>30, wówczas rozkład należy przybliżyć rozkładem normalnym N(0;1)
zgodnie z następującym przekształceniem:
2
u =� 2c� -� 2n -� 3
Test istotności dla wskaz
nika struktury p:
H0 : p =� p0
H1 : p ą� p0 lub H1 : p <� p0 lub
H1 : p >� p0
Jeżeli populacja ma dwupunktowy, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:
m
-� m�0
n
u =�
p0(�1-� p0 )�
n
o rozkładzie normalnym N(0;1).
Test istotności dla dwóch średnich (wartości oczekiwanych):
H 0 : m�1 =� m�2
H1 : m�1 ą� m�2 lub H1 : m�1 <� m�2 lub H1 : m�1 >� m�2
MODEL I
Jeżeli populacje mają rozkłady normalne N(m�1;s�1) i N(m�2;s�2) lub zbliżone do rozkładów
normalnych;s� s� -� nieznane, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:
1, 2
x1 -� x2
u =�
2 2
s�1 s�
2
+�
n1 n2
o rozkładzie normalnym N(0;1).
MODEL II
Jeżeli populacje mają rozkłady normalne N(m�1;s�1) i N(m�2;s�2);s�1, s�2 -� nieznane, s�1=s�2 , n1d"30,
n2d"30, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:
x1 -� x2 x1 -� x2
t =� =�
2 2 2 2
ć� �� ć� ��
n1s1 +� n2s2 �� 1 1 (�n1 -�1)�%5ń1 +� (�n2 -�1)�%5ń2 �� 1 1
�� ��
+� +�
�� ��
n1 +� n2 -� 2 n1 n2 �� n1 +� n2 -� 2 n1 n2 ��
Ł� ł� Ł� ł�
o rozkładzie t-Studenta o (n1+n2-�1) stopniach swobody.
- 4 -
MODEL III
Jeżeli populacje mają rozkłady normalne N(m�1;s�1) i N(m�2;s�2);s� s� -� znane,
1, 2
n1>30, n2>30 to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:
x1 -� x2
u =�
2 2
s1 s2
+�
n1 n2
o rozkładzie normalnym N(0;1).
Test istotności dla dwóch wariancji:
2 2
H0 :s�1 =� s�
2
2 2
H1 :s�1 >� s�
2
Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(m�;s�) lub zbliżony do rozkładu normalnego, to
sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:
2
%5ń1
2 2
F =�
, (�%5ń1 >� %5ń2 )�
2
%5ń2
(�n2 -�1)�
(�n1 -�1)�
o rozkładzie F-Snedecora z i stopniami swobody.
Test istotności dla dwóch wskaz
ników struktury:
H 0 : p1 =� p2
H1 : p1 ą� p2 lub H1 : p1 <� p2 lub
H1 : p1 >� p2
Jeżeli populacja ma dwupunktowy, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:
m1 m2
-�
n1 n2
u =�
p(�1-� p)�
n
m1 +� m2 n1n2
p =� n =�
o rozkładzie normalnym N(0;1), gdzie: , .
n1 +� n2 n1 +� n2
OZNACZENIA:
-� liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A;
A
-� liczba wszystkich zdarzeń elementarnych;
W�
n -� liczebność próby;
x -� średnia z próby;
s -� odchylenie standardowe z próby (estymator obciążony);
%5ń
-� odchylenie standardowe z próby (estymator nieobciążony);
m� -� średnia populacji;
s� -� odchylenie standardowe populacji;
p -� wskaz
nik struktury populacji;
m -� liczba elementów wyróżnionych z n-�elementowej próby;
d -� dopuszczalny, ustalony z góry maksymalny błąd szacunku średniej lub wskaz
nika struktury.
- 5 -