STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Podręczniki:
[1] Bobrowski D., Probabilistyka w zastosowaniach technicznych, WNT,
*2+ Krysicki W. i inni, Rachunek prawdopodobieostwa i statystyka
Matematyczna w zadaniach, PWN, cz.I i II,
*3+ Bobrowski D., A
ybacka K., Wybrane metody wnioskowania statystycznego,
Wyd. PP.
1
Teoria prawdopodobieostwa  jak każda nauka dedukcyjna opiera się na
pojęciu pierwotnym i układzie aksjomatów.
Pojęciem pierwotnym w teorii prawdopodobieostwa jest przystrzeo
zdarzeo elementarnych ©, a jej elementy nazywamy zdarzeniami
elementarnymi .
W zagadnieniach praktycznych przez przestrzeo zdarzeo elementarnych
rozumie się, na ogół, zbiór wszystkich możliwych, niepodzielnych wyników
doświadczenia czy obserwacji.
Przestrzeo zdarzeo elementarnych dla danego doświadczenia można
określid w różny sposób, w zależności od celu jaki chcemy osiągnąd .
Przykład.
Niech doświadczenie polega na trzykrotnym rzucie symetryczną monetą.
Przestrzeo zdarzeo elementarnych dla tego doświadczenia możemy określid w
następujący sposób :
©1 = {(O,O,O), (R,O,O), (O,R,O), (O,O,R), (R,R,O), (R,O,R), (O,R,R), (R,R,R)},
ale także w ten sposób : ©2 = ,É0, É1, É2, É3},
gdzie Éi  oznacza zdarzenie, że orzeÅ‚ wypadÅ‚ i razy (i =0, 1, 2, 3).
Przestrzeo zdarzeo elementarnych może byd :
- skooczona (np. rzut kostkÄ… do gry),
-przeliczalna (np. rzuty monetą do chwili wypadnięcia orła),
-nieprzeliczalna (np. pomiar temperatury w stacji meteo).
2
Zdarzenia losowe sÄ… to podzbiory przestrzeni zdarzeo elementarnych ©
należące do pewnej klasy podzbiorów zwanej Ã-ciaÅ‚em lub Ã-algebrÄ…
zdarzeo (zbiorów).
Definicja:
Ã-ciaÅ‚em zdarzeo nazywamy klasÄ™ podzbiorów niepustej przestrzeni
zdarzeo elementarnych © speÅ‚niajÄ…cych nastÄ™pujÄ…ce postulaty:
1) ,
2) ,
3) .
Ã"
Dowolny zbiór należący do ciała zdarzeo nazywamy zdarzeniem losowym .
Uwaga:
Gdy © jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym i jest klasÄ… wszystkich
podzbiorów ©, to postulaty 1)- 3) sÄ… speÅ‚nione.
Wszystkie prawa rachunku zbiorów dotyczą także zdarzeo.
WÅ‚asnoÅ›ci Ã-ciaÅ‚a zdarzeo :
1) ,
2) ,
Â"
3) .
3
Definicja:
Niech dana bÄ™dzie przestrzeo zdarzeo elementarnych © i okreÅ›lone na
niej ciaÅ‚o zdarzeo . Na Ã-ciele zdarzeo okreÅ›limy funkcjÄ™ rzeczywistÄ… P, o
której zakładamy, że spełnia następujący układ aksjomatów :
( )
A1) dla każdego funkcja P jest nieujemna ,
( )
A2) ,
A3) dla każdego ciągu zdarzeo parami rozłącznych, tzn.
,
funkcja P jest przeliczalnie addytywną funkcją zbioru, co oznacza że
( ) "
( ) .
Ã"
Funkcję P spełniającą układ tych aksjomatów nazywamy rozkładem
prawdopodobieostwem zdarzenia A . Wartośc funkcji P na zdarzeniu A
nazywad będziemy prawdopodobieostwem zdarzenia A.
Własności rozkładu prawdopodobieostwa P :
( )
1) .
( ) ( )
2) .
3) Dla dowolnych zdarzeo zachodzi
( ) ( ) ( ) ( )
.
( ) ( ) ( ) ( )
4) .
4
Definicja:
Przestrzeo zdarzeo elementarnych © z okreÅ›lonym na niej Ã-ciaÅ‚em
zdarzeo i rozkładem prawdopodobieostwa P nazywamy przestrzenią
probabilistycznÄ… i oznaczamy (©, , P ).
W dalszym ciągu zakładad będziemy, że wszystkie występujące w jakimś
zagadnieniu zdarzenia zwiÄ…zane sÄ… z tÄ… samÄ… przestrzeniÄ… probabilistycznÄ….
O funkcji P mówimy krótko, że jest okreÅ›lona na © .
Jednym z kluczowych pojęd rachunku prawdopodobieostwa jest
prawdopodobieostwo warunkowe.
Definicja:
Jeśli P(B)>0, to prawdopodobieostwem warunkowym zdarzenia A pod
( )
( )
warunkiem B nazywamy .
( )
( )
Warunkowym rozkładem prawdopodobieostwa nazywamy funkcję
określoną dla każdego powyższym wzorem.
Zajmiemy się teraz pojęciem zdarzeo niezależnych, które jest
specyficznym pojęciem teorii prawdopodobieostwa.
Definicja:
Zdarzenia A1, A2, & , An są niezależne, jeśli dla dowolnych wskaz
ników
k1, k2, & , ks , gdzie , zachodzi
"
( ) ( ) .
Â"
5
Uwaga:
1) Warunek zapisany w definicji może byd spełniony dla s = n , a nie byd
spełniony dla pewnych układów wskaz
ników k1, k2, & , ks , gdzie s < n oraz
może zaistnied sytuacja taka, że warunek ten jest spełniony dla każdego układu
wskaz
ników k1, k2, & , ks , gdzie s < n, a nie jest spełniony dla s = n. W każdym
z tych przypadków zdarzenia A1, A2, & , An nazywamy zależnymi .
2) O zdarzeniach A i B mówimy, że są niezależne, jeśli
( ) ( ) ( )
.
3) Pojęcia zdarzeo niezależnych i rozłącznych są to dwa różne pojęcia.
Niezależnośd zdarzeo zawsze jest związana z określonym rozkładem
prawdopodobieostwa P .
4) Niezależnośd zdarzeo można uogólnid na nieskooczony ciąg zdarzeo.
6
Zmienne losowe jednowymiarowe
Definicja:
ZmiennÄ… losowÄ… okreÅ›lonÄ… na przestrzeni probabilistycznej (©, , P )
nazywamy funkcję spełniającą warunek
* ( ) + .
Powyższy warunek nosi nazwę - mierzalności lub mierzalności funkcji X
względem ciała zdarzeo .
Przykład 1. Rozważmy losowanie produktów z partii w celu zbadania ich
jakości.
Zmienną losową możemy określid w następujący sposób:
( ) {
Ta zmienna losowa przyjmuje tylko trzy wartości.
Przykład 2. Pociągi metra przyjeżdżają na stację co 4 minuty. Określimy
zmienną losową X  jako czas oczekiwania na pociąg po przyjściu na peron w
( ) *#
losowej chwili czasu: , gdzie ( .
Ta zmienna losowa przyjmuje nieprzeliczalnie wiele wartości.
Definicja:
DystrybuantÄ… zmiennej losowej X nazywamy funkcjÄ™ rzeczywistÄ…
)# *# ( ) (* ( ) +) ( )
.
Ä„"
7
Twierdzenie:
Jeżeli F jest dystrybuantą zmiennej losowej X , a , to
( ) ( ) ( )
.
Dowód:
( ) ( ) )#
Zauważmy, że )
( ) ( ) ( )
Zatem ,
a stÄ…d otrzymujemy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
Dystrybuanta jako prawdopodobieostwo pewnych zdarzeo ma
następujące własności :
( )
1o dla dowolnych : ,
( ) ( )
2o ,
3o dystrybuanta F jest funkcjÄ… niemalejÄ…cÄ…, tzn.
( ) ( )
,
4o dystrybuanta F jest funkcją lewostronnie ciągłą, tzn.
.
Ä„" ( ) ( )
8
 Można udowodnid , że jeśli funkcja rzeczywista F ma własności 1o  4o ,
to jest ona dystrybuantÄ… pewnej zmiennej losowej.
W zależności od analitycznych własności dystrybuanty dzielimy zmienne
losowe na :
- dyskretne (skokowe),
- ciągłe,
- osobliwe,
- mieszane.
Zmienne losowe dyskretne (skokowe)
Definicja:
Mówimy, że zmienna losowa X jest typu dyskretnego, jeżeli dla pewnego
* +
co najwyżej przeliczalnego zbioru zachodzi
(* ( ) +) .
"
FunkcjÄ™ tÄ™ nazywamy funkcjÄ… prawdopodobieostwa, punkty xi  punktami
skokowymi, a pi  skokami.
Dystrybuanta zmiennej losowe dyskretnej rośnie skokowo o pi w
punktach skokowych xi , a pomiędzy nimi jest stała.
Przykład. Dana jest funkcja prawdopodobieostwa dyskretnej zmiennej
losowej X :
9
xi -2 0 1 2 3
pi 0,1 0,2 0,3 c 0,2
Wyznaczyd stałą c . Wykonad wykres funkcji prawdopodobieostwa. Wyznaczyd
( ) ( )
dystrybuantÄ™ i wykonad jej wykres. Obliczyd
( ) ( ) ( )
.
Zmienne losowe typu ciągłego
Definicja:
Mówimy, że zmienna losowa X jest typu ciągłego, jeżeli istnieje
nieujemna funkcja f taka, że
Ä„" ( ) ( ) .
+"
Funkcję f nazywamy gęstością prawdopodobieostwa zmiennej losowej X, a
jej wykres  krzywą gęstości.
Uwaga: Modyfikując daną gęstośd f w skooczonej liczbie punktów,
otrzymamy nową funkcję f1 , która również spełnia powyższy warunek. Zatem
gęstośd nie jest określona jednoznacznie.
10
Własności zmiennej losowej ciągłej :
1o Dystrybuanta F zmiennej losowej ciągłej jest funkcją ciągłą.
( ( ) )
2o Dla każdego mamy .
3o Dla , zachodzi
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
+"
4o Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej jest w każdym punkcie
określoności gęstości prawdopodobieostwa f różniczkowalna i zachodzi
( ) [ ] .
( ) ( )
+"
( )
5o .
+"
Przykład.
( )
Dobrad tak stałą c by funkcja {
Była gęstością pewnej zmiennej losowe, a następnie wyznaczyd jej
dystrybuantÄ™. Obliczyd . / i zinterpretowad za pomocÄ… wykresu
gęstości i dystrybuanty.
11
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych
Dystrybuanta zmiennej losowej daje jej pełny probabilistyczny opis,
jednak z powodu zbytniej szczegółowości, jest on mało czytelny. W praktyce
wygodniej jest posługiwad się charakterystykami liczbowymi.
Do najważniejszych charakterystyk należą miary położenia i miary
rozrzutu.
Definicja:
Wartością oczekiwaną (średnią, przeciętną) zmiennej losowej X typu
* +
dyskretnego o zbiorze punktów skokowych i skokach
( )
, nazywamy liczbę EX określoną wzorem
" ,
pod warunkiem, że szereg ten jest bezwzględnie zbieżny.
Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X typu ciągłego o gęstości f
( )
nazywamy liczbę EX określoną wzorem ,
+"
pod warunkiem, że całka ta jest bezwzględnie zbieżna .
Uwaga:
Jeżeli zmienna losowa Y = g(X ) jest dyskretna, to
" ( ) ;
( )
jeżeli zmienna losowa Y = g(X ) jest ciągła, to ( ) .
+"
12
Własności wartości oczekiwanej :
1o E[a] = a dla każdego .
2o Dla dowolnych zmiennych losowych X , Y , dla których istnieją EX i EY
oraz dla dowolnych stałych a i b zachodzi
, - .
Przykład 1.
Zmienna losowa ma rozkład dany funkcją prawdopodobieostwa
( ) . Znajdziemy jej wartośc oczekiwaną.
Przykład 2.
Zmienna losowa ma rozkład dany funkcją prawdopodobieostwa
( ) . Zbadamy czy istnieje jej wartośc
oczekiwana.
Przykład 3.
Zmienna losowa X ma rozkład typu ciągłego o gęstości
( ) { .
Znajdziemy jej wartośc oczekiwaną.
13
Korzystając z operatora wartości oczekiwanej wprowadzimy inne
charakterystyki liczbowe zwane momentami .
Definicja:
Niech X będzie zmienną losową, dowolną liczbą, k - dowolną
liczbÄ… naturalnÄ….
( )
Wyrażenie nazywamy momentem k-tego rzędu
zmiennej losowej X względem punktu a.
Jeżeli a = 0 , to nosi nazwę momentu zwykłego rzędu k.
( )
Jeżeli a = EX , to nosi nazwę momentu centralnego
rzędu k .
Zauważmy, że wartośc oczekiwana jest momentem zwykłym rzędu k= 1
.
Momenty zwykłe i centralne są ze sobą związane . Mamy więc :
( )
1o ,
( ) , ( )
2o -
( ) ( ) ,
( ) , ( ) ( )
3o -
( ) ( )
, itd.
Twierdzenie:
Jeśli istnieje moment rzędu r zmiennej losowej X , to istnieją wszystkie
momenty rzędu s < r .
14
 Szczególne znaczenie wśród momentów centralnych ma moment
centralny rzędu drugiego, który jest miarą zmienności (rozproszenia, rozrzutu)
wartości zmiennej losowej względem jej wartości oczekiwanej.
Moment centralny rzędu drugiego nazywamy wariancją i oznaczamy
( ) ( )
Var X = D2X = .
Twierdzenie:
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by wariancja D2X zmiennej
losowej X była równa zeru, jest to, aby zmienna losowa X miała
( )
rozkład jednopunktowy, tzn. .
Definicja:
Pierwiastek kwadratowy z wariancji nazywamy odchyleniem
standardowym " .
Przykład.1.
Wyznaczymy odchylenie standardowe zmiennej losowej dyskretnej o
rozkładzie danym w tablicy :
xk 0 2 4 5 6
pk 0,2 0,1 0,4 0,2 0,1
15
Przykład .12.
Znajdziemy odchylenie standardowe dla ciągłej zmiennej losowej o
( )
.
( )
gęstości prawdopodobieostwa {
Definicja:
Zmienną losową X , dla której zachodzą następujące warunki
EX = 0 , D2X = 1 nazywamy zmiennÄ… losowÄ… standaryzowanÄ… .
Uwaga: Zauważmy, że jeśli zmienna losowa X ma wartośc oczekiwaną
EX = m oraz wariancjÄ™ D2X = Ã2 , to zmienna losowa  jest
zmiennÄ… losowÄ… standaryzowanÄ….
Określimy jeszcze jedną grupę charakterystyk liczbowych zmiennych
losowych zwanych parametrami pozycyjnymi.
Definicja:
Liczbę nazywamy kwantylem p-tego rzędu ( 0 < p <1 ), gdy spełnia
następujące warunki :
( ) ( ) .
16
Uwaga: Jeśli zmienna losowa X jest typu ciągłego, to
( ) ( )
oraz ( ) ( ) ( ) ( ) .
Mamy więc ( ) , a zatem ( ) .
Kwantyl rzędu p = 0,5 nazywamy medianą,
kwanty rzędu p = 0,25 nazywamy kwartylem dolnym,
kwanty rzędu p = 0,75 nazywamy kwartylem górnym.
Definicja:
Wartością modalną ( modą ) zmiennej losowej dyskretnej X nazywamy
taką wartośc , dla której odpowiadające jej prawdopodobieostwo
( ) jest największe.
Wartością modalną zmiennej losowej ciągłej X nazywamy taką wartośc
, dla której gęstośd prawdopodobieostwa osiąga maksimum właściwe.
Uwaga: Z definicji wynika, że kwantyl rzędu p zawsze istnieje, chociaż nie
zawsze jest określony jednoznacznie.
Zmienna losowa może posiadad więcej niż jedną wartośc modalną,
wówczas mówimy o rozkładzie wielomodalnym, albo też wartośc modalna
może nie istnied i wówczas mówimy o rozkładzie antymodalnym.
17
Przykład.1. Rozkład zmiennej losowej X dany jest w tablicy. Wyznaczymy
parametry pozycyjne tej zmiennej.
xk -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
pk 0,20 0,04 0,02 0,20 0,02 0,15 0,05 0,20 0,12
Wartości modalne x = 2, x = 10 . Rozkład dwumodalny.
0 0
Mediana x0,5 = 6, kwartyl dolny x0,25 = 0 , kwartyl górny x0,75 = 10.
Przykład.2. Wyznaczyd medianę oraz modę zmiennej losowej o rozkładzie
xk -2 -1 0 1 2
pk 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3
Moda nie istnieje - rozkład antymodalny. Mediana me = x0,5  [ 0, 1 ] .
Przykład.3. Wyznaczymy medianę , kwartyle oraz wartośc modalną
zmiennej losowej ciągłej o rozkładzie z dystrybuantą
( ) .
18