STATYSTYKA MATEMATYCZNA
1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki
2. Zmienne losowe i ich rozkłady
3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów
4. Testowanie hipotez
5. Testy parametryczne
6. Testy nieparametryczne
7. Korelacja i regresja liniowa i nieliniowa
8. Analiza wariancji
Copyright �2010, Joanna Szyda
WST
P
1. Co to jest prawdopodobieństwo ?
2. Symbole i definicje
3. Obliczanie prawdopodobieństwa
brzegowego, warunkowego, łącznego
4. Wzór Bayesa
5. Zdarzenia zależne i niezależne
6. Elementy kombinatoryki
Copyright �2009, Joanna Szyda
PRAWDOPODOBIEC
STWO
CO TO JEST PRAWDOPODOBIEC
STWO (probability)?
Prawdopodobieństwo na co dzień
" opady deszczu są bardzo prawdopodobne
Prawdopodobieństwo praktyka zawodowa
" w 1 na 100 wyz
rebień klaczy pełnej krwi angielskiej
rodzą się bliz
nięta
Prawdopodobieństwo analiza statystyczna
" rozkłady zmiennych losowych
" testowanie hipotez
" przedziały ufności
Copyright �2009, Joanna Szyda
CO TO JEST PRAWDOPODOBIEC
STWO ?
Pojęcie prawdopodobieństwa XVII wiek
" Blaise Pascal
" Pierre de Fermat
Copyright �2009, Joanna Szyda
CO TO JEST PRAWDOPODOBIEC
STWO ?
Definicja klasyczna,
liczba zdarzeń
tzw. prawdopodobieństwo
elementarnych
a posteriori
sprzyjających zdarzeniu
A (sukcesów)
k
P(�A)�=�
n
liczba wszystkich
zdarzeń elementarnych
(prób)
PRZYKA
AD
Copyright �2009, Joanna Szyda
CO TO JEST PRAWDOPODOBIEC
STWO ?
Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A
" oznaczamy P(A)
" mierzymy w skali od 0 do 1 P(A) �� [ 0, 1 ]
" kiedy P(A) 1 ? Przykład
" kiedy P(A) 0 ? Przykład
" zdarzenie pewne P(A)=? Przykład
" zdarzenie niemożliwe P(A)=? Przykład
Copyright �2009, Joanna Szyda
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA - symbole
SUMA ZDARZEC
A lub B:
A�� B
ILOCZYN ZDARZEC
A i B:
A�� B
ZDARZENIE PRZECIWNE (nie A):
A
PRZYKA
ADY?
Copyright �2009, Joanna Szyda
PRAWDOPODOBIEC
STWO - definicje
PRAWDOPODOBIEC
STWO WARUNKOWE
(conditional probability)
" prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło
zdarzenie B
P( A B)
PRAWDOPODOBIEC
STWO BRZEGOWE
(marginal probability)
" prawdopodobieństwo konkretnego zdarzenia, np. B  osoba
jest chora, spośród całego zbioru rozpatrywanych zdarzeń, np.
A  jest kobietą, C  jest niska, D  ma ponad 50 lat, itp.,
uwzględniające zależności między zdarzeniami różnych typów
Copyright �2009, Joanna Szyda
PRAWDOPODOBIEC
STWO  definicje
Prawdopodobieństwo brzegowe trzeba czasem obliczać jako
PRAWDOPODOBIEC
STWO CAA
KOWITE (total probability)
Jeśli zdarzenie B warunkują dwa wykluczające się
zdarzenia (A i nie A), to:
P(B) =� P(A) �� P(B / A) +� P(A) �� P(B / A)
PRZYKA
AD: obliczanie prawdopodobieństwa natrafienia w populacji
na osobę chorą, jeśli częstość choroby określona została osobno u
kobiet i u mężczyzn
Według teorii jest to tzw. prawdopodobieństwo a priori
OBLICZANIE PRAWDOPODOBIEC
STWA
Journal of Psychiatric Research (2003)
Carter i wsp.
" wystąpienie choroby afektywnej dwubiegunowej
" w zależności od wieku
" ... i uwarunkowań rodzinnych
" 318 pacjentów
wystąpienie choroby
dwubiegunowej
historia choroby w rodzinie <18 lat (E) ł�18 lat (L)
nie występuje (A) 28 35 63
dwubiegunowa (B) 19 38 57
jednobiegunowa (C) 41 44 85
jedno- i dwubiegunowa (D) 53 60 113
141 177 318
Copyright �2009, Joanna Szyda
PRAWDOPODOBIEC
STWO BRZEGOWE (marginal probability)
wystąpienie choroby
dwubiegunowej
historia choroby w rodzinie <18 lat (E) ł�18 lat (L)
nie występuje (A) 28 35 63
dwubiegunowa (B) 19 38 57
jednobiegunowa (C) 41 44 85
jedno- i dwubiegunowa (D) 53 60 113
141 177 318
" Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany chory na chorobę
dwubiegunową ma poniżej 18 lat, P(E)
141
P(�E)�=� =� 0.4434
318
" Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany chory jest dzieckiem
zdrowych rodziców, P(A)
63
P(�A)�=� =� 0.1981
Copyright �2009, Joanna Szyda
318
ZDARZENIA DOPEA
NIAJ
CE SI
(complementary events)
wystąpienie choroby
dwubiegunowej
historia choroby w rodzinie <18 lat (E) ł�18 lat (L)
nie występuje (A) 28 35 63
dwubiegunowa (B) 19 38 57
jednobiegunowa (C) 41 44 85
jedno- i dwubiegunowa (D) 53 60 113
141 177 318
" Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany chory ma poniżej 18 lat, P(E)
141
P(�E)�=� =� 0.4434
318
" Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany chory ma co najmniej 18 lat,
P(L)
(� )�
P(�E)�+� P E =� 1
177
P(�L)�=� P(�E)�=� =� 0.5566
P(E) �� P(E) =� 1
318
Copyright �2009, Joanna Szyda
PRAWDOPODOBIEC
STWO WARUNKOWE (conditional prob.)
wystąpienie choroby
wystąpienie choroby
dwubiegunowej
dwubiegunowej
historia choroby w rodzinie <18 lat (E) ł�18 lat (L)
historia choroby w rodzinie <18 lat (E) ł�18 lat (L)
nie wystepuje (A) 28 35 63
nie wystepuje (A) 28 35 63
dwubiegunowa (B) 19 38 57
dwubiegunowa (B) 19 38 57
jednobiegunowa (C) 41 44 85
jednobiegunowa (C) 41 44 85
jedno- i dwubiegunowa (D) 53 60 113
jedno- i dwubiegunowa (D) 53 60 113
141 177 318
141 177 318
" Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany chory poniżej 18
lat pochodzi ze zdrowej rodziny
" Warunek chory ma poniżej 18 lat
" Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem, że
zaszło zdarzenie E, P(A/E)
28
P(�A/ E)� =� =� 0.1986
141
Copyright �2009, Joanna Szyda
PRAWDOPODOBIEC
STWO A

CZNE (joint probability)
wystąpienie choroby
wystąpienie choroby
dwubiegunowej
dwubiegunowej
historia choroby w rodzinie <18 lat (E) ł�18 lat (L)
historia choroby w rodzinie <18 lat (E) ł�18 lat (L)
nie wystepuje (A) 28 35 63
nie wystepuje (A) 28 35 63
dwubiegunowa (B) 19 38 57
dwubiegunowa (B) 19 38 57
jednobiegunowa (C) 41 44 85
jednobiegunowa (C) 41 44 85
jedno- i dwubiegunowa (D) 53 60 113
jedno- i dwubiegunowa (D) 53 60 113
141 177 318
141 177 318
" Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany chory ma poniżej 18 lat i
pochodzi ze zdrowej rodziny
" Warunek brak, wybór spośród wszystkich chorych
" Prawdopodobieństwo łącznego zajścia zdarzeń A i E, P(AE)
prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń
28
P(�AE)� =� P(�A �� E)� =� =� 0.0881
318
Copyright �2009, Joanna Szyda
WZÓR BAYESA
prawdopodobieństwo prawdopodobieństwo
warunkowe łączne
P(A �� E)
P(�A | E)�=�
P(E)
prawdopodobieństwo
brzegowe
Copyright �2009, Joanna Szyda
WZÓR BAYESA  przekształcenie
Obliczanie prawdopodobieństwa łącznego
(prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń)
P(�A�� E)�=� P(A/ E)P(E)
Copyright �2009, Joanna Szyda
WZÓR BAYESA  wykorzystanie w przykładzie
wystąpienie choroby
dwubiegunowej
historia choroby w rodzinie <18 lat (E) ł�18 lat (L)
nie występuje (A) 28 35 63
dwubiegunowa (B) 19 38 57
jednobiegunowa (C) 41 44 85
jedno- i dwubiegunowa (D) 53 60 113
141 177 318
" Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany chory poniżej 18 lat
pochodzi ze zdrowej rodziny
28
P(AE)
318
P(�A | E)�=� =� =� 0.1986
141
P(E)
318
" Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany chory ma poniżej 18 lat i
pochodzi ze zdrowej rodziny
28 141
P(�AE)�=� P(A | E)P(E) =� �� =� 0.0881
141 318
Copyright �2009, Joanna Szyda
PRAWDOPODOBIEC
STWO SUMY
wystąpienie choroby
wystąpienie choroby
dwubiegunowej
dwubiegunowej
historia choroby w rodzinie <18 lat (E) ł�18 lat (L)
historia choroby w rodzinie <18 lat (E) ł�18 lat (L)
nie wystepuje (A) 28 35 63
nie wystepuje (A) 28 35 63
dwubiegunowa (B) 19 38 57
dwubiegunowa (B) 19 38 57
jednobiegunowa (C) 41 44 85
jednobiegunowa (C) 41 44 85
jedno- i dwubiegunowa (D) 53 60 113
jedno- i dwubiegunowa (D) 53 60 113
141 177 318
141 177 318
" Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany chory ma
powyżej 18 lat P(L) lub że losowo wybrany chory pochodzi
ze zdrowej rodziny P(A); P(L �� A)
177 63 35
P(�L �� A)�=� P(�L)�+� P(�A)�-� P(�LA)�=� +� -� =� 0.64
318 318 318
Copyright �2009, Joanna Szyda
ZDARZENIA ZALEŻNE I NIEZALEŻNE
A B A B
ZDARZENIA NIEZALEŻNE ZDARZENIA ZALEŻNE
" Prawdopodobieństwo łączne (prawdopodobieństwo
iloczynu zdarzeń A i B)
P(�A�� B)�=� P(A)P(B)
P(�A�� B)�=� P(A | B)P(B)
bo:
P(�A�� B)�=� P(A | B)P(B) =� P(A)P(B)
Copyright �2009, Joanna Szyda
ZDARZENIA ZALEŻNE I NIEZALEŻNE
A B A B
ZDARZENIA NIEZALEŻNE ZDARZENIA ZALEŻNE
(independent events) (dependent events)
" Prawdopodobieństwo warunkowe
P(AB)
P(�A | B)�=� P(�A)�
P(�A | B)�=�
P(B)
bo:
P(AB) P(A)P(B)
P(�A | B)� =� =� =� P(A)
P(B) P(B)
Copyright �2009, Joanna Szyda
ZDARZENIA ZALEŻNE I NIEZALEŻNE
A B A B
ZDARZENIA NIEZALEŻNE ZDARZENIA ZALEŻNE
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
P(�A�� B)�=� P(A) +� P(B) -� P(A�� B)
P(�A�� B)�=� P(A) +� P(B) -� P(A)P(B)
??? PRZYKA
AD?
P(�A�� B)�=� P(A) +� P(B)
Kiedy
Zdarzenia ROZA

CZNE to nie to samo co NIEZALEŻNE
Copyright �2009, Joanna Szyda
WZÓR BAYESA  ogólne zastosowanie
prawdopodobieństwo prawdopodobieństwo
warunkowe łączne
P(A �� B)
P(�A | B)� =�
P(B)
prawdopodobieństwo
(brzegowe) całkowite
Copyright �2009, Joanna Szyda
WZÓR BAYESA  ogólne zastosowanie
prawdopodobieństwo prawdopodobieństwo
warunkowe łączne
P(A �� B)
P(�A | B)� =�
P(A) �� P(B / A) +� P(A) �� P(B / A)
prawdopodobieństwo
całkowite
Copyright �2009, Joanna Szyda
KOMBINATORYKA
PERMUTACJE
" Liczba możliwych zestawień wszystkich n elementów
zbioru z uwzględnieniem kolejności
n!=� 3!=�1��2��3 =� 6
Copyright �2009, Joanna Szyda
WARIACJE
" Liczba wszystkich możliwych zestawień k elementów ze
zbioru n elementów z uwzględnieniem kolejności
n! 3!
=� =� 6
(�n -� k)�! 1!
Copyright �2009, Joanna Szyda
KOMBINACJE
" Liczba możliwych k-elementowych podzbiorów zbioru n
elementów (bez uwzględnienia kolejności)
n
ć� ��
n! 3! 6
�� ��
=� =� =� =� 3
��k ��
k!(�n -� k)�! 2!��1! 2
Ł� ł�
Copyright �2009, Joanna Szyda
WST
P
1. Co to jest prawdopodobieństwo ?
2. Symbole i definicje
3. Obliczanie prawdopodobieństwa
brzegowego, warunkowego, łącznego
4. Wzór Bayesa
5. Zdarzenia zależne i niezależne
6. Elementy kombinatoryki
Copyright �2009, Joanna Szyda