3. PORÓWNANIE ESTYMATORÓW
Za pomocą metod momentów i największej wiarygodności otrzymaliśmy dosta-
tecznie wielką liczbę estymatorów dla każdego parametru. W jaki sposób możemy
porównać otrzymane estymatory? Które z tych estymatorów są lepsze? Co należy
przyjąć jako kryterium tego, że estymator jest dobry?
Jest jasne, że estymator jest tym gorszy, im więcej on różni się od prawdziwej
wartości parametru. Jednak wielkość q� * -�q� nie możemy przyjąć dla porównania es-
tymatorów: po pierwsze, parametr q� nie jest znany, po drugie, q� * jest ZL, nie da
się, więc porównać wielkości takiego typu. Np., w jaki sposób możemy porównać
x -� q� albo xk -� q� ? Albo, w jaki sposób możemy porównać na jednym zdarzeniu
elementarnym 2,15 -� q� i 3,1-� q� ?
Dlatego słuszne jest nie porównanie samych różnic (tj. dwóch ZL), a porównanie
ich wartości przeciętnych (tj. WO odpowiednich ZL) Eq� q� * -�q� .
Obliczenie WO wartości bezwzględnej ZL nie zawsze jest łatwe, wówczas dla
porównania estymatorów bardziej wygodne jest wykorzystanie charakterystyki
Eq�(q� * -�q�)2 . Zauważmy także, że wskazana charakterystyka reaguje jak należy na
mające małe prawdopodobieństwo duże odchylenie estymatora od wartości praw-
dziwej parametru (wartość takiego odchylenia podnosi się do kwadratu).
Zauważmy również, że Eq�(q� * -�q�)2 jest funkcja od q� , gdzie q���Q� , co pozwala
badać własności  odchylenia średniokwadratowego dla wszystkich możliwych war-
tości parametru q���Q� .
Jest oczywiste, że w pewnych przypadkach możemy korzystać także z innych
charakterystyk, np. z Eq�(q� * -�q�)4 albo Eq� q� * -�q� .
Istnieje także asymptotyczne podejście do porównania estymatorów, w którym
korzystają z innej charakterystyki  rozproszenia estymatorów względem parametru
przy dużych n.
3.1. Podejście średniokwadratowe. Efektywność estymatorów
Niech x1, ..., xn będzie próbką o liczności n z rodziny parametrycznej rozkładów
Pq� , gdzie q���Q� .
*
Definicja 1. Estymator q�1 jest lepszy niż estymator q�* w sensie średniokwadra-
2
towym, jeżeli dla dowolnego q���Q� spełniona jest nierówność
28
*
Eq�(q�1 -� q�)2 Ł� Eq�(q�* -� q�)2 ,
2
oraz przynajmniej dla jednego q���Q� zachodzi nierówność ostra
*
Eq�(q�1 -� q�)2 <� Eq�(q�* -� q�)2 .
2
Czy istnieje dla wszystkich estymatorów najlepszy w sensie średniokwadrato-
wym? Odpowiedzią sceptyka będzie oczywiście nie. Pokażemy, że on ma rację. Za-
łóżmy, że mamy do czynienia z zagadnieniem niedegeneratywnym, co oznacza, że
nie istnieje statystyki q� *, dla której zachodzi równość q�* =� q� dla dowolnych q���Q� .
Twierdzenie 1. Nie istnieje najlepszego estymatora w sensie średniokwadrato-
wym.
Dowód. Załóżmy, że q� * jest najlepszym estymatorem w sensie średniokwadra-
*
towym. Oznacza to, że dla dowolnego innego estymatora q�1 nierówność
*
Eq�(q� * -�q�)2 Ł� Eq�(q�1 -� q�)2 jest spełniona dla wszystkich q���Q� . Nich q�1 jest dowol-
*
nym elementem zbioru Q� . Rozpatrzmy statystykę q�1 �� q�1. Wówczas mamy
Eq�(q� * -�q�)2 Ł� Eq�(q�1 -� q�)2 dla dowolnego q���Q� .
W szczególności dla q� =� q�1 otrzymujemy Eq�1 (q� * -�q�1)2 Ł� Eq�1 (q�1 -� q�1)2 =� 0. Ponie-
waż q�1 jest dowolne, to dla dowolnego q���Q� spełniona jest równość
Eq�(q� * -�q�)2 =� 0 , co jest możliwe jedynie jeśli q�* �� q� , tj. dla zagadnienia degenera-
tywnego.
Degeneratywne są np. następujące zagadnienia:
�� dla próbki z rozkładu Iq� , q���R , spełniona jest tożsamość x1 �� q�;
�� dla próbki z rozkładu Uq�, q�+�1, q���Z , spełniona jest tożsamość [x1] �� q�.
Jeżeli wśród wszystkich estymatorów nie istnieje najlepszego, to można spró-
bować podzielić klasę wszystkich estymatorów na podklasy rozłączne i w każdej z
podklas szukać estymator najlepszy.
Zwykle rozpatrywane są estymatory o takim samym obciążeniu
b(q�) =� Eq�q� * -�q�.
Oznaczmy przez Kb =� Kb(q�) klasę estymatorów o obciążeniu, równym danej
funkcji b(q�) :
Kb =� {q�*: Eq�q�* =� q� +� b(q�)}, K0 =� {q�*:Eq�q�* =� q�}.
K jest tu klasą estymatorów nieobciążonych.
0
29
Definicja 2. Estymator q�*�� Kb nazywa się efektywnym w klasie Kb , jeżeli on
jest lepszy (nie gorszy) niż wszystkie inne estymatory z klasy Kb w sensie średnio-
*
kwadratowym, tj. dla dowolnego estymatora q�1 �� Kb i dowolnego q���Q� mamy
*
Eq�(q� * -�q�)2 Ł� Eq�(q�1 -� q�)2.
Definicja 3. Estymator efektywny w klasie K0 będziemy krótko nazywali efek-
tywnym.
Uwaga 1. Dla q�*�� K0 mamy zgodnie z definicją wariancji
Eq�(q� * -�q�)2 =� Eq�(q� * -�Eq�q�*)2 =� Dq�q� *,
co oznacza, że porównanie estymatorów nieobciążonych w sensie średniokwadrato-
wym sprowadza się do porównania ich wariancji. Dlatego estymator efektywny (w
klasie K0 ) nazywa się także estymatorem nieobciążonym z jednostajnie najmniejszą
wariancją. Jednostajność tu rozumiemy w sensie  dla wszystkich q���Q�  . Dla
q�*�� Kb mamy
Eq�(q� * -�q�)2 =� Eq�(q�*)2 -� 2q�Eq�q� * +�q�2 =�
=� Eq�(q�*)2 -� (Eq�q�*)2 +� (Eq�q�*)2 -� 2q�Eq�q� * +�q�2 =� Dq�q� * +�(Eq�q� * -�q�)2 =�
=� Dq�q� * +�b2(q�),
co z kolei oznacza, że porównanie estymatorów z takim samym obciążeniem w sen-
sie średniokwadratowym też sprowadza się do porównania ich wariancji.
3.2. Istnienie jedynego efektywnego estymatora w klasie z danym
obciążeniem
*
Twierdzenie 2. Jeżeli q�1 �� Kb i q�* �� Kb są dwa estymatory efektywne w klasie
2
*
Kb , to z prawdopodobieństwem 1 oni są równe siebie: Pq�{q�1 =� q�*} =�1.
2
*
Dowód. Zauważmy na wstępie, że Eq�(q�1 -� q�)2 =� Eq�(q�* -� q�)2 . Istotnie, ponie-
2
*
waż estymator q�1 jest efektywny w Kb , to on jest nie gorszy niż q�* , czyli
2
*
Eq�(q�1 -� q�)2 Ł� Eq�(q�* -� q�)2 . W taki sam sposób możemy dowieść, że
2
* *
Eq�(q�* -� q�)2 Ł� Eq�(q�1 -� q�)2 , skąd wynika żądana równość Eq�(q�1 -� q�)2 =�
2
=� Eq�(q�* -� q�)2 .
2
*
q�1 +� q�*
2
Rozpatrzmy estymator q�* =� , należący oczywiście do klasy Kb (udo-
2
wodnij ten fakt samodzielnie). Zauważmy, że
30
2 2
a +� b a -� b a2 +� b2
ć� �� ć� ��
+� =� . (3.1)
�� �� �� ��
2 2 2
Ł� ł� Ł� ł�
* *
Niech a =� q�1 -� q� , b =� q�* -� q�. Wówczas (a +� b) 2 =� q� * -�q�, a -� b =� q�1 -� q�* .
2 2
Podstawmy otrzymane relacje do wzoru (3.1) i obliczmy WO lewej i prawej części.
Mamy
2
* *
ć�
q�1 -� q�* �� (q�1 -� q�)2 +� (q�* -� q�)2
2 2
��
Eq�(q� * -�q�)2 +� Eq��� =� Eq� =�
�� ��
2 2
Ł� ł�
*
=� Eq�(q�1 -� q�)2 =� Eq�(q�* -� q�)2. (3.2)
2
Ponieważ estymator q� * należy do klasy Kb , to jest on nie lepszy niż estymator
*
efektywny, np. q�1 . Wówczas
*
Eq�(q� * -�q�)2 ł� Eq�(q�1 -� q�)2.
Uwzględniając otrzymaną równość z (3.2) widzimy, że
2
*
ć�
q�1 -� q�* �� 1
* *
2
��
Eq��� =� Eq�(q�1 -� q�* )2 Ł� 0 , a więc Eq�(q�1 -� q�* )2 =� 0 .
2 2
�� ��
2 4
Ł� ł�
* * *
Ponieważ q�1 �� Kb i q�* �� Kb , to Eq�(q�1 -� q�* ) =� 0 , oraz dla ZL h� =� q�1 -� q�* ma-
2 2 2
my Eq�h�2 =� Dq�h� =� 0, skąd na mocy własności wariancji (patrz kurs rachunku praw-
*
dopodobieństwa) wynika, że Pq�{h� =� C} =� 1, tj. Pq�{q�1 -� q�* =� C} =�1, gdzie stała C w
2
*
naszym przypadku musi być równa 0, co znów wynika z równości Eq�(q�1 -� q�* ) =� 0 .
2
*
W rezultacie mamy Pq�{q�1 =� q�*} =�1.
2
Rozpatrzmy przykład porównania dwóch estymatorów. Jest jasne, że nie da się
znalez
ć estymator najlepszy porównując dwa estymatory. Natomiast korzystne jest
wyjaśnić, który z tych dwóch estymatorów jest lepszy. W ciągu dalszym wyjaśnimy
również, w jaki sposób znalez
ć estymator najlepszy.
Przykład 1. Niech x1, ..., xn będzie próbką o liczności n z rozkładu jednostajne-
go U0, q� , gdzie q� >� 0 . W przykładach 2.2 i 2.7 znaleziono ENW
~
q� =� x(n) =� max{x1, ..., xn} i EMM względem pierwszego momentu q�* =� 2x. Porów-
najmy je średniokwadratowo (w sensie średniokwadratowym).
Estymator q�* =� 2x jest nieobciążony. Dlatego
Dq�x1 q�2 q�2
Eq�(q� * -�q�)2 =� Dq�q�* =� Dq�(2x) =� 4Dq� x =� 4 =� 4 =� .
n 12n 3n
~
Dla q� =� x(n) =� max{x1, ..., xn} mamy
31
Eq�(~ -� q�)2 =� Eq�~2 -� 2q�Eq�~ +� q�2 .
q� q� q�
~
Obliczmy pierwszy i drugi moment ZL q� =� x(n) . Znajdz
my najpierw dystrybu-
~
antę i gęstość ZL q� :
0, y <� 0,
��
��
�� yn
Pq�{x(n) <� y} =� (Pq�{x1 <� y})n =� , y ��[0; q�],
��
n
��q�
��
��1, y >� q�,
0, y ��[0; q�],
��
��
fx(n) (y) =�
��
yn-�1
��n , y ��[0; q�].
�� q�n
q� q�
yn -�1 n yn-�1 n
Eq�x(n) =� yn dy =� q� , Eq�x(n)2 =� y2n dy =� q�2 .
�� ��
n +�1 n +� 2
q�n q�n
0 0
Wówczas
n n 2
Eq�(x(n) -� q�)2 =� q�2 -� 2 q�2 +� q�2 =� q�2 .
n +� 2 n +� 1 (n +� 1)(n +� 2)
A więc przy n =�1, 2 odchylenia średniokwadratowe są równe sobie, a przy n >� 2
mamy
2q�2 q�2
Eq�(x(n) -� q�)2 =� <� =� Eq� (2x -� q�)2 ,
(n +�1)(n +� 2) 3n
co oznacza, że estymator x(n) jest lepszy niż 2x . Przy czym Eq�(x(n) -� q�)2 dąży do
zera z szybkością n-�2 , natomiast, Eq� (2x -� q�)2  z szybkością n-�1.
3.3. Estymatory asymptotycznie normalne (EAN)
k
Porównanie estymatorów postaci q�* =� (k +�1)xk , gdzie k ł� 2 (patrz przykład
k
2.2), nie zawsze jest możliwe w sensie średniokwadratowym, ponieważ nie zawsze
jest możliwe obliczenie drugiego momentu takiego estymatora. Estymatory wskaza-
nej postaci (funkcje od pewnych sum) da się porównać za pomocą podejścia asymp-
totycznego. Bardziej dokładnie: podejście asymptotyczne stosuje się do  asympto-
tycznie normalnych estymatorów.
Niech x1, ..., xn będzie próbką o liczności n z rodziny parametrycznej rozkładów
Pq� , gdzie q���Q� .
Definicja 4. Estymator q� * nazywa się asymptotycznie normalnym estymatorem
parametru q� ze współczynnikiem s�2(q�) , gdy
32
n(q� * -�q�)
n(q� * -�q�) �� N0, s�2 (q�) , czyli �� N0, 1.
s�(q�)
Przykład 2. Niech x1, ..., xn będzie próbką o liczności n z rozkładu jednostajne-
~
go U0, q� , gdzie q� >� 0 . Sprawdz
my czy są estymatory q�* =� 2x oraz q� =� x(n) asympto-
tycznie normalne (EAN). Z CTG wynika, że
n n
ć� ��
��
��x �� ��2x -� nq�
i i
i=�1 i=�1
n(q� * -�q�) =� n(2x -� q�) =� n��2 -� q��� =� =�
�� ��
n
n
�� ��
�� ��
Ł� ł�
n
��2x -� nEq� (2x1)
i
i=�1
=� �� N0, Dq�(2x1) =� N0, 4Dq�x1 .
n
Oznacza to, że estymator q�* =� 2x jest asymptotycznie normalny ze współczynnikiem
s�2(q�) =� 4Dq�x1 =� 4q�2 12 =� q�2 3.
~
Dla estymatora q� =� x(n) mamy
~
n(q� -� q�) =� n(x(n) -� q�) <� 0 z prawdopodobieństwem 1. (3.3)
Według definicji x�n �� x� , gdy dla dowolnego punktu ciągłości x dystrybuanty F
ma miejsce zbieżność Fx�n (x) =� P{x�n <� x} �� F(x) =� P{x� <� x}.
Mamy jednak, że P{ n(x(n) -� q�) <� 0} =�1, a dla rozkładu normalnego N0, s�2(q�)
dystrybuanta F�0, s�2 (q�) (x) jest ciągła dla wszystkich rzeczywistych x i
F�0, s�2 (q�) (0) =� 0,5. Jednak 1 nie jest zbieżne do 0,5 gdy n �� Ą� , dlatego nie ma miej-
sca słaba zbieżność n(x(n) -� q�) do N0, s�2(q�) .
~
Estymator q� =� x(n) nie jest więc asymptotycznie normalny. Pozostaje nam
wówczas odpowiedzieć na następujące pytania:
1) Do czego są zbieżne według rozkładu ZL n(x(n) -� q�) ?
Ćwiczenie. Udowodnij, że n(x(n) -� q�) �� 0.
Kolejność czynności: Wypisz definicję słabej zbieżności. Podaj wykres dys-
trybuanty rozkładu zera. Wyznacz według definicji rozkład ZL n(x(n) -� q�) .
Przekonaj się, że jest on zbieżny do dystrybuanty zera we wszystkich punk-
tach jej ciągłości. Pamiętaj (analiza matematyczna) o istnienie pewnych czę-
sto stosowanych granic, logarytmów i szeregów Taylora.
33
2) Jeżeli n(x(n) -� q�) �� 0, to na co warto spróbować mnożyć x(n) -� q� by uzy-
skać zbieżność do wielkości różnej od 0 i Ą� ?
Ćwiczenie. Udowodnij, że -� n(x(n) -� q�) �� h� , gdzie ZL h� ma rozkład wy-
kładniczy E1 q� .
Kolejność czynności: jak w punkcie 1.
n +�1
3) Dla estymatora x(n) własność (3.3) nie jest spełniona. Czy może ten es-
n
tymator być EAN?
Ćwiczenie. Modyfikuj rozważania i udowodnij, że ten estymator nie jest
EAN.
~
4) Czy to jest złe, że estymator q� =� x(n) nie jest asymptotycznie normalny? Być
może, zbieżność n(x(n) -� q�) �� -�h� jest jeszcze lepsza?
Spróbujemy odpowiedzieć na ostatnie pytanie.
3.4. Szybkość zbieżności estymatora do parametru
Twierdzenie 3. Jeżeli q� * jest estymatorem asymptotycznie normalnym dla q� , to
estymator q� * jest zgodny.
Dowód. Przypomnijmy następującą własność słabej zbieżności: iloczyn dwóch
ciągów ZL, z których jeden jest zbieżny według prawdopodobieństwa do pewnej sta-
łej, a drugi słabo zbieżny do pewnej ZL, jest słabo zbieżny do iloczynu granic wska-
zanych dwóch ciągów. Wówczas mamy
1
q� * -�q� =� �� n(q� * -�q�) �� 0 �� x� =� 0 ,
n
gdzie x� spełnia rozkład normalny N0, s�2 (q�) . Wiadomo, bowiem, że ze słabej zbież-
ności do zera wynika zbieżność do zera według prawdopodobieństwa.
Ćwiczenie. Czy prawdziwa jest treść twierdzenia 3 w tym przypadku, gdy ZL x�
ma rozkład, który różni się od rozkładu normalnego?
Wówczas w tym przypadku, gdy q� * jest EAN, mamy q� * ��p��q�, czyli
��
q� * -�q� ��p
���0. Z własności asymptotycznej normalności wynika w szczególności, że
34
szybkość wskazanej zbieżności jest rzędu 1 n , tj. odległość q� * od q� zachowuje się
jako 1 n :
q� * -�q� ��p
���0, natomiast n(q� * -�q�) �� N0, s�2 (q�) .
~
Popatrzmy z tego punktu widzenia na estymator q� =� x(n) z przykładu 1. Dla nie-
go (z uwzględnieniem wyników ćwiczeń) mamy
n(x(n) -� q�) �� x� , (3.4)
~
gdzie x� jest pewna ZL. Innymi słowy, odległość między q� a q� zachowuje się jako
1 n.
3.5. Asymptotyczna normalność EMM
Na podstawie przykładu 2 wnioskujemy, że dla estymatorów typu 2x własność
asymptotycznej normalności wynika natychmiast z CTG.
Ustalmy obecność własności asymptotycznej normalności u bardziej skompli-
kowanych estymatorów, którymi są w szczególności EMM.
Własność 1. Niech funkcja g(x) spełnia warunek 0 ą� Dq�g(x1) <� Ą� . Wówczas
1
statystyka g(x) =�
��g(x ) jest estymatorem asymptotycznie normalnym dla
i
n
Eq�g(x1) ze współczynnikiem s�2(q�) =� Dq�g(x1) :
g(x) -� Eq�g(x1)
n �� N0, 1.
Dq�g(x1)
Ćwiczenie. Udowodnić własność 1 korzystając z CTG.
Z następnego twierdzenia wynika asymptotyczna normalność estymatorów po-
staci
n
ć�
��1g(x ) ��
i
��
q�* =� H(�g(x))�=� H�� .
�� ��
n
Ł� ł�
Podobne estymatory otrzymujemy zwykle korzystając z metody momentów. Przy
czym zawsze q� =� H (Eq�g(x1)) .
Twierdzenie 4. Niech funkcja g(x) spełnia warunek 0 ą� Dq�g(x1) <� Ą� , a funkcja
ó� ó�
H (y) ma ciągłą pochodną w punkcie a =� Eq�g(x1) oraz H (a) =� H ( y) ą� 0 .
y =�a
35
Wówczas estymator q�* =� H(�g(x))� jest asymptotycznie normalnym estymatorem
ó�
dla q� =� H (Eq�g(x1)) =� H (a) ze współczynnikiem s�2(q�) =� (H (a))2 �� Dq�g(x1) .
Dowód. Na mocy PWL ciąg g(x) ze wzrostem n dąży do a =� Eq�g(x1) według
prawdopodobieństwa. Zgodnie z założeniem funkcja
H ( y) -� H (a)
��
, gdy y ą� a,
��
G( y) =� y -� a
��
��H ó�(a), gdy y =� a
��
jest ciągła w punkcie a. Ponieważ zbieżność według prawdopodobieństwa zachowuje
się dla funkcji ciągłej od zbieżnego ciągu ZL, otrzymujemy, że
ó�
G(�g(x))��p
���G(a) =� H (a) .
Zauważmy, że zgodnie z własnością 1 ciąg ZL n(�g(x) -� a)� jest słabo zbieżny
do rozkładu normalnego N0, Dq� g (x1 ) . Niech x� jest ZL o takim rozkładzie. Mamy,
więc,
ó�
n(�H(�g(x))�-� H (a))�=� n(�g(x) -� a)���G(�g(x))��� x� �� H (a) .
�� Ż� p
x�
ó�
H (a)
Skorzystaliśmy tutaj z następującej własności słabej zbieżności: jeżeli x�n �� x�
ó�
oraz h�n ��p��c =� const , to x�nh�n �� cx� . Natomiast x� �� H (a) akurat ma rozkład
��
N0, (H ó�(a))2 .
��Dq� g( x1 )
Przykład 3. Niech x1, ..., xn będzie próbką o liczności n z rozkładu jednostajne-
k
go U0, q� , gdzie q� >� 0 . Sprawdz
my, czy są estymatory q�* =� (k +�1)xk , k =�1, 2, ...,
k
otrzymane za pomocą metody momentów asymptotycznie normalne.
k
Niech g(y) =� (k +�1)yk , H ( y) =� y . Wówczas mamy
n
(k +� 1) xi k
ć�
��
��g(x ) ��
i
k 1
k
�� ��
q�* =� (k +� 1)xk =� =� H��
k
��.
n n
Ł� ł�
Jest jasne, że w tym przypadku
q�k
k
k
q� =� H (Eq�g(x1)) =� Eq�(k +� 1)x1k =� (k +� 1) .
k +�1
Sprawdz
my inne warunki twierdzenia 4:
q�k
a =� Eq�g(x1) =� (k +� 1) =� q�k ,
k +�1
36
2
q�2k k
wariancja Dq�g(x1) =� Eq�(�(k +�1)2 x12k)�-� a2 =� (k +�1)2 -� q�2k =� q�2k jest
2k +�1 2k +�1
skończona i różna od zera. Funkcja H (y) jest ciągle różniczkowalna w punkcie a:
1-�k
1 1
k
ó� ó� ó�
H (y) =� y , oraz H (a) =� H (q�k ) =� q�1-�k jest ciągła, gdy q� >� 0 .
k k
Wówczas na mocy twierdzenia 4 estymator q�* jest EAN dla q� ze współczynnikiem
k
2
1 k q�2
ó�
s�k 2 (q�) =� (H (a))2 Dq�g(x1) =� q�2-�2k �� q�2k =� .
2
2k +� 1 2k +� 1
k
*
q�2
Np. dla q�1 =� 2x otrzymujemy współczynnik s�12(q�) =� (patrz przykład 2).
3
Pozostało zrozumieć, jaki związek to wszystko ma z porównaniem estymatorów.
3.6. Podejście asymptotyczne do porównania estymatorów
Rozpatrzmy dwie ZL: x� mającą rozkład N0,1 oraz 10x� o rozkładzie N0,100 . Je-
żeli dla ZL x� mamy np. 0,9973... =� P{x� <� 3}, to dla 10x� mamy już
0,9973... =� P{10x� <� 30}. Rozproszenie wartości ZL 10x� jest dużo większe i odpo-
wiednio większa jest jej wariancja będąca miarą rozproszenia.
Co charakteryzuje współczynnik asymptotycznej normalności? Wez
my dwa
EAN ze współczynnikami 1 i 100:
*
n(q�1 -� q�) �� N0,1, oraz n(q�* -� q�) �� N0,100 .
2
Dla dużych n rozproszenie ZL n(q�* -� q�) wokół zera jest dużo większe niż odpo-
2
*
wiednie rozproszenie ZL n(q�1 -� q�), ponieważ większa jest jej wariancja asympto-
tyczna (to samo, co współczynnik asymptotycznej normalności).
Jest oczywiste, że im mniejsze jest rozproszenie estymatora, tym lepiej. W spo-
sób naturalny wynika stąd następująca metoda porównania EAN.
*
Definicja 5. Niech q�1 jest EAN ze współczynnikiem s�12(q�) oraz q�* jest EAN ze
2
*
współczynnikiem s�22(q�) . Mówimy, że q�1 jest lepszy niż q�* w sensie podejścia
2
asymptotycznego, jeżeli dla dowolnego q���Q� mamy
s�12(q�) Ł� s�22(q�) ,
oraz chociażby dla jednej wartości q���Q� zachodzi odpowiednia nierówność ostra.
Przykład 3 (ciąg dalszy). Porównujmy w sensie asymptotycznym estymatory,
*
które tworzą ciąg q�1, q�* , .... Dla q�* współczynnik asymptotycznej normalności ma
2 k
37
postać s�k 2(q�) =� q�2 (2k +�1), tj. zmniejsza się ze wzrostem k. Oznacza to, że każdy
następny estymator wskazanego ciągu jest lepszy niż poprzedni.
Ostatni (graniczny) estymator ciągu q�* byłby najlepszym z tych estymatorów
Ą�
gdyby przedstawiał sobą EAN. Natomiast tak niestety nie jest.
p. n
Ćwiczenie. Udowodnij, że q�* ���.�� x(n) , tj. dla dowolnego zdarzenia ele-
��
k
mentarnego w� przy k �� Ą� mamy
n
��(x (w�))k
i
k
i =�1
(k +�1) �� max{x1(w�), ..., xn (w�)}.
n
~
Po raz kolejny zwróćmy uwagę na to, że estymator q� =� x(n) jest lepszy niż każ-
dy z EAN, ponieważ szybkość jego zbieżności do parametru q� , jak to wynika ze
wzoru (3.4), jest równa n-�1, a szybkość dla dowolnego EAN jest n-�1 2 .
38