Wykład
STATYSTYKA
MATEMATYCZNA
dla kierunku
Zarządzanie SUM
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Statystyka Matematyczna
Weryfikacja hipotez  ogólnie
Hipoteza statystyczna
dowolne przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu cechy populacji,
o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie pobranej
próby. Przypuszczenia te dotyczą najczęściej postaci rozkładu lub wartości jego
parametrów.
Hipoteza parametryczna
hipoteza dotycząca wyłącznie wartości parametru (lub parametrów) określonej
klasy rozkładów.
Hipoteza nieparametryczna
hipoteza dotycząca np. postaci rozkładu, losowości, nie dotycząca wartości
parametrów.
Hipoteza prosta
precyzuje dokładne wartości wszystkich nieznanych parametrów rozkładu
badanej cechy
Hipoteza złożona
dotyczy wartości przybliżonych wszystkich nieznanych parametrów rozkładu
badanej cechy.
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 2
Statystyka Matematyczna
Hipoteza zerowa
hipoteza weryfikowana, testowana na podstawie próby.
Hipoteza alternatywna
taka hipoteza, którą jesteśmy skłonni przyjąć, jeżeli zostanie odrzucona
hipoteza zerowa.
Test statystyczny
metoda postępowania, która każdej możliwej realizacji próby x , & , x
1 n
przyporządkowuje  z góry ustalonym prawdopodobieństwem  decyzję
przyjęcia lub odrzucenia weryfikowanej hipotezy.
Statystyka testowa
funkcja z próby na podstawie, której podejmujemy decyzję o odrzuceniu lub nie
odrzuceniu hipotezy zerowej. Oznaczmy ją ogólnie �(x , & , x ).
1 n
Zbiór krytyczny (odrzuceń hipotezy)
�(x , & , x ) " W
1 n
jeżeli �(x , & , x ) " W H nie odrzucamy
1 n 0
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 3
Statystyka Matematyczna
Decyzja dot. H H prawdziwa H fałszywa
0 0 0
odrzucamy błąd I  go rodzaju decyzja prawidłowa
nie odrzucamy decyzja prawidłowa błąd II  go rodzaju
Błąd I  go rodzaju
błąd wnioskowania polegający na odrzuceniu hipotezy prawdziwej.
Błąd II  go rodzaju
błąd wnioskowania polegający na nie dorzuceniu hipotezy fałszywej.
Poziom istotności
liczba ą z przedziału (0, 1) oznaczająca prawdopodobieństwo popełnienia błędu
I  go rodzaju, czyli odrzucenia hipotezy prawdziwej.
ą = 0.01
ą = 0.05
ą = 0.10
Na poziomie istotności ą, przy wykorzystaniu statystyki testowej �(x , & , x )
1 n
wyznaczamy taki zbiór krytyczny W, aby w przypadku gdy prosta hipoteza
zerowa jest prawdziwa spełniony był warunek
P{ �(x , & , x ) " W | H ) = ą
1 n 0
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 4
Statystyka Matematyczna
Na poziomie istotności ą, przy wykorzystaniu statystyki testowej �(x , & , x )
1 n
wyznaczamy taki zbiór krytyczny W, aby w przypadku gdy złożona hipoteza
zerowa jest prawdziwa (lub hipoteza prosta ale zmienna jest typu skokowego)
spełniony był warunek
P{ �(x , & , x ) W | H ) d" ą
1 n 0
Przykłady hipotez:
H : � = �
0 0
H : � `" � (dwustronny obszar krytyczny)
1 0
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 5
Statystyka Matematyczna
H : � e" �
0 0
H : � < � (lewostronny obszar krytyczny)
1 0
H : � d" �
0 0
H : � > � (prawostronny obszar krytyczny)
1 0
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 6
Statystyka Matematyczna
�
prawdopodobieństwo nieodrzucenia hipotezy fałszywej, czyli popełnienia błędu
II  go rodzaju.
Moc testu (1  �)
prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy fałszywej, czyli podjęcia decyzji
prawidłowej.
v� Istota konstruowania testów statystycznych polega na tym, żeby przy
ustalonym poziomie istotności ą, zminimalizować � tym samym
zmaksymalizować moc testu (1  �).
v� Test, który przy ustalonym prawdopodobieństwie błędu pierwszego
rodzaju minimalizuje prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju
nazywamy testem najmocniejszym hipotezy H względem prostej
0
hipotezy alternatywnej H .
1
v� Jeśli natomiast test jest najmocniejszy względem każdej hipotezy
alternatywnej ze zbioru hipotez H (a więc w przypadku hipotez
1
złożonych) nazywamy go testem jednostajnie najmocniejszym względem
hipotezy alternatywnej H .
1
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 7
Statystyka Matematyczna
Weryfikacja hipotez - jedna populacja
Hipoteza: H : p = p
0 0
H : p `" p
1 0
Założenia: X ~ D(p)
Próba: X , & , X
1 n
Wartości zmiennej X: 1  sukces; 0  porażka (X = 0 lub X = 1)
i i
Poziom istotności: ą
Weryfikacja: test przybliżony
Statystyka testowa:
5�L� - 5�[�5�]�0
5�H�5�R�5�Z�5�]� =
( )
"5�[�5�]�0 1 - 5�]�0
gdzie
5�[�
5�L� = " 5�K�5�V�
5�V�=1
5���
Wartość krytyczna 5�H�1-
2
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 8
Statystyka Matematyczna
Wnioskowanie:
Jeżeli |5�H�5�R�5�Z�5�]�| > 5�H�1-5���
, to H : p = p odrzucamy.
0 0
2
Jeżeli |5�H�5�R�5�Z�5�]�| < 5�H�1-5���
, to H : p = p nie odrzucamy.
0 0
2
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 9
Statystyka Matematyczna
Hipoteza: H : p d" p
0 0
H : p > p
1 0
Założenia: X ~ D(p)
Próba: X , & , X
1 n
Wartości zmiennej X: 1  sukces; 0  porażka (X = 0 lub X = 1)
i i
Poziom istotności: ą
Weryfikacja: test przybliżony
Statystyka testowa:
5�L� - 5�[�5�]�0
5�H�5�R�5�Z�5�]� =
( )
"5�[�5�]�0 1 - 5�]�0
gdzie
5�[�
5�L� = " 5�K�5�V�
5�V�=1
Wartość krytyczna: 5�H�1-5���
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 10
Statystyka Matematyczna
Wnioskowanie:
Jeżeli 5�H�5�R�5�Z�5�]� > 5�H�1-5���, to H : p d" p odrzucamy.
0 0
Jeżeli 5�H�5�R�5�Z�5�]� < 5�H�1-5���, to H : p d" p nie odrzucamy.
0 0
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 11
Statystyka Matematyczna
Przykład:
Przeprowadzono ankietę dotycząca poparcia dla partii ,,Jupijajej . Wśród
tysiąca ankietowanych 850 osób wyraziło swoje poparcie. Czy prawdą jest, że
partię popiera 90% wyborców ,,Jupijajej ?
Populacja: osoby uprawnione do głosowania
Próba: 1000 ankietowanych
Badana cecha: stosunek wyborcy do partii ,,Jupijajej
Wartości cechy: popiera (1); nie popiera (0)  cecha dwuwartościowa
Założenia: X ~ D(p)
Poziom istotności: ą = 0,05
Pytanie: Czy prawdą jest, że partię popiera 90% wyborców ,,Jupijajej ?
Cel: sprawdzić odsetek wyborców popierających partię; sprawdzić parametr
rozkładu dwupunktowego p = 0.90
Metody: weryfikacja hipotezy, test przybliżony
5�L� - 5�[�5�]�0
5�H�5�R�5�Z�5�]� =
( )
"5�[�5�]�0 1 - 5�]�0
Dane:
" n = 1000 (rozmiar próby, liczebność próby)
" p = 0,90
0
" ą = 0,05
" 5�H�1-5���
= 5�H�1-0,05 = 5�H�0,975 = 1,96
2
2
"5�[�
" 5�L� = 5�K�5�V� = 0 + 1 + 1 + 0 + �" + 1 = 850
5�V�=1
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 12
Statystyka Matematyczna
Hipoteza:
H : p = p
0 0
Zakładamy, że 90% wyborców popiera partię "Jupijajej .
Weryfikacja:
5�L� - 5�[�5�]�0
5�H�5�R�5�Z�5�]� =
( )
"5�[�5�]�0 1 - 5�]�0
850 - 1000 " 0,90 850 - 900 -50
5�H�5�R�5�Z�5�]� = = = = -5,27
900 " 0,10
90
( ) " "
"1000 " 0,90 " 1 - 0,90
Wnioskowanie:
Jeżeli |5�H�5�R�5�Z�5�]�| > 5�H�1-5���
, to H : p = p odrzucamy.
0 0
2
Jeżeli |5�H�5�R�5�Z�5�]�| < 5�H�1-5���
, to H : p = p nie odrzucamy.
0 0
2
5,27 > 1,96
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 13
Statystyka Matematyczna
Wnioski: Na poziomie istotności ą = 0,05 hipotezę zerową odrzucamy.
Komentarz 1.: Nie jest prawdą, że 90% wyborców popiera partię  Jupijajej .
Uwaga: 5�]� " (0,83; 0,87)
Komentarz 2.: Na 95% możemy być pewni, że partię popiera nie mniej niż 83%
wyborców, ale nie więcej niż 87%.
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 14
Statystyka Matematyczna
Przykład:
Brytyjski ekspert twierdzi, że nie więcej niż 70% wszystkich zagranicznych
inwestorów na giełdzie londyńskiej stanowią Amerykanie. Chcący to sprawdzić
analityk zgromadził losową próbę 210 rachunków zagranicznych inwestorów
w Londynie i stwierdził, że 130 z nich to obywatele amerykańscy. Czy brytyjski
ekspert ma w takim razie rację?
Populacja: inwestorzy na giełdzie londyńskiej
Próba: 210 inwestorów
Badana cecha: narodowość inwestora zagranicznego
Wartości cechy: Amerykanin (1); nie Amerykanin (0)  cecha dwuwartościowa
Założenia: X ~ D(p)
Poziom istotności: ą = 0,05
Pytanie: Czy prawdą jest, że nie więcej niż 70% inwestorów zagranicznych na
giełdzie londyńskiej stanowią Amerykanie?
Cel: sprawdzić czy parametr rozkładu dwupunktowego p = 0,70
Metody: weryfikacja hipotezy, test przybliżony
5�L� - 5�[�5�]�0
5�H�5�R�5�Z�5�]� =
( )
"5�[�5�]�0 1 - 5�]�0
Dane:
" n = 210 (rozmiar próby, liczebność próby)
" p = 0,70
0
" ą = 0,05
" 5�H�1-5��� = 5�H�1-0,05 = 5�H�0,95 = 1,64
"5�[�
" 5�L� = 5�K�5�V� = 0 + 1 + 1 + 0 + �" + 1 = 130
5�V�=1
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 15
Statystyka Matematyczna
Hipoteza:
H : p p
0 0
Zakładamy, że nie więcej niż 70% inwestorów zagranicznych na giełdzie
londyńskiej to Amerykanie.
Weryfikacja:
5�L� - 5�[�5�]�0
5�H�5�R�5�Z�5�]� =
( )
"5�[�5�]�0 1 - 5�]�0
130 - 210 " 0,70
5�H�5�R�5�Z�5�]� = = -2,56
( )
"210 " 0,70 " 1 - 0,70
Wnioskowanie:
Jeżeli 5�H�5�R�5�Z�5�]� > 5�H�1-5���, to H : p d" p odrzucamy.
0 0
Jeżeli 5�H�5�R�5�Z�5�]� < 5�H�1-5���, to H : p d" p nie odrzucamy
0 0
-2,56 < 1,64
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 16
Statystyka Matematyczna
Wnioski: Na poziomie istotności ą = 0,05 hipotezy zerowej nie odrzucamy.
Komentarz: Możemy sądzić, że nie więcej niż 70% inwestorów zagranicznych na
giełdzie londyńskiej to Amerykanie. Ekspert ma rację.
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 17
Statystyka Matematyczna
Hipoteza: H : ź = ź
0 0
H : ź `" ź
1 0
Założenia: X ~ N(ź, �2), gdzie ź, �2 - nieznane
Próba: X , & , X
1 n
Wartości zmiennej X: liczby rzeczywiste
Poziom istotności: ą
Weryfikacja: test t (test Studenta)
Statystyka testowa:

5�K� - 5��0
5�a�5�R�5�Z�5�]� = 5�[�
"
5�F�
Wartość krytyczna: t(ą, n-1)
Wnioskowanie:
Jeżeli |5�a�5�R�5�Z�5�]�| > t(ą, n - 1), to H : ź = ź odrzucamy.
0 0
Jeżeli |5�a�5�R�5�Z�5�]�| < t(ą, n - 1), to H : ź = ź nie odrzucamy.
0 0
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 18
Statystyka Matematyczna
Hipoteza: H : ź d" ź
0 0
H : ź > ź
1 0
Założenia: X ~ N(ź, �2), gdzie ź, �2 - nieznane
Próba: X , & , X
1 n
Wartości zmiennej X: liczby rzeczywiste
Poziom istotności: ą
Weryfikacja: test t (test Studenta)
Statystyka testowa:

5�K� - 5��0
5�a�5�R�5�Z�5�]� = 5�[�
"
5�F�
Wartość krytyczna: t(2ą, n-1)
Wnioskowanie:
Jeżeli t > t(2ą, n - 1), to H : ź d" ź odrzucamy.
emp 0 0
Jeżeli t < t(2ą, n - 1), to H : ź d" ź nie odrzucamy.
emp 0 0
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 19
Statystyka Matematyczna
Przykład:
Wśród studentów SGGW przeprowadzono badanie dotyczące tygodniowych
wydatków na przyjemności. Informacje uzyskano od 10 losowo wybranych
studentów. Wyniki były następujące: 53, 40, 39, 10, 12, 60, 72, 65, 50, 45. Czy
średnie wydatki na przyjemności wynoszą 40 zł?
Populacja: studenci SGGW
Próba: 10 studentów
Badana cecha: tygodniowe wydatki na przyjemności
Charakter badanej cechy: ilościowa, ciągła, losowa
Założenia: X ~ N(ź, �2), gdzie ź, �2  nieznane
Poziom istotności: ą=0,05
Pytania: Czy średnie wydatki na przyjemności wynoszą 40 zł?
Cel: Sprawdzić czy średnia z rozkładu normalnego wynosi 40.
Metody: weryfikacja hipotezy, test t

5�K� - 5��0
5�a�5�R�5�Z�5�]� = 5�[�
"
5�F�
Dane:
" n = 10 (rozmiar próby, liczebność próby)
" wartości cechy: 53, 40, 39, 10, 12, 60, 72, 65, 50, 45
" ź = 40
0
Hipoteza:
H : ź = ź
0 0
Zakładamy, że średnie tygodniowe wydatki studenta SGGW na przyjemności
wynoszą 40 zł.
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 20
Statystyka Matematyczna
Weryfikacja:
" 5�e�5�V�
5�e� = = 44,6
5�[�
1
( )2
5�F�2 = " 5�e�5�V� - 5�e� = 424,044
5�[� - 1
"
5�F� = 5�F�2 = 20,59233
t(ą; n-1) = t(0,05; 9) = 2,2622

5�K� - 5��0 44,6 - 40
5�a�5�R�5�Z�5�]� = 5�[� = "10 = 0,706
"
5�F� 20,5923
Wnioskowanie:
Jeżeli |5�a�5�R�5�Z�5�]�| > t(ą, n - 1), to H : ź = ź odrzucamy.
0 0
Jeżeli |5�a�5�R�5�Z�5�]�| < t(ą, n - 1), to H : ź = ź nie odrzucamy.
0 0
0,706 < 2,2622
Wnioski: Na poziomie istotności ą=0,05 hipotezy zerowej nie odrzucamy.
Komentarz1.: Możemy sądzić, że średnie wydatki na przyjemności wynoszą
40 zł.
m� ��(29.87; 59.33)
Uwaga:
Komentarz2.: Na 95% jesteśmy pewni że średnie wydatki są nie mniejsze niż
2,87 zł ale nie większe niż 59,33 zł.
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 21
Statystyka Matematyczna
Przykład:
Panuje przekonanie, że przeciętna prowizja sprzedawcy w branży
samochodowej nie przekracza 5 600 zł rocznie. Analityk postanowił to
sprawdzić i w tym celu pobrał próbę 38 sprzedawców i stwierdził, że średnia
prowizja w próbie wynosi 6 480 zł rocznie, zaś odchylenie standardowe
w próbie wynosi 1 209 zł. Czy panujące przekonanie jest słuszne?
Populacja: sprzedawcy samochodów
Próba: 38 sprzedawców
Badana cecha: roczna prowizja
Charakter badanej cechy: ilościowa, ciągła, losowa
Założenia: X ~ N(ź, �2), gdzie ź, �2  nieznane
Poziom istotności: ą=0,05
Pytania: Czy średnia prowizja przekracza 5 600 zł rocznie ?
Cel: sprawdzić czy parametr rozkładu normalnego ź d" 5 600
Metody: weryfikacja hipotezy, test t

5�K� - 5��0
5�a�5�R�5�Z�5�]� = 5�[�
"
5�F�
Dane:
" n = 38 (rozmiar próby, liczebność próby)
" 5�e� = 6 480 5�g�ł
" S = 1 209 zł
" t(2ą, n-1) = t(0,10; 37) = 1,687094
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 22
Statystyka Matematyczna
Hipoteza:
H : ź d" ź
0 0
H : ź d" 5 600
0
Zakładamy, że średnia prowizja sprzedawcy nie przekracza 5 600 zł rocznie.
Weryfikacja:

5�K� - 5��0 6 480 - 5 600
5�a�5�R�5�Z�5�]� = 5�[� = "38 = 4,49
"
5�F� 1 209
Wnioskowanie:
Jeżeli t > t(2ą, n - 1), to H : źd" ź odrzucamy.
emp 0 0
Jeżeli t < t(2ą, n - 1), to H : źd" ź nie odrzucamy.
emp 0 0
4,49 > 1,687094
Wnioski: Na poziomie istotności ą=0,05 hipotezę zerową odrzucamy.
Komentarz 1.: Możemy sądzić, że średnia prowizja sprzedawcy przekracza
5 600 zł rocznie.
Przedział ufności dla średniej: & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Komentarz 2.: & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 23
Statystyka Matematyczna
Hipoteza: H : 5�H�5��� = 5�H�5���
0
5���
H : 5�H�5��� `" 5�H�5���
1
5���
Założenia: X ~ N(ź, �2), gdzie ź, �2 - nieznane
Próba: X , & , X
1 n
Wartości zmiennej X: liczby rzeczywiste
Poziom istotności: ą
Weryfikacja: test chi  kwadrat
Statystyka testowa:
ć� �� ć� ��
�� �� �� ��
��1-� a� ;n -�1�� oraz c� ��a� ;n -�1��
2 2
Wartości krytyczne: c�
�� �� �� ��
2 2
�� �� �� ��
�� �� �� ��
Ł� ł� Ł� ł�
Wnioskowanie:
ć� ��
�� ��
��a�
2
Jeżeli 5��2 >
c� ;n -�1�� ,
5�R�5�Z�5�]�
�� ��
2
�� ��
�� ��
Ł� ł�
lub
ć� ��
�� ��
��1-� a� ;n -�1�� ,
2
jeżeli 5��2 <
c�
5�R�5�Z�5�]�
�� ��
2
�� ��
�� ��
Ł� ł�
2
to H : �2 = � odrzucamy.
0 0
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 24
Statystyka Matematyczna
Hipoteza: H : 5�H�5��� d" 5�H�5���
0
5���
H : 5�H�5��� > 5�H�5���
1
5���
Założenia: X ~ N(ź, �2), gdzie ź, �2 - nieznane
Próba: X , & , X
1 n
Wartości zmiennej X: liczby rzeczywiste
Poziom istotności: ą
Weryfikacja: test chi  kwadrat
Statystyka testowa:
ć� ��
�� ��
��a�;n -�1��
2
Wartość krytyczna: c�
�� ��
�� ��
�� ��
Ł� ł�
Wnioskowanie:
ć� ��
�� ��
��a�;
2
Jeżeli 5��2 >
0 0
c� n -�1��, to H : �2 d" � 2 odrzucamy.
5�R�5�Z�5�]�
�� ��
�� ��
�� ��
Ł� ł�
ć� ��
�� ��
��a�;
2
Jeżeli 5��2 <
0 0
c� n -�1��, to H : �2 d" � 2 nie odrzucamy.
5�R�5�Z�5�]�
�� ��
�� ��
�� ��
Ł� ł�
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 25
Statystyka Matematyczna
Przykład:
Wśród studentów SGGW przeprowadzono badanie dotyczące tygodniowych
wydatków na przyjemności. Informacje uzyskano od 10 losowo wybranych
studentów. Wyniki były następujące: 53, 40, 39, 10, 12, 60, 72, 65, 50, 45. Czy
zróżnicowanie wydatków wynosi 15 zł?
Populacja: studenci SGGW
Próba: 10 studentów
Badana cecha: tygodniowe wydatki na przyjemności
Charakter badanej cechy: ilościowa, ciągła, losowa
Założenia: X ~ N(ź, �2), gdzie ź, �2  nieznane
Poziom istotności: ą=0,05
Pytania: Czy zróżnicowanie wydatków wynosi 15 zł? = Czy odchylenie
standardowe wydatków wynosi 15 zł? = Czy wariancja wydatków wynosi 225?
Cel: sprawdzić czy parametr rozkładu normalnego �2=225
Metody: weryfikacja hipotezy, test chi - kwadrat
5�c�5�N�5�_� 5�K�
2
5��5�R�5�Z�5�]� = ,
2
5��0
gdzie
5�[� 5�[�
2
( )2
5�c�5�N�5�_� 5�K� = " 5�e�5�V� - 5�e� = " 5�e�5�V� - 5�[� " 5�e�2
5�V�=1 5�V�=1
Dane:
" n = 10 (rozmiar próby, liczebność próby)
" wartości cechy: 53, 40, 39, 10, 12, 60, 72, 65, 50, 45
" � = 225
0
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 26
Statystyka Matematyczna
Hipoteza:
H : � = �
0 0
Zakładamy, że wariancja wydatków wynosi 225.
Weryfikacja:
" 5�e�5�V�
5�e� = = 44,6
5�[�
5�[�
( )2
5�c�5�N�5�_� 5�e� = " 5�e�5�V� - 5�e� = 3 816,396
5�V�=1
5�c�5�N�5�_� 5�K� 3 816,396
2
5��5�R�5�Z�5�]� = = = 16,96
2
5��0 225
5��� 0,05
5��2 ( ; 5�[� - 1) = 5��2 ( ; 10 - 1) = 19,02277
2 2
5��� 0,05
5��2 (1 - ; 5�[� - 1) = 5��2 (1 - ; 10 - 1) = 2,70039
2 2
Wnioskowanie:
ć� ��
ć� ��
�� ��
�� ��
��a�
2
2
Jeżeli 5��2 >
c� ;n -�1�� , lub jeżeli 5��2 < c� ��1-� a� ;n -�1�� ,
5�R�5�Z�5�]� 5�R�5�Z�5�]�
�� ��
�� ��
2
2
�� ��
�� ��
�� �� �� ��
Ł� ł� Ł� ł�
2
to H : �2 = � odrzucamy
0 0
16,96 < 19,02277 16,96 > 2,70039
�2 " (2,70039; 19,02277)
emp
Wnioski: Na poziomie istotności ą=0,05 hipotezy zerowej nie odrzucamy.
Komentarz: Możemy sądzić, że wariancja wydatków wynosi 225, czyli możemy
sądzić, że odchylenie standardowe wynosi 15 zł.
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 27
Statystyka Matematyczna
Przykład:
Panuje przekonanie, że przeciętna prowizja sprzedawcy w branży
samochodowej wynosi 5 600 zł rocznie, zaś wariancja prowizji nie przekracza
1 500 000. Analityk postanowił to sprawdzić i w tym celu pobrał próbę 38
sprzedawców i stwierdził, że średnia prowizja w próbie wynosi 6 480 zł rocznie,
zaś odchylenie standardowe w próbie wynosi 1 209 zł. Czy panujące
przekonanie jest słuszne?
Populacja: sprzedawcy samochodów
Próba: 38 sprzedawców
Badana cecha: roczna prowizja
Charakter badanej cechy: ilościowa, ciągła, losowa
Założenia: X ~ N(ź, �2), gdzie ź, �2  nieznane
Poziom istotności: ą=0,05
Pytania: Czy wariancja przekracza 1 500 000?
Cel: Sprawdzić czy parametr rozkładu normalnego �2 > 1 500 000.
Metody: weryfikacja hipotezy, test chi - kwadrat
5�c�5�N�5�_� 5�K�
2
5��5�R�5�Z�5�]� = ,
2
5��0
gdzie
5�[�
( )2
5�c�5�N�5�_� 5�K� = " 5�e�5�V� - 5�e�
5�V�=1
Hipoteza:
H : � d" �
0 0
Zakładamy, że wariancja prowizji nie przekracza 1 500 000.
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 28
Statystyka Matematyczna
Dane:
" n = 38 (rozmiar próby, liczebność próby)
" 5�e� = 6 480 5�g�ł
" S = 1 209 zł
" � = 1 500 000
0
Weryfikacja:
5�c�5�N�5�_� 5�K� 54 082 197
2
5��5�R�5�Z�5�]� = = = 36,05
2
5��0 1 500 000
( )
5��2 5���; 5�[� - 1 = 16,91898
Wnioskowanie:
ć� ��
�� ��
��a�;
2
Jeżeli 5��2 >
0 0
c� n -�1��, to H : �2 d" � 2 odrzucamy.
5�R�5�Z�5�]�
�� ��
�� ��
�� ��
Ł� ł�
36,05 > 16,91898
Wnioski: Na poziomie istotności ą=0,05 hipotezę zerową odrzucamy.
Komentarz 1.: Możemy sądzić, że wariancja prowizji przekracza 1 500 000.
Przedział ufności dla wariancji: & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Komentarz 2.: & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
dr Dorota Kozioł  Kaczorek
Strona 29