Wyklad z Analizy Matematycznej
wyklad dla studentów na kierunku automatyka i robotyka - wersja robocza (13 listopada 2007)
Boguslaw Bożek
Wydzial Matematyki Stosowanej AGH
1
Spis treści
Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Rozdzial 1. Podstawowe pojecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Podstawowe pojecia logiczne - przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Kwantyfikatory i kwantyfikatory warunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Zbiory  rachunek zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Produkt (iloczyn) kartezjański . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Rozdzial 2. Elementy analizy funkcjonalnej . . . . . . . . . . . . . . . 13
Rozdzial 3. Ciagi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Rozdzial 4. Ciag fundamentalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Rozdzial 5. Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Rozdzial 6. Wlasności funkcji ciaglych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Rozdzial 7. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej . . . . . 33
7.1. Podstawowe definicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2. Pochodne funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.3. Ekstrema lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.4. Pochodne wyższych rzedów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.5. Twierdzenie o wzorze Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.6. Symbole nieoznaczone i regula de L Hospitala . . . . . . . . . . . . . . . 39
Rozdzial 8. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych . . . . 41
Rozdzial 9. Rachunek calkowy  funkcja pierwotna . . . . . . . . . . 45
9.1. Podstawowe definicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.2. Wzory rekurencyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9.3. Podstawowe calki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.4. Calkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9.5. Calkowanie pewnych klas funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Rozdzial 10. Calka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3
Spis treści
10.1. Obliczanie pól i objetości figur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.2. Obliczanie dlugości krzywych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Rozdzial 11. Calka podwójna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11.1. Zastosowania geometryczne calek podwójnych . . . . . . . . . . . . . . . 56
Rozdzial 12. Calka potrójna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Rozdzial 13. Przykladowe zestawy zadań egzaminacyjnych . . . . . 63
Wstep
Tekst ten powstal poprzez przepisanie notatek do wykladu z Analizy Matema-
tycznej, który prowadze na kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elek-
trotechniki, Automatyki, Elektroniki i Informatyki. Zrobilem to na prośbe stu-
dentów i mam nadzieje, że bedzie pomocny dla kolejnych ,,roczników . Pierwsza
cześć jest jeszcze bardzo niekompletna i bede ja stopniowo, w miare możliwości,
uzupelnial.
5
Rozdzial 1
Podstawowe pojecia
1.1. Podstawowe pojecia logiczne - przypomnienie
Wszystkie pojecia matematyczne opisujemy jezykiem, który zbudowany jest
ze zdań logicznych. Nie wchodzac w szczególy, zdaniem logicznym nazywamy
zdanie (w jezyku naturalnym), któremu możemy przyporzadkować ocene prawdy,
badz
falszu. Zdania najcześciej oznaczamy malymi literami, falsz zerem, a prawde
jedynka. Zdania możemy laczyć ze soba przy pomocy funktorów w zdania zlożone.
Wszystkich funktorów zdaniotwórczych dwuczlonowych f jest tyle ile możliwych
ukladów zero-jedynkowych tabelki.
p f q 0 1
0 x x
1 x x
Jednak wszystkie te funktory można wyrazić przez funktory alternatywy (("),
koniunkcji ('") i jednoargumentowy funktor negacji (<"), zdefiniowane poniżej
p (" q 0 1 p '" q 0 1 p <"p
0 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1 1 0 1 1 0
W szczególności funktor implikacji (�!) zdefiniowany tabelka
p �! q 0 1
0 1 1
1 0 1
7
Rozdzial 1. Podstawowe pojecia
można wyrazić za pomoca funktora alternatywy i negacji nastepujaco:
p �! q a" (<" p) (" q
Tautologie. W matematyce role szczególna ogrywaja tautologie.
Definicja 1 Tautologia nazywamy zdanie logiczne zawsze prawdziwe.
Znaczenie tautologii polega na tym, że na nich oparte sa dowody twierdzeń ma-
tematycznych. Za ich pomoca można dokonywać operacji logicznych niezależnie
od treści zdań, które logicznie przeksztalcamy.
Twierdzenie 1 Nastepujace zdania sa tautologiami:
p �! p prawo tożsamości
(p '" p ) prawo sprzeczności
p (" p prawo wylaczonego środka
p �! (p ) prawo podwójnego przeczenia
[(p �! q) '" (q �! r)] �! (p �! r) prawo sylogizmu
(p �! p) �! p prawo sprowadzania do absurdu
(p '" q) = p (" q prawo de Morgana
(p (" q) = p '" q prawo de Morgana
(p �! q �! p '" q
(p �! q) �! [(p '" q ) (" (q '" p )]
p '" q �! (p (" q )
p (" q �! (p '" q )
p �! q �! p (" q
p �! q �! (p �! q) '" (q �! p)
p '" q �! q '" p prawo przemienności
p (" q �! q (" p
(p '" q) '" r �! p '" (q '" r)
(p (" q) (" r �! p (" (q (" r) prawo laczności
p '" (q (" r) �! (p '" q) (" (q '" r)
p (" (q '" r) �! (p (" q) '" (p (" r)
p '" p �! p prawa tautologii
p (" p �! p
p '" 0 �! 0 prawo pochlaniania
p (" 1 �! 1 prawo pochlaniania
p '" 1 �! p prawo neutralności
p (" 0 �! p prawo neutralności
Dowód. Wystarczy zastosować dowód ,,zero - jedynkowy .
8
1.2. Kwantyfikatory i kwantyfikatory warunkowe
1.2. Kwantyfikatory i kwantyfikatory warunkowe
Kwantyfikatory, duży (") i maly (") sa uogólnieniem odpowiednio koniunkcji
i alternatywy. Zdanie czytamy dla każdego x ..., a zdanie czytamy istnieje
" "
x x
takie x ....
1. Dwa kwantyfikatory duże i dwa kwantyfikatory male sa przemienne tj.
"1"2 a" "2"1, "1"2 a" "2"1.
2. Kwantyfikatory duży i maly nie sa przemienne, a dokladniej
"" �! "" oraz "" �! "".
Przyklad 1 Widoczne jest, że
" x " X " y " Y : (x, y) " M
natomiast nieprawda jest
" y" " Y " x " X : (x, y) " M,
gdzie M jest zaznaczonym na rysunku poniżej ,,krzyżem w kostce X �Y przy
czym X i Y odcinki.
3. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów.
4. Zmiana zakresu kwantyfikatorów - kwantyfikatory warunkowe
(p(x) �! q(x)) �! q(x)
" "
x
p(x)
(p(x) '" q(x)) �! q(x)
" "
x
p(x)
1.3. Zbiory  rachunek zbiorów
1. Definicje sumy, iloczynu, różnicy zbiorów.
9
Rozdzial 1. Podstawowe pojecia
2. Kilka równości
A *" B = B *" A
(A *" B) *" C = A *" (B *" C)
A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C)
A *" (B )" C) = (A *" B) )" (A *" C)
A *" A = A
A )" A = A
A *" " = A
A )" " = "
A \ B = A \ ((A )" B)
A )" (B \ C) = A )" B \ C = B )" (A \ C)
(A *" B) = A )" B
(A )" B) = A *" B
3. Udowodnić na wykladzie jaka ś równość np. A )" (B \ C) = A )" B \ C.
Sumy i iloczyny uogólnione
A�, A�
�"T � "T
" "
gdy T = N Ai, Ai
i=1 i=1
Pokazać że:
" "
A )" Ai = (A )" Ai)
i=1 i=1
" "
A *" Ai = (A *" Ai)
i=1 i=1
" "
Ai = A i
i=1 i=1
" "
Ai = A i
i=1 i=1
Pokazać przykladowo że:
1
0, 1 + = [0, 1]
n
n"N
1 1
1 + , 2 + = (1, 3]
n n
n"N
10
1.4. Produkt (iloczyn) kartezjański
1.4. Produkt (iloczyn) kartezjański
Przyklady:
- odcinek ,,razy odcinek
- okrag ,,razy okrag, itp.
1.5. Funkcje
Definicje
Definicja 2 Niech X = ", Y = ". Zbiór f �" X � Y nazywamy funkcja, wtedy i

tylko wtedy gdy
1. (x, y) " f,
" "
x"Xy"Y
2. x1 = x2 =�! y1 = y2.
" "
(x1,y1)"f (x2,y2)"f
Z powyższej definicji wynika, że jeśli para (x, y) należy fo funkcji f, to nastepnik
tej pary, (czyli y) jest wyznaczony jednoznacznie. Oznaczamy go symbolem f(x)
i mówimy, że jest to wartość funkcji f w punkcie x. Sama funkcje f �" X � Y
zapisujemy też symbolicznie f : X Y , lub pelniej f : X x f(x) " Y .
Definicja 3 Mówimy, że funkcja f �" X � Y jest iniekcja, wtedy i tylko wtedy
gdy y1 = y2 =�! x1 = x2.
" "
(x1,y1)"f (x2,y2)"f
Definicja 4 Mówimy, że funkcja f �" X � Y jest suriekcja, wtedy i tylko wtedy
gdy (x, y) " f.
" "
y"Y x"X
Definicja 5 Mówimy, że funkcja f �" X � Y jest bijekcja, wtedy i tylko wtedy
gdy jest iniekcja i suriekcja.
Suriektywność, iniektywność, bijektywność - przyklady. Superpozycja funkcji
- definicja i przyklady, laczność skladania, brak przemienności
Twierdzenie 2 1) Zlożenie dwóch bijekcji jest bijekcja.
2) Jeśli f : R R silnie rosnaca, to f jest iniekcja.
Wyklad zacza ć od:
1) Zbiory liczbowe N, Z, Q, R, C.
k2 k2
2) ai, ai.
i=k1 i=k1
Rozdzial 2
Elementy analizy funkcjonalnej
Zalóżmy, że X = ".

Definicja 6 Funcje � : X �X [0, ") nazywamy metryka, wtedy i tylko wtedy,
gdy
1. �(x, y) = 0 �!�! x = y,
"
x,y"X
2. �(x, y) = �(y, x),
"
x,y"X
3. �(x, z) d" �(x, y) + �(y, z).
"
x,y,z"X
Definicja 7 Jeśli X = " i � : X � X R metryka, to pare (X, �) nazywamy

przestrzenia metryczna.
Przyklady:
1) Rn z metrykami:
1
n
2
�(x, y) = (xi - yi)2 ,
i=1
n
�(x, y) = |xi - yi|,
i=1
�(x, y) = max1d"id"n |xi - yi|.
2) Każda przestrzeń izomorficzna z Rn np. przestrzeń wielomianów stopnia d"
n - 1.
"
3) lp := {x = (�1, . . . , �n, . . .) : |�i|p < "} z metryka
i=1
1
"
p
�(x, y) = ( |�i - �i|p)
i=1
4) C[0, 1] z metrykami:
�(x, y) = maxt"[0,1] |x(t) - y(t)|,
1
�(x, y) = |x(t) - y(t)| dt.
0
13
Rozdzial 2. Elementy analizy funkcjonalnej
1
5) L2[0, 1] = x : [0, 1] R : x2(t)dt < " z metryka
0
1
2
1
�(x, y) = (x(t) - y(t))2 dt
0
6) Jeśli (X1, �1), (X2, �2) sa przestrzeniami metrycznymi, to (X1 � X2, d) jest
przestrzenia metryczna, gdzie d jest metryka określona wzorem
1
2
d ((x1, x2), (x1, x2)) := (�2(x1, x1) + �2(x2, x2)) .
1 2
7) ,,Amazonka .
Twierdzenie 3 Jeżeli (X, �) jest przestrzenia metryczna, to
�
1. X, jest przestrzenia metryczna.
1+�
2. "ą"R (X, ą�) jest przestrzenia metryczna.
+
3. Jeśli f : X X jest iniekcja, to �(x, y) := �(f(x), f(y)) jest metryka,
zatem (X, �) jest przestrzenia metryczna.
Stad np. �(x, y) := |arctan x - arctan y| jest metryka w R.
Definicja 8 Niech (X, �) bedzie przestrzenia metryczna. Kula otwarta o środku
w punkcie x0 i promieniu r e" 0 nazywamy zbiór
K (x0, r) := {x " X : � (x0, x) < r} ,
a kula domknieta zbiór
K (x0, r) := {x " X : � (x0, x) d" r} .
a kuli otwartej i domknietej
Niech X bedzie przestrzenia wektorowa nad cialem K (K = R, lub K = C).
Definicja 9 Funkcje � : X [0, ") nazywamay norma, wtedy i tylko wtedy,
gdy
1. x = 0 �!�! x = 0,
2.
" " ąx = |ą| x ,
ą"K x"X
3. x + y d" x + y .
"
x,y"X
Definicja 10 Pare (X, � ) nazywamy przestrzenia unormowana.
Uwaga 1 Każda norma indukuje metryke wedlug wzoru
�(x, y) := x - y ,
toteż każda przestrzeń unormowana jest przestrzenia metryczna.
14
Definicja 11 Niech (X, �)  przestrzeń metryczna. Ciag x(n) �" X nazy-
n"N
wamy ciagiem Cauchy ego (ciagiem fundamentalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy
� x(m), x(n) < �.
" " " "
�>0 k"N m>k n>k
Definicja 12 Niech (X, �)  przestrzeń metryczna. Mówimy, że ciag x(n) �"
n"N
X jest zbieżny do granicy g " X wtedy i tylko wtedy, gdy ciag liczbowy � x(n), g
ma granice równa 0, tj.
lim x(n) = g �!�! lim � x(n), g = 0 �!�! � x(n), g < �
" " "
n" n"
�>0 k"N N n>k
Definicja 13 Mówimy, że ciag x(n) �" X jest zbieżny w przestrzeni me-
n"N
trycznej (X, �) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g " X, takie że limn" x(n) = g.
Twierdzenie 4 Każdy ciag zbieżny w przestrzeni metrycznej (X, �) jest ciagiem
Cauchy ego.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
1
Przyklad 2 Ciag jest zbieżny do zera w przestrzeni metrycznej (R, �E),
n
n"N
gdzie �E jest metryka euklidesowa. Jest on zatem w myśl poprzedniego twierdzenia
ciagiem Cauchy ego. Niech X := (0, 1) i niech d bedzie restrykcja metryki �E do
X � X. Przestrzeń (X, d) jest przestrzenia metryczna, a rozważany ciag w tej
przestrzeni nie jest zbieżny, gdyż 0 " X.
Definicja 14 Niech (X, �1), (X, �2) beda przestrzeniami metrycznymi. Mówimy
że metryki �1 i �2 sa równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy
n" n"
�1(x(n), g) - 0 �! �2(x(n), g) - 0.
" "
g"X
x(n) �"X
{ }
n"N
Definicja 15 Niech (X, �) przestrzeń metryczna, x(n) �" X. Niech N0 �" N
n"N
bedzie dowolnym podzbiorem, który nie jest ograniczony od góry tzn.
"n"N "m"N : m > n.
0
Wówczas x(m) nazywamy podciagiem ciagu x(n)
m"N0 n"N
Definicja 16 Niech (X, �) przestrzeń metryczna, A �" X. Zbiór A nazywamy
ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy "s"X "r>0 : A �" K(s, r).
Twierdzenie 5 Jeśli limn"x(n) = g1 i limn"x(n) = g2 w przestrzeni me-
trycznej (X, �), to g1 = g2.
Twierdzenie 6 Niech (X, �) przestrzeń metryczna, x(n) �" X. Jeśli ciag
n"N
x(n) jest zbieżny w (X, �), to x(n) ograniczony w (X, �).
n"N n"N
15
Rozdzial 2. Elementy analizy funkcjonalnej
Definicja 17 Przestrzeń metryczna (X, �) nazywamy zupelna, wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciag Cauchy ego x(n) �" X jest zbieżny (do elementu przestrzeni
n"N
X).
Definicja 18 Przestrzeń unormowana zupelna nazywamy przestrzenia Banacha.
Twierdzenie 7 (Banacha o odwzorowaniach zweżajacych)
Jeśli
 (X, � ) przestrzeń Banacha,
 T : X X q-zweżajace tzn.
T (x) - T (y) d" q x - y ,
" "
q"[0,1) x,y"X
to
 T ma jedyny punkt staly tzn. "! x " X : T (x ) = x .
 Ponadto, jeśli x0 " X, xn+1 := T (xn), to
qp
� (x , xp) d" � (x1, xp) dla p " N.
1 - q
Definicja 19 Niech (X, �)  przestrzeń metryczna, A �" X. Mówimy, że zbiór
A jest otwarty w przestzeni (X, �) wtedy i tylko wtedy, gdy
: K(a, r) �" A,
" "
a"A r>0
a domkniety, gdy X \ A  otwarty.
Rozdzial 3
Ciagi liczbowe
W przypadku ciagów liczbowych bedziemy konsekwentnie używać dolnych
indeksów.
Twierdzenie 8 Jeśli {an}n"N i {bn}n"N sa ciagami zbieżnymi, przy czym limn" an =
a oraz limn" bn = b, to ciagi {an + bn}n"N, {an - bn}n"N, {anbn}n"N sa zbieżne.
Ponadto limn" (an + bn) = a+b, limn" (an - bn) = a-b, limn" (anbn) = ab.
an a
Jeśli dodatkowo bn = 0 i b = 0, to ciag jest zbieżny i limn" an = .

bn n"N bn b
Definicja 20 Niech A �" R. Liczbe M " R nazywamy kresem górnym zbioru A
(supremum A), co zapisujemy M = sup A, wtedy i tylko wtedy, gdy
1) a d" M,
"
a"A
2) : M - � < a.
" "
�>0 a"A
Liczbe m " R nazywamy kresem dolnym zbioru A (infimum A), co zapisujemy
m = inf A, wtedy i tylko wtedy, gdy liczba -m jest kresem górnym zbioru -A :=
{-a : a " A}, czyli
1) m d" a,
"
a"A
2) : a < m + �.
" "
�>0 a"A
Twierdzenie 9 Zbiór A �" R niepusty i ograniczony od góry ma kres górny, a
ograniczony od dolu ma kres dolny
Definicja 21 Mówimy, że ciag {an}n"N �" R jest monotonicznie rosnacy wtedy
i tylko wtedy, gdy an+1 e" an.
"
n"N
17
Rozdzial 3. Ciagi liczbowe
Twierdzenie 10 Każdy ciag liczbowy monotoniczny i ograniczony jest zbieżny,
przy czym jeśli ciag {an}n"N jest rosnacy, co krótko bedziemy notować , to
limn"an = sup {an}n"N, natomiast jeśli ciag {an}n"N jest malejacy, co krótko
bedziemy notować , to limn"an = inf {an}n"N.
Twierdzenie 11 (Twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy). Jeśni ciagi
{an}n"N, {bn}n"N sa zbieżne, limn" an = a, limn" bn = b oraz an d" bn, to
"
n"N
a d" b.
Twierdzenie 12 (Twierdzenie o trzech ciagach) Zalóżmy, że dane sa trzy ciagi
{an}n"N, {bn}n"N, {cn}n"N. Jeśli an d" bn d" cn oraz limn" an = limn" cn =:
"
n"
g, to ciag {bn}n"N jest zbieżny i limn" bn = g.
3n
Przyklad an = .
n!
" "
n n
Twierdzenie 13 Ciag { n}n"N jest zbieżny, oraz limn" n = 1.
"
n
Dowód. Zauważmy, że n = 1 + �n, gdzie �n e" 0. Zatem
n
n n
n = (1 + �n)n = �k e" 1 + �2,
n n
k 2
k=0
a stad
n-1 2
0 d" �2 d" =
n
n
n
( )
2
�! �! �!
0 0 0
c.k.d
"
n
Twierdzenie 14 Niech a > 0. Wówczas limn" a = 1.
1
Dowód. Zauważmy, że dla dostatecznie dużych n " N: d" a d" n. Zatem
n
" "
1
n n
"
d" a d" n
n
n
�! �! �!
1 1 1
c.k.d
Twierdzenie 15 Jeśli |q| < 1, to limn" qn = 0.
Dowód. Wystarczy pokazać że limn" |q|n = 0. Zauważmy, że |q|n+1 =
|q| |q|n < |q|n, zatem ciag |q|n jest malejacy. Ponadto |q|n jest ograniczony z
dolu przez 0. Tak wiec ciag ma granice ą = inf {|q|n , n " N}. Należy wy-
kluczyć przypadek ą > 0. Przyjmijmy dla dowodu nie wprost hipoteze, że
" "
n n
limn" |q|n = ą > 0. Tak wiec ą d" |q|n, skad ą d" |q|. Ponieważ lim ą = 1,
zatem z twierdzenia o zachowaniu nierówności w granicy 1 d" |q|, co stanowi
sprzeczność z zalożeniem.
c.k.d.
18
n
1
Twierdzenie 16 Ciag 1 + jest zbieżny. Jego granice oznaczamy symbolem
n
e.
Dowód. Pokażemy, że rozważany ciag jest rosnacy i ograniczony.
1 n 1 n 1 n 1 n 1
an = (1 + )n = 1 + + + . . . + + . . . + =
n 1 n 2 n2 k nk n nn
1 1 2 1 2 k-1
1 - (1 - )(1 - ) (1 - )(1 - ) . . . (1 - )
n n n n n n
= 1 + 1 + + + . . . + +
2! 3! k!
1 n-1
(1 - ) . . . (1 - )
1 1
n n
+ . . . + d" 1 + 1 + + +
n! 2! 3!
1
1 -
1 1 1 1 1
2n
+ . . . + d" 1 + 1 + + + . . . + + . . . + = 1 + < 3.
1
n! 2 22 2k 2n 1 -
2
Z kolei
1 2 1
1 - (1 - )(1 - )
n+1 n+1 n+1
an+1 = 1 + 1 + + +
2! 3!
1 2 n-1 1 2 n
(1 - )(1 - ) . . . (1 - ) (1 - )(1 - ) . . . (1 - )
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
+ . . . + +
n! (n + 1)!
Porównujac odpowiadajace sobie skladniki otrzymujemy an < an+1 dla n e" 1.
Zatem ciag jako rosnacy i ograniczony jest zbieżny.
c.k.d.
"
1
Można też pokazać że e = := limk" k 1 .
n=0 n=0
n! n!
n
1 1
Wniosek 1 limn" 1 - =
n e
n n
1 n-1 1 1 1
Dowód. 1 - = = n = = .
n-1+1 n-1
n
n n n-1+1 1 1
( ) 1+ 1+
( ) ( ) ( )
n-1
n-1 n-1 n-1
c.k.d.
Można udowodnić bardzej ogólne
Twierdzenie 17 Jeśli limxx ą(x) = 0, to
0
1
ą(x)
1) " limxx (1 + ą(x)) ,
0
1
ą(x)
2) limxx (1 + ą(x)) = e.
0
Rozdzial 4
Ciag fundamentalny
Niech (X, �)  przestrzeń metryczna, x(n) .
n"N
Definicja 22 Ciag x(n) nazywamy fundamentalnym (lub inaczej ciagiem
n"N
Cauchy ego, ciagiem podstawowym, ciagiem spelniajacym warunek Cauchy ego)
w (X, �) wtedy i tylko wtedy, gdy
�(x(m), x(n)) < �
" " "
�>0 k"N m,n"N;me"k;ne"k
Twierdzenie 18 Jeśli x(n) �" X jest zbieżny w (X, �), to x(n) spelnia
n"N
warunek Cauchy ego.
�
Dowód. Niech � > 0 i niech limn" x(n) = g w (X, �). Do liczby > 0
2
�
można dobrać k " N takie, że � x(n), g < . Niech n, m  do-
"
2
N ne"k
wolne liczby naturalne takie że n e" k, m e" k. W takim razie jednocześnie
� �
� x(n), g < i � x(m), g < . Na mocy nierówności trójkata � x(n), x(m) d"
2 2
� �
� x(n), g + � x(m), g < + = �.
2 2
c.k.d.
Przyklad: Niech Z := (0, 1), d := �1|Z�Z. Para (Z, d) jest przestrzenia me-
1
tryczna. Ciag jest w (Z, d) ciagiem fundamentalnym, ale nie jest
n
n"N\{0}
zbieżny w (Z, d), bo 0 " Z.
Definicja 23 Przestrzeń metryczna (X, �) nazywamy zupelna wtedy i tylko wtedy,
gdy x(n) �" X fundamentalny w (X, �) �! x(n) zbieżny w (X, �) .
n"N n"N
Przyklad:
21
Rozdzial 4. Ciag fundamentalny
1. (Rn, �E) - przestrzeń metryczna zupelna,
2. (C[a, b], dC) - przestrzeń metryczna zupelna.
Definicja 24 Niech (X, �)  przestrzeń metryczna, A �" X. Zbiór A nazywamy
otwartym w (X, �) wtedy i tylko wtedy, gdy K(x, r) �" A
" "
x"A r>0
Definicja 25 Niech (X, �)  przestrzeń metryczna, A �" X. Zbiór A nazywamy
domknietym w (X, �) wtedy i tylko wtedy, gdy zbi iór X \ A jest otwarty w
(X, �).
Rozdzial 5
Szeregi liczbowe
" k
Definicja 26 Szeregiem an nazywamy ciag sk := an . Jeśli ciag
n=0 n=0
k"N
"
ten, zwany ciagiem sum cześciowych szeregu an, jest zbieżny, to jego gra-
n=0
nice nazywamy suma szeregu i oznaczamy ja tym samym symbolem co sam szereg.
"
Liczby an (n " N) nazywamy wyrazami szeregu an.
n=0
Przyklad:
"
1
Jeśli |�| < 1, to �n = limk" k �n = limk" 1-�k =
n=0 n=0
1-� 1-�
Przyklad:
Zbieżność dowolnego ciagu można sprowadzić do zbieżności pewnego szeregu.
Niech {sn}n"N bedzie zadanym ciagiem. Zdefiniujmy śk := s0 + (s1 - s0) +
(s2 - s1) + . . . + (sk - sk-1) przy czym s-1 := 0. Zauważmy, że limk" sk =
"
limk" k (sn - sn-1) = (sn - sn-1).
n=0 n=0
Twierdzenie 19 (Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego) Na to, aby
"
szereg an byl zbieżny potrzeba aby limn" an = 0. Innymi slowy jeśli szereg
n=0
"
an jest zbieżny, to limn" an = 0.
n=0
Twierdzenie 20 (Warunek konieczny i wystarczajacy zbieżno ści szeregu) Szereg
" q
an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy an < �.
" " "
n=0 n=p
�>0 k"N p,qe"k, qe"p
"
Twierdzenie 21 Szereg bezwzglednie zbieżny jest zbieżny tzn. jeśli szereg |an|
n=0
"
jest zbieżny, to jest zbieżny szereg an.
n=0
23
Rozdzial 5. Szeregi liczbowe
Twierdzenie 22 Jeśli an > 0, an+1 - an < 0, limn" an = 0,
" "
n"N\{0} n"N\{0}
" "
n
to szereg an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg 2na2 jest
n=1 n=0
zbieżny.
Dowód. Oznaczmy tk := a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + 2ka2k, sn := a1 + . . . + an.
(�!) Zauważmy, że a1 + (a2 + a3) + (a4 + . . . + a7) + . . . + (a2k + . . . + a2k+1 ) d"
-1
d" a1 + 2a2 + 22a22 + . . . + 2ka2k = tk. Ustalmy n i wez
my dowolne k spelniajace
nierówność n < 2k. Wtedy na mocy powyższego rachunku, wobec monoto-
niczności ciagu {tk}k"N mamy: sn d" tk d" limk" tk = sup {tk : k " N} zatem
ciag {ss}n"N\{0} jest ograniczony. Z drugiej strony ciag {ss}n"N\{0} jako ciag sum
cześciowych szeregu o wyrazach dodatnich jest ciagiem rosnacym. Z tych dwóch
faktów wynika, że {ss}n"N\{0} jest ciagiem zbieżnym.
(�!) Niech n > 2k. Wówczas sn e" a1 + a2 + (a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) +
1 1
. . . + (a2k-1 + . . . + a2k) e" a1 + a2 + 2a4 + 4a8 + . . . + 2k-1a2k = tk. Zatem
+1
2 2
tk d" 2sn. Przeprowadzajac rozumowanie podobne do tego z pierwszej cześci
dowodu otrzymujemy w rezultacie zbieżność ciagu {tk}k"N.
c.k.d.
" " "
1 1 1
Twierdzenie 23 Szeregi , , , . . . sa zbieżne
n=1 n=2
ną n(ln n)ą n=2
n ln n(ln ln n)ą
wtedy i tylko wtedy, gdy ą > 1.
Definicja 27 Niech ciag {an}n"N\{0} bedzie ciagiem liczbowym takim, że a1 e"
"
a2 e" a3 e" . . . > 0 oraz limn" an = 0. Wtedy szereg postaci (-1)n+1an
n=1
nazywamy zeregiem naprzemiennym.
Twierdzenie 24 (Kryterium Leibnitza) Jeśli ciag {an}n"N\{0} spelnia warunki:
"
a1 e" a2 e" a3 e" . . . > 0 oraz limn" an = 0, to szereg (-1)n+1an jest
n=1
zbieżny. Czyli krótko: Szereg naprzemienny jest zbieżny.
Dowód. Niech sn := a1 - a2 + . . . + (-1)n+1an. Wówczas s2n+2 = s2n +
(a2n+1 - a2n+2) e" s2n. Tak wiec ciag {s2n}n"N\{0} jest ciagiem monotonicznie
rosnacym. Ponadto s2n = a1-(a2-a3)-(a4-a5)-. . .-(a2n-2-a2n-1)-a2n d" a1,
a zatem {s2n}n"N\{0} jest ciagiem ograniczonym od góry. Tak wiec {s2n}n"N\{0}
jest ciagiem zbieżnym. Oznaczmy symbolem g jego granice. Zauważmy, że
limn" s2n+1 = limn" (s2n + a2n+1) = limn" s2n + limn" a2n+1 = g + 0 = g,
zatem również ciag {s2n+1}n"N\{0} jest ciagiem zbieżnym do granicy g. Lacznie
limn" sn = g.
c.k.d.
Twierdzenie 25 (Twierdzenie Abela) Jeśli ciag an 0, �n := b1 + . . . + bn jest
"
ciagiem ograniczonymoraz an > 0, bn > 0, to szereg anbn jest zbieżny.
"
n=1
n"N
Dowód. Niech sn := a1b1 + a2b2 + . . . + anbn. Wez
my n, m " N, n > m. Mamy
sn - sm = am+1bm+1 + . . . + anbn = am+1(�m+1 - �m) + am+2(�m+2 - �m+1) +
. . . + an(�n - �n-1) = -am+1�m + (am+1 - am+2)�m+1 + (am+2 - am+1)�m+2 +
24
. . . + (an-1 - an)�n-1 + an�n, zatem
|sn - sm| d" |�m| am+1 +|�m+1| (am+1 -am+2)+. . .+|�n-1| (an-1 -an)+|�n| an d"
M {am+1 + am+1 - am+2 + am+2 + . . . + (an-1 - an) + an} = 2Mam+1, gdzie M
jest stala ograniczajaca ciag {�n}. Do � > 0 można dobrać k " N takie, że
2Mam+1 < � dla m > k. Tak wiec |sn - sm| < �, gdy n > m > k. To oznacza,
że ciag {sn}n"N spelnia warunek Cauchy ego, a zatem jest zbieżny.
c.k.d.
Twierdzenie 26 (Kryterium Raabego) Jeśli {an}n"N jest ciagiem o wyrazach
"
an
dodatnich takim, że limn" n - 1 > 1, to szereg an jest zbieżny.
n=1
an+1
Twierdzenie 27 (Kryterium porównawcze) Przyjmijmy, że 0 d" an d" bn.
"
n"N
Wówczas
" "
1. Jeśli szereg bn jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny.
n=0 n=0
" "
2. Jeśli szereg an jest rozbieżny, to szereg bn jest rozbieżny.
n=0 n=0
" "
Dowód. Niech sn := aj, �n := bj. Jak latwo zauważyć sn d" �n.
j=1 j=1
c.k.d.
"
1
Przyklad: .
1
n2+1
"
Wniosek 2 Jeśli |an| d" bn oraz szereg bn jest zbieżny, to szereg
"
n=0
n"N
"
an jest zbieżny.
n=0
Twierdzenie 28 (Kryterium Cauchy ego) Jeśli {an}n"N\{0} jest ciagiem o wy-
"
"
n
razach nieujemnych takim, że limn" an =: ł < 1, to szereg an jest
n=1
"
zbieżny. Jeśli ł > 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
Twierdzenie 29 (Kryterium d Alemberta) Jeśli {an}n"N\{0} jest ciagiem o wy-
"
razach dodatnich takim, że limn" an+1 =: ł < 1, to szereg an jest zbieżny.
n=1
an
"
Jeśli ł > 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
nn n! an
Przyklady: , , .
n! nn n!
Definicja 28 Jeśli {mn}n"N jest permutacja ciagu 1, 2, 3, . . ., to mówimy że sze-
regi an, am różnia sie co najwyżej porzadkiem skladników.
n
Twierdzenie 30 (O permutacji szeregów bezwzglednie zbieżnych) Jeśli {mn}n"N
jest ciagiem, którego wyrazami sa liczby naturalne 1, 2, 3, . . ., przy czym każda
liczba wystepuje w tym ciagu dokladnie jeden raz (czyli ciag {mn}n"N jest permu-
"
tacja zbioru liczb naturalnych N) oraz szereg an jest bezwzglednie zbieżny,
n=0
" " "
to szereg am jest zbieżny i am = an.
n n
n=0 n=0 n=0
Dowód. Zdefiniujmy sn := a1 + a2 + . . . + an, tn := am + am + . . . + am .
1 2 n
Oczywiście tn = sn+(tn-sn). Zatem wystarczy pokazać że limn" (tn - sn) = 0.
"
Wez
my � > 0. Istnieje l " N takie że |aj| < �. Wez
my k tak duże że liczby
j=l+1
a1, . . . , al znajduja sie wśród liczb am , am , . . . , am , co jest równoważne, że liczby
1 2
k
25
Rozdzial 5. Szeregi liczbowe
"
1, . . . , l znajduja sie wśród liczb m1, . . . , mk. Wtedy |sn - tn| d" |aj| < �
j=l+1
dla n > k, czyli |sn - tn| < � dla n > k.
c.k.d.
"
Twierdzenie 31 (Twierdzenie Riemanna) Jeśli szereg an jest warunkowo
n=0
zbieżny, to do każdej liczby s " [-", "] istnieje permutacja {mn}n"N ciagu
"
1, 2, 3, . . ., taka, że am jest szeregiem zbieżnym do sumy s.
n
n=0
" "
Definicja 29 Iloczynem Cauchy ego szeregów an, bn nazywamy sze-
n=0 n=0
" " " n
reg ( an) ( bn) = cn, gdzie cn := akbn-k.
n=0 n=0 n=0 k=0
"
Twierdzenie 32 (Twierdzenie Mertensa) Jeżeli szereg an jest bezwzglednie
n=0
"
zbieżny, szereg bn zbieżny, to iloczyn Cauchy ego tych szeregów jest szere-
n=0
giem zbieżnym.
Przyklad:
"
xn
Niech ex := . Dla każdego ustalonego x " R szereg ten jest bezwzglednie
n=0
n!
" |x|n
zbieżny. Stosujac kryterium d Alemberta do szeregu mamy bowiem
n=0
n!
|x|n+1
|x|
(n+1)!
lim = lim = 0,
|x|n n"
n"
n + 1
n!
zatem szereg ten jest zbieżny. Na mocy twierdzenia Mertensa dla dowolnych
a, b " R szereg ea � eb jest zbieżny. Z drugiej strony
"
an " bn " a0bn a1bn-1 anb0
ea � eb = = + + . . . + =
n! n! 0!n! 1!(n - 1)! n!0!
n=0 n=0 0
" "
1 n n n (a + b)n
= a0bn + a1bn-1 + . . . + anb0 = = ea+b,
n! 0 1 n n!
n=0 n=0
zatem
ea � eb = ea+b.
Bezpośrednio z definicji wynika, że ex > 1 dla x > 0. Poniewaz
ex � e-x = ex-x =
1
e0 = 1 zatem e-x = . To z kolei daje nierówność ex < 1 dla x < 0 z jednej
ex
strony i oszacowanie ex > 0 z drugiej.
Pokażemy, że ex jest silnie rosnaca.
Warunek x1 < x2 jest równoważny nierówności x2 - x1 > 0. Mamy wiec
2-x1 ex2
1 1 2
1 < ex = , skad wobec nierówności ex > 0 dostajemy ex < ex .
ex1
Funkcja R x ex " R+ jako silnie rosnaca jest iniektywna, a zatem odwra-
calna na swojej przeciwdziedzinie. Jeśli oznaczymy f(x) = ex, to
ln x := f-1(x).
-1
Z definicji funkcji odwrotnej wynika, że f(f (x)) = eln x = x dla x > 0, jak
również f-1(f(x)) = ln ex = x dla x " R. Definiujemy
ln x
ax := ex ln a, loga x := .
ln a
27
Rozdzial 6
Wlasności funkcji ciaglych
Niech (X, �), (Y, d) przestrzenie metryczne, f : X Y funkcja , A �" X.
Definicja 30 Mówimy, że f jest funkcja ciagla w punkcie a " X wtedy i tylko
wtedy, gdy
(�(x, a) < � �! d(f(x), f(a)) < �) ,
" " "
�>0 �>0 x"X
co jest równoważne warunkowi
x " K(a, �) �" X �! f(x) " K(f(a), �) �" Y.
" " "
�>0 x"X
�>0
Definicja 31 Mówimy, że funkcja f jest ciagla w zbiorze A �" X wtedy i tylko
wtedy, gdy funkcja f jest ciagla w a.
"
a"A
Przyklady:
1. Jeśli (X, �) jest przestrzenia metryczna, x " X, to funkcja X x -
�(x, x) " R jest ciagla w X.
Ż
2. Niech rozważana przestrzenia metryczna bedzie (Rn, �E). Niech i " {1, . . . , n}.
Funkcja pri : Rn x = (x1, . . . , xn) - pri(x) = xi " R zwana projekcja na
i ta oś, jest ciagla w Rn.
Twierdzenie 33 Niech X = Rs, � = �E (bedziemy czas jakiś rozważać tylko taki
przypadek), f, g : X - R ciagle w punkcie a (w zbiorze A). Wówczas
f
f + g, f - g, f � g, (g = 0)

g
ciagle w a (w zbiorze A).
29
Rozdzial 6. Wlasności funkcji ciaglych
Twierdzenie 34 Jeśli A �" Rs zbiór domkniety i ograniczony, f : A R funkcja
ciagla w A, to
|f(x)| d" M.
" "
M>0 x"A
Krótko: Funkcja ciagla na zbiorze domknietym i ograniczonym jest ograni-
czona.
Twierdzenie 35 (Weierstrassa) Jeśli A �" Rs zbiór domkniety i ograniczony,
f : A R funkcja ciagla w A, to
: f(x1) = inf f(x),
"
x"A
x1"A
: f(x2) = sup f(x).
"
x2"A
x"A
Krótko: Funkcja ciagla na zbiorze domknietym i ograniczonym osiaga swoje
kresy.
Twierdzenie 36 (Darboux) Zalóżmy, że f : R �" I R ciagla , I przedzial,
[ą, �] �" I, f(ą) = f(�), c leży miedzy f(ą) i f(�). Wówczas

: f(�) = c.
"
�"(ą,�)
Twierdzenie 37 (Boltzano) Zalóżmy, że f : R �" I R ciagla , I przedzial,
[ą, �] �" I, f(ą)f(�) < 0. Wówczas
: f(�) = 0.
"
�"(ą,�)
Dowód. Konstrukcja prowadzaca do metody polowienia przedzialu.
c.k.d.
Wniosek 3 Każdy wielomian zmiennej rzeczywistej stopnia nieparzystego ma co
najmniej jedno miejsce zerowe.
Twierdzenie 38 Jeśli f : Rs �" A R jest ciagla w x0 " A oraz f(x0) <
c (f(x0) > c), to istnieje takie otoczenie Ux punktu x0, że f(x) < c (f(x) >
0
c), gdy x " A )" Ux .
0
Dowód. Zalóżmy, że f(x0) < c. Zdefiniujmy � := c - f(x0) > 0. Z ciaglości f w
x0 wynika istnienie otoczenia Ux punktu x0 takiego, że
0
|f(x) - f(x0)| < � = c - f(x0) dla x " A )" Ux .
0
W szczególności f(x) - f(x0) < c - f(x0) skad f(x) < c dla x " A )" Ux .
0
c.k.d.
30
Twierdzenie 39 Funkcje elementarne
R x xą " R, ą " N,
R x ex " R,
R x sin x " R,
R x cos x " R,
.
.
.
sa ciagle.
Twierdzenie 40 Jeśli f : R �" I R, I  przedzial, f ciagla i ściśle monoto-
niczna w I, to f-1 jest ciagla w f(I).
"
ą
Wniosek 4 Funkcje x x, x loga x sa ciagle.
Twierdzenie 41 Jeżeli (X, �), (Y, d), (Z, �) przestrzenie metryczne, f : X �"
A Y , g : Y �" B Z  funkcje ciagle, f(A) �" B, wówczas g ć% f : X �" A Z
jest funkcja ciagla.
Niech (X, �), (Y, d)  przestrzenie metryczne i niech f : X �" D Y  funkcja.
Definicja 32 Mówimy że g " Y jest granica funkcji f w punkcie x0, co zapisu-
f(x), dla x = x0,

jemy limxx f(x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy f : X �" D x
0
g, dla x = x0,
jest ciagla w x0.
Wniosek 5 Niech X = Rn, Y = R, f : X - Y , g : X - Y , x0 " X. Jeśli
limxx f(x) = �1, limxx g(x) = �2, to istnieje granica sumy, różnicy, iloczynu
0 0
funkcji f i g w punkcie x0, a przy dodatkowym zalożeniu �2 = 0 i g(x) = 0 w

sasiedztwie x0 również granica ilorazu tych funkcji. Ponadto
lim (f(x) + g(x)) = �1 + �2,
xx0
lim (f(x) - g(x)) = �1 - �2,
xx0
lim (f(x) � g(x)) = �1 � �2,
xx0
f(x) �1
lim = .
xx0
g(x) �2
Twierdzenie 42 Prawdziwe sa granice:
1. limx0 sin x =ńł
1,
x
+" gdy a > 1
�ł
2. limx" ax = 1 gdy a = 1
ół
0 gdy 0 d" a < 1
x x
1 1
3. limx" 1 + = limx-" 1 + = e.
x x
31
Rozdzial 6. Wlasności funkcji ciaglych
Ą
Dowód. Dla dowodu pierwszej z granic rozważmy na wstepie x " 0, .
2
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.
D
1
C
x
0 A B
| OBC| < |OBC| < | OBD|
1 x 1
AC < < BD
2 2 2
AC < x < BD
sin x
sin x < x < tan x =
cos x
x 1
1 < <
sin x cos x
.
sin x
1 > > cos x
x
�! �! �!
1 1 1
                
0 < sin x < x �! limx0 sin x = 0
OC < OA + AC OC - AC < OA
1 - sin x < cos X < 1
limx0 cos x = 1
limx0 sin x = 1; limx0 sin x = lim-x0 sin(-x) = lim-x0 sin(-x) = 1
+ - x
+ -x
+ -x
x
Rozdzial 7
Rachunek różniczkowy funkcji jednej
zmiennej
7.1. Podstawowe definicje i twierdzenia
Niech f : R �" A R bedzie funkcja określona na zbiorze A o niepustym
o o
wnetrzu . Niech x0 " , x " A, x = x0.

A A
Definicja 33 Jeśli istnieje granica limxx f(x)-f(x0), to nazywamy ja pochodna
0
x-x0
funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f (x0).
 Interpretacja geometryczna pochodnej: Równanie
f(x ) - f(x0)
y = f(x0) + (x - x0)
x - x0
jest równaniem siecznej przechodzacej przez punkty Ao = (x0, y0), A =
(x , y ), gdzie y0 = f(x0), y = f(x ). Gdy punkt x da ży do x0, to sieczna
o
zmierza do prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie :
A
y = f(x0) + f (x0)(x - x0).
Pochodna f (x0) jest zatem równa tangensowi kata nachylenia prostej stycznej
o
do wykresu funkcji w punkcie .
A
 Interpretacja fizyczna: Zmienna x bedziemy teraz interpretowali jako czas, a
f(x)-f(x0)
f(x) jako droge przebyta przez punkt w czasie x. W tym przypadku
x-x0
możemy interpretować jako predkość średnia, a f (x0) predkość chwilowa w
chwili x0.
33
Rozdzial 7. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
o
Twierdzenie 43 Niech f : A R, x0 " . Jeśli istnieje pochodna f (x0), to f
A
jest ciagla w x0.
f(x)-f(x0)
Dowód. Ponieważ f(x) = f(x0) + (x - x0), zatem
x-x0
f(x) - f(x0)
lim f(x) = lim f(x0) + (x - x0) = f(x0) + f (x0) � 0 = f(x0).
xx0 xx0
x - x0
c.k.d
o
Twierdzenie 44 Niechf : A R, x0 " . Nastepujace warunki sa równoważne
A
1) Funkcja f ma pochodna w punkcie x0,
2) :
" "
c"R �:Ux0 R
a) f(x) = f(x0) + c(x - x0) + �(x)(x - x0),
b) lim �(x) = 0.
xx0
f(x)-f(x0)
Dowód. (�!) Wystarczy przyja ć c := f (x0), �(x) := - f (x0).
x-x0
f(x)-f(x0)
(�!) Wobec a): = c + �(x). Na mocy b) granica prawej strony przy
x-x0
x 0 istnieje i jest równa c. Wobec tego istnieje granica lewej strony, ale jeśli
tak to jest to z definicji pochodna funkcji f w punkcie x0.
c.k.d.
Twierdzenie 45 Jeśli funkcje f, g sa określone w otoczeniu Ux punktu x0 oraz
0
istnieja pochodne f (x0), g (x0), to:
1) Istnieja pochodne (f +g) (x0), (f -g) (x0), (f �g) (x0). Jeśli ponadto g (x) =

f
0 w Ux oraz g (x0) = 0, to istnieje pochodna (x0).

0
g
2) Ponadto:
(f ą g) (x0) = f (x0) ą g (x0),
(f � g) (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0),
f f (x0)g(x0) - f(x0)g (x0)
(x0) = .
g [g(x0)]2
Twierdzenie 46 (Twierdzenie o pochodnej funkcji zlożonej) Niech g : A R,
o o
f : B R, x0 " , g(x0) " , y0 := g(x0). Jeśli g(A) �" B oraz istnieja pochodne
A B
f (y0), g (x0), to istnieje pochodna funkcji zlożonej (f ć% g) (x0) oraz
(f ć% g) (x0) = f (g(x0)) � g (x0).
Dowód. Ponieważ z zalożenia funkcja f ma pochodna w punkcie y0, zatem
wobec twierdzenia (44) istnieje funkcja �, taka że limyy �(y) = 0 oraz
0
f(y) = f(y0) + f (y0)(y - y0) + �(y)(y - y0), y " B.
34
7.2. Pochodne funkcji elementarnych
Podstawiajac w tym wzorzy g(x) w miejsce y dostajemy:
f(g(x)) = f(g(x0)) + f (g(x0))(g(x) - g(x0)) + �(g(x))(g(x) - g(x0))),
skad
f(g(x)) - f(g(x0)) g(x) - g(x0) g(x) - g(x0)
= f (g(x0)) + �(g(x)) .
x - x0 x - x0 x - x0
Dalej wystarczy przejść w granicy z x do x0.
Twierdzenie 47 (Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeśli f jest funkcja
różnowartościowa i ciagla w [a, b], punkt x0 " (a, b), istnieje f (x0) oraz f (x0) =

-1
0, wtedy funkcja odwrotna f ma w punkcie f(x0) pochodna oraz
1 1
(f-1) (f(x0)) = , (f-1) (y0) = , gdzie y0 = f(x0).
f (x0) f (f-1(y0))
7.2. Pochodne funkcji elementarnych
Zauważmy, że jeśli f(x) := x, to f (x0) = limh0 (x0+h)-x0 = 1. Dla funkcji
h
f(x) := x2 mamy z kolei f (x0) = limh0 (x0+h)2-(x0)2 = limh0 2x0h+h2 = 2x0.
h h
Wzory te daja sie uogólnić, i dla f(x) := xą dostajemy f (x0) = ą(x0)ą-1. Ko-
rzystajac ze znanych wzorów trygonometrycznych oraz faktu, że limh0 sinh = 1
h
możemy wyprowadzić wzory na pochodna funkcji sinus i cosinus. Mamy bowiem
h
h
2
limh0 sin(x+h)-sin x = limh0 sin cos x + = cos x, zatem (sin x) = cos x.
h
h 2
2
Podobnie postepujac dostajemy wzór: (cos x) = - sin x. Wzór na pochodna
funkcji tangens i cotangens możemy otrzymać ze wzoru na pochodna ilorazu
(sin x) (cos x)-(sin x)(cos x) 1
sin x
funkcji. Mamy bowiem (tan x) = = = .
cos x cos2 x
(cos x)2
1
Podobnie (cot x) = -sin x. Wyprowadzenie wzoru na pochodna funkcji eks-
2
potencjalnej wymaga znajomości wartości granicy limh0 eh-1. Dowodzi sie, że
h
granica ta jest równa 1. Stad (ex) = limh0 ex+h-ex = ex limh0 eh-1 = ex. Aby
h h
wyprowadzić wzór na pochodna funkcji arcsin x, arctan x, log x trzeba skorzy-
stać z twierdzenia o pochodnej funkcji zlożonej. Przykladowo jeśli y = ex, to
1 1 1
(log y) = = = . Podstawiajac w tym wzorze x w miejsce y dostajemy
(ex) ex y
1
ostatecznie (log x) = . Podobnie znajduje sie wzory na pochodne pozostalych
x
funkcji elementarnych. Wzory te prezentuje poniższa tabela: wstawić
7.3. Ekstrema lokalne
Definicja 34 Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie x0 minimum (mak-
simum) lokalne, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie Ux punktu x0,
0
że f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0)) dla x " Ux \ {x0}.
0
35
Rozdzial 7. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Definicja 35 Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie x0 ekstremum
lokalne, wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie minimum, lub maksimum
lokalne.
Twierdzenie 48 (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Niech f : A R,
o
x0 " . Jeśli istnieje pochodna f (x0) oraz funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum
A
lokalne, to f (x0) = 0.
Dowód. trywialny!
Twierdzenie 49 (Twierdzenie Lagrange a) Jeśli funkcja f jest ciagla w prze-
dziale domknietym [a, b] i różniczkowalna w przedziale otwartym (a, b), tzn w
każdym punkcie tego przedzialu ma pochodna, to istnieje punkt x " (a, b), taki, że
f(b) - f(a)
= f (�).
b - a
Wnioski z twierdzenia Lagrange a:
Wniosek 6 Jeśli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a, b)
oraz f (x) = 0 dla x " (a, b), to funkcja f jest stala na przedziale (a, b).
Wniosek 7 Niech f bedzie funkcja określona i różniczkowalna w przedziale (a, b).
Wówczas, jeśli f (x) e" 0 (f (x) > 0) dla x " (a, b), to funkcja f jest rosnaca
(ściśle rosnaca) w (a, b). Jeśli z kolei f (x) d" 0 (f (x) < 0) dla x " (a, b), to
funkcja f jest malej aca (ściśle malejaca) w (a, b).
Twierdzenie 50 Niech f bedzie funkcja określona i różniczkowalna w przedziale
(a, b). Jeśli w punkcie x0 " (a, b) pochodna f (x) zeruje sie i zmienia znak w oto-
czeniu tego punktu, to w x0 ma ekstremum lokalne i to maksimum, jeśli zmienia
znak z dodatniego na ujemny, a minimum lokalne w przeciwnym przypadku.
Przyklady: Dwa rysunki poniżej przedstawiaja wykresy funkcji f : x x2-ln x2,
f : x x - sin x:
15
10
10
8
5
6
-15 -10 -5 5 10 15
4
-5
2
-10
-2 -1 1 2
-15
36
7.4. Pochodne wyższych rzedów
7.4. Pochodne wyższych rzedów
Niech f określona w A = (a, b), różniczkowalna w (a, b) tzn. w każdym
punkcie x " (a, b) istnieje pochodna f (x). Niech x0 " (a, b).
Definicja 36 Pochodna rzedu drugiego funkcji f w punkcie x0 nazywamy granice
f (x) - f (x0)
lim
xx0 - x0
x
o ile ta istnieje. i oznaczamy ja symbolem f (x0).
(n-1)
Pochodne wyższych rzedów definiujemy rekurencyjnie. Jeśli zalożymy, że f
o
istnieje w zbiorze An-1 �" A, x0 " , to
A
n-1
f(n-1)(x) - f(n-1)(x0)
f(n)(x0) := f(n-1) (x0) := lim ,
xx0
x - x0
jeśli ta granica istnieje. Przyklady.:
7.5. Twierdzenie o wzorze Taylora
Twierdzenie 51 (Twierdzenie Taylora) Niech I �" R bedzie przedzialem otwar-
tym, a f funkcja określona na tym przedziale o wartościach rzeczywistych. Zakladamy,
że f ma pochodne f , . . . , f(n) w I. Przy tych zalożeniach
:
" " "
x, x0 k"N\{0} Ń"(0,1)
n-1
f(k)(x0)
f(x) = (x - x0)k + Rnk, (7.1)
k!
k=0
f(n)(x0+�(x-x0))
gdzie Rnk := (1-�)n-k(x-x0)n nazywamy reszta w postaci Szchlomilcha Roche a.
(n-1)!k
Reszte Rn1 nazywamy reszta Cauchy ego, a reszte Rnn reszta Lagrange a. Wzór
(7.1) nazywamy wzorem Taylora. Jeśli x0 = 0, to wzór Taylora przybiera postać
n-1
f(k)(0)
f(x) = xk + Rnk, (7.2)
k!
k=0
i jest nazywany wzorem Maclaurina.
Przyklady:
1. Niech f(x) = ex, x0 = 0.
x xn-1 e�x
ex = 1 + + . . . + + xn.
1! (n - 1)! n!
37
Rozdzial 7. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
(n)
2. Niech f(x) = sin x, x0 = 0. Latwo sprawdzić, że f (x) = sin(n) x = sin(x +
nĄ ). Tak wiec
2
x3 x5 x2k-1 sin(2k)(�x)
sin x = x - + - . . . (-1)k-1 + x2k.
3! 5! (2k - 1)! (2k)!
Ponieważ limk" R2k,2k = 0 zatem
"
x2k-1
sin x = (-1)k-1
(2k - 1)!
k=1
3. Niech f(x) = sin x, x0 = 0.
"
x2k
cos x = (-1)k .
(2k)!
k=0
4. Niech f(x) = ln(1 + x), x0 = 0.
"
(-1)n-1
ln(1 + x) = xn, |x| < 1
n
n=1
i podobnie
"
xn
ln(1 - x) = - , |x| < 1,
n
n=1
oraz
"
1 + x x2n+1
ln = 2 , |x| < 1.
1 - x 2n + 1
n=0
5. Niech f(x) = (1 + x)ą, x0 = 0.
ą
ą ą ą n! (1 + �x)ą-n
n
(1+x)ą = 1+ x+ x2 +. . .+ + (1-�)n-1xn
1 2 n - 1 (n - 1)!
dla x > -1.
Definicja 37 Mówimy, że funkcja f : R �" A R jest wypukla na zbiorze A
wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
{(x, y) : x " A, y e" f(x)}
jest wypukly.
Definicja 38 Mówimy, że funkcja f : R �" A R jest wklesla na zbiorze A
wtedy i tylko wtedy, funkcja -f jest wypukla na A.
38
7.6. Symbole nieoznaczone i regula de L Hospitala
Uwaga 2 Jeśli funkcja f : R �" [a, b] R jest różniczkowalna w przedziale (a, b),
to f jest wypukla w (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x0 " (a, b) funkcja
�(x) := f(x) - [f(x0) + f (x0)(x - x0)] jest nieujemna tj. �(x) e" 0, a wklesla
gdy �(x) d" 0.
Definicja 39 Jeśli dla x0 " (a, b) funkcja � jest nieujemna, to mówimy , że f
jest wypukla w punkcie x0, a gdy � jest niedodatnia, to mówimy, że f jest wklesla
w punkcie x0.
Twierdzenie 52 Jeśli f (x0) > 0 (f (x0) < 0), to f jest w punkcie x0 wypukla
(wklesla).
Algorytm badania funkcji.
Definicja 40 Mówimy, że f ma w x0 punkt przegiecia wtedy i tylko wtedy, gdy
"� > 0 : f wklesla w (x0 - �, x0) i f wypukla w (x0, x0 + �) lub na odwrót.
Twierdzenie 53 (warunek konieczny) Jeśli funkcja f ma w x0 punkt przegiecia,
to f (x0) = 0.
Twierdzenie 54 Jeżeli f " Cn, gdzie n = 2k oraz f(j)(x0) = 0 dla j =
1, . . . , n - 1 oraz f(n)(x0) < 0 (f(n)(x0) < 0), to w x0 funkcja f ma maksimum
(minimum) lokalne.
Twierdzenie 55 Jeżeli f " Cn, gdzie n = 2k + 1 oraz f(j)(x0) = 0 dla j =
1, . . . , n - 1 oraz f(n)(x0) = 0, to w x0 funkcja f ma punkt przegiecia.

7.6. Symbole nieoznaczone i regula de L Hospitala
u(x)
0
Definicja 41 Mówimy, że jest symbolem nieoznaczonym (") w punkcie
v(x) 0 "
x0 jeśli v(x) = 0 dla x " A, x = x0 oraz limxx u(x) = limxx v(x) = 0.

0 0
Podobnie definiujemy inne symbole nieoznaczone:
" - ", 0 � ", 00, 1", "0.
Nazwa bierze sie stad, że dla dowolnego g " R można dobrać takie funkcje u(x)
i v(x), które tworza jeden z wymienionych symboli, tak że cale wyrażenie ma
granice g. Każdy z tych symboli daje sie sprowadzić do innego:
1
01 02 "
= = ,
1
02 01 "
1
"1 "2 0
= = ,
1
"2 "1 0
1 1
-
0
"2 "1
"1 - "2 = = ,
1
0
"1"2
39
Rozdzial 7. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
0 0 " "
0 � " = = , lub 0 � " = = ,
1 1
0 "
" 0
00 = e0 ln 0 = e0�",
1" = e" ln 1 = e"�0,
"0 = e0 ln " = e0�".
Twierdzenie 56 (Regula de L Hospitala) Jeśli x0 jest końcem przedzialu I, funk-
cje u, v sa różniczkowalne w I, limxx u(x) = limxx v(x) = 0 (= "), istnieje
0 0
(x)
limxx u (x) , to
0
v
1. istnieje granica limxx u(x),
0
v(x)
(x)
2. limxx u(x) = limxx u (x) .
0 0
v(x) v
sin x
Przyklad: Obliczenie wartości granicy w zerze.
x
Definicja 42 Mówimy, że prosta x ax+b jest asymptota ukośna prawostronna
(lewostronna) funkcji R x f(x) " R, jeśli limx"(f(x) - ax - b) = 0
(limx-"(f(x) - ax - b) = 0).
Rozdzial 8
Rachunek różniczkowy funkcji wielu
zmiennych
Definicja 43 Jeśli c " Rn, A = AT " Rn�n, to odwzorowanie l : Rn x
cT x " R nazywamy forma liniowa, a : Rn � Rn (x, y) xT Ay " R nazy-
wamy forma dwuliniowa, a odwzorowanie Rn x xT Ax = a(x, x) " R forma
kwadratowa.
Definicja 44 Mówimy, że forma kwadratowa Rn x a(x, x) = xT Ax "
R indukowana przez macierz symetryczna A jest dodatnio (ujemnie) określona,
wtedy i tylko wtedy, gdy a(x, x) > 0 (a(x, x) < 0)
"
x =0
Twierdzenie 57 (Twierdzenie Sylwestera) Forma kwadratowa Rn x a(x, x) =
xT Ax " R indukowana przez macierz symetryczna A jest dodatnio określona,
wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory glówne Mi (i = 1, . . . , n) macierzy A
sa dodatnie, a ujemnie określona, gdy (-1)iMi > 0 dla i = 1, . . . , n. Minorem
glównym Mi nazywany
�ł �ł
a11 . . . a1i
�ł �ł
. .
. .
Mi := det .
�ł łł
. .
ai1 . . . aii
Definicja 45 Pochodna czastkowa funkcji f : Rn R w punkcie x0 wzgledem
i tej zmiennej nazywamy granice
f(x0 + hei) - f(x0)
lim ,
h0
h
41
Rozdzial 8. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
gdzie ei jest wersorem i tej osi, o ile ta granica istnieje. W tym wypadku ozna-
"f
czamy ja symbolem (x0)
"xi
Jak sie okazuje istnienie wszystkich pochodnych czastkowych funkcji f w punkcie
x0 nie gwarantuje ciaglości tej funkji w tym punkcie. Świadczy o tym przyklad:
x1x2
, x = (0, 0),

x2+x2
1 2
f : R2 x = (x1, x2)
0, x = (0, 0).
0.5
0.25
2
0
1
-0.25
-0.5
-2
-2 0
-1
-1
-1
0
0
1
1
2
2-2
Definicja 46 Mówimy, że funkcja f : Rn R ma w punkcie x0 pochodna kie-
runkowa w kierunku wektora v " Rn \ {0} jeśli istnieje granica
f(x0 + tv) - f(x0)
lim .
t0+
t
W tym wypadku oznaczamy ja symbolem "vf(x0)
Istnienie nawet wszystkich pochodnych kierunkowych w punkcie x0 nie może za-
pewnić jeszcze ciaglości funkcji w tym punkcie. Świadczy o tym przyklad funkcji:
x1x2
2
, x = (0, 0),

x2+x4
f : R2 x = (x1, x2) 1 2
0, x = (0, 0).
0.5
0.25
2
0
1
-0.25
-0.5
-2
-2 0
-1
-1
-1
0
0
1
1
2
2-2
42
Definicja 47 Niech &! �" Rn bedzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja
f : Rn �" &! R jest różniczkowalna w punkcie x0 " &! wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje wektor D " Rn oraz funkcja � : Rn R takie, że
1. f(x0 + h) - f(x0) = DT h + �(h) h dla wszystkich h takich, że x0 + h " &!,
2. limh0 �(h) = 0.
Twierdzenie 58 Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to f ma w
x0 wszystkie pochodne kierunkowe i czastkowe. Ponadto wektor D z definicji
"f
różniczkowalności funkcji jest równy D = gradf(x0) := (x0) . Wektor
"xi i=1,...,n
ten nazywamy gradientem funkcji f w punkcie x0.
Uwaga 3 Jeśli f jest funkcja różniczkowalna w punkcie x0, v " Rn \ {0}, to
n
1 vi "f
"vf(x0) = vT � grad(x0) = (x0).
n
v 2
vi "xi
i=1
j=1
Definicja 48 Odwzorowanie dx f : Rn h dx f(h) := (gradf(x0))T h " R
0 0
nazywamy różniczka funkcji f w punkcie x0.
Definicja 49 Odwzorowanie f : Rn x dxf " L(Rn, R) nazywamy pochodna
funkcji f.
n
"f
Zauważmy, że f (x)(h) = dxf(h) = (x)hi.
i=1
"xi
Pochodne czastkowe rzedu drugiego i wyższych definiujemy rekurencyjnie.
Mianowicie:
"2f " "
(x0) = x (x) .
"xi"xj "xi "xj |x=x0
Pochodne mieszane nie musza być równe. Świadczy o tym przyklad funkcji:
1 2
x1x2 x2-x2 , x2 + x2 > 0,
x2+x2 1 2
f : R2 x = (x1, x2) 1 2
0, x2 + x2 = 0.
1 2
2
1
1
2
0
0
1
-1
-2
-2 0
-1
-1
-1
-1
0
0
1
1
-2
2
2-2 -2 -1 0 1 2
43
Rozdzial 8. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Twierdzenie 59 Jeśli &! �" Rn zbiór otwarty, f : Rn �" &! R ma wszystkie
pochodne czastkowe w pewnym otoczeniu x0 " &! i sa one w tym otoczeniu ciagle,
to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0.
Twierdzenie 60 Niech &! �" Rn zbiór otwarty, f : Rn �" &! R. Jeśli ist-
nieje otoczenie Ux punktu x0, w którym istnieja pochodne mieszane funkcji f i
0
w punkcie x0 pochodne te sa ciagle, wówczas
"2f "2f
(x0) = (x0) dla i, j " {1, . . . , n} , i = j.

"xi"xj "xj"xi
Niech f : Rn �" &! x f(x) " R ma pochodne czastkowe rzedu drugiego ciagle
w otoczeniu x0. Druga różniczke funkci f w punkcie a określamy nastepujaco:
d2 f : Rn h hT Hf(x0)h,
x0
"2f
gdzie Hf(x0) = (x0) , czyli d2 f(h) = hT Hf(x0)h.
x0
"xi"xj i,j=1,...,n
(m)
n
"f
Z kolei dm f(h) := hi
x0
i=1
"xi |x=x0
przy zalożeniu, że f ma w otoczeniu punktu x = x0 pochodne czastkowe ciagle.
Twierdzenie 61 (Taylora) Niech &! �" Rn otwarty i wypukly, x0 " &!, h " Rn,
x0 + h " &!. Jeśli f : Rn �" &! R klasy C(k)(&!), to istnieje � " (0, 1) takie, że
k-1
1 1
f(x0 + h) = dł f(h) + dk f(h)
x0 x0+�h
ł! k!
ł=0
Twierdzenie 62 Jeśli funkcja f : Rn �" &! R klasy C2(&!) na zbiorze otwartym
&! ma w x0 ekstremum lokalne, to gradf(x0) = 0.
Twierdzenie 63 Jeśli f : Rn �" &! R klasy C2(&!), gdzie &! otwarty, gradf(x0) =
0, Hf(x0) > 0 (Hf(x0) < 0), to f ma w x0 minimum lokalne (maksimum lokalne).
Algorytm badania istnienia ekstremum funkcji f wielu zmiennych:
1. Wyznaczamy gradf(x).
2. Rozwiazujemy równanie gradf(x) = 0. Symbolem R oznaczamy zbiór rozwiazań
tego równania, czyli zbiór punktów stacjonarnych.
3. Badamy określoność formy kwadratowej indukowanej przez macierz Hessego
Hf(x") dla x" " R. Jeśli forma jest dodatnio określona to w x" funkcja
f osiaga minimum lokalne, jeśli jest ujemnie określona to w x" funkcja f
osiaga maksimum lokalne, a jeśli jest nieokreślona to w x" funkcja f nie ma
ekstremum lokalnego.
Rozdzial 9
Rachunek calkowy  funkcja pierwotna
9.1. Podstawowe definicje i twierdzenia
Definicja 50 Niech f : R �" I R, I  przedzial. Mówimy, że funkcja F
różniczkowalna w I jest funkcja pierwotna (calka nieoznaczona) funkcji f jeśli:
F (x) = f(x).
"
x"I
Twierdzenie 64 Każda funkcja f ciagla w przedziale I ma w nim funkcje pier-
wotna F (x) = f(x)dx (F = f).
Twierdzenie 65 Niech f bedzie funkcja ciagla na przedziale I. Wówczas
a) Jeśli F i G sa calkami funkcji f to istnieje takie c = const " R, że F =
G + c.
b) Jeśli F jest calka funkcji f to F + c też jest calka f.
"
c"R
Twierdzenie 66 Jeśli f, g : R �" I R sa funkcjami ciaglymi na przedziele I,
ą, � " R, to
(ąf + �g) = ą f + � g
co oznacza, że calka nieoznaczona jest operatorem liniowym.
Twierdzenie 67 (Twierdzenie o calkowaniu przez cześci) Jeśli f, g : R �" I R
sa funkcjami klasy C1 na przedziale I, to
f(x)g (x)dx = f(x)g(x) - f (x)g(x)dx. (9.1)
45
Rozdzial 9. Rachunek calkowy  funkcja pierwotna
Można to zapisać krótko:
fg = fg - f g, f dg = fg - g df.
Dowód. Zauważmy, że wobec definicji funkcji pierwotnej mamy: fg = fg .
Z kolei stosujac twierdzenie o pochodnej sumy, pochodnej iloczynu wobec definicji
funkcji pierwotnej dostajemy: fg - f g = f g + fg - f g = fg . Zatem
pochodne lewej i prawej strony wzoru (9.1).
c.k.d.
Przyklady: ln xdx, xn ln xdx, xnexdx, xn sin xdx.
Twierdzenie 68 (Twierdzenie o calkowaniu przez podstawienie) Jeśli f : R �"
I R jest ciagla w przedziale I, � : R �" J I funkcja klasy C1 w przedziale
J, to
(f ć% �)� = f ć% �. (9.2)
Wzór ten można zapisać również w postaci:
f(�(t))� (t) dt = f(x)dx .
x=�(t)
Dowód. Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji zlożonej:
f ć% � = (f ć% �) � � .
c.k.d.
Przyklady:
� (x) dy
1. dx = = ln |�(x)|.
�(x) y
y=�(x)
�ą+1(x)
2. [�(x)]ą� (x)dx = yądy = dla ą = -1.

y=�(x) ą+1
9.2. Wzory rekurencyjne
Niech An oznacza calke
dx
An := .
(1 + x2)n
Zauważmy, że A0 = dx = x. Pokażemy, że
1 1 x
An = An-1 1 - + .
2(n - 1) 2(n - 1) (1 + x2)n-1
46
9.3. Podstawowe calki
Zauważmy bowiem, że
d(1 + x2) 2x
1 + x2 = t
= dx = =
2xdx = dt
(1 + x2)n (1 + x2)n
dt t-n+1 (1 + x2)-n+1
= = = .
tn -n + 1 -n + 1
Dalej
1 (1 + x2) - x2 1 d(1 + x2)
An = dx = dx = An-1 - x =
(1 + x2)n (1 + x2)n 2 (1 + x2)n
1 1
= An-1 - x d(1 + x2)-n+1 =
2 -n + 1
1 1 dx
= An-1 + x(1 + x2)-n+1 - =
2(n - 1) 2(n - 1) (1 + x2)n-1
1 1
= An-1 + x(1 + x2)-n+1 - An-1.
2(n - 1) 2(n - 1)
Niech
Bn := sinn x dx.
Można pokazać, że
B0 = x,
B1 = sin xdx = - cos x,
n - 1 1
Bn = Bn-2 - sinn-1 x cos x.
n n
Podobnie, jeśli
Cn := cosn x dx,
to
C0 = x,
C1 = sin x,
n - 1 1
Cn = Cn-2 + sin x cosn-1 x.
n n
9.3. Podstawowe calki
Korzystajac ze wzorów na pochodne funkcji elementarnych otrzymujemy nastepujace
wzory calkowe:
47
Rozdzial 9. Rachunek calkowy  funkcja pierwotna
f f
xą+1
xą, ą = -1

ą+1
x-1 ln |x|
ax
ax
ln a
sin x - cos x
cos x sin x
1
tan x
cos2 x
1
- cot x
sin2 x
1
arctan
1+x2
1
"
arcsin x
1-x2
Można udowodnić wzory:
L.p. f f
1 tan x - ln |cos x|
2 cot x ln |sin x|
"
3 arcsin x x arcsin x + 1" x2
-
4 arctan x x arctan x - ln 1 + x2
1 x
"
5 arcsin
|a|
a2-x2
"
1
"
6 ln x + a2 + x2
2
"a +x2 "
a2 x
7 a2 - x2 x a2 - x2 + arcsin
2 2 |a|
" " "
a2
8 a2 + x2 x a2 + x2 + ln x + a2 + x2
2 2
3. przez cześci , a potem �(x) = 1 - x2
4. przez cześci, potem sprowadzić do pochodnej z funkcji logarytmicznej
p
6. podstawienie t = x + a2 + x2
9.4. Calkowanie funkcji wymiernych
�
L(x)
Każda funkcje wymierna R(x) = , gdzie L i M wielomiany o wspólczynnikach
M(x)
L(x)
rzeczywistych, po wydzieleniu można przedstawić w postaci R(x) = W (x)+ ,
M(x)
gdzie W wielomian i stopien wielomianu L silnie mniejszy od stopnia wielomianu
L(x)
M. Dalej, zgodnie ze stosownym twierdzeniem z algebry, funkcje wymierna M(x)
można jednoznacznie rozlożyć na sume ulamków prostych pierwszego i drugiego
rodzaju.
Definicja 51 Ulamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy wyrażenie po-
A Bx+C
staci , a ulamkiem prostym drugiego rodzaju wyrażenie postaci ,
(x-a)m (x2+ąx+�)m
przy czym ą2 - 4� < 0, A, B, C " R, m " N.
Uwaga 4 Calka z ulamka prostego pierwszego rodzaju jest równa:
A
A (x - a)1-m dla m = 1,

1-m
dx =
A ln |x - a| dla m = 1.
(x - a)m
48
9.5. Calkowanie pewnych klas funkcji
Calkujac ulamek prosty drugiego rodzaju dostajemy:
Bx + C B d(x2 + ąx + �) Bą dx
dx = + C - =
(x2 + ąx + �)m 2 (x2 + ąx + �)m 2 (x2 + ąx + �)m
B
(x2 + ąx + �)1-m , m = 1

1-m
= +
B
ln |x2 + ąx + �| , m = 1
2
Bą dx
+ C +
2 (x2 + ąx + �)m
2
ą
4�-ą2 x+ 2
q
Ponieważ x2 + ąx + � = + 1 , tak wiec stosujac podstawienie
4
4�-ą2
4
ą
x+
dx
2
q
t = w calce możemy ja sprowadzić do postaci:
(x2+ąx+�)m
4�-ą2
4
1
4�-ą2
dt 2
dx 4� - ą2 -m dt
4
= = ,
n
4�-ą2
(x2 + ąx + �)m 4 (t2 + 1)m
(t2 - 1)n
4
w której ostatnia calke można obliczyć rekurencyjnie.
9.5. Calkowanie pewnych klas funkcji
Funkcje R2 (x, y) axpyq " R nazywamy jednomianem stopnia p + q, a
sume jednomianów W (x, y) = aijxiyj - wielomian stopnia d" m. Jeśli L
i+jd"m
L(x,y)
i M sa wielomianami, to funkcje R(x, y) = nazywamy funkcja wymierna.
M(x,y)
Wiele typów calek przez stosowne podstawienie można sprowadzić do calki z
funkcji wymiernej.
ax+b
n
1. Calke A = R x, dx, gdzie ad - cb = 0 obliczamy stosujac pod-

cx+d
ax+b b-tnd
n
stawienie t = . Wtedy x = wyraża sie wymiernie przez t oraz
cx+d tnc-a
różniczka dx także.
"
2. W celu obliczenia calki B = R x, ax2 + bx + c dx, gdzie " = 0, rozważymy

trzy przypadki:
i) Jeśli a < 0 to musi być " > 0. Wtedy ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) =
"
ax-ax2 ax-ax2
(x - x1)2, skad, jeśli x1 < x2, ax2 + bx + c = (x - x1) .
x-x1 x-x1
Mamy wówczas do czynienia z calka rozważana w poprzednim punkcie.
ii) Jeśli a > 0 i " > 0 postepujemy jak wyżej.
"
"
iii) a > 0 i " < 0 to podstawiamy ax2 + bx + c = (t - x) a. Wówczas
at2-c
x = wyraża sie wymiernie przez t.
2t+b
3. Calke C = R(ecx)dx, gdzie c = 0 obliczamy przez podstawienie t = ecx.

4. W calce postaci D = R(sin x, cos x)dx stosujemy standardowo podstawienie
x 2 2t 1-t2
t = tan . Wtedy x = 2 arctan x, dx = dt, sin x = , cos x = .
2 1+t2 1+t2 1+t2
Rozdzial 10
Calka oznaczona
b
Definicja 52 Calke oznaczona a f(x)dx z funkcji ciaglej f po przedziale [a, b]
definiujemy wzorem
b
f(x)dx := F (b) - F (a), (10.1)
a
gdzie F jest dowolna pierwotna funkcji f.
Wlasności calek oznaczonych.
Twierdzenie 69 Niech f, g beda funkcjami ciaglymi na przedziale I, a, b, c " I,
ą, � " R. Prawdziwe sa wzory:
a
f(x)dx = 0,
a
a b
f(x)dx = - f(x)dx,
b a
b b b
(ąf + �g)dx = ą f dx + � g dx,
a a a
b c b
f dx = f dx + f dx,
a a c
b b
cf(x)dx = c f(x)dx,
a a
b b
f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] |b - f (x)g(x)dx,
a
a a
51
Rozdzial 10. Calka oznaczona
b f(b)
g(f(x))f (x)dx = g(y)dy,
a f(a)
Uwaga 5 Je śli f jest funkcja ciagla na odcinku [a, b], a < b oraz f(x) e" 0 dla
b
x " [a, b], to f(x)dx e" 0.
a
Uwaga 6 Jeśli f : [a, b] R jest funkcja ciagla, to
b b
f(x)dx d" |f(x)| dx d" M(b - a),
a a
gdzie M = supx"[a,b] |f(x)|.
Dowód. Ponieważ -M d" - |f(x)| d" f(x) d" |f(x)| d" M, zatem wobec Uwagi 5
mamy:
b b b b b
(-M)dx d" (- |f(x)|)dx d" f(x)dx d" |f(x)| dx d" Mdx
a a a a a
skad bezpośrednio wynika teza uwagi.
c.k.d.
10.1. Obliczanie pól i objetości figur
Jednym z zastosowań calki oznaczonej sa wzory na obliczanie pól i objetości
figur geometrycznych.
1. Jeżeli �, � : [a, b] R sa funkcjami ciaglymi takimi, że �(x) d" �(x),
"
x"[a,b]
to
b
|D| = (� - �)(x)dx,
a
gdzie
D := {(x, y) : a d" x d" b, �(x) d" y d" �(x)} .
�(x)
a b �(x)
52
10.2. Obliczanie dlugości krzywych
2. Niech k bedzie krzywa o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t),
ą d" t d" �, przy czym funkcje x, y sa klasy C1[ą, �] oraz y(t) e" 0, x (t) > 0
w [ą, �]. Wówczas pole zawartego miedzy ta krzywa , osia Ox i rzednymi w
punktach końcowych wyraża se wzorem:
�
|D| = y(t)x (t)dt.
ą
3. Zalóżmy, że f : [ą, �] � f(�) " R+ jest funkcja ciagla. Wówczas
�
1
|D| = [f(�)]2d�,
2
ą
gdzie
D := {(x, y) = (r cos �, r sin �) : � " [ą, �], 0 d" r d" f(�)} .
f(�)
�
ą
4. Niech V bedzie bryla obrotowa powstala przez obrót funkcji f : [a, b]
R+\ {0} klasy C1[a, b] dookola osi Ox. Tu rysunek
Wówczas wzory
b b
|V | = Ą f2(x)dx, |S| = 2Ą f(x) 1 + [f (x)]2dx
a a
wyrażaja odpowiednio objetość V i pole powierzchni bocznej tej bryly obro-
towej.
10.2. Obliczanie dlugości krzywych
Innym zastosowaniem calki oznaczonej sa wzory na obliczanie dLugości krzy-
wych.
1. Jeśli f : [a, b] x f(x) " R jest funkcja klasy C1, to dlugość krzywej f
leżacej miedzy punktami (a, f(a)) i (b, f(b)) wyraża sie wzorem:
b
d = 1 + [f (x)]2dx.
a
53
Rozdzial 10. Calka oznaczona
2. Jeśli x : [ą, �] t x(t) " R+, y : [ą, �] t y(t) " R+ sa funkcjami klasy
C1, to d ugość krzywej k określonej parametrycznie (x(t), y(t)) (t " [ą, �])
wyraża sie wzorem:
�
d = x 2(t) + y 2(t)dt
ą
Policzyć kilka przykladów np:
a) Pole kola
b) Objetość odcinka kuli
c) Dlugość fragmentu paraboli
d) Objetość fragmentu paraboloidy
Rozdzial 11
Calka podwójna
Nie podamy, miedzy innymi z braku czasu, precyzyjnej definicji calki podwójnej.
Ograniczymy sie jedynie do definicji calki podwójnej z funkcji ciaglej na zbiorze
regularnym.
Definicja 53 Ograniczony zbiór &! �" R2 nazywamy regularnym, jeśli wtedy i
tylko wtedy, gdy jego brzeg daje sie podzielić na skończona ilość krzywych, z
których każda daje sie przedstawić równaniem: y = y(x) x " [a, b], lub x =
x(y) y " [c, d], przy czym funkcje y(x) oraz x(y) sa ciagle.
Definicja 54 Zbiór regularny &! �" R2 nazywamy normalnym wzgledem osi Ox
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja stale a, b i ciagle funkcje �, �, takie że
&! = {(x, y) : a d" x d" b, �(x) d" y d" �(x)} ,
a nazywamy normalnym wzgledem osi Oy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja stale
c, d i ciagle funkcje �, �, takie że
&! = {(x, y) : c d" y d" d, �(y) d" x d" �(y)} .
Definicja 55 Jeśli &! �" R2 jest normalny wzgledem osi Ox, a f : &! R jest
funkcja ciagla, to
b �(x)
f(x, y) dx dy := f(x, y) dy dx,
a �(x)
&!
55
Rozdzial 11. Calka podwójna
a jeśli &! �" R2 jest normalny wzgledem osi Oy, to
d �(y)
f(x, y) dx dy := f(x, y) dx dy.
c �(y)
&!
Definicja 56 Niech &! �" R2 bedzie zbior em regularnym, a f : &! (x, y)
n
f(x, y) " R funkcja ciagla. Jeśli &! = &!i przy czym &!i (i = 1, . . . , n)
i=1
normalny wzgledem osi Ox lub normalny wzgledem osi Oy oraz, jeśli i = j, to

(&!i )" &!j)ć% = ", wówczas
n
f(x, y) dx dy := f(x, y) dx dy
i=1
&! &!i
11.1. Zastosowania geometryczne calek podwójnych
1. Niech D �" R2 bedzie zbiorem regularnym, a �, � : D R funkcjami ciaglymi
takimi, że �(x, y) d" �(x, y) w zbiorze D. Definiujemy zbiór
V := (x, y, z) " R3 : (x, y) " D, �(x, y) d" z d" �(x, y) .
Objetość V wyraża sie wzorem
|V | = (� - �)(x, y) dx dy.
D
2. Niech D �" R2 bedzie zbiorem regularnym, f : D R funkcja klasy C1, a S
platem powierzchniowym
S := {(x, y, f(x, y)) : (x, y) " D} .
Pole tego plata jest równe
2 2
|S| = 1 + fx + fy dx dy
D
Twierdzenie 70 Jeżeli
a) funkcje � i � sa ciagle wraz z pochodnymi w obszarze obejmujacym obszar
regularny " i jego brzeg "",
b) (�, �) : "ć% D iniekcja,
"(�,�)
c) = 0 wewnatrz ", to

"(u,v)
"(�, �)
f(x, y) dx dy = f(�(u, v), �(u, v)) du dv,
"(u, v)
D "
gdzie "ć% oznacza wnetrze zbioru ", a
"� "�
"(�, �)
(u, v) (u, v)
"u "u
:= det .
"� "�
"(u, v) (u, v) (u, v)
"v "v
56
11.1. Zastosowania geometryczne calek podwójnych
Przyklad 3
a) Niech x = r cos �, y = r sin �, dla (r, �) " R+ � [0, Ą). Wówczas
"(x, y)
cos � -r sin �
= = r
sin � r cos �
"(r, �)
� �
b) Niech x = , y = dla (�, �) = (0, 0). Prosty rachunek pokazuje, że

�2+�2 �2+�2
"(x,y)
= -1.
"(�,�)
1 x y
c) x2 + y2 = = dla � = 0 i � = 0.

� �
�2+�2
Rozdzial 12
Calka potrójna
Niech
&! = (x, y, z) " R3 : a d" x d" b, �(x) d" y d" �(x), �(x, y) d" z d" �(x, y) .
Wówczas definiujemy
b �(x) �(x,y)
f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dz dy dx
a �(x) �(x,y)
&!
Twierdzenie 71 Jeżeli
a) funkcje �i (i = 1, 2, 3) sa ciagle wraz z pochodnymi w obszarze obejmujacym
obszar regularny " i jego brzeg "",
b) (�1, �2, �3) : "ć% D iniekcja,
"(�1,�2,�3)
c) = 0 wewnatrz ", to

"(u1,u2,u3)
"(�1, �2, �3)
f(x1, x2, x3)dx1 dx2 dx3 = f(�1, �2, �3) du1 du2 du3,
"(u1, u2, u3)
D "
gdzie
"�j
"(�1, �2, �3)
:= det (u1, u2, u3) .
"(u1, u2, u3) "ui j=1,2,3
i=1,2,3
Przyklad 4
59
Rozdzial 12. Calka potrójna
a) Niech x = � cos �, y = � sin �, z = z, gdzie � " [0, 2Ą), � " R+, z " R.
Wówczas
cos � sin � 0
"(x, y, z)
cos � sin �
= -� sin � � cos � 0 = � = �
- sin � cos �
"(�, �, z)
0 0 1
b) Niech x = r sin � cos �, y = r sin � sin �, z = r cos � dla 0 d" r < +",
0 d" � d" Ą, 0 d" � < 2Ą. Wówczas
sin � cos � sin � sin � cos �
"(x, y, z)
= r cos � cos � r cos � sin � -r sin � = r2 sin �.
"(r, �, �)
-r sin � sin � r sin � cos � 0
Przyklad 5
Podamy teraz kilka przykladów obliczania calek.
a) Obliczyć objetość bryly ograniczonej powierzchnia (x2 + y2 + z2)2 = a3z.
We wspólrzednych sferycznych x = r sin � cos �, y = r sin � sin �, z = r cos �
"
1
3
równanie powierzchni przyjmuje postać: r = a cos � dla 0 d" � d" Ą, 0 d"
2
1
� d" Ą. Zatem
2
"
 Ą Ą
3
a cos �
2 2 2
2 1
|V | = 4 d� d� r2 sin �dr = Ąa3 sin � cos �d� = Ąa3.
3 3
0 0 0 0
2
y2 xy
b) Obliczyć pole figury ograniczonej krzywa x2 + = . Rusunek poniżej
a2 b2 c2
przedstawia badana krzywa dla a = 3, b = 2 i c = 4: Zmieniajac zmienne
0.6
0.4
0.2
-1 -0.5 0.5 1
-0.2
-0.4
-0.6
zgodnie z wzorami x = ar cos �, y = br sin � równanie tej krzywej przyjmuje
ab
postać r2 = sin � cos �. Tak wiec
c2
q
Ą ab Ą
sin � cos �
2 2
c2
a2b2 a2b2
|D| = 2 d� abrdr = sin � cos �d� = .
c2 0 2c2
0 0
c) Aby obliczyć pole ograniczone petla krzywej (x + y)4 = ax2y (na rysunku
poniżej przyjeto a = 5)
60
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
warto zastosować zmiane zmiennych postaci x = r cos2 �, y = r sin2 �. Równanie
krzywej przyjmuje postać r = a cos4 � sin2 �. W tym wypadku jakobian jest
równy
cos2 � -2r sin � cos �
J = = 2r sin � cos �.
sin2 � 2r sin � cos �
Rozdzial 13
Przykladowe zestawy zadań
egzaminacyjnych
Pisemny egzamin z analizy matematycznej jest dwucześciowy. Cześć pierwsza
ma na celu sprawdzenie bieglości rachunkowej, a cześć druga, umownie zwana jest
cześcia ,,teoretyczna i nie ma ona charakteru wylacznie rachunkowego. Czas
trwania egzaminu z cześci zadaniowej: 90 - 110 minut. Czas trwania egzaminu
z cześci teoretycznej: 30 -45 minut. Każde zadanie jest punktowane w skali
0 - 10 punktów. Poniżej zaprezentowane sa zestawy zadań egzaminacyjnych z
jednej sesji. Sa one reprezentatywne, jeśli chodzi o poziom trudności tematów. W
poszczególnych latach zmienia sie jednak czesciowo zakres wykladanego materialu
materialu, a wiec i tematyczny zakres zadań.
28 styczeń 2001 Cześć zadaniowa:
1. Na danej kuli opisz stożek o najmniejszej objetości.
2. W stożku o wysokości h = 10cm i promieniu podstawy r = 30cm zwiekszono
wysokość o 2mm i jednocześnie zmniejszono promień o 3mm. Korzystajac ze
wzoru f(x) - f (x0) H" dx f (x - x0) oszacować o ile zmieni sie objetość tego
0
stożka.
x+3
"
3. Oblicz calke dx.
x2 2x+3
4. Korzystajac ze wspólrzednych biegunowych oblicz objetość bryly ograniczonej
walcami x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 4, plasczyznami y = x, y = 0, z = 0 i
paraboloida obrotowa z = x2 + y2.
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
1
 sin
n=1
n2
63
Rozdzial 13. Przykladowe zestawy zadań egzaminacyjnych
"
1

n=1
(n+1)2+1
Cześć teoretyczna:
1. Podaj definicje pochodnej kierunkowej funkcji. Oblicz "vf (x0), gdzie
x1x2
f : R2 (x1, x2) " R, v = (1, 2), x0 = (2, -1).
x2+x2
1
2. Sformuluj twierdzenie Taylora dla funkcji k zmiennych rzeczywistych o wartościach
rzeczywistych. Rozwiń wedlug wzoru Taylora z n = 2 funkcje f : R
(x1, x2) x1 cos x2 " R w otoczeniu punktu (1, 0).
3. Sformuluj znane Ci wlasności funkcji ciaglych.
27 styczeń 2002 Cześć zadaniowa:
1. W odcinek paraboli y = 2x2 ograniczony prosta y = 2 wpisz prostokat o
najwiekszym polu.
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R3 (x, y, z) x2 + y2 + z2 - xy + x - 2z " R.
x
"
3. Oblicz calke dx.
5x2-2x+1
4. Korzystajac ze wspólrzednych biegunowych x = � cos �, y = � sin � oblicz
pole figury ograniczonej petla krzywej o równaniu (x2 + y2)2 = xy leżaca w
pierwszej ćwiartce ukladu wspólrzednych (x e" 0, y e" 0).
0.4
0.2
-0.4 -0.2 0.2 0.4
-0.2
-0.4
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
1
"
 ,
n=1
n(n+1)
"
2n-1
"
 .
n=1
( 2)n
Cześć teoretyczna:
1. Udowodnij twierdzenie:
"
Twierdzenie 72 Jeśli ai > 0 dla i " N oraz szereg a2 jest rozbieżny,
i
i=0
"
to rozbieżny jest także szereg ai.
i=0
Wskazówka: Wykorzystaj kryterium porównawcze Weierstrassa oraz ksztalt
funkcji R+ t t i R+ t t2 w otoczeniu punktu 0.
2. Sformuluj warunek wystarczajacy istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-zmiennych
rzeczywistych o wartościach rzeczywistych (n > 1).
3. Zastosuj twierdzenie Taylora do obliczenia przybliżonej wartości wyrażenia
(1.04)2.02.
64
17 luty 2002 Cześć zadaniowa:
1. W trójkat prostokatny o dlugościach przyprostokatnych równych a i b wpisano
prostokat, którego bok leży na przeciwprostokatnej trójkata. Jakie powinny
być wymiary prostokata, żeby jego pole bylo najwieksze.
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R3 (x, y, z) x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z " R.
3. Stosujac twierdzenie o calkowaniu przez cześci oblicz calke x2 sin 5x dx.
"
1 1
4. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y = , y = x, y = x2 (x e" 0).
x 8
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
1
 ,
n=1
(3n-2)(3n+1)
" 2+(-1)n
 .
n=1
2n
Cześć teoretyczna:
1. Udowodnij twierdzenie:
"
Twierdzenie 73 Jeśli szereg ai o wyrazach dodatnich jest zbieżny, to
i=0
"
zbieżny jest również szereg a2.
i
i=0
Wskazówka: Wykorzystaj warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego,
kryterium porównawcze Weierstrassa oraz ksztalt funkcji R+ t t i R+
t t2 w otoczeniu punktu 0.
2. Sformuluj warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-zmiennych
rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Podaj przyklad funkcji ilustrujacy,
że nie jest to warunek wystarczajacy.
3. Podaj trzy przyklady zastosowania calki oznaczonej w geometrii.
8 styczeń 2003 Cześć zadaniowa:
1. Koszt wynajecia statku towarowego wynosi 3000 zlotych na godzine. Przy
predkości x km/godz koszt paliwa wynosi 3x2 zlotych na godzine. Statek
może plyna ć z maksymalna predkościa 32 km/godz. Jaka jest najbardziej
ekonomiczna predkość? Jaka bedzie odpowiedz
przy wynajeciu statku na
dluższy okres, gdy udziela sie rabatu 10% rabatu za wynajecie?
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
1 8
f : R2 (x, y) xy + + " R.
x y
dx
"
3. Oblicz calke .
4x2+x
4. Oblicz objetość bryly powstalej przez obrót krzywej y = sin x dla x " [0, Ą]
dookola osi Ox.
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
n
3
 ,
n=1
2n5-1
" 2+(-1)n
 .
n=1
2n
Cześć teoretyczna:
65
Rozdzial 13. Przykladowe zestawy zadań egzaminacyjnych
1. Sformuluj warunek wystarczajacy istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-zmiennych
rzeczywistych o wartościach rzeczywistych (n > 1).
2. Zastosuj twierdzenie Taylora do obliczenia przybliżonej wartości wyrażenia
"
1.02 dokladnościa do 0.001.
3. Sformuluj twierdzenie o zmianie zmiennych w calce podwójnej i dokonaj za-
miany zmiennych przechodzac do wspólrzednych biegunowych w calce
sin x2 + y2 dxdy,
K
gdzie K = {(x, y) : x2 + (y - 1)2 d" 1}.
8 luty 2003 Cześć zadaniowa:
1
1. Koszt przejazdu cieżarówki wynosi 60+10x groszy za kilometr, gdzie x oznacza
szybkość w kilometrach na godzine. Kierowca otrzymuje 10 zlotych za godzine
pracy. Jaka bedzie najbardziej ekonomiczna predkość cieżarówki:
 na szosie, gdzie predkość nie może przekraczać 90 km/godz,
 na autostradzie, gdzie predkość nie może przekraczać 110 km/godz.
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R2 (x, y) 2x2 + 8xy + ln y " R.
3. Oblicz objetość bryly obrotowej powstalej prze obrót figury zawartej miedzy
1
krzywymi y = , y = 1, x = 1, x = 3 dookola osi Ox.
x
5x-7
4. Oblicz calke dx.
4x2-8x+13
5. Stosujac kryteria Cauchy ego i d Alemberta zbadaj zbieżność szeregów:
n
"
1-n
 ,
n=1
n2
"
n3
 .
n=1
n!
Cześć teoretyczna:
1. Sformuluj twierdzenie Taylora dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o wartościach
rzeczywistych.
"
1 x
2. Zmień kolejność calkowania w calce f(x, y)dy dx.
0 0
3. Zdefiniuj pojecie granicy funkcji f : Rn �" &! R w punkcie x0 " &!ć%.
Wiedzac, że limx0 sin x = 1 oblicz limx0 tan 2x.
x tan x
28 luty 2003 Cześć zadaniowa:
1. Jakie powinny być wymiary szklanki o grubości ścianek d = 2 mm i po-
jemności V = 0.2 dcm3, aby ilość szkla potrzebnego do jej wytworzenia byla
najmniejsza?
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R2 (x, y) x3 + 3xy2 - 51x - 24y " R.
3. Oblicz pole obszaru &! ograniczonego krzywymi: y = x2, y = 3x2 - 1, x = 1.
66
x+2
4. Oblicz calke dx.
x2+2x+10
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
100n
 ,
n=1
n!
"
n+1
 .
n=1
n2+1
Cześć teoretyczna:
1. Sformuluj twierdzenie Maclaurina dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o
wartościach rzeczywistych. Z dokladnościa do 0.0001 oblicz wartość wyrażenia
e-0.07.
"
1 5 x
2. Zmień kolejność calkowania w calce f(x, y)dy dx.
0 0
3. Zdefiniuj pojecie granicy funkcji f : Rn �" &! R w punkcie x0 " &!ć%.
Wiedzac, że limx0 sin x = 1 oblicz limx0 tan 2x.
x tan x
29 marzec 2003
1. W trójkat prostokatny o dlugościach przyprostokatnych równych a i b wpisano
prostokat, którego bok leży na przeciwprostokatnej trójkata. Jakie powinny
być wymiary prostokata, żeby jego pole bylo najwieksze.
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R3 (x, y, z) x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z " R.
3. Oblicz calke x sin 2x dx.
Ą
4. Oblicz objetość bryly powstalej przez obrót krzywej y = cos x dla x " -Ą ,
2 2
dookola osi Ox.
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
1
 ,
n=1
3n(3n+1)
n
1
2+
(- )
"
2
 .
n=1
2n
31 styczeń 2004
1. Nateżenie pradu I w obwodzie zawierajacym oporność czynna R, indukcyjność
L i pojemność C polaczone w szereg, wyraża sie wzorem
U
I = ,
2
1
R2 + �L -
�C
gdzie U jest napieciem pradu zmiennego przylożonego do obwodu. Oblicz,
dla jakiej wartości pulsacji � nateżenie pradu I w danym obwodzie osiaga
maksimum.
2. Oszacuj maksymalny blad bezwzgledny powstaly przy wyznaczaniu objetości
stożka, przyjmujac promień podstawy r = 3 ą 0.02, wysokość stożka h =
2.2 ą 0.1 oraz Ą = 3.14. Wykorzystaj wzór f(x0 + h) H" f(x0) + dx f(h).
0
3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R2 (x, y) x3 + 3x2y - 6xy - 3y2 - 15x - 15y " R.
67
Rozdzial 13. Przykladowe zestawy zadań egzaminacyjnych
4. a) Zbadaj zbieżność szeregu
"
1
n2 -
2
.
n3 + 3
n=1
b) Korzystajac z twierdzenia o trzech ciagach oblicz granice
1
n
lim 1 + 2n + .
n"
2n
4x+1
5. Oblicz calke dx.
x2+10x+34
6. Oblicz pole obszaru &! ograniczonego krzywymi: y = x2, y = 3x2 + 3, y = 4.
14 luty 2004
1. W trójkat prostokatny o dlugościach przyprostokatnych równych a i b wpisano
prostokat, którego bok leży na przeciwprostokatnej trójkata. Jakie powinny
być wymiary prostokata, żeby jego pole bylo najwieksze?
2. Oblicz przybliżenie liczby (1.02)3 + (0.97)3. Wykorzystaj wzór f(x0 + h) H"
f(x0) + dx f(h), gdzie f : R2 R.
0
3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R2 (x, y) x2 + xy + y2 - 4 ln x - 10 ln y " R.
1
n2+n+
"
2
4. a) Zbadaj zbieżność szeregu .
n=1
n3+3
n
b) Oblicz granice ciagu limn" 1+2+...+n - .
n+2 2
x-1
5. Oblicz calke x dx.
x+1
6. Oblicz pole obszaru &! ograniczonego krzywymi o równaniach: x2 + y2 = 16,
1
x2 = 6y (y e" x2).
6
27 luty 2004
1. Trzeba sporzadzić lejek w ksztalcie stożka obrotowego, którego tworzaca ma
mieć 20 cm dlugości. Jaka powinna być wysokość lejka, aby jego objetość byla
najwieksza.
2. Oblicz przybliżona wartość liczby (1.04)1.97.
1
Wykorzystaj wzór: f(x0 + h) H" f(x0) + dx f(h) + d2 f(h).
0 x0
2
3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R3 (x, y, z) xyz(4 - x - y - z) " R.
4. a) Zbadaj zbieżność szeregu
"
2 + (-1)n
.
2n
n=1
68
b) Korzystajac z twierdzenia o trzech ciagach oblicz granice
"
n
lim 3n + 4n + 5n.
n"
5. Stosujac wzór na calkowanie przez cześci, oblicz calke x2 cos 4xdx.
1
6. Oblicz pole obszaru &! ograniczonego krzywymi: x = y2, x = y2 + 2.
2
22 styczeń 2005 Cześć zadaniowa:
1. Koszt wynajecia statku towarowego wynosi 3000 zlotych na godzine. Przy
predkości x km/godz koszt paliwa wynosi 3x2 zlotych na godzine. Statek
może plyna ć z maksymalna predkościa 33 km/godz. Jaka jest najbardziej
ekonomiczna predkość?
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
2
f : R2 (x, y) e-(x +y2+2x) " R.
dx
3. Oblicz calke .
1+sin x+cos x
"
2
"
4. Oblicz objetość bryly powstalej przez obrót krzywej y = dla x " [0, 5]
x2+4
dookola osi Ox.
"
3n-1
5.  Znajdz
sume cześciowa szeregu i nastepnie zbadaj jego zbieżność.
n=0
5n
"
3n+1
 Korzystajac z kryterium porównawczego zbadaj zbieżność szeregu .
n=1
n3n+2n
Cześć teoretyczna:
1. Sformuluj warunek wystarczajacy istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-zmiennych
rzeczywistych o wartościach rzeczywistych (n > 1).
2. Zastosuj twierdzenie Taylora do obliczenia przybliżonej wartości wyrażenia
"
3
7.999 z dokladnościa do 0.001.
3. Sformuluj twierdzenie o zmianie zmiennych w calce podwójnej i dokonaj za-
miany zmiennych przechodzac do wspólrzednych biegunowych w calce
x2 + y2 dxdy,
K
gdzie K = {(x, y) : (x + 1)2 + y2 d" 1}.
4 luty 2005 Cześć zadaniowa:
1. Prostopadlościenny kontener ma mieć objetość 22.5 m3 i kwadratowa pod-
stawe. Koszt 1 m2 blachy potrzebnej do wykonania dna i pokrywy wynosi 20
zlotych, a ścian bocznych 30 zlotych. Jakie powinny być wymiary kontenera,
aby koszt jego budowy byl najmniejszy?
2. Znajdz
ekstrma funkcji f(x, y) = (2x + y2)ex.
x+3
"
3. Oblicz calke dx.
x2 2x+3
4. Korzystajac ze wspólrzednych biegunowych oblicz objetość bryly ograniczonej
walcami x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 4, paraboloida obrotowa z = x2 + y2 i
plaszczyzna z = 0.
69
Rozdzial 13. Przykladowe zestawy zadań egzaminacyjnych
5. Zbadaj zbieżno ść szeregów:
n
" -2n

n=1
3n+5
"
1

n=1
(n+1)2+1
Cześć teoretyczna:
1. Zbadaj ciaglość funkcji
ńł
3
-x -x2 dla x < 1,
�ł
x-1
f : R x f(x) = 1 dla x = 1,
ół
x3-x2
dla x > 1.
x-1
2. Niech f : R2 �" &! (x, y) f(x, y) " R i niech (x0, y0) " &!ć%. Podaj definicje
y
"f "f
x
pochodnej czastkowej (x0, y0). Oblicz (1, Ą) dla f(x, y) = esin .
"y "y
3. Podaj dwa wzory calkowe na obliczanie pól powierzchi figur. Oblicz pole
1 1
powierzchni ograniczonej parabolami y = x2, y = x2 + .
2 2
13 luty 2005 Cześć zadaniowa:
1. Pewna substancje przechowuje sie w kopcach w ksztalcie stożka. Jaki po-
winien być kat nachylenia tworzacej stożka do podstawy, aby powierzchnia
parowania tej substancji (tj. powierzchnia boczna stożka) byla najmniejsza?
2. Wyznacz ekstrema funkcji f(x, y) = x3 + 3xy2 - 51x - 24y.
1
3. Oblicz calke dx.
x(x+1)2
4. Oblicz objetość bryly obrotowej powstalej prze obrót wykresu funkcji f(x) =
Ą
cos x wzgledem osi Ox, dla x " [0, ].
2
5. Oblicz granice:
" "
 limn" n2 + 4n + 1 - n2 + 2n ,
 limx0 sin 7x.
sin 2x
Cześć teoretyczna:
1. Podaj warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego. Na jego podstawie
rozstrzygnij zbieżność szeregu
"
n3 - n + 1
.
100n3 + n2 + 100
n=1
2. Niech f : R2 �" &! (x, y) f(x, y) " R i niech (x0, y0) " &!ć%. Podaj definicje
"f "f
pochodnej czastkowej (x0, y0). Oblicz (1, Ą) dla f(x, y) = x sin2 y .
"x "x x
3. Sformuluj warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-zmiennych
rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Podaj przyklad funkcji ilustrujacy,
że nie jest to warunek wystarczajacy.
23 czerwiec 2007
1. Oblicz granice:
sin
a) limx0 tan6x ,
2x
2n2+sin n
b) limn+" 3n2+(-1)n .
70
2. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
2n-1
a) ,
n=1
3n-1
n
" -2n
b) .
n=1
3n+5
3. Koszt wynajecia statku towarowego wynosi 3000 e na godzine. Przy predkości
x km/godz koszt paliwa wynosi 3x2 e na godzine. Statek może plyna ć z mak-
symalna predkościa 33 km/godz. Jaka jest najbardziej ekonomiczna pr edkość?
"
"
3
4. Niech f : R2 (x, y) f(x, y) = xy " R, (x0, y0) = (1, 0), v = 3, 1 .
Zdefiniuj gradient funkcji w punkcie i pochodna kierunkowa funkcji. Oblicz
"f(x0, y0) i "vf(x0, y0).
x+3
5. Oblicz calke nieoznaczona x2+4x+8dx.
6. Dla zadanej liczby ą > 1 oblicz pole obszaru D ograniczonego krzywymi
y = xą, x = yą, gdzie x e" 0.
7. Wprowadzajac wspólrzedne biegunowe oblicz calke
xy dxdy,
&!
gdzie &! = {(x, y) : x e" 0, 1 d" x2 + y2 d" 2}.
25 wrzesień 2007
e-x
1. Znajdz
przedzialy monotoniczności i ekstrema funkcji f(x) = .
x2-3
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f(x, y) = x3 + 3xy2 - 51x - 24y.
3. Wykorzystujac wzór: f(x0+h) H" f(x0)+dx f(h)+1d2 f(h) oblicz przybliżona
0 x0
2
wartość liczby (1.04)1.97 .
4. Zbadaj zbieżność szeregów
"
3n+2
a) ,
n=1
n4+n+1
n
"
2n+1
b) .
n=1
3n+1
dx
5. Oblicz calke .
x3+x
6. Oblicz pole obszaru &! ograniczonego krzywymi: y2 = 2x + 1, x - y - 1 = 0.
71