Wykłady z analizy matematycznej dla I roku Elektroniki i
Telekomunikacji
Wiadomości wstępne
Literatura
1) W. Żakowski, G. Decewicz  Matematyka cz. I Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1991
2) W. Żakowski, W. Kołodziej  Matematyka cz. II Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995
3) L. Drużkowski  Analiza matematyczna. Podstawy , Wydawnictwo Uniwersytetu Jegielońskiego, Kraków 1998
4) G. M. Fichtenholz  Rachunek różniczkowy i całkowy , PWN, Warszawa 1978
5) M. Malec  Elementarny wstęp do współczsnej analizy matematycznej , Wydawnictwa AGH, Kraków 1996
6) M. Malec  Przestrzenie metryczne , Wydawnictwa AGH, Kraków 2000
7) J. Banaś, S. Wędrychowicz  Zbiór zadań z analizy matematycznej , Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1993, 1997
8) W. Stankiewicz  Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz.I, PWN, Warszawa 1997
9) W. Stankiewicz, J. Wojtowicz  Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz. II, PWN Warszawa
1976
Oznaczenia:
" dla każdego ( uogólnienie pojęcia  koniunkcji na dowolną liczbę zdań logicznych )
" istnieje ( uogólnienie pojęcia  alternatywy )
:= równe z definicji

: równoważne z definicji

-zbiór liczb naturalnych , 1,2,3,...

0 0,1,2,...
0

- zbiór liczb całkowitych

- zbiór liczb wymiernych

- zbiór liczb rzeczywistych

- zbiór liczb zespolonych

Charakterystyczną cechą zbioru jest zasada indukcji matematycznej :
n n0 n , no
Jeśli jakieś twierdzenie T n ma zachodzić , , to dowód indukcyjny
przeprowadzamy w II etapach:
I. Sprawdzamy, czy twierdzenie zachodzi dla n0 :
T n
0
II. Dowodzimy następnie lemat indukcyjny:
Lemat
Zał. T(n0), T(n0+1), ... , T(k) dla k e" n0 ,
k
Teza T (k+1)
- 1 -
Często wystarczy udowodnić
Lemat
T k , k n0
Zał.
Teza
T k 1
Przykład.
Udowodnić nierówność Bernoulliego

n (1+p ) n e" 1 + np, gdzie p > -1
Dowód indukcyjny.
I. Nierówność jest prawdziwa dla n=1 bo
1 + p e" 1+p
II. Zał. Zakładamy, że nierówność zachodzi dla n=k
(1+p ) k e" 1 + kp
Teza Wykażemy prawdziwość nierówności dla n=k+1
(1+p ) k+1 e" 1 + (k+1)p
Dowód
Przekształcamy nierówność z tezy lematu indukcyjnego
(1+p ) k+1 e" 1 + (k+1)p
(1+p ) k (1+p) e" 1 + kp + p
(1+p ) k (1+p) e" (1+p) + kp
(1+p)[ (1+p ) k - 1] e" kp
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ (1+p ) k - 1 e" kp na podstawie założenia
indukcyjnego, stąd
(1+p)[ (1+p ) k - 1] e" (1+p)kp = kp+kp2 e" kp.
Definicje rekurencyjne
Np.
- definicja rekurencyjna silni:
0 ! 1
n ! n n 1 ... 2 1, n
=>
n 1 ! n 1 n ! , n
{
0

definicja symbolu ":
1 n+1 n

a := a1 a = a an+1 dla n
j j j
j = 1 j = 1 j = 1
- 2 -
Stąd
n+1

a = a1 a2 ... an .
j
j = 1
Niech A i A .
Def. Kresem górnym (supremum) zbioru A nazywamy liczbę  oznaczoną supA 
spełniającą warunki:

a supA
a A

supA - kres górny zbioru A :
{
r supA a A : a r
Def. Kresem dolnym (infinium) zbioru A nazywamy liczbę  oznaczoną infA 
spełniającą warunki:


a infA
a A
- kres dolny zbioru A :

infA
{
r infA a A : a r
Zasada osiągania kresów w (zasada zupełności zbioru ):
I. Każdy zbiór ograniczony z góry posiada kres górny, tzn.

A - zbiór ograniczony z góry supA
II.Każdy zbiór ograniczony z dołu posiada kres dolny, tzn.

zbiór ograniczony z dołu infA
A -
Rozszerzenie zbioru :
Definiujemy


:=
Wtedy
a a



b b
- 3 -
Suma i iloczyn dowolnej rodziny zbiorów
Niech I  dowolny zbiór, I .
A
Niech będzie rodziną zbiorów indeksowaną wskaz
nikami ze zbioru wskaz
ników I.
i i I
Definiujemy
Ai
A := x : x Ai - suma (unia) zbiorów
i I
i
i I

A := x : x Ai
i I
Ai
i - iloczyn (przecięcie) zbiorów
i I
Para uporządkowana
(a,b) := {{a},{a,b}}
(a,b) = (c,d) a = c b = d
Uporządkowany układ n elementów
(a1, a2 , ..., an) := ((a1 , ..., an-1), an) dla n e" 3, n
Iloczyn kartezjański zbiorów A i B:
A B := x , y : x A y B
n
Ai A1 A2 ... An a1 ,a2 ,... ,an : a1 A1 , a2 A2 , ... , an An
X
i 1
Ciągi liczbowe
Def.
Ciąg (an) nazywamy ograniczonym z góry
: M R : a M
n n
Def.
Ciąg (an) nazywamy ograniczonym z dołu : m R : a m
n n
Def.
Ciąg (an) nazywamy ograniczonym : K 0 : a K
n n
Tw.
Niech a , bn n - ciągi.
n n
- 4 -
lim a 0
bn n
Jeśli n i - ograniczony , to
n
lim a bn 0
.
n
n
Przykład
1
1
bn sin n
, ponieważ lim 0 , a ciąg jest ograniczony.
lim sin n 0
n
n n
n
Tw. (o trzech ciągach)
Niech a , bn n , cn n - ciągi
n n
Jeżeli

n n a bn cn
0 n
oraz
lim an lim cn g
,
n n
to
lim bn g
.
n
Kryterium zbieżności d'Alemberta
a
n 1
lim 1 ciąg an n jest zbieżny lim a 0
n
a
n n
n
Przykład
2n n ! 2n n !
Niech an . Obliczyć lim
nn n nn
Stosujemy kryterium zbieżności d'Alemberta
2n 1 n 1 !
n 1
n 1
2 n 1 2 2


lim lim lim 1
n n
e
n n n
2n n !
n 1 n 1
n 1
nn
n n
stąd
2n n !

lim 0 .
n nn
- 5 -
Tw. ( o ciągu monotonicznym i ograniczonym )
1. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
2. Jeżeli ciąg jest ciągiem rosnącym ograniczonym z góry, to jest zbieżny.
3. Jeżeli ciąg jest ciągiem malejącym ograniczonym z dołu, to jest zbieżny.
Tw. (o iloczynie ciągu ograniczonego i zbieżnego)
an n , bn n - ciągi
Niech
Jeżeli
lim an 0
oraz


b K 0 : bn K dla n
- ograniczony tzn. ,
n n
to
lim an bn 0
.
n
Tw.
1
an n
Ciąg , gdzie an 1 dla n jest rosnący i ograniczony.
n
Dowód
an n
1. Korzystając z nierówności Bernoulliego wykazuje się, że ciąg jest ciągiem
rosnącym
an n
2. Wystarczy wykazać, że ciąg jest ograniczony z góry. Korzystamy z dwumianu
Newtona:
n
n
1 1 1 1 1
n n n n
=
1 1 ...
n n
k 1 2 n
nk n2 nn
k 0
n ! 1 n ! 1 n ! 1 n ! 1
1 ...
= =
n 1 ! 1 ! n n 2 2 ! n 3 ! 3 !
n2 n3 n ! nn
n n 1 n n 1 n 2
1 1 n ! 1
1 1 ...
= d"
2 ! 3 !
n2 n3 n ! nn
1 1 1 1
d" 2 ... d"
2 ! 3 ! 4 ! n !
1 1 1 1
2 ...
d" =
2
22 23 2n 1
n 1
1
= d" 3
3
2
- 6 -
n
1
Wniosek Istnieje granica
lim 1
n
n
Def.
n
1
e : lim 1
n
n
Tw.
an an
1. Jeżeli albo albo przy n , to
a
n
1
lim 1 e
an
n
a 0
2. Jeżeli przy n to:
n
1
a
n
lim 1 an e
n
Przykład
n n n n 5 7
n

7 5
n
n 2 n 2 7 7 7 7
7
an 1 1 e
n 5 n 5 n 5 n 5
n
ponieważ
n 5


7 7n
7
oraz lim 7
lim 1 e
n 5
n
n 5
n
Tw.
n
lim n 1
n
Dowód
n
Niech n := 1 bn . Wtedy bn 0 i n 1 bn n
Korzystając ze wzoru Newtona otrzymujemy
n
n
n bk 1 n bn n b2 ... bn .
n n n
k 2
k 0
n
n b2 ,
Stąd
n
2
- 7 -
1
,
n n n 1 b2
n
2
2
bn 0
n 1
Zatem lim bn 0 na podstawie tw. o trzech ciągach.
n
- 8 -