m�n m, n " N
m�n m n
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł a21 a22 . . . a2n śł
śł
�ł
�ł śł
�ł �ł
am1 am2 . . . amn
A, B, C, X
i- j- aij.
A [aij]m�n [aij] ,
A B aij = bij i "
{1, 2, . . . , m} , j " {1, 2, . . . , n} .
1 0
A = 2 � 2,
6 3
1
B = 1 � 4,
2 3 1
2
�ł łł
2 3 7
�ł śł
�ł śł
1 2 5
�ł śł
C = 4 � 3. c12 = 3, c23 = 5.
�ł śł
0 3 3
�ł �ł
0 4 2
m�n,
 m � n 0m�n 0,
�ł łł
0 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
0 0 . . . 0
�ł śł
0 = .
�ł śł
�ł �ł
0 0 . . . 0
(m = n)
(a11, a22, . . . ann)
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł a12 a22 . . . a2n śł
śł
�ł
A = .
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann
n e" 2,
0
�ł łł
a11 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
a12 a22 . . . 0
�ł śł
A = .
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł śł
0 a22 . . . a2n śł
�ł
A = .
�ł śł
�ł �ł
0 0 . . . ann
n,
0,
�ł łł
a11 0 . . . 0
�ł śł
�ł 0 a22 . . . 0 śł
�ł śł
A = .
�ł śł
�ł �ł
0 0 . . . ann
n,
1 In I
�ł łł
1 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
0 1 . . . 0
�ł śł
I = .
�ł śł
�ł �ł
0 0 . . . 1
m � n Aij, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n
m n
A
�ł łł
A11 A12 . . . A1n
�ł śł
�ł A12 A22 . . . A2n śł
śł
�ł
A =
�ł śł
�ł �ł
Am1 Am2 . . . Amn
Ai1, Ai2, . . . , Ain i-
A1j, A2j, . . . , Amj j-
�ł łł
0 0 0
0 0 0 0
�ł śł
, .
�ł 0 0 0 �ł
0 0 0 0
0 0 0
�ł łł
1 -2 7
5 4
�ł śł
, .
�ł 0 5 8 �ł
34
-7
3
9 5 -4
�ł łł
�ł łł
5 0 0 0
1 2 7 �ł śł
4
�ł śł
4 0 0
�ł śł
5
�ł śł
,
0
�ł -5 8 �ł
�ł śł
-5 5 2 0
�ł �ł
7
0 0 4
4 77 11 7
�ł łł
4 0 0 0
�ł śł
1
�ł śł
0 0 0
2
�ł śł
�ł śł
0 0 64 0
�ł �ł
0 0 0 -5
�ł łł
1 0 0
�ł śł
�ł 0 1 0 �ł
0 0 1
�ł łł
1
4 -5 7 3 1
2
�ł śł
1
A = 3 4 2 1 -7
�ł �ł
2
7 19 6 1 0 11
A = [aij]m�n , B = [bij]m�n . A B
C = [cij]m�n ,
cij = aij ą bij,
i " {1, 2, . . . , m} , j " {1, 2, . . . , n} .
C = A ą B.
�ł łł �ł łł
c11 c12 . . . c1n a11 ą b11 a12 ą b12 . . . a1n ą b1n
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
c12 c22 . . . c2n śł �ł a12 ą b12 a22 ą b22 . . . a2n ą b2n śł
�ł
= .
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
cm1 cm2 . . . cmn am1 ą bm1 am2 ą bm2 . . . amn ą bmn
�ł łł �ł łł
2
3 1 0 1 1 -3 4
3
�ł śł �ł śł
2
A = -5 1 4 �ł �ł 14 9 11 0 �ł
, B = .
�ł
3
2 -4 21 3 -4 3 1 -2
2
�ł łł �ł łł
2 11
3 + 1 + 1 0 - 3 1 + 4 2 -3 5
3 3
�ł śł �ł śł
2 44
A + B = = .
�ł + 14 -5 + 9 1 + 11 4 + 0 �ł �ł 4 12 4 �ł
3 3
7
2 - 4 -4 + 3 21 + 1 3 - 2 -2 -1 1
2 2
A = [aij]m�n , ą
A ą B = [bij]m�n
bij = ą � aij,
 i " {1, 2, . . . , m} , j " {1, 2, . . . , n} .
B = ą � A.
�ł łł �ł łł
b11 b12 . . . b1n ą � a11 ą � a12 . . . ą � a1n
�ł śł �ł śł
�ł b12 b22 . . . b2n śł �ł ą � a12 ą � a22 . . . ą � a2n śł
śł �ł śł
�ł
= .
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
bm1 bm2 . . . bmn ą � am1 ą � am2 . . . ą � amn
1 4
A = .
-2 1
1 4 3 � 1 3 � 4 3 12
3 � A = 3 � = = .
-2 1 3 � (-2) 3 � 1 -6 3
5 6 2 3 -7 1
A = , B = .
-5 2 -1 4 1 3
3 � A - 4 � B.
5 6 2 3 -7 1
3 � A - 4 � B =3 � - 4 � =
-5 2 -1 4 1 3
15 18 6 12 -28 4 3 46 2
- = .
-15 6 -3 16 4 12 -31 2 -15
A = [aij]m�n , B = [bij]n�k . A B
C = [cij]m�k ,
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj
i " {1, 2, . . . , m} , j " {1, 2, . . . , k} .
C = A � B.
A � B
A B.
A B.
�ł łł
5 2
1 3 12
�ł śł
A = , B = .
1 0
�ł �ł
-2 21 -2
1 1
1 � 5 + 3 � 1 + 12 � 1 1 � 2 + 3 � 0 + 12 � 1 20 14
AB = = .
-2 � 5 + 21 � 1 + (-2) � 1 -2 � 2 + 21 � 0 + (-2) � 1 9 -6
A m � n B C n � k,
A (B + C) = AB + AC.
A B m � n C n � k,
(A + B) C = AC + BC.
A m � n, B n � k ą
A (ąB) = (ąA) B = ą (AB) .
A m�n B n�k C
k � l,
(AB) C = A (BC) .
A m � n,
AIn = ImA = A.
A = [aij]m�n . A
B = [bij]n�m
bij = aji,
i " {1, 2, . . . , m} , j " {1, 2, . . . , n} .
B = AT .
�ł łł
-5 2 1
�ł śł
�ł śł
-1 6 2
�ł śł
A = .
�ł śł
2 0 1
�ł �ł
2 64 5
�ł łł
-5 -1 2 2
�ł śł
AT = .
�ł 2 6 0 64 �ł
1 2 1 5
A B m � n,
(A + B)T = AT + BT .
A m � n ą " R,
T
AT = A oraz (ąA)T = ąAT
A m � n, B n � k,
(AB)T = BT AT
A det A
A n = 1 (A = [a11]) ,
det A = a11,
A n e" 2,
det A = (-1)1+1 a11 det A11 + (-1)1+2 a12 det A12 + . . . + (-1)1+n a1n det A1n,
Aij n - 1, A
i- j-
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł a12 a22 . . . a2n śł
śł
�ł
A = ,
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann
 det A
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł a12 a22 . . . a2n śł
śł
�ł
det
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann
a11 a12 . . . a1n
a12 a22 . . . a2n
.
an1 an2 . . . ann
n = 2
a b
det = ad - cb.
c d
n = 3
�ł łł
a b c a b c a b
�ł śł
det = = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi.
�ł d e f d e f d e
�ł
g h i g h i g h
A = [aij] n e" 2.
aij A
Dij = (-1)i+j det Aij,
Aij n - 1, A i-
j-
�ł łł
-4 2 1
�ł śł
A = .
�ł 4 2 3 �ł
2 1 0
4 2
D13 = (-1)1+3 � = 1 � 0 = 0,
2 1
-4 2
D23 = (-1)2+3 � = -1 � (-8) = 8.
2 1
 A = [aij] n e" 2.
i, j " {1, 2, . . . , n} . A
det A = ai1Di1 + ai2Di2 + . . . + ainDin,
det A = a1jD1j + a2jD2j + . . . + anjDnj.
A
i-
i- A
j-
j-
�ł łł
-4 2 1
�ł śł
A = ,
�ł 4 2 3 �ł
2 1 0
det A 2-
3-
2 1 -4 1 -4 2
det A = 4 � (-1)2+1 + 2 � (-1)2+2 + 3 � (-1)2+3 =
1 0 2 0 2 1
= -4 � (-1) + 2 � (-2) + (-3) � (-8) = 24.
4 2 -4 2 -4 2
det A = 1 � (-1)1+3 + 3 � (-1)2+3 + 0 � (-1)3+3 =
2 1 2 1 4 2
= 1 � 0 + (-3) � (-8) + 0 = 24.
a11 0 . . . 0
a12 a22 . . . 0
= a11 � a22 � . . . � ann,
an1 an2 . . . ann
a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n
= a11 � a22 � . . . � ann.
0 0 . . . ann
�ł łł �ł łł
a11 c � a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n
�ł śł �ł śł
�ł a12 c � a22 . . . a2n śł �ł a12 a22 . . . a2n śł
śł śł
�ł �ł
det = c � det ,
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
an1 c � an2 . . . ann an1 an2 . . . ann
�ł łł �ł łł
a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n
�ł śł �ł śł
�ł c � a12 c � a22 . . . c � a2n śł �ł a12 a22 . . . a2n śł
śł śł
�ł �ł
det = c � det
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann
A = [aij]n�n .
a11
1 a11 = 0
A a11
�ł łł �ł łł
a11 a12 . . . a1n 1 a12 . . . a1n
�ł śł �ł śł
a12
�ł śł �ł śł
a12 a22 . . . a2n śł k1 a22 . . . a2n śł
a11
�ł �ł
det k1 = = a11 � det .
�ł śł a11 �ł śł
�ł �ł �ł �ł
an1
an1 an2 . . . ann an2 . . . ann
a11
�ł łł
1 a12 . . . a1n
a12
w2 = w2 - w1 �
�ł śł
a12 a11
�ł a22 . . . a2n śł
śł
a11
�ł
a11 � det =
�ł śł
�ł �ł
an1
wn = wn - w1 �
an1 a11
an2 . . . ann
a11
�ł łł
1 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł 0 a 22 . . . a 2n śł
śł
�ł
= a11 � det .
�ł śł
�ł �ł
0 a n2 . . . a nn
1
a 22
a11 = 0.
1
�ł łł
1 4 2
�ł śł
det .
�ł 3 5 7 �ł
-4 -2 1
1 4 2 1 4 2
w2 = w2 - 3 � w1
= -7 1
=
3 5 7 0
w3 = w3 + 4 � w1
-4 -2 1 0 14 9
1 4 2 1 4 2
w3 = w3 + 2 � w2 = -7 1 -77
=
0 -7 1 0
0 14 9 0 0 11
 A n.
A A-1,
AA-1 = A-1A = In,
In n.
2 1
A = ,
5 3
3 -1
A-1 = .
-5 2
2 1 3 -1 1 0
AA-1 = =
5 3 -5 2 0 1
3 -1 2 1 1 0
A-1A = = .
-5 2 5 3 0 1
A
A
det A = 0.
A
det A = 0 A = [aij] n

�ł łł
T
D11 D12 . . . D1n
�ł śł
�ł D21 D22 . . . D2n śł
śł
1
�ł
A-1 = ,
�ł śł
det A
�ł �ł
Dn1 Dn2 . . . Dnn
Dij aij A.
A B
ą = 0. A-1, AT , AB, ąA An n " N

-1
det (A-1) = (det A)-1 (A-1)-1 = A AT = (A-1)T
1
(AB)-1 = B-1A-1 (ąA)-1 = A-1 (An)-1 = (A-1)n
ą
�ł łł
2 5 7
�ł śł
A = .
�ł 6 3 4 �ł
5 -2 -3
det A
2 5 7 2 5 7 2 5
det A = = =
6 3 4 6 3 4 6 3 -18 + 100 - 84 - 105 + 16 + 90 = -1.
5 -2 -3 5 -2 -3 5 -2
3 4
D11 = (-1)1+1 = -1,
-2 -3
6 4
D12 = (-1)1+2 = 38,
5 -3
6 3
D13 = (-1)1+3 = -27,
5 -2
5 7
D21 = (-1)2+1 = 1,
-2 -3
2 7
D22 = (-1)2+2 = -41,
5 -3
2 5
D23 = (-1)2+3 = 29,
5 -2
5 7
D31 = (-1)3+1 = -1,
3 4
2 7
D32 = (-1)3+2 = 34,
6 4
2 5
D33 = (-1)3+3 = -24.
6 3
�ł łł �ł łł �ł łł
T
-1 38 -27 -1 1 -1 1 -1 1
�ł śł �ł śł �ł śł
A-1 = -1 = = .
1 �ł �ł -41 34 �ł �ł -38 41 -34 �ł
38
�ł -41 29 -1
-1 34 -24 -27 29 -24 27 -29 24
 A A-1
A
�ł łł
a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
�ł śł
�ł a12 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0 śł
�ł śł
.
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
[A|I]
[I|B]
"
"
"
B
A.
�ł łł
2 2 3
�ł śł
A =
1
�ł -1 0 �ł
-1 2 1
 m n x1, x2, . . . , xn, m, n " N
ńł
�ł a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
�ł
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
,
�ł
�ł
�ł
�ł
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
aij, bi " R i " {1, 2, . . . , m} j " {1, 2, . . . , n} .
(x1, x2, . . . , xn)
AX = B,
�ł łł �ł łł �ł łł
a11 a12 . . . a1n x1 b1
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł a12 a22 . . . a2n śł �ł śł �ł śł
śł x2 b2
�ł �ł śł �ł śł
A = , X = , B = .
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
am1 am2 . . . amn xn bm
A X
B
ńł
�ł x - y = 0
�ł
.
y + z = 2
�ł
ół
z = -5
 B = 0,
AX = 0
B
X = 0.
AX = B,
A
�ł łł
det A1
�ł śł
�ł det A1 śł
śł
1
�ł
X = ,
�ł śł
det A
�ł �ł
det An
n A, Aj j " {1, 2, . . . , n} A,
j- B.
det A1 det A2 det An
x1 = , x2 = , . . . , x2 = .
det A det A det A
ńł
�ł x - y - z = 1
�ł
.
3x + 4y - 2z = -1
�ł
ół
3x - 2y - 2z = 1
X = A-1B.
 A
A
1 A rz A.
�ł łł
1 -1 0 2 1
�ł śł
A =
�ł 3 1 1 3 2 �ł
-1 -3 -1 1 0
1 -1 0
= 0,
3 1 1
-1 -3 -1
1 -1 2
= 0,
3 1 3
-1 -3 1
1 -1 1
= 0
3 1 2
-1 -3 0
3
rz A d" 2. 2.
1 -1
= 4 = 0,

3 1
rz A = 2.
 A
�ł łł
1 0 . . . 0 a 1r+1 . . . a 1n
�ł śł
�ł
0 1 . . . 0 a 2r+1 . . . a 2n śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
0
�ł śł
�ł
0 0 . . . 1 a rr+1 . . . a 4n śł
�ł �ł
0 0 . . . 0 0 . . . 0
rz A = r.
�ł łł
1 -1 0 2 1
�ł śł
A = .
�ł 3 1 1 3 2 �ł
-1 -3 -1 1 0
�ł łł �ł łł
1 -1 0 2 1 1 -1 0 2 1
w2 = w2 - 3w1 �ł
�ł śł śł
rz = rz =
�ł 3 1 1 3 2 �ł �ł 0 4 1 -3 -1 �ł
w3 = w3 + w1
-1 -3 -1 1 0 0 -4 -1 3 1
�ł łł �ł łł
1 5 3
1 -1 0 2 1 w3 = w3 + w2 1 0
4 4 4
�ł śł �ł śł
1 1
rz = rz = 2.
�ł 0 4 1 -3 -1 w1 = w1 + w2 �ł 0 1 -3 -1 �ł
�ł
4 4 4 4
1
0 -4 -1 3 1 w2 = w1 0 0 0 0 0
4
AX = B
rz A = rz [A|B] = r.
" r = n A
" r < n A
n - r
rz A = rz [A|B]
ńł
�ł 4x - y = 7
�ł
.
3x + y = 14
�ł
ół
2x + 3y = 0
ńł
�ł
5x + 3y - z = 3
�ł
�ł
�ł
�ł
2x + y - z = 1
.
�ł
3x - 2y + 2z = -4
�ł
�ł
�ł
ół
x - y + 2z = -2
ńł
�ł
3u + x + y + 2z = 2
�ł
�ł
�ł
�ł
-u + x + 2y + z = 1
.
�ł
6u + 2x + 2y + 4z = 4
�ł
�ł
�ł
ół
-3u + 3x + 6y + 3z = 3
 R3
(x, y, z)
R3 := {(x, y, z) : x, y, z " R} .
R3
" A, B, C, P, Q
A = (x, y, z) A x, y, z
" A = (xa, ya, za) B = (xb, yb, zb)
AB A
A B AB
AB := [xb - xa, yb - ya, zb - za] .
AA
:= [0, 0, 0] .
"
 A = (xa, ya, za) B = (xb, yb, zb)
Ż
AB AB AB
||AB||
||AB|| := (xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2.
AB P Q
AB P Q AB
AB A B
AB
AB
a, u, v
A, B, C k
A, B, C " k K, L, M, N
Ą K, L, M, N " Ą
u, v u v
u, v u v
ą, � ąu + �v =
u1 = [x1, y1, z1] u2 = [x2, y2, z2]
ą
u1 u2 u1 + u2
u1 + u2 := [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2].
u1 u2 u1 - u2
u1 - u2 := [x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2].
u ą ą � u1
ą � u1 := [ą � x1, ą � y1, ą � z1].
u v
w ą, �
u + v = v + u
u + (v + w) = (v + u) + w
u + = u
 u + -u = -u u
1 � u = u
(ą�) � u = ą � (� � u)
(ą + �) � u = ą � u + � � u
ą � (u + v) = ą � u + ą � v
u = [x, y, z]
||u|| = x2 + y2 + z2.
u v
ą
||u|| e" 0 ||u|| = 0 �! u =
||ąu|| = |ą| � ||u||
||u + v|| d" ||u|| + ||v||
|||u|| - ||v||| d" ||u - v||
x, y, z
O = (0, 0, 0)
Oxyz Ox Oy Oz
Ox Oy Oz






= [1, 0, 0] = [0, 1, 0] = [0, 0, 1]
Ox Oy Oz






u, v u v
u ć% v
u ć% v = ||u|| � ||v|| � cos Ć,
Ć u v






u1 = [x1, y1, z1]
u2 = [x2, y2, z2]
u1 ć% u2 = x1x2 + y1y2 + z1z2.
u v w
ą
u ć% v = v ć% u
 (ąu) ć% v = ą (u ć% v)
u ć% u = ||u||2
(u + v) ć% w = u ć% w + v ć% w
|u ć% v| d" ||u|| � ||v|| �! u v
u Ą" v �! u ć% v = 0
u = [x1, y1, z1] v = [x2, y2, z2] w = [x3, y3, z3]
(u, v, w)
x1 y1 z1
> 0.
x2 y2 z2
x3 y2 z3
u, v, w
u v
u v Oxyz
w = u � v
w u v
||w|| = ||u|| � ||v|| � sin Ć,
Ć u v
u, v, w Oxyz
u v
u � v =
u � v
u v
u � v
u = [x1, y1, z1]
v = [x2, y2, z2]
u � v = ,
x1 y1 z1
x2 y2 z2
, ,
 u v
w ą
u � v = -(v � u)
(ąu) � v = u � (ąv) = ą(u � v)
(u + v) � w = u � w + v � w
u � (v + w) = u � v + u � w
||u � v|| d" ||u|| � ||v|| �! u Ą" v
u v �! u � v = 0
u � v
u v







w = u � v
u, v, w
(u, v, w) := (u � v) ć% w.
u = (x1, y1, z1) v =
(x2, y2, z2) w = (x3, y3, z3)
x1 y1 z1
(u, v, w) = .
x2 y2 z2
x3 y3 z3
u v
w r ą
(u, v, w) = (v, w, u) = (w, u, v)
 (u, v, w) = -(v, u, w)
(u + r, v, w) = (u, v, w) + (r, v, w)
(ąu, v, w) = ą(u, v, w)
u, v, w �! (u, v, w) = 0
|(u, v, w)| d" ||u||�||v||�||w|| �!
u, v, w






= u, v, w
n = [A, B, C]
P0 = (x0, y0, z0) Ą P0
n
Ą : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.
P Ą
Ą n
Ax + By + Cz + D = 0,
A2 + B2 + C2 > 0 A, B, C
 P0 = (x0, y0, z0) u =
[a1, b1, c1] v = [a2, b2, c2] Ą
u, v P0
ńł
�ł x = x0 + sa1 + ta2,
�ł
Ą =
y = y0 + sb1 + tb2, s, t " R.
�ł
ół
z = z0 + sc1 + tc2
P1 =
(x1, y1, z1) P2 = (x2, y2, z2) P3 = (x3, y3, z3)
x y z 1
x1 y1 z1 1
Ą : = 0.
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
l
Ą1 Ą2
l
Ą1 Ą2
Ą1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, Ą2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Ą
Ą : 1 (A1x + B1y + C1z + D1)) + 2 (A2x + B2y + C2z + D1) = 0,
1, 2
l P0 = (x0, y0, z0)
v = [a, b, c]
l : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t[a, b, c], t " R,
ńł
�ł x = x0 + at
�ł
l :
y = y0 + bt t " R
�ł
ół
z = z0 + ct
 l P0 = (x0, y0, z0)
v = [a, b, c], a, b, c = 0

x - x0 y - y0 z - z0
l : = = .
a b c
v
a, b, c
Ą1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
Ą2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
l :
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
l
v l l
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
l :
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
v = [A1, B1, C1] � [A2, B2, C2].
P Ą
p
P P Ą" Ą
P0 =
(x0, y0, z0) Ą : Ax + By + Cz + D = 0
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P0, Ą) = "
A2 + B2 + C2
Ą1, Ą2
Ą1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
Ą2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Ą1 Ą" Ą2 �! A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0,
 Ą1 Ą2 �! A1, B1, C1 A2, B2, C2
A2, B2, C2 = 0

A1 B1 C1
Ą1 Ą2 �! = = ,
A2 B2 C2
|A1A2 + B1B2 + C1C2|
cos (Ą1, Ą2) =
2 2 2 2
A2 + B1 + C1 � A2 + B2 + C2
1 2
2 2 2 2
A2 + B1 + C1 > 0 A2 + B2 + C2 > 0
1 2
Ą1 Ą2
Ą1 : Ax + By + C + D1 = 0, Ą2 : Ax + By + Cz + D2 = 0
|D1 - D2|
d(Ą1, Ą2) = " .
A2 + B2 + C2