Wykład 2( dla studentów)
I. Wektory
1. Rozkład wektora na składowe( w przestrzeni trójwymiarowej):
r
r r
r
r = i o x + j o y + k o z
r
r r
gdzie: i , j, k są to wektory jednostkowe, czyli o długości równej jeden,
r
r r
r
i = j = k = 1, a x, y, z, są to składowe wektora r w kierunku osi x,y,z
Zgodnie z rysunkiem: x = r sinÄ… cos ²
y = r sin ² sinÄ…
z = r cosÄ…
r
Długość wektora r = x2 + y2 + z2
2. Dodawanie i odejmowanie wektorów:
r r r
r r r r
r
a = i ax + jay + kaz b = i bx + jby + kbz
r r
r r
r r r r r r r
a) dodawanie: c = a + b c = i (ax + bx )+ j(ay + by)+ k(az + bz ) c = cx + cy + cz
r r r r r
r r
r r
b) odejmowanie: d = a - b = a +(- b) d = i (ax - bx) + j(ay - by) + k (az - bz )
r r r r
d = dx + d + dz Odjąć dwa wektory tzn. dodać je ze znakiem przeciwnym.
y
3. mno\
enie wektorów:
a) iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny dwóch wektorów daje nam skalar( liczbę)
r r
r r
r
c = a o b c = a Å" b cosÄ… c = axbx + ayby + azbz
r
r
gdzie kąt ą jest zawarty pomiędzy wektorami aib
r
r
np. praca W = F o "r
r r r r
r r r r r r r r
i o i = j o j = k o k = 1 i o j = j o k = i o k = 0
r r
r r
Iloczyn skalarny jest przemienny tzn. a o b = b o a
b) iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów daje nam wektor ( pseudowektor)
r r
r
d = a × b
r r
r r
lub d = i (aybz - azby)+ j(azbx - axbz )+ k(r - aybx)
axby
r
r r
dx = aybz - azby d = i dx + jdy + kdz
d = azbx - axbz
y
dz = axby - aybx
r
Wektor d mo\
na równie\
zapisać za pomocą wyznacznika.
r r r
r
2
2
d = a Å" b sinÄ… lub d = dx 2 + d + dz
y
r r
r r
zwroty wektorów a ×b i b × a sÄ… przeciwne co obrazuje poni\
szy rysunek
r r r r
r r
d = a ×b - d = b × a
r r
r
W fizyce przykÅ‚adem iloczynu wektorowego jest np. moment siÅ‚y M = r × F
r r r
r r r r r r
r r
r r r r
i × j = k , j × k = i ,k × i = j
i × i = j × j = k × k = 0
r r r
r r r r r r
j × i = -k ,i × k = - j,k × j = -i
II. Operatory.
1. operator " (  nabla ) jest to operator wektorowy, zdefiniowany w następujący
r
r r
" " "
sposób: " = i + j + k
"x "y "z
r
r r
"V "V "V
2. gradient gradV = " Å"V = i + j + k wektor
"x "y "z
r
r r r
Mamy wektor E = i Å" Ex + j Å" Ey + k Å" Ez
r
3. dywergencja ( iloczyn skalarny "iE ) skalar
r r
"Ex "Ey "Ez
div E = " o E = + +
"x "y "z
r
4. rotacja ( iloczyn wektorowy "iEr) wektor
r
rot E = " × E
5.  laplasjan  ( iloczyn skalarny " o " skalar
"2 "2 "2
" o " = "2 = + +
"x2 "y2 "z2
III. Jednostki podstawowe układu SI:
Rodzaj oddziaływania Postać siły Względne natę\
enie
r
r
m1 Å" m2 Å" r
-38
Grawitacyjne F = -G 10
2
r
r
-2
r r r
r
Elektromagnetyczne F = q0 Å" E + q0 Å" v × B 10
słabe ( leptony) - 10-15
silne, jÄ…drowe - 1
IV. Kinematyka
.
1. Układy odniesienia.
2. Wielkości kinematyczne charakteryzujące zjawisko ruchu
r
r r r r r r r "Ä…
"r = r2 - r1 "Ä… = Ä…2 - Ä…1 "Ä… = "Ä… Å"
r
"Ä…
a) prędkość liniowa b) prędkość kątowa
r r
def def
r "r m r "Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚
vÅ›r = Ö = [1/s]
ïÅ‚ śł
"t s "t
ðÅ‚ ûÅ‚
r r r r
def def
r "r dr "Ä… dÄ…
vch = lim = Ö = lim =
ch
"t 0 "t0
"t dt "t dt
r r r
v = Ö × r
a) przyspieszenie liniowe b) przyspieszenie kÄ…towe
r r
def def
r
r "v m "Ö 1
= [ ] = [ ]
a µ
śr śr
"t s2 "t s2
r r
def
r
"Ö dÉ
r r
def
= lim =
r "v dv
µ
ch
"t0
= lim =
"t dt
a
ch
"t 0
"t dt
r r r
a = µ × r
3. Opis ruchu
r r r r r r
r (t) =
+"v(t)dt , v = v(t), a = a(t)
we współrzędnych prostokątnych : x = x(t), = (t) , = (t)
v v a a
x x x x
y =y(t), = (t), = (t)
v vr r a
a
y y y y
r r r r
r r r
r = i Å" x + j Å" y , v = i Å" + j Å" , a = i Å" + j Å"
v v a a
x y x y
dvy
dx dy dvx
vx = vy = ax = ay
dt dt dt dt
2
2 2 2 2 2
r = + , v = + , a = +
y
x v v a a
x y x y
Przykład 1. Ruch jednostajnie zmienny , prostoliniowy ( bez oporów), jednokierunkowy
a Å" t2
X = + Å"t Ä… v = Ä… a Å"t a (t) = const
x v v
0 0 o
2
 + ruch jest przyspieszony  -  ruch jest opó\
niony
r
r = f (x, y, z)
równanie toru
Przykład 2. Rzut ukośny.
2
g Å" t
x = vo Å" cosÄ… Å" t y = vo Å" sinÄ… Å" t -
2
gx2
y(x) = x Å" tgÄ… -
2
2 Å" vo Å" cos2 Ä…
ZakÅ‚. V<< c gdzie c = 3Å"108 m/s fizyka klasyczna
4. Transformacja Galileusza. Galileo-Galilei ( Galileusz) ( 1564-1642)
r r r
2
r = ro + r transformacja poło\
enia
r r r
dr dr0 2 r r r
dr
2
= + v = vo + v transformacja prędkości
dt dt dt
r r r2
dv dv0 dv
r r r
= +
2
a = ao + a transformacja przyspieszenia
dt dt dt
r r
Układ inercjalny: vo = const , co oznacza , \
e ao = 0
r r
2
a = a
r
Układ nieinercjalny: vo `" const , co oznacza, \
e
r r r
2
a = ao + a transformacja przyspieszenia w układzie nieinercjalnym
r r
2
a `" a
r r r
2
W układzie nieinercjalnym a = a - ao
r r r r
r
2
F = F + (-m Å" ao ) = F + Fb
r
Fb jest to siła bezwładności
r
r
- siÅ‚y unoszenia Fb = - mÅ"
a
o
2
m
v
- siła odśrodkowa F = np. na zakręcie drogi, na karuzeli
r
r
r r
- siÅ‚a Coriolisa = -2mv ×É np. wiatry pasaty
F
c