wykład 4
I. Praca, Moc
def
r
r
Element pracy: dW = F Å" dr
B
def
r
r
W = F Å"dr [W]= [J = N Å"m]
+"
A
r r
r r
F = i Å" Fx + j Å" Fy + k Å" Fz
r
r r
r
dr = i Å" dx + j Å" dy + k Å"dz
B
W = dx + Fydy + Fzdz)
x
+"(F
A
B
r r r r
r r r r
W = F Å"dr = F Å" dr Å" cos < (F, dr )=W = F Å" dr Å" cosÄ…
+"
A
Zakładamy:
Fx(x) = const
r
r
Fy (y) = const W = F Å""r
W = F Å""r Å"cosÄ…
Fz (z) = const
Szczególne przypadki:
r
r
1) F Ą" dr ą = 90,cosą = 0 W = 0 np. Siła dośrodkowa
B B
r r r
r r r
2) F dr Ä… = 0,cosÄ… = 1 W = F Å" dr = F Å" dr
+" +"
A A
Moc: Moc jest to szybkość wykonywania pracy.
dW J
îÅ‚W Å‚Å‚
P = [P]= =
ïÅ‚ śł
dt s
ðÅ‚ ûÅ‚
II. Energia
1. Energia kinetyczna:
2
r
r
silawypadkowa
a) ruch postÄ™powy "Ek = W12 = Å" dr
wyp.
12 +"F
1
Ek = ?
r
V2
2 2 2
r
r r r dv r r r
W12 = Fwyp. Å" dr = Å" a Å" dr = m Å" v Å" dt = m Å" Å" dv
+" +"m +" +"v
dt
1 1 1 V1
r
2 2
r
r dv mv2 v2 mv2 mv1
Fwyp. = mÅ" a = m Å" W12 = = -
v1
dt 2 2 2
r r
dr = v Å" dt
2 2
mv2 mv1
"Ek = Ek - Ek = W12 Ek - Ek = -
12 2 1 2 1
2 2
mv2
Ek = Jednostka [ Ek ]= [J]
2
b) ruch obrotowy
2
2 2
2
m v m É Å" r
I Å"É
-punkt materialny Ek = = = v = É Å" r
2 2 2
2
n
I Å" É
E = E =
układ punktów materialnych ko " ki
2
i =1
n
I = Å" ri2
"mi
i=1
2. Energia potencjalna:
2
def
r
r
"Ep = - Fel Å" dr Fel - siÅ‚a elementarnego oddziaÅ‚ywania grawitacji,, elektrostatycznej, jÄ…drowe
12 +"
1
Ep = ?
1
r
r
Ep = - Å" dr
el
1 +"F
"
zero.
` `` ```
W = W = W
W12 = -W21
W = W12 +W21 = 0
r
r
Jednostka [ Ep ]=[J] F Å" dr = 0
+"
III. Związek między pracą i energią
r r r r
Fwyp. = Fzew. + Fel. + T
T = k Å" FN - siÅ‚a tarcia k  współczynnik tarcia , FN - siÅ‚a nacisku
siła tarcia nie jest siłą zachowawczą
r r r r
zew.
W = ? Fzew. = Fwyp. - Fel. - T
2 2
r r r r
r r
zew.
W = Fzew. Å" dr = (Fwyp. - Fel. - T)Å"dr
+" +"
1 1
2 2 2
r r r
r r r
zew.
W = Fwyp. Å" dr - Fel. Å" dr - Å" dr
+" +" +"T
1 1 1
W zew. = "Ek + "Ep + "U12
12 12
zew.
W = "(Ek + Ep +U) = "EC
12 12
Ec = Ek + Ep + U
zew.
W = "EC
12
zew
Przykład: Dane: h, k, ą, v0 Szukane: W = WF ?
2
mv0
"Ek = 0 -
12
2
"Ep = Ep - Ep = mgh - 0
12 2 1
r
r
"U12 = -T Å" "r = -T Å" "r Å" cos ² = +T Å" "r
WF = "EC
12
² = 180o
"EC = "Ek + "Ep + "U12
12 12 12
h h
= sinÄ… Ò! "r =
"r sinÄ…
T = k Å" FN = k Å" R = k Å" m Å" g Å" cosÄ…
2
m Å" v0 h
WF = - + mgh + k Å" m Å" g Å" Å" cosÄ…
2 sinÄ…
IV. Zasady zachowania w mechanice
1. Zasada zachowania pędu
r
n
r r
dpc r r r
Fw = Fw = pc = p1 + p2 + ...
"Fi
dt
i=1
r
r
r dpc
pc (t) = const czyli = 0 je\
eli Fw = 0
dt
Przykład:
r r r
pC = p1 + p2
2
pC = 0
1 2
pC = p2 - p1 pC = m2v2 - m1v1
2
pC = pC
1 2
0 = m2v2 - m1v1
m1 >> m2
m2v2
v1 =
v1 << v2
m1
2. Zasada zachowania momentu pędu
r
n n
r r r r r r r
dLC r r r
Mw = M = LC = L = r × p L = IÉ
w "Mi "Li
dt
i=1 i=1
r
r r
dLC
LC (t) = const czyli = 0 je\
eli M = 0
w
dt
Przykład:
L1 = I1 Å"É1 L2 = I2 Å"É2
z zasady zachowania momentu pędu
L1 = L2
I1 Å"É1 = I2 Å"É2
ale I1 > I2 É1 < É2
3. Zasada zachowania energii
zew zew
W = "EC EC = const EC = EC "EC = 0 je\
eli W = 0
12 12
12 2 12
1
Przykład: Zało\
enia:
zew
W = 0
12
"U12 = 0 ( brak sił tarcia)
zew
W = "EC = "Ek + "E + "U12
12
p1 2
12 1 2
zew
W = Ek - Ek + E - E
12
p2 p1
2 1
2
mv1
0 = 0 - + mghmax - 0
2
2 2
mv1 v1
= mghmax Ò! hmax =
2 2g
V. Zderzenia ciał (centralne):
1. sprÄ™\
yste
a) spełniona zasada zachowania pędu:
r r
``
p` = pc
c
r r r
`
pc = p1 + p2
` ``
pc = pc
` `` ``
pc = p1 - p2 z zas. zach. pędu: A. m1v1 - m2v2 = m1v1 + m2v2
`` ``
p1 - p2 = p1 + p2
r r r
`` `` ``
pc = p1 + p2
``
pc = p1 + p2
b) zachowana energia całkowita
` ``
Ec = Ec
`
Ec = E` + Ek + Ek
p
1 2
2 2
m1v1 m2v2
`
Ec = E` + +
p
2 2
`` `` ``
Ec = E`` + Ek + Ek
p
1 2
``2 ``2
m1v1 m2v2
``
Ec = E`` + +
p
2 2
2
2 ``2 ``2
m1v1 m2v2 m1v1 m2v2
z zas. zach. energii: E` = E`` B: + = +
p p
2 2 2 2
2. zderzenie doskonale niesprÄ™\
yste
a) spełniona zasada zachowania pędu:
m1v1 + m2v2
` `` ` ` ``
pc = pc p1 + p2 = pc m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v Ò! v =
m1 + m2