Równania Różniczkowe Zwyczajne
wyk dla studentów na kierunku automatyka i robotyka - wersja robocza (20 sierpień 2005)
lad
Bogus Bożek
law
Wydzia Matematyki Stosowanej AGH
l
1
Spis treści
Rozdzia 1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
l
Rozdzia 2. Elementy analizy funkcjonalnej . . . . . . . . . . . . . . . 9
l
Rozdzia 3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności . . . . . . . . 11
l
Rozdzia 4. Proste typy równań różniczkowych skalarnych . . . . . 15
l
4.1. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . 15
4.2. Równanie jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3. Równanie różniczkowe zupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
lne
4.3.1. Czynnik ca
lkujacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
ł
4.4. Równanie Clairauta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . 21
l
5.1. Równania i uk równań różniczkowych liniowych . . . . . . . . . . . . 21
lady
5.2. Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ł
5.3. Równanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4. Równanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.5. Równanie Lagrange a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.6. Skalarne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
ł
5.7. Obniżanie rzedu równania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ł
5.7.1. Wzór Liouville a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.7.2. Równania wyższych rzedów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ł
5.8. Niejednorodne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ł
5.9. Równanie liniowe n-tego rzedu o sta wspó
lych lczynnikach . . . . . . . . . 31
ł
5.10. Metoda przewidywań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.11. Uk skalarnych równań różniczkowych liniowych rzedu pierwszego . . . 33
lad
ł
5.12. Uk równań liniowych o sta
lady lych
wspó
lczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.12.1. Metoda wartości i wektorów w
lasnych . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.12.2. Sprowadzanie macierzy uk do postaci Jordana . . . . . . . . 38
ladu
5.13. Równanie ruchu harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3
Spis treści
Rozdzia 6. Rozwiazania w postaci szeregów funkcyjnych . . . . . . 43
l
ł
6.1. Rozwiazania w postaci szeregów potegowych . . . . . . . . . . . . . . . . 43
ł ł
6.1.1. Uk równań liniowych rzedu pierwszego o sta
lad lych
ł
wspó
lczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1.2. Skalarne równania różniczkowe rzedu pierwszego i drugiego . . . 44
ł
6.2. Równania różniczkowe liniowe rzedu drugiego  szeregi Frobeniusa . . . 46
ł
Rozdzia 7. Stabilność rozwiazań równań różniczkowych . . . . . . . 49
l
ł
7.1. Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2. Twierdzenie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3. Problem Routha Hurwitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.4. Punkty osobliwe równania różniczkowego zupe . . . . . . . . . . . . 54
lnego
Rozdzia 8. Transformata Laplace a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
l
8.1. Podstawowe definicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2. Wyznaczanie transformaty równania różniczkowego . . . . . . . . . . . . 58
8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty . . . . . . . . . . . . 59
Rozdzia 9. Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
l
9.1. Tablice transformat Laplace a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia dzienne . . . . . . 66
ladowe
9.3. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia zaoczne . . . . . . 81
ladowe
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Rozdzia 1
l
Wprowadzenie
Równaniem różniczkowym nazywamy zwiazek miedzy pewnał nieznanał funkcja,
ł ł ł
a jej pochodnymi; gdy funkcja niewiadoma jest funkcjał jednej zmiennej, to mówimy
o równaniu różniczkowym zwyczajnym, w przeciwnym wypadku o równaniu
różniczkowym czastkowym. Zwiazek postaci
ł ł
F (t, x(t), x2 (t), . . . , x(n)(t)) = 0
nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzedu, jeśli lewa strona
ł
istotnie zależy od x(n). Nie musi oba zależeć od x i t. Przyk równanie
ladowo
x2 2 2 + t(x2 )30 - ex sin t = 0
jest równaniem różniczkowym rzedu trzeciego. Funkcja x może być funkcjał ska-
ł
larna, albo wektorowa.
ł ł
Równania różniczkowe w zagadnieniach technicznych powstajał na ogó w wy-
l
niku stosowania nastepujacych metod postepowania:
ł ł ł
a) Przedstawiania praw fizyki w postaci matematyczno-analitycznej.
b) Przedstawiania zwiazków geometrycznych w postaci analitycznej.
ł
c) Rugowania parametrów z n-parametrowej rodziny funkcji i n równości.
Ad a) Niech v : R � R3 �" [t0, T ] � R3 " (t, x) v(t, x) " R3 bedzie zadanym
ł
polem predkości. Równanie x2 = v(t, x) opisuje ruchy czastek unoszonych w polu
ł ł
v. Jeśli dodatkowo przyjałć warunek x(t0) = x0, to x(t) jest po
lożeniem w chwili
t tej czastki, która w chwili t0 znajdowa sie w punkcie x0.
la
ł ł
Ad b) Niech y = f(x). Wielkość
3
2
(1 + (y2 )2)
�(A) = (A)
|y2 2 |
5
Rozdzia 1. Wprowadzenie
l
1
nazywamy promienie krzywizny, a jej odwrotność (A) krzywiznał w punkcie A.
�
Równanie różniczkowe
|y2 2 |
= a R " a e" 0
3
2
(1 + (y2 )2)
jest zadem równaniem różniczkowym, którego rozwiazaniem sał krzywe o sta
lej
ł
krzywiz
nie równej a.
Ad c) Rozważmy rodzine okregów
ł ł
(x - a)2 + (y - b)2 = R2, (1.1)
gdzie a, b, R parametry. Zaóżmy, że y = y(x). Różniczkujac trzykrotnie zwiazek
ł ł
(1.1) dostajemy
ńł
x
�ł - a + (y - b)y2 = 0
1 + (y2 )2 + (y - b)y2 2 = 0
ół
3y2 y2 2 + (y - b)y2 2 2 = 0.
Rugujac z tych równań wszystkie trzy parametry dostajemy równanie różniczkowe
ł
rodziny okregów:
ł

3y2 (y2 2 )2 - 1 + (y2 )2 y2 2 2 = 0.
Bez należytej precyzji możemy przyjałć w tej cwili, że równaniem różniczkowym
nazywamy równanie postaci
F (t, x, x2 , . . . , xn) = 0. (1.2)
Jeśli funkcja � : [a, b] R klasy Cn spe tożsamościowo równość
lnia
F (t, �(t), �2 (t), . . . , �n(t)) = 0 w [a, b],
to � nazywamy ca szczególnał równania różniczkowego. Gdy � jest funkcjał ele-
lkał
mentarna, to mówimy że (1.2) ma rozwiazanie efektywne. Na przyk równanie
lad
ł ł
x2 2 (t) + �2x(t) = 0
ma rozwiazania efektywne
ł
�1(t) = sin �t i �2(t) = cos �t.
Z kolei równanie Riccatiego
dx
= a x2 + b tn a, b sta n " N
le,
dt
ma rozwiazanie efektywne (niestety) tylko dla pewnych n.
ł
Jeśli rozwiazanie można wyznaczyć przez skończonał liczbe ca
lkowaN, to mówimy,
ł ł
6
że tak przedstawione rozwiazania sał rozwiazaniami przez kwadrature. Na przyk
lad
ł ł ł
równanie
sin t
x2 =
t
ma rozwiazanie
ł
sin t
x(t) = dt + C.
t
Niestety sał równania, które nie sał rozwiazywalne przez kwadrature. Przyk
ladem
ł ł
takiego równania jest równanie Bessela

t2x2 2 + tx2 + t2 - n2 x = 0.
Można dla niego podać rozwiazanie w postaci szeregów funkcyjnych. W szczególności
ł
funkcje
2k
"

(-1)k t
I0(t) = ,
(k!)2 2
k=0

2k
" k

(-1)k t t 1
Y0(t) = 2 ln + C - ,
(k!)2 2 2 �
k=0 �=1
gdzie C = 0.5772157 . . . jest sta ał Eulera, sał rozwiazaniami równania Bessela dla
l
ł
n = 0. Funkcje I0 i Y0 noszał nazwe funkcji Bessela 1-go i 2-go rodzaju rzedu 0.
ł ł
Nie każde równanie różniczkowe ma rozwiazanie. Równanie
ł
2
dx
1 + = 0
dt
nie ma rozwiazań rzeczywistych, ma jednak rozwiazanie zespolone
ł ł
x(t) = it.
Równanie

dx
exp = 0
dt
w ogóle nie ma rozwiazań, bo funkcja C " z ez " C nie ma zer. Z kolei
ł
równanie
x2 = f(t, x),
gdzie prawa strona jest ciagał ma nieskończenie wiele rozwiazań
ł ł
Rozdzia 2
l
Elementy analizy funkcjonalnej
Za óżmy, że X = ".
l
Definicja 1. Funcje � : X �X [0, ") nazywamy metryka, wtedy i tylko wtedy,
ł ł
gdy
1. �(x, y) = 0 �!�! x = y,
"
x,y"X
2. �(x, y) = �(y, x),
"
x,y"X
3. �(x, z) d" �(x, y) + �(y, z).
"
x,y,z"X
Definicja 2. Jeśli X = " i � : X � X R metryka, to pare (X, �) nazywamy

ł
przestrzeniał metryczna.
ł
Niech X bedzie przestrzeniał wektorował nad cia K (K = R, lub K = C).
lem
ł
Definicja 3. Funkcje � : X [0, ") nazywamay norma, wtedy i tylko wtedy,
ł ł
gdy
1. x = 0 �!�! x = 0,
2. ąx = |ą| x ,
" "
ą"K x"X
3. x + y d" x + y .
"
x,y"X
Definicja 4. Pare (X, � ) nazywamy przestrzeniał unormowana.
ł ł
Uwaga 1. Każda norma indukuje metryke wed wzoru
lug
ł
�(x, y) := x - y ,
toteż każda przestrzeń unormowana jest przestrzeniał metryczna.
ł
9
Rozdzia 2. Elementy analizy funkcjonalnej
l
Definicja 5. Niech (X, �) - przestrzeń metryczna. Ciag {xn}n"N �" X nazywamy
ł
ciagiem Cauchy ego (ciagiem fundamentalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy
ł ł
� (xm, xn) < �.
" " " "
�>0 k"N m>k n>k
Definicja 6. Niech (X, �) - przestrzeń metryczna. Mówimy, że ciag {xn}n"N �"
ł
X jest zbieżny do granicy g " X wtedy i tylko wtedy, gdy ciag liczbowy � (xn, g)
ł
ma granice równał 0, tj.
ł
lim xn = g �!�! lim � (xn, g) = 0 �!�! � (xn, g) < �
" " "
n" n"
�>0 k"N N"n>k
Definicja 7. Mówimy, że ciag {xn}n"N �" X jest zbieżny w przestrzeni metrycz-
ł
nej (X, �) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g " X, takie że limn" xn = g.
Twierdzenie 1. Każdy ciag zbieżny w przestrzeni metrycznej (X, �) jest ciagiem
ł ł
Cauchy ego.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

1
Przyk 1. Ciag jest zbieżny do zera w przestrzeni metrycznej (R, �E),
lad
ł n
n"N
gdzie �E jest metrykał euklidesowa. Jest on zatem w myśl poprzedniego twierdzenia
ł
ciagiem Cauchy ego. Niech X := (0, 1) i niech d bedzie restrykcjał metryki �E do
ł ł
X � X. Przestrzeń (X, d) jest przestrzeniał metryczna, a rozważany ciag w tej
ł ł
przestrzeni nie jest zbieżny, gdyż 0 " X.
Definicja 8. Przestrzeń metrycznał (X, �) nazywamy zupe wtedy i tylko wtedy,
lna,
ł
gdy każdy ciag Cauchy ego {xn}n"N �" X jest zbieżny (do elementu przestrzeni
ł
X).
Definicja 9. Przestrzeń unormowanał zupe nazywamy przestrzeniał Banacha.
lnał
Twierdzenie 2. (Banacha o odwzorowaniach zweżajacych)
ł ł
Jeśli
- (X, � ) przestrzeń Banacha,
- T : X X q-zweżajace tzn.
ł ł
T (x) - T (y) d" q x - y ,
" "
x,y"X
q"[0,1)
to
 T ma jedyny punkt sta tzn. "! xĆ" " X : T (xĆ") = xĆ".
ly
 Ponadto, jeśli x0 " X, xn+1 := T (xn), to
qp
� (xĆ", xp) d" � (x1, xp) dla p " N.
1 - q
Rozdzia 3
l
Twierdzenia o istnieniu i
jednoznaczności
Twierdzenie 3. Jeśli
1. t0 " I = [a, b] �" R,
x0 " B = B (x0, R) �" U " topX,
f " C(I � U, X),
2. funkcja f : I � U " (t, x) f(t, x) " X spe warunek Lipschitza
lnia
wzgledem drugiej zmiennej na zbiorze I � B tzn.:
ł
f(t, y) - f(t, z) d" y - z ,
" " "
L>0 t"I y,z"B
3. rozważamy równanie różniczkowe postaci:
(RR) x2 (t) = f(t, x(t)) t " I,
(WPC) x (t0) = x0,
to równanie (RR) z zadanym warunkiem poczatkowym Cauchy ego (WPC) ma
ł
dok jedno rozwiazanie x = x(t) na przedziale J = I )" [t0 - r, t0 + r], gdzie
ladnie
ł

+" gdy R = +" czyli B = X
r :=
R
gdy R < +"
M
i M := sup { f(t, y) : t " T, y " B}.
Definicja 10. Niech
(X, d), (Y, �) przestrzenie metryczne,
U �" X,
11
Rozdzia 3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności
l
f : I � U " (t, x) f(t, x) " Y .
Mówimy, że f spe lokalnie warunek Lipschitza wzgledem zmiennej x, jeżeli
lnia
ł
� (f(t, y), f(t, z)) d" L � d(y, z).
" " " " " " "
t0"I x0"U t"J y,z"B)"U
J"top(t0) B=B(x0,R) L=L(J,B)
Twierdzenie 4. Jeżeli U " topX, f = f(t, x) " C(I � U, X), f spe lnie lokalnie
warunek Lipschitza wzgledem zmiennej x, to dla każdego (t0, x0) " I �U równanie
ł
x2 = f(t, x) z warunkiem poczatkowym Cauchy ego x (t0) = x0 ma dok ladnie jedno
ł
rozwiazanie określone w pewnym otoczeniu punktu t0.
ł
Twierdzenie 5. (Zasada identyczności) Przyjmijmy za poprzedniego twier-
lożenia
dzenia. Niech P przedzia l, P �" I. Niech x = x(t), y = y(t) bedał dwoma
ł
rozwiazaniami tego samego równania różniczkowego x2 = f(t, x) określonymi na
ł
P i spe
lniajacymi warunki poczatkowe Cauchy ego x (t1) = x0, y (t2) = y0. Jeśli
ł ł
istnieje taki punkt p " P , w którym x(p) = y(p), to x(t) = y(t) dla t " P .
Twierdzenie 6. Niech Y = Xn, U " topY , f " C(I � U, X) i niech f = f(t, y)
spe lokalnie warunek Lipschitza wzgledem zmiennej y. Wtedy dla każdego
lnia
ł
t0 " I, dla każdego x0 = (x01, . . , x0n) " U równanie różniczkowe
.
x(n) = f t, x, x2 , . . . , x(n-1)
z warunkiem poczatkowym Cauchy ego
ł
x(j) (t0) = x0j j = 0, 1, . . . , n - 1
ma dok ladnie jedno rozwiazanie x = x(t) w pewnym otoczeniu punktu t0.
ł
Dowód. Równanie sprowadzamy do uk równań. Niech y1 := x oraz
ladu
2
y1 = y2 =: f1 (t, y1, . . . , yn)
2
y2 = y3 =: f2 (t, y1, . . . , yn)
. . . . . .
2
yn-1 = yn =: fn-1 (t, y1, . . . , yn)
2
yn = f (t, y1, . . . , yn) =: fn (t, y1, . . . , yn)
Uk ten można zapisać w postaci
lad
Y2 = F(t, Y),
gdzie Y = (y1, . . . , yn)T , F = (f1, . . . , fn)T .
c.k.d
Definicja 11. Rozwiazanie określone na ca przedziale I określoności równania
lym
ł
różniczkowego nazywamy rozwiazaniem globalnym tego równania.
ł
Twierdzenie 7. (o rozwiazaniu globalnym) Niech t0 " I = |a, b| �" R i niech
ł
f " C(I � X, X) i niech dane bedzie równanie
ł
x2 = f(t, x), t " I
z warunkiem poczatkowym Cauchy ego
ł
12
x (t0) = x0.
Jeśli
f(t, x) - f(t, y) d" L x - y ,
" " " "
t"J x,y"X
J=[a2 ,b2 ]�"I L=L(J)>0
to powyższe równanie różniczkowe z dowolnie zadanym warunkiem poczatkowym
ł
Cauchy ego ma dok jedno rozwiazanie globalne tj. określone na przedziale
ladnie
ł
I.
Podobne twierdzenie ma miejsce dla uk równań.
ladów
Przyk 2. Równanie x2 = x2 nie spe lnia za powyższego twierdzenie. Ca lka
lad lożeń
1
ogólna tego równania jest określona wzorem x(t) = - (C " R) i nie jest
t+C
określona na X = R.
Rozdzia 4
l
Proste typy równań różniczkowych
skalarnych
4.1. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Równanie różniczkowe postaci
f(t)
x2 (t) = , (4.1)
g(x)
gdzie f " C(I, R), g " C(J, R), x " C1(I, J), I, J przedzia t " I, g(x) = 0 dla
ly,
x " J nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych. Równanie to możemy
zapisać w postaci
g(x)x2 (t) = f(t).
Niech G = G(x) oraz F = F (t) bedał dowolnymi funkcjami pierwotnymi odpo-
ł
wiednio funkcji g = g(x) i f = f(t). Wówczas równanie (4.1) można przepisać w
postaci
d d
(G ć% x)(t) = F (t),
dt dt
czyli
d
[G(x) - F (t)] = 0, x = x(t), t " I.
dt
Ponieważ I przedzia to równanie to na podstawie twierdzenia Lagrange a jest
l,
równoważne równaniu
G(x) - F (t) = C, x = x(t), t " I, C " R,
15
Rozdzia 4. Proste typy równań różniczkowych skalarnych
l
które możemy zapisać w postaci

g(x)dx = f(t)dt, x = x(t). (4.2)
4.2. Równanie jednorodne
Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci
x
x2 = f , (4.3)
t
gdzie t " I, x = x(t), f " C(J, R), I, J - przedzia Podstawienie
ly.
x(t) = ty(t)
sprowadza równanie (4.3) do równania różniczkowego
f(y) - y
y2 =
t
o zmiennych rozdzielonych. Dodatkowo należy sprawdzić, czy rozwiazaniem
ł
równania (4.3) jest funkcja x(t) := y0t, gdzie y0, jest rozwiazaniem równania
ł
f (y0) - y0 = 0.
Równanie

dx a1t + b1x + c1
= f , (4.4)
dt a2t + b2x + c2
gdzie f jest funkcjał ciag ał oraz a1b2 - a2b1 = 0 można przez stosownał zmiane
l
ł ł
Ż
zmiennych sprowadzić do równania jednorodnego. Jeśli bowiem wektor (t, x) jest
Ż
rozwiazaniem uk równań
ladu
ł

a1 b1 t -c1
=
a2 b2 x -c2
to zmiana zmiennych
Ż
t = t + �, x = x + �
Ż
x)
d� d(x-Ż
dt dx
przy której = = sprowadza równanie (4.4) do równania jednorod-
d� dt d� dt
nego


a1 + b1 �
d� a1� + b1� �
�
= f = f =: g .
d� a2� + b2� a2 + b2 � �
�
Gdy a1b2 - a2b1 = 0, to istnieje takie  " R, że a2t + b2x =  (a1t + b1x) lub
a1t + b1x =  (a2t + b2x). Równanie (4.4) przekszta sie w równanie postaci
lca
ł
Ż Ż
x2 = f (a1t + b1x) lub x2 = f (a2t + b2x) .
Podstawienie odpowiednio
u(t) = a1t + b1x(t) lub u(t) = a2t + b2x(t)
sprowadza je do równania o zmiennych rozdzielonych.
16
4.3. Równanie różniczkowe zupe
lne
4.3. Równanie różniczkowe zupe
lne
Niech D �" R2 bedzie obszarem tj. zbiorem otwartym i spójnym. Niech
ł
P, Q " C(D, R) oaz Q(t, x) = 0 dla (t, x) " D.

Definicja 12. Równanie różniczkowe
P (t, x)
x2 = - (4.5)
Q(t, x)
czyli
P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0 (4.6)
nazywamy zupe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja U " C1(D, R),
lnym
że
d(t,x)U = P (t, x)dt + Q(t, x)dx dla (t, x) " D. (4.7)
Ponieważ zbiór D jest obszarem, zatem jeśli (4.6) jest równaniem różniczkowym
zupe to ca ogólna tego równania ma postać
lnym, lka
U(t, x) = C, C " R.
Z twierdzenia PoincarŁ go wynika nastepujace
ł ł
Twierdzenie 8. Jeśli D jest obszarem ściagalnym w R2, P, Q " C(D, R) oraz
ł
"Q
"P
= w D, to (4.6) jest równaniem różniczkowym zupe
lnym,
"x "t
przy czym:
Definicja 13. Obszar D nazywamy ściagalnym w R2 wtedy i tylko wtedy, gdy
ł
istniejał obszar obszar gwiaz
dzisty G �" R2 oraz dyffeomorfizm h : G D (tzn. h
bijekcja, H, h-1 klasy C1).
Definicja 14. Zbiór G �" R2 nazywamy zbiorem gwiaz
dzistym wtedy i tylko
wtedy, gdy
[x0, x] �" G,
" "
x0"G x"G
Wiedzac, że (4.6) zupe z warunku (4.7) mamy:
lne
ł
"U "U
= P, = Q.
"t "x
Ca pierwszy z tych zwiazków wzgledem zmiennej t dostajemy:
lkujac
ł ł ł

U(t, x) = P (t, x)dt + C(x) (t, x) " D.
Z kolei

"U "P (t, x)
Q(t, x) = (t, x) = dt + C2 (x),
"x "x
17
Rozdzia 4. Proste typy równań różniczkowych skalarnych
l
skad
ł
"P
C2 (x) = Q(t, x) - (t, x)dt.
"x
i w konsekwencji


"P
C(x) = Q(t, x)dx - (t, x)dt dx.
"x
Ostatecznie


"P
U(t, x) = P (t, x)dt + Q(t, x)dx - (t, x)dt dx,
"x
tak wiec rozwiazanie ogólne równania różniczkowego zupeLnego (4.6) wyraża sie
ł ł ł
wzorem:


"P
P (t, x)dt + Q(t, x)dx - (t, x)dt dx = C, C " R. (4.8)
"x
4.3.1. Czynnik ca
lkujacy
ł
"Q
"P
Jeżeli równanie (4.6) nie spe warunku = w zadanym obszarze
lnia
"x "t
ściagalnym D, to szukamy takiej funkcji � = �(t, x) " C1(D, R), aby
ł
"(�P ) "(�Q)
= (t, x) " D (4.9)
"x "t
Definicja 15. Funkcje � " C1(D, R), dla której zachodzi warunek (4.9) nazy-
ł
wamy czynnikiem ca
lkujacym równania (4.6).
ł
Twierdzenie 9. Jeśli funkcje P, Q " C1(D, R) i D obszar ściagalny, to istnieje
ł
� " C1(D, R) czynnik ca
lkujacy równania (4.6).
ł
Efektywne wyznaczenie czynnika ca
lkujacego jest możliwe zawsze, gdy zależy on
ł
od jednej zmiennej oraz w sytuacji, gdzy � = �(�(t, x)), gdzie �(t, x) jest znanał
funkcjał klasy C1(D, R). W pozosta przypadkach jest to zagadnienie trudne
lych
czesto niemożliwe do zrealizowania.
ł
Zaóżmy zatem, że istnieje czynnik ca
lkujacy równania (4.6) postaci � =
ł
�(�(t, x)). Warunek
"(�P ) "(�Q)
= (t, x) " D
"x "t
jest równoważny warunkowi
"� "P "� "Q
�2 P + � = �2 Q + � ,
"x "x "t "t
który można zapisać w postaci
"P
�2 "Q -
"t "x
= . (4.10)
"� "�
�
P - Q
"x "t
18
4.4. Równanie Clairauta
Ponieważ lewa strona, z za
lożenia, zależy od �(t, x), zatem warunkiem istnienia
czynnika ca
lkujacego postaci � = �(�(t, x)) jest aby prawa strona równania (4.10)
ł
by zależna od �(t, x). Wtedy też dostajemy wzór:
la


"Q
"P
-
"t "x
ln |�(�)| = (�) d� =: �(�)
"� "�
P - Q
"x "t
z którego wynika, że każda z funkcji
�(t, x) := �(�(t, x)) = Ce�(�(t,x)) (C " R \ {0}) (4.11)

jest szukanym czynnikiem ca
lkujacym.
ł
Poszukujac czynnika ca
lkujacego należy rozpoczac od najprostszych przy-
ł ł ł
padków tj. �(t, x) = t lub �(t, x) = x, potem rozważyć kolejno �(t, x) = t + x,
t
�(t, x) = t - x, �(t, x) = tx, �(t, x) = . Gdy nie przyniesie to rezultatu szanse
x
na znalezienie czynnika ca
lkujacego sał znikome.
ł
Przyk 3. Istnieje czynnik ca
lad lkujacy � = �(t) równania (t + t2 + x2) dt +
ł
�2 (t)
d
xdx = 0, gdyż = 2. Rozwiazujac ostatnie równanie dostajemy ln |�(t)| = 2
�(t) ł ł dt
i w konsekwencji �(t) = Ce2t (C " R\{0}) jest szukanym czynnikiem ca
lkujacym.
ł
4.4. Równanie Clairauta
Definicja 16. Równaniem Clairauta nazywamy równanie różniczkowe
x - tx2 - f (x2 ) = 0, (4.12)
gdzie t " I, I - przedzia x " C2(I, J), J - przedzia f " C1(J, R) i funkcja f
l, l,
nie jest postaci f(�) = A� + B.
Różniczkujac (4.12) stronami dostajemy:
ł
x2 - x2 - tx2 2 - f2 (x2 ) x2 2 = 0
czyli
x2 2 (t + f2 (x2 )) = 0.
Jeśli istnieje x = x(t) rozwiazanie równania (4.12) klasy C2(I, R), to
ł
x2 2 = 0 lub t + f2 (x2 ) = 0.
Jeśli x2 2 (t) = 0, to x2 (t) = C, x(t) = Ct + b. Wstawiajac funkcje x(t) = Ct + b
ł ł
do równania (4.12) dostajemy b = f(C). Tak wiec każda prosta
ł
x(t) = Ct + f(C), C " J (4.13)
jest rozwiazaniem (4.12).
ł
Rozdzia 4. Proste typy równań różniczkowych skalarnych
l
W sytuacji t + f2 (x2 ) = 0, traktujemy pochodnał x2 jak parametr i oznaczamy
go symbolem p. Tak wiec t = -f2 (p). Równanie (4.12) możemy przepisać w
ł
postaci x = tp + f(p) = -f2 (p)p + f(p). Równanie parametryczne

t = -f2 (p)
(4.14)
x = f(p) - pf2 (p)
jest równaniem obwiedni rodziny prostych (4.13).
20
Rozdzia 5
l
Liniowe równania różniczkowe
5.1. Równania i uk równań różniczkowych liniowych
lady
Niech (X, � ) przestrzeń Banacha, I = |a, b| �" R - dowolny przedzia
l,
L(X, X) := {T : X X : T operator liniowy i ciag Niech
ly}.
ł
A : I " t A(t) " L(X, X) ciag
le,
ł
g " C(I, X),
x = x(�) " C1(I, X).
Definicja 17. Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzedu pierw-
ł
szego (RRLJ) nazywamy równanie postaci
x2 (t) = A(t) (x(t)) , t " I, (5.1)
krótko x2 = A(t)x, x = x(t), t " I.
Definicja 18. Równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzedu pierw-
ł
szego (RRLN) nazywamy równanie postaci
x2 (t) = A(t) (x(t)) + g(t), t " I, (5.2)
krótko x2 = A(t)x + g(t), x = x(t), t " I.
Definicja 19. W sytuacji X = Rn (RRLJ), (RRLN) nazywamy uk równań
ladem
różniczkowych liniowych.
Definicja 20. Równanie rózniczkowe

x(n) = A(t) x, x2 , . . . , x(n-1) + g(t), (5.3)
21
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
gdzie x = x(t), t " I, I - przedzia A " C (I, L (Xn, X)), g " C(I, X), X
l,
- przestrzeń Banacha, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzedu n -
ł
tego. Jeśli g = 0, to równanie (5.3) nazywamy równaniem jednorodnym, w prze-
ciwnym wypadku niejednorodnym.
Jak wiadomo z wcześniejszych rozważań, równanie to można sprowadzić do
równania rzedu pierwszego w przestrzeni Banacha Xn.
ł
Twierdzenie 10. (Twierdzenie o istnieniu rozwiazania globalnego) Standardowe
ł
równanie różniczkowe liniowe (5.2) ma zawsze rozwiazanie globalne przy dowol-
ł
nym warunku poczatkowym Cauchy ego.
ł
Twierdzenie 11. Zbiór rozwiazań równania różniczkowego liniowego jednorod-
ł
nego (5.1) (ca ogólna) jest przestrzeniał liniowa.
lka
ł
Dowód. Wystarczy pokazać, że jeśli funkcje x i y sał rozwiazaniami (5.1) to ich
ł
dowolna kombinacja liniowa także. Niech ą, � " R. Mamy
(ąx + �y)2 = ąx2 + �y2 = ąA(t)x + �A(t)y =
= A(t)(ąx) + A(t)(�y) = A(t)(ąx + �y)
c.k.d
Twierdzenie 12. Rozwiazanie ogólne równania różniczkowego liniowego niejed-
ł
norodnego (5.2) jest sumał rozwiazania szczególnego (5.2) i rozwiazania ogólnego
ł ł
równania różniczkowego liniowego jednorodnego(5.1), a dok
ladniej:
Każde rozwiazanie (5.2) jest sumał pewnego ustalonego rozwiazania (5.2) i
ł ł
pewnego rozwiazania (5.1).
ł
Dowód. Niech

R := x " C1(I, X) : x2 = A(t)x + g(t) ,

Y := y " C1(I, X) : y2 = A(t)y .
Ustalmy x " R i zdefiniujmy


Z := z " C1(I, X) : z = x + y, y " Y = x + Y.

Mamy pokazać, że R = Z.
Udowodnimy najpierw, że Z �" R.
Wez
my z " Z. Z definicji zbioru Z wynika, że istnieje y " Y , że z = x + y.

Ponieważ
z2 = x2 + y2 = (A(t) + g(t)) + A(t)y = A(t) ( + y) + g(t) = A(t)z + g(t)
x x
zatem z " R.
22
5.2. Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego
ł
Teraz udowodnimy, że R �" Z.
Wez
my x " R. Wektor x możemy zapisać w postaci x = x+(x - x). Zdefiniujmy

y := x - x. Zauważmy, że

y2 = (x - x)2 = x2 = x2 = (A(t)x + g(t)) - (A(t) + g(t)) =
x
= A(t)x - A(t) = A(t) (x - x) = A(t)y,
x
co oznacza, że y " Y . W takim razie x " Z.
c.k.d
5.2. Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego
ł
Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego
ł
x2 + f(t)x = 0, (5.4)
gdzie x = x(t), t " I, I - przedzia f " C(I, R), jest równaniem o zmiennych
l,
rozdzielonych. Ca ogólnał tego równania jest rodzina funkcji
lkał

x(t) = Ce- f(t)dt C = const " R, t " I.
Ca szczególnał równania niejednorodnego
lke
ł
x2 + f(t)x = g(t) t " I, (5.5)
możemy znalez
ć metodał uzmienniania sta Przypuśćmy bowiem, że istnieje
lej.
rozwiazanie równania (5.5) postaci
ł

x(t) = C(t)e- f(t)dt = C(t)e-F (t),

gdzie F (t) := f(t)dt. Jeśli funkcja ta jest rozwiazaniem równania (5.5), to
ł
2
g(t) = x2 +f(t)x = C2 (t)e-F (t)+C(t) (-F (t)) e-F (t)+f(t)C(t)e-F (t) = C2 (t)e-F (t),
skad
ł
g(t)
C2 (t) = = g(t)eF (t).
e-F (t)
Rozwiazaniem tego równania jest funkcja
ł

C(t) = g(t)eF (t)dt, t " I.
Tak wiec ca szczególnał równania (5.5) jest funkcja
lkał
ł



f(t)dt
x(t) = g(t)e dt e- f(t)dtdt
23
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
5.3. Równanie Bernoulliego
Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie postaci
x2 + f(t)x = g(t)xp, p = const " R \ {1}, (5.6)
przy czym w stosunku do funkcji f i g przyjmujemy takie same za
lożenia jak w
przypadku równania liniowego. Przez zmiane zmiennych
ł
y(t) := x1-p(t)
równanie to można sprowadzić do równanie różniczkowego liniowego. Zauważmy
bowiem, że skoro y2 = (1 - p)x-px2 , to obustronnie mnożac równanie (5.6) przez
ł
(1 - p)x-p dostajemy
(1 - p)x-px2 + (1 - p)f(t)x1-p = (1 - p)g(t),
czyli równanie różniczkowe liniowe niejednorodne
y2 + (1 - p)f(t)y = (1 - p)g(t).
5.4. Równanie Riccatiego
Równaniem różniczkowym Riccatiego nazywamy równanie postaci
x2 = a(t)x2 + b(t)x + c(t), (5.7)
gdzie a, b, c : I R ciag I - przedzia otwarty.
le, l
ł
Z poprzednich twierdzeń latwo pokazać, że każdy punkt zbioru I�R jest punk-

tem globalnej jednoznaczności. Gdy a(t) = 0, to równanie (5.7) jest równaniem
różniczkowym liniowym, a gdy c(t) = 0 równaniem Bernoulliego.
Specjalnym równaniem Riccatiego nazywamy szczególny przypadek równanoa
(5.7) a mianowicie
x2 = c1x2 + c2tn c1, c2 " R.
Nawet dla tego ostatniego równania można podać efektywne metody dla pewnych
wartości wyk
ladnika n. W ogólnym przypadku zachodzi natomiast nastepujace:
ł ł
Twierdzenie 13. Niech I = (ą, �) �" R. Jeśli � jest ca szczególnał równania
lkał
(5.7) określonał na I, to dla każdego rozwiazania x tego równania określonego w
ł
przedziale ł% �" I funkcja określona wzorem:
y(t) := x(t) - �(t) (t " ł%),
jest rozwiazaniem równania Bernoulliego
ł
y2 = [b(t) + 2a(t)�(t)] y + a(t)y2 (5.8)
24
5.5. Równanie Lagrange a
i na odwrót, dla każdego rozwiazania y równania (5.8) określonego w ł% funkcja
ł
x zdefiniowana wzorem:
x(t) = �(t) + y(t) (t " ł%)
jest rozwiazaniem równania (5.7).
ł
Dowód. Niech � i x bedał dwoma rozwiazaniami równania (5.7), czyli
ł ł
�2 = a(t)�2 + b(t)� + c(t),
x2 = a(t)x2 + b(t)x + c(t).
Wówczas

y2 = x2 - �2 = a(t)x2 + b(t)x + c(t) - a(t)�2 + b(t)� + c(t) =

= a(t) x2 - �2 + b(t) (x - �) = a(t) (x + �) (x - �) + b(t) (x - �) =
= (a(t) (x + �) + b(t)) (x - �) = (b(t) + a(t)x + a(t)�) (x - �) =
= (b(t) + 2a(t)� + a(t)x - a(t)�) (x - �) =
= (b(t) + 2a(t)� + a(t) (x - �)) (x - �) = (b(t) + 2a(t)�) y + a(t)y2.
Tak wiec
ł
y2 = (b(t) + 2a(t)�) y + a(t)y2.
c.k.d
Przyk 4. Rozważmy równanie Riccatiego
lad
x2 - 2tx + x2 = 5 - t2,
którego ca szczególnał jest funkcja �(t) = t + 2. Przepisujac to równanie w
lkał
ł
postaci x2 = (-1)x2 + (2t)x + (5 - t2), widzimy, że a(t) = -1, b(t) = 2t, c(t) =
5 - t2. Skojarzone równanie Bernoulliego przybiera wiec postać
ł
y2 = [2t + 2(-1)(t + 2)] y + (-1)y2 = -4y - y2.
Jego rozwiazaniem ogólnym jest rodzina funkcji y(t) = Ce4t (C " R), tak wiec
ł ł
rozwiazaniem równania wyjściowego jest rodzina funkcji x(t) = Ce4t+t+2(C "
ł
R).
5.5. Równanie Lagrange a
Równaniem Lagrange a nazywamy równanie postaci:
x = a (x2 ) t + f (x2 ) . (5.9)
Zak ly.
ladamy, że funkcje a, f " C1(J, R), x " C2(I, J), I, J przedzia Jeśli funkcja
a jest funkcjał identycznościowa, to równanie Lagrange a jest równaniem Cla-
ł
irauta. Przyjmijmy zatem dalej, że a(p) = p dla wszystkich p " J. Różniczkujac

ł
25
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
równanie (5.9) stronami i podstawiajac za pocchodnał x2 nował funkcje p = p(t)
ł ł
możemy to równanie przekszta do postaci:
lcić
x2 = a2 (x2 ) x2 2 t + a (x2 ) + f2 (x2 ) x2 2
p = a2 (p) p2 t + a (p) + f2 (p) p2
dp
p = (a2 (p)t + f2 (p)) + a(p),
dt
dp p - a(p)
= .
dt a2 (p)t + f2 (p)
Zamieniajac role zmiennych p i t mamy
ł
dt a2 (p)t + f2 (p) a2 (p) f2 (p)
= = t + ,
dp p - a(p) p - a(p) p - a(p)
czyli równanie różniczkowe niejednorodne
dt a2 (p) f2 (p)
+ t = ,
dp a(p) - p p - a(p)
z niewiadomał funkcjał t = t(p). Po wyznaczeniu tego rozwiazania wstawiamy
ł
je do wyjściowego równania (5.9), w którym w miejsce pochodnej x2 wstawiamy
parametr p. Ostatecznie

t = t(p)
(5.10)
x = a (p) t(p) + f (p) .
jest rozwiazaniem równania (5.9) w postaci parametrycznej.
ł
5.6. Skalarne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu
ł
Definicja 21. Skalarnym równaniem różniczkowym jednorodnym n-tego rzedu
ł
(SRRLJ) nazywamy równanie
x(n) + an-1(t)x(n-1) + . . . + a1(t)x2 + a0(t)x = 0, (5.11)
w którym aj(t) " C(I, R), (j = 0, 1, . . . , n - 1), I - przedzia
l.
Niech
dn dn-1 d
L(t) := + an-1(t) + . . . + a1(t) + a0(t), t " I,
dtn dtn-1 dt
wówczas równanie (5.11) można zapisać w zwiez postaci
lej
ł
L(t)x = 0, t " I. (5.12)
26
5.6. Skalarne równanie różniczkowe liniowe n-tego rzedu
ł
Definicja 22. Wrońskianem funkcji x1, . . . , xn " Cn-1(I, R) nazywamy funkcje
ł


W (x1, . . . , xn) (t) := det x(k-1)(t) (5.13)
j k = 1, . . . , n
j = 1, . . . , n
Twierdzenie 14. a) Jeśli wrońskian W (x1, . . . , xn) (t0) = 0 dla pewnego t0 " I,

to funkcke x1, . . . , xn sał liniowo niezależne.
b) Niech x1, . . . , xn bedał rozwiazaniami równania (5.11). Jeśli x1, . . . , xn sał
ł ł
liniowo niezależne, to ich wrońskian W (x1, . . . , xn) (t)) = 0 dla każdego t " I.

Dowód Kolejno udowodnimy obie cześci twierdzenia.
ł
ad a) (nie wprost)
Przyjmijmy, że x1, . . . , xn Cn-1(I, R) sał liniowo zależne. Zatem istniejał takie
"
n
2
sta C1, . . . , Cn " R, że Cj = 0 oraz
le
j=1
n

Cjxj(t) = 0 dla t " I. (5.14)
j=1
Różniczkujac te równość sukcesywnie wzgledem zmiennej t dostajemy zwiazek
ł ł ł ł
n

Cjx(k-1) = 0 k = 1, . . . , n, t " I.
j
j=1
Ponieważ W (x1, . . . , xn) (t0) = 0, zatem uk (5.14) ma tylko rozwiazanie zerowe
lad
ł
C1 = C2 = . . . = Cn = 0 wbrew za
lożeniu.
ad b) (nie wprost) Przypuśćmy, że istnieje taki punkt t0 " I : W (x1, . . . , xn) (t0) =
0.

Po óżmy aj := x(k-1) (t0) , j, k " {1, . . . , n} i zdefiniujmy macierz A := aj .
l
k j k
Niech wektor C = (C1, . . . , Cn)T bedzie niezerowym rozwiazaniem uk
ladu
ł ł
AC = 0.
Takie rozwiazanie istnieje, gdyż
ł

det A = det aj = W (x1, . . . , xn) (t0) = 0.
k
Wez
my
n

x = x(t) := Cjxj(t).
j=1
Funkcja ta jest rozwiazaniem równania (5.11) bo jest kombinacjał liniował rozwiazań
ł ł
xj(j = 1, . . . , n). Zauważmy, że x(t) spe warunek poczatkowy Cauchy ego:
lnia
ł
n

x(k-1) (t0) = Cjxk-1 (t0) = 0.
j
j=1
27
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
Z drugiej strony funkcja sta równa zero też spe powyższy warunek poczatkowy
la lnoa
ł
i jest rozwiazaniem równania (5.11). Wobec jedyności rozwiazania problemu
ł ł
poczatkowego dla równania (5.11) i wobec liniowej niezależności x1, . . . , xn mamy
ł
C1 = C2 = . . . = Cn = 0 co przeczy za
lożeniu.
c.k.d
Wniosek 1. Jeżeli x1, . . . , xn sał rozwiazaniami równania (5.11), to
ł
W (x1, . . . , xn) (t) = 0,
"
t"I
lub
W (x1, . . . , xn) (t) = 0.

"
t"I
Definicja 23. Zbiór {x1, . . . , xn} liniowo niezależnych rozwiazań szczególnych
ł
równania (5.11) nazywamy fundamentalnym uk rozwiazań (SRRLJ) rzedu
ladem
ł ł
n.
Twierdzenie 15. Każde równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzedu n-tego
ł
(5.11) ma fundamentalny uk lad rozwiazań.
ł

2
Dowód Niech A = aj " Rn bedzie dowolnał macierzał nioeosobliwał i niech
k ł
t0 " I. Wiadomo, że równanie (5.11) ma rozwiazania globalne przy zadanych
ł
warunkach poczatkowych Cauchyego
ł ł
x(k-1) (t0) = aj , k = 1, . . . , n.
j k
Oznaczmy je symbolami xj, (j = 1, . . . , n). Z konstrukcji tych rozwiazań wynika,
ł
że
W (x1, . . . , xn) (t0) = det A = 0

i wobec poprzedniego twierdzenia rozwiazania x1, . . . , xn tworzał fundamentalny
ł
uk rozwiazań.
lad
ł
c.k.d
Twierdzenie 16. Jeżeli rozwiazania x1, . . . , xn tworzał fundamentalny uk lad rozwiazań
ł ł
jednorodnego równania różniczkowego liniowego rzedu n (5.11), to rodzina funkcji
ł
n

x = Cjxj,
j=1
gdzie Cj, (j = 1, . . . , n) jest rozwiazaniem ogólnym tego równania.
ł
Dowód Należy pokazać, że dla dowolnego rozwiazania szczególnego x spe
lniajacego
ł ł
warunek poczatkowy Cauchy ego
ł
x(k-1) (t0) = x0k (k = 1, . . . , n)
28
5.7. Obniżanie rzedu równania liniowego
ł
n
istniejał sta Cj (j = 1, . . . , n) takie, że x = Cjxj.
le
j=1
Rozważmy uk równań
lad
n

Cjx(k-1) (t0) = x0k (k = 1, . . . , n).
j
j=1
Macierz tego uk jest nieosobliwa, bo jej wyznacznik jest
ladu
równy W (x1, . . . , xn) (t0) =
T

0. Niech rozwiazaniem tego uk bedzie wektor C = C1, . . . , Cn . Latwo
ladu
ł ł

zauważyć, że sk Cj tego wektora sał poszukiwanymi sta
ladowe lymi.
c.k.d
5.7. Obniżanie rzedu równania liniowego
ł
5.7.1. Wzór Liouville a
Rozważmy teraz jednorodne równanie różniczkowe liniowe (5.11) rzedu dru-
ł
giego. Można pokazać nastepujace twierdzenie Liouville a:
ł ł
Twierdzenie 17. Jeśli x1, x2 stanowiał uk lad fundamentalny rozwiazań jedno-
ł
rodnego równania różniczkowego liniowego (5.11) rzedu drugiego, to
ł


W (x1, x2) (t) = C exp - a1 (t) dt .
"
C"R
Jeśli x1 jest znanym rozwiazaniem r wnania (5.11), to drugie rozwiazanie
ł ł
niezależne można znależć nastepujacym sposobem:
ł ł


x1 (t) x (t)


2 2 = 0, (5.15)
"

x1 (t) x (t)
t"R


2 2
x1x - x1x = C exp - a1 (t) dt ,


2 2
x1x - x1x 1
= C exp - a1 (t) dt ,
x2 x2
1 1


d x 1
= C exp - a1 (t) dt ,
dt x1 x2

1
x 1
= C exp - a1 (t) dt dt,
x1 x2
1


1
x (t) = x1 (t) C exp - a1 (t) dt dt + C1 .(5.16)
x2(t)
1
29
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
5.7.2. Równania wyższych rzedów
ł
Druga metoda, bardziej uniwersalna metoda, to zastosowanie podstawienia:
x (t) = x1 (t) y (t) . (5.17)
Ma bowiem miejsce nastepujace
ł ł
Twierdzenie 18. Jeżeli x(t) = 0 jest rozwiazanie jednorodnego liniowego

ł
równania różniczkowego (5.11) rzedu n, to po podstawieniu x(t) = x(t)y(t) otrzy-

ł
mujemy równanie, którego rzad można obniżyć do rzedu n - 1.
ł ł
5.8. Niejednorodne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu
ł
Definicja 24. Niejednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzedu n na-
ł
zywamy równanie postaci
L(t)x = g(t), (5.18)
gdzie g : R �" I R jest funkcjał ciag la.
ł ł
Za óżmy, że znamy uk fundamentalny {x1, . . . , xn} skojarzonego jednorod-
l lad
nego równania różniczkowego (5.12). Ca szczególnał równania niejednorodnego
lke
ł
(5.18) znajdziemy metodał uzmienniania sta (metodał Lagrange a).
lych
Zak
ladamy, że poszukiwane rozwiazanie jest postaci
ł
n

x(t) = Cj(t)xj(t).
j=1
Funkcje Cj(t) wyznaczamy rozwiazujac uk równań różniczkowych
lad
ł ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
2
x1(t) . . . xn(t)
C1(t) 0
�ł �ł �ł 2 �ł �ł �ł
x2 . . . x2 (t)
C2(t) 0
1 n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. .
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. .
. .
. .
= .
�ł . . �ł �ł �ł �ł �ł
. .
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
2
�ł łł �ł łł �ł łł
x(n-2) . . . x(n-2)(t) Cn-1(t) 0
n
1
2
Cn(t) g(t)
x(n-1) . . . x(n-1)(t)
n
1
Rozwiazujac powyższy uk dostajemy n równań o zmiennych rozdzielonych
lad
ł ł
2
Cj(t) = Fj(t) (j = 1, . . . , n),
gdzie funkcje Fj sał określone wzorami Cramera.
Twierdzenie 19. (Zasada superpozycji) Jeśli funkcja x1(t) jest rozwiazaniem
ł
równania L(t)x = g1(t), a x2(t) rozwiazaniem L(t)x = g2(t), to x1(t) + x2(t) jest
ł
rozwiazaniem równania L(t)x = g1 + g2(t).
ł
Uzasadnienie tego faktu zostanie przedstawiony przy omawianiu metody uzmien-
niania sta dla uk równań różniczkowych liniowych.
lych ladu
30
5.9. Równanie liniowe n-tego rzedu o sta wspó
lych lczynnikach
ł
5.9. Równanie liniowe n-tego rzedu o sta
lych
ł
wspó
lczynnikach
Rozważamy równanie postaci
x(n) + an-1x(n-1) + . . . + a1x2 + a0x = 0, (5.19)
w którym aj " R, (j = 0, 1, . . . , n - 1). Niech
dn dn-1 d
L := + an-1 + . . . + a1 + a0,
dtn dtn-1 dt
wówczas równanie (5.19) można zapisać krótko
Lx = 0. (5.20)
Przewidujemy rozwiazanie równania (5.19) w postaci x(t) = et, gdzie  " C.
ł
Po wsrawieniu pochodnych x(j)(t) = jet do (5.19) i wydzieleniu przez et do-
stajemy:
n + an-1n-1 + . . . + a0 = 0. (5.21)
Wniosek 2. Funkcja x(t) = et jest rozwiazaniem równania różniczkowego (5.19)
ł
wtedy i tylko wtedy, gdy  jest pierwiastkiem równania (5.21) zwanego równaniem
charakterystycznym.
Uwaga 2. Funkcja zespolona x(t) jest rozwiazaniem równania różniczkowego
ł
(5.19) wtedy i tylko wtedy, gdy !e x(t) oraz !m x(t) sał rozwiazaniami tego równania.
ł
Niech 1, . . . , n " C bedał wszystkimi pierwiastkami równania charaktery-
ł
stycznego (5.21), przy czym pierwiastek k-krotny wystepuje w tym ciagu k razy.
ł ł
j
Funkcje xj(t) = e t majał wrońskian


1 1 . . . 1


1 2 . . . n


1
. . . 2
W (x1, . . . , xn) (t) = e( +...+n)t 2 2 n
1 2 =

. . .
. . .

. . .


n-1 n-1 . . . n-1
1 2 n
n n

1
= e( +...+n)t (j - k) .
k=1 j=k+1
Macierz wyznacznika wystepujacego w ostatnim wzorze nasi nazwe macierzy Van-
ł ł ł
dermonde a.
Mogał zaistnieć cztery przypadki:
1. Wielomian charakterystyczny ma n różnych pierwiastków rzeczywistych tj.:
i " R oraz i = j �! i = j.

" "
i"{1,...,n} i,j"{1,...,n}
31
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
Wtedy W (x1, . . . , xn) (t) = 0, zatem rodzina funkcji

"
t"R
n

j
x(t) = Cje t
j=1
jest ca ogólnał równania (5.19).
lkał
2. Wielomian charakterystyczny ma n różnych pierwiastków, ale nie wszystkie
pierwiastki sał rzeczywiste tj.:
i " C oraz i = j �! i = j.

" "
i"{1,...,n} i,j"{1,...,n}
Niech np. m = a + ib bedzie jednym z pierwiastków zespolonych. Po-
ł
nieważ wielomian charakterystyczny (5.21) ma wspó
lczynniki rzeczywiste, za-
tem również m = a - ib musi być pierwiastkiem tego wielomianu. Można
bez szkody dla ogólności przyjałć, że jest to kolejny pierwiastek na liście pier-
wiastków tj. m+1 = m. Pare liniowo niezależnych rozwiazań zespolonych
ł ł
m m+1 m
y1(t) = e t, y2(t) = e t = e t
zastepujemy parał liniowo niezależnych rozwiazań rzeczywistych
ł ł
m m
xm(t) = !e e t = eat cos(bt), xm+1(t) = !m e t = eat sin(bt).
3. Wielomian charakterystyczny (5.21) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, ale

1 n
sał wśród nich pierwiastki wielokrotne. W tej sytuacji W e t, . . . , e t = 0.
Niech m " R bedzie pierwiastkiem krotności k > 1. Wówczas funkcje
ł
m m m m
t0e t = e t, t1e t, . . . , tk-1e t
sał liniowo niezależne, ponadto każda z nich jest rozwiazaniem (5.19). Jak
ł

latwo bowiem sprawdzić bezpośrednim rachunkiem


d
-  tset = sts-1et,
dt
skad wniosek, że jeśli  jest pierwiastkiem k krotnym i s d" k - 1, to
ł
k

d
-  tset = 0.
dt
5.10. Metoda przewidywań
W przypadku niejednorodnego równania różniczkowego rzedu n o sta
lych
ł
wspó
lczynnikach
x(n) + an-1x(n-1) + . . . + a1x2 + a0x = g(t), (5.22)
32
5.11. Uk skalarnych równań różniczkowych liniowych rzedu pierwszego
lad
ł
możliwe jest skonstruowanie ca szczególnej tego równania, jeśli
lki
g(t) = eat (pk(t) cos bt + qm(t) sin bt) ,
gdzie pk i qm sał wielomianami odpowiednio stopnia k i m. Rozwiazanie szczególne
ł
przewidujemy w postaci
x(t) = eattp (rl(t) cos bt + sl(t) sin bt) ,
gdzie:
 p jest krotnościał pierwiastka a + ib wielomianu charakterystycznego równania
jednorodnego skojarzonego z (5.22); gdy a+ib nie jest pierwiastkiem, to p = 0,
 l = max{k, l},
 rl, sl wielomiany stopnia l.
Wspó lczynników nieozna-
lczynniki wielomianów rl, sl dobieramy metodał wspó
czonych.
5.11. Uk skalarnych równań różniczkowych liniowych
lad
rzedu pierwszego
ł
Rozważamy uk równań różniczkowych rzedu pierwszego postaci
lad
ł
n

x2 (t) = ak(t)xk(t) + gj(t) (j = 1, . . . , n), (5.23)
j j
k=1
czyli
x2 (t) = A(t)x(t) + g(t), (5.24)
gdzie
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x1(t) a1(t) . . . an(t) g1(t)
1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. . . .
. . . .
x(t) = , A(t) = , g(t) = .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . .
xn(t) a1(t) . . . an(t) gn(t)
n n
Przyjmujemy za
lożenia regularnościowe takie jak w teorii dotyczacej zagadnień
ł
liniowych. W tym przypadku oznacza to, że
I " t gj(t), I " t ak(t) " C (I, R)
"
j
j,k"{1,...,n}
I " t xj(t) " C1 (I, R) ,
"
j"{1,...,n}
gdzie I �" R jest przedzia
lem.
Niech M " Rn�n. Definiujemy
M0 := I
M1 := M
Mj := M � Mj-1
33
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
oraz
"

Mk
eM := .
k!
k=0
2
Szereg ten jest zbieżny w Rn dla każdej macierzy M. Wynika to stad, że wobec
ł
oszacowania

Mk M � Mk-1 Mk-1
= d" M d" M k
mamy nierówność

" "
Mk
M k
d" .
k! k!
k=0 k=0
" M k " Mk
Szereg jest zbieżny, a zatem szereg jest zbieżny, gdzyż
k=0 k=0
k! k!
w przestrzeniach Banacha zachodzi twierdzenie, że szereg który jest zbieżny
wzgledem normy (czyli jezt zbieżny bezwzglednie) jest zbieżny.
ł ł
Twierdzenie 20. Jeśli macierze M, N " Rn�n sał przemienne, to znaczy gdy
MN = NM, to eM+N = eMeN.
-1
Wniosek 3. Dla dowolnej macierzy M " Rn�n: eM = e-M.
Dowód. Macierze M i -M sał przemienne, zatem eMe-M = eM-M = e0 = I.
a
-1
Mnożac ten zwiazek lewostronnie przez eM dostajemy teze.
ł ł ł
c.k.d.

Niech A(t) = ak(t) . Wprowadzamy oznaczenie
j
j,k=1,...,n


A(t) dt := ak(t) dt .
j
j,k=1,...,n

Twierdzenie 21. Jeśli macierze A(t) i A(t) dt sał przemienne, to funkcja

A(t) dt
x(t) := e C, (5.25)
gdzie C = (C1, . . . , Cn)T " Rn jest rozwiazaniem jednorodnego uk równań
ladu
ł
różniczkowych liniowych rzedu pierwszego
ł
x2 (t) = A(t)x(t). (5.26)
Dowód. Policzmy:

k 2
"
2 2

A(t) dt
A(t) dt A(t) dt
x2 (t) = e C = e C = C =
k!
k=0

k-1 2 " k-1
"

k A(t) dt A(t)dt A(t) dt A(t)
= C = C =
k! (k - 1)!
k=1 k=1

k
"

A(t) dt
= A(t) C = A(t)eA(t)C = A(t)x(t).
k!
k=0
34
5.11. Uk skalarnych równań różniczkowych liniowych rzedu pierwszego
lad
ł
c.k.d.
Wzór (5.25) ma niewielkie znaczenie praktyczne, gdy macierz uk A(t)
ladu
zależy istotnie od zmiennej t.

Uwaga 3. Jeśli macierz uk (5.26) jest sta tj. A(t) = A, to A(t) dt =
ladu la

A dt = tA, a zatem macierze A i A dt = tA sał przemienne. W konsekwencji
rozwiazaniem uk
ladu
ł
x2 = Ax
jest funkcja
x(t) = etAC
Jak sie dalej okaże efektywne obliczenie macierzy etA bedzie możliwe.
ł ł
W podobny sposób jak przedstawiony powyżej, można pokazać, że funkcja


A(t) dt A(t) dt
x(t) = e e- A(t) dtg(t) dt + e C (C " Rn),
jest rozwiazaniem ogólnym niejednorodnego uk (5.24). Wektor C dla rozwiazania
ladu
ł ł
0
spe x
lniajacego warunek poczatkowy Cauchy ego x (t0) = ma postać:
ł ł


0
x
C = e- A(t) dt - e- A(t) dtg(t) dt.
Twierdzenie 22. Niech funkcje xk " C1(I, R) (j, k = 1, . . . , n), niech xk ozna-
T j
cza wektor xk := xk, . . . , xk i niech
1 n


D x1, . . . , xn (t) := det xk(t) .
j
j,k=1,...,n
a) Jeśli D (x1, . . . , xn) (t) = 0 dla pewnego t0 " I, to x1, . . . , xn sał liniowo

niezależne.
b) Jeśli x1, . . . , xn sał liniowo niezależnymi rozwiazaniami jednorodnego uk
ladu
ł
(5.26), to D (x1, . . . , xn) (t) = 0.

"
t"I
Dowód. Ad a). (Nie wprost) Przyjmijmy, że x1, . . . , xn liniowo zależne tzn.
n 2 n
istniejał takie sta C1, . . . , Cn, że Ck = 0 oraz Ckxk(t) = 0.
le
"
k=1 k=1
t"I

To jednak oznacza, że det xk(t) = D (x1, . . . , xn) (t0) = 0, wbrew
j
j,k=1,...,n
za
lożeniu.
Ad b). (Nie wprost) Dla dowodu nie wprost przyjmijemy, że D (x1, . . . , xn) (t0) =
0 dla pewnego t0 " I. Niech wektor (C1, . . . , Cn)T bedzie niezerowym rozwiazaniem
ł ł
uk
ladu
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x1 (t0) , . . . xn (t0) C1 0
1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. . . .
. . . .
� = .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . .
x1 (t0) , . . . xn (t0) Cn 0
n n
35
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
Zdefiniujmy funkcje x(t) jako
ł
n

x(t) := Ckxk(t), t " I.
k=1
Jako kombinacja liniowa rozwiazań xk funkcja x jest rozwiazaniem uk (5.24).
ladu
ł ł
Ponadto spe ona warunek poczatkowy Cauchy ego
lnia
ł
x (t0) = 0.
Funkcja y(t) a" 0 jest również rozwiazaniem uk (5.24) spe
ladu lniajacym ten sam
ł ł
warunek poczatkowy. Wobec jednoznaczności rozwiazania funkcje te muszał być
ł ł
równe, czyli x = 0. Oznacza to jednak wbrew za
lożeniu, że funkcje x1, . . . , xn sał
liniowo zależne.
c.k.d.
Uwaga 4. Jeżeli x1, . . . , xn sał rozwiazaniami uk ladu (5.26), to
ł

D x1, . . . , xn (t) = 0,
"
t"I
lub

D x1, . . . , xn (t) = 0.

"
t"I
Definicja 25. Zbiór {x1, . . . , xn} liniowo niezależnych rozwiazań uk (5.26)
ladu
ł
nazywamy fundamentalnym uk ladem rozwiazań.
ł
Twierdzenie 23. Każdy jednorodny uk równań różniczkowych liniowych ma
lad
fundamentalny uk rozwiazań i jeśli funkcje x1, . . , xn tworzał fundamentalny
lad
ł
n.
uk lad rozwiazań, to rodzina odwzorowań x(t) = Ckxk(t), gdzie Ck " R jest
ł k=1
rozwiazaniem ogólnym tego uk
ladu.
ł
Jeśli {x1, . . . , xn} tworzał fundamentalny uk rozwiazań (5.26), to ca
lad lke
ł ł
szczególnał niejednorodnego uk (5.24) znajdujemy metodał uzmienniania sta
ladu lych.
Przewidujemy jał w postaci
n

x(t) := Ck(t)xk(t).
k=1
2
n 2 n
Dalej mamy x2 (t) := Ck(t)xk(t) + Ck(t) xk (t) i po wstawieniu do
k=1 k=1
równania otrzymujemy:
n n n

2
2
Ck(t)xk(t) + Ck(t) xk (t) = A(t) Ck(t)xk(t) + g(t),
k=1 k=1 k=1
czyli
n

2
Ck(t)xk(t) = g(t),
k=1
36
5.12. Uk równań liniowych o sta wspó
lady lych lczynnikach
to jest
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
2
x1(t) x2(t) � � � xn(t) C1(t) g1(t)
1 1 1
�ł �ł �ł 2 �ł �ł �ł
x1(t) x2(t) � � � xn(t) C2(t) g2(t)
�ł 2 2 2 �ł �ł �ł �ł �ł
= .
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. . . . .
. . . . .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . . .
2
x1 (t) x2(t) � � � xn(t) Cn(t) gn(t)
n n n
Ponieważ dla wszystkich t " I : D (x1, . . . , xn) (t) = 0, stad powyższy uk
lad
ł
ma dok jedno rozwiazanie określone wzorami Cramera
ladnie
ł
2
Ck(t) = pk(t) (k = 1, . . . , n).
Każde z tych równań jest równaniem o zmiennych rozdzielonych zatem

Ck(t) = pk(t) dt + Mk, gdzie Mk " R, (k = 1, . . . , n).
Ostatecznie


n n

x(t) = Mkxk(t) + pk(t) dt xk(t).
k=1 k=1
5.12. Uk równań liniowych o sta
lady lych
wspó
lczynnikach
Zak ladu l
ladamy teraz, że macierz uk (5.26) jest macierzał sta ał tj. ak(t) a" ak "
j j
R. Jak wiadomo z wcześniejszych rozważań, rozwiazanie tego uk jest postaci
ladu
ł
x(t) = etAC,
gdzie C " Rn.
5.12.1. Metoda wartości i wektorów w
lasnych
Jeśli w = 0 jest wektorem w macierzy A tj. istnieje  " C : Aw = w
lasnym
i wez
miemy x(t) = y(t) � w, gdzie y(t) " C1(R, R), to po podstawieniu x do
równania (5.26) dostajemy y2 (t)w = y(t)w co daje (y2 (t) - y(t)) w = 0. Wobec
w = 0 mamy y2 (t) = y(t) równanie o zmiennych rozdzielonych z rozwiazaniem

ł
y(t) = Cet, t " R.
Jak wiadomo zbiór rozwiazań uk (5.26) jest przestrzeniał wektorował n-wymiarowa.
ladu
ł ł
Poszukujemy zatem fundamentalnego uk rozwiazań. Możemy rozważyć przy-
ladu
ł
padki:
1. Każdej wartości w j o krotności kj odpowiada kj liniowo niezależnych
lasnej
j
wektorów w
lasnych wj,1, . . . , wj,k macierzy A (j = 1, . . . , p, k1 + k2 +
. . . + kp = n). Ponieważ wektory w odpowiadajace różnym wartościom
lasne
ł
w
lasnym sał liniowo niezależne, wiec dla
ł
j
xj,s(t) := e twj,s (s = 1, . . . , kj, j = 1, . . . , p)
37
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
wyznacznik

j,s
p 1
D x1,1, . . . , xp,k (t) = e(k 1+...+kpp)t det wi = 0,

gdzie i = 1, . . . , n, s = 1, . . . , kj, j = 1, . . . , p. W konsekwencji funkcje xj,s
tworzał fundamentalny uk rozwiazań.
lad
ł
Jeśli wartość w i wektor w sał zespolone tj. np. 1 = 2 =  i w =
lasna lasny
u+iv = (u1 + iv1, . . . , un + ivn)T jest wektorem w odpowiadajacym 1
lasnym
ł
i w = u - iv = (u1 - iv1, . . . , un - ivn)T wektorem w
lasnym odpowiadajacym
ł
2, to ponieważ równość Aw = w pociaga równość Aw = Aw = Aw = w =
ł
w, zatem zamiast zespolonych rozwiazań
ł
1 2
y1 = e tw, y2 = e tw
bierzemy
x1 = !e y1 = et!e  (u cos (t!m ) - v sin (t!m )) ,
x2 = !m y1 = et!e  (u sin (t!m ) + v cos (t!m )) .
2. Niech wartości w np. 1 =  o krotności k odpowiada tylko r liniowo
lasnej
niezależnych wektorów w
lasnych, gdzie r < k. Tak jest wtedy, gdy
rzad (A - I) = n - r > n - k.
ł
Poszukujemy rozwiazania ogólnego odpowiadajacego wartości w  po-
lasnej
ł ł
staci
x(t) = etP (t),
gdzie P (t) = (P1(t), . . . , Pn(t))T i Pj jest wielomianem stopnia k - 1, j =
1, . . . , n przy czym w rozwiazaniu ogólnym powinno wystapić k sta do-
lych
ł ł
wolnych.
3. Rozwiazanie ogólne uk (5.26) jest sumał rozwiazań szczególnych odpowia-
ladu
ł ł
dajacych poszczególnym wartościom w
lasnym.
ł
5.12.2. Sprowadzanie macierzy uk do postaci Jordana
ladu
Przypadek szczególny Jeśli A jest diagonalizowalnał rzeczywistał macierzał
-1
wymiaru n, tj. istnieje macierz podobieństwa P taka, że P AP = D, gdzie
D jest macierzał diagonalna, to podstawiajac x = P y sprowadzamy uk x2 (t) =
lad
ł ł
Ax(t), t " I (" topR) do postaci y2 (t) = Dy(t), którego rozwiazaniem jest
ł
�ł �ł
11
C1ed t

�ł �ł
.
ii
.
y(t) = eDtC = ed t C = ,
�ł łł
.
nn
Cned t
38
5.12. Uk równań liniowych o sta wspó
lady lych lczynnikach
a zatem
�ł �ł
11
C1ed t
�ł �ł
.
.
x (t) = P .
�ł łł
.
nn
Cned t
W sczególności, jeśli macierz A ma n różnych wartości w
lasnych i (i = 1, . . . , n),
to jest diagonalizowalna i D = diag{1, . . . , n}. Wtedy też macierz podo-
bieństwa P jest równa
P = (v1, . . . , vn) ,
gdzie vi jest wektorem w odpowiadajacym wartości w i (i = 1, . . . , n).
lasnym lasnej
ł
Przypadek ogólny Niech A bedzie danał rzeczywistał macierzał kwadratował
ł
wymiaru n. Niech r (r = 1, . . . , q) bedał wartościami w
lasnymi tej macie-
ł
rzy, przy czym przyjmujemy, że wartość w r ma krotność kr. Oczywiście
lasna
q
kr = n. Niech P bedzie takał macierzał nieosobliwa, że macierz J =
r=1 ł ł
-1
P AP jest macierzał Jordana, tzn.
�ł �ł
J11 0 � � � 0 � � � 0 � � � 0
�ł �ł
0 J12 � � � 0 � � � 0 � � � 0
�ł �ł
. . .
�ł . �ł
. . . .
.
�ł . . . �ł
�ł �ł
�ł 0 0 J1i(1) 0 0 �ł
�ł �ł
J = ,
. . .
.
�ł �ł
. . . .
.
. . .
�ł �ł
�ł �ł
0 0 0 Jq1 0
�ł �ł
�ł �ł
. . .
.
. . . .
�ł łł
.
. . .
0 0 � � � 0 � � � 0 � � � Jq,i(q)
gdzie
�ł �ł
r 0 0 � � � 0 0
�ł �ł
1 r 0 0 0
�ł �ł
�ł �ł
0 1 r 0 0
�ł �ł
Jrj = lub Jrj = (r)
�ł �ł
. . .
.
. . . .
�ł �ł
.
. . .
�ł �ł
�ł łł
0 0 0 � � � r 0
0 0 0 � � � 1 r
(macierze Jrj nazywamy klatkami Jordana). Oznaczmy przez krj liczbe wierszy i
ł
kolumn macierzy Jrj. Obliczajac wielomian charakterystyczny macierzy J, równy
ł
wielomianowi charakterystycznemu macierzy A latwo można sie przekonać, że

ł
majał miejsce nastepujace równości:
ł ł
i(r)

kr = krj (r = 1, . . . , q) .
j=1
Liczby krj można wyznaczyć np. metodał przedstawionał w [6].
39
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
Niech Dm () oznacza najwiekszy wspólny dzielnik wszystkich minorów stop-
ł
nia m macierzy A - I. Można pokazać, że Dm () dzieli sie przez Dm-1 ().
ł
Zatem z dok
ladnościał do czynnika a, takiego że |a| = 1:
11 21 q1
Dn () = ( - 1)u ( - 2)u . . . ( - q)u ,
12 22 q2
Dn-1 () = ( - 1)u ( - 2)u . . . ( - q)u ,
. . . ........................................................
1n 2n qn
D1 () = ( - 1)u ( - 2)u . . . ( - q)u ,
przy czym ui1 e" ui2 e" ui3 e" . . . e" uin co można zapisać krótko uik e" uij
dla k d" j . Nie wykluczamy przypadku, gdy pewne uik = 0. W tym przypadku
jednak uij = 0 dla wszystkich j e" k. Przy tych oznaczeniach:
k11 = u11 - u12, k12 = u12 - u13, . . . , kij = uij - ui,j+1, . . .
Mamy wówczas i (r) = max {j : krj = 0}.

Jeżeli km = 1 dla pewnego m, to i (m) = 1 oraz Jm1 = (m) jest macierzał
wymiaru 1 � 1. Bez straty ogólności możemy przyjałć, że jeśli istniej ał pierwiastki
jednokrotne, to majał one kolejne numery rozpoczynajace sie od 1. Macierz Jor-
ł ł
dana J jest wiec postaci
ł
�ł �ł
1 0 � � � 0 0 � � � 0
�ł �ł
0 2 � � � 0 0 � � � 0
�ł �ł
. . .
.
�ł �ł
. . . .
.
. . .
�ł �ł
�ł �ł
0 0 p 0 0 .
�ł �ł
�ł �ł
0 0 0 Jp+1,1 0
�ł �ł
�ł �ł
. . .
.
�ł . . . . łł
.
. . .
0 0 � � � 0 0 � � � Jq,i(q)
Dowodzi sie, że jeśli
ł
-1
A = P JP ,
to
-1
eAt = P eJtP .
Z kolei
�ł �ł
1
e t � � � 0 0 � � � 0
. .
.
�ł �ł
. . .
.
. .
�ł �ł
�ł �ł
p
0 e t 0 0
�ł �ł
eJt = ,
�ł �ł
p+1,1
0 0 eJ t 0
�ł �ł
�ł �ł
. .
.
�ł . . . łł
.
. .
q,i(q)
0 0 � � � 0 � � � eJ t
gdzie 1, . . . , p sał jednokrotnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego.
40
5.12. Uk równań liniowych o sta wspó
lady lych lczynnikach
Niech Jrj wymiaru krj bedzie jednał z klatek Jordana odpowiadajacych wartości
ł ł
w r o krotności kr. Wprost z definicji można pokazać, że
lasnej
�ł �ł
1 0 � � � 0
t
�ł �ł
1 � � � 0
1!
�ł �ł
t2 t
�ł
rj r 0
eJ t = e t �ł 2! 1! .
�ł �ł
. .
�ł . �ł
. . .
.
�ł . . łł
tkrj -1 tkrj -2
� � � 1
(krj-1)! (krj-2)!
Niech P bedzie macierzał sprowadzajacał macierz A do postaci Jordana tj. J =
ł ł
-1
P AP . Ostatni zwiazek jest równoważny równości P J = AP . Wprowadzajac
ł ł
nował funkcje niewiadomał y (t) określonał równościał
ł
x(t) = P y(t),
sprowadzamy ostatni URRLJ do równoważnego uk
ladu
y2 (t) = Jy(t),
którego rozwiazaniem ogólnym jest funkcja
ł
y(t) = eJtC, C " Rn.
Tak wiec rozwiazaniem ogólnym wyjściowego URRLJ jest funkcja
ł ł
x(t) = P eJtC, C " Rn.
Przyk 5. Rozważmy uk równań:
lad lad
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
x2 (t) = 0 1 1 x (t)
0 0 2
Jak latwo  2 2 = 2, k2 = 1

�łsprawdzić�ł1 = 1, k1 = �ł �ł
1 1 3 1 0 0
�ł łł �ł łł
P = 1 0 1 J = 1 1 0
0 0 1 0 0 2
Stosujac standardowe podstawienie x (t) = P y (t) rozwiazujemy uk równań
lad
ł ł
y2 (t) = Jy(t). Jego rozwiazaniem jest
ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 C1 et 0 0 C1
et 0
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
y(t) = eJtC = t 1 C2 = tet et 0 C2 ,
0 e2t C3 0 0 e2t C3
41
Rozdzia 5. Liniowe równania różniczkowe
l
zatem
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 3 et 0 0 C1
�ł łł �ł łł �ł łł
x(t) = 1 0 1 tet et 0 C2 =
0 0 1 0 0 e2t C3
�ł �ł �ł �ł
(1 + t) et et 3e2t C1
�ł łł �ł łł
= et 0 e2t C2 .
0 0 e2t C3
5.13. Równanie ruchu harmonicznego
Równanie ruchu pod dzia si elastycznej, tj. równanie ruchu harmo-
laniem ly
nicznego jest opisane równaniem różniczkowym wektorowym:
..
r
m = -k2r,
k
"
gdzie r = r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)). Podstawiajac � = dostajemy uk
lad
ł
m
separowanych równań skalarnych:
ńł
..
x +�2x = 0
�ł
..
y
+�2y = 0 .
..
ół
z +�2z = 0
Ca ogólna pierwszego z nich ma postać:
lka
x (t) = C1 sin �t + C2 cos �t = A sin (�t + ł) ,

2 2
gdzie A = C1 + C2, ł = arctan (C1/C2). Latwo zauważyć, że rozwiazanie x (t)

ł
2Ą
jest okresowe o okresie T = . Sta ał � nazywamy czestościał ko lub pulsacja,
l lował
� ł ł
1
� = czestościa, �t + ł faza, zaś ł sta ał fazowa.
l
T ł ł ł ł
Jeżeli na punkt materialny oprócz si elastycznej -k2x dzia dodatkowa si
ly la la
.
x lumione.
-� (� > 0), to otrzymujemy drgania t
Rozdzia 6
l
Rozwiazania w postaci szeregów
ł
funkcyjnych
Jak wiadomo nie zawsze można efektywnie rozwiazać równanie różniczkowe,
ł
nie zawsze można otrzymać rozwiazanie przez skończonał liczbe kwadratur. Cza-
ł ł
sami trzeba siegnałć do sposobów bardziej wyrafinowanych - jednym z nich jest
ł
wyrażenie rozwiazania w postaci szeregu funkcyjnego. Poniżej omówione sał dwa
ł
przypadki takiego postepowania.
ł
6.1. Rozwiazania w postaci szeregów potegowych
ł ł
Niech bedzie dane zagadnienie poczatkowe Cauchy ego
ł ł
x2 = f(t, x) (t " I) ,
x (t0) = x0,
ć%
gdzie I �" R przedzia taki że t0 " , x : I " t x(t) " U �" R, U zbiór
l,
I
otwarty w R, x0 " U. Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej orzeka, że jeśli funkcja
f : I � U R jest analityczna w otoczeniu punktu (t0, x0), to istnieje dok
ladnie
jedno analityczne rozwiazanie tego równania w pewnym otoczeniu punktu t0.
ł
43
Rozdzia 6. Rozwiazania w postaci szeregów funkcyjnych
l
ł
6.1.1. Uk równań liniowych rzedu pierwszego o sta
lad lych
ł
wspó
lczynnikach
Rozważamy uk równań różniczkowych rzedu pierwszego (5.23) o sta
lad lych
ł
wspó lad
lczynnikach czyli uk postaci
n

x2 (t) = akxk(t) + gj(t) (j = 1, . . . , n). (6.1)
j j
k=1
Przyjmijmy, że
"

gj(t) = cj�(t - t0)� (j = 1, . . . , n).
�=0
Szukamy rozwiazania x : R �" I Rn, którego wszystkie sk sał szeregami
ladowe
ł
potegowymi o środku w punkcie t0:
ł
"

xj(t) = bj�(t - t0)� (j = 1, . . . , n).
�=0
Podstawiajac szeregi gj(t), xj(t) i
ł
"

x2 (t) = (� + 1)bj,�+1(t - t0)�
j
�=0
(j=1,. . . ,n) do równania (6.1), przegrupowujac wyrazy i korzystajac z definicji
ł ł
równości szeregów potegowych dostajemy zwiazki rekurencyjne na wspó
lczynniki
ł ł
szeregów xj(t):

n

1
bj,�+1 = akbk� + cj� . (6.2)
j
� + 1
k=1
Wspó
lczynniki bj0 sał wyznaczone przez warunek poczatkowy Cauchy ego.
ł
Jeśli gj(t) a" 0, czyli uk (6.1) jest jednorodny, to wyznaczajac kolejno
lad
ł
n rozwiazań uk (6.1) z warunkiem poczatkowym x(t0) = ei, gdzie ei jest
ladu
ł ł
wersorem i-tej osi, otrzymujemy fundamentalny uk rozwiazań.
lad
ł
6.1.2. Skalarne równania różniczkowe rzedu pierwszego i drugiego
ł
Nieliniowe równanie różniczkowe rzedu drugiego
ł
Rozważmy przypadek szczególny, równanie skalarne postaci:
x2 2 = w(g(t), x, x2 ) t " (t0, T )
x (t0) = x0, x2 (t0) = x1,
gdzie w(p1, p2, p3) jest wielomianem stopnia co najwyżej drugiego
3 3

w(p1, p2, p3) = a0 + aipi + aijpipj,
i=1
i,j=1
i<=j
44
6.1. Rozwiazania w postaci szeregów potegowych
ł ł
o wspó
lczynnikach rzeczywistych, a g jest funkcjał analitycznał w otoczeniu punktu
t0. Przyjmijmy, że funkcja g ma rozwiniecie w szereg potegowy
ł ł
"

g(t) = gk (t - t0)k ,
k=0
a szukana funkcja x(t) rozwiniecie
ł
"

x(t) = ck (t - t0)k .
k=0
Pierwsza i druga pochodna funkcji szukanej majał zatem rozwiniecia
ł
"

x2 (t) = (k + 1)ck+1 (t - t0)k ,
k=0
"

x2 2 (t) = (k + 2)(k + 1)ck+2 (t - t0)k .
k=0
Iloczyny g(t)g(t), g(t)x(t), g(t)x2 (t), x(t)x(t), x(t)x2 (t), x2 (t)x2 (t)
po prawej stronie równania różniczkowego sał iloczynami Cauchy ego:

" " " k

uk (t - t0)k vk (t - t0)k = ujvk-j (t - t0)k .
k=0 k=0 k=0 j=0
Ostatecznie dostajemy równość dwóch szeregów potegowych:
ł
"
=
k=0(k + 2)(k + 1)ck+2 (t - t0)k
"
k=0
k ((�0ka0 + a1gk + a2ck + a3(k + 1)ck+1) +
+ (a11gjgk-j + a12gjck-j + a13(k + 1 - j)gjck+1-j + a22cjck-j +
j=0
+ a23(k + 1 - j)cjck+1-j + a33(j + 1)(k + 1 - j)cj+1ck+1-j)) (t - t0)k ,
która przez porównanie wspó
lczynników przy tych samych potegach (t - t0) pro-
ł
wadzi do nieskończonego uk równań algebraicznych o niewiadomych ck (k "
ladu
N).
Uwzgledniajac warunki poczatkowe mamy
ł ł ł
c0 = x0, c1 = x1.
Kolejne wspólczynniki ck można wyznaczyć rekurencyjnie:

k

1
ck+2 = �0ka0 + a1gk + a2ck + (k + 1)a3ck+1 + Skj (k " N),
(k + 1)(k + 2)
j=0
gdzie
Skj := a11gjgk-j + ck-j (a12gj + a22cj) +
+(k + 1 - j)ck+1-j (a13gj + a23cj + (j + 1)a33cj+1) ,
a �ij jest deltał Kroneckera.
45
Rozdzia 6. Rozwiazania w postaci szeregów funkcyjnych
l
ł
Jednorodne liniowe równanie różniczkowe rzedu drugiego
ł
Wyznaczenie rozwiazania równania liniowego jednorodnego rzedu drugiego
ł ł
x2 2 + p(t)x2 + q(t)x = 0 t " (t0, T )
x (t0) = x0, x2 (t0) = x1,
ze wspó
lczynnikami p(t), q(t) analitycznymi w otoczeniu punktu t0 wyglada po-
ł
dobnie do przedstawionego powyżej. Jeśli
" "

p(t) = ak (t - t0)k , q(t) = bk (t - t0)k ,
k=0 k=0
to równanie rekurencyjne na wspó
lczynniki ck ma postać:
k

1
ck+2 = - ((j + 1)ak-jcj+1 + bk-jcj) (k " N),
(k + 1)(k + 2)
j=0
(Punkt t0, w otoczeniu którego wspó
lczynniki równania liniowego jednorodnego
sał funkcjami analitycznymi, nazywamy punktem nieosobliwym tego równania.)
Biorac kolejno dwa warunki poczatkowe Cauchy ego x (t0) = x0, x2 (t0) = x1
ł ł

x0 x1
oraz x (t0) = x0, x2 (t0) = x1 takie, że det = 0, można wygenerować

x0 x1
dwa liniowo niezależne rozwiazania tego równania i jego rozwiazanie ogólne. Naj-
ł ł
prościej przyjałć x0 = 1, x1 = 0 oraz x0 = 0 i x1 = 1.
Specjalne równanie Riccatiego
Jeszcze jednym przyk niech bedzie sposób wyznaczenia rozwiazania spe-
ladem
ł ł
cjalnego równania Riccatiego x2 (t) = ax2(t) + btn z warunkiem poczatkowym
ł
Caychy ego x(0) = x0, gdzie a, b " R, n " N. Dla prostoty przyjmijmy
n = 2. Postepowanie takie jak wyżej prowadzi do wzorów rekurencyjnych na
ł
"
wspólczynniki rozwiazania x(t) = cktk:
ł k=0
c0 = x0,
c1 = ac2,
0
c2 = ac0c1,

1 1
c3 = a 2c0c2 + c2 + c0,
1
3 3
�

1
c�+1 = a ckc�-k � = 3, 4, 5, . . . .
� + 1
k=0
6.2. Równania różniczkowe liniowe rzedu drugiego 
ł
szeregi Frobeniusa
Niech bedzie dane liniowe równanie różniczkowe rzedu drugiego
ł ł
x2 2 + p(t)x2 + q(t)x = 0 (t " I) ,
46
6.2. Równania różniczkowe liniowe rzedu drugiego  szeregi Frobeniusa
ł
ć%
gdzie I �" R przedzia taki że t0 " , x : I " t x(t) " U �" R, U " topR.
l,
I
Wiadomo, że zbiór rozwiazań równania jednorodnego jest przestrzeniał wek-
ł
torował dwuwymiarowa. W przypadku, gdy p(t) = const, q(t) = const, w pro-
ł
sty i znany sposób można wypisać wzory dwóch liniowo niezależnych rozwiazań
ł
tego równania i w konsekwencji dla zadanego warunku poczatkowego Cauchy ego
ł
wyznaczyć rozwiazanie problemu poczatkowego. Gdy t0 jest punktem nieosobli-
ł ł
wym równania tj. p(t), q(t) sał funkcjami analitycznymi w otoczeniu punktu t0,
to można wyznaczyć rozwiazanie tego problemu w postaci szeregu potegowego
ł ł
o środku w punkcie t0, jak to zosta pokrótce opisane powyżej, a także wy-
lo
znaczyć dwa szeregi potegowe, których sumy sał dwoma liniowo niezależnymi
ł
rozwiazaniami równania jednorodnego. Gdy funkcje p(t), q(t) nie sał analityczne
ł
w otoczeniu punktu t0, to punkt ten nazywamy punktem osobliwym równania, a
nazywamy go punktem osobliwym regularnym, jeśli funkcje (t - t0) p(t), (t - t0)2 q(t)
sał analityczne w otoczeniu t0.
Niech t0 bedzie regularnym punktem osobliwym rozważanego równania i niech
ł
funkcje (t - t0) p(t), (t - t0)2 q(t) analityczne w otoczeniu |t - t0| < R majał roz-
winiecia w szeregi potegowe:
ł ł
"

(t - t0) p(t) = pk (t - t0)k ,
k=0
"

(t - t0)2 q(t) = qk (t - t0)k .
k=0
Niech 1, 2 bedał pierwiastkami równania
ł
( - 1) + p0 + q0 = 0,
zwanego równaniem indeksowym (wyznaczajacym), gdzie p0 = limtt (t - t0) p(t),
0
ł
q0 = limtt (t - t0)2 q(t). W jednym z możliwych przypadków, w sytuacji gdy
0
1, 2 " R, 1 > 2, 1 - 2 " N rozważane równanie ma dwa liniowo niezależne
rozwiazania w przedziale (t0, t0 + R) postaci:
ł
" "

1 2
x1(t) = (t - t0) ak (t - t0)k , x2(t) = (t - t0) bk (t - t0)k .
k=0 k=0
Biorac dowolne a0 = 0, kolejne wspó
lczynniki ak (k = 1, 2, . . .) wyznaczamy z
ł
zależności:
k
(pj (k - j + 1) + qj) ak-j
j=1
ak = - .
(k + 1) (k + 1 - 1) + p0 (k + 1) + q0
Podobnie, biorac dowolne b0 = 0, kolejne wspó
lczynniki bk (k = 1, 2, . . .) wyzna-
ł
czamy z zależności:
k
(pj (k - j + 2) + qj) bk-j
j=1
bk = - .
(k + 2) (k + 2 - 1) + p0 (k + 2) + q0
47
Rozdzia 6. Rozwiazania w postaci szeregów funkcyjnych
l
ł
Gdy 1, 2 " R, 1 = 2, rozwiazanie szczególne x2(t) ma postać:
ł
"

1
x2(t) = x1(t) ln (t - t0) + (t - t0) bk (t - t0)k ,
k=0
natomiast, gdy 1, 2 " R, 1 e" 2, 1 - 2 " N jest postaci:
"

2
x2(t) = Cx1(t) ln (t - t0) + (t - t0) bk (t - t0)k ,
k=0
gdzie sta C może być równa zeru.
la
Podobne wzory można wyprowadzić dla zespolonych pierwiastlów równania
indeksowego.
Rozdzia 7
l
Stabilność rozwiazań równań
ł
różniczkowych
7.1. Podstawowe definicje
Definicja 26. Niech X bedzie przestrzeniał Banacha. Niech dane bedzie (RR):
ł ł
x2 = f (t, x) z (WPC): x (t0) = x0, gdzie t " I, I przedzia l , x0 " U " top X
Za óżmy, że
l
(RR) z (W P C) : x (t0) = y0
"
y0"U
ma rozwiazanie x (t, y0) określone na maksymalnym przedziale istnienia J (y0) =
ł
[t0, R (t0, y0)).
1. Rozwiazanie x (�, x0) nazywamy stabilnym, lub stabilnym w sensie Lapu-
ł
nowa, jeżeli
: y0 - x0 < � �! x (t, y0) - x (t, x0) < �
" "
�>0 �>0
dla t " J (x0) )" J (y0).
2. Mówimy, że rozwiazanie x (t, x0) jest lokalnie asymptotycznie stabilne, jeżeli
ł
I = [0, +"), rozwiazanie jest stabilne i ponadto ma w
lasność lokalnego przyciagania,
ł ł
tzn.
: y0 - x0 < � �!
"
�>0

�! J (y0) = [t0, +") , lim x (t, y0) - x (t, x0) = 0 .
t"
W skrócie piszemy: x (t, x0) jest LAS.
49
Rozdzia 7. Stabilność rozwiazań równań różniczkowych
l
ł
3. Mówimy, że rozwiazanie x (t, x0) jest globalnie asymptotycznie stabilne, jeżeli
ł
jest stabilne i ponadto ma w lasność globalnego przyciagania, tzn.
ł
: J (y0) = [t0, +") , lim x (t, y0) - x (t, x0) = 0.
"
t"
y0"U
W skrócie piszemy: x (t, x0) jest GAS.
Przyk 6. Równianie x2 -x = 0 z warunkiem poczatkowym Cauchy ego x(0) =
lad
ł
x0 ma rozwiazanie postaci x(t, x0) = x0et. Rozwiazanie x(t, 0) = 0 nie jest
ł ł
stabilne, bo dla r > 0 mamy sup {|x(t, x0) - 0| : t e" 0, |x0 - 0| < r} = +".
Przyk 7. Równanie mx2 2 + 2px2 + kx = 0 z warunkiem poczatkowym Cau-
lad
ł
chy ego x(0) = A, x2 (0) = � gdy p2 < km, p > 0, m > 0 ma rozwiazanie postaci
ł


qA+� 2
p
k
x(t, A, �) = Ce-qt sin(�t + �), gdzie q = , � = - q2, C = A2 + ,
m m �
A
� = arccos . Rozwiazanie zerowe jest, co oczywiste, lokalnie asymptotycznie
C ł
stabilne.
Twierdzenie 24. Rozwiazanie x (t, x0) = p (t) równania x2 = f (t, x) jest sta-
ł
bilne (asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiazanie y (t) = 0
ł
równania y2 = g (t, y) := f (t, y + p (t)) - f (t, p (t)) jest stabilne (asymptotycznie
stabilne).
Dowód. Niech p (t) := x (t, x0) stabilne rozwiazanie równania x2 = f (t, x).
ł
Funkcja y (t) := x (t) - p (t) spe równanie y2 (t) = f (t, x (t)) - f (t, p (t)) =
lnia
f (t, y (t) + p (t)) - f (t, p (t)) =: g (t, y (t)). Funkcje f i g sał tej samej klasy
regularności.
Inaczej. Niech p (t) = x (t, x0), x (t) = x (t, y0), p2 = f(t, p), x2 = f(t, x).
Tak wiec x2 - p2 = f(t, x) - f(t, p). Zdefiniujmy z := x - p. Mamy z2 =
ł
f(t, z + p) - f(t, p) =: g(t, z) czyli z2 = g(t, z). Skoro
y0 - x0 < � =�! x (t, y0) - x (t, x0) < �
zatem
z0 < � =�! x (t) - p (t) = z(t) < �
co jest równoważne
z0 - 0 < � =�! z(t) - 0 < �
Przyk 8. Rozważmy uk równań różniczkowych
lad lad

x2 = (x1 - 1) (x2 - 1)
1
x2 = x1x2 - 2
2
50
7.2. Twierdzenie Lapunowa
które można zapisać jako jedno równanie w postaci wektorowej

(x1 - 1) (x2 - 1)
x2 = f(x) :=
x1x2 - 2

x1(t) 1
gdzie x(t) = . Latwo zauważyć, że funkcje x(t) = , x(t) =

x2(t) 2

2
sał rozwiazaniami przyk ladowego równania (jego po lożeniami równowagi).
ł
1
Stabilność pierwszego z tych rozwiazań jest równoważna stabilności rozwiazania
ł ł
zerowego równania

1 1 y1 (y2 + 1)
y2 = f y + - f =
2 2 y1y2 + 2y1 + y2
a stabilność drugiego z nich stabilności rozwiazania zerowego równania
ł

2 2 (y1 + 1) y2
y2 = f y + - f =
1 1 y1y2 + y1 + 2y2
Uwaga 5. Stabilność nie implikuje przyciagania i odwrotnie.
ł
Przyk 9. Rozważmy równanie x2 2 + x = 0 z warunkiem poczatkowym Cau-
lad
ł
chy ego x (0) = x0, x2 (0) = 0. Jego rozwiazaniem jest funkcja x (t) = x0 cos t.
ł
Rozwiazanie zerowe jest wiec stabilne, ale nie ma w
lasności przyciagania.
ł ł ł
2
x1 x2
Przyk 10. Rozwiazaniem uk = z warunkiem poczatkowym
lad ladu
ł ł
x2 -x1

x1 x0 x1 x0 cos t
(0) = jest funkcja (t) = . Tak wiec zerowe
ł
x2 0 x2 -x0 sin t
rozwiazanie jest stabilne, ale nie ma w lasności przyciagania.
ł ł
7.2. Twierdzenie Lapunowa
Twierdzenie 25. (Lapunowa) Niech dany bedzie skalarny uk równań różniczkowych
lad
ł
2
xj = fj (t, x) (j = 1, . . . , n)
gdzie t " [t0, +"), x = x (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) " U " topRn, f = (f1, . . . , fn) "
C1 ([t0, +") � U, Rn). Za lóżmy,że
 f (t, 0, . . . , 0) = 0
"fj
 ajk := (t, 0, . . . , 0) " R j, k = 1, . . . , n
"xk

 det (ajk - �jk)j,k=1,...,n = 0 =�! Re  < 0
51
Rozdzia 7. Stabilność rozwiazań równań różniczkowych
l
ł

n


fj
 " M : U - R, że lim M (x) = 0 oraz (t, x) - ajkxk d"

x-0
k=1
M (x) x dla t e" t0, x " U, j = 1, . . . , n.
Wtedy rozwiazanie zerowe x (�, 0) = 0 powyższego uk jest lokalnie asympto-
ladu
ł
tycznie stabilne tzn. y0 < r =�! { maksymalny przedzia J (y0) istnienia
l
"
r>0
rozwiazania x (�, y0) jest równy [t0, +") } oraz : y0 < � =�! lim
" "
ł
t-+"
�>0 �>0
x (t, y0) = 0 i x (t, y0) < � dla t e" t0.
Wniosek 4. Niech dany bedzie skalarny uk równań różniczkowych
lad
ł
2
xj = fj (x) (j = 1, . . . , n)
gdzie x = x (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) " U " topRn, f = (f1, . . . , fn) " C1 (U, Rn).
Za óżmy, że
l
 f (0, . . . , 0) = 0
"fj
 ajk := (0, . . . , 0) " R j, k = 1, . . . , n
"xk

 det (ajk - �jk)j,k=1,...,n = 0 =�! Re  < 0
Wtedy rozwiazanie zerowe x (�, 0) = 0 powyższego uk ladu jest lokalnie asymp-
ł
totycznie stabilne.
Przyk 11. Rozważmy pierwsze równanie z przyk 8 tj.
lad ladu

y1 (y2 + 1)
y2 = g (y) :=
y1y2 + 2y1 + y2


y2 + 1 y1
"gi
Latwo zauważyć, że g(0) = 0 natomiast (0) = =

"xj
y2 + 2 y1 + 1
|y1=0, y2=0

1 0
. Macierz ta ma wartość w  = 1 o krotności k = 2, a zatem
lasnał
2 1
rozwiazanie zerowe powyższego równania nie jest lokalnie asymptotycznie stabilne
ł
i nie jest stabilne.
Wniosek 5. Rozważmy równanie skalarne x2 = f (x). Jeśli f (0) = 0 oraz
f2 (0) < 0, to rozwiazanie zerowe tego równania jest lokalnie asymptotycznie
ł
stabilne.
Wniosek 6. Rozważamy uk równań różniczkowych liniowych x2 = Ax. Jeśli
lad
wszystkie wartości w macierzy A majał ujemne cześci rzeczywiste, to rozwiazanie
lasne
ł ł
zerowe rozważanego uk jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
ladu
52
7.3. Problem Routha Hurwitza
Twierdzenie 26. Rozwiazanie zerowe uk równań różniczkowych liniowych
ladu
ł
x2 = Ax jest stabilne, gdy Re  d" 0 dla każdej wartości w  macierzy A, a
lasnej
w przypadku Re  = 0, krotność tej wartości w jest równa 1.
lasnej
7.3. Problem Routha Hurwitza
Niech bedzie dany wielomian W o wspó
lczynnikach rzeczywistych. Podać
ł
takie warunki na jego wspó ly
lczynniki, aby pierwiastki wielomianu W leża w
lewej pó laszczyz
nie p
lp laszczyzny zespolonej.
Niech W () = n+a1n-1+� � �+an-1+an = 0, gdzie aj " R (j = 1, . . . , n).
Twierdzenie 27. (Warunek konieczny) ai > 0 . Jeżeli n d" 2, to ten
"
i"{1,...,n}
warunek jest warunkiem wystarczajacym.
ł
Twierdzenie 28. (Warunek Routha Huwitza) Warunkiem koniecznym i wy-
starczajacym na to, aby wszystkie pierwiastki wielomianu W mia ly ujemne cześci
ł ł
rzeczywiste jest, aby wszystkie minory g ówne macierzy Hurwitza
l
�ł �ł
a1 1 0 0 0 0 � � � 0 0 0
�ł �ł
a3 a2 a1 1 0 0 0 0 0
�ł �ł
�ł �ł
a5 a4 a3 a2 a1 1 0 0 0
�ł �ł
�ł �ł
. .
.
. . .
�ł �ł
.
. .
�ł �ł
�ł
0 0 0 0 0 0 an an-1 an-2 łł
0 0 0 0 0 0 � � � 0 0 an
by ly dodatnie.
Twierdzenie 29. Jeśli W () = a0n + a1n-1 + � � � + an-1 + an = 0 jest wielo-
mianem Hurwitza tzn. wszystkie jego pierwiastki majał ujemne cześci rzeczywiste,
ł

1
to V () := nW = ann + an-1n-1 + . . . + a1 + a0 jest także wielomianem

Hurwitza.
Przyk 12. Wyznaczyć obszar asymptotycznej stabilności dla uk
lad ladu
ńł
dx
= -x + ąy
�ł
dt
dy
= �x - y + ąz
dt
ół
dz
= �y - z,
dt
gdzie ą, � sał parametrami rzeczywistymi.
53
Rozdzia 7. Stabilność rozwiazań równań różniczkowych
l
ł
W rozważanym przypadku wielomian charakterystyczny jest równy


-1 -  ą 0


W () = � -1 -  ą = 3 + 32 + (3 - 2ą�) + (1 - 2ą�).


0 � -1 - 
Macierz Hurwitza dla tego wielomianu ma postać
�ł �ł
3 1 0
�ł łł
1 - 2ą� 3 - 2ą� 3 .
0 0 1 - 2ą�
Jej minory g ówne sał równe: ł%1 = 3, ł%2 = 8 - 4ą�, ł%3 = (8 - 4ą�)(1 - 2ą�).
l
1
Jak latwo zauważyć sał one wszystkie dodatnie dla ą� < .

2
7.4. Punkty osobliwe równania różniczkowego zupe
lnego
Rozważmy równanie
P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0 (7.1)
określone w obszarze ściagalnym D �" R2, gdzie P, Q " C1(D, R). Poprzednio
ł
zak lożeniach można by
ladaliśmy, że |P (t, x)| + |Q(t, x)| > 0. Przy tych za lo
powyższe równanie sprowadzić do postaci
P (t, x)
x2 = - , x = x(t),
Q(t, x)
lub
Q(t, x)
t2 = - , t = t(x)
P (t, x)
równań majacych jednoznaczne rozwiazanie przy zadanych WPC.
ł ł
Definicja 27. Jeśli istnieje taki punkt (t0, x0) " D w którym
P (t0, x0) = Q (t0, x0) = 0
to taki punkt nazywamy punktem osobliwym równania różniczkowego (7.1).
Przez punkt osobliwy może przechodzić wiele krzywych ca
lkowych, lub żadna
krzywa ca
lkowa.
Przyk 13.
lad
Rozwiazaniem ogólnym równania
ł
2t dx - x dt = 0, (x, t) " R2
jest rodzina krzywych
t = Cx2, C " R.
Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym przez który przechodzi nieskończenie wiele
ca  jest to tzw. punkt wez
lek lowy.
ł
54
7.4. Punkty osobliwe równania różniczkowego zupe
lnego
Przyk 14.
lad
Rozwiazaniem ogólnym równania
ł
2at dt + 2bx dx = 0, (x, t) " R2, a, b > 0
jest rodzina krzywych
at2 + bx2 + C, C " R+.
Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym tzw. punktem wirowym.
Przyk 15.
lad
Rozwiazaniem ogólnym równania
ł
2at dt - 2bx dx = 0, (x, t) " R2, a, b > 0
jest rodzina krzywych
at2 - bx2 + C, C " R.
Przez punkt osobliwy (0, 0) przechodzał dwie krzywe ca
lkowe:

a a
x = x(t) = t, x = x(t) = - t, t " R.
b b
Punkt (0, 0) jest to tzw. punktem siod
lowy.
Przyk 16.
lad
Równanie
(2t + x) dt + (2x - t) dx = 0, (x, t) " R20
ma rozwiazanie ogólne, które we wspó
lrzednych biegunowych ma postać
ł ł
r = Ce�/2 C " R+.
Punkt osobliwy (0, 0) jest w tym wypadku tzw. punktem asymptotycznym.
Rozdzia 8
l
Transformata Laplace a
8.1. Podstawowe definicje i twierdzenia
Niech �(t) bedzie funkcjał zmiennej niezależnej t " R. zaś s := � + i� liczbał
ł
zespolona.
ł
Definicja 28. Transformatał Laplace a (transformata) funkcji �(t) nazywamy funkcje
ł ł
�(s) (zmiennej niezależnej s) określonał wzorem

"
�(s) := e-st�(t)dt (8.1)
0
Aby transformata funkcji �(t) by określona, wystarczy aby ca (8.1) istnia
la lka la
dla pewnego zbioru wartości s, przy czym dla pozosta s ca ta może nie
lych lka
istnieć. Może sie zdarzyć, że ca (8.1) nie istnieje dla żadnej wartości s. W tym
lka
ł
przypadku przekszta Laplace a nie jest możliwe.
lcenie
Przyk 17. Niech �(t) a" 1. Latwo policzyć
lad

"
�(s) = e-stdt = limA+" 0A e-stdt =
0

dz
= limA+" -1 e-�A(cos �A-i sin �A) z =
s 1 z

= limA+" -1 e-�A(cos �A - i sin �A) - 1 =
s

1
, gdy � > 0
s
= (8.2)
nie istnieje , gdy � d" 0.
Uwaga 6. Można pokazać, że jeśli �(t) jest w przedziale 0 d" t d" " ograniczona,
albo rośnie ze wzreostem t jak tą lub eąt, gdzie ą > 0, to jej transformata istnieje.
57
Rozdzia 8. Transformata Laplace a
l
d�
Twierdzenie 30. (Transformata pochodnej) Niech �(t) = . Wówczas �(s) =
dt
s�(s) - �(0), gdzie symbol �(0) oznacza granice prawostronnał w zerze funkcji �.
ł
d�
Dowód. Niech �(t) = . Z definicji
dt

" "
d�
�(s) = e-st�(t) dt = e-st (t) dt =
dt
0 0

"

= e-st�(t) |" + s e-st�(t) dt.
0
0
Jeśli !e(s) na tyle duże, że limt" e-st�(t) = 0, to �(s) = s�(s) - �(0). Jeśli
�(t) ograniczona, lub wzrost �(t) jest wielomianowy (funkcja rośnie jak tą), to
wystarczy przyjałć � > 0, jeśli �(t) rośnie jak funkcja eąt, to wystarczy przyjałć
� > ą.
c.k.d.
Ostatni wzór jest prawdziwy, gdy funkcja � jest ciag jeśli nie, a konkretnie,
la;
ł
jeśli ma nieciag skokowe, to we wzorze tym pojawiał sie dodatkowe sk
lości ladniki.
ł ł
W szczególnym przypadku, gdy �(0) = 0 dostajemy �(s) = s�(s). Otrzymany
rezultat latwo uogólnić.

dn�
Twierdzenie 31. Jeśli �(t) = , to �(s) = sn�(s) - sn-1�(0) - sn-2�2 (0) -
dtn
. . .-�(n-1)(0), gdzie symbol �(k)(0) oznacza granice prawostronnał w zerze funkcji
ł
�(k).

t
�(s)
Twierdzenie 32. Jeśi �(t) := �(�)d�, to �(s) = .
0 s
d�
Dowód. Zauważmy, że �(t) = (t), �(0) = 0. Tak wiec na podstawie
dt ł
wzoru na transformate pochodnej �(s) = s�(s), skad bezpośrednio wynika teza
ł ł
twierdzenia.
c.k.d.
Twierdzenie 33. Transformata Laplace a jest operatorem liniowym.
8.2. Wyznaczanie transformaty równania różniczkowego
Niech dane bedzie równanie różniczkowe
ł
x2 + ax = f(t), a " R
z warunkiem poczatkowym Cauchy ego x(0) = x0. Mnożac obie strony równania
ł ł
przez e-st i ca w granicach od 0 do +" możemy napisać
lkujac
ł

"
e-stx2 (t) dt + a x(s) = f(s).
0
Korzystajac ze wzoru na transformate pochodnej i warunku poczatkowego dosta-
ł ł ł
jemy równanie
(s + a)x(s) - x0 = f(s),
58
8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty
skad
ł
f(s) + x0
x(s) = ,
s + a

"
gdzie f(s) = e-stf(t) dt.
0
Analogicznie dla równania
x2 2 + ax2 + bx = f(t), a, b " R
mnożac je obustronnie przez e-st i ca w granicach od 0 do " dostajemy
lkujac
ł ł

x s2 + as + b = f(s) + s x(0) + x2 (0) + a x(0),
skad
ł
f(s) + (s + a) x(0) + x2 (0)
x = .
s2 + as + b
Te samał metode możemy zastosować do uk równań o wspó lych.
ladu lczynnikach sta
ł ł
Przyk rozważmy
ladowo

x2 + a1x + b1y2 + c1y = f1(t)
x2 + a2x + b2y2 + c2y = f2(t).
Mnożymy każde z tych równań przez e-st i ca
lkujemy w przedziale od 0 do +".
W konsekwencji po przekszta lad
lceniach otrzymujemy uk równań algebraicznych

s + a1 b1s + c1 x(s) f1(s) + x(0) + b1y(0)
= .
s + a2 b2s + c2 y(s)
f2(s) + x(0) + b2y(0)
Jeśli macierz tego uk jest nieosobliwa, to rozwiazanie tego uk jest określone
ladu ladu
ł
wzorami Cramera.
Transformate Laplace a można również z powodzeniem stosować do pewnych
ł
równań różniczkowo ca
lkowych np. do równania

t
x2 (t) + ax(t) + b x(�) d� = f(t).
0
Ogólnie można bez k podać wzory na transformate dowolnego równania
lopotu
ł
liniowego rzedu n-tego o sta wspó ladu
lych lczynnikach i uk równań różniczkowych
ł
o macierzy liczbowej.
8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty
Za óżmy, że dana jest funkcja �(s). Zajmiemy sie problemem wyznaczenia
l
ł
�(t):

"
e-st�(t)dt = �(s) (8.3)
0
Równanie ca powyżej nazywa sie równaniem Laplace a.
lkowe
ł
59
Rozdzia 8. Transformata Laplace a
l
Twierdzenie 34. Dla danych ai " R, �i(s), (i = 1, . . . , n) mamy


n n
"

e-st ai�i(t) dt = ai�i(s).
0
i=1 i=1
Stosunkowo latwo jest rozwiazać równanie Laplaceał w przypadku, gdy prawa

ł
strona tego równania jest funkcjał wymierna.
ł
Twierdzenie 35. Jeśli
U(s)
�(s) =
V (s)
gdzie U(s) i V (s) sał wielomianami, przy czym st.U(s) = m < st.V (s) = n oraz
V (s) = (s - s1) . . . (s - sn), przy czym si = sj jeśli i = j, to

n

U (sk)
k
�(t) = es t. (8.4)
2
V (sk)
k=1
U(s)
Dowód. Iloraz można przedstawić w postaci sumy u
lamków prostych
V (s)
n

U(s) ck
= .
V (s) s - sk
k=1
Mnożac obie strony przez s - s1 mamy
ł
n

U(s) ck
(s - s1) = c1 + (s - s1) .
V (s) s - sk
k=2
Przechodzac obustronnie z s do granicy w s1 i stosujac regu e de l Hospitala
l
ł ł ł
dostajemy
U (s1)
= c1.
2
V (s1)
Podobnie obliczamy wartości pozosta wspó lad
lych lczynników ci. Tak wiec rozk
ł
na u proste ma postać:
lamki
n

U(s) U(sk) 1
= � .
2
V (s) V (sk) s - sk
k=1
Latwo sie przekonać, że równanie

ł

"
1
e-st�(t)dt =
s - sk
0
ma rozwiazanie
ł
k
�(t) = es t.
Wobec tych faktów i liniowości transformaty otrzymujemy teze twierdzenia.
ł
c.k.d.
60
8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty
Twierdzenie 36. (Twierdzenie o rozk Niech
ladzie)
U(s)
�(s) = ,
s W (s)
gdzie U(s) i W (s) sał wielomianami odpowiednio stopni m i n, przy czym m d" n.
Zak
ladamy, że W (0) = 0 i wielomian W nie ma pierwiastków wielokrotnych tj.
W (s) = (s - s1) . . . (s - sn), przy czym si = sj dla i = j. Wtedy

n

U(0) U (si)
i
�(t) = + es t.
2
W (0) si W (si)
i=1
Dowód. Przyjmujac V (s) = s W (s) możemy na podstawie poprzedniego twier-
ł
dzenia napisać
n

U (si)
i
�(t) = es t,
d
[s W (s)]|s=s
dt
i=0 i
przy czym s0 := 0. Z kolei
d
2
[s W (s)]|s=s = W (si) + siW (si) .
i
dt
Dla i = 0 drugi sk jest równy zeru, a dla i = 0 zeruje sie pierwszy sk
ladnik ladnik,
ł
tak wiec
ł
d
[s W (s)]|s=s = W (s0) = W (0),
0
dt
d
2
[s W (s)]|s=s = siW (si) dla i = 0.

i
dt
Podstawienie tych wzorów do (8.4) kończy dowód.
c.k.d.
Twierdzenie 37. (Twierdzenie o przesunieciu rzeczywistym) Niech �(s) bedzie
ł ł
transformatał funkcji �(t), a � niech bedzie funkcjał zdefiniowanał wzorem:
ł

0 dla t < t0,
�(t) :=
� (t - t0) dla t > t0.
Wówczas
0
�(s) = e-st �(s).
Dowód. Z definicji transformaty:

" "
�(s) = e-st�(t)dt = e-st� (t - t0) dt =
t0
0
" "
0 0 0
= e-s(�+t )�(�)d� = e-st e-s��(�)d� = e-st �(s).
0 0
c.k.d
61
Rozdzia 8. Transformata Laplace a
l
Twierdzenie 38. (Twierdzenie o przesunieciu zespolonym) Niech �(t) := e-t�(t),
ł
gdzie  " R, lub  " C. Wowczas �(s) = �(s + ).
Dowód. Wprost z definicji:

" "
�(s) = e-ste-t�(t) dt = e-(s+)t�(t) dt = �(s + ).
0 0
c.k.d

t
Twierdzenie 39. (Twierdzenie o splocie) Niech �(t) := �1(�)�2(t - �) d�.
0
Wówczas �(s) = �1(s)�2(s).

t
d
Obserwacja 1. Jeśli �(t) := �1(�)�2(t - �) d�, to �(s) = s�1(s)�2(s).
dt 0
Rozdzia 9
l
Dodatek
9.1. Tablice transformat Laplace a
Transformatał Laplace a (transformata) funkcji �(t) nazywamy funkcje �(s)
ł ł
(zmiennej niezależnej s " C) określonał wzorem

"
� (s) = e-st�(t)dt.
0
Potegi
ł
� (t) � (s)
1
1
s
1
t
s2
n!
tn , n " N
sn+1

Ą
t-1/2
s
"
Ą
t1/2
2s3/2
� (ą + 1)
tą , ą > -1
są+1
63
Rozdzia 9. Dodatek
l
Funkcje trygonometryczne
� (t) � (s)
� (t) � (s)
k
sin kt
2ks2
s2 + k2 sin kt + kt cos kt
(s2 + k2)2
s
cos kt
s2 + k2 2k3
sin kt - kt cos kt
(s2 - k2)2
2k2
sin2 kt
s (s2 + 4k2)
k2
1 - cos kt
s (s2 + k2)
s2 + 2k2
cos2 kt
s (s2 + 4k2)
k3
kt - sin kt
s2 (s2 + k2)
2ks
t sin kt
(s2 + k2)2
a sin bt - b sin at 1
ab (a2 - b2) (s2 + a2) (s2 + b2)
s2 - k2
t cos kt
cos bt - cos at s
(s2 + k2)2
a2 - b2 (s2 + a2) (s2 + b2)
2 (1 - cos kt) s2 + k2
ln
sin at cos bt 1 a + b 1 a - b
t s2
arctan + arctan
t 2 s 2 s
sin at a
arctan
t s
Funkcje hiperboliczne
� (t) � (s)
� (t) � (s)
k
sinh kt
2ks
s2 - k2 t sinh kt
(s2 - k2)2
s
cosh kt
s2 - k2 s2 + k2
t cosh kt
(s2 - k2)2
2k2
sinh2 kt
s (s2 - 4k2)
2 (1 - cosh kt) s2 - k2
ln
t s2
s2 - 2k2
cosh2 kt
s (s2 - 4k2)
Funkcje wyk
ladnicze
� (t) � (s)
� (t) � (s)
"
1
1 2 e-a s
eat
" e-a /4t "
s - a
Ąt s
"
1 a 2
teat " e-a /4t e-a s
(s - a)2
2 Ąt3
n! eat - ebt 1
tneat , n " N
(s - a)n+1 a - b (s - a) (s - b)
ebt - eat aeat - bebt s
s-a
ln
s-b
t a - b (s - a) (s - b)
64
9.1. Tablice transformat Laplace a
Funkcje wyk i trygonometryczne
ladnicze
� (t) � (s)
k
eat sin kt
(s - a)2 + k2
s - a
eat cos kt
(s - a)2 + k2
Funkcje wyk i hiperboliczne
ladnicze
� (t) � (s)
k
eat sinh kt
(s - a)2 - k2
s - a
eat cosh kt
(s - a)2 - k2
Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne
� (t) � (s)
2k2s
sin kt sinh kt
s2 + 4k4

k s2 + 2k2
sin kt cosh kt
s4 + 4k4

k s2 - 2k2
cos kt sinh kt
s4 + 4k4
s3
cos kt cosh kt
s4 + 4k4
Funkcja Bessela
� (t) � (s)
1
J0 (kt) "
s2 + k2
Uogólniona funkcja b edu
l
ł
� (t) � (s)
"

e-a s
a a
" "
erfc = 1 - erf
2 t 2 t
s
"

2 e-a s
t a
"
2 e-a /4t - a erfc "
Ą
2 t
s s
"

"
2 e-a s
a
"
eabeb t erfc b t + " "
2 t
s s + b
"

"
2
a a be-a s
" "
-eabeb t erfc b t + + erfc "
2 t 2 t s s+b
( )
Delta Diraca
� (t) � (s)
� (t) 1
� (t - t0) e-st0
65
Rozdzia 9. Dodatek
l
Funkcja Heaviside a
� (t) � (s)
� (t - a) H (t - a) e-as� (s)
e-as
H (t - a)
s

0 dla t < 0
przy czym H(t) := .
1 dla t e" 0
Ogólne prawa
� (t) � (s)
eat� (t) � (s - a)
� (t - a) H (t - a) e-as� (s)
�(n) (t) sn� (s) - s(n-1)� (0) - . . . - �(n-1) (0)
tn� (t) (-1)n dn � (s)
dsn

t
� (�) � (t - �) d� � (s) � (s)
0
9.2. Przyk
ladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia
dzienne
Pisemny egzamin z równań różniczkowych jest dwucześciowy. Cześć pierwsza
ł ł
ma na celu sprawdzenie bieg rachunkowej, a cześć druga, umownie zwana
lości
ł
jest cześciał ,,teoretyczna i nie ma ona charakteru wy acznie rachunkowego. Czas
l
ł ł ł
trwania egzaminu z cześci zadaniowej: 110 minut. Czas trwania egzaminu z cześci
ł ł
teoretycznej: 50 minut. Każde zadanie jest punktowane w skali 0 - 10 punktów.
Poniżej zaprezentowane sał zestawy zadań egzaminacyjnych z kilku sesji. Sał one
reprezentatywne, jeśli chodzi o poziom trudności tematów. W poszczególnych
latach zmienia sie jednak czesciowo zakres wyk lu lu,
ladanego materia materia a
ł ł
wiec i tematyczny zakres zadań.
ł
9 czerwiec 2001 Cześć zadaniowa:
ł
1. Rozwiałż równanie Ricattiego
1
x2 = 2t2 + x - 2x2
t
wiedzac, że jednał z jego ca jest wielomian stopnia pierwszego.
lek
ł
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
ł
t2(t + 1)x2 2 - 2x = 0
1
wiedzac, że jego ca szczególnał jest funkcja x1(t) = 1 + .
lkał
ł t
3. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
x2 2 + 3x2 + 2x = e-t cos2 t.
Wskazówka. Tak przekszta ć prawał strone, aby możliwe by zastosowanie
l lo
ł
metody przewidywań.
66
9.2. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia dzienne
ladowe
4. Metodał Frobeniusa znajdz
fundamentalny uk rozwiazań równania
lad
ł
2tx2 2 + (1 + t)x2 + x = 0.
5. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

-3 1 3t
x2 = x +
2 -4 e-t

1
spe .
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
ł ł
-1
6. Zbadaj stabilność po równowagi uk równań:
lożeń ladu

dx
= y - x2 - x
dt
dy
= 3x - x2 - y.
dt
Cześć teoretyczna:
ł
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
2. Znajdz
krzywał o tej w lrzednych
lasności, że trapez utworzony przez osie wspó
ł
Ox i Oy, stycznał do krzywej i prostał prostopad ał do osi Ox w punkcie
l
styczności, ma sta pole równe 3a2.
le
3. Rozstrzygnij dla jakich a i b rozwiazania równania x2 2 + ax2 + bx = 0 sał
ł
ograniczone na ca prostej?
lej
20 czerwiec 2001 Cześć zadaniowa:
ł
1. Rozwiałż równanie różniczkowe

t3
3t2 (1 + ln x) dt = 2x - dx
x
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
ł
tx2 2 - (2t + 1)x2 + (t + 1)x = 0
wiedzac, że jego ca szczególnał jest funkcja postaci eąt.
lkał
ł
3. Znajdz
fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
lad
ł ł
mowany w punkcie t0 = 0, równania

x2 2 + tx2 - 2t2 + 1 x = 0.
67
Rozdzia 9. Dodatek
l
4. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł
�ł �ł
0 -1 1
�ł łł
x2 = 0 0 1 x
-1 0 1
�ł �ł
1
1
�ł łł
spe .
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
ł ł 2
1
2
5. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilności dla uk
ladu
ńł
dx
= -x + ąy
�ł
dt
dy
= �x - y + ąz
dt
ół
dz
= �y - z,
dt
gdzie ą, � sał parametrami rzeczywistymi.
Cześć teoretyczna:
ł
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
ł
xIV + 2x2 2 2 + ax2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci gra-
ł
ficznej.
2. Wyznacz krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty miedzy osiami wspó
lrzednych
ł ł
ma sta ał d d.
l lugość
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierzał uk z zadania (4) w cześci zadaniowej tj.
ladu
ł
�ł �ł
0 -1 1
�ł łł
A = 0 0 1 .
-1 0 1
13 wrzesień 2001 Cześć zadaniowa:
ł
1. Rozwiałż problem poczatkowy Cauchy ego
ł

t2 + x2 dt - 2tx dx = 0, x(4) = 0.
2. Rozwiałż równanie

t t
+ 1 dt + - 1 dx = 0.
x x
3. Znajdz
ca ogólnał równania
lke
ł
x(6) + 2x(4) + x(2) = 0.
4. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł
�ł �ł
5 -1 -4
�ł łł
x2 = -12 5 12 x
10 -3 -9
68
9.2. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia dzienne
ladowe
�ł �ł
1
�ł łł
spe
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 1 .
ł ł
1
5. Znajdz
uk fundamentalny rozwiazań w postaci szeregów potegowych unor-
lad
ł ł
mowanych w punkcie t0 = 0 równania:
1
x2 2 + x = 0
1 - t
i określ rozwiazanie ogólne.
ł
Cześć teoretyczna:
ł
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
ł
xIV + 2x2 2 2 + ax2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci gra-
ł
ficznej.
2. Wyznacz krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty miedzy osiami wspó
lrzednych
ł ł
ma sta ał d d.
l lugość
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierzał uk z zadania (4) w cześci zadaniowej tj.
ladu
ł
�ł �ł
0 -1 1
�ł łł
A = 0 0 1 .
-1 0 1
27 wrzesień 2001 Cześć zadaniowa:
ł
1. Rozwiałż równanie
2
x + 2
x2 = 2
t + x - 1
2. Odgadnij rozwiazanie szczególne, a nastepnie rozwiałż równanie Riccatiego
ł ł
x2 - 2tx + x2 = 5 - t2
1
3. Wiedzac, że funkcja x (t) = jest rozwiazaniem szczególnym równania
ł t ł
2t2x2 2 + 3tx2 - x = 0 rozwiałż równanie
1
2t2x2 2 + 3tx2 - x =
t
(obniżajac jego rzad jednym z dwóch poznanych sposobów) a nastepnie wskaż
ł ł ł
jego ca spe
lke lniajacał warunki poczatkowe x (1) = 1, x2 (1) = -4.
ł ł ł 3
4. Znajdz
ca ogólnał uk równań:
lke ladu
ł

-1 2 2et
x2 = x +
1 1 0
69
Rozdzia 9. Dodatek
l
5. Rowiałż równanie
1
x2 2 + 3x2 + 2x =
et + 1
Cześć teoretyczna:
ł
1. Znajdz
krzywał o tej w ladu lrzednych
lasności, że trapez utworzony przez osie uk wspó
ł
Ox, Oy, stycznał do krzywej i prostał prostopad ał do osi Ox w punkcie styczności,
l
ma sta pole równe 3a2.
le
2. Dla jakich a i b równanie x2 2 +ax2 +bx = 0 ma przynajmniej jedno rozwiazanie
ł
x (t) = 0 takie, że lim x (t) = 0.

t+"
3. Zbadaj stabilność wszystkich po równowagi uk
lożeń ladu

x2 = ln (y2 - x)
y2 = x - y - 1
Definicja. Niech X przestrzeń Banacha, f : X �" U X, u : R �" I X,
U " topX, I " topR. Po ladu
lożeniem równowagi uk u2 = f (u) nazywamy
�" " U takie, że f (�") = 0.
10 czerwiec 2002 Cześć zadaniowa:
ł
1. Wyznacz ca szczególnał równania różniczkowego
lke
ł
t(x2 + x2) = x
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(1) = 1.
ł ł
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
ł
tx2 2 - x2 - 4t3x = 0,
2
wiedzac, że jego ca szczególnał jest funkcja et .
lkał
ł
3. Znajdz
dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
ł
2
x2 2 + x2 + x = 0.
t
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t0 = 0.
4. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

-1 -6
x2 = x
3 5

2
spe .
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
ł ł
2
5. Wyznacz wszystkie po równowagi uk
lożenia ladu

x2 = xy
y2 = x2 + y2 - 4
i zbadaj ich stabilność.
70
9.2. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia dzienne
ladowe
6. Przy pomocy transformaty Laplace a rozwiałż równanie
x2 2 - 2x2 + x = 1 + t, x(0) = 0, x2 (0) = 0.
Cześć teoretyczna:
ł
1. Rozważamy dwuwymiarowy uk równań:
lad

x2 = ax + by
y2 = cx + dy,
gdzie a, b, c, d " R. Wykaż, że jeśli jedno z jego rozwiazań jest funkcjał okre-
ł
sowa, to wszystkie rozwiazania, oprócz rozwiazania zerowego, sał funkcjami
ł ł ł
okresowymi.
2. Wyznacz równanie krzywej przechodzacej przez punkt (1, 1), dla której pole
ł
trójkata utworzonego przez oś Ot, stycznał i wektor wodzacy punktu styczności
ł ł
jest sta i równa sie 1.
le
ł
3. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
17 czerwiec 2002 Cześć zadaniowa:
ł
1. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
"
xdx = (tdx + xdt) 1 + x2.
2. Rozwiałż równanie
x2 - 2tx + x2 = 5 - t2.
3. Znajdz
dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
ł
t(t - 1)x2 2 + (1 + t)x2 - x = 0.
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t0 = 0, lub t0 = 1.
4. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

5 3
x2 = x
-3 -1

1
spe .
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
ł ł
-1
5. Wyznacz wszystkie po równowagi uk
lożenia ladu

x2 = -x + y
y2 = x + y - 2xy
i zbadaj ich stabilność.
71
Rozdzia 9. Dodatek
l
6. Przy pomocy transformaty Laplace a wyznacz ca sczególnał uk równań
lke ladu
ł

x2 = -2y + 3t
y2 = 2x + 4
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(0) = 2, y(0) = 3.
ł ł
Cześć teoretyczna:
ł
1. Jakie warunki muszał spe wartości i wektory w macierzy uk
lniać lasne ladu:

x2 = ax + by
y2 = cx + dy,
(a, b, c, d " R), aby jego rozwiazanie u(t) = (x(t), y(t)) spe
lniajace warunek
ł ł
poczatkowy x(0) = y(0) = 1 mia w
lo lasność:
ł
a) limt" u(t) = (0, 0),
b) limt" u(t) = ",
c) u jest funkcjał ograniczona.
ł
2. Wyznacz równanie różniczkowe rodziny krzywych x = eCt i równanie różniczkowe
rodziny krzywych ortogonalnych do danych.
3. Oblicz eA dla macierzy:

-2 -4
A = .
1 2
16 wrzesień 2002 Cześć zadaniowa:
ł
1. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
(1 + t + x + tx) x2 = 1.
2. Rozwiałż równanie

dx = x2et - x dt.
3. Znajdz
dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
ł
t(t - 1)x2 2 + (-1 + 3t)x2 + x = 0.
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t0 = 0, lub t0 = 1.
4. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

3 2
x2 = x
-5 1

-1
spe .
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
ł ł
1
72
9.2. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia dzienne
ladowe
5. Wyznacz wszystkie po równowagi uk
lożenia ladu

x2 = 3 - 4 + x2 + y
y2 = ln (x2 - 3)
i zbadaj ich stabilność.
6. Przy pomocy transformaty Laplace a wyznacz ca sczególnał uk równań
lke ladu
ł

x2 = -x + y + et
y2 = x - y + et
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(0) = 1, y(0) = 1.
ł ł
Cześć teoretyczna:
ł
1. Jakie warunki muszał spe wartości i wektory w macierzy uk
lniać lasne ladu:

x2 = ax + by
y2 = cx + dy,
(a, b, c, d " R), aby jego rozwiazanie u(t) = (x(t), y(t)) spe
lniajace warunek
ł ł
poczatkowy x(0) = y(0) = 1 mia w
lo lasność:
ł
a) limt" u(t) = (0, 0),
b) limt" u(t) = ",
c) u jest funkcjał ograniczona.
ł
C
2. Wyznacz równanie różniczkowe rodziny hiperbol x = i równanie różniczkowe
t
rodziny krzywych ortogonalnych do danych.
3. Oblicz eA dla macierzy:

3 -1
A = .
2 0
9 czerwiec 2003 Cześć zadaniowa:
ł
1. Rozwiałż równanie różniczkowe
6txdt + (4x + 9t2)dx = 0.
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
ł
dx
= e2t + (1 + 2et)x + x2
dt
wiedzac, że jego ca szczególnał jest funkcja postaci x1(t) = -et.
lkał
ł
3. Znajdz
fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
lad
ł ł
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + etx2 - x = 0.
73
Rozdzia 9. Dodatek
l
4. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł
�ł �ł
0 8 0
�ł łł
x2 = 0 0 -2 x
2 8 -2
�ł �ł
1
�ł łł
spe
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 0 .
ł ł
0
5. Korzystajac z transformaty Laplace a znajdz
ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł ł
różniczkowych

d2y
d2x
+ = t2
dt2 dt2
d2y
d2x
- = 4t
dt2 dt2
spe
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 8, x2 (0) = y(0) = y2 (0) =
ł ł
0.
Cześć teoretyczna:
ł
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
ł

x2 = x + ay + y2
y2 = bx - 3y - x2.
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci gra-
ł
ficznej.
2. Znajdz
krzywał x = x(t) o tej w
lasności, że trójkat utworzony przez oś Ot,
ł
stycznał do krzywej oraz promień wodzacy w punkcie styczności jest trójkatem
ł ł
równoramiennym.
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierzał uk z zadania (4) w cześci zadaniowej tj.
ladu
ł
�ł �ł
0 8 0
�ł łł
A = 0 0 -2 x
2 8 -2
16 czerwiec 2003 Cześć zadaniowa:
ł
1. Rozwiałż równanie różniczkowe
(t2 + 2tx - x2)dt + (x2 + 2tx - t2)dx = 0,
wiedzac, że ma ono czynnik ca
lkujacy postaci � = �(t + x).
ł ł
2. Rozwiałż równanie
2xx2 = t(x2 2 + 4).
3. Znajdz
fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
lad
ł ł
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x2 2 - t3x2 + (t + 1)x = 0.
74
9.2. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia dzienne
ladowe
4. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
x2 2 2 - x2 2 + 4x2 - 4x = 3e2t - 4 sin 2t.
5. Korzystajac z transformaty Laplace a rozwiałż równanie
ł

t
x(t) = 3t2 - e-t - x(�)et-�d�.
0
Cześć teoretyczna:
ł
1. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na p
laszczyz
nie
Oab.
2. Znajdz
rodzine krzywych ortogonalnych do krzywych rodziny
ł
x2 = Cet + t + 1,
gdzie C " R.
3. Przeprowadz
dyskusje dla jakich rzeczywistych parametrów p i q wszystkie
ł
rozwiazania równania x2 2 + px2 + qx = 0 sał ograniczone na ca prostej?
lej
ł
Zaznacz wyznaczony zbiór na p
laszczyz
nie Opq.
22 wrzesień 2003 Cześć zadaniowa:
ł
1. Znajdz
ca ogólnał równania
lke
ł

1 1
x2 2 + t - x2 - x = 0,
2 t
jeśli x1(t) = t2 jest jego ca szczególna.
lkał
ł
2. Znajdz
fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
lad
ł ł
mowany w punkcie t0 = 0, równania

x2 2 - tx2 - 2t2 + 1 x = 0.
3. Wyznacz ca ogólnał uk równań
lke ladu
ł

x2 = 2y - x,
e3t
y2 = 4y - 3x + .
e2t+1
4. Korzystajac z transformaty Laplace a rozwiałż równanie
ł

t
x(t) = 3t2 - e-t - x(�)et-�d�.
0
75
Rozdzia 9. Dodatek
l
5. Sprowadz
równanie
x2 2 + 2rx2 + �2x = 0 (r > 0, � > 0)
z warunkami poczatkowymi x(0) = x0, x2 (0) = x1, do równoważnego mu
ł
uk równań rzedu pierwszego oraz zbadaj stabilność po równowagi
ladu lożenia
ł
tego uk
ladu.
Cześć teoretyczna:
ł
1. Znajdz
krzywe, dla których trójkat utworzony przez oś Oy, stycznał i wektor
ł
wodzacy punktu styczności jest równoramienny (o podstawie na osi Oy).
ł
2. Przeprowadz
dyskusje dla jakich rzeczywistych parametrów p i q wszystkie
ł
rozwiazania równania x2 2 + px2 + qx = 0 sał ograniczone na ca prostej?
lej
ł
Zaznacz wyznaczony zbiór na p
laszczyz
nie Opq.
3. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilności dla uk
ladu
ńł
dx
= -x + ąy
�ł
dt
dy
= �x - y + ąz
dt
ół
dz
= �y - z,
dt
gdzie ą, � sał parametrami rzeczywistymi.
7 czerwiec 2004 Cześć pierwsza:
ł
1. Rozwiałż równanie różniczkowe
(t2 + tx + 3x2)dt - (t2 + 2tx)dx = 0.
2. Rozwiałż równanie
4 1
x2 = - - x + x2,
t2 t
2
wiedzac, że jego ca szczególnał jest funkcja x(t) = .
lkał
ł t
3. Metodał Frobeniusa znajdz
fundamentalny uk rozwiazań równania
lad
ł
(1 - t2)x2 2 - 2tx2 + 30x = 0
w otoczeniu punktu t0 = -1 (grupa A), t0 = 1 (grupa B).
4. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
x2 2 2 - x2 2 + 4x2 - 4x = 3e2t - 4 cos 2t.
5. Wyznacz ca ogólnał uk równań
lke ladu
ł
�ł �ł
0 1 1
�ł łł
x2 = 1 0 1 x.
2 2 1
Cześć druga:
ł
76
9.2. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia dzienne
ladowe
1. Zdefiniuj transformate Laplace a funkcji. Oblicz transformate Laplace a ca
lki
ł ł
szczególnej uk równań
ladu

2x2 + y2 - 2x = 1
x2 + y2 - 3x - 3y = 2
z warunkiem poczatkowym x(0) = 0, y(0) = 0.
ł
2. Obniż rzad równania
ł
x2 2 - x2 tan t + 2x = 0
wiedzac, że funkcja x1(t) = sin t jest jego ca szczególna.
lkał
ł ł
3. Stosujac twierdzenie Lapunowa zbadaj stabilność rozwiazania zerowego uk
ladu
ł ł
równań

x2 = tan(y - x)
Ą
y2 = 2y - 2 cos - x .
3
15 czerwiec 2004 Cześć pierwsza:
ł
1. Rozwiałż zagadnienie poczatkowe
ł
tx2x2 + x3 = 1, x(1) = 2.
2. Rozwiałż równanie Lagrange a
tx2 (x2 + 2) = x.
3. Metodał Frobeniusa znajdz
fundamentalny uk rozwiazań równania
lad
ł
tx2 2 - (2t - 1)x2 + (t - 1)x = 0
w otoczeniu punktu t0 = 0.
4. Wyznacz ca szczególnał równania
lke
ł
x2 2 2 - 2x2 2 + x2 = tet + 5, x(0) = 2, x2 (0) = 2, x2 2 (0) = -1.
5. Wyznacz ca ogólnał uk równań
lke ladu
ł
�ł �ł
5 -4 0
�ł łł
x2 = 1 0 2 x.
0 2 5
Cześć druga:
ł
1. Stosujac transformate Laplace a rozwiałż problem poczatkowy
ł ł ł
x2 2 - 6x2 + 9x = t2e3t, x(0) = 2, x2 (0) = 6.
2. Wiedzac, że jedno z rozwiazań równania Riccatiego
ł ł
x2 - 2tx + x2 = 5 - t2
jest wielomianem, sprowadz
to równanie do równania Bernoulliego.
77
Rozdzia 9. Dodatek
l
3. Wyznacz wartości parametrów a i b, dla których zerowe rozwiazanie uk
ladu
ł

x2 = x + ay + y2
y2 = bx - 3y - x2
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
13 wrzesień 2004 Cześć pierwsza:
ł
1. Rozwiałż zagadnienie poczatkowe
ł
2
3
x2 - 9t2x = (t5 + t2)x , x(0) = 0.
2. Rozwiałż równanie
(t sin x + x cos x) dt + (t cos x - x sin x) dx = 0.
3. Znajdz
krzywa, której styczne tworzał z osiami wspó
lrzednych trójkat o po-
ł ł ł
wierzchni 2a2.
4. Znajdz
fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych o
lad
ł ł
środku w punkcie t0 = 0 równania:
x2 2 + tx2 - (2t2 + 1)x = 0.
5. Wyznacz ca ogólnał uk równań
lke ladu
ł
�ł �ł
-3 2 2
�ł łł
x2 = -3 -1 1 x.
-1 2 0
Cześć druga:
ł
1. Stosujac transformate Laplace a rozwiałż problem poczatkowy
ł ł ł
x2 2 + 4x2 + 13x = te-t, x(0) = 0, x2 (0) = 2.
2. Wiedzac, że jedno z rozwiazań równania Riccatiego
ł ł
x2 = -x2 + 1 + t2
jest wielomianem stopnia pierwszego, sprowadz
to równanie do równania Ber-
noulliego.
3. Stosujac twierdzenie Lapunowa zbadaj stabilność rozwiazania zerowego uk
ladu
ł ł
równań

x2 = ln (3ey - 2 cos x)
"
3
y2 = 2ex - 8 + 12y.
24 wrzesień 2004 Cześć pierwsza:
ł
78
9.2. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia dzienne
ladowe
1. Rozwiałż równanie
4 1
x2 = - - x + x2,
t2 t
2
wiedzac, że jego ca szczególnał jest funkcja �(t) = .
lkał
ł t
2. Znajdz
krzywe, dla których odcinek odciety na osi rzednych Ox (w uk
ladzie
ł ł
wspó
lrzednych Otx) przez styczna, jest równy kwadratowi rzednej punktu
ł ł ł
styczności.
3. Znajdz
ca szczególnał równania
lke
ł
(t + 1)x2 2 - (2 - t)x2 + x = 0
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(0) = 2, x2 (0) = -1 w postaci szeregu
ł ł
potegowego o środku w punkcie t0 = 0.
ł
4. Metodał wartości i wektorów w ladu
lasnych, lub przez sprowadzenie macierzy uk
do postaci Jordana, wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

-1 -2 3
x2 = x +
3 4 3
spe
lniajacał warunek poczatkowy
ł ł

-4
x(0) = .
5
5. Metodał transformaty Laplace a wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł
2x2 + y2 - y = t
x2 + y2 = t2
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(0) = 1, y(0) = 0.
ł ł
Cześć druga:
ł
1. Obniż rzad równania różniczkowego
ł
(1 + 2t)x2 2 + 4tx2 - 4x = 0
wiedzac, że jego ca szczególnał jest funkcja �(t) = e-2t.
lkał
ł
2. Zbadaj dla jakich parametrów a i b, zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
3. Wyznacz równanie różniczkowe rodziny parabol x(t) = at2 + bt.
9 czerwiec 2005 Cześć pierwsza:
ł
1. Wyznacz krzywał leżacał w pierwszej ćwiartce uk wspó
ladu lrzednych, dla której
ł ł
styczne tworzał z osiami uk trójkaty o sta polu równym 2.
ladu lym
ł
79
Rozdzia 9. Dodatek
l
2. Wyznacz ca szczególnał równania różniczkowego
lke
ł
2t2x + x3
x2 =
2t3 - tx2
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(1) = 1.
ł ł
3. Wyznacz ca szczególnał równania
lke
ł
(2t - t2)x2 2 + (t2 - 2)x2 + 2(1 - t)x = 0
spe lka
lniajacał warunki poczatkowe x(1) = 0, x2 (1) = 1, jeśli dana jest ca
ł ł
szczególna tego równania x1(t) = et.
4. Wyznacz ca szczególnał uk
lke ladu
ł

2 -1 0
x2 = x +
1 0 2et

1
spe .
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
ł ł
2
5. Wyznacz wszystkie po równowagi uk
lożenia ladu

x2 = x1x2
1
x2 = x2 + x2 - 4
2 1 2
i zbadaj ich stabilność.
(Po ladu
lożeniem równowagi uk autonomicznego x2 = f(x), f : Rn Rn,
x : R �" I Rn nazywamy wektor x0 " Rn taki, że f(x0) = 0.)
Cześć druga:
ł
1. Podaj definicje transformaty Laplace a i stosujac ja, rozwiałż równanie różniczkowe
ł ł ł
x2 - x = sin t, x(0) = 1.
2. Metodał szeregów potegowych rozwiałż równanie x2 = x2 + t2, x(0) = 1. Wy-
ł
znacz cztery pierwsze wyrazy rozwiniecia.
ł
3. Rozważamy dwuwymiarowy uk równań:
lad

x2 = ax + by
y2 = cx + dy,
gdzie a, b, c, d " R. Wykaż, że jeśli jedno z jego rozwiazań jest funkcjał okre-
ł
sowa, to wszystkie rozwiazania, oprócz rozwiazania zerowego, sał funkcjami
ł ł ł
okresowymi.
13 czerwiec 2005 Cześć pierwsza:
ł
1. Wyznacz krzywa, dla której rzedna punktu przeciecia dowolnej stycznej z
ł ł ł
osiał Ox (w uk Otx) jest o dwie jednostki mniejsza od odcietej punktu
ladzie
ł
styczności.
80
9.3. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia zaoczne
ladowe
2. Rozwiałż równanie
(tx - t2)x2 + x2 - 3tx - 2t2 = 0
znajdujac czynnik ca
lkujacy zależny od jednej zmiennej.
ł ł
3. Znajdz
ca ogólnał niejednorodnego liniowego równania różniczkowego
lke
ł
tx2 2 + 2x2 - tx = et
wiedzac, że ca szczególnał skojarzonego równania jednorodnego jest funkcja
lkał
ł
et
x1(t) = .
t
dy dy
dx
4. Wyznacz ca szczególnał uk + -4y = 1, x+ -3y = t2 spe
lke ladu lniajacał
ł dt dt dt ł
warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 2, y(0) = -2.
ł
5. Wyznacz wszystkie po równowagi uk
lożenia ladu

x2 = x2 - x2 - x1
1 1
x2 = 3x1 - x2 - x2
2 1
i zbadaj ich stabilność.
(Po ladu
lożeniem równowagi uk autonomicznego x2 = f(x), f : Rn Rn,
x : R �" I Rn nazywamy wektor x0 " Rn taki, że f(x0) = 0.)
Cześć druga:
ł
1. Metodał szeregów potegowych wyznacz ca szczególnał równania
lke
ł ł
x2 2 + t2x2 + x = t, x(0) = 1, x2 (0) = 0.
Wyznacz pieć pierwszych wyrazów rozwiniecia.
ł ł
2. Dla jakich a " R równanie x2 2 +x2 +ax = 0 ma przynajmniej jedno rozwiazanie
ł
x(t) = 0 takie, że limt+" x(t) = 0.

3. Podaj definicje transformaty Laplace a i stosujac ja, rozwiałż równanie różniczkowe
ł ł ł
x2 + 4x = 1, x(0) = 1.
9.3. Przyk
ladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia
zaoczne
Pisemny egzamin z równań różniczkowych jest jednocześciowy. Czas trwania
ł
egzaminu: zazwyczaj 120 minut. Każde zadanie jest punktowane w skali 0 - 10
punktów. Poniżej zaprezentowane sał zestawy zadań egzaminacyjnych z kilku
sesji.
16 czerwiec 2002
1. Rozwiałż równanie jednorodne
x
x2 =
t + x
81
Rozdzia 9. Dodatek
l
2. Wyznacz ca szczególnał równania Bernoulliego
lke
ł
t(x2 + x2) = x
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(1) = 1.
ł ł
3. Wyznacz 4 pierwsze wyrazy rozwiniecia rozwiazania problemu poczatkowego
ł ł ł
x(x2 + 1) = t, x(0) = 1
w szereg potegowy w otoczeniu punktu t0 = 0.
ł
4. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
x2 2 + 3x2 + 2x = t.
5. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

-1 -6
x2 = x
3 5

2
spe .
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
ł ł
2
6. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na p
laszczyz
nie
Oab.
20 wrzesień 2002
1. Rozwiałż równanie różniczkowe
dx x
+ = -tx2.
dt t
2. Znajdz
fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
lad
ł ł
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + x2 + tx = 0.
3. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

0 -1
x2 = x
3 4

-1
spe .
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
ł ł
1
82
9.3. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia zaoczne
ladowe
4. Korzystajac z transformaty Laplace a znajdz
ca szczególnał równania
lke
ł ł
x2 2 - x2 = sin t
spe
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 1, x2 (0) = 0.
ł ł
5. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
x2 2 - 2x2 + x = t + et.
6. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + 2x2 + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na p
laszczyz
nie
Oab.
28 wrzesień 2002
1. Rozwiałż równanie

1 + et xx2 = et.
2. Rozwiałż równanie
tx - x2
x2 = .
t2
3. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
x2 2 - x = t2 - t + 1.
4. Znajdz
ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

2 1 1
x = x
4 1
spe
lniajacał warunek poczatkowy postaci
ł ł

1
x(1) = .
0
5. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na p
laszczyz
nie
Oab.
14 czerwiec 2003
1. Rozwiałż równanie różniczkowe
6txdt + (4x + 9t2)dx = 0.
83
Rozdzia 9. Dodatek
l
2. Znajdz
fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
lad
ł ł
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + tx2 - x = 0.
3. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

0 -3
x2 = x
1 2

1
spe .
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
ł ł
0
4. Korzystajac z transformaty Laplace a znajdz
ca szczególnał równania
lke
ł ł
dx
- 3x = e2t
dt
spe
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 1.
ł ł
5. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
x2 2 + 2x2 + x = tet.
6. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na p
laszczyz
nie
Oab.
20 wrzesień 2003
1. Rozwiałż równanie różniczkowe
dx x
+ = -tx2.
dt t
2. Znajdz
fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
lad
ł ł
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + x2 + tx = 0.
3. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

0 -1
x2 = x
3 4

-1
spe .
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
ł ł
1
84
9.3. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia zaoczne
ladowe
4. Korzystajac z transformaty Laplace a znajdz
ca szczególnał równania
lke
ł ł
x2 2 - x2 = sin t
spe
lniajacał warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 1, x2 (0) = 0.
ł ł
5. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
x2 2 - 2x2 + x = t + et.
6. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + 2x2 + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na p
laszczyz
nie
Oab.
3 paz
dziernik 2003
1. Znajdz
ca szczególnał równania
lke
ł
x2 = -ex+t+1,
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(0) = -1.
ł ł
2. Znajdz
fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
lad
ł ł
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x2 2 - x2 + tx = 0.
3. Wyznacz ca ogólnał uk równań
lke ladu
ł

0 -1
x2 = x.
2 2
4. Korzystajac z transformaty Laplace a rozwiałż zagadnienie poczatkowe
ł ł
x2 2 + x = t, x(0) = 0, x2 (0) = 1.
5. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
x2 2 - 2x2 + x = e-t.
6. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na p
laszczyz
nie
Oab.
85
Rozdzia 9. Dodatek
l
12 czerwiec 2004
1. Rozwiałż jednorodne równanie różniczkowe
(t2 + tx + 3x2)dt - (t2 + 2tx)dx = 0.
2. Znajdz
ca szczególnał w postaci szeregu potegowego, unormowanego w
lke
ł ł
punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + tx2 - x = 0, x(0) = 1, x2 (0) = 0.
3. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
x2 2 2 - x2 2 + 4x2 - 4x = 3e2t.
4. Wyznacz ca szczególnał uk równań
lke ladu
ł

3 -3 4
x2 = x +
2 -2 -1

0
z warunkiem poczatkowym x(0) = .
ł
0
5. Stosujac transformate Laplace a oblicz x-sował sk ca szczególnej uk
ladował lki ladu
ł ł
równań

2x2 + y2 - 2x = 1
x2 + y2 - 3x - 3y = 2
z warunkiem poczatkowym x(0) = 0, y(0) = 0.
ł
6. Dla jakiej wartości parametru a zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + ax2 2 2 + x2 2 + 2x2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
17 wrzesień 2004
1. Rozwiałż problem poczatkowy Cauchy ego
ł
x2 sin t = x ln x, x(Ą/2) = 1.
2. Znajdz
ca szczególnał w postaci szeregu potegowego, unormowanego w
lke
ł ł
punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + x2 - t2x = 0, x(0) = -1, x2 (0) = 1.
3. Wyznacz ca szczególnał równania
lke
ł
x2 2 - 2x2 + 2x = te-t
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(0) = x2 (0) = 0.
ł ł
86
9.3. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia zaoczne
ladowe
4. Wyznacz ca ogólnał uk równań
lke ladu
ł

x2 = 2x - y,
y2 = x + 2et.
5. Stosujac transformate Laplace a oblicz y-kował sk ca szczególnej uk
ladował lki ladu
ł ł
równań

2x2 + y2 - 2x = 1
x2 + y2 - 3x - 3y = 2
z warunkiem poczatkowym x(0) = 0, y(0) = 0.
ł
6. Dla jakich wartości parametrów a i b, zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + 2x2 2 2 + 4x2 2 + ax2 + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
27 wrzesień 2004
1. Rozwiałż problem poczatkowy Cauchy ego
ł
x2 = x ln x, x(0) = e.
2. Znajdz
ca szczególnał w postaci szeregu potegowego, unormowanego w
lke
ł ł
punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + (t + 1)x = 0, x(0) = 1, x2 (0) = 1.
3. Wyznacz ca szczególnał równania
lke
ł
x2 2 - 6x2 + 9x = t
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(0) = 0, x2 (0) = 1.
ł ł
4. Wyznacz ca ogólnał uk równań
lke ladu
ł

x2 = x + 2y,
y2 = -1x + y.
2
5. Dla jakich wartości parametrów a i b, zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + 2x2 2 2 + 4x2 2 + ax2 + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
6. Stosujac transformate Laplace a rozwiałż problem poczatkowy Cauchy ego
ł ł ł
x2 2 + x = sin t, x(0) = 1, x2 (0) = -1.
11 czerwiec 2005
87
Rozdzia 9. Dodatek
l
1. Rozwiałż równanie
tx
+ x2 = 1.
x2
2. Wyznacz ca szczególnał równania
lke
ł
x
x2 - = t + 1
1 - t2
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(0) = 0.
ł ł
3. Wyznacz ca ogólnał równania
lke
ł
(2t - t2)x2 2 + (t2 - 2)x2 + 2(1 - t)x = 0,
jeśli dana jest ca szczególna tego równania x1(t) = et.
lka
4. Wyznacz ca ogólnał uk
lke ladu
ł

2 -1 0
x2 = x + .
1 0 2et
5. Metodał szeregów potegowych wyznacz ca szczególnał równania różniczkowego
lke
ł ł
x2 2 + tx2 - x = 0
spe
lniajacał warunek poczatkowy x(0) = 1, x2 (0) = 0. Wyznacz cztery pierw-
ł ł
sze niezerowe wyrazy szeregu.
6. Zbadaj dla jakich parametrów a i b zerowe rozwiazanie równania
ł
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + 2x2 + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
Bibliografia
[1] F.Bierski, Funkcje zespolone, Szeregi i przekszta Fouriera, Przekszta
lcenia lcenia
ca Laplace a, Przekszta Laurenta (Z), wyd. piate poprawione, Uczel-
lkowe lcenia
ł
niane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 1999.
[2] B.P.Conrad, Differential Equations, A Systems Approach, Pearson Education,
Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 2003.
[3] B.P.Demidowicz, Matematyczna teoria stabilności, Wyd. Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1972.
[4] L.Drużkowski, Analiza Matematyczna dla fizykow, Cześć II, Wybrane zagadnie-
ł
nia, Wyd. UJ, Kraków 1997.
[5] A.F.Filippow, Zbiór zadań z równań różniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.
[6] I.M. Gelfand, Wyk z algebry liniowej, wyd. 3, PWN, Warszawa 1977.
lady
[7] R.Gutowski, Rownania różniczkowe zwyczajne, Wyd. Naukowo-Techniczne, War-
szawa 1971.
[8] M.I.Kontorowicz, Rachunek operatorowy i procesy w uk elektrycznych,
ladach
Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1968.
[9] N.M.Matwiejew, Metody ca
lkowania równań różniczkowych zwyczajnych, PWN,
Warszawa 1972.
[10] J.Niedoba, W.Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i czastkowe, Zadania z
ł
matematyki, Wydanie trzecie, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne
AGH, Kraków 2001.
[11] J.Ombach, Wyk z równań różniczkowych, Wyd. UJ, Kraków 1996.
lady
[12] A.Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne (teoria i metody numeryczne
z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych), Wyd.
Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.
[13] A.Pelczar, J.Szarski, Wstep do teorii równań różniczkowych, Cześć I, PWN, War-
ł ł
szawa 1987.
[14] A.Pelczar, Wstep do teorii równań różniczkowych, Cześć II, PWN, Warszawa
ł ł
1989.
[15] K.K.Ponomariew, Uk i rozwiazywanie równań różniczkowych w zagadnie-
ladanie
ł
niach technicznych, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1969.
[16] W.Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni tech-
nicznych, Cześć II, PWN, Warszawa 1983.
ł
89
Bibliografia
[17] F.G.Tricomi,Differential Equations, Blackie&Son Limited, 1961.
[18] D.G.Zill, Differential Equations with Boundary-Value Problems, PWS-KENT Pu-
blishing Company, Boston, 1986.
90