plik


ÿþSU 1578 Janina Niedoba WiesBaw Niedoba RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE I CZ STKOWE ZADANIA Z MATEMATYKI Pod redakcj Bogdana Choczewskiego Wydanie trzecie UCZELNIANE WYDAWNICTWA NAUKOWO-DYDAKTYCZNE KRAKÓW 2001 AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM.STANIS A AWA STASZICA W KRAKOWIE BG AGH 1578 pozycja wydawnictw dydaktycznych Akademii Górniczo-Hutniczej im. StanisBawa Staszica w Krakowie © Wydawnictwa AGH, Kraków 2001 ISSN 0239 6114 Redaktor Naczelny Uczelnianych Wydawnictw Naukowo-Dydaktycznych: prof. dr hab. in|. Andrzej Wichur Z-ca Redaktora Naczelnego: mgr Beata Barszczewska-Wojda Recenzent: prof. dr hab. Jan Janas Projekt okBadki i strony tytuBowej: Beata Barszczewska-Wojda Opracowanie edytorskie i korekta: Ewa Kmiecik UkBad typograficzny i skBad komputerowy systemem TEX: Jacek Kmiecik, preTEXt tel. 0 501 494 601, e-mail: info@pretext.com.pl Redakcja Uczelnianych Wydawnictw Naukowo-Dydaktycznych al. Mickiewicza 30, 30 059 Kraków tel. (012) 617-32-28, tel./fax (012) 636-40-38 e-mail: wydagh@uci.agh.edu.pl BG AGH Spis tre[ci 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Uwagi ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Równania rzdu pierwszego  istnienie i jednoznaczno[ rozwizania zagadnienia Cauchy ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego . . . . . . . . 8 1.3.1. Równania o rozdzielonych zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2. Równania sprowadzalne do równaD o rozdzielajcych si zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3. Równania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.4. Równanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.5. Równania zupeBne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.6. Czynnik caBkujcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.7. Równania Lagrange a i Clairauta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.8. Równanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego . . . . . . . . . . . . 35 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego . . . . . . . . . . . . 36 2.1.1. UkBady liniowe jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2. UkBady liniowe niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.3. Metody rozwizywania ukBadów liniowych jednorodnych o staBych wspóBczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2. UkBady nieliniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego . . . . . . . . . . . 62 2.2.1. CaBkowanie ukBadów w postaci symetrycznej . . . . . . . . . . . . . . . 63 3. Równania wy|szych rzdów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1. Równania liniowe rzdu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.1. Równania liniowe jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.2. Równania liniowe niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.3. Równanie Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1.4. Rozwizywanie równaD liniowych za pomoc szeregów potgowych i szeregów potgowych uogólnionych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2. Równania nieliniowe rzdu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2.1. Rozwizywanie równaD nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4. Równania o pochodnych czstkowych rzdu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1. Równania liniowe i quasi-liniowe rzdu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.1. Uwagi wstpne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3 BG AGH Spis tre[ci 4.1.2. Równania liniowe jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.1.3. Rozwizanie problemu Cauchy ego dla równania jednorodnego . . . . . 96 4.1.4. Równania quasi-liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego . . . . . . . . . . . . 103 5.1. K lasyfikacja równaD liniowych rzdu drugiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2. Posta kanoniczna równania z dwiema zmiennymi niezale|nymi . . . . . . . . 104 5.3. Zagadnienia graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4. Równania typu hiperbolicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.5. Równania typu eliptycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.6. Równania typu parabolicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.7. Metoda rozdzielania zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6. Przybli|one metody rozwizywania zwyczajnych równaD ró|niczkowych . . . . . . 154 6.1. Metoda CzapBygina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.2. Metoda Rungego Kutty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 7. Pewne metody ró|nicowe dla równaD ró|niczkowych o pochodnych czstkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.1. Metoda ró|nicowa dla równaD ró|niczkowych typu parabolicznego . . . . . . . 163 7.1.1. Zagadnienie Cauchy ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.1.2. Zagadnienie mieszane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.2. Metoda ró|nicowa dla równaD ró|niczkowych typu hiperbolicznego . . . . . . 166 7.2.1. Zagadnienie Cauchy ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2.2. Zagadnienie mieszane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.3. Metoda ró|nicowa dla równaD ró|niczkowych typu eliptycznego . . . . . . . . 168 4 BG AGH Przedmowa PomysB napisania tej serii skryptów powstaB kilkana[cie lat temu w zespole pra- cowników ZakBadu RównaD Funkcyjnych Instytutu Matematyki AGH, prowadzcych zajcia z matematyki ze studentami WydziaBu Górniczego. Zawarte w serii przykBady i wiczenia maj sBu|y studentom jako pomoc przy studiowaniu matematyki, a prowadzcym zajcia uBatwi organizowanie samodzielnej pracy studentów. Opracowano kilka podrczników z tej serii, odpowiadajcych dziaBom matematy- ki, realizowanym w ramach podstawowego wykBadu matematyki na wikszo[ci studiów w AGH. Przyjto wspólne zasady dla wszystkich skryptów: liczba przykBadów i zadaD jest ograniczona do kilkunastu na ka|dy tydzieD zaj; sposób rozwizywania zadaD danego typu obja[niono na przykBadach; ka|dy rozdziaB jest poprzedzony cz[ci teo- retyczn, zawierajc definicje i twierdzenia potrzebne do zrozumienia przykBadów i rozwizywania zadaD. Wikszo[ zadaD pochodzi z pozycji wymienionych w spisie literatury, ale w ka|dej cz[ci s te| zadania pomysBu autorów. Seria skBada si z nastpujcych skryptów: Lech Anczyk: Szeregi liczbowe i funkcyjne (SU 1067); Andrzej Gonet: Obliczanie caBek funkcji jednej zmiennej (SU 987); Janina Niedoba, WiesBaw Niedoba: Równania ró|niczkowe zwyczajne i czstkowe (SU 1578); WiesBaw Niedoba: Miara i caBka, rachunek prawdopodobieDstwa (SU 1038); Sylwester PrzybyBo, Andrzej Szlachtowski: Wstp do analizy matematycznej. Elementy algebry i geometrii analitycznej (SU 1039). W trzecim wydaniu niniejszego skryptu przedstawiono metody rozwizywania równaD ró|niczkowych zwyczajnych i czstkowych. Szerzej zostaBy opisane metody macierzowe dla liniowych ukBadów równaD zwyczajnych rzdu pierwszego. Zadania z liniowych równaD czstkowych rzdu drugiego dotycz ich klasyfikacji i rozwi- zaD podstawowych zagadnieD granicznych dla równaD typu hiperbolicznego. Ostatni rozdziaB ma nieco odmienny charakter i jest po[wicony pewnym metodom nume- rycznym, gBównie ró|nicowym, rozwizywania równaD ró|niczkowych zwyczajnych i czstkowych ró|nych typów. Kraków, luty 2001 Bogdan Choczewski 5 BG AGH BG AGH RozdziaB 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego 1.1. Uwagi ogólne Definicja 1.1. Równaniem ró|niczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierajce zmienn niezale|n x, nieznan funkcj y, oraz jej pochodne y , y , . . . , y(n) F (x, y, y , . . . , y(n)) = 0 (1.1) gdzie F : Rn+2 ’! R. Definicja 1.2. Rzd równania (1.1) jest równy n, je|eli w równaniu (1.1) wy- stpuje pochodna y(n), natomiast nie wystpuj pochodne rzdów wy|szych ni| n. Definicja 1.3. Rozwizaniem równania (1.1) w [a, b] nazywamy funkcj y o tej wBasno[ci, |e F (x, y(x), y (x), . . . , y(n)(x)) = 0. x"[a,b] Definicja 1.4. Problemem pocztkowym Cauchy ego dla równania (1.1) nazy- wamy nastpujce zagadnienie: Znalez rozwizanie równania (1.1) speBniajce warunek pocztkowy (1.2) ñø y(x0) =y0 ôø ôø ôø òø y (x0) =y1 (1.2) . . ôø . ôø ôø óø y(n-1)(x0) =yn-1 gdzie: x0 =" ]a, b[, y0, y1, . . . , yn-1 s zadanymi liczbami. Definicja 1.5. CaBk szczególn równania (1.1) nazywamy rozwizanie zacho- wujce jednoznaczno[ rozwizania problemu pocztkowego Cauchy ego. Definicja 1.6. Wykres caBki szczególnej nazywamy krzyw caBkow. Definicja 1.7. Zbiór wszystkich caBek szczególnych równania (1.1) nazywamy caBk ogóln. 7 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego Definicja 1.8. Rozwizanie odznaczajce si tym, |e w ka|dym punkcie jego wykresu zagadnienie Cauchy ego nie ma jednoznacznego rozwizania, nazywamy roz- wizaniem osobliwym. 1.2. Równania rzdu pierwszego  istnienie i jednoznaczno[ rozwizania zagadnienia Cauchy ego Definicja 1.9. Niech f : R2 ƒ" Q (x, y) ’! f(x, y) " R. Mówimy, |e f speBnia warunek Lipschitza ze wzgldu na zmienn y, je|eli istnieje k > 0, takie |e dla dowolnych (x, y1) " Q, (x, y2) " Q jest speBniona nierówno[ |f(x, y1) - f(x, y2)| k |y1 - y2| . Rozwa|my problem pocztkowy Cauchy ego (1.1a), (1.1b): y = f(x, y) (1.1a) y(x0) =y0 (1.1b) gdzie: x0 " ]a, b[, yo " [c, d], oraz f : [a, b] × [c, d] ’! R. Twierdzenie 1.1. Je|eli f jest cigBa i speBnia warunek Lipschitza ze wzgldu na y w [a, b] × [c, d], to istnieje ´ >0, takie, |e w przedziale [x0 - ´, x0 + ´] problem pocztkowy (1.1a), (1.1b) posiada dokBadnie jedno rozwizanie. 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego 1.3.1. Równania o rozdzielonych zmiennych Równanie postaci X(x)dx + Y (y)dy = 0 (1.3) nazywamy równaniem o rozdzielonych zmiennych. CaBk ogóln tego równania jest X(x)dx + Y (y)dy =0 lub x y X(x)dt + Y (t)dt = C. x0 y0 8 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Uwaga 1.1. Równanie m(x)n(y)dx + m1(x)n1(y)dy =0 jes t równowa|ne al- ternatywie m(x) n1(y) dx + dy =0 (" m1(x) =0 (" n(y) =0, m1(x) n(y) natomiast równanie dy = f1(x)f2(y) dx mo|na zapisa w postaci dy = f1(x)dx (" f2(y) =0. f2(y) S to tak zwane równania o rozdzielajcych si zmiennych. PrzykBad 1.1. Rozpatrzmy równanie x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy =0. Po rozdzieleniu zmiennych mamy x y dx + dy =0, 1+x2 1+y2 skd po scaBkowaniu otrzymujemy caBk ogóln wyj[ciowego równania w postaci (1 + x2)(1 + y2) =C2. PrzykBad 1.2. Rozwiza równanie 2y by - y2 dx - (b2 + x2)dy =0, std dx dy - =0 (" y by - y2 =0. b2 + x2 2y by - y2 Po scaBkowaniu mamy x b - y arc tg + = C. b y Jest to caBka ogólna wyj[ciowego równania. Z warunku y by - y2 = 0 otrzymujemy y = 0 (" y = b. Zauwa|my, |e roz- wizanie y = b jest rozwizaniem osobliwym, poniewa| przez ka|dy punkt (x0, b) tej krzywej przechodzi jedna z krzywych caBkowych rozwizania ogólnego (jest naruszona jednoznaczno[ rozwizania); y = 0 jest rozwizaniem szczególnym. 9 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego Zadania Rozwiza równania: 1. (x +2x3)dx +(y +2y3)dy =0 dx dy 2. " + =0 1 - x2 1 - y2 3. 2x 1 - y2 dx + y dy =0 4. tg x sin2 y dx +cos2 x ctg y dy =0 5. y - xy = a(1 + x2y ) Rozwiza problem pocztkowy Cauchy ego: 6. (1 + ex)yy = ex, y(0) = 1 7. (xy2 + x)dx +(x2y - y)dy =0, y(0) = 1 À 8. y sin x = y ln y, y =1 2 9. Znalez krzywe, w których odcinek stycznej zawarty midzy osiami wspóBrzd- nych, jest podzielony na poBowy w punkcie styczno[ci. Wyznaczy krzyw prze- chodzc przez punkt M(2, 3). Odpowiedzi 1. x2 + y2 + x4 + y4 = C2 2. arc sin x +arc s in y = C 3. x2 - 1 - y2 = C (" y =1 (" y = -1 4. ctg2 y =tg2 x + C Cx 5. y = + a 1+ax y2 " 2 6. 2e = e(1 + ex) 2 7. 1 + y2 = 1 - x2 8. y =1 dx y 9. = - , xy = C, xy =6 dy x 10 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego 1.3.2. Równania sprowadzalne do równaD o rozdzielajcych si zmiennych Równanie postaci dy y = f (1.4) dx x gdzie f : R ’! R  cigBa, jest równaniem jednorodnym. W równaniu (1.4) wprowadzamy now zmienn zale|n y u = , x skd y = u + xu . Po wstawieniu do (1.4) i rozdzieleniu zmiennych mamy: du dx = (" f(u) =u (" x =0. f(u) - u x W równaniu dy = f(ax + by + c) (1.5) dx wprowadzamy now zmienn zale|n u = ax + by + c. Dalej postpujemy analogicznie jak w przypadku (1.4). Natomiast w równaniu a1x + b1y + c1 y = f (1.6) a2x + b2y + c2 a1 b1 przy zaBo|eniu |e det = 0 i f : R ’! R jest funkcj cigB, wprowadzamy a2 b2 nowe zmienne: niezale|n ¾ i zale|n ·, jak poni|ej x = ¾ + ± , y = · + ² gdzie ± i ² speBniaj ukBad równaD a1± + b1² + c1 =0 . a2± + b2² + c2 =0 Aatwo sprawdzi, |e równanie (1.6) przyjmie posta równania jednorodnego d· a1¾ + b1· = f . d¾ a2¾ + b2· 11 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego PrzykBad 1.3. Rozwiza równanie xy =3y - 2x - 2 xy - x2, dla x =0. Zauwa|my, |e równanie jest okre[lone dla xy - x2 0. Zapiszmy je w postaci y y y =3 - 2 - 2 - 1. x x Niech: y u = , x y = u + xu , " u + xu =3u - 2 - 2 u - 1, skd " du dx " = (" u - 1 - u - 1 =0. x 2(u - 1) - 2 u - 1 Po scaBkowaniu " ln u - 1 - 1 =ln |x| +ln|C| , czyli " u - 1 - 1 =Cx. Wracajc do poprzednich zmiennych mamy ostatecznie caBk ogóln rozwa|anego równania y = x 1+(1+Cx)2 , gdzie: x =0 i 1 +Cx > 0. Z warunku " u - 1 - u - 1 =0 mamy u = 1 (" u = 2, zatem odpowiednio y = x (x = 0), y = 2x (x > 0), s równie| rozwizaniami naszego równania. Pierwsze z nich (y = x) jest rozwizaniem osobliwym, drugie (y =2x)  rozwizaniem szczególnym. PrzykBad 1.4. Rozwiza równanie (x + y - 2)dx +(x - y +4)dy =0. Zauwa|my, |e 1 1 det = -2 =0. 1 -1 12 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Rozwizujc ukBad ± + ² - 2=0 ± - ² + 4 = 0 otrzymujemy ± = -1, ² =3. Dokonujc zamiany zmiennych x = ¾ - 1 y = · + 3 otrzymujemy równanie jednorodne (¾ + ·)d¾ +(¾ - ·)d· =0. CaBkujc to równanie po uprzednim przedstawieniu · = u¾, otrzymujemy ¾2 +2·¾ - ·2 = C. Wracajc do zmiennych x i y, mamy ostatecznie caBk ogóln wyj[ciowego równania wpos taci x2 +2xy - y2 - 4x +8y = C. RozwizaD osobliwych nie ma. Zadania Rozwiza równania: x + y 1. y = - x " 2. y dx +(2 xy - x)dy =0 3. xdy - y dx = y dy dx dy 4. = , x =0 y + x y - x dx dy 5. = 2x2 - 2xy +2y2 y2 - 4xy 1 - 3x - 3y 6. y = 1+x + y 7. (2x - y +4)dy +(x - 2y +5)dx =0 Rozwiza problem pocztkowy Cauchy ego: 8. (x2 + y2)dx - 2xy dy =0, y(4) = 0 9. y + x2 + y2 dx - xdy =0, y(1) = 0 10. Znalez krzyw, dla której trójkt, utworzony przez o[ Oy, styczn i wektor wodzcy punktu styczno[ci, jest równoramienny. 13 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego Odpowiedzi C x 1. y = - x 2 x 2. +ln|y| = C (" y =0 y 3. x = y(C - ln |y|) (" y =0 y 4. x2 + y2 = Ce- arc tg x 5. 2y3 - 3xy2 +6x2y = C 6. 3x + y +2ln|x + y - 1| = C (" y =1 - x 7. (x + y - 1)3 = C(x - y +3) 8. (x - C)2 - y2 = C2; (x - 2)2 - y2 =4 1 1 1 9. y = Cx2 - , (C>0); y = (x2 - 1) 2 C 2 y2 - x2 y C 10. y = , x2 + y2 = Cx; y = - , y = , (C =0); 2xy x x y - x2 + y2 y = , x + x2 + y2 = C x 1.3.3. Równania liniowe Równanie postaci y + p(x)y = q(x) (1.7) nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym, natomiast y + p(x)y = 0 (1.8) równaniem liniowym jednorodnym. Twierdzenie 1.2. Je|eli p, q " C[a,b], to dla dowolnych (x0, y0) "]a, b[×R, istnieje dokBadnie jedno rozwizanie równania (1.7) speBniajce warunek pocztkowy y(x0) =y0. Konstrukcja rozwizania ogólnego dla równania liniowego niejednorodnego (1.7) Szukamy caBki ogólnej y równania liniowego jednorodnego (1.8). Aatwo spraw- dzi, |e y = Ce-P (x), gdzie P jest funkcj pierwotn do p. 14 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego CaBk szczególn równania (1.7) mo|na znalez metod uzmienniania staBej. Przewidujemy, |e funkcja postaci y1 = C(x)e-P (x), gdzie C " C1[a, b], jest rozwizaniem równania (1.7). W celu znalezienia funkcji C(x), wstawiamy y1 do równania (1.7). Otrzymujemy C (x)e-P (x) = q(x), skd C(x) = q(x)eP (x) dx. Rozwizanie ogólne równania liniowego niejednorodnego (1.7) jest sum caBki ogólnej równania liniowego jednorodnego (1.8) i caBki szczególnej równania liniowego niejed- norodnego (1.7). Zatem y = e-P (x) C + q(x)eP (x)dx . PrzykBad 1.5. Rozwiza równanie xdy +(x2 - y)dx =0. Zapiszmy to równanie w postaci równowa|nej dy y (a) - = -x (" (b) x =0. dx x Rozwizujemy równanie liniowe jednorodne dy y - =0. dx x CaBk ogóln tego równania jest funkcja y = Cx. Niech y1 = C(x)x bdzie caBk szczególn równania (a). Wstawiajc y1 do (a) otrzymujemy C x = -x, s td C(x) =-x. Zatem caBka ogólna rozwa|anego równania jest nastpujca y = x(C - x). Z warunku (b) wynika, |e rozwizaniami s równie| póBosie x =0 (y =0). 15 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego PrzykBad 1.6. Rozwiza równanie 2y dx +(y2 - 2x)dy =0. Zauwa|my, |e równanie to mo|na doprowadzi do równania liniowego ze wzgldu na funkcj x = x(y) dx x y - = - (" y =0. dy y 2 Postpujc analogicznie jak w przykBadzie 1.5 otrzymujemy 1 x = Cy - y2. 2 Zadania Znalez caBk ogóln równania: dy 2y 1. + = x3 dx x 1 2. y - y tg x = cos x 3. (1 + y2)dx = 1+y2 sin y - xy dy Rozwiza problem pocztkowy Cauchy ego: 4. xy + y - ex =0, y(a) =b y 5. y - - 1 - x =0, y(0) = 0 1 - x2 6. Wykaza, |e równanie y + ay = emx, a, m " R ma rozwizanie szczególne postaci y1 = bemx, je|eli m = -a oraz y1 = bxemx, je|eli m = -a. Odpowiedzi 1 C 1. y = x4 + 6 x2 1 2. y = C + x cos x 3. x 1+y2 +cos y = C ex ab - ea 4. y = + x x " 1 1+x 5. y = x 1 - x2 +arc s in x 2 1 - x 16 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego 1.3.4. Równanie Bernoulliego Równanie Bernoulliego ma nastpujc posta y + p(x)y = q(x)yr (1.9) gdzie: p, q " C[a,b], r " R \{0, 1} (dla r "{0, 1} równanie (1.9) jest liniowe). Przy dokonanych zaBo|eniach, istnieje jednoznaczne rozwizanie równania (1.9) przechodzce przez punkt (x0, y0), gdzie x0 "]a, b[ i y0 =0 (lub y0 > 0). Konstrukcja rozwizania Dzielimy obie strony równania (1.9) przez yr, a nastpnie wprowadzamy now zmienn zale|n z = y1-r. Równanie (1.9) przyjmuje posta 1 z + p(x)z = q(x). 1 - r Jest to równanie liniowe niejednorodne. PrzykBad 1.7. Rozwiza problem pocztkowy Cauchy ego (a) i (b): y - 2xy =2x3y2 (a) y(0) = 1 (b) Dzielimy obie strony równania przez y2 1 1 y - 2x =2x3, y2 y 1 nastpnie wprowadzamy now zmienn z = , s td y 1 y = -z , y2 zatem z +2xz = -2x3. Po rozwizaniu (patrz podrozdz. 1.3.3) 2 z = Ce-x +1- x2, czyli 1 y = Ce-x2 +1- x2 17 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego jest caBk ogóln równania (a). Wstawiajc (b) do caBki ogólnej mamy 1 1 = , C +1 skd C =0. A wic rozwizaniem problemu (a) (b) jest funkcja 1 y = . 1 - x2 Zauwa|my, |e równie| prosta y = 0 jest rozwizaniem równania (a), jest ona asymp- tot wszystkich pozostaBych krzywych caBkowych. PrzykBad 1.8. Rozwiza równanie x " y + y = x y. 1 - x2 Postpujc analogicznie jak w przykBadzie (1.7) (tzn. dzielc obie strony równania " " przez y i dokonujc podstawienia z = y) otrzymujemy x 1 z + z = x, 2(1 - x2) 2 skd 1 4 z = C 1 - x2 - (1 - x2), 3 a wic " 1 4 y = C 1 - x2 - (1 - x2) 3 jest caBk ogóln równania (a). Równie| funkcja y = 0 speBnia równanie (a). Uzasadnij, |e jest ona rozwizaniem osobliwym. PrzykBad 1.9. Rozwiza równanie dx - (xy + x2y3)dy =0 (a) Zapiszmy to równanie w postaci dx - xy = x2y3. dy 18 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Zauwa|my, |e uzyskane równanie jest równaniem Bernoulliego o niewiadomej funkcji x = x(y). Rozwizaniem ogólnym tego równania jest 1 x = . 1 2 Ce- y2 - y2 +2 Prosta x = 0 bdca asymptot wszystkich krzywych caBkowych zawartych w caBce ogólnej, jest równie| krzyw caBkow równania (a). Zadania Rozwiza równania: dy y 1. + = -xy2 dx x dy 2. 2xy - y2 + x =0 dx 1 3. y dx +(x - x3y)dy =0 2 4. 3xdy = y(1 + x sin x - 3y3 sin x)dx Rozwiza problem pocztkowy Cauchy ego: 2 3 5. y - 9x2y =(x5 + x2)y , y(0) = 0 6. y - y = xy2, y(0) = 0 7. Znalez krzywe, dla których odcinek odcity na osi Ox przez normaln, jest y2 równy . x 8. Znalez krzywe, dla których odcinek odcity na osi Oy przez styczn, jest równy kwadratowi rzdnej punktu styczno[ci. Odpowiedzi 1. y(x2 + xC) =1 C 2. y2 = x ln x 1 3. x2 = (" x =0 (" y =0 y + Cy2 4. y3(3 + Cecos x) =x (" y =0 19 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego 3 3 3 1 2 2 3 1 2 5. y = Cex - x3 - (" y =0; y = ex - x3 - (" y =0 9 9 9 9 9 1 6. = Ce-x - x +1, y =0 y y2 7. yy + x = , y2 =2x2(C - ln |x|) x x 8. y - xy = y2, y = x + C 1.3.5. Równania zupeBne Równanie postaci P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1.10) nazywamy równaniem zupeBnym wtedy i tylko wtedy, gdy lewa strona tego równania jest ró|niczk pewnej funkcji, tzn. je|eli istnieje funkcja rzeczywista U zmiennych x i y, taka, |e dU(x, y) =P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Wtedy rozwizaniem ogólnym równania (1.10) jest funkcja zadana w postaci uwikBanej U(x, y) =C. Twierdzenie 1.3. Je|eli P, Q " C(D), gdzie D ‚" R2 jest obszarem, oraz ist- "P "Q niej w D cigBe pochodne , , wówczas na to aby równanie (1.10) byBo zupeBne "y "x w D potrzeba i wystarcza by "P "Q = w D (1.11) "y "x Rozwizanie równania (1.10) mo|na znalez na dwa sposoby: 1. Je|eli warunek (1.11) jest speBniony, wówczas caBka ogólna tego równania jest postaci x y P (t, x0)dt + Q(x, t)dt = C (1.12) x0 y0 lub x y P (t, y)dt + Q(x0, t)dt = C (1.12a) x0 y0 gdzie (x0, y0) " D jest dowolnie ustalonym punktem. 20 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Uwaga 1.2. Je|eli C = 0, to (1.12) lub (1.12a) jest rozwizaniem speBniajcym warunek pocztkowy y(x0) =y0. 2. Aby ró|niczka funkcji U, byBa lew stron równania (1.10), musi by speBniony ukBad równaD: "U = P (x, y) "x (1.13) "U = Q(x, y) "y CaBkujc wzgldem x pierwsze z tych równaD mamy U(x, y) = P (x, y)dx + Õ(y) (1.14) gdzie Õ jest dowoln funkcj zmiennej y. Ale funkcja U musi speBnia drugie z rów- naD (1.13) z uwzgldnieniem (1.11), uzyskujemy wic Õ (y) =É(y), skd Õ(y) = É(y)dy, zatem caBka ogólna równania (1.10) ma nastpujc posta P (x, y)dx + É(y)dy = C, lub wychodzc z drugiego z równaD (1.13) otrzymujemy poni|szy wzór na caBk ogóln Q(x, y)dy + É1(x)dx = C. PrzykBad 1.10. Znalez caBk ogóln równania 1 y2 x2 1 - dx + - dx =0 (a) x (x - y)2 (x - y)2 y Zauwa|my, |e "P 2xy "Q = - = , "y (x - y)3 "x zatem równanie (a) jest zupeBne. Pierwszy sposób. Przyjmujc x0 =1, y0 =2 mamy x y 1 4 x2 1 - dt + - dt = C t (t - 2)2 (x - t)2 t 1 2 21 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego lub po scaBkowaniu x xy ln + = C (a ) y x - y Otrzymany wzór okre[la caBk ogóln równania (a). Drugi sposób. Szukamy funkcji U speBniajcej ukBad równaD: "U 1 x2 = - "x x (x - y)2 (b) "U x2 1 = - "y (x - y)2 y Z pierwszego równania 1 y2 y2 U(x, y) = - dx + Õ(y) =ln |x| + + Õ(y)(c) x (x - y)2 x - y na podstawie (b) i (c) mamy "U 2xy - y2 x2 1 = + Õ (y) = - , "y (x - y)2 (x - y2) y std 1 Õ (y) =1 - , y zatem Õ(y) =y - ln |y| . Wstawiajc do (c) uzyskujemy y2 U(x, y) =ln |x| + + y - ln |y| . x - y Rozwizanie ogólne U(x, y) =C ma posta (a ). PrzykBad 1.11. Rozwi| problem pocztkowy Cauchy ego: x x x y y x + e dx + e 1 - dy =0 (a) y y(0) = 2 (b) Aatwo sprawdzi, |e jest to równanie zupeBne. 22 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Zgodnie ze wzorem (1.12) lub (1.12a), na podstawie uwagi 1.2, szukane rozwi- zanie jest nastpujce x y t x x 2 t t + e dt + e 1 - dt =0 (c) y 0 2 Skd, po scaBkowaniu, rozwizanie problemu (a) (b), przyjmuje ostatecznie posta x x2 +2yey =4. Zadania Znalez caBk ogóln równania: 1. (x + y)dx +(x +2y)dy =0 xdy - y dx 2. xdx + y dy = x2 + y2 xdx + y dy xdy - y dx 3. + =0 1+x2 + y2 x2 + y2 2x(1 - ey)dx ey dy 4. + =0 (1 + x2)2 1+x2 Rozwiza problem pocztkowy Cauchy ego: (x +2y)dx + y dy 5. =0, y(1) = 0 (x + y)2 6. (x - y)dx +(2y - x)dy =0, y(0) = 0 Odpowiedzi x2 1. + xy + y2 = C 2 y 2. x2 + y2 - 2arctg = C x y 3. 1+x2 + y2 +arc tg = C x ey - 1 4. = C 1+x2 y 5. ln |x + y| - =0 x + y x2 6. - xy + y2 =0 2 23 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego 1.3.6. Czynnik caBkujcy Je|eli dla równania P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1.15) istnieje taka funkcja rzeczywista µ zmiennych x i y, |e równanie µ(x, y)[P (x, y)dx + Q(x, y)dy] = 0 (1.16) jest zupeBne, to funkcj µ nazywamy czynnikiem caBkujcym równania (1.15). Uwaga 1.3. Równania (1.15) i (1.16) zazwyczaj nie s równowa|ne. Je|eli µ jest funkcj zmiennych x i y ró|niczkowaln w sposób cigBy, to dla dowolnych x, y " " (µP ) = (µQ) "y "x lub "µ "µ "P "Q Q - P = µ - (1.17) "x "y "y "x zatem funkcja µ musi speBnia powy|sze równanie. Czynnik caBkujcy mo|na Batwo znalez w dwóch przypadkach: 1. Je|eli istnieje czynnik caBkujcy zale|ny tylko od zmiennej x, tzn. µ(x, y) =µ(x), wtedy na podstawie (1.17) mamy µ (x) 1 "P "Q = - (1.17a) µ(x) Q "y "x 2. Je|eli istnieje czynnik caBkujcy zale|ny tylko od zmiennej y, tzn. µ(x, y) =µ(y), to µ (y) 1 "Q "P = - (1.17b) µ(y) P "x "y Zwizki (1.17a) i (1.17b), daj równie| odpowiedz, kiedy takie czynniki caBkujce istniej. I tak 1 "P "Q µ(x, y) =µ(x), je|eli - jest funkcj wyBcznie zmiennej x, Q "y "x natomiast 1 "Q "P µ(x, y) =µ(y), je|eli - jest funkcj wyBcznie zmiennej y. P "x "y 24 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego PrzykBad 1.12. Rozwiza równanie y3 2xy + x2y + dx + x2 + y2 dy =0 (a) 3 Zauwa|my, |e 1 "P "Q 2x + x2 + y2 - 2x - = =1, Q "y "x x2 + y2 tak wic, istnieje czynnik caBkujcy zale|ny od zmiennej x (µ = µ(x)). µ (x) Na podstawie (1.17a) =1, s td µ(x) =ex. Mno|c stronami równanie (a) µ(x) przez ex, uzyskujemy równanie zupeBne y3 ex 2xy + x2y + dx + ex x2 + y2 dy =0 (a ) 3 którego caBka ogólna dana jest zwizkiem y2 yex x2 + = C. 3 Zadania Rozwiza równania: y 1. dx +(y3 - ln x)dy =0 x 2. (2xy2 - y)dx +(y2 + x + y)dy =0 x x 3. +1 dx + - 1 dy =0 y y 4. (x cos y - y sin y)dy +(x sin y + y cos y)dx =0 Odpowiedzi 1 1 1. ln x + y2 = C (" y =0 y 2 x 2. x2 + y - +ln|y| = C (" y =0 y 3. x2 - y2 +2xy = C 4. ex(x sin y - sin y + y cos y) =C 25 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego 1.3.7. Równania Lagrange a i Clairauta Równanie y = Õ(y )x + È(y ) (1.18) gdzie Õ(y ) = y , nazywamy równaniem Lagrange a. Natomiast równanie y = xy + È(y ) (1.19) gdzie È(y ) a" ay +b, nazywamy równaniem Clairauta. W obu przypadkach stosujemy podstawienie y = p. Konstrukcja rozwizania równania Lagrange a Ró|niczkujc stronami równanie (1.18), a nastpnie wstawiajc y = p mamy p = Õ(p) +xÕ (p)p + È (p)p lub dx Õ (p) È (p) - x = (" Õ(p) - p =0. dp Õ(p) - p p - Õ(p) Uzyskali[my równanie liniowe niejednorodne, o niewiadomej funkcji x = x(p). Rozwizanie tego równania ma posta x = A(p)C + B(p). Wstawiajc ten zwi- zek do (1.18), z uwzgldnieniem podstawienia (y = p), mamy y = A(p)Õ(p)C + Õ(p)B(p) +È(p). Otrzymali[my caBk ogóln równania Lagrange a w postaci parametrycznej x = A(p)C + B(p) , y = A1(p)C + B1(p) gdzie: A1(p) =A(p)Õ(p), B1 = Õ(p)B(p) +È(p). Je|eli Õ(p) - p = 0 posiada pierwiastki rzeczywiste p = pi (i = 1, . . . , n), to podstawiajc je do równania (1.18), z uwzgldnieniem warunków Õ(pi) = pi oraz y = pi, mamy y = pix + È(pi), i =1, 2, . . . , n. Std wniosek, |e rozwizaniami osobliwymi równania Lagrange a mog by jedynie funkcje liniowe. Konstrukcja rozwizania równania Clairauta Postpujc podobnie, jak przy caBkowaniu równania Lagrange a, tzn. ró|nicz- kujc stronami równanie (1.19) i podstawiajc y = p, dos tajemy [x + È (p)] p =0, 26 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego skd p = 0 (1.20) lub x + È (p) = 0 (1.21) CaBkujc dwukrotnie równanie (1.20), z uwzgldnieniem podstawienia y = p, mamy y = Cx - C1 (1.20a) Nastpnie zwizek (1.20a) wstawiamy do wyj[ciowego równania (1.19), celem okre- [lenia C1. Tak wic Cx + C1 = Cx + È(C), zatem rozwizanie (1.20a) przyjmuje ostatecznie posta y = Cx + È(C). Jest to rozwizanie ogólne równania Clairauta. Ze zwizku (1.21) i równania (1.19) (z uwzgldnieniem y = p), uzyskujemy rozwizanie równania Clairauta w postaci parametrycznej x = -È (p) , y = -È (p)p + È(p) które jest zwykle rozwizaniem osobliwym. PrzykBad 1.13. Rozwiza równanie 1 y =2y x + (a) y Ró|niczkujc stronami i kBadc y = p, mamy dp pdx =2pdx +2xdp - p2 lub dx 2 1 = - x + (b) dp p p3 CaBk ogóln równania (b) jest funkcja 1 ln p x = C + , p2 p2 27 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego zatem caBka ogólna równania (a) ma posta ñø 1 ln p ôø ôø x = C + òø p2 p2 . 2 1 ôø ôø óø y = C + [2 ln p +1] p p Sprawdzamy, czy istniej rozwizania osobliwe, w tym celu szukamy pierwiastków równania Õ(p) =p, czyli 2p = p. Jedynym rozwizaniem jest p = 0. Ale z (a) wynika, |e p = 0, zatem równanie (a) nie ma rozwizaD osobliwych. PrzykBad 1.14. Wyznaczy krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty midzy osiami wspóBrzdnych ma staB dBugo[ d. Z równania · - y = y (¾ - x) stycznej poprowadzonej w punkcie P (x, y) szukanej krzywej, wyznaczamy punkty y A(x - , 0) i B(0, y - xy ) przecicia si tej stycznej z osiami ukBadu wspóBrzdnych y 2 y d2 = x - +(y - xy )2, y skd y d y = xy ± (a) 1+(y )2 Ka|de z równaD (a) jest równaniem Clairauta. Ró|niczkujc (a) stronami i podsta- wiajc y = p, mamy d x ± p =0, (1 + p2)3 skd Cd y = Cx ± " (b) 1+C2 28 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego stanowi caBk ogóln równania (a), natomiast: d x = ± (1 + p2)3 (c) p3d y = ± (1 + p2)3 jest rozwizaniem osobliwym równaD (a). Rugujc z (c) parametr p, uzyskujemy inn posta rozwizania osobliwego 2 2 2 3 3 3 x + y = d . Jest to równanie asteroidy. Krzywymi speBniajcymi warunki naszego zadania s rodzina prostych (b) oraz asteroida (c). Zadania Rozwiza równania: 1. y =(1 +y )x +(y )2 2. 2yy = x(y 2 +4) 3. y = -xy + y 2 4. 2y(y +2) =xy 2 5. y = xy + y 6. y = xy + 1+y 2 7. Znalez krzyw, której styczne tworz z osiami wspóBrzdnych trójkt o po- wierzchni 2a2. 8. Znalez krzyw, której styczne odcinaj na osiach wspóBrzdnych odcinki, któ- rych suma dBugo[ci jest równa 2a. Odpowiedzi x = Ce-p - 2p +2 1. y = C(1 + p)e-p - p2 +2 1 2. y = Cx2 + (" y =2x (" y = -2x C 29 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego ñø C 2 ôø ôø x = + p " òø p 3 3. ôø 1 " ôø óø y = p2 - C p 3 1 4. y = (x - C)2 (C =0) (" y =0 (" y = -4x C 5. y = Cx + C " 6. y = Cx + 1+C2 (" x2 + y2 =1 " 7. y = xy +2a -y (" xy = a2 2ay 8. y = xy + (" (y - x - 2a)2 =8ax y - 1 1.3.8. Równanie Riccatiego Równanie postaci dy = P (x)y2 + Q(x)y + R(x) (1.22) dx gdzie: P , Q, R s funkcjami cigBymi w przedziale ]a, b[, nazywamy równaniem Ric- catiego. Uwaga 1.4. Równanie Riccatiego nie posiada rozwizaD osobliwych. Uwaga 1.5. CaBki szczególne s okre[lone jedynie w pewnym otoczeniu punktu pocztkowego (niekoniecznie w caBym ]a, b[). Je|eli znane jest jedno z rozwizaD szczególnych y = y1(x) równania (1.22), to wprowadzajc now zmienn zale|n z przez podstawienie 1 y = y1 + (1.23) z równanie (1.22) sprowadzi si do równania liniowego. Równanie postaci B C y = Ay2 + y + (1.24) x x2 gdzie: A, B, C " R, oraz (B +1)2 4AC, ma rozwizanie szczególne dane wzorem a y1 = (1.25) x gdzie a jest pewn staB, któr wyznacza si wstawiajc (1.25) do (1.24). 30 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego PrzykBad 1.15. Rozwiza równanie dy 2 + y2 = (a) dx x2 Szukamy rozwizania szczególnego w postaci a y1 = . x Wstawiajc y1 do (a) otrzymujemy a a2 2 - + = , x2 x2 x2 std a = -1 lub a = 2. Mamy wic dwa rozwizania szczególne 1 2 y1 = - lub y1 = . x x Wprowadzajc w (a) now zmienn (zgodnie ze wzorem (1.23)) 1 1 y = - (b) z x uzyskujemy równanie liniowe niejednorodne dz 2z + =1, dx x którego caBka ogólna ma posta C 1 z = + x. x2 3 Tak wic, zgodnie z (b), szukane rozwizanie dane jest wzorem 3x2 1 y = - . 3C + x3 x Zadania Znalez rozwizanie ogólne równania: 1 1. y + y2 = - 4x2 2. x2y = x2y2 + xy +1 3. x2y +(xy - 2)2 =0 31 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego 1 4. y = y2 + x2 1 1 5. y = y2 + 2 2x2 Znalez rozwizanie ogólne równania wiedzc, |e funkcja postaci y = ax + b, jest jego rozwizaniem szczególnym: 6. y = -y2 +1+x2 7. y = y2 - xy - x 8. xy = y2 - (2x +1)y + x2 +2x Odpowiedzi 1 1 1. y = + 2x x(C +ln|x|) 1 1 2. y = - + x x(C - ln |x|) 1 3x2 3. y = + x x3 + C 2 2xy +1 " 4. arc tg " =ln |x| + C 3 3 1 2 5. y = - + x x(C - ln |x|) exp(-x2) 6. y = x + x C + exp(-t2)dt 0 îø ùø-1 x 1 1 ðøC 7. y = x +1+exp x2 +2x - exp t2 +2t dtûø 2 2 0 1 8. y = x + 1+Cx 32 BG AGH 1.3. Metody rozwizywania równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Zadania ró|ne z równaD ró|niczkowych zwyczajnych pierwszego rzdu Rozwiza równania: 1. (2xy2 - y)dx + xdy =0 2. xy + y = xy2 ln x 3. x2(y +1)dx +(x3 - 1)(y - 1)dy =0 4. (1 + y2)(e2x dx - ey dy) - (1 + y)dy =0 2x - 1 5. y - y =1 x2 6. yey =(y3 +2xey)y 7. y + y cos x =s in x cos x 8. (x2y - x2 + y - 1)dx +(xy +2x - 3y - 6)dy =0 2 y - 1 9. y = 1+ 2x 10. xy3 dx =(x2y +2)dy x y 11. 2dx + dy - dx =0 y x 12. ey dx +(xey - 2y)dy =0 13. y =2xy + 1+(y )2 14. y (x +s iny) =1 y 15. y = (1 + ln y - ln x) x 16. (2ex + y4)dy - yex dx =0 17. x2(y )2 +3xyy +2y2 =0 18. xy(xy2 +1)dy - dx =0 19. xy(y )2 - (x2 + y2)y + xy =0 20. (3x2 +2xy - y2)dx +(x2 - 2xy - 3y2)dy =0 33 BG AGH 1. Równania ró|niczkowe zwyczajne rzdu pierwszego Odpowiedzi x 1. y = (" y =0 x2 + C 1 2. xy C - ln2 x =1 (" y =0 2 |x3 - 1| 3. 3y +ln = C (y +1)6 1 1 4. e2x - ey - arc tg y - ln(1 + y2) =C 2 2 1 5. y = x2 1+Cex 6. x = y2 (C - e-y) (" y =0 7. y = Ce- sin x +s inx - 1 x2 8. +3x + y +ln (x - 3)10|y - 1|3 = C (" x =3 (" y =1 2 y - 1 9. 2 arc tg =ln |Cx| 2x 2 2 y 10. x2 =1 - + Ce- y y 11. +ln|x| = C (" x =0 x 12. xey - y2 = C ñø ôø C 1+p2 1 òø x = - + ln p + 1+p2 13. p2 2p 2p2 ôø óø y =2px + 1+p2 1 14. x = Cey - (sin x +cos y) 2 15. y = xeCx 16. 2ex - y4 = Cy2 17. (xy + C)(x2y + C) =0 y2 1 2 18. y2 + Ce- + - 2 =0 x 19. (y - Cx)(y2 - x2 + C) =0 20. x3 + x2y - xy2 - y3 = C 34 BG AGH RozdziaB 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego Rozwa|my ukBad równaD ró|niczkowych x (t) =fi(t, x1, . . . , xn), i =1, 2, . . . , n (2.1) i gdzie: R t  zmienna niezale|na, x1, . . . , xn  szukane funkcje rzeczywiste (lub zespolone) zmiennej t, fi : Rn+1 ’! R (i =1, . . . , n)  zadane funkcje. Definicja 2.1. Powiemy, |e funkcja x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) jest rozwiza- niem ukBadu (2.1) w [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy x (t) =fi(t, x1(t), . . . , xn(t)), i =1, 2, . . . , n. i t"[a,b] Krzywa o równaniu x = x(t) nazywa si krzyw caBkow ukBadu (2.1). Niech xi(t0) =xi0, i =1, 2, . . . , n (2.2) gdzie: t0 " ]a, b[, xi0 " R. Definicja 2.2. Zagadnienie polegajce na znalezieniu rozwizania ukBa- du (2.1), speBniajcego warunek pocztkowy (2.2) nosi nazw problemu pocztkowego Cauchy ego. Uwaga 2.1. UkBad (2.1) jest równowa|ny równaniu wektorowemu x = f(t, x) (2.1a) gdzie: x: R ƒ" [a, b] ’! Rn, f : [a, b] × Rn ’! Rn, za[ warunek pocztkowy (2.2) mo|na zapisa nastpujco x(t0) =x0 (2.2a) gdzie: t0 "]a, b[, x0 " Rn. 35 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego Definicja 2.3. Mówimy, |e odwzorowanie f : [a, b] × Rn (t, x) ’! f(t, x) " Rn speBnia warunek Lipschitza ze wzgldu na x, je|eli f(t, x1) - f(t, x2) L x1 x2 - . L>0 t"[a,b] x1,x2"Rn StaB L nazywamy staB Lipschitza. n ZakBadamy, |e w Rn dana jest norma euklidesowa (tzn. a = a2). i i=1 W dalszym cigu równanie wektorowe (2.1a) bdziemy nazywa ukBadem rów- naD ró|niczkowych zwyczajnych. Twierdzenie 2.1. Z. Dany jest zbiór otwarty V ‚" Rn oraz odwzorowanie f : [a, b] × V ’! Rn cigBe, ponadto istnieje kula K(x0, r) ‚" V taka, |e f speBnia warunek Lipschitza na [a, b] × K(x0, r) ze wzgldu na x, wówczas T. istnieje takie ´ >0, |e problem pocztkowy (2.1a), (2.2a) ma dokBadnie jedno rozwizanie w przedziale ]t0 - ´, t0 + ´[. 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Niech x = A(t)x + b(t) (2.3) gdzie: A(t) = (aij(t))n×n, b(t) = (b1(t), . . . , bn(t)), x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), przy czym aij oraz bi s zadanymi funkcjami okre[lonymi w przedziale [a, b] ‚" R, o war- to[ciach rzeczywistych, natomiast xi s szukanymi funkcjami rzeczywistymi. UkBad (2.3) nosi nazw ukBadu liniowego niejednorodnego, o ile b = 0 oraz jednorodnego, je|eli b =0. Twierdzenie 2.2. Je|eli aij, bk s odwzorowaniami cigBymi na [a, b], dla i, j, k =1, . . . , n, to dla dowolnych (t0, x0) " [a, b] × Rn, problem pocztkowy (2.1a), (2.2a) ma dokBadnie jedno rozwizanie okre[lone na caBym [a, b]. 2.1.1. UkBady liniowe jednorodne Niech x = A(t)x (2.4) 36 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Twierdzenie 2.3. 1æ% Je|eli u1, . . . , uk s rozwizaniami ukBadu (2.4), to dla dowolnych liczb rze- k czywistych c1, . . . , ck, u = cjuj jest rozwizaniem ukBadu (2.4). j=1 2æ% Je|eli wspóBczynniki aij (i, j = 1, . . . , n) s funkcjami rzeczywistymi oraz u = re u + i im u jest rozwizaniem zespolonym ukBadu (2.4), to re u, oraz im u s rozwizaniami ukBadu (2.4). 3æ% Zbiór I rozwizaD ukBadu (2.4) jest n-wymiarow podprzestrzeni wektorow przestrzeni C([a, b], Rn), funkcji cigBych okre[lonych na [a, b] o warto[ciach w Rn. Definicja 2.4. Niech îø ùø îø ùø îø ùø u11 u12 u1n ïø úø ïø úø ïø úø u21 u22 u2n ïø úø ïø úø ïø úø u1 = , u2 = , . . . , un = ïø úø ïø úø ïø úø . . . . . . ðø ûø ðø ûø ðø ûø . . . un1 un2 unn bdzie baz przestrzeni rozwizaD I, wtedy macierz îø ùø u11 u12 . . . u1n ïø u21 u22 . . . u2n úø W (t) =ïø . . . . úø ïø úø . . . . ðø ûø . . . . un1 un2 . . . unn nazywamy macierz WroDskiego dla ukBadu (2.4), za[ det W (t) nazywa si wroDskia- nem ukBadu (2.4). Definicja 2.5. Baz przestrzeni rozwizaD I nazywamy ukBadem podstawowym (wzgldnie fundamentalnym) rozwizaD ukBadu (2.4). Wniosek 2.1. u1, . . . , un jest ukBadem podstawowym caBek równania (2.4) wte- dy i tylko wtedy, gdy det W (t) =0. t"[a,b] Twierdzenie 2.4. Je|eli u1, . . . , un s rozwizaniami ukBadu (2.4) oraz det W (t1) =0, to det W (t) =0. t1"[a,b] t"[a,b] Wniosek 2.2. Je|eli u1, . . . , un jest ukBadem podstawowym caBek równa- nia (2.4), to dla dowolnego rozwizania u równania (2.4) istniej staBe C1, . . . , Cn takie, |e n u = Ciui. i=1 37 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego Definicja 2.6. Je|eli u1, . . . , un jest ukBadem podstawowym caBek równa- nia (2.4), to n-parametrow rodzin funkcji n u = Ciui i=1 nazywamy caBk ogóln ukBadu (2.4), p rzy czymCi (i =1, . . . , n) przyjmuj dowolne warto[ci rzeczywiste. PrzykBad 2.1. Sprawdzi, czy {u1, u2}, gdzie e3t -e-t u1(t) = , u2(t) = 2e3t 2e-t jest ukBadem podstawowym caBek ukBadu x 1 1 x = (a) y 4 1 y Ró|niczkujc u1 oraz u2 i wstawiajc do (a) Batwo mo|na sprawdzi, |e s one roz- wizaniami ukBadu (a). Sprawdzmy, czy u1, u2 stanowi ukBad podstawowy caBek e3t -e-t det W (t) =det =4e2t =0 dla t " R. 2e3t 2e-t Zatem caBka ogólna ukBadu (a) przyjmie posta 1 -1 u(t) =C1e3t + C2e-t . 2 2 2.1.2. UkBady liniowe niejednorodne Rozwa|my niejednorodny ukBad równaD (2.3) Twierdzenie 2.5. Z. Je|eli x(t) jest pewnym rozwizaniem ukBadu niejednorodnego (2.3), nato- n miast u(t) = Ciui(t) caBk ogóln ukBadu jednorodnego (2.4), i=1 T. to x(t) =x(t) +u(t) (2.5) jest caBk ogóln ukBadu niejednorodnego (2.3). 38 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Metoda uzmienniania staBych Majc rozwizanie ogólne ukBadu liniowego jednorodnego (2.4), wystarczy zna- lez jedno rozwizanie ukBadu liniowego niejednorodnego (2.3), aby uzyska caBk ogóln tego ukBadu. Niech u(t) =W (t)C bdzie caBk ogóln ukBadu jednorodnego (2.4), gdzie îø ùø C1 ïø úø C2 ïø úø C = . ïø úø . . ðø ûø . Cn Przewidujemy, |e funkcja x postaci x(t) =W (t)C(t) (2.6) jest rozwizaniem ukBadu niejednorodnego (2.3). Ró|niczkujc (2.6) i wstawiajc do (2.3), mamy W (t)C (t) =b(t), std t det Wj(Ä) Cj(t) = dÄ, j =1, 2, . . . , n (2.7) det W (Ä) t0 gdzie Wj(t) oznacza macierz powstaB w W (t) przez zastpienie j-tej kolumny, ko- lumn wyrazów wolnych b(t). Twierdzenie 2.6. Z. Je|eli u(t) =W (t)C jest caBk ogóln ukBadu jednorodnego (2.4), T. to x(t) = W (t)C(t) jest rozwizaniem szczególnym ukBadu niejednorodne- go (2.3), przy czym wektor C(t) jest okre[lony równo[ciami (2.7). PrzykBad 2.2. Znalez caBk ogóln ukBadu niejednorodnego îø ùø îø ùø 2 -1 2 t ðø ûø ðø ûø x = Ax + b, gdzie A = 10 -5 7 , b(t) = t2 +1 (a) 4 -2 2 -2t - 5 wiedzc, |e rozwizanie ogólne ukBadu jednorodnego x = Ax (b) 39 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego jest nastpujce îø ùø îø ùø îø ùø 1 t 1 ðø ûø ûø ûø u(t) =C1e-t -1 + C2 ðø 2t +1 + C3 ðø 2 -2 1 0 lub îø ùø îø ùø e-t t 1 C1 ðø ûø ðø u(t) = -e-t 2t +1 2 C2 ûø . -2e-t 1 0 C3 CaBka szczególna ukBadu (a) jest postaci îø ùø îø ùø e-t t 1 C1(t) ðø ûø ðø ûø x(t) = -e-t 2t +1 2 C2(t) . -2e-t 1 0 C3(t) Funkcje Ci(t) (i =1, 2, 3) wyznaczamy z ukBadu W (t)C (t) =b(t), czyli îø ùø îø ùø îø ùø e-t t 1 C1(t) t ðø ûø ðø ûø ðø ûø -e-t 2t +1 2 C2(t) = t2 +1 , -2e-t 1 0 C3(t) -2t - 5 skd: C1(t) =-et(t2 +6), C2(t) =-2t2 - 2t - 17, C3(t) =2t3 +3t2 +18t +6, i po scaBkowaniu: C1(t) =C1 - et(t2 - 2t +8), 2 C2(t) =C2 - t3 - t2 - 17t, 3 1 C3(t) =C3 + t4 + t3 +9t2 +6t, 2 zatem caBka ogólna ukBadu (a) jest nastpujca îø ùø îø ùø 1 t 2 ðø ûø ðø ûø x(t) = C1e-t - t2 +2t - 8 -1 + C2 - t3 - t2 - 17t 2t +1 + 3 -2 1 îø ùø 1 1 ðø ûø + C3 + t4 + t3 +9t2 +6t 2 2 0 40 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego lub îø ùø îø ùø îø ùø 1 t 1 ðø ûø ûø ûø x(t) =C1e-t -1 + C2 ðø 2t +1 + C3 ðø 2 + -2 1 0 îø ùø 1 - t4 - 9t2 +8t - 8 6 ïø úø ïø úø 1 2 + - t4 - t3 - 16t2 - 7t +8 . ïø úø 3 3 ðø ûø 2 - t3 + t2 - 21t +16 3 2.1.3. Metody rozwizywania ukBadów liniowych jednorodnych o staBych wspóBczynnikach Rozpatrzmy ukBad równaD postaci x = Ax (2.8) gdzie wspóBczynniki aij (i, j =1, . . . , n) s liczbami rzeczywistymi. Metoda Eulera Szukamy rozwizania ukBadu (2.8) w postaci x = e»tv (2.9) gdzie: » " R, v " Rn. Wstawiajc zwizek (2.9) do ukBadu (2.8) otrzymujemy »v = Av lub (A - »E)v = 0 (2.10) gdzie E oznacza macierz jednostkow. Aby istniaBy rozwizania niezerowe ukBadu (2.10) wzgldem v, to det(A - »E) = 0 (2.11) Zwizek (2.11) nazywa si równaniem charakterystycznym, jego pierwiastki »i  warto[ciami wBasnymi macierzy A, za[ odpowiadajce im rozwizania vi ukBa- du (2.10)  wektorami wBasnymi macierzy A. Je|eli istnieje n ró|nych rzeczywistych warto[ci wBasnych »1, . . . , »n, to e»1tv1, e»2tv2, . . . , e»ntvn 41 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego stanowi ukBad podstawowy caBek równania (2.8), przy czym vi  wektor wBasny odpowiadajcy warto[ci wBasnej »i (i =1, . . . , n), zatem n x = Cje»jtvj j=1 jest caBk ogóln ukBadu (2.8). Niech »0 bdzie rzeczywist warto[ci wBasn o krotno[ci k, wówczas: 1. Je|eli odpowiadajca jej podprzestrzeD wektorów wBasnych ma wymiar k, oraz b1, . . . , bk jest dowoln baz tej podprzestrzeni, to e»0tb1, e»0tb2, . . . , e»0tbk k s rozwizaniami niezale|nymi ukBadu (2.8), oraz x0 = e»0t Cibi jest rozwizaniem i=1 ukBadu (2.8) odpowiadajcym warto[ci wBasnej »0. 2. Je|eli wymiar podprzestrzeni wektorów wBasnych jest równy m (m<k), to rozwizania odpowiadajcego warto[ci wBasnej »0, mo|na szuka w postaci x0 = a0 + a1t + . . . + ak-mtk-m e»0t (2.12) gdzie: a0, a1, . . . , ak-m s wektorami, które wyznaczamy wstawiajc (2.12) do ukBa- du (2.8). Je|eli »1, . . . , »r s pierwiastkami charakterystycznymi macierzy A o krotno- [ciach odpowiednio n1, . . . , nr, to caBka ogólna ukBadu (2.8) jest nastpujca r x = xi, i=1 gdzie xi s rozwizaniami odpowiadajcymi warto[ciom wBasnym »i. Je|eli w[ród warto[ci wBasnych znajduj si pierwiastki zespolone, to znajdu- jemy odpowiadajce im rozwizania zespolone, których cz[ rzeczywista i urojona stanowi liniowo niezale|ne rozwizania rzeczywiste ukBadu (2.8). PrzykBad 2.3. Znalez caBk ogóln ukBadu: x = x1 + x2 +2x3 1 x = x2 + x3 (a) 2 x =2x3 3 îø ùø 1 1 2 ðø ûø. Szukamy warto[ci wBasnych macierzy A = 0 1 1 0 0 2 îø ùø 1 - » 1 2 ðø ûø det(A - »E) =det 0 1 - » 1 =(1 - »)2(2 - ») =0. 0 0 2 - » 42 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Istniej dwie warto[ci wBasne: »1 =1, »2 = 2 o krotno[ciach n1 =2, n2 =1. Obecnie przechodzimy do szukania podprzestrzeni wektorów wBasnych, czyli do rozwizania ukBadu (A - »iE)v =0 dla i =1, 2. Dla i = 1, czyli dla »1 =1, mamy îø ùø îø ùø îø ùø 0 1 2 v1 0 ðø ûø ðø ðø ûø 0 0 1 v2 ûø = 0 . 0 0 1 v3 0 Rozwizaniem tego ukBadu jest podprzestrzeD jednowymiarowa ñø üø îø ùø 1 òø ýø 1 ðø ûø W = v : v = ± 0 , ± " R . óø þø 0 1 Poniewa| dim W =1 <n1 = 2, zatem rozwizanie x1 odpowiadajce warto[ci wBas- nej »1 = 1, bdzie postaci x1 =(a0 + a1t)et, gdzie: îø ùø îø ùø a01 a11 ðø ðø a0 = a02 ûø , a1 = a12 ûø . a03 a13 Wstawiajc x1 do (a), uzyskujemy: (a01 + a11 + a11t)et =[a01 + a02 +2a03 +(a11 + a12 +2a13)t] et, (a02 + a12 + a12t)et =[a02 + a03 +(a12 + a13)t] et, (a03 + a13 + a13t)et =[2a03 +2a13t] et. Dzielc stronami przez et i porównujc wspóBczynniki przy odpowiednich potgach otrzymujemy: a01 + a11 = a01 + a02 +2a03, a02 + a12 = a02 + a03, a03 + a13 =2a03, a11 = a11 + a12 +2a13, a12 = a12 + a13, a13 =2a13, skd îø ùø îø ùø ± ² ðø ûø ðø ûø a0 = ² , a1 = 0 , ±, ² " R, 0 0 43 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego zatem ñø îø ùø ëøîø ùø îø ùø öø üø 1 0 1 òø ýø ðø ûø íøðø ûø ðø ûø x1 = ± 0 + ² 1 + 0 tøø et. óø þø 0 0 0 Dla »2 =2, mamy îø ùø îø ùø îø ùø -1 1 2 v1 0 ðø ûø ðø ðø ûø 0 -1 1 v2 ûø = 0 . 0 0 0 v3 0 Wobec tego podprzestrzeD ñø üø îø ùø 3 òø ýø 2 ðø ûø W = v : v = ³ 1 , ³ " R . óø þø 1 Rozwizanie odpowiadajce warto[ci wBasnej »2 =2, ma pos ta îø ùø 3 ðø ûø x2 = ³ 1 e2t, 1 zatem caBk ogóln równania (a) mo|na zapisa nastpujco ñø îø ùø ëøîø ùø îø ùø öø îø ùø üø 1 0 1 3 òø ýø ðø ûø íøðø ûø ðø ûø ðø ûø x(t) = ± 0 + ² 1 + 0 tøø et + ³ 1 e2t. óø þø 0 0 0 1 Sprawdzi samodzielnie, |e funkcje: îø ùø ëøîø ùø îø ùø öø îø ùø 1 0 1 3 ðø ûø íøðø ûø ðø ûø ðø ûø u1 = 0 et, u2 = 1 + 0 tøø et, u3 = 1 e2t 0 0 0 1 stanowi ukBad podstawowy caBek ukBadu równaD (a). PrzykBad 2.4. Rozwiza ukBad równaD: x =3x1 - 2x2 1 (b) x = x1 + x2 2 3 -2 Szukamy warto[ci wBasnych macierzy A = . 1 1 3 - » -2 det(A - »E) =det = »2 - 4» +5, 1 1 - » 44 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego det(A - »E) =0 Ô! »1 =2 +i, »2 =2 - i. Dla jednej z warto[ci wBasnych szukamy podprzestrzeni wektorów wBasnych, tak wic dla »1 =2 +i mamy 1 - i -2 v1 0 = , 1 -1 - i v2 0 skd 1+i W = v " C2 : v = ± , ± " C 1 lub 1 1 W = v " C2 : v = ± + i± , ± " C . 1 0 Jednym z rozwizaD ukBadu (b) odpowiadajcym warto[ci wBasnej »1 =2 +i jest 1 1 x(t) =e(2+i)t + i . Æ 1 0 Zauwa|my, |e: 1 1 re x(t) =e2t cos t - sin t , Æ 1 0 1 1 im x(t) =e2t cos t + sin t , Æ 0 1 zatem rozwizanie ogólne ukBadu (b), bdce kombinacj liniow re x oraz im x, ma Æ Æ posta cos t - sin t cos t +s int x(t) =e2t C1 + C2 . cos t sin t Wska| ukBad podstawowy caBek ukBadu równaD (b) i uzasadnij. Metoda podprzestrzeni niezmienniczych Niech A bdzie macierz kwadratow stopnia n o wyrazach zespolonych. ZaBó|- my, |e liczby »1, . . . , »k s warto[ciami wBasnymi macierzy A o krotno[ciach odpo- k wiednio n1, . . . , nk, ni = n. i=1 45 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego Lemat 2.1. Dla ka|dej macierzy A (kwadratowej stopnia n), istnieje k pod- i przestrzeni wektorowych V przestrzeni Cn, i =1, . . . , k (k  liczba ró|nych warto[ci wBasnych) takich, |e: i 1æ% V = {v " Cn : (A - »iE)niv =0}, i i 2æ% AV ‚" V  wBasno[ niezmienniczo[ci, i j 3æ% V )" V = {0} dla i = j, i 4æ% dim V = ni, 5æ% dowolny wektor v " Cn mo|na rozBo|y w sposób jednoznaczny na sum i wektorów z podprzestrzeni V , tzn. k i v = vi, vi " V , i =1, . . . , k. i=1 Przyjmujemy, |e Am := A · A · . . . · A, A0 = E m razy oraz " Aj eA := . j! j=0 Rozwizanie ukBadu jednorodnego o staBych wspóBczynnikach Dane jest równanie x = Ax (2.13) gdzie A jest macierz kwadratow stopnia n o wyrazach rzeczywistych. Szukamy rozwizania ukBadu (2.13) speBniajcego warunek pocztkowy x(t0) =Ú (2.14) x gdzie: t0 " ]a, b[, Ú " Rn. x Zgodnie z ogóln teori równaD ró|niczkowych liniowych, rozwizanie problemu pocztkowego (2.13), (2.14) jest nastpujce x(t) =eA(t-t0)Ú (2.15) x Po rozkBadzie Ú na wektory skBadowe z podprzestrzeni niezmienniczych macie- x rzy A k Ú = Ú Ú " V , i =1, . . . , k (2.16) x xi, xi i i=1 46 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego i na mocy definicji funkcji wykBadniczej argumentu macierzowego, oraz lematu 2.1, wzór (2.15) przyjmie posta ëø öø k ni-1 (t - t0)j íø x(t) = e(t-t0)»i (A - »iE)jÚ (2.17) xiøø j! i=0 j=0 Uwaga 2.2. Rozwizanie (2.17) jest rzeczywiste mimo, |e w[ród warto[ci wBa- snych mog wystpi liczby zespolone. PrzykBad 2.5. Rozwiza problem pocztkowy Cauchy ego: îø ùø -3 2 2 ðø ûø x = AX, je|eli A = -3 -1 1 (a) -1 2 0 îø ùø 0 ðø ûø x(0) = Ú = 1 (b) x 1 Szukamy warto[ci wBasnych macierzy A. îø ùø -3 - » 22 ðø ûø det -3 -1 - » 1 = -»3 - 4»2 - 9» - 10 =0, -12 -» std: »1 = -2 krotno[ n1 =1, »2 = -1+2i  krotno[ n2 =1, »3 = -1 - 2i  krotno[ n3 =1. Znajdujemy podprzestrzenie niezmiennicze. Dla »1 = -2, mamy îø ùø îø ùø îø ùø -1 2 2 v1 0 ðø ûø ðø ðø ûø -3 1 1 v2 ûø = 0 , -1 2 2 v3 0 skd ñø îø ùø üø 0 òø ýø 1 ðø ûø V = v : v = ± -1 , ± " C . óø þø 1 Dla »2 = -1+2i, mamy îø ùø îø ùø îø ùø -2 - 2i 2 2 v1 0 ðø ûø ðø ûø ðø ûø -3 -2i 1 v2 = 0 , -1 2 1 - 2i v3 0 47 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego skd ñø îø ùø üø -i òø ýø 2 ðø ûø V = v : v = ² 1 , ² " C . óø þø -i Dla »3 = -1 - 2i, mamy îø ùø îø ùø îø ùø -2+2i 2 2 v1 0 ðø ûø ðø ûø ðø ûø -3 2i 1 v2 = 0 , -1 2 1+2i v3 0 skd ñø üø îø ùø i òø ýø 3 ðø ûø V = v : v = ³ 1 , ³ " C . óø þø i Teraz nale|y rozBo|y wektor pocztkowy Ú na skBadowe z podprzestrzeni nie- x zmienniczych, tj. îø ùø îø ùø îø ùø îø ùø 0 0 -i i ðø ûø ðø ûø ðø ûø ðø ûø 1 = ± -1 + ² 1 + ³ 1 , 1 1 -i i otrzymujemy ± =1, ² =1, ³ =1, a zatem îø ùø îø ùø îø ùø 0 -i i Ú = -1 , Ú = 1 , Ú = 1 . x1 ðø ûø x2 ðø ûø x3 ðø ûø 1 -i i Wstawiajc do wzoru (2.17), mamy îø ùø îø ùø îø ùø 0 -i i ðø ûø ðø ûø ðø ûø x(t) =e-2t -1 + e(-1+2i)t 1 + e(-1-2i)t 1 , 1 -i i skd po przeksztaBceniach îø ùø îø ùø 0 sin 2t ðø ûø ðø ûø x(t) =e-2t -1 +2e-t cos2t . 1 sin 2t 48 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego PrzykBad 2.6. Rozwiza problem pocztkowy Cauchy ego: îø ùø 1 1 2 ðø ûø x = Ax, je|eli A = 0 1 1 (a) 0 0 2 îø ùø 1 ðø ûø x(0) = 2 . 1 Warto[ciami wBasnymi macierzy A (patrz przykBad 2.3) s liczby: »1 =1  krotno[ n1 =2, »2 =2  krotno[ n2 =1. Szukamy podprzestrzeni niezmienniczych. Dla »1 =1, mamy îø ùø2 îø ùø îø ùø 0 1 2 v1 0 ðø ûø ðø ûø ðø ûø (A - »1E)n1v = 0 0 1 v2 = 0 , 0 0 1 v3 0 std îø ùø îø ùø îø ùø 0 0 3 v1 0 ðø ûø ðø ðø ûø 0 0 1 v2 ûø = 0 , 0 0 1 v3 0 zatem ñø îø ùø îø ùø üø 1 0 òø ýø 1 ðø ûø ðø ûø V = v : v = ± 0 + ² 1 , ±, ² " C . óø þø 0 0 Dla »2 =2 îø ùø îø ùø îø ùø -1 1 2 v1 0 ðø ûø ðø ðø ûø (A - »2E)n2v = 0 -1 1 v2 ûø = 0 , 0 0 0 v3 0 skd ñø üø îø ùø 3 òø ýø 2 ðø ûø V = v : v = ³ 1 , ³ " C . óø þø 1 RozkBadamy wektor pocztkowy na skBadowe z podprzestrzeni niezmienniczych îø ùø îø ùø îø ùø 1 ± 3³ ðø ûø ðø ûø ðø ûø 2 = ² + ³ . 1 0 ³ 49 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego Mamy std ± = -2, ² =1, ³ =1, tzn. îø ùø îø ùø -2 3 Ú = 1 , Ú = 1 . x1 ðø ûø x2 ðø ûø 0 1 Zgodnie ze wzorem (2.17) rozwizanie problemu pocztkowego (a), (b) ma posta x(t) =et [Ú + t(A - »1E)Ú +e2tÚ x1 x1] x2. Wstawiajc poprzednio obliczone warto[ci mamy ostatecznie ëøîø ùø îø ùøöø îø ùø -2 1 3 íøðø ûø ðø ûøøø ðø ûø x(t) =et 1 + t 0 + e2t 1 . 0 0 1 CaBka ogólna ukBadu (2.13) i Niech {bi , bi , . . . , bi } bdzie baz podprzestrzeni niezmienniczej V , gdzie 1 2 ni i =1, . . . , k. Je|eli Ú " Rn jest dowolnym wektorem, to x ni Ú = Cimbi , i =1, . . . , k, xi m m=1 gdzie Cim s pewnymi staBymi rzeczywistymi. Wstawiajc powy|szy zwizek do wzoru (2.17) uzyskujemy wzór na caBk ogóln ukBadu (2.13) k ni ni-1 (t - t0)j x(t) = e(t-t0)»i Cim (A - »iE)jbi (2.18) m j! i=1 m=1 j=0 Zwizek (2.18) okre[la rozwizania rzeczywiste, tylko w przypadku rzeczywistych war- to[ci wBasnych. Z reguBy przyjmuje si t0 =0. PrzykBad 2.7. Znalez caBk ogóln ukBadu równaD z przykBadu 2.6 îø ùø 1 1 2 ðø ûø x = Ax, gdzie A = 0 1 1 (a) 0 0 2 Na podstawie przykBadu 2.6: »1 =1  krotno[ n1 =2, »2 =2  krotno[ n2 =1. Szukamy podprzestrzeni niezmienniczej odpowiadajcej warto[ci wBasnej »1 =1 1 V = v : [A - »1E]2 v =0 , 50 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego inaczej îø ùø2 îø ùø îø ùø 0 1 2 v1 0 ðø ûø ðø ûø ðø ûø 0 0 1 v2 = 0 0 0 1 v3 0 lub îø ùø îø ùø îø ùø 0 0 3 v1 0 ðø ûø ðø ðø ûø 0 0 1 v2 ûø = 0 , 0 0 1 v3 0 std v1 = ±, v2 = ², v3 =0, czyli ñø üø îø ùø îø ùø 1 0 òø ýø 1 ðø ûø ðø ûø V = v : v = ± 0 + ² 1 , ±, ² " R . óø þø 0 0 Z przykBadu 2.6 mamy ñø îø ùø üø 3 òø ýø 2 ðø ûø V = v : v = ³ 1 , ³ " R . óø þø 1 îø ùø îø ùø 1 0 1 ðø ûø, 2 ðø ûø Wektory b1 = 0 b1 = 1 stanowi baz podprzestrzeni V , natomiast wektor 1 0 0 îø ùø 3 2 ðø ûø b2 = 1 jest baz podprzestrzeni V . 1 1 Zgodnie ze wzorem (2.18) (k =2, n1 =2, n2 =2) ñø ëøîø ùø îø ùø îø ùøöø 1 0 1 2 1 òø ûø ðø ûø ðø ûøøø x(t) =et C11 íøðø 0 + t 0 0 1 0 + óø 0 0 0 1 0 üø ëøîø ùø îø ùø îø ùøöø îø ùø 0 0 1 2 0 3 ýø ûø ðø ûø ðø ûøøø ûø + C21 íøðø 1 + t 0 0 1 1 + e2tC12 ðø 1 þø 0 0 0 1 0 1 i ostatecznie ëø îø ùø îø ùøöø îø ùø 1 t 3 íøC1 ðø ûø ðø ûøøø ðø ûø x(t) =et 0 + C2 1 + C3e2t 1 , 0 0 1 gdzie: C1 = C11, C2 = C21, C3 = C12. 51 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego Metoda macierzowa Zgodnie z poprzednimi uwagami, rozwizanie problemu pocztkowego (2.13), (2.14) jest postaci x(t) =e(t-t0)AÚ (2.19) x natomiast caBk ogóln ukBadu (2.13) mo|na przedstawi nastpujco x(t) =etAC (2.20) gdzie C jest dowolnym wektorem nale|cym do Rn (C =(C1, . . . , Cn)). Obecnie zajmiemy si prostszym przedstawieniem wyra|enia etA. Niech Jpi jest macierz kwadratow stopnia pi postaci îø ùø »i 1 0 . . . 0 ïø úø 0 »i 1 . . . 0 ïø úø ïø . . úø . . . . . . . . ïø úø . . . Jpi = . . , ïø úø ïø úø . . . . . . ðø ûø . . . »i 1 0 . . . . . . 0 »i gdzie »i jest liczb rzeczywist lub zespolon. s Niech i =1, . . . , s, przy czym pi = n i=1 îø ùø Jp1 0 0 . . . 0 ïø úø 0 Jp2 0 . . . 0 ïø úø J = . ðø ûø . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . 0 Jps Macierz J jest macierz kwadratow stopnia n i nosi nazw macierzy Jordana, nato- miast macierze Jp1, Jp2, . . . , Jps wchodzce w skBad tej macierzy nazywa si klatkami Jordana. Z teorii funkcji argumentu macierzowego wiadomo, |e t2 tpi-1 1 t . . . 2! (pi-1)! tpi-2 etJpi = e»it 0 1 t . . . , (pi-2)! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . 0 1 natomiast etJp1 0 . . . . . . 0 0 etJp2 0 . . . 0 etJ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . 0 etJps 52 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Twierdzenie 2.7. Dla dowolnej macierzy A stopnia n o wyrazach rzeczywi- stych, istnieje taka macierz P , |e: 1æ% A = PJP-1, -1 2æ% etA = PetJP , gdzie J jest macierz Jordana. Konstrukcja macierzy P i J Definicja 2.7. Wektorem gBównym rzdu k macierzy A odpowiadajcym war- to[ci wBasnej »i nazywamy taki wektor v, który speBnia równanie [A - »iE]kv =0. Zauwa|my, |e je|eli w jest wektorem gBównym rzdu k, to wektor v, s peBniajcy równanie [A - »iE]v = w jest wektorem gBównym rzdu k +1. Definicja 2.8. Niech v0 bdzie wektorem wBasnym macierzy A odpowiadaj- cym warto[ci wBasnej ». Wówczas wektory v1, . . . , vr, gdzie vi =[A - »E]vi-1, i =1, . . . , r, nazywamy odpowiadajcymi mu wektorami gBównymi odpowiednio rzdu 2, . . . , (r+1). Twierdzenie 2.8. Je|eli »0 jest warto[ci wBasn macierzy A o krotno[ci m, to wymiar podprzestrzeni W wektorów wBasnych jest mniejszy bdz równy m dim W m. Twierdzenie 2.9. Z. Niech »0  warto[ wBasna macierzy A o krotno[ci n, {b1, . . . , bk}  baza podprzestrzeni W wektorów wBasnych, przy czym k <n. T. 1æ% {b(0), b(1), . . . , b(l1), . . . , b(0), b(1), . . . , b(lk)}  baza Cn, gdzie b(0) = bi oraz 1 1 1 k k k i b(i)  wektor gBówny rzdu (j-1) odpowiadajcy wektorowi wBasnemu bi, i =1, . . . , k. j 2æ% Macierz o kolumnach {b(0), b(1), . . . , b(l1), . . . , b(0), b(1), . . . , b(lk)} jest macie- 1 1 1 k k k rz przej[cia P z bazy kanonicznej do bazy 1æ% oraz, odpowiednio, macierz Jordana ma posta îø ùø Jl1 0 0 . . . 0 ïø úø 0 Jl2 0 . . . 0 ïø úø J = . ðø ûø . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . 0 Jlk 53 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego Twierdzenie 2.10. Z. Niech »1, . . . , »s bd warto[ciami wBasnymi macierzy A o krotno[ciach od- powiednio n1, . . . , ns, p rzy czym s ni = n, i=1 i niech ponadto {bi1, . . . , biki} oznacza baz podprzestrzeni W wektorów wBasnych od- powiadajcych warto[ci wBasnej »i, i =1, . . . , s. T. Wówczas ukBad wektorów (l1k1 ) b(0), . . . , b(l11), b(0), . . . , b(l12), . . . , b(0) , . . . , b1k1 , . . . , 11 11 12 12 1k1 . . . , b(0), . . . , b(lsl), . . . , b(0) , . . . , b(lsks ) s1 s1 sks sks stanowi baz przestrzeni Cn. Macierz, której kolumnami s te wektory, jest macierz przej[cia P , natomiast macierz Jordana ma posta îø ùø Jl11 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . ïø . úø . . ïø . úø 0 . ïø úø ïø . . úø . . ïø úø . Jl1k1 . ïø úø ïø úø . . . . . . J = , ïø úø . . . ïø úø ïø úø . . ïø . . úø . Jls1 . ïø úø ïø úø . . ðø . . ûø . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 0 Jlsks gdzie: Jli1, . . . , Jliki s klatkami Jordana odpowiadajcymi warto[ci wBasnej »i. PrzykBad 2.8. Dana jest macierz îø ùø 1 4 - 1 0 2 ïø úø 2 2 2 0 ïø úø . ðø ûø 0 0 3 0 -4 2 -3 3 Szukamy macierzy P i J. W tym celu znajdzmy warto[ci wBasne macierzy A îø ùø 1 (4 - ») - 10 2 ïø úø det(A - »E) =detïø 2 (2 - ») 2 0úø =(3 ïø úø - »)4, ðø 00 (3 - ») 0ûø -4 2 -3 (3 - ») 54 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego » = 3 jest czterokrotn warto[ci wBasn. Wektory wBasne wyznaczamy z równania (A - 3E)v = 0, czyli îø ùø îø ùø îø ùø 1 1 - 1 0 v1 0 2 ïø úø ïø úø ïø úø v2 0 2 -1 2 0 ïø úø ïø úø ïø úø = , ðø ûø ðø ûø ðø ûø v3 0 0 0 0 0 v4 0 -4 2 -3 0 îø ùø îø ùø 1 0 ïø úø ïø úø 2 0 ïø úø, b2 = ïø úø, ±, ² " C. std W = {v : v = ±b1 + ²b2}, gdzie: b1 = ðø ûø ðø ûø 0 0 0 1 Dla bazy podprzestrzeni W szukamy wektorów gBównych. W tym celu rozwi- zujemy równania: (A - 3E)b(1) = b1, (A - 3E)b(1) = b2, 1 2 std îø ùø îø ùø ±1 - 3 ²1 - 1 ïø ïø 2±1 úø 2²1 úø ïø úø ïø úø b(1) = oraz b(1) = . 1 2 ðø ûø ðø ûø 4 1 ±2 ²2 Przyjmujc np. ±1 = ±2 =0, ²1 =1, ²2 = 0 uzyskujemy baz przestrzeni: îø ùø îø ùø îø ùø îø ùø 1 -3 0 0 ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø 2 0 0 2 ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø b(0) = b1 = , b(1) = , b(0) = b2 = , b(1) = , 1 1 2 2 ðø ûø ðø ûø ðø ûø ðø ûø 0 4 0 1 0 0 1 0 wobec tego: îø ùø îø ùø 3 4 - 3 0 1 -3 0 0 2 1 ïø úø ïø úø 2 0 0 2 1 - 1 0 -1 ïø úø ïø úø 2 P = , P = . ðø ûø ðø ûø 0 4 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 -4 2 -3 0 Natomiast macierz Jordana bdzie zawiera dwie klatki o wymiarze 2 îø ùø 3 1 0 0 ïø úø 0 3 0 0 ïø úø J = . ðø ûø 0 0 3 1 0 0 0 3 Tak wic A = PJP-1, 55 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego za[ îø ùø e3t te3t 0 0 ïø úø 0 e3t 0 0 -1 ïø úø etA = P P , ðø ûø 0 0 e3t te3t 0 0 0 e3t po wymno|eniu îø ùø t 1+t - t 0 2 ïø úø 2t 1 - t 2t 0 ïø úø etA = e3t . ðø ûø 0 0 1 0 -4t 2t -3t 1 PrzykBad 2.9. Dla porównania, rozwa|my ponownie ukBad równaD (a) z przykBa- du 2.3 îø ùø 1 1 2 ðø ûø x = Ax, gdzie A = 0 1 1 (a) 0 0 2 Na podstawie wzoru (2.20) caBka ogólna ukBadu (a) ma posta x = etAC, gdzie îø ùø C1 ðø C = C2 ûø jest dowolnie zadanym wektorem, nale|cym do R3. C3 Z przykBadu 2.3 wiadomo, |e »1 =1 o krotno[ci n1 = 2 oraz »2 =2 o krotno[ci n2 = 1, s warto[ciami wBasnymi macierzy A. Natomiast odpowiadajcymi im podprzestrzeniami wektorów wBasnych s od- powiednio: ñø îø ùø üø 1 òø ýø 1 ðø ûø W = v : v = ± 0 , ± " R , óø þø 0 ñø îø ùø üø 3 òø ýø 2 ðø ûø W = v : v = ² 1 , ² " R . óø þø 1 1 Poniewa| ±1 = jest pierwiastkiem podwójnym, a dim W = 1, wic dla wektora îø1 ùø 1 ðø ûø, bazowego b0 = 0 znajdziemy wektor gBówny b1, z równania (A - E)b1 = b0, tj. 1 1 1 1 0 îø ùø îø ùø îø ùø 0 1 2 a 1 ðø ûø ðø ûø ðø ûø 0 0 1 b = 0 , 0 0 1 c 0 gdzie: a, b, c oznaczaj wspóBrzdne szukanego wektora b1. 1 56 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Aatwo sprawdzi, |e a = ³ (³  dowolne), b = 1, c = 0, jest rozwizaniem ukBadu. Przyjmujc ³ = 0 otrzymujemy baz ñø üø îø ùø îø ùø îø ùø 1 0 3 òø ýø ðø ûø ðø ûø ðø ûø B = 0 , 1 , 1 przestrzeni R3 óø þø 0 0 1 oraz macierz przej[cia z bazy kanonicznej do bazy B îø ùø îø ùø 1 0 3 1 0 -3 -1 ðø ûø ðø ûø P = 0 1 1 , std P = 0 1 -1 . 0 0 1 0 0 1 Poniewa| dla »1 = 1 wektorowi wBasnemu b0 odpowiada jeden wektor gBówny, za[ 1 »2 = 2 jest pierwiastkiem pojedynczym, zatem macierz Jordana bdzie zawiera dwie klatki, pierwsz o wymiarze 2 i drug o wymiarze 1, czyli îø ùø 1 1 0 ðø ûø J = 0 1 0 0 0 2 oraz îø ùø et tet 0 ðø ûø etJ = 0 et 0 , 0 0 e2t natomiast îø ùø îø ùø îø ùø 1 0 3 et tet 0 1 0 -3 -1 ðø ûø ðø ûø ðø ûø etA = PetJP = 0 1 1 0 et 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 e2t 0 0 1 lub po wymno|eniu îø ùø et tet (-3et - tet +3e2t) ðø ûø etA = 0 et (-et + e2t) , 0 0 e2t tak wic na podstawie (2.20) caBka ogólna ukBadu (a) ma posta îø ùø ëøîø ùø îø ùøöø 1 0 1 ðø ûø íøðø ûø ðø ûøøø x(t) =C1et 0 + C2et 1 + t 0 + 0 0 0 ñø ëøîø ùø îø ùøöø îø ùø üø -3 -1 3 òø ýø íøðø ûø ðø ûøøø ðø ûø + C3 et -1 + t 0 + e2t 1 óø þø 0 0 1 57 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego lub îø ùø ëøîø ùø îø ùøöø îø ùø 1 0 1 3 ðø ûø íøðø ûø ðø ûøøø ðø ûø x(t) =C1et 0 + C2et 1 + t 0 + C3e2t 1 , 0 0 0 1 gdzie: C1 = C1 - 3C3, C2 = C2 - C3. PrzykBad 2.10. Wyznaczy caBk ogóln ukBadu -7 1 x = Ax, gdzie A = (a) -2 -5 Wyznaczamy warto[ci wBasne -7 - » 1 det(A - »E) =det = »2 +12» +37 =0, -2 -5 - » zatem: »1 = -6+i  krotno[ n1 =1, »2 = -6 - i  krotno[ n2 =1 oraz, odpowiednio: 1 1 W = v : v = ± , ± " C , 1+i 1 2 W = v : v = ² , ² " C , 1 - i czyli 1 1 P = , 1+i 1 - i natomiast 1 1+i -i -1 P = , 1 2 - i i za[: -6+i 0 J = , 0 -6 - i e(-6+i)t 0 cos t + i sin t 0 etJ = = e-6t , 0cos t - i sin t 0 e(-6-i)t zatem e-6t 1 1 cos t + i sin t 0 1+i -i etA = , 1+i 1 - i 0cos t - i sin t 1 - i i 2 58 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego po wymno|eniu cos t - sin t sin t etA = e-6t . -2s int sin t +cos t CaBka ogólna równania (a) jest nastpujca C1 cos t - sin t sin t C1 x(t) =etA = e-6t C2 -2s int sin t +cos t C2 lub: x1(t) =e-6t[C1(cos t - sin t) +C2 sin t], x2(t) =e-6t[-2C1 sin t + C2(sin t +cos t)]. Uwaga 2.3. W metodzie macierzowej uzyskujemy zawsze rozwizanie rzeczy- wiste (poniewa| dla macierzy rzeczywistej A macierz eA(t-t0) jest te| rzeczywista). Uwaga 2.4. Poniewa| kolumny macierzy eAt stanowi ukBad fundamentalny rozwizaD, wic eAt = W (t). -1 Uwaga 2.5. Poniewa| eAt = eA(-t), wic rodzina funkcji îø ùø t ðøC x(t) =eAt + eA(-Ä )b(Ä)dÄûø t0 jest rozwizaniem ogólnym ukBadu liniowego niejednorodnego (2.3) (przy czym C = =(C1, . . . , Cn) oraz t0  dowolnie ustalona liczba rzeczywista). Zadania Stosujc znane metody znalez caBk ogóln ukBadu jednorodnego x = Ax, je|eli: îø ùø 1 0 2 ðø ûø 1. A = 0 1 -4 -1 0 -2 îø ùø -3 4 -2 ðø ûø 2. A = 1 0 1 6 -6 5 îø ùø 4 -1 0 ðø ûø 3. A = 3 1 -1 1 0 1 59 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego îø ùø -3 2 2 ðø ûø 4. A = -3 -1 1 -1 2 0 îø ùø 0 1 1 ðø ûø 5. A = 1 1 0 -1 0 1 Rozwiza problem pocztkowy Cauchy ego, x = Ax, x(t0) =Ú x: îø ùø îø ùø 1 0 -1 1 1 ïø úø ðø ûø, 6. A = 0 0 1 x(0) = ðø ûø 2 1 -1 0 1 2 îø ùø îø ùø 21 -8 -19 -3 ðø ûø, ðø ûø 7. A = 18 -7 -15 x(0) = 4 16 -6 -15 -4 îø ùø îø ùø 5 -1 -4 1 ðø ûø, ðø ûø 8. A = -12 5 12 x(0) = 1 10 -3 -9 1 îø ùø îø ùø 1 0 -1 1 ðø ûø, ðø ûø 9. A = -6 2 6 x(0) = 1 4 -1 -4 1 Znalez caBk ogóln ukBadu niejednorodnego: ñø dx ôø òø - y =cos t dt 10. dy ôø óø =1 - x dt ñø dx ôø òø +5x + y = et dt 11. dy ôø óø +3y - x = e2t dt ñø dx ôø ôø =2x + y - 2z - t +2 ôø ôø dt ôø òø dy 12. = -x +1 ôø dt ôø ôø ôø dz ôø óø = x + y - z - t +1 dt Odpowiedzi îø ùø îø ùø 2 - e-t 0 2(1 - e-t) C1 ïø úø ïø 1. x = -4+2(et + e-t) et -4(1 - e-t) C2 úø ðø ûø ðø ûø -1+e-t 0 2e-t - 1 C3 60 BG AGH 2.1. UkBady liniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego îø ùø îø ùø îø ùø 1 0 1 ðø ûø ðø ûø ðø ûø 2. x = C1et 1 + C2e2t 1 + C3e-t 0 0 2 -1 îø ùø îø ùø îø ùø 1 t t2 ðø ûø ðø ûø ðø ûø 3. x = C1e2t 2 + C2e2t 2t - 1 + C3e2t -2t +2t2 1 t - 1 2 - 2t + t2 îø ùø îø ùø îø ùø 0 cos2t sin 2t ðø ûø ðø ûø ðø ûø 4. x = C1e-2t 1 + C2e-t - sin 2t + C3e-t cos2t -1 cos2t sin 2t îø ùø îø ùø îø ùø 1 0 1 ûø ðø ûø ðø ûø 5. x = C1 ðø -1 + C2et 1 + C3et t +1 1 -1 -t îø ùø îø ùø îø ùø 0 cos t - sin t cos t +s int ðø ûø ûø ðø ûø, 6. x = C1et 1 + C2 ðø cos t + C3 sin t 1 - sin t cos t îø ùø cos t ïø úø cos t +s int ïø úø ïø úø x = 2 ïø úø ðø ûø cos t - sin t 2 îø ùø îø ùø îø ùø 1 7cost - 11 sin t 11 cos t +7s int ðø ûø ûø ûø, 7. x = C1e-t -2 + C2 ðø 15 cos t - 9s int + C3 ðø 9cost +15s in t 2 2cost - 8s int 8cost +2s int îø ùø e-t - 4cost - 18 sin t ðø ûø x = -2e-t +6cos t - 24 sin t 2e-t - 6cost - 10 sin t îø ùø ëø îø ùø îø ùøöø 1 t +1 1 ðø ûø íøC2 ðø ûø ûøøø, 8. x = C1e-t -2 + et 3 + C3 ðø 0 2 t 1 îø ùø e-t + tet ðø ûø x = -2e-t +3et 2e-t + tet - et îø ùø îø ùø C1 + C2(t +1) +C3e-t t + e-t ðø ûø, x = ðø ûø 9. x = 3C2 - 2C3e-t 3 - 2e-t C1 + C2t +2C3e-t -1+t +2e-t îø ùø t C1 cos t + C2 sin t + cos t +1 x ïø úø 2 10. = ðø ûø t 1 y -C1 sin t + C2 cos t - sin t - cos t 2 2 61 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego ñø 4 1 ôø òø x = e-4t(C1 + C2t) + et - e2t 25 36 11. 1 7 ôø óø y = -e-4t(C1 + C2 + C2t) + et + e2t 25 36 ñø x = C1et + C2 sin t + C3 cos t ôø ôø òø 12. y = -C1et + C2 cos t - C3 sin t + t ôø ôø óø z = C2 sin t + C3 cos t +1 2.2. UkBady nieliniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego UkBad równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego mo|na zada w po- staci ogólnej F (t, x, x ) =0, gdzie F : R2n+1 ’! Rn (2.21) normalnej x = f(t, x), gdzie f : Rn+1 ’! Rn (2.22) czyli ñø x = f1(t, x1, . . . , xn) ôø 1 ôø òø x = f2(t, x1, . . . , xn) 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ôø ôø óø x = fn(t, x1, . . . , xn) n lub symetrycznej dx1 dx2 dxn+1 = = · · · = (2.23) X1(x1, . . . , xn+1) X2(x1, . . . , xn+1) Xn+1(x1, . . . , xn+1) Twierdzenie 2.11. 1æ% Ka|dy ukBad normalny (2.22) mo|na zapisa w postaci symetrycznej dx1 dx2 dxn dt = = · · · = = . f1(x, t) f2(x, t) fn(x, t) 1 2æ% Niech x0 = (x0, . . . , x0 ) " Rn+1. Je|eli funkcje X1, . . . , Xn+1 s cigBe 1 n+1 w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz przynajmniej jedna z nich jest ró|na od zera, wówczas ukBad (2.23) mo|na zastpi ukBadem normalnym zBo|onym z n równaD. Istotnie, je|eli Xi(x0) = 0, to ukBad (2.23) mo|na w pewnym otoczeniu punktu x0 zapisa w postaci dxk Xk = , k =1, 2, . . . , (i - 1), (i +1), . . . , n+ 1 (2.23a) dxi Xi UkBad (2.23a) jest ukBadem normalnym, w którym xi jest zmienn niezale|n. 62 BG AGH 2.2. UkBady nieliniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Definicja 2.9. Niech F oznacza zbiór wszystkich rozwizaD ukBadu (2.22) w [a, b]. Funkcj È : R × Rn (t, x) ’! È(t, x) " R nazywamy caBk pierwsz ukBadu (2.21), je|eli È(t, x(t)) = C. x"F C"R t"[a,b] Znaczy to, |e caBka pierwsza ukBadu (2.22) na wykresie ka|dego rozwizania przyjmuje warto[ci staBe. Twierdzenie 2.12. 1æ% UkBad (2.22) ma co najwy|ej n liniowo niezale|nych caBek pierwszych. 2æ% Je|eli È1, . . . , Èn s liniowo niezale|nymi caBkami pierwszymi ukBadu (2.22), to: È1(t, x) = C1 È2(t, x) = C2 . . . . . . . . . . . . . . Èn(t, x) = Cn gdzie Ci  dowolne staBe (i =1, . . . , n), jest caBk ogóln tego ukBadu zadan w postaci uwikBanej. 2.2.1. CaBkowanie ukBadów w postaci symetrycznej n+1 2 Dla ukBadu (2.23) i dowolnych M1, . . . , Mn Mi > 0 jest prawd, |e i=1 n+1 Mi dxi dx1 dx2 dxn+1 i=1 = = · · · = = (2.24) n+1 X1(x) X2(x) Xn+1(x) MiXi i=1 gdzie x =(x1, . . . , xn+1). n+1 Uwaga 2.6. Je[li MiXi = 0, to jedno z równaD (2.24) ma posta i=1 n+1 Mi dxi =0. i=1 63 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego PrzykBad 2.11. Znalez caBki pierwsze i caBk ogóln ukBadu dx dy dz = = (a) z - y x - z y - x Na podstawie (2.24), dla M1 = M2 = M3 =1, mamy dx dy dz dx +dy +dz = = = , z - y x - z y - x 0 std d(x + y + z) =0, a wic x + y + z = C1 jest rozwizaniem ukBadu (a) w postaci uwikBanej. Natomiast funkcja È1(x, y, z) = = x + y + z jest caBk pierwsz ukBadu (a). Niech M1 =2x, M2 =2y, M3 =2z, wówczas ukBad (a) przyjmie posta 2xdx 2y dy 2z dz 2xdx +2y dy +2z dz = = = , 2x(z - y) 2y(x - z) 2z(y - x) 0 std d(x2 + y2 + z2) =0 czyli x2 + y2 + z2 = C2 jest innym rozwizaniem ukBadu (a) oraz funkcja È2(x, y, z) =x2 + y2 + z2 jest caBk pierwsz ukBadu (a). Natomiast rozwizanie ogólne ukBadu (a) ma posta: x + y + z = C1 . x2 + y2 + z2 = C2 PrzykBad 2.12. Znalez caBki pierwsze oraz rozwizanie ogólne ukBadu ñø dy z ôø ôø = òø dx (z - y)2 (a) dz y ôø ôø = óø dx (z - y)2 64 BG AGH 2.2. UkBady nieliniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Zapiszmy ukBad (a) w postaci symetrycznej dy dz dx = = (a ) z y (z - y)2 std dy dz = , z y po scaBkowaniu y2 = z2 + C1 lub y2 - z2 = C1. Funkcja È1(x, y, z) =y2 - z2 jest caBk pierwsz ukBadu (a). W celu znalezienia innej caBki pierwszej, odejmijmy w (a ) od licznika i mianownika pierwszego uBamka, licznik i mianownik uBamka drugiego d(y - z) dx = , z - y (z - y)2 std (z - y)d(y - z) = dx, po scaBkowaniu (y - z)2 = -2x + C2 lub (y - z)2 +2x = C2. Funkcja È2(x, y, z) =2x +(y - z)2 jest równie| caBk pierwsz analizowanego ukBadu. Natomiast rozwizanie ogólne ma posta y2 - z2 = C1 . (y - z)2 +2x = C2 PrzykBad 2.13. Rozwa|my ukBad równaD ñø dx ôø òø = x2y dt (a) dy y ôø óø = - xy2 dt t 65 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego Zapiszmy (a) w postaci symetrycznej dx dy dt = = , y x2y - xy2 1 t std y dx xdy dt y dx + xdy = = = , xy x2y2 xy - x2y2 1 t t a wic d(xy) dt = , xy t po scaBkowaniu xy = C1t lub xy = C1. t xy Funkcja È(t, x, y) = jest caBk pierwsz ukBadu (a). t Inn caBk znajdziemy z równania dx dt = . x2y 1 Wstawiajc w miejsce xy = C1t, mamy dx = C1tdt, x po scaBkowaniu 1 ln |x| = C1t2 + C2 2 ale xy C1 = , t zatem 1 ln |x| = xyt + C2 2 lub 1 ln |x| - xyt = C2. 2 1 Funkcja È(t, x, y) =ln |x| - xyt jest równie| caBk pierwsz, natomiast 2 ñø xy òø = C1 t óø 1 ln |x| - xyt = C2 2 jest caBk ogóln ukBadu (a). 66 BG AGH 2.2. UkBady nieliniowe równaD ró|niczkowych rzdu pierwszego Zadania Znalez caBki pierwsze i rozwizanie ogólne ukBadu: dx dy dz 1. = = 2x - y y z dx dy dz 2. = = xz yz xy dx dy dz 3. = = 2xy y2 - x2 - z2 2yz dx dy dz 4. = = y + z x + z x + y dx dy dz 5. = = y - x x + y + z x - y dx dy dz 6. = = x(y - z) z2 + xy z(x + z) Odpowiedzi y 1. È1(x, y, z) = , È2(x, y, z) =x - 2z + y, z y = C1z x - 2z + y = C2 x 2. È1(x, y, z) = , È2(x, y, z) =xy - z2, y x = C1y xy - z2 = C2 x x2 + y2 + z2 3. È1(x, y, z) = , È2(x, y, z) = , z z x = C1z x2 + y2 + z2 = C2z x - y 4. È1(x, y, z) = , È2(x, y, z) =(x + y + z)(x - y)2, y - z x - y = C1(y - z) (x + y + z)(x - y)2 = C2 67 BG AGH 2. UkBady równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego 5. È1(x, y, z) =x + y, È2(x, y, z) =(x + y + z)(y - 3x - z), x + y = C1 (x + y + z)(y - 3x - z) =C2 y 6. È1(x, y, z) =x - y + z, È2(x, y, z) =ln |x| + , z x - y + z = C1 y ln |x| + = C2 z 68 BG AGH RozdziaB 3. Równania wy|szych rzdów 3.1. Równania liniowe rzdu n Rozwa|my problem pocztkowy (3.1), (3.2): n-1 y(n) + ak(t)y(k) = f(t) (3.1) k=0 y(t0) =y0, y (t0) =y1, . . . , y(n-1)(t0) =yn-1 (3.2) gdzie: t0 " ]a, b[, yk " R (k =0, . . . , n- 1). Je|eli funkcje ak (k =0, . . . , n - 1) oraz f s  cigBe w ]a, b[, wówczas problem pocztkowy (3.1), (3.2) ma dokBadnie jedno rozwizanie. Uwaga 3.1. Je|eli f = 0, wówczas równanie (3.1) nazywamy liniowym niejed- norodnym, natomiast gdy f = 0  liniowym jednorodnym. Po wprowadzeniu nowych zmiennych: x1(t) = y(t) x2(t) = y (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . xn(t) = y(n-1)(t) problem pocztkowy (3.1), (3.2) przyjmie posta (3.3), (3.4): ñø x = x2 ôø 1 ôø ôø ôø x = x3 òø 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3.3) ôø n-1 ôø ôø ôø x = - ak(t)xk+1 + f(t) óø n k=0 x1(t0) =y0, x2(t0) =y1, . . . , xn(t0) =yn-1 (3.4) Zauwa|my, |e ukBad (3.3) jest ukBadem liniowym n równaD rzdu pierwszego. 3.1.1. Równania liniowe jednorodne Równaniu jednorodnemu o staBych wspóBczynnikach n-1 y(n) + aky(k) =0, ak " R (k =0, . . . , n- 1) (3.1a) k=0 69 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów odpowiada ukBad ñø x = x2 ôø 1 ôø ôø ôø . . . . . . . . . . . . . . . . . . òø x = xn (3.3a) n-1 ôø n-1 ôø ôø ôø x = - y(k) óø n k=0 Równanie charakterystyczne tego ukBadu det(A - »E) =0 ma posta n-1 »n + ak»k = 0 (3.5) k=0 Pierwiastki tego równania nazywa si równie| pierwiastkami charakterystycznymi równania (3.1a): 1. Je|eli »i jest pierwiastkiem rzeczywistym równania (3.5) o krotno[ci ni, wów- czas ni yi = e»it Cktk-1, k=1 gdzie Ck s dowolnymi staBymi, jest rozwizaniem równania (3.1a), odpowiadajcym warto[ci wBasnej »i. 2. Niech »k = ± + i² bdzie pierwiastkiem charakterystycznym zespolonym o krotno[ci nk, wówczas »k = ± - i² jest równie| pierwiastkiem charakterystycznym o krotno[ci nk. Rozwizanie równania (3.1a) odpowiadajce pierwiastkom charakte- rystycznym »k i »k jest postaci îøëø öø ëø öø ùø nk nk ðøíø øø íø øø yk = e±t Cjtj-1 cos ²t + Djtj-1 sin ²tûø , j=1 j=1 gdzie: Cj, Dj s dowolnymi staBymi rzeczywistymi. Je|eli »1, . . . , »r s pierwiastkami charakterystycznymi, oraz y1, . . . , yr odpo- wiadajcymi im rozwizaniami równania (3.1a), wówczas r y = yi i=1 jest caBk ogóln równania liniowego jednorodnego (3.1a). 70 BG AGH 3.1. Równania liniowe rzdu n n Uwaga 3.2. Funkcja y(t) = Cjuj(t) jest caBk ogóln równania (3.1) wtedy j=1 i tylko wtedy, gdy ñø n ôø ôø x1(t) = Cjuj(t) ôø ôø ôø j=1 ôø ôø n ôø òø x2(t) = Cju (t) j (3.6) j=1 ôø ôø ôø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ôø ôø n ôø ôø ôø xn(t) = Cju(n-1)(t) óø j j=1 jest caBk ogóln ukBadu (3.3), a wic je|eli îø ùø u1 . . . un ïø úø u . . . u n úø det W (t) =detïø 1 =0 w [a, b]. ðø ûø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u(n-1) . . . u(n-1) n 1 Definicja 3.1. Mówimy, |e rozwizania u1, . . . , un równania (3.1) stanowi ukBad podstawowy (fundamentalny) caBek tego równania w [a, b] je|eli det W (t) =0, t"[a,b] gdzie îø ùø u1(t) . . . un(t) ïø úø u (t) . . . u (t) n úø W (t) =ïø 1 . ðø ûø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u(n-1)(t) . . . u(n-1)(t) n 1 PrzykBad 3.1. Znalez caBk ogóln równania y(6) +2y(4) + y(2) =0 (a) Równanie charakterystyczne ma posta »6 +2»4 + »2 =0, std: »1 =0, n1 =2, »2 = i, n2 =2, »2 = -i, n2 =2. Dla » = »1 =0 mamy y1 = C1 + C2t. 71 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów Dla » = »2 = i (oraz » = »2 = -i) y2 =(C3 + C4t)cost +(C5 + C6t)s int, zatem caBka ogólna równania (a) jest nastpujca y(t) =C1 + C2t +(C3 + C4t)cost +(C5 + C6t)s int. 3.1.2. Równania liniowe niejednorodne n Twierdzenie 3.1. Je|eli y0(t) = Cjuj(t) jest caBk ogóln równania jedno- j=1 rodnego n-1 y(n) + ak(t)y(k) =0 k=0 oraz y(t) jest pewn caBk szczególn równania liniowego niejednorodnego (3.1), to y(t) =y0(t) +y(t) jest caBk ogóln równania liniowego niejednorodnego (3.1). Zajmiemy si obecnie szukaniem caBki szczególnej równania (3.1). Metoda uzmienniania staBych Niech n y0 = Cjuj(t) j=1 bdzie caBk ogóln równania liniowego jednorodnego n-1 y(n) + ak(t)y(k) =0. k=0 Zgodnie z metod uzmienniania staBych (patrz podrozdz. 2.1.2) na podstawie wzo- rów (3.5) i (3.6) oraz twierdzenia 2.6, funkcja n y(t) = Cj(t)uj(t) j=1 72 BG AGH 3.1. Równania liniowe rzdu n jest rozwizaniem równania niejednorodnego (3.1) o ile funkcje Cj(t) (j =1, . . . , n) speBniaj ukBad równaD îø ùø u1 u2 . . . un îø C1 ùø îø 0 ùø ïø úø u u . . . u ïø úø ïø úø 1 2 n C2 . ïø úø ïø úø ïø úø . ïø úø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ïø úø ïø úø . = (3.7) ïø úø ïø . úø ïø úø ïø ûø ðø ûø u(n-2) u(n-2) . . . u(n-2) úø ðø . 0 ðø n ûø 1 2 f(t) u(n-1) u(n-1) . . . u(n-1) Cn n 1 2 PrzykBad 3.2. Znalez caBk ogóln równania y - 5y +4y = t (a) Rozwizujemy najpierw równanie liniowe jednorodne y - 5 +4y =0 (b) Równanie charakterystyczne ma posta »3 - 5»2 +4» =0. Pierwiastki charakterystyczne: »1 =0, n1 =1, »2 =1, n2 =1, »3 =4, n3 =1. CaBka ogólna równania (b) jest nastpujca y0(t) =C1 + C2et + C3e4t, zatem y(t) =C1(t) +C2(t)et + C3(t)e4t. Funkcje C1, C2, C3 wyznaczamy z ukBadu (patrz (3.7)) ñø C1 + C2et + C3e4t = 0 òø C10 + C2et + 4C3e4t = 0 , óø C10 + C2et +16C3e4t = t std: 1 C1(t) = t2, 8 1 C2(t) = (t +1)e-t, 3 1 C3(t) =- (4t +1)e-4t, 192 73 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów zatem caBka szczególna 1 5 21 y(t) = t2 + t + 8 16 64 oraz caBka ogólna równania (a) 1 5 21 y(t) =C1 + C2et + C3e4t + t2 + t + 8 16 64 lub 1 5 y(t) =C1 + C2et + C3e4t + t2 + t, 8 16 gdzie 21 C1 = C1 + . 64 Metoda przewidywaD ZakBadamy, |e wspóBczynniki ak (k =1, . . . , n - 1) w równaniu (3.1) s staBe. Je|eli funkcja f(t) wystpujca po prawej stronie tego równania ma posta f(t) =e±t [Wk(t)cos²t + Pm(t)s in²t] (3.8) gdzie Wk i Pm s wielomianami odpowiednio stopnia k oraz m. Je[li ponadto ± + i² jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krot- no[ci j, to y(t) =tje±t [Vs(t)cos²t + Qs(t)s in²t] (3.9) jest caBk szczególn równania (3.1), przy czym Vs, Qs s wielomianami o wspóBczyn- nikach nieoznaczonych stopnia s =max{k, m}. Je|eli liczba ± + i² nie jest pierwiastkiem charakterystycznym, wówczas w (3.9) przyjmuje si j =0. W szczególno[ci, je|eli f(t) =eatWm(t), czyli ± = a i ² = 0, to zgodnie z (3.9) przewidujemy y(t) =tjeatVm(t), gdzie j jest krotno[ci pierwiastka charakterystycznego a (bdz j =0, gdy a nie jest pierwiastkiem charakterystycznym). 74 BG AGH 3.1. Równania liniowe rzdu n PrzykBad 3.3. Rozwa|my równanie y - 5y +4y = t (a) Pierwiastki charakterystyczne i ich krotno[ci s nastpujce: »1 =0, n1 =1, »2 =1, n2 =1, »3 =4, n3 =1. Prawa strona równania ma posta f(t) =e0tt, a = 0 jest pierwiastkiem o krotno[ci n1 =1. Zatem y(t) =t(at + b) lub: y(t) = at2 + bt, y = 2at + b, y = 2a, y = 0. Wstawiajc do (a), mamy -10a +8at +4b = t, std 1 5 a = , b = , 8 16 a wic 1 5 y(t) =t t + . 8 16 PrzykBad 3.4. Znalez caBk ogóln równania yIV + y =s in t (a) Rozwizujemy równanie jednorodne yIV + y =0 (b) Pierwiastki charakterystyczne: »1 =0,n1 =2, »2 = i, n2 =1, »3 = »2 = -i, n3 =1, 75 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów zatem caBka ogólna równania jednorodnego (b) jest postaci y0(t) =C1 + C2t + C3 cos t + C4 sin t. Natomiast caBk szczególn przewidujemy nastpujco y(t) =t (A cos t + B sin t)(c) bo w naszym przykBadzie ± =0, ² =1, a wic ± + i² = i jest pierwiastkiem charak- terystycznym o krotno[ci n2 =1. Po czterokrotnym zró|niczkowaniu równo[ci (c) i wstawieniu do (a), mamy 2A sin t - 2B cos t =s in t, std 1 A = , B =0, 2 a wic 1 y(t) = t cos t 2 jest caBk szczególn równania (a), natomiast 1 y(t) =C1 + C2t + C3 cos t + C4 sin t + t cos t 2 jest jego caBk ogóln. 3.1.3. Równanie Eulera Rozwa|my równanie (Eulera) (at + b)ny(n) + a1(at + b)n-1y(n-1) + · · · + an-1(at + b)y + any = f(t) (3.10) Stosujc zamian zmiennej at + b = es (3.11) sprowadzamy równanie (3.10) do równania liniowego niejednorodnego o staBych wspóB- czynnikach. Uwaga 3.3. Jednorodne równanie Eulera po wprowadzeniu nowej zmiennej po- zostaje jednorodne. 76 BG AGH 3.1. Równania liniowe rzdu n PrzykBad 3.5. Znalez rozwizanie ogólne równania (2t +1)2y - 4(2t +1)y +8y = -8t - 4(a) Wprowadzamy now zmienn niezale|n 2t +1 = es. Po zamianie zmiennej równanie (a) przyjmuje posta d2y dy - 3 +2y = -es. ds2 ds CaBka ogólna tego równania jest nastpujca y(s) =C1es + C2e2s + ses, zatem y(t) =C1(2t +1) +C2(2t +1)2 +(2t +1) ln|2t +1| jest rozwizaniem ogólnym równania (a). Zadania Znalez caBk ogóln równania: 1. y +4y +4y =0 2. y - 6y +12y - 8y =0 3. y - 7y +16y - 12y =0 4. yIV +2y - 8y +5y =0 5. yIV +8y +16y =0 6. yIV +2y +3y +2y + y =0 7. yV + yIV +2y +2y + y + y =0 8. y - y = t2 - t +1 9. y - 4y = -12t2 +6t - 4 10. y - 2y + y =4et 11. y +6y +12y +8y =3e-2t 12. y - y = -3t +1 13. y - y + y = -13 sin 2t 14. y +4y = sin 2t 77 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów 15. y - y +4y - 4y =3e2t - 4 sin 2t 16. yIV - y =4 s in t - 8e-t +1 17. y +4y =cos2 t 18. y + y =s in t cos3t 1 19. y +4y = cos2t t2 +2t +2 20. y - 2y + y = t3 2 - t 21. y - y = et t3 sin t 22. y + y = cos2 t Wskazówka: w zadaniach 8 18 zastosowa metod przewidywaD, za[ w 19 22 metod uzmienniania staBych. 23. t3y - 3t2y +6ty - 6y =0 24. (t +1)2y - 2(t +1)y +2y =0 25. t2y - ty + y =6t ln t Znalez caBk szczególn speBniajc warunki pocztkowe lub brzegowe: 26. y +4y = sin 2t, y(0) = y (0) = 0 27. y - y = t, y(0) = 1, y (0) = -1 28. y +4y +4y =3e-2t, y(0) = y (0) = 0 29. y - y =0, y(2) = 1, y (2) = y (2) = 0 30. yV +6yIV - 3y =0, y(1) = y (1) = y (1) = y (1) = yIV (1) = 0 31. y + y =0, y(0) = y(À ) =1 2 32. y + y = t, y(0) = 1, y(À ) =À 2 2 e2 +1 33. y - y =0, y(0) = 1, y(1) = 2e Odpowiedzi 1. y = e-2t(C1 + C2t) 2. y = e2t(C1 + C2t + C3t2) 3. y = C1e3t + e2t(C2 + C3t) 78 BG AGH 3.1. Równania liniowe rzdu n 4. y = et(C1 + C2t) +e-t(C3 cos2t + C4 sin 2t) 5. y =(C1 + C2t)cos2t +(C3 + C4t) sin 2t " " 3 3 6. y = e- t/2 (C1 + C2t)cos t +(C3 + C4t)s in t 2 2 7. y = C1e-t +(C2 + C3t)cost +(C4 + C5t)s int 8. y = -t2 + t - 3+C1et + C2e-t 9. y = t3 + t + C1 + C2e4t 10. y =2t2et + et(C1 + C2t) 1 11. y = t3e-2t + e-2t(C1 + C2t + C3t2) 2 1 12. y = t3 + t2 + C1et + C2 + C3t 2 " " 3 3 t 2 13. y =3 s in 2t - 2cos2t + e C1 cos t + C2 sin t 2 2 1 14. y = - t cos2t + C1 cos2t + C2 sin 2t 4 3 1 2 15. y = e2t - t cos2t + t sin 2t + C1et + C2 cos2t + C3 sin 2t 8 5 5 16. y = t cos t +2te-t - 1+C1et + C2e-t + C3 cos t + C4 sin t 1 1 17. y = + t sin 2t + C1 cos2t + C2 sin 2t 8 8 1 1 18. y = - sin 4t + sin 2t + C1 cos t + C2 sin t 30 6 1 1 19. y = cos2t ln | cos2t| + t sin 2t + C1 cos2t + C2 sin 2t 4 2 1 20. y = + et(C1 + C2t) t 1 21. y = et + C1 + C2et t 1 22. y = +(cos t)ln| cos t| +(s int)(- tg t + t) +C1 + C2 cos t + C3 sin t cos t 23. y = C1t + C2t2 + C3t3 24. y = C1(t +1) +C2(t +1)2 25. y = t ln3 t + t(C1 + C2 ln t) 79 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów 1 1 26. y = - t cos2t + sin 2t 4 8 27. y = -t +cos ht 3 28. y = t2e-2t 2 29. y =1 30. y =0 31. y =s in t +cos t 32. y =cos t + t 33. y =cos h t 3.1.4. Rozwizywanie równaD liniowych za pomoc szeregów potgowych i szeregów potgowych uogólnionych W niniejszym podrozdziale ograniczymy si do rozwizywania równaD liniowych jednorodnych rzdu drugiego. Podan ni|ej metod mo|na jednak bez istotnych zmian rozszerzy na równania liniowe jednorodne dowolnego rzdu. Rozwa|ymy równanie y + p(x)y + q(x)y = 0 (3.12) z warunkami pocztkowymi y(x0) =y0 i y (x0) =y1 (3.13) Rozwizanie w postaci szeregu potgowego Twierdzenie 3.2. Je|eli wspóBczynniki p i q równania (3.12) s rozwijalne w szeregi potgowe w otoczeniu punktu x = x0: " p(x) = pk(x - x0)k, k=0 " q(x) = qk(x - x0)k k=0 zbie|ne dla |x - x0| <r, to problem pocztkowy (3.12), (3.13) ma jednoznaczne roz- wizanie y, rozwijalne w otoczeniu x0 w szereg " y = y0 + y1(x - x0) + ck(x - x0)k (3.14) k=2 który jest zbie|ny co najmniej w tym samym obszarze, co szeregi wspóBczynników p i q, tzn. dla |x - x0| <r. 80 BG AGH 3.1. Równania liniowe rzdu n Uwaga 3.4. WspóBczynniki ck szeregu (3.14) s okre[lone w sposób jedno- znaczny przez warto[ci pocztkowe y0 i y1. Mo|na je wyznaczy np. wstawiajc sze- reg (3.14) do równania (3.12) i przyrównujc do zera wspóBczynniki przy ró|nych potgach (x - x0) (metoda wspóBczynników nieoznaczonych). Uwaga 3.5. Dla znalezienia rozwizania ogólnego równania (3.12) wystarczy znalez dwie liniowo niezale|ne caBki szczególne y i y (ukBad fundamentalny). Zwykle buduje si je tak, aby w punkcie x0 byBy unormowane, tzn. y(x0) =1 i y (x0) =0 oraz y(x0) =0 i y (x0) =1. PrzykBad 3.6. Znalez rozwizanie ogólne równania (1 - x2)y - xy - y =0 (a) w otoczeniu punktu x0 =0. W tym celu wystarczy znalez ukBad fundamentalny rozwizaD y i y unormo- wany w punkcie x0 =0. Dla |x| = 1 równanie (a) jest równowa|ne równaniu x 1 y - y - y =0. 1 - x2 1 - x2 WspóBczynniki tego równania s rozwijalne w szeregi potgowe w otoczeniu x0 = 0, zbie|ne dla |x| < 1. Tak wic istniej rozwizania y i y, przy czym przedsta- wiajce je szeregi s zbie|ne co najmniej dla |x| < 1. Zgodnie z uwag 2 przyjmiemy warunki pocztkowe: y(0) = 1 i y (0) = 0 (b1) y(0) = 0 i y (0) = 1 (b2) Znajdziemy kolejne rozwizania problemów pocztkowych (a), (b1) oraz (a), (b2). Na podstawie wzoru (3.14) " " y =1 + ckxk oraz y = x + ckxk. k=2 k=2 Wstawiajc do (a) mamy: " (-1) y =1 + ckxk k=2 " (-x) y = kckxk-1 k=2 " (1 - x2) y = k(k - 1)ckxk-2 k=2 81 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów " " " " - 1 - ckxk - kckxk + k(k - 1)ckxk-2 - k(k - 1)ckxk =0. k=2 k=2 k=2 k=2 Przyrównujc do zera wspóBczynniki przy potgach xk (k =0, 1, 2, . . . ) otrzymujemy kolejno: 1 x0 : - 1+2· 1c2 =0, std c2 = , 2! x1 : 3 · 2c3 =0, std c3 =0, . . . xk : - ck - kck +(k +1)(k +2)ck+2 - k(k - 1)ck =0, 1+k2 std ck+2 = ck dla k 2, a wic (k +1)(k +2) ñø (1+2)2(1+4)2 . . . [1+(k - 2)2] òø dla k =2m ck = . k! óø0dla k =2m +1 Zatem " (1+2)2(1+4)2 . . . [1+(2m - 2)2] y =1 + x2m dla |x| < 1. (2m)! m=1 Postpujc analogicznie wyznaczamy wszystkie wspóBczynniki ck dla rozwizania y. W rezultacie otrzymamy " 2(1 + 3)2 . . . [1+(2m - 1)2] y = x + x2m+1 dla |x| < 1. (2m +1)! m=1 Rozwizaniem ogólnym równania (a) jest y = C1y + C2y. Rozwizanie w postaci uogólnionego szeregu potgowego Definicja 3.2. Szereg postaci " (x - x0)Á ck(x - x0)k, k=0 gdzie c0 =0, nazywamy uogólnionym szeregiem potgowym. 82 BG AGH 3.1. Równania liniowe rzdu n Niech x = x0 bdzie punktem osobliwym równania (3.12), tzn. punktem oso- bliwym przynajmniej jednego ze wspóBczynników tego równania. Wówczas twierdze- nie 3.2 jest niestosowalne. Jednak|e w wielu przypadkach mo|na znalez rozwizanie równania (3.12) w postaci uogólnionego szeregu potgowego. Twierdzenie 3.3. Je|eli wspóBczynniki równania (3.12) w otoczeniu punktu x0 daj si przedstawi w postaci: " 1 p(x) = pk(x - x0)k, x - x0 k=0 " 1 q(x) = qk(x - x0)k, (x - x0)2 k=0 2 2 gdzie p2 + q0 + q1 =0 i szeregi potgowe wystpujce w tych równo[ciach s zbie|ne 0 dla |x - x0| <R, to równanie (3.12) ma przynajmniej jedno rozwizanie szczególne dane wzorem " y =(x - x0)Á ck(x - x0)k (c0 = 0) (3.15) k=0 " przy czym szereg ck(x - x0)k jest zbie|ny co najmniej dla |x - x0| <R. k=0 W celu okre[lenia wykBadnika Á i wspóBczynników ck nale|y podstawi sze- reg (3.15) do równania (3.12), upro[ci przez (x - x0)Á i przyrówna do zera wspóB- czynniki przy ró|nych potgach (x - x0). Z tym, |e warto[ wykBadnika wyznacza si z tzw. równania wyznaczajcego w punkcie x0. Jego posta jest nastpujca Á(Á - 1) + p0Á + q0 = 0 (3.16) gdzie: p0 = lim (x - x0)p(x), q0 = lim (x - x0)2q(x). W przypadku gdy pierwiastki x’!x0 x’!x0 Á1 i Á2 równania (3.16) s ró|ne, to Á jest tym spo[ród nich, który ma wiksz cz[ rzeczywist. Niech Á = Á1, wówczas " y1 =(x - x0)Á1 c(1)(x - x0)k (c(1) = 0) (3.17) k 0 k=0 Je|eli ró|nica pierwiastków Á1 - Á2 nie jest liczb caBkowit dodatni, to istnieje równie| rozwizanie odpowiadajce pierwiastkowi Á2 " y2 =(x - x0)Á2 c(2)(x - x0)k (c(2) = 0) (3.18) k 0 k=0 83 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów Je[li za[ ró|nica Á1-Á2 jest liczb caBkowit dodatni, to drugie rozwizanie szczególne ma posta (3.18) albo (3.19) " y2 =(x - x0)Á2 c(2)(x - x0)k + ³-1y1 ln(x - x0) (3.19) k k=0 W przypadku pierwiastków podwójnych (Á1 = Á2) istnieje tylko jedno rozwizanie postaci (3.17), drugie za[ musi by postaci (3.19). PrzykBad 3.7. Wykaza, |e równanie Bessela x2y + xy +(x2 - n2)y =0 (n =0) (a) ma rozwizanie szczególne postaci " y = xn ckxk (c0 =0) (b) k=0 Sprowadzmy to równanie do postaci (3.12) 1 (x2 - n2) y + y + y =0. x x2 Zauwa|my, |e wspóBczynniki p i q tego równania w otoczeniu punktu osobliwego x0 = 0 speBniaj zaBo|enia twierdzenia 3.3, przy czym szeregi wystpujce w rozwi- niciach tych wspóBczynników s zbie|ne dla wszystkich x. Równaniem wyznaczajcym w punkcie x0 =0 jes t Á(Á - 1) + Á - n2 =0. Pierwiastkiem tego równania s Á = n lub Á = -n. Pierwiastkowi Á = n (twierdzenie 3.3) odpowiada rozwizanie postaci (b), przy czym szereg potgowy wystpujcy po prawej stronie rozwizania jest zbie|ny dla wszystkich x. PrzykBad 3.8. Wykaza, |e równanie Bessela (n =0) xy + y + xy =0 (a) ma rozwizanie postaci " y = ckxk (b) k=0 Znalez to rozwizanie. Równanie wyznaczajce w punkcie osobliwym x0 = 0 jest nastpujce Á(Á - 1) + Á =0. 84 BG AGH 3.1. Równania liniowe rzdu n Ma ono jeden pierwiastek podwójny Á = 0. Zatem na podstawie twierdzenia 3.3 równanie (a) ma rozwizanie postaci (b), przy czym c0 =0. Stosujc metod wspóBczynników nieoznaczonych znajdujemy wspóBczynniki ck: " (x) y = c0 + c1x + ckxk k=2 " (1) y = c1 + kckxk-1 k=2 " (x) y = k(k - 1)ckxk-2 k=2 " " " c0 + c1x2 + ckxk+1 + c1 + kckxk-1 + k(k - 1)ckxk-1 =0. k=2 k=2 k=2 Przyrównujc do zera wspóBczynniki przy xk (k =0, 1, 2, . . . ) mamy: x0 : c1 =0, x1 : c0 +22c2 =0, x2 : c1 +32c3 =0, x4 : c3 +52c5 =0, . . . x2m : c2m-1 +(2m +1)2c2m+1 =0, x2m+1 : c2m +(2m +2)2c2m+2 =0. ZakBadajc c0 =1, mamy (-1)m c2m = , c2m+1 =0. (m!)222m Zatem jedno z rozwizaD równania (a) jest nastpujce " (-1)m x 2m y1 = J0(x) =1 + . (m!)2 2 m=1 Funkcj J0(x) nazywamy funkcj Bessela pierwszego rodzaju rzdu zerowego. Drugie z rozwizaD, zgodnie ze wzorem (3.19), bdzie mie posta " y2 = ³-1J0(x)lnx + ckxk. k=0 Stosujc metod wspóBczynników nieoznaczonych, przy zaBo|eniu, |e ³-1 =1, otrzymamy " 1 1 1+ + · · · + x 2k k y2 = K0(x) =J0(x)lnx + (-1)k+1 2 . (k!)2 2 k=1 85 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów Funkcj K0(x) nazywamy funkcj Bessela drugiego rodzaju rzdu zerowego. Rozwizanie ogólne równania (a) mo|na zapisa w postaci y = C1J0(x) +C2K0(x). Zadania Znalez ukBad fundamentalny rozwizaD w postaci szeregów potgowych, unormowany w punkcie x0 = 0, okre[li rozwizanie ogólne: 1. y - xy =0 2. y + x2y =0 1 3. y + y =0 1 - x 4. y + xy - (2x2 +1)y =0 Znalez dwa liniowo niezale|ne rozwizania szczególne w otoczeniu punktu osobli- wego x0, w postaci uogólnionych szeregów potgowych lub szeregów zawierajcych dodatkowo ln x: 2 5. y + y + y =0 x 1 6. x2y + xy + x2 - y =0 4 7. x(x - 1)2y + x(x - 1)y - y =0 8. x(x - 1)y +(-1+3x)y + y =0 9. x(x - 1)y +(1+x)y - y =0 10. x(x - 1)y +(-2+2x)y - 2y =0 11. x(x - 1)y +(-2+3x)y + y =0 Odpowiedzi " x3k 1. y1 = A(x) =1 + 2 · 3 · 5 · 6 · . . . · (3k - 1)3k k=1 " x3k+1 y2 = B(x) =x + 3 · 4 · 6 · 7 · . . . · 3k(3k +1) k=1 y = C1A(x) +C2B(x) 86 BG AGH 3.2. Równania nieliniowe rzdu n 1 x8 x12 2. y1 =1 - + - + . . . 3 · 4 3 · 4 · 7 · 8 3 · 4 · 7 · 8 · 11 · 12 x5 x9 x13 y2 = x - + - + . . . 4 · 5 4 · 5 · 8 · 9 4 · 5 · 8 · 9 · 12 · 13 y = C1y1 + C2y2 x2 x3 x4 2 3. y1 =1 - - - - x5 - . . . 2! 3! 4! 5! x3 2 5 y2 = x - - x4 - x5 - . . . 3! 4! 5! y = C1y1 + C2y2 x2 3 4. y1 =1 + + x4 + . . . 2! 4! 12 y2 = x + + . . . 5! y = C1y1 + C2y2 sin x cos x 5. y1 = , y2 = x x sin x cos x " 6. y1 = , y2 = " x x x 1 x 7. y1 = , y2 = + ln x 1 - x 1 - x 1 - x x 1 8. y1 = , y2 = ln |x| 1 - x 1 - x x2 1 9. y1 = , y2 = 1 - x 1 - x -2x +1 x 10. y1 =1 - x, y2 = +2(x - 1) ln x x - 1 1 1 11. y1 = ln(1 - x), y2 = x x 3.2. Równania nieliniowe rzdu n Rozwa|my równanie n-tego rzdu y(n) = f t, y, y , . . . , y(n-1) (3.20) oraz warunki pocztkowe y(t0) =y0, y (t0) =y1, . . . , y(n-1)(t0) =yn-1 (3.21) 87 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów Twierdzenie 3.4. Je|eli funkcja f jest cigBa w pewnym otoczeniu punktu (t0, y0, y1, . . . , yn-1), to problem pocztkowy posiada rozwizanie (w pewnym otocze- niu t0). Je|eli ponadto funkcja f speBnia warunek Lipschitza wzgldem (y, y , . . . , y(n-1)) w tym otoczeniu, to rozwizanie tego problemu jest jedyne. 3.2.1. Rozwizywanie równaD nieliniowych 1. Dane jest równanie nie zawierajce poszukiwanej funkcji oraz kolejnych po- chodnych, tzn. F t, y(k), y(k+1), . . . , y(n) =0, 1 k <n (3.22) Wprowadzajc now zmienn zale|n z = y(k) otrzymamy F t, z, z , . . . , z(n-k) =0. PrzykBad 3.9. Rozwiza równanie y = ty +(y )2 (a) podstawiajc y = z otrzymamy równanie rzdu pierwszego (Clairauta) z = tz +(z )2. Rozwizaniem ogólnym tego równania jest 2 z = tC1 + C1 (b) a rozwizaniem osobliwym 1 z = - t2 (c) 4 Wracajc do zmiennej y, po scaBkowaniu (b) mamy caBk ogóln równania (a) 1 2 y = t2C1 + C1t + C2, 2 88 BG AGH 3.2. Równania nieliniowe rzdu n za[ z (c) otrzymujemy jednoparametrow rodzin caBek osobliwych wyj[ciowego rów- nania 1 y = - t3 + C. 12 2. Je[li równanie nie zawiera zmiennej niezale|nej, tzn. jest postaci F y, y , . . . , y(n) = 0 (3.23) to wprowadzajc now funkcj (zale|n od y) y = z(y) obni|ymy rzd równania (3.23) o jeden, z tym, |e w otrzymanym równaniu zmienn niezale|n bdzie y. PrzykBad 3.10. Rozwiza równanie 2yy =(y )2 + y2 (a) Wprowadzmy now zmienn zale|n y = z(y), tj. dy = z(y), dt skd d2y dz dy dz = = z. dt2 dy dt dy Równanie (a) przyjmie posta dz 2yz = z2 + y2. dy Jest to równanie Bernoulliego. CaBka ogólna tego równania jest nastpujca z2 = C1y + y2, wracajc do zmiennej y mamy (y )2 = C1y + y2, skd po scaBkowaniu, otrzymamy ostatecznie y 1 ln + C1 + C1y + y2 = ±t + C2. 2 Funkcja y = 0 jest równie| rozwizaniem (szczególnym) równania (a). 89 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów 3. Równanie jednorodne wzgldem zmiennej zale|nej i jej pochodnych. Definicja 3.3. Powiemy, |e funkcja F (t, p0, . . . , pn) jest jednorodna wzgldem zmiennych p0, . . . , pn, je|eli F (t, ±p0, . . . , ±pn) =±kF (t, p0, . . . , pn). ±"R Liczb k nazywamy stopniem jednorodno[ci. Rozwa|my równanie jednorodne F (t, y, y , . . . , y(n)) = 0 (3.24) Wprowadzajc now zmienn zale|n z, wzorem y = yz obni|ymy rzd równania (3.24). PrzykBad 3.11. Rozwiza równanie tyy - t(y )2 - yy =0 (a) Niech y = yz, std y = y(z2 + z ). Wstawiajc powy|sze do (a), mamy ty2(z2 + z ) - ty2z2 - y2z =0, skd tz - z = 0 lub y =0. Po scaBkowaniu pierwszego z powy|szych równaD mamy z = C1t lub wracajc do wyj[ciowej zmiennej y = C1t, y skd 1 C1t2 2 y = C2e (b) Zauwa|my, |e krzywa y = 0 jest zawarta w caBce ogólnej (b). 90 BG AGH 3.2. Równania nieliniowe rzdu n Zadania Rozwiza równania: 1 1. y + (y )2 = ty 4 2. ty + y =1 +t 3. (t +1)y - (t +2)y + t +2=0 4. yy = y2 +(y )2y - y y 5. (y )2 - yy = y2y 6. yy +(y )2 - (y )3 ln y =0 bt(y )2 7. tyy - t(y )2 - yy " =0 a2 - t2 8. t2yy =(y - ty )2 9. t2(yy - (y )2) +tyy = y t2(y )2 + y2 Znalez rozwizania speBniajce zadane warunki pocztkowe lub brzegowe: 10. yy +(y )2 =1, y(0) = 1, y (0) = 1 11. ty = 1+(y )2, y(1) = 0, y(e2) =1 12. yy +(y )2 + yy =0, y(0) = 1, y(-1) = 0 13. 2yy + y2 - (y )2 =0, y(0) = y (0) = 1 1 2 1 1 14. y + ey y - 2y(y )2 =0, y - =1, y - = e y2 2e 2e 15. (t +1)y + t(y )2 = y , y(1) = -2, y (1) = 4 Odpowiedzi t3 1. y = C1t(t - C1) +C2, y = + C (rozwizanie osobliwe) 3 t3 t2 2. y = + + C1t ln |t| + C2t + C3 12 2 3. y =(C1et +1)t + C2 1+C2et 4. y = C1 , y = C 1 - C2et 91 BG AGH 3. Równania wy|szych rzdów 1 y 5. t = C1 - ln C2 y + C2 6. t = C1y2 + y ln y + C2 " " a2 - t2 C1 C1 7. ln |y| = - + ln + b a2 - t2 + C2 b b2 C1 t 8. y = C2te- C1 t + 2C1 2t 9. y = C2e 10. y = t +1 t2 - 1 e2 - 1 1 - t2 e2 +1 11. y = - ln |t| lub y = + ln |t| 2(e2 - 1) 4 2(e2 +1) 4 e e-t 12. y2 = + e - 1 1 - e 13. y =s in t +1 1 2 14. t = - e-y 2 2 15. y =2 ln |t| - t 92 BG AGH RozdziaB 4. Równania o pochodnych czstkowych rzdu pierwszego Definicja 4.1. Równaniem ró|niczkowym o pochodnych czstkowych rzdu m nazywamy równanie postaci n "u "mu F x, u, , . . . , =0 ik = m (4.1) "xi "xi1, . . . , "xin n 1 k=1 gdzie x =(x1, . . . , xn) " Rn jest zmienn niezale|n, za[ u = u(x) szukan funkcj. Definicja 4.2. Funkcj u okre[lon i cigB wraz z odpowiednimi pochodnymi w obszarze D ‚" Rn, speBniajc równanie (4.1) nazywamy rozwizaniem regularnym. Rozwa|a si równie| rozwizania równania (4.1), które nie speBniaj zaBo|eD re- gularno[ci w caBym obszarze D. Nale| do nich te| rozwizania zwane elementarnymi lub podstawowymi. Definicja 4.3. Powiemy, |e równanie (4.1) jest liniowe, je|eli funkcja F jest liniowa wzgldem wszystkich swoich argumentów z wyjtkiem pierwszego (tzn. z wy- jtkiem x =(x1, . . . , xn)). W szczególno[ci, równanie liniowe rzdu pierwszego ma posta n "u Ai(x) + B(x)u = g(x), "xi i=1 a rzdu drugiego n n "2u "u Aij(x) + Bk(x) + C(x)u = g(x). "xi"xj k=1 "xk i,j=1 4.1. Równania liniowe i quasi-liniowe rzdu pierwszego 4.1.1. Uwagi wstpne Dane jest równanie ró|niczkowe rzdu pierwszego "u F x, u, =0 "xi 93 BG AGH 4. Równania o pochodnych czstkowych rzdu pierwszego lub dokBadniej "u "u F x1, . . . , xn, u, , . . . , =0. "x1 "xn Przypu[my, |e równanie to mo|na zapisa w postaci (4.2) "u "u "u = f x1, . . . , xn, u, , . . . , (4.2) "xn "x1 "xn-1 Niech x0 bdzie ustalon (zadan) warto[ci oraz niech n u(x1, . . . , xn-1, x0 ) =Õ(x1, . . . , xn-1) (4.3) n gdzie Õ jest zadan funkcj. Definicja 4.4. Zagadnienie pocztkowe Cauchy ego polega na wyznaczeniu rozwizania równania (4.2) speBniajcego warunek pocztkowy (4.3). Twierdzenie 4.1. Je|eli funkcja f w równaniu (4.2) jest analityczna w otocze- niu pewnego punktu (x0, . . . , x0 , b, c1, . . . , cn-1) oraz funkcja Õ (z warunku (4.3)) jest 1 n analityczna w otoczeniu punktu (x0, . . . , x0 ), wówczas problem pocztkowy (4.2), 1 n-1 (4.3) posiada dokBadnie jedno rozwizanie analityczne w pewnym otoczeniu punktu (x0, . . . , x0 ). 1 n Uwaga 4.1. Mo|na rozwa|a zagadnienie ogólniejsze, polegajce na wyzna- czeniu rozwizania równania (4.2) przechodzcego przez zadan krzyw (x = x(t)). Zadanie to, przy pewnych zaBo|eniach o funkcji wektorowej x(t), sprowadza si do zagadnienia poprzedniego. 4.1.2. Równania liniowe jednorodne Równanie liniowe jednorodne rzdu pierwszego ma posta n "u Ai(x) = 0 (4.4) "xi i=1 Rozwa|my ukBad równaD ró|niczkowych zwyczajnych rzdu pierwszego w po- staci symetrycznej dx1 dx2 dxn = = · · · = (4.4a) A1(x) A2(x) An(x) Twierdzenie 4.2. ZaBó|my, |e funkcje Ai wystpujce w (4.4) i (4.4a) s ci- gBe w pewnym obszarze D ‚" Rn. Wówczas funkcja u = F (x1, . . . , xn) jest rozwi- zaniem równania (4.4) wtedy i tylko wtedy, gdy F (x1, . . . , xn) jest caBk pierwsz ukBadu (4.4a). 94 BG AGH 4.1. Równania liniowe i quasi-liniowe rzdu pierwszego Twierdzenie 4.3. Je|eli F1, . . . , Fn-1 s liniowo niezale|nymi caBkami pierw- szymi ukBadu (4.4a), to u(x) =G(F1(x), . . . , Fn-1(x)) jest rozwizaniem ogólnym równania (4.4). G jest tu dowoln funkcj ró|niczkowaln o warto[ciach rzeczywistych. PrzykBad 4.1. Znalez rozwizanie ogólne równania "u "u "u xz + yz - (x2 + y2) =0 (a) "x "y "z Odpowiadajcy mu ukBad równaD zwyczajnych ma posta dx dy -dz = = (a ) xz yz x2 + y2 lub inaczej: dx dy = (b) xz yz dx -dz = (c) xz x2 + y2 Z równania (b) mamy y = C1x (d) Wstawiajc do (c) uzyskujemy dx dz = - . 2 xz x2(1 + C1 ) Po scaBkowaniu, otrzymujemy x2 + y2 + z2 = C2. y Funkcje F1(x, y, z) = i F2(x, y, z) =x2 +y2 +z2 s caBkami pierwszymi ukBadu (a ), x zatem rozwizanie ogólne równania (a) ma posta y u = G , x2 + y2 + z2 , x gdzie G: R2 ’! R jest dowoln funkcj ró|niczkowaln. 95 BG AGH 4. Równania o pochodnych czstkowych rzdu pierwszego 4.1.3. Rozwizanie problemu Cauchy ego dla równania jednorodnego Poszukujemy rozwizania równania (4.4) speBniajcego warunek pocztkowy u(x1, . . . , xn-1, x0 ) =Õ(x1, . . . , xn-1) (4.5) n Niech u(x) =G(F1(x), . . . , Fn-1(x)) bdzie rozwizaniem ogólnym równania (4.4), gdzie F1, . . . , Fn-1  caBki pierwsze ukBadu (4.4a). Wówczas, eliminujc zmienne x1, . . . , xn-1 z ukBadu n równaD Fi(x1, . . . , xn-1, x0 )=Ci i =1, . . . , n- 1 n (4.6) u(x1, . . . , xn-1, x0 )=Õ(x1, . . . , xn-1) n otrzymujemy u =¦(C1, . . . , Cn-1), gdzie ¦ jest funkcj uzyskan z rozwizania ukBadu (4.6). Rozwizaniem problemu pocztkowego (4.4), (4.5) bdzie funkcja u(x) =¦ (F1(x), . . . , Fn-1(x)) (4.7) PrzykBad 4.2. Rozwiza problem pocztkowy (a), (b): "u "u z "u x + y + =0 (a) "x "y 2 "z u(1, y, z) =y + z2 (b) Najpierw nale|y znalez dwie liniowo niezale|ne caBki pierwsze ukBadu dx dy 2dz = = (a ) x y z s nimi: y z2 F1(x, y, z) = , F2(x, y, z) = . x x Z ukBadu (patrz (4.6)) ñø y ôø = C1 ôø ôø 1 òø z2 = C2 , ôø ôø 1 ôø óø u = y + z2 eliminujc zmienne y i z, uzys kujemy u = C1 + C2, zatem rozwizanie problemu (a), (b) ma posta y z2 u(x, y, z) = + . x x 96 BG AGH 4.1. Równania liniowe i quasi-liniowe rzdu pierwszego 4.1.4. Równania quasi-liniowe Równanie postaci n "u Ai(x, u) = B(x, u) (4.8) "xi i=1 nazywamy quasi-liniowym. Szukamy rozwizania w postaci uwikBanej. Niech É(x, u) = 0 (4.9) bdzie rozwizaniem równania (4.8). Wtedy "É "u "xi = - , i =1, . . . , n. "xi "É "u Po wstawieniu powy|szych zwizków do równania (4.8) oraz pewnych przeksztaBce- niach, mamy n "É "É Ai(x1, . . . , xn, u) + B(x1, . . . , xn, u) = 0 (4.10) "xi "u i=1 Równanie (4.10) jest równaniem liniowym jednorodnym, w którym x1, . . . , xn, u s zmiennymi niezale|nymi, za[ É jest szukan funkcj tych argumentów. Aby rozwiza równanie (4.10) nale|y znalez n liniowo niezale|nych caBek pierwszych ukBadu równaD zwyczajnych dx1 dx2 dxn du = = · · · = = (4.11) A1(x, u) A2(x, u) An(x, u) B(x, u) Je|eli funkcje F1(x, u), . . . , Fn(x, u) s szukanymi caBkami pierwszymi, wówczas roz- wizanie ogólne równania (4.10) ma posta É(x, u) =G(F1(x, u), . . . , Fn(x, u)). A wic zwizek G(F1(x, u), . . . , Fn(x, u)) = 0 okre[la funkcj uwikBan u, bdc rozwizaniem ogólnym równania (4.8). Uwaga 4.2. Równanie liniowe niejednorodne postaci n "u Ai(x) + D(x)u = g(x) "xi i=1 rozwizujemy tak, jak równanie quasi-liniowe, przyjmujc, |e B(x, u) =g(x)-D(x)u. 97 BG AGH 4. Równania o pochodnych czstkowych rzdu pierwszego PrzykBad 4.3. Znalez rozwizanie ogólne równania "u "u xu + yu = x2 + y2 + u2 (a) "x "y Odpowiadajcy mu ukBad równaD zwyczajnych jest nastpujcy dx dy du = = xu yu x2 + y2 + u2 lub ñø dx dy ôø òø = xu yu (b) dx du ôø óø = xu x2 + y2 + u2 Z pierwszego równania powy|szego ukBadu mamy y = C1x (c) Wstawiajc do drugiego równania ukBadu (b) uzyskujemy dx du = 2 xu x2(1 + C1) +u2 lub du x u 2 = (1 + C1) + (d) dx u x Otrzymali[my równanie ró|niczkowe zwyczajne jednorodne. Zgodnie z metod podan w rozdziale 1 wprowadzimy now zmienn u z = (e) x skd du dz = z + x . dx dx Po wstawieniu do (d) mamy dz 1 2 x = (1 + C1), dx z skd 1 2 (1 + C1)ln|x| = z2 + C2. 2 98 BG AGH 4.1. Równania liniowe i quasi-liniowe rzdu pierwszego Uwzgldniajc (c) i (e), po przeksztaBceniach mamy ostatecznie 1 u2 - 2(x2 + y2)ln|x| = C2, x2 gdzie C2 =2C2. Szukane rozwizanie ogólne równania (a) ma zatem posta y u2 y2 G , - 2 1+ ln |x| =0, x x2 x2 gdzie G  dowolna funkcja ró|niczkowalna. PrzykBad 4.4. Rozwiza problem pocztkowy (a), (b): "u "u "u x + y + z = u (a) "x "y "z 1 u(2, y, z) = (y + z)(b) 2 Odpowiedni ukBad równaD jest nastpujcy dx dy dz du = = = , x y z u skd ñø y ôø = C1 ôø ôø x ôø òø z = C2 (c) ôø x ôø ôø ôø u óø = C3 x Zgodnie z metod przedstawion w podrozdziale 4.1.3, z ukBadu ñø y ôø = C1 ôø ôø ôø 2 ôø ôø ôø z ôø ôø = C2 òø 2 u ôø ôø = C3 ôø ôø 2 ôø ôø ôø ôø 1 ôø óø u = (y + z) 2 rugujemy zmienne y, z, u, a wic 99 BG AGH 4. Równania o pochodnych czstkowych rzdu pierwszego 2C3 = C1 + C2, lub C1 + C2 - 2C3 =0. Zatem rozwizanie problemu (a), (b) z uwagi na (c), ma posta y z u + - 2 =0 x x x lub 1 u = (y + z). 2 PrzykBad 4.5. Wyznaczy powierzchni caBkow równania "u "u x + y =2u (a) "x "y przechodzc przez krzyw dan równaniami: x = t, y = t2, u = t3 (b) Szukamy caBek pierwszych ukBadu dx dy du = = , x y 2u skd ñø y ôø = C1 òø x (c) u ôø óø = C2 x2 ale x = t, y = t2, u = t3, zatem z (c) mamy t = C1 i t = C2, a wic C2 - C1 =0, czyli u y - =0 x2 x lub u = xy jest szukanym rozwizaniem. 100 BG AGH 4.1. Równania liniowe i quasi-liniowe rzdu pierwszego Zadania Znalez rozwizanie ogólne równania: "u "u "u 1. x + y + z2y =0 "x "y "z "u "u "u 2. - (y +2z) +(3y +4z) =0 "z "y "z "u "u "u 3. (mz - ny) +(nx - lz) +(ly - mx) =0 "x "y "z "u "u "u 4. (x3 +3xy2) +2y3 +2y2z =0 "x "y "z "u "u "u 5. x + y + z - x2 + y2 + z2 =0 "x "y "z "u "u "u 6. x(y2 - z2) - y(x2 + z2) + z(x2 + y2) =0 "x "y "z "u "u 7. x + y =4y "x "y 1 "u "u 8. + x2 = u 3 "x "y "u u - x "u 9. - =1 "x 3y2 "y "u "u 10. x + y = u2y "x "y Znalez rozwizanie speBniajce zadane warunki pocztkowe: "u "u "u 11. (z - y)2 + z + y =0, u(0, y, z) =2y(y - z) "x "y "z "u "u 12. (1 + x2) + xy =0, u(0, y) =y2 "x "y "u "u 1 13. y + z =0, u(1, y, z) =ln z - "x "z y "u "u "u 1 14. x + y + z = u, u(2, y, z) = (y + z) "x "y "z 2 "u "u 15. x + u =0, u(1, y) =-y "x "y Znalez powierzchni caBkow przechodzc przez zadan krzyw: "u "u 16. x + y =4y, x = t, y = t2, u =0 "x "y 101 BG AGH 4. Równania o pochodnych czstkowych rzdu pierwszego " " "u u - x "u 3 17. - =1, x = t, y = t, u =0 "x 3y2 "y "u "u 18. x + y = u2y, x = t, y = t2, u =1 "x "y Odpowiedzi y yz +1 1. u = G , x z 2. u = G(e-2x(y + z), e-x(3y +2z)) 3. u = G(lx + my + nz, x2 + y2 + z2) z y3 4. u = G , y + y x2 y 5. u = G , z + x2 + y2 + z2 x yz 6. u = G x2 + y2 + z2, x y 7. G , 4y - u =0 x 8. G(x3 - y, 3x - ln u) =0 9. G(x - u, y3 + u2 - ux) =0 y 1 10. G , + y =0 x u 11. u =2[y(y - z) +x] y2 12. u = 1+x2 x 13. u =ln z - y 1 14. u = (y + z) 2 y 15. u = ln x - 1 4(x2y - y2) 16. u = x2 y3 17. u = x - x x2 18. u = x2 + y2 - x2y 102 BG AGH RozdziaB 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego 5.1. Klasyfikacja równaD liniowych rzdu drugiego Przedmiotem naszych rozwa|aD bdzie równanie n n "2u "u Aij(x) + Bj(x) + C(x)u = g(x) (5.1) "xi"xj j=1 "xj i,j=1 gdzie: Aij, Bj, C, g s okre[lonymi w obszarze D ‚" Rn funkcjami rzeczywistymi cigBymi. Równaniu (5.1) odpowiada forma kwadratowa n Q(»1, . . . , »n) := Aij(x)»i»j (5.2) i,j=1 W ka|dym punkcie x " D form kwadratow (5.2) mo|na za pomoc nieosobliwe- go przeksztaBcenia afinicznego zmiennych »i = »i(¾1, . . . , ¾n) sprowadzi do postaci kanonicznej n 2 Q = ±i¾i , i=1 gdzie ±i przyjmuj warto[ci 1, -1, 0. Definicja 5.1. Je|eli w punkcie x " D: 1æ% wszystkie ±i s równe 1 (lub wszystkie równaj si -1), to równanie (5.1) nazywamy eliptycznym w tym punkcie; 2æ% jeden ze wspóBczynników jest ujemny a pozostaBe dodatnie (lub na odwrót), to równanie (5.1) jest w punkcie x " D hiperboliczne; 3æ% przynajmniej jeden ze wspóBczynników jest zerem, wówczas równanie (5.1) nazywamy parabolicznym. Mówimy, |e równanie (5.1) w obszarze D jest typu eliptycznego, hiperboliczne- go lub parabolicznego, je|eli jest ono w ka|dym punkcie tego obszaru odpowiednio eliptyczne, hiperboliczne lub paraboliczne. 103 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego W przypadku n = 2, równanie (5.1) mo|na zapisa w postaci "2u "2u "2u A(x, y) +2B(x, y) + C(x, y) + "x2 "x"y "y2 (5.1a) "u "u + D(x, y) + E(x, y) + F (x, y)u = g(x) "x "y Odpowiadajca mu forma kwadratowa jest nastpujca Q(»1, »2) =A»2 +2B»1»2 + C»2. 1 2 Niech ´ = AC - B2. Na podstawie definicji 5.1, je|eli: 1æ% ´ <0, to równanie (5.1a) jest hiperboliczne; 2æ% ´ = 0, to równanie (5.1a) jest paraboliczne; 3æ% ´ >0, to równanie (5.1a) jest eliptyczne. 5.2. Posta kanoniczna równania z dwiema zmiennymi niezale|nymi Metoda charakterystyk Definicja 5.2. Krzyw Õ(x, y) =cons t, gdzie Õ jest rozwizaniem równania 2 2 "Õ "Õ "Õ "Õ A +2B + C =0 "x "x "y "y nazywamy charakterystyk równania (5.1a). Definicja 5.3. Kierunek (dx, dy) okre[lony przez równanie A(dy)2 - 2B dxdy + C(dx)2 = 0 (5.3) nazywamy kierunkiem charakterystycznym równania (5.1a). Uwaga 5.1. Równanie (5.3) jest równaniem ró|niczkowym zwyczajnym krzy- wych charakterystycznych równania (5.1a). 104 BG AGH 5.2. Posta kanoniczna równania z dwiema zmiennymi niezale|nymi Twierdzenie 5.1. 1æ% Je|eli ´ <0, to równanie (5.1a) ma dwie rodziny charakterystyk rzeczywistych okre[lonych równaniami " dy B ± -´ = , gdy A =0, dx A lub " dx B ± -´ = , gdy C =0. dy C 2æ% Je|eli ´ =0, to równanie (5.1a) ma jedn rodzin charakterystyk, okre[lon równaniem dy B = , gdy A =0, dx A lub dx B = , gdy C =0. dy C 3æ% Je|eli ´ >0, to równanie (5.1a) charakterystyk rzeczywistych nie posiada. Wniosek 5.1. Równanie typu hiperbolicznego posiada dwie rodziny charak- terystyk, parabolicznego  jedn, za[ równanie typu eliptycznego charakterystyk rzeczywistych nie posiada. Twierdzenie 5.2. ZaBó|my, |e równanie (5.1a) jest w obszarze D ‚" R2 typu a) hiperbolicznego, b) parabolicznego, c) eliptycznego. Wówczas istnieje odwzorowanie D (x, y) ’! (¾, ·) =(f(x, y), g(x, y)) " D1, takie, |e równanie (5.1a) przyjmie posta: "2u "2u - + · · · =0 w przypadku a), "¾2 "·2 "2u + · · · =0 w przypadku b) "·2 oraz "2u "2u + + · · · =0 w przypadku c), "¾2 "·2 gdzie kropki oznaczaj skBadniki nie zawierajce pochodnych rzdu drugiego niewiado- mej funkcji. Rozwa|my przypadek a), tzn. zaBó|my, |e równanie (5.1a) jest typu hiperbo- licznego. 105 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Niech f(x, y) =C1 oraz g(x, y) =C2 bd krzywymi charakterystycznymi naszego równania. Wprowadzmy nowe zmienne ¾1 = f(x, y) . ·1 = g(x, y) Wiadomo na podstawie definicji krzywych charakterystycznych, |e: 2 2 "¾1 "¾1 "¾1 "¾1 A +2B + C =0 "x "x "y "y (5.4) 2 2 "·1 "·1 "·1 "·1 A +2B + C =0 "x "x "y "y Ponadto mo|na obliczy, |e: 2 2 "2u "2u "¾1 "2u "¾1 "·1 "2u "·1 = +2 + + r1, 2 2 "x2 "¾1 "x "¾1"·1 "x "x "·1 "x "2u "2u "¾1 "¾1 "2u "¾1 "·1 "·1 "¾1 "2u "·1 "·1 = + + + + r2, 2 2 "x"y "¾1 "x "y "¾1"·1 "x "y "x "y "·1 "x "y 2 2 "2u "2u "¾1 "2u "¾1 "·1 "2u "·1 = +2 + + r3, 2 2 "y2 "¾1 "y "¾1"·1 "y "y "·1 "y gdzie ri oznaczaj skBadniki nie zawierajce pochodnych rzdu drugiego. Wstawiajc powy|sze zwizki do równania (5.1a), z uwzgldnieniem (5.4), po pewnych przeksztaBceniach otrzymujemy "2u + · · · = 0 (5.5) "¾1"·1 Z kolei w równaniu (5.5) wprowadzamy nowe zmienne, jak poni|ej: ¾ = ¾1 + ·1, · = ¾1 - ·1, wówczas "2u "2u "2u = - . "¾1"·1 "¾2 "·2 Równanie (5.5) przyjmie ostatecznie posta "2u "2u - + · · · =0. "¾2 "·2 106 BG AGH 5.2. Posta kanoniczna równania z dwiema zmiennymi niezale|nymi Dla równania typu parabolicznego wystarczy przyj ¾ = f(x, y) , · = g(x, y) gdzie f(x, y) = C jest krzyw charakterystyczn równania (5.1a), natomiast g jest dowoln funkcj zmiennych x, y, niezale|n z f. Równanie typu eliptycznego posiada jedynie charakterystyki zespolone. Niech f(x, y) +ig(x, y) =C bdzie charakterystyk równania (5.1a), wówczas przyjmujc ¾1 = f(x, y) ·1 = g(x, y) sprowadzimy równanie (5.1a) do postaci c). Dowody w przypadkach b) i c) s analogiczne, jak w przypadku a). PrzykBad 5.1. Sprowadzi do postaci kanonicznej równanie "2u "2u "2u "u - 2 - 3 + =0 (a) "x2 "x"y "y2 "y Zauwa|my, |e w rozwa|anym równaniu A = 1, B = -1, C = -3, a wic ´ = AC - B2 = -4 < 0. Zatem równanie jest typu hiperbolicznego. Równanie charakterystyk ma posta (dy)2 +2dxdy - 3(dx)2 =0 lub 2 dy dy +2 - 3 =0, dx dx std dy dy = -3 (" =1, dx dx zatem y +3x = C1, y - x = C2 s szukanymi charakterystykami. Wprowadzamy nowe zmienne ¾1 = y +3x , ·1 = y - x 107 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego wobec tego: "u "u "u = 3 - , "x "¾1 "·1 "u "u "u = + , "y "¾1 "·1 oraz: "2u "2u "2u "2u =9 - 6 + , 2 2 "x2 "¾1 "¾1"·1 "·1 "2u "2u "2u "2u =3 +2 - , 2 2 "x"y "¾1 "¾1"·1 "·1 "2u "2u "2u "2u = +2 + . 2 2 "y2 "¾1 "¾1"·1 "·1 Wstawiajc powy|sze zwizki do równania (a), uzyskujemy "2u "u "u -16 + + =0. "¾1"·1 "¾1 "·1 Z kolei, niech ¾ = ¾1 + ·1 , · = ¾1 - ·1 zatem: "u "u "u = + , "¾1 "¾ "· "u "u "u = - , "·1 "¾ "· "2u "2u "2u = + . "¾1"·1 "¾2 "·2 Tak wic równanie (a) przyjmie posta "2u "2u "u -16 - +2 =0 "¾2 "·2 "¾ lub "2u "2u 1 "u - - =0. "¾2 "·2 8 "¾ Jest to posta kanoniczna równania (a). 108 BG AGH 5.2. Posta kanoniczna równania z dwiema zmiennymi niezale|nymi PrzykBad 5.2. Sprowadzi do postaci kanonicznej równanie "2u "2u "2u x2 +2xy + y2 =0 (a) "x2 "x"y "y2 Zauwa|my, |e A = x2, B = xy, C = y2, zatem´ = 0. Rozwa|ane równanie jest typu parabolicznego dla wszystkich (x, y) " R2. Równanie charakterystyk jest nastpujce x2(dy)2 - 2xy dxdy + y2(dx)2 =0 lub 2 dy dy x2 - 2xy + y2 =0, dx dx skd dy y = , dx x a wic y = Cx, y zatem jedyna krzywa charakterystyczna ma równanie = C. x Niech y ¾ = x , · = y wobec tego: "u "u y = - , "x "¾ x2 "u "u 1 "u = + , "y "¾ x "· "2u "2u y2 "u 2y = + , "x2 "¾2 x4 "¾ x3 "2u "2u y "2u y "u 1 = - + - + - , "x"y "¾2 x3 "¾"· x2 "¾ x2 "2u "2u 1 "2u 1 "2u = +2 + . "y2 "¾2 x2 "¾"· x "·2 Wstawiajc do (a) uzyskujemy "2u ·2 =0 "·2 109 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego lub "2u =0. "·2 Jest to posta kanoniczna równania (a). PrzykBad 5.3. Sprowadzi do postaci kanonicznej równanie "2u "2u "2u +2 +5 =0 (a) "x2 "x"y "y2 Jest to równanie typu eliptycznego, bowiem A =1, B =1, C =5, a wic ´ =4 > 0. Równanie charakterystyk ma posta (dy)2 - 2dxdy +5(dx)2 =0, skd dy dy =1 - 2i lub =1+2i, dx dx po scaBkowaniu, mamy y - x +2ix = C1, y - x - 2ix = C2. Podstawmy wic ¾ = y - x , · =2x wobec tego: "u "u "u = - +2 , "x "¾ "· "u "u = , "y "¾ "2u "2u "2u "2u = - 4 +4 , "x2 "¾2 "¾"· "·2 "2u "2u "2u = - +2 , "x"y "¾2 "¾"· "2u "2u = . "y2 "¾2 Wstawiajc do (a) mamy "2u "2u 4 +4 =0 "¾2 "·2 110 BG AGH 5.2. Posta kanoniczna równania z dwiema zmiennymi niezale|nymi lub "2u "2u + =0. "¾2 "·2 Uzyskali[my posta kanoniczn równania (a). PrzykBad 5.4. Sprowadzi do postaci kanonicznej a nastpnie rozwiza równanie "2u "2u "2u "u - 2s inx - cos2 x - cos x =0 (a) "x2 "x"y "y2 "y Jest to równanie typu hiperbolicznego, poniewa| ´ = - cos2 x - sin2 x = -1 < 0. Równanie charakterystyk ma posta (dy)2 +2s inxdxdy - cos2 x(dx)2 =0, skd: x + y - cos x = C1, x - y +cos x = C2. Wprowadzmy nowe zmienne ¾ = x + y - cos x . · = x - y +cos x Równanie (a) przyjmie posta "2u =0, "¾"· skd po dwukrotnym scaBkowaniu u = F (¾) +G(·), gdzie F , G s dowolnymi funkcjami ró|niczkowalnymi jednej zmiennej rzeczywistej. Zatem ostatecznie u(x, y) =F (x + y - cos x) +G(x - y +cos x). Powy|szy zwizek okre[la rozwizanie ogólne równania (a). PrzykBad 5.5. Znalez rozwizanie ogólne równania w obszarze nie zawierajcym osi ukBadu wspóBrzdnych "2u "2u "2u "u "u x2 - 2xy + y2 + x + y =0 (a) "x2 "x"y "y2 "x "y 111 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Poniewa| ´ = x2y2 - x2y2 =0, wic jest to równanie typu parabolicznego. Równanie charakterystyk ma posta x2(dy)2 +2xy dxdy + y2(dx)2 =0, skd xy = C jest jedyn krzyw charakterystyczn. Wprowadzamy nowe zmienne ¾ = xy . · = y Równanie (a) przyjmie posta "2u "u · + =0 "·2 "· lub " "u · =0, "· "· skd po scaBkowaniu "u · = F (¾), (b) "· gdzie F jest dowoln (dostatecznie regularn) funkcj zmiennej ¾. Równanie (b) rozwizujemy tak, jak równanie zwyczajne, pamitajc jedynie, |e u jest funkcj dwóch zmiennych. Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, jego rozwizaniem jest funkcja u(¾, ·) =F (¾)ln|·| + G(¾), skd, wracajc do starych zmiennych, mamy rozwizanie równania (a) u(x, y) =F (xy)ln|y| + G(xy). Metoda zastosowana w przykBadach 5.4 i 5.5 nosi nazw metody charakterystyk. 5.3. Zagadnienia graniczne Niech S bdzie powierzchni o równaniu G(x) = 0, gdzie G jest funkcj klasy C1 w pewnym obszarze D zawierajcym t powierzchni oraz x =(x1, . . . , xn) " Rn. Rozwa|my dla równania (5.1) i powierzchni S nastpujce odwzorowanie n "G "G A[G(x)] = Aij(x) . "xi "xj i,j=1 112 BG AGH 5.3. Zagadnienia graniczne Definicja 5.4. Powiemy, |e powierzchnia S jest w punkcie x0 " S zoriento- wana czasowo (przestrzennie) wzgldem równania (5.1), je|eli A[G(x0)] > 0 (A[G(x0)] < 0). Je|eli A[G(x0)] = 0, to mówimy, |e S ma orientacj charakterystyczn w punkcie x0. Uwaga 5.2. Wszystkie powierzchnie s wzgldem równania eliptycznego zo- rientowane czasowo. Uwaga 5.3. Wzgldem równania parabolicznego wszystkie powierzchnie maj orientacj czasow lub charakterystyczn. Poszukujemy (w obszarze D) rozwizania równania (5.1) speBniajcego w punk- tach powierzchni S równo[ n "u ±k(x) + ²(x)u - ³(x) = 0 (5.6) "xk k=1 gdzie: ±k, ², ³ s funkcjami okre[lonymi na powierzchni S. Warunek (5.6) nazywamy warunkiem granicznym postawionym na powierzch- ni S, za[ problem szukania rozwizania równania (5.1) w D, speBniajcego (5.6) na S  zagadnieniem graficznym. Definicja 5.5. Powiemy, |e rozwizanie zagadnienia graficznego (5.1), (5.6) zale|y w sposób cigBy od warunku graficznego, je|eli dla dowolnego µ > 0 bdzie istniaBo ´ >0, takie |e, je|eli ±(1) sup (x) - ±(2)(x) <´, k =1, . . . , n k k x"S oraz ²(1)(x) - ²(2)(x) <´ i sup ³(1)(x) - ³(2)(x) <´, sup x"S x"S to u(1)(x) - u(2)(x) <µ, sup x"D gdzie u(i) (i =1, 2) jest rozwizaniem problemu granicznego (5.1), (5.6a) n "u ±(i)(x) + ²(i)(x)u - ³(x) =0 (i =1, 2) (5.6a) k "xk k=1 Oznacza to, |e maBym zmianom warunków granicznych odpowiadaj maBe zmia- ny rozwizaD. 113 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Definicja 5.6. Powiemy, |e zagadnienie graniczne jest w danej klasie funkcji poprawnie postawione, je|eli: 1æ% Posiada rozwizanie speBniajce warunki graniczne, w których wystpuj funkcje danej klasy. 2æ% Jest w tej klasie funkcji rozwizalne jednoznacznie. 3æ% W tej klasie funkcji rozwizanie zale|y w sposób cigBy od warunków granicz- nych. Rodzaje zagadnieD granicznych Definicja 5.7. Warunki graniczne postawione na powierzchni zorientowanej przestrzennie nosz nazw warunków pocztkowych, za[ warunki postawione na po- wierzchni zorientowanej czasowo nazywaj si warunkami brzegowymi. Zagadnienie graniczne z warunkami pocztkowymi nazywamy zagadnieniem po- cztkowym, natomiast zagadnienie z warunkami brzegowymi  zagadnieniem brze- gowym. Zagadnienie graniczne, w którym wystpuj zarówno warunki brzegowe, jak i pocztkowe nosi nazw zagadnienia mieszanego. Rozwa|my problem pocztkowy (5.1), (5.7): u(x) = Õ(x) x"S (5.7) "u(x) = È(x) "l x"S gdzie: l jest dowolnym kierunkiem niestycznym do S, za[ funkcje Õ, È (z warun- ków (5.7)) oraz Aij, Bj, C, g (z równania (5.1)) s analityczne, ponadto S nie zawiera punktów charakterystycznych równania (5.1), wówczas Twierdzenie 5.3. (Cauchy ego Kowalewskiej). Ka|demu punktowi x0 " S odpowiada otoczenie Ux0 ‚" Rn, w którym problem pocztkowy (5.1), (5.7) ma dokBad- nie jedno rozwizanie w klasie funkcji analitycznych. PrzykBad 5.6. Znalez rozwizanie równania "2u "2u "2u +2 - 3 =0 (a) "x2 "x"y "y2 speBniajce warunki pocztkowe "u u(x, 0) = 3x2, (x, 0) = 0 (b) "y Równanie charakterystyk dla równania (a) ma posta 2 dy dy - 2 - 3 =0, dx dx 114 BG AGH 5.3. Zagadnienia graniczne skd y =3x + C1 lub y = -x + C2. Wprowadzamy nowe zmienne ¾ = y - 3x . · = y + x Równanie (a) przyjmie posta "2u =0, "¾"· skd u(¾, ·) =F (¾) +G(·). Wracajc do zmiennych x i y, mamy u(x, y) =F (y - 3x) +G(y + x)(c) Powy|szy wzór stanowi rozwizanie ogólne równania (a). Z warunków pocztkowych mamy 3x2 = F (-3x) +G(x) 0=F (-3x) +G (x) lub ró|niczkujc pierwsze z równaD 6x = -3F (-3x) +G (x) , 0=F (-3x) +G (x) skd: ñø 3 ôø F (-3x) =- x òø 2 . ôø 3 óø G (x) = 2 Wprowadzajc w pierwszym z równaD now zmienn z = -3x, po scaBkowaniu obu równaD mamy: 1 F (z)= z2, 4 3 G(z)= x2. 4 Wstawiajc do (c) uzyskujemy rozwizanie problemu (a), (b) 1 3 u(x, y) = (y - 3x)2 + (y + x)2. 4 4 115 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego PrzykBady zagadnieD granicznych postawionych poprawnie Równanie falowe Niech oznacza operator ró|niczkowy taki, |e n "2u 1 "2u u = - . "x2 a2 "t2 i i=1 Równanie u = 0 (5.8) nazywa si równaniem falowym. W przypadku n = 1 jest to równanie fali pBaskiej, dla n = 2  równanie drgaD membrany, a dla n = 3  równanie fal sferycznych. Warunkami granicznymi dla równania (5.8) w obszarze D dla t " (0, T) mo|e by zespóB warunków pocztkowych i brzegowych, np.:  warunki pocztkowe Cauchy ego: "u u(x, 0) = Õ(x), (x, 0) = È(x) dla x " D (5.9) "t  warunki brzegowe: I rodzaju: u(x, t) = ±(x, t), x""D "u II rodzaju: (x, t) = ²(x, t), "n x""D "u III rodzaju (x, t) +³(x, y)u(x, t) = ´(x, t), "n x""D gdzie: ±, ², ³, ´, Õ, È s zadanymi funkcjami dostatecznie regularnymi, a n wektorem prostopadBym do "D, t " (0, T). Rozwizanie u(x, t) równania (5.8) speBniajce warunki pocztkowe (5.9) oraz jeden z warunków brzegowych, nazywa si rozwizaniem odpowiednio pierwszego, drugiego lub trzeciego zagadnienia mieszanego. Równanie Laplace a Równanie n "2u "u =0, gdzie "u = (5.10) "x2 i i=1 nosi nazw równania Laplace a. 116 BG AGH 5.3. Zagadnienia graniczne 1. Zagadnienie Dirichleta polega na wyznaczeniu rozwizania równania (5.10), speBniajcego warunek brzegowy u(x) x""D = a(x), gdzie a to zadana funkcja cigBa. 2. Zagadnienie polegajce na wyznaczeniu rozwizania równania (5.10), speB- niajcego warunek "u(x) = b(x), "n x""D gdzie b to zadana funkcja cigBa, nosi nazw zagadnienia Neumanna. 3. Funkcj u(x) dostatecznie regularn speBniajc w D równanie (5.10) oraz na "D warunek "u + Ã(x)u = c(x), "n x""D gdzie: Ã, c to zadane funkcje cigBe (à 0), nazywa si rozwizaniem zagadnienia Fouriera. Równanie przewodnictwa Rozwa|my zagadnienia graniczne dla równania 1 "u "u - = 0 (5.11) a2 "t Zagadnienie pocztkowe Cauchy ego polega na znalezieniu w obszarze D ×[0, T] rozwizania równania (5.11), speBniajcego warunek pocztkowy u(x, 0) = Õ(x), x " D, gdzie Õ to zadana funkcja. Dla równania przewodnictwa okre[la si równie| warunki brzegowe I, II i III rodzaju (tak jak dla równania falowego), które wraz z warunkiem pocztkowym sBu| do formuBowania zagadnieD mieszanych, odpowiednio I, II i III rodzaju. PrzykBady zagadnieD granicznych postawionych niepoprawnie PrzykBad 5.7. Oznaczmy przez un rozwizanie nastpujcego zagadnienia poczt- kowego: "2u "2u + =0 (a) "x2 "y2 117 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego ñø ôø u(x, 0) = 0 òø (b) "u À ôø óø (x, 0) = sin nÀx "y n dla x " [0, 1] i y " [0, 1] 1 un(x, y) = sin nÀx sinh nÀy. n2 Zauwa|my, |e "un lim (x, 0) = 0, n’!" "y natomiast dla dowolnego n, istnieje takie x " ]0, 1[, |e sin nÀx =1, s kd wynika, |e gdy y0 > 0, to lim sup |un(x, y0)| =+". n’!" x"[0,1] Niech u = 0 bdzie rozwizaniem problemu (a), (b) przy n ’!", tzn. przy warunkach pocztkowych "u u(x, 0) = 0 i (x, 0) = 0. "y Z powy|szych rozwa|aD wynika, |e "un "u lim sup (x, 0) - (x, 0) =0, "y "y n’!" x"[0,1] natomiast lim sup |un(x, y) - u(x, y)| =0. n’!" x,y"[0,1] Dowodzi to braku cigBej zale|no[ci rozwizaD od warunków pocztkowych. A wic problem Cauchy ego dla równania Laplace a nie jest postawiony poprawnie. PrzykBad 5.8. Rozwa|my nastpujce zagadnienie Cauchy ego: "2u = f(x, y)(a) "x"y ñø u(x, 0) = Õ(x) òø (b) "u óø (x, 0) = È(x) "y gdzie: f, Õ, È s funkcjami cigBymi w kole K(0, r) o [rodku w pocztku ukBadu i promieniu r. 118 BG AGH 5.3. Zagadnienia graniczne ScaBkujemy równanie (a) wzgldem zmiennej x. Wówczas x "u = f(x, y)dx + C(y)(c) "y 0 a w szczególno[ci x "u (x, 0) = f(x, y)dx y=0 + C(0) = È(x), "y 0 skd wynika, |e warunkiem istnienia rozwizania jest, by f(x, 0) = È (x). CaBkujc (c) wzgldem y, mamy îø ùø y x ðø u(x, y) = f(x, y)dxûø dy + g(y)(d) 0 0 gdzie g jest dowoln funkcj ró|niczkowaln. Z warunku (b) wynika, |e îø ùø y x ðø u(x, 0) = f(x, y)dxûø dy y=0 + g(0) = Õ(x)(e) 0 0 Odejmujc stronami (d) i (e), mamy îø ùø y x ðø u(x, y) - Õ(x) = f(x, y)dxûø dy + g(y) - g(0), 0 0 skd ostatecznie îø ùø y x ðø u(x, y) =Õ(x) + f(x, y)dxûø dy + g(y), 0 0 gdzie g jest dowoln funkcj ró|niczkowaln i tak, |e g(0) = 0 i g (0) = È(0). Jak wida, nie ma jednoznaczno[ci rozwizaD. Przyczyn tego jest fakt, |e pro- blem pocztkowy zostaB zadany na charakterystyce y = 0 równania (a). 119 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Zadania "2u 1. Znalez rozwizanie równania = 0 speBniajce warunki graniczne: "x"y u(x, 0) = Õ(x), u(0, y) =È(y), gdzie Õ, È s funkcjami ró|niczkowalnymi w prze- dziale [0, 1], speBniajcymi warunek zgodno[ci Õ(0) = È(0). Udowodni, |e otrzymane rozwizanie zale|y w sposób cigBy od warunków granicznych. Sprowadzi do postaci kanonicznej równania: "2u "2u "2u "u "u 2. +2 - 3 +2 +6 =0 "x2 "x"y "y2 "x "y "2u "2u "2u "u "u 3. +4 +5 + +2 =0 "x2 "x"y "y2 "x "y "2u "2u "2u "u "u 4. - 2 + + ± + ² + cu =0 "x2 "x"y "y2 "x "y "2u "2u "2u "u 5. - 2cosx - (3+s in2 x) - y =0 "x2 "x"y "y2 "y "2u "2u "2u "u "u 6. x2 +2xy - 3y2 - 2x +4y +16x4u =0 "x2 "x"y "y2 "x "y "2u "2u "2u 7. sin2 x - 2y sin x + y2 =0 "x2 "x"y "y2 Stosujc metod charakterystyk znalez rozwizanie ogólne równania: "2u "2u "u 8. x2 - y2 - 2y =0 "x2 "y2 "y " "u "2u 9. x2 = x2 "x "x "y2 "2u "2u "2u 10. +2 - 3 =0 "x2 "x"y "y2 "2u "2u "2u "u "u 11. x2 +2xy - 3y2 + x - 3y =0 "x2 "x"y "y2 "x "y "2u "2u 12. +2 =0 "x2 "x"y "2u "2u "2u 13. x2 +2xy + y2 =0 "x2 "x"y "y2 "2u "2u "u e2x "u 14. 4y2 - e2x - 4y2 + =0 "x2 "y2 "x y "y 120 BG AGH 5.3. Zagadnienia graniczne "2u "2u "2u "u "u 15. x2 - 2xy + y2 + x + y =0 "x2 "x"y "y2 "x "y Rozwiza problem graniczny (a), (b): "2u "2u "2u 2y "u "u 16. (a) 4y2 +2(1- y2) - - 2 - =0 "x2 "x"y "y2 1+y2 "x "y "u (b) u(x, 0) = Õ0(x), (x, 0) = Õ1(x) "y "2u "2u "2u "u 17. (a) +2cos x - sin2 x - sin x =0 "x2 "x"y "y2 "y "u (b) u(x, sin x) =Õ0(x), (x, sin x) =Õ1(x) "y "2u "2u "2u 18. (a) +6 +5 =0 "x2 "x"y "y2 (b) u(x, y) =Õ(x) na charakterystyce x - y =0, u(x, y) =È(x) na charakterystyce 5x - y =0 "2u "2u "u "u 19. (a) (1 + x2) - (1 + y2) + x - y =0 "x2 "y2 "x "y "u (b) u(x, 0) = Õ0(x), (x, 0) = Õ1(x) "y "2u "2u "2u 20. (a) x2 - 2xy - 3y2 =0 "x2 "x"y "y2 "u (b) u(x, 1) = Õ0(x), (x, 1) = Õ1(x) "y Odpowiedzi 1. u(x, y) =Õ(x) +È(y) - Õ(0) Wskazówka: sup |u1(x, y) - u(x, y)| (x,y)"[0,1]×[0,1] sup |Õ1(x) - Õ(x) - (Õ1(0) - Õ(0))| + sup |È1(y) - È(y)| x"[0,1] y"[0,1] "2u 1 "u 2. + =0, ¾ = x + y, · =3x - y "¾"· 2 "¾ "2u "2u "u 3. + + =0, ¾ =2x - y, · = x "¾2 "·2 "· "2u "u "u 4. +(± + ²) + ² + cu =0, ¾ = x + y, · = y "·2 "¾ "· 121 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego "2u · - ¾ "u "u 5. + - =0, ¾ =2x +s inx + y, · =2x - sin x - y "¾"· 32 "¾ "· "2u 1 "u 1 "u x3 6. + - + u =0, ¾ = xy, · = "¾"· 4· "¾ ¾ "· y "2u 2¾ "u x 7. - =0, ¾ = y tg , · = y "·2 ¾2 + ·2 "¾ 2 x y 8. u(x, y) = F (xy) +G dla x =0, y =0 y x 1 9. u(x, y) = [F (x - y) +G(x + y)] x Wskazówka: wprowadzi now funkcj v = xu. 10. u(x, y) =F (x + y) +G(3x - y) x3 11. u(x, y) =F + G(xy) dla x =0, y =0 y 12. u(x, y) =F (2x - y) +G(y) y y 13. u(x, y) =yF + G x x 14. u(x, y) =F (ex + y2) +G(y2 - ex) dla y =0 15. u(x, y) =F (xy)ln|y| + G(xy) x+2y 2 1 16. u(x, y) =Õ0 x - y3 + Õ1(z)dz 3 2 2 x- y3 3 x-sin x+y 1 17. u(x, y) = [Õ0(x - sin x + y) +Õ0(x +s inx - y)] + Õ1(z)dz 2 x+sin x-y 5x - y y - x 18. u(x, y) =Õ + È - Õ(0) 4 4 îø ùø ² 1 - ²2 - 1 1 z2 - 1 ðøÕ0 ±2 1 19. u(x, y) = + Õ0 + Õ1 dzûø, 2 2± 2² z 2z ± " " x + x2 +1 gdzie ± = , ² = x + x2 +1 y + y2 +1 y + y2 +1 x y 3 1 x 3 1 " 4 3 20. u(x, y) = Õ0 x y + yÕ0 + x3y " [Õ0(z) - 4Õ1(z)] dz 4 4 4 y 16 z7 " 3 x y 122 BG AGH 5.4. Równania typu hiperbolicznego 5.4. Równania typu hiperbolicznego Zajmiemy si równaniem falowym (5.8) z warunkami pocztkowymi (5.9). Dla n = 1 równanie (5.8) jest równaniem fali pBaskiej. Ma ono posta "2u "2u - a2 = 0 (5.8a) "t2 "x2 za[ warunki pocztkowe (5.9) s jak poni|ej: "u u(x, 0) = Õ(x), (x, 0) = È(x) (5.9a) "t Rozwizanie problemu Cauchy ego (5.8a), (5.9a) znajduje si metod charakterystyk. Z równania (dx)2 - a2(dt)2 =0 uzyskujemy dwie charakterystyki: x - at = C1, x + at = C2. Rozwizaniem problemu (5.8a), (5.9a) jest funkcja x+at 1 1 u(x, t) = (Õ(x - at) +È(x + at)) + È(z)dz (5.12) 2 2a x-at Wzór (5.12) nosi nazw wzoru d Alemberta i okre[la wychylenie struny nieograni- czonej, w punkcie x i chwili t, przy zadanych wychyleniach pocztkowych u(x, 0) "u i prdko[ciach pocztkowych (x, 0). "t Równanie (5.8) dla n = 3 nosi nazw równania fal sferycznych i jest zazwyczaj zapisywane nastpujco "2u "2u "2u "2u - a2 + + =0 (5.8b) "t2 "x2 "y2 "z2 za[ warunki (5.9) przyjmuj posta ñø ôø u(x, y, z, 0) = Õ(x, y, z) òø (5.9b) "u ôø óø (x, y, z, 0) = È(x, y, z) "y gdzie (x, y, z) " R3. Rozwizanie problemu (5.8b), (5.9b) przedstawia wzór Kirchhoffa (5.13) îø ùø · · 1 È(¾, ·, ¶) " Õ(¾, ·, ¶) ðø u(x, y, z, t) = dSat + dSatûø (5.13) 4Àa2 t "t t Sat Sat 123 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego gdzie Sat oznacza sfer o [rodku w punkcie (x, y, z) i promieniu at. Dla n = 2 wyra|enie (5.8) jest równaniem drgaD membrany. Problem pocztko- wy (5.8), (5.9) w tym przypadku ma posta: "2u "2u "2u - a2 + =0 (5.8c) "t2 "x2 "y2 ñø u(x, y, 0) = Õ(x, y) òø (5.9c) "u óø (x, y, 0) = È(x, y) "t gdzie (x, y) " R2. Rozwizanie problemu (5.8c), (5.9c) uzyskuje si ze wzoru Kirch- hoffa, tak zwan metod zstpowania (wstawiajc z = 0 do (5.13)). Uzyskany w ten sposób wzór nosi nazw wzoru Poissona i jest nastpujcy · 1 È(¾, ·)d¾ d· u(x, y, t) = + 2Àa a2t2 - (¾ - x)2 - (· - y)2 Kat îø ùø (5.14) · " 1 Õ(¾, ·)d¾ d· ðø ûø + "t 2Àa a2t2 - (¾ - x)2 - (· - y)2 Kat gdzie Kat jest koBem o [rodku w punkcie (x, y) i promieniu at. Wzór Kirchhoffa (5.13) mo|na zapisa w formie wygodniejszej w u|yciu. Mia- nowicie, wprowadzajc nastpujc parametryzacj strefy Sat ñø ¾ = x + at cos Õ sin ¸, Õ " [0, 2À] ôø ôø òø · = y + at sin Õ sin ¸, ¸ " [0, À] ôø ôø óø ¶ = z + at cos ¸ a nastpnie korzystajc z definicji caBki powierzchniowej nieskierowanej otrzymujemy 2À À t u(x, y, z, t) = dÕ È(¾, ·, ¶)s in¸ d¸ + 4À 0 0 (5.13a) îø ùø 2À À " t ðø + dÕ Õ(¾, ·, ¶)s in¸ d¸ûø "t 4À 0 0 przy czym w miejsce ¾, ·, ¶ nale|y wstawi odpowiednie warto[ci z parametryzacji strefy Sat. 124 BG AGH 5.4. Równania typu hiperbolicznego Równanie falowe niejednorodne Obecnie zajmiemy si rozwizywaniem problemu pocztkowego dla równania falowego niejednorodnego n "2u 1 "2u - = g(x, t) (5.15) "x2 a2 "t2 i i=1 Niech n "2u 1 "2u - = 0 (5.15a) "x2 a2 "t2 i i=1 bdzie równaniem jednorodnym stowarzyszonym z (5.15). Szukamy rozwizania problemu (5.15), (5.9). W tym celu rozwa|my nastpujce zagadnienia pocztkowe: ñø òø u(x, Ä)=0 (5.16) "u óø (x, Ä)=-a2g(x, Ä) "t ñø òø u(x, 0) = 0 (5.17) "u óø (x, 0) = 0 "t 1. Szukamy rozwizania u(x, t) problemu (5.15a), (5.9) (patrz: wzór d Alemberta dla n = 1, wzór Poissona dla n = 2, wzór Kirchhoffa dla n =3). 2. Rozwizujemy problem pocztkowy (5.15a), (5.16) wstawiajc t - Ä wmiej- sce t, do odpowiedniego wzoru (jak powy|ej). Niech É(x, t, Ä) oznacza rozwizanie tego problemu. 3. Funkcja t u(x, t) = É(x, t, Ä)dÄ 0 stanowi rozwizanie problemu (5.15), (5.17). Rozwizanie problemu pocztkowego (5.15), (5.9) jest sum u i u u(x, t) =u(x, t) +u(x, t). PrzykBad 5.9. Znalez rozwizanie równania niejednorodnego fali pBaskiej "2u 1 "2u t - x - = (a) "x2 a2 "t2 a2 speBniajce warunki pocztkowe: "u u(x, 0) = 2x, (x, 0) = -5x (b) "t 125 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Niech "2u "2u - a2 =0 (a ) "t2 "x2 bdzie równaniem jednorodnym stowarzyszonym z (a). Utwórzmy warunki dodatkowe: "u u(x, Ä) =0, (x, Ä) =x - Ä (c) "t oraz "u u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 (d) "t Zgodnie ze wzorem d Alemberta rozwizanie u, problemu (a ), (b) jest postaci x+at 1 1 u(x, t) = [2(x - at) +2(x + at)] + (-5z)dz 2 a x-at lub dokBadniej u(x, t) =x(2 - 5t). Przejdzmy do rozwizania problemu (a ), (c). Zgodnie ze wzorem d Alemberta wstawiajc w miejsce t warto[ (t - Ä), mamy x+a(t-Ä ) 1 É(x, t, Ä) = (z - Ä)dz, 2a x-a(t-Ä ) skd É(x, t, Ä) =(t - Ä)(x - Ä), zatem rozwizanie u problemu (a), (d) jest nastpujce t u(x, t) = É(x, t, Ä)dÄ, 0 czyli 1 t u(x, t) = t2 x - . 2 3 Tak wic rozwizanie problemu (a), (b) ma posta 1 t u(x, t) = t2 x - + x(2 - 5t). 2 3 126 BG AGH 5.4. Równania typu hiperbolicznego PrzykBad 5.10. Znalez rozwizanie równania niejednorodnego fal sferycznych "2u "2u "2u 1 "2u y - x - zt + + - = (a) "x2 "y2 "z2 a2 "t2 a2 speBniajce warunki pocztkowe: ñø òø u(x, y, z, 0) = x2 - y - z (b) "u óø (x, y, z, 0) = x + y + z "t Równanie jednorodne stowarzyszone z (a) ma posta "2u "2u "2u 1 "2u + + - =0 (a ) "x2 "y2 "z2 a2 "t2 Utwórzmy warunki dodatkowe: ñø òø u(x, y, z, Ä)=0 (c) "u óø (x, y, z, Ä)=x - y + zÄ "t ñø òø u(x, y, z, 0) = 0 (d) "u óø (x, y, z, 0) = 0 "t Szukamy rozwizania problemu (a ), (b). Korzystajc ze wzoru Kirchhoffa w posta- ci (5.13a) mamy 2À À t u(x, y, z, t) = dÕ (¾ + · + ¶)s in¸ d¸ + 4À 0 0 îø ùø 2À À " t ðø + dÕ (¾2 - · - ¶)s in¸ d¸ûø . "t 4À 0 0 Wstawiajc w miejsce zmiennych ¾, ·, ¶ warto[ci z parametryzacji, tzn. ñø ¾ = x + at cos Õ sin ¸ ôø òø · = y + at sin Õ sin ¸ ôø óø ¶ = z + at cos ¸ a nastpnie caBkujc otrzymujemy u(x, y, z, t) =(x + y + z)t + x2 - y - z + a2t2. Przejdzmy do rozwizania problemu (a ), (c). Na podstawie wzoru (5.13a), po wstawieniu w miejsce t warto[ci (t - Ä), mamy 2À À t - Ä É(x, y, z, t, Ä) = dÕ [¾ - · + ¶Ä] s in¸ d¸, 4À 0 0 127 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego gdzie: ¾ = x + a(t - Ä)cosÕ sin ¸, · = y + a(t - Ä)s inÕ sin ¸, ¶ = z + a(t - Ä)cos¸. Po scaBkowaniu É(x, y, z, t, Ä) =(x - y + zÄ)(t - Ä). Tak wic rozwizanie u(x, y, z, t) problemu (a), (d) ma posta t u(x, y, z, t) = (x - y + zÄ)(t - Ä)dÄ 0 lub po obliczeniu caBki 1 1 u(x, y, z, t) = (x - y)t2 + zt3 . 2 3 Rozwizaniem problemu (a), (b) jest funkcja 1 1 u(x, y, z, t) = (x - y)t2 + zt3 +(x + y + z)t + x2 - y - z + a2t2, 2 3 która jest sum u + u. PrzykBad 5.11. Znalez rozwizanie równania niejednorodnego fal cylindrycznych "2u "2u 1 "2u 2x + yt + - = - (a) "x2 "y2 a2 "t2 a2 speBniajce warunki pocztkowe ñø òø u(x, y, 0) = x2 + y2 (b) "u óø (x, y, 0) = x + y "t Tworzymy warunki dodatkowe: ñø òø u(x, y, Ä)=0 (c) "u óø (x, y, Ä)=2x + yÄ "t ñø òø u(x, y, 0) = 0 (d) "u óø (x, y, 0) = 0 "t 128 BG AGH 5.4. Równania typu hiperbolicznego Niech "2u "2u 1 "2u + - =0 (a ) "x2 "y2 a2 "t2 bdzie równaniem jednorodnym stowarzyszonym z (a). Bdziemy poszukiwa kolejno rozwizaD: u problemu (a ), (b); É problemu (a ), (c) oraz u problemu (a), (d). Na podstawie wzoru Poissona · 1 (¾ + ·)d¾ d· u(x, y, t) = + 2Àa a2t2 - (¾ - x)2 - (· - y)2 Kat îø ùø · " 1 (¾2 + ·2)d¾ d· ðø ûø + . "t 2Àa a2t2 - (¾ - x)2 - (· - y)2 Kat Wprowadzajc wspóBrzdne biegunowe ¾ = x + Á cos Õ, Õ " [0, 2À] · = y + Á sin Õ, Á " [0, at] otrzymujemy 2À at 1 x + y + Á(cos Õ +s inÕ) u(x, y, t) = dÕ ÁdÁ + 2Àa a2t2 - Á2 0 0 îø ùø 2À at " 1 x2 + y2 +2Á(x cos Õ + y sin Õ) +Á2 ðø + dÕ ÁdÁûø . "t 2Àa a2t2 - Á2 0 0 Po scaBkowaniu u(x, y, t) =(x + y)t + x2 + y2 +2a2t2. Przejdzmy do szukania rozwizania É problemu (a ), (c). Zgodnie ze wzorem Poissona mamy 1 (2¾ + ·Ä)d¾ d· É(x, y, t, Ä) = . 2Àa a2(t - Ä)2 - (¾ - x)2 - (· - y)2 Ka(t-Ä) Wprowadzajc wspóBrzdne biegunowe, mamy a(tÄ ) 2À 1 2x + Äy + Á(2 cos Õ + Ä sin Õ) É(x, y, t, Ä) = dÕ . 2Àa a2(t - Ä)2 - Á2 0 0 129 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Po scaBkowaniu É(x, y, t, Ä) =(t - Ä)(2x + Äy), zatem rozwizanie u problemu (a), (d) ma posta t u(x, y, t) = (t - Ä)(2x + Äy)dÄ 0 lub po obliczeniu caBki t3y u(x, y, t) =xt2 + . 6 Tak wic rozwizanie problemu (a), (b), bdce sum u + u ma posta t3y u(x, y, t) =xt2 + +(x + y)t + x2 + y2 +2a2t2. 6 Zadania Znalez rozwizanie równania (a) przy okre[lonych warunkach pocztkowych (b): u(x, 0) = 0 "2u "2u 1. (a) =4 + sin 2t, (b) "u "t2 "x2 (x, 0) = 0 "t u(x, 0) = sin x "2u "2u 2. (a) = + ex, (b) "u "t2 "x2 (x, 0) = x +s inx "t u(x, 0) = x3 "2u "2u 3. (a) =9 + x2t, (b) "u "t2 "x2 (x, 0) = x2 "t u(x, y, 0) = ex cos y "2u "2u "2u 4. (a) = a2 + + x2 - 2y2, (b) "u "t2 "x2 "y2 (x, y, 0) = ey sin x "t u(x, y, 0) = y2 "2u "2u "2u 5. (a) = + + t cos x, (b) "u "t2 "x2 "y2 (x, y, 0) = sin x "t u(x, y, 0) = x "2u "2u "2u 6. (a) =2 + + x2 + y2, (b) "u "t2 "x2 "y2 (x, y, 0) = y "t "2u "2u "2u "2u 7. (a) = + + +2 x2 + y2 + z2 , "t2 "x2 "y2 "z2 u(x, y, z, 0) = 2x2y2z2 (b) "u (x, y, z, 0) = 3xyz "t 130 BG AGH 5.5. Równania typu eliptycznego "2u "2u "2u "2u 8. (a) = + + +4xyz, "t2 "x2 "y2 "z2 u(x, y, z, 0) = x2 + y2 - z2 (b) "u (x, y, z, 0) = 2 "t "2u "2u "2u "2u 9. (a) = a2 + + + ex sin y cos z, "t2 "x2 "y2 "z2 u(x, y, z, 0) = y2ex+z (b) "u (x, y, z, 0) = ex+z cos y "t Odpowiedzi 1 1 1. u(x, t) = t - sin 2t 2 4 2. u(x, t) =xt + ex(cosh t - 1) + sin x(sin t +cos t) 1 3 3. u(x, t) =x3 + x2t +27xt2 +3t3 + x2t3 + t5 6 20 t2 a2 4. u(x, y, t) =ex cos y + tey sin x + x2 - 3y2 - t4 2 12 5. u(x, y, t) =y2 + t2 + t cos x +s int(sin x - cos x) 1 t4 6. u(x, y, t) =x + ty + t2(x2 + y2) + 2 3 7. u(x, y, z, t) =2x2y2z2 +3txyz + t2(x2 + y2 + z2 +2x2y2 +2y2z2 +2z2x2)+ 1 2 2 +t4 + x2 + y2 + z2 + t6 2 3 15 8. u(x, y, z, t) =x2 + y2 - z2 +2t + t2(1+2xyz) 1 1 9. u(x, y, z, t) = (1 - cos at) ez cos y sin x + ex+z sinh(at)s inx+ a2 a " " at + sinh(at 2) + y2 cosh(at 2) 2 5.5. Równania typu eliptycznego Obecnie zajmiemy si rozwizaniem zagadnienia Dirichleta dla równania Lapla- ce a (5.10), oraz dla równania Poissona "u = f(x) (5.18) 131 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Niech Rn ƒ" D bdzie obszarem, którego brzeg "D dany jest równaniem G(x) =0. ZaBó|my, |e "D jest klasy C1 (tzn. G jest klasy C1). Poszukujemy rozwizania speB- niajcego warunek brzegowy u(x) x""D = a(x) (5.19) gdzie a jest klasy C1 na "D. Definicja 5.8. Ka|d funkcj klasy C2 w obszarze D, speBniajc w D równa- nie Laplace a nazywamy funkcj harmoniczn. WBasno[ci funkcji harmonicznych 1. Funkcja harmoniczna, ró|na od staBej w obszarze D, nie ma w tym obszarze maksimum, ani minimum. 2. Funkcja harmoniczna w D *" "D osiga swoje kresy na "D. n Przyjmujemy, |e w Rn dana jest norma Euklidesowa (tzn. x = x2). i i=1 Twierdzenie 5.4. 1 x - ¾ 2-n dla n>2 n-2 E(x, ¾) = (5.20) - ln x - ¾ dla n =2 dla x = ¾ jest funkcj harmoniczn ze wzgldu na obie zmienne. Definicja 5.9. Funkcja (5.20) nazywa si rozwizaniem elementarnym lub podstawowym równania Laplace a. Dla n =3 jest ona potencjaBem Badunku jednost- kowego, umieszczonego w punkcie x (lub ¾). Dla n = 2 nosi ona nazw potencjaBu logarytmicznego, Badunku umieszczonego w punkcie x (lub ¾). Rozwizanie podstawowe (5.20) posBu|y do konstrukcji rozwizania problemu granicznego (5.10), (5.19). Funkcja Greena Definicja 5.10. Funkcj Greena zagadnienia Dirichleta dla równania Lapla- ce a w obszarze D nazywamy funkcj G(x, ¾) dwóch punktów x, ¾ " D *" "D, majc nastpujce wBasno[ci: 1. G(x, ¾) = E(x, ¾) - g(x, ¾), gdzie E(x, ¾) jest rozwizaniem podstawowym równania Laplace a, a g(x, ¾) jest funkcj harmoniczn zarówno wzgldem x " D, jak i wzgldem¾ " D. 2. Gdy x " "D lub ¾ " "D, to G(x, ¾) =0. 132 BG AGH 5.5. Równania typu eliptycznego WBasno[ci funkcji Greena 1. G(x, ¾) 0 dla x " D, ¾ " D. 2. G(x, ¾) =G(¾, x). 3. G(x, ¾) jest harmoniczna ze wzgldu na x " D, i ze wzgldu na ¾ " D, przy czym x = ¾. Twierdzenie 5.5. Je|eli G(x, ¾) jest funkcj Greena dla obszaru D, wówczas funkcja 1 dG(x, ¾) u(x) =- a(¾)dS¾ (5.21) Én dn¾ "D jest rozwizaniem zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace a, czyli zagadnie- nia (5.10), (5.19), p rzy czymn¾ jest normaln zewntrzn do "D, a Én polem sfery jednostkowej w Rn 1 1 n 2 Én = 2À , “(1n) 2 “  funkcja gamma Eulera. Konstrukcja rozwizania problemu Dirichleta dla równania Poissona Twierdzenie 5.6. Funkcja okre[lona wzorem 1 u(x) =- G(x, ¾)f(¾)d¾1 . . . d¾n (5.22) Én D gdzie: G(x, ¾) jest funkcj Greena zagadnienia Dirichleta dla funkcji harmonicznych w obszarze D, a funkcja f(x) jest ograniczona i ma pierwsze pochodne cigBe i ogra- niczone w D, jest regularnym rozwizaniem równania Poissona (5.18) speBniajcym jednorodny warunek brzegowy u(x) x""D = 0 (5.23) Twierdzenie 5.7. Je|eli funkcja v(x) jest rozwizaniem problemu graniczne- go (5.10), (5.19) w obszarze D, natomiast w(x) jest rozwizaniem problemu (5.18), (5.23) w D, wówczas funkcja u(x) =v(x) +w(x) (5.24) jest rozwizaniem zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona w obszarze D (tj. problemu (5.18), (5.19)). 133 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego PrzykBad 5.12. Skonstruowa funkcj Greena dla koBa jednostkowego K = {(x1, x2) " R2 : x2 + x2 1}. 1 2 Zastosujemy tu tzw. metod punktów symetrycznych. Niech ¾ =(¾1, ¾2) " K. Oznacz- " " my przez ¾" =(¾1, ¾2) punkt le|cy na zewntrz koBa, na póBprostej 0¾, taki |e d(0, ¾)d(0, ¾") =r2 =1, gdzie d oznacza odlegBo[ euklidesow w R2, r  promieD koBa K. Zauwa|my, |e: ¾1 ¾2 " " ¾1 = , ¾2 = . 2 2 2 2 ¾1 + ¾2 ¾1 + ¾2 Punkt ¾" nazywamy punktem symetrycznym do ¾ wzgldem okrgu x2 + x2 =1. 1 2 Funkcja 1 1 2 2 " " g(x, ¾) =ln = - ln(¾1 + ¾2) (x1 - ¾1)2 +(x2 - ¾2)2 . d(0, ¾)d(x, ¾") 2 Zatem, zgodnie z definicj (5.10), funkcja Greena jest nastpujca 2 2 1 ¾1 ¾2 2 2 G(x, ¾) = ln(¾1 + ¾2) x1 - + x2 - + 2 2 2 2 2 ¾1 + ¾2 ¾1 + ¾2 1 - ln (x1 - ¾1)2 +(x2 - ¾2)2 . 2 Metoda konstrukcji funkcji Greena za pomoc punktów symetrycznych jest dobra dla dowolnych obszarów jednospójnych pBaskich lub przestrzennych. Na pBaszczyznie do konstrukcji funkcji Greena mo|na wykorzysta odwzorowania konforemne. PrzykBad 5.13. Wyznaczy funkcj Greena dla górnej póBprzestrzeni x3 > 0. Zgodnie z definicj (5.10) 1 G(x, ¾) = - g(x, ¾). x - ¾ Zauwa|my, |e punktem symetrycznym do punktu ¾ =(¾1, ¾2, ¾3) wzgldem pBaszczy- zny x3 =0, jes t ¾" =(¾1, ¾2, -¾3). Funkcja - 1 1 g(x, ¾) = = (x1 - ¾1)2 +(x2 - ¾2)2 +(x3 - ¾3)2 2 . x - ¾" W zwizku z tym funkcja Greena ma posta 1 1 G(x, ¾) = - = x - ¾ x - ¾" - 1 = (x1 - ¾1)2 +(x2 - ¾2)2 +(x3 - ¾3)2 2 + - 1 - (x1 - ¾1)2 +(x2 - ¾2)2 +(x3 + ¾3)2 2 . 134 BG AGH 5.5. Równania typu eliptycznego PrzykBad 5.14. Wyznaczy w obszarze D = {(x1, x2) " R2 : x2 > 0} rozwizanie równania Laplace a "2u "2u + =0 (a) "x2 "x2 1 2 speBniajce warunek brzegowy v0 > 0 dla |x1| a lim u(x1, x2) =F (x1) = (b) x2’!0 0dla |x1| >a Wyznaczamy funkcj Greena dla póBpBaszczyzny x2 > 0. Funkcja 1 1 g(x, ¾) =ln = - ln (x1 - ¾1)2 +(x2 + ¾2)2 , x - ¾" 2 gdzie ¾" = (¾1, -¾2) jest punktem symetrycznym do ¾ = (¾1, ¾2) wzgldem prostej x2 = 0. Tak wic funkcja Greena ma posta 1 1 G(x, ¾) =ln - ln x - ¾ x - ¾" lub inaczej 1 (x1 - ¾1)2 +(x2 + ¾2)2 G(x, ¾) = ln . 2 (x1 - ¾1)2 +(x2 - ¾2)2 Zgodnie ze wzorem (5.21), rozwizanie zagadnienia (a), (b) jest nastpujce 1 dG(x, ¾) u(x1, x2) =- F (¾1)dl¾. 2À dn¾ "D W naszym przypadku a v0 "G u(x1, x2) = d¾1. 2À "¾2 ¾2=0 -a Ale "G 2x2 = , "¾2 ¾2=0 (x1 - ¾1)2 + x2 2 zatem a v0 2x2 u(x1, x2) = d¾1 2À (x1 - ¾1)2 + x2 2 -a lub po scaBkowaniu v0 a - x1 a + x1 u(x1, x2) = arc tg +arc tg . À x2 x2 135 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Zadania 1. Wyznaczy funkcj Greena dla kuli K = {x " R3 : x2 + x2 + x2 <R2}. 1 2 3 2. Wyznaczy funkcj Greena dla obszaru D = {x " R2 : 0 <x1 < " 0 <x2 < "}. 3. Znalez rozwizanie równania Laplace a "2u "2u + =0 "x2 "x2 1 2 wobs zarze D = {x " R2 : 0 <x1 < " 0 <x2 < "}, speBniajce warunek: lim u(x1, x2) =B, lim u(x1, x2) =A. x1’!0+ x2’!0+ 4. Wyznaczy rozwizanie równania Poissona "2u "2u + =4 "x2 "x2 1 2 wkole x 2 <a2, które na brzegu przyjmuje warto[ 2a2. 5. Znalez rozwizanie równania Poissona "2u "2u + = x1 + x2 "x2 "x2 1 2 wkole x <a, które na brzegu przyjmuje warto[ 0. 6. Wyznaczy rozwizanie równania Laplace a "2u "2u "2u + + =0 "x2 "x2 "x2 1 2 3 2 x3 wkuli x 2 <R2, przyjmujce na sferze x = R warto[ci F (x) = . R 7. Wyznaczy rozwizanie równania Poissona "2u "2u + = x2 + x2 "x2 "x2 1 2 1 2 wkole x 2 <a2, które na brzegu przyjmuje warto[ 3a2. 136 BG AGH 5.6. Równania typu parabolicznego Odpowiedzi ñø 1 R ôø ôø - dla ¾ =0 ôø òø x - ¾ ¾ x - ¾" 1. G(x, ¾) = , ôø 1 1 ôø ôø óø - dla ¾ =0 x R R2 gdzie ¾" = ¾ jest punktem symetrycznym do ¾ wzgldem sfery ¾ 2 = R2. ¾ 2 2 2 1 (x2 - x2 - ¾1 + ¾2)2 +(2x1x2 +2¾1¾2)2 1 2 2. G(x, ¾) = ln 2 2 2 (x2 - x2 - ¾1 + ¾2)2 +(2x1x2 - 2¾1¾2)2 1 2 A + B A - B x2 - y2 3. u(x1, x2) = + arc tg 2 À 2xy 4. u(x1, x2) =x2 + x2 + a2 1 2 1 5. u(x1, x2) = (x1 + x2)(x2 + x2 - a2) 1 2 8 1 6. u(x1, x2, x3) = R2 - (x2 + x2 + x2) +3x2 1 2 3 3 3R2 1 7. u(x1, x2) =3a2 + (x2 + x2)2 - a4 1 2 16 5.6. Równania typu parabolicznego Rozwa|my równanie przewodnictwa n "u "2u = a2 + f(x, t), t > 0 (5.25) "t "x2 k k=1 oraz warunek pocztkowy u(x, 0) = Õ(x) (5.26) Twierdzenie 5.8. Je|eli funkcja f jest klasy C2 dla t 0 oraz jest ograniczona wraz z pochodnymi w ka|dym pasie 0 < t < T , Õ jest cigBa i ograniczona w Rn, to problem pocztkowy (5.25), (5.26) ma dokBadnie jedno rozwizanie dane wzorem Poissona 1 x - ¾ 2 u(x, t) = " Õ(¾)exp - d¾ + 4a2t (2a Àt)n Rn ñø üø (5.27) t òø f(¾, Ä) x - ¾ 2 ýø + n - d¾ dÄ exp óø 4a2(t - Ä) þø 2a À(t - Ä) 0 Rn gdzie d¾ =d¾1 . . . d¾n. 137 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Uwaga 5.4. Zagadnienie (5.25), (5.26) nosi nazw zagadnienia Cauchy ego Di- richleta. PrzykBad 5.15. Znalez rozwizanie problemu Cauchy ego Dirichleta: "u "2u "2u = + + x1x2 + et (a) "t "x2 "x2 1 2 u(x1, x2, 0) = sin x1 cos x2 (b) Stosujc wzór Poissona dla n =2, mamy " " 1 (x1 - ¾1)2 +(x2 - ¾2)2 u(x1, x2, t) = d¾1 sin ¾1 cos ¾2 exp - d¾2 + 4Àt 4t -" -" t " " ¾1¾2 + eÄ (x1 - ¾1)2 +(x2 - ¾2)2 + dÄ d¾1 exp - d¾2. 4À(t - Ä) 4(t - Ä) 0 -" -" Po scaBkowaniu uzyskujemy u(x1, x2, t) =e-2t sin x1 cos x2 + x1x2t + et - 1. Uwaga 5.5. Przy obliczaniu caBek wykorzystali[my nastpujce wzory: " " 2 e-u du = À, -" " 2 sin aue-u du =0, -" " 2 a2 cos aue-u du = e- /4"À. -" Zadania Rozwiza problem Cauchy ego Dirichleta: "u "2u 1. = +3t2, je|eli u(x, 0) = sin x "t "x2 "u "2u 2. = + et sin x, je|eli u(x, 0) = sin x "t "x2 "u 1 "2u 2 3. = , je|eli u(x, 0) = e-x sin x "t 4 "x2 138 BG AGH 5.7. Metoda rozdzielania zmiennych "u 1 "2u "2u 4. = + +cos x1 + 2, je|eli u(x1, x2, 0) = cos x1x2 "t 2 "x2 "x2 1 2 "u "2u "2u 5. = + + x3 + x3, je|eli u(x1, x2, 0) = sin x1 cos x2 "t "x2 "x2 1 2 1 2 "u "2u "2u "2u 6. = + + + x1 + x2 + x3 + t, "t "x2 "x2 "x2 1 2 3 je|eli u(x1, x2, x3, 0) = sin x1 +s inx2 +s inx3 "u "2u "2u "2u 7. =4 + + + t sin x1 +cos x2, "t "x2 "x2 "x2 1 2 3 je|eli u(x1, x2, x3, 0) = e-x1 cos2x2 + x3 Odpowiedzi 1. u(x, t) =t3 + e-t sin x 2. u(x, t) =s in x +cos ht 1 x 4x2 + t 3. u(x, t) = " sin exp - t +1 4(t +1) t +1 1 (x2 + x2)t x1x2 t 1 2 2 4. u(x1, x2, t) =2t +2 1 - e- cos x1 + " exp - cos 2(t2 +1) t2 +1 t2 +1 5. u(x1, x2, t) =t(x3 + x3) +3t2(x1 + x2) +e-2t sin x1 cos x2 1 2 1 6. u(x1, x2, x3, t) = t2 + t(x1 + x2 + x3) +e-t(sin x1 +s inx2 +s inx3) 2 1 1 7. u(x1, x2, x3, t) =e-x1-12t cos2x2+x3+ (4t-1+e-4t)s inx1+ (1-e-4t)cosx2 16 4 5.7. Metoda rozdzielania zmiennych Dane jest równanie ró|niczkowe postaci "2u " "u Á(x) = p(x) - q(x)u (5.28) "t2 "x "x gdzie: Á, p, q s dostatecznie gBadkimi funkcjami, przy czym Á >0, p >0, q 0. Przy naszych zaBo|eniach równanie (5.28) jest typu hiperbolicznego. 139 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Poszukujemy rozwizania równania (5.28) speBniajcego nastpujce warunki brzegowe ñø "u ôø òø ±u(0, t) +² (0, t)=0 "x (5.29) ôø "u óø ³u(l, t) +´ (l, t)=0 "x oraz pocztkowe ñø ôø u(x, 0) = Õ0(x) òø (5.30) "u ôø óø (x, 0) = Õ1(x) "x gdzie 0 x l. Rozwizania problemu (5.28), (5.29) poszukuje si w postaci iloczynu u(x, t) =X(x)T (t) (5.31) Z równania (5.28) wynika, |e funkcja (5.31) speBnia je wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje staBa », taka |e d (p(x)X (x)) + (»Á(x) - q(x))X(x) = 0 (5.32) dx oraz T (t) +»T (t) = 0 (5.33) Ponadto, aby funkcja (5.31) speBniaBa warunki brzegowe (5.29), musz by speBnione nastpujce równo[ci ±X(0) + ²X (0) = 0 (5.34) ³X(l) +´X (l)=0 Tak wic, w celu okre[lenia funkcji X(x) nale|y rozwiza nastpujce zagadnienie: znalez takie warto[ci », nazywane warto[ciami wBasnymi, przy których istnieje nie- zerowe rozwizanie równania (5.32) speBniajce warunki brzegowe (5.29); znalez te rozwizania (zwane funkcjami wBasnymi). Twierdzenie 5.9. 1æ% Istnieje przeliczalny zbiór warto[ci wBasnych »1 <»2 < · · · <»n < . . . , którym odpowiadaj funkcje wBasne X1(x), X2(x), . . . , Xn(x), . . . . 140 BG AGH 5.7. Metoda rozdzielania zmiennych 2æ% Je|eli q 0, oraz (p(x)Xn(x)Xn(x)) 0 dla x =0 i dla x = l, to wszystkie warto[ci wBasne »n s dodatnie. 3æ% Funkcje wBasne tworz w p rzedziale [0, l] ukBad ortogonalny, unormowany z wag Á(x), tzn. l 0 dla n = m Á(x)Xn(x)Xm(x)dx = . 1 dla n = m 0 4æ% Ka|da funkcja f klasy C1[0, l] speBniajca warunki brzegowe (5.29) oraz ma- jca drug pochodn przedziaBami cigB, rozwija si w szereg wzgldem cigu Xn, zbie|ny bezwzgldnie i jednostajnie w [0, l], tzn. " f(x) = cnXn(x), n=1 gdzie l cn = Á(x)Xn(x)f(x)dx. 0 Majc okre[lone warto[ci wBasne »n (oraz odpowiadajce im funkcje wBasne Xn(x)), przechodzimy do rozwizania równania (5.33), skd dla »n > 0 mamy Tn(t) =An cos »nt + Bn »nt, gdzie: An, Bn  dowolne s taBe. Otrzymali[my przeliczalny zbiór rozwizaD równania (5.28) un(x, t) =Tn(t)Xn(x) = An cos »nt + Bn sin »nt Xn(x). Równie| szereg " u(x, t) = un(x, t) n=1 jest rozwizaniem równania (5.28) speBniajcym warunki brzegowe (5.29) (o ile jest on zbie|ny jednostajnie w [0, l] wraz z odpowiednimi pochodnymi do rzdu drugiego). Dla speBnienia warunków pocztkowych (5.30) nale|y przyj: " u(x, 0) = AnXn(x) =Õ0(x), n=1 " "u (x, 0) = »nBnXn(x) =Õ1(x), "x n=1 141 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego skd przy zaBo|eniu, |e oba szeregi s zbie|ne jednostajnie, mamy: l An = Á(x)Õ0(x)Xn(x)dx 0 (5.35) l 1 Bn = " Á(x)Õ1(x)Xn(x)dx »n 0 Ostatecznie rozwizaniem zagadnienia (5.28), (5.29), (5.30) jest funkcja " u(x, t) = An cos »nt + Bn sin »nt Xn(x), n=1 gdzie: An i Bn dane s wzorami (5.35). PrzykBad 5.16. Znalez rozwizanie równania typu hiperbolicznego "2u "2u = a2 (a) "t2 "x2 speBniajce warunki: u(0, t) =u(l, t) =0 (b) x(l - x) u(x, 0) = l2 (c) "u (x, 0) = 0 "t gdzie x " [0, l]. Poszukujemy rozwizania postaci u(x, t) =X(x)T (t)(d) Na podstawie (b), mamy X(0)T (t) =0 oraz X(l)T (t) =0, skd X(0) = X(l) =0. Wstawiajc funkcj (d) do równania (a), otrzymujemy XT = a2X T, skd 1 T X = = -» (e) a2 T X 142 BG AGH 5.7. Metoda rozdzielania zmiennych Przejdzmy do znalezienia warto[ci wBasnych » i funkcji wBasnych X. W tym celu rozwi|emy problem brzegowy (e), (f) X + »X =0 (f) Zauwa|my, |e gdyby » byBo niedodatnie, to jedynym rozwizaniem problemu (e), (f) byBoby rozwizanie zerowe. Zatem »>0. Rozwizanie ogólne równania (f) jest nastpujce " " X(x) =C cos »x + D sin »x. Z warunków brzegowych (e) mamy: C =0, " D sin »l =0, skd z uwagi na to, |e D = 0, uzyskujemy warto[ci wBasne nÀ 2 »n = , n =0, 1, . . . l oraz odpowiadajcy im cig funkcji wBasnych nÀ Xn(x) =Dn sin x (g) l Odpowiednio T + a2»nT =0, skd nÀa nÀa Tn(t) =An cos t + Bn sin t, l l zatem nÀa nÀa nÀ un(x, t) = An cos t + Bn sin t sin x, l l l gdzie: An = AnDn, Bn = BnDn. Utwórzmy szereg " nÀa nÀa nÀ u(x, t) = An cos t + Bn sin t sin x. l l l n=1 Na podstawie (c) " nÀ x(l - x) u(x, 0) = An sin x = l l2 n=1 143 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego oraz " "u nÀa nÀ (x, 0) = Bn sin x =0. "t l l n=1 Tak wic (patrz (5.35)): l 2 x(l - x) nÀx 4 An = sin dx = [1 - (-1)n] , l l2 l (nÀ)3 0 l nÀa 2 nÀx Bn = 0s in dx =0, l l l 0 ostatecznie " 8 1 (2n +1)Àat (2n +1)Àx u(x, t) = cos sin À3 (2n +1)n l l n=0 jest rozwizaniem problemu (a), (b), (c). Na przykBadach poka|emy, jak stosowa metod rozdzielania zmiennych, zwan równie| metod Fouriera, dla równaD parabolicznych i eliptycznych. PrzykBad 5.17. Znalez rozwizanie równania, typu parabolicznego "u "2u = a2 (a) "t "x2 (0 <x<l, t >0), speBniajce warunki: u(0, t) =u(l, t) =0, t > 0(b) oraz l x dla 0 <x 2 u(x, 0) = f(x) = (c) l l - x dla <x<l 2 Szukamy rozwizania w postaci iloczynu dwóch funkcji u(x, t) =X(x)T (t)(d) Z warunków (b), wynika |e X(0) = X(l) =0 (e) Postpujc analogicznie jak w przykBadzie 5.16, otrzymujemy 144 BG AGH 5.7. Metoda rozdzielania zmiennych 1 T (t) X (x) = = -», a2 T (t) X(x) gdzie »>0. Aby znalez » i X nale|y rozwiza problem brzegowy (f), (e) X + »X =0 (f) Na podstawie przykBadu 5.16 liczby: nÀ 2 »n = , n =0, 1, 2, . . . l s szukanymi warto[ciami wBasnymi, za[ odpowiadajce im funkcje wBasne s nast- pujce: nÀ Xn(x) =Dn sin x, n =1, 2, . . . , l gdzie Dn  dowolne s taBe. Funkcja Tn speBnia równanie nÀ Tn + a2 Tn =0 (g) l a wic 2 nÀ Tn(t) =Cne-a l t, n =0, 1, 2, . . . , gdzie Cn  dowolne staBe. Zatem 2 nÀ nÀ un(x, t) =Ane-a l t sin x , n =1, 2, . . . , l gdzie An = DnCn  s dowolnymi staBymi. Utwórzmy szereg " 2 nÀ nÀ u(x, t) = Ane-a l t sin x . l n=1 Na podstawie (c) " nÀ u(x, 0) = An sin x = f(x). l n=1 Korzystajc z rozwinicia funkcji f(x) w niepeBny szereg trygonometryczny Fouriera wedBug sinusów, mamy l nÀ 2 An = f(x)s in x dx = l l 0 îø ùø l 2 l nÀ 2 nÀ 4l nÀ ïø = x sin x dx + (l - x)s in x dxúø = sin , ðø ûø l l l n2À2 2 l 0 2 145 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego a wic ñø 0dla n =2k òø An = , 4l(-1)k óø dla n =(2k +1) (2k +1)2À2 gdzie k =0, 1, . . . . Rozwizaniem zagadnienia (a), (b), (c) jest wic funkcja " 4l (-1)k (2k +1)Àt (2k +1)Àx u(x, t) = exp -a2 sin . À2 (2k +1)2 l l k=0 PrzykBad 5.18. Znalez rozwizanie równania Laplace a "2u "2u + =0 (a) "x2 "y2 wpros tokcie D = {(x, y) " R2 : 0 x a, 0 y b}, przyjmujc na "D nastpu- jce warto[ci: u(0, y) =Õ0(y), u(a, y) =Õ1(y) dla y " [0, b](b) u(x, 0) = È0(x), u(x, b) =È1(x) dla x " [0, a](c) przy czym: Õ0(0) = È0(0), Õ1(b)=È1(a), Õ0(b)=È1(0), Õ1(0) = È0(a). Rozwizania tak postawionego zagadnienia Dirichleta nale|y szuka w dwóch etapach: 1. Znalez funkcj harmoniczn u1(x, y), speBniajc nastpujce warunki: u1(0, y)=Õ0(y), u1(a, y)=Õ1(y), u1(x, 0) = 0,u1(x, b)=0. 2. Znalez funkcj harmoniczn u2(x, y), speBniajc nastpujce warunki: u2(0, y)=0,u2(a, y)=0, u2(x, 0) = È0(x), u2(x, b)=È1(x). Wówczas funkcja u(x, y) = u1(x, y) +u2(x, y) jest rozwizaniem zagadnienia (a), (b), (c). Funkcji u1 oraz u2 nale|y szuka metod rozdzielania zmiennych. 146 BG AGH 5.7. Metoda rozdzielania zmiennych PrzykBad 5.19. Znalez funkcj harmoniczn wewntrz pier[cienia 1 x2 + y2 4, speBniajc warunki brzegowe u(x, y) =0 dla x2 + y2 =1 (c) u(x, y) =Ay dla x2 + y2 =4 Równanie "2u "2u + =0 (a) "x2 "y2 przeksztaBcamy, wprowadzajc wspóBrzdne biegunowe: x = r cos Õ, y = r sin Õ, otrzymujc równanie "2u 1 "u 1 "2u + + =0 (a ) "r2 r "r r2 "Õ2 w miejsce równania (a) oraz warunki: u(1, Õ) =0 (b ) u(2, Õ) =2A sin Õ (c ) w miejsce warunków (b), (c). Szukamy rozwizania w postaci iloczynu u(r, Õ) =R(r)¦(Õ)(d) Z warunku (c ) wynika, |e 2A sin Õ ¦(Õ) = (e) R(2) Wstawiajc zwizek (d) do równania (a ) otrzymujemy 1 1 R ¦+ R ¦+ R¦ =0 r r2 lub r2R + rR -¦ = = ». R ¦ Uzyskujemy w ten sposób dwa równania zwyczajne r2R + rR = »R (f) 147 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego oraz ¦ = -». ¦ Z powy|szego równania i zwizku (e) wynika, |e » = 1. Wobec tego, równanie (f) ma posta r2R + rR - R =0. Jest to równanie Eulera i ma rozwizanie ogólne (por. rozdziaB 3) 1 R(r) =C1r + C2 . r Z warunku (b ) wynika, |e R(1) = 0, a wic C1 + C2 =0, zatem 1 R(r) =C1 r - , r 3 2 w szczególno[ci R(2) = C1 , s kd C1 = R(2). Wobec tego szukane rozwizanie jest 2 3 nastpujce 4 r2 - 1 u(r, Õ) =R(r)¦(Õ) = A sin Õ. 3 r PrzykBad 5.20. W tym przykBadzie poka|emy, jak stosowa metod separacji zmien- nych w przypadku wikszej liczby zmiennych niezale|nych. Niech D = {(x, y, z) " R3 : x " (0, l1), y " (0, l2), z " (0, l3)}. Wyznaczy wobs zarze D rozwizanie równania falowego (a), dla t >0 "2u "2u "2u 1 "2u + + = (a) "x2 "y2 "z2 a2 "t2 speBniajce nastpujce warunki pocztkowe: u(x, y, z, 0) = u0 w D (b) "u (x, y, z, 0) = 0 w D (c) "t oraz warunki brzegowe: u(0, y, z, t) =u(l1, y, z, t) =0 (d) u(x, 0, z, t) =u(x, l2, z, t) =0 (e) u(x, y, 0, t) =u(x, y, l3, t) =0 (f) dla (x, y, z) " D i t >0. 148 BG AGH 5.7. Metoda rozdzielania zmiennych Poszukujemy rozwizania w postaci u(x, y, z, t) =X(x)Y (y)Z(z)T (t). Wstawiajc powy|sz funkcj do równania (a), mamy 1 X YZT + XY ZT + ZY Z T = XY ZT , a2 lub X Y Z 1 T + + = . X Y Z a2 T Z uwagi na to, |e poszczególne skBadniki s funkcjami jednej (nie tej samej) zmiennej, ka|dy ze skBadników musi przyjmowa warto[ci staBe. Dostaniemy cztery równania ró|niczkowe zwyczajne: X = -K (±) X Y = -M (²) Y Z = -N (³) Z T = -»a2 (´) T oraz warunki brzegowe: X(0) = X(l1) =0 (d ) Y (0) = Y (l2) =0 (e ) Z(0) = Z(l3) =0 (f ) przy czym » = K + M + N oraz K>0, M> 0, N> 0. Rozwizaniem powy|szych problemów brzegowych s odpowiednio funkcje: kÀx Xk(x) =Bk sin , l1 mÀy Ym(y) =Cm sin , l2 nÀz Zn(z) =Dn sin , l3 Tkmn(x) =Ekmn cos »kmnat + Fkmn sin »kmnat, k2 m2 n2 gdzie »kmn = + + À2. Z warunku (c) wynika, |e Fkmn =0. 2 2 2 l1 l2 l3 149 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Otrzymali[my nastpujcy cig rozwizaD kÀx mÀy nÀz ukmn(x, y, z, t) =Akmn sin sin sin cos »kmnat . l1 l2 l3 Utwórzmy szereg " kÀx mÀy nÀz u(x, y, z, t) = Akmn sin sin sin cos »kmnat . l1 l2 l3 k,m,n=1 Z warunku (b) wynika, |e " kÀx mÀy nÀz u0 = Akmn sin sin sin , l1 l2 l3 k,m,n=1 skd kÀx mÀy nÀz u0 sin sin sin dxdy dz l1 l2 l3 D Akmn = kÀx mÀy nÀz sin2 sin2 sin2 dxdy dz l1 l2 l3 D lub po obliczeniu caBek 64u0(-1)k+m+n Akmn = , k, m, n =1, 2, . . . . À3(2k - 1)(2m - 1)(2n - 1) Zadania 1. Znalez rozwizanie równania "2u "2u = a2 "t2 "x2 speBniajce warunki brzegowe u(0, t) =u(À, t) = 0 oraz pocztkowe: x2 x "u(x, 0) x2 x u(x, 0) = - , = -a - À2 À "t À2 À dla x " [0, À], t >0. 2. Struna jednorodna, zamocowana na koDcach x = 0, x = l, majca w chwili pocztkowej ksztaBt 16 x 4 x 3 x u(x, 0) = h - 2 + , h > 0, 5 l l l zaczyna drga bez prdko[ci pocztkowej. Zbada drgania swobodne struny. 150 BG AGH 5.7. Metoda rozdzielania zmiennych 3. Jednorodna struna o dBugo[ci l zostaBa zamocowana w koDcu x = 0, a do dru- giego koDca struny przymocowano pier[cieD, którego mas mo|na zaniedba. Pier[cieD mo|e si przesuwa po gBadkim prcie. Pier[cieD zostaB odchylony na maB odlegBo[ h od poBo|enia równowagi i puszczony w chwili t = 0. Znalez odchylenie u(x, t) struny w dowolnym punkcie x " [0, l] oraz chwili t >0. 4. Jednorodna membrana kwadratowa, majca w chwili pocztkowej t =0, ks ztaBt u(x, y, 0) = Axy(b - x)(b - y), A =cons t, zaczyna drga bez prdko[ci pocztkowej. Zbada drgania swobodne membrany zamocowanej na brzegu. 5. Rozwiza równanie "2u "2u - a2 = b sinh x "t2 "x2 przy warunkach granicznych: "u(x, 0) u(0, t) =u(l, t) =0, u(x, 0) = =0. "t 6. Znalez rozkBad potencjaBu pola elektrycznego u(x, y), wewntrz prostokta DACB, na którego boku DB potencjaB równa si U, a trzy pozostaBe boki s uziemione. Wewntrz prostokta nie ma Badunków elektrycznych. Przy czym: D =(0, 0), A =(a, 0), B =(0, b), C =(a, b). 7. Znalez rozwizanie równania Laplace a "2u "2u + =0 "x2 "y2 wewntrz obszaru D = {(x, y): x " (0, +"), y " (0, 2À)} speBniajce warunki: u(x, 0) = u(x, 2À) =0, u(0, y) =2y, lim u(x, y) =0. x’!" 8. Znalez funkcj harmoniczn wewntrz koBowego wycinka 0 Á R, 0 Õ ±, speBniajc warunki brzegowe u(Á, 0) = u(Á, ±) =0, u(R, Õ) =AÕ. 9. Znalez rozwizanie równania "u "u "2u +4 =2 "t "x "x2 wobs zarze D = {(x, t): x " [0, 1], t > 0}, je|eli: u(0, t)u(1, t) =0 dla t >0, u(x, 0)x dla x " [0, 1]. 10. Rozpuszczalna substancja o pocztkowym st|eniu C0 = const dyfunduje z roz- tworu zawartego pomidzy pBaszczyznami x = 0 i x = h do rozpuszczalnika ograniczonego pBaszczyznami x = h i x = l. Opisa proces wyrównywania st- |eD, zakBadajc |e brzegi x = 0 i x = l s nieprzenikliwe dla rozpuszczonej substancji. 151 BG AGH 5. Równania o pochodnych czstkowych liniowe rzdu drugiego Odpowiedzi " 8 sin(2n - 1)at cos(2n - 1)at 1. u(x, t) = - sin(2n - 1)x À3 (2n - 1)4 (2n - 1)3 n=1 " 1536h 1 (2n +1)Àat (2n +1)Àx 2. u(x, t) = cos sin 5À5 (2n +1)5 l l n=0 " 8h (-1)n (2n +1)Àat (2n +1)Àx 3. u(x, t) = cos sin À2 (2n +1)2 2l 2l n=0 "2u "2u Wskazówka: nale|y rozwiza równanie = a2 przy warunkach: "t2 "x2 "u hx "u u(0, t) = (l, t) =0, u(x, 0) = , (x, 0) = 0. "x l "t 4. (2n +1)Àx (2m +1)Ày 64Ab4 " sin b sin b u(x, y, t) = · À6 (2n +1)3(2m +1)3) n,m=0 (2n +1)2 +(2m +1)2aÀt · cos b "2u "2u "2u Wskazówka: rozwiza równanie = a2 + "t2 "x2 "y2 przy warunkach brzegowych u x=0 = u x=b = u y=0 = u y=b =0 "u i pocztkowych: u t=0 = Axy(b - x)(b - y), =0. t=0 "t 5. " b x 2b (-1)n nÀat nÀx u(x, t) = sin hl - sin hx + · cos sin + a2 l a2 n l l n=1 " 2bÀ sin hl n nÀat nÀx - (-1)n · cos sin a2 n2À2 + l2 l l n=1 Wskazówka: szuka rozwizania w postaci u(x, t) =u1(x) +u2(x, t). 6. (2n +1)(a - x)À (2n +1)Ày sin h sin " 4U b b u(x, y) = (2n +1)Àa À n=0 (2n +1) s inh b "2u "2u Wskazówka: rozwiza równanie + = 0 wewntrz prostokta, przy "x2 "y2 warunkach brzegowych: u(0, y) =U, u(a, y) =u(x, 0) = u(x, b) =0. " (-1)n nx ny 7. u(x, y) =8 exp - sin n 2 2 n=1 152 BG AGH 5.7. Metoda rozdzielania zmiennych nÀ " 2A± (-1)n-1 Á ± nÀÕ 8. u(Á, Õ) = sin À n R ± n=1 " 2 9. u(x, t) =ex-2t Ane-2n À2t sin nÀx n=1 24(1 - n2À2) +(-1)n-1e-1(49 + 3n2À2 +3n4À4 + n6À6) gdzie An =2nÀ (1 - 6n2À2 + n4À4)2 +16m2À2(1 - n2À2)2 " h 2 1 nÀh n2À2 nÀx 10. C(x, t) =C0 + sin exp - Dt cos l À n l l2 l n=1 "C "2C "C Wskazówka: rozwiza równanie = D przy warunkach: (0, t) =0, "t "x2 "x "C (l, t) =0 "x C0 dla x " (0, h) C(x, 0) = . 0 dla x " (h, l) 153 BG AGH RozdziaB 6. Przybli|one metody rozwizywania zwyczajnych równaD ró|niczkowych 6.1. Metoda CzapBygina Twierdzenie 6.1. (o nierówno[ciach ró|niczkowych). Niech f(x, y) i F (x, y) bd funkcjami cigBymi w obszarze D = {(x, y): x " [x0 - a, x0 + a], y " [y0 - b, y0 + b] (a >0, b > 0)}, speBniajcymi nierówno[ f(x, y) F (x, y) dla (x, y) " D. Niech funkcja f(x, y) speBnia warunek Lipschitza ze wzgldu na y, tzn. |f(x, y1) - f(x, y2)| L |y1 - y2| . L"R x"[x0,x0+a] y1,y2"[y0-b,y0+b] Oznaczmy przez y(x) i U(x) odpowiednio rozwizanie równaD ró|niczkowych y = = f(x, y), U = F (x, U) przechodzce przez punkt (x0, y0) " D. Wówczas U(x) y(x) dla x " [x0, x0 + a]. Uwaga 6.1. Je|eli w miejsce funkcji F (x, y) wezmiemy funkcj Õ(x, y) tak, |e f(x, y) Õ(x, y) w rozpatrywanym obszarze, to je|eli u(x) jest rozwizaniem równania u = Õ(x, u) speBniajcym warunek u(x0) =y0, wówczas funkcje y(x) i u(x) speBniaj nierówno[ y(x) u(x) dla x " [x0, x0 + a]. Twierdzenie o nierówno[ciach ró|niczkowych pozwala nam znalez funkcje U(x) i u(x), midzy którymi zawarte jest dokBadne rozwizanie y(x). Niech bdzie dane równanie y = f(x, y). Metoda CzapBygina polega na znalezieniu takich F (x, y) i Õ(x, y) s peBniajcych nierówno[ F (x, y) f(x, y) Õ(x, y) oraz takich, aby równania U = F (x, U) i u = Õ(x, u) daBy si Batwo scaBkowa. Wówczas rozwizanie naszego równania jest zawarte pomidzy u(x) i U(x), tzn. u(x) y(x) U(x). x"[x0,x0+a] PrzykBad 6.1. Dane jest równanie y = x2 + y2. Szukamy rozwizania y(x) w prze- dziale [0, 1] speBniajcego warunek pocztkowy y(0) = 0. 154 BG AGH 6.1. Metoda CzapBygina Jako funkcje F (x, y) i Õ(x, y) mo|na wzi odpowiednio: F (x, y) =1 +y2, Õ(x, y) =x2. Funkcje te speBniaj oczywi[cie nierówno[ x2 x2 + y2 1+y2 dla x " [0, 1]. Rozwizujc równania u = x2 oraz U =1+U2 z warunkami pocztkowymi U(0) = 0, x3 u(0) = 0 otrzymujemy u = , U =tg x. Mamy wic, |e 3 x3 y(x) tg x dla x " [0, 1]. 3 Metoda ta nie zawsze daje nam wystarczajce oszacowanie rozwizania. W tych przy- padkach mo|na skorzysta ze sposobu CzapBygina ulepszenia przybli|eD. "2f ZaBó|my, |e > 0 w obszarze ograniczonym prostymi x = x0 i x = x0+a oraz "x2 krzywymi y = u(x) i y = U(x). Wówczas zamiast funkcji u(x) mo|emy wzi funkcj "f u1(x) =u(x) +z(x), gdzie z(x) speBnia równanie ró|niczkowe z = z (x, y) +È(x) "y z warunkiem pocztkowym z(x0) =0, za[ È(x) =f(x, u) - u . Natomiast w miejsce funkcji U(x) mo|na wzi funkcj U1(x) =U(x) - T (x), f(x, U) - f(x, u) gdzie T (x) speBnia równanie T = T + Q(x) z warunkiem pocztko- U - u wym T (x0) =0, za[ Q(X) =U - f(x, u). Mamy oczywi[cie w tym przypadku, |e u(x) u1(x) y(x) U1(x) U(x). "2f Je|eli 0, to stosujemy postpowanie odwrotne, tzn. bierzemy U1(x) = "x2 "f = U(x) - Z(x), gdzie Z(x) jest rozwizaniem równania Z = Z (x, u) - È(x), "y z warunkiem Z(x0) =0, za[ È(x) = U - f(x, U) oraz u1(x) = u(x) +T (x), gdzie f(x, U) - f(x, u) T (x) speBnia równanie T = T - Q(x), z warunkiem pocztkowym U - u T (x0) =0, a Q(x) =f(x, u) - u . Wtedy tak|e u1(x) y(x) U1(x). PrzykBad 6.2. Stosujc metod ulepszenia przybli|eD do równania z przykBadu 6.1 otrzymujemy dla z(x) i T (x) nastpujce równania: 2x3 x6 Z = z + , 9 3 x3 T = tg x + T +(1- x2). 3 155 BG AGH 6. Przybli|one metody rozwizywania zwyczajnych równaD ró|niczkowych Rozwizaniami tych równaD speBniajcymi warunek pocztkowy z(0) = T (0) = 0 s funkcje: x x4 x4 x6 6 6 z = e e- dx, 9 0 x 1 x4 x4 12 12 T = e 1 - x2 e- cos x dx, cos x 0 natomiast: x x3 1 x4 x4 6 6 u1 = + e e- dx, 3 9 0 x 1 x4 x4 12 12 U1 =tg x - e 1 - x2 e- cos x dx. cos x 0 6.2. Metoda Rungego Kutty Zajmiemy si równaniem y = f(x, y) z warunkiem pocztkowym y(x0) =y0. ZaBó|my, |e funkcja f(x, y) posiada ciagBe pochodne czstkowe do rzdu n. (k) (k) Oznaczmy: h = x - x0, y0 = y0 (x0). Przybli|on warto[ funkcji w punkcie x mo|emy otrzyma ze wzoru Taylora 1 1 (n) <" y(x) y0 + y0h + y0 h2 + · · · + y0 hn (6.1) = 2 n! z bBdemO(hn). Wystpujce we wzorze pochodne mo|emy obliczy z nastpujcych zale|no[ci: y0 = f(x0, y0) =f0 (6.2) "f "f y0 = (x0, y0) + (x0, y0)y0 "x "y Ró|niczkujc kolejno mo|na uzyska nastpne pochodne. Chcc unikn obliczeD przy wyznaczaniu pochodnych, rozpatrzmy liniow kom- binacj funkcji ki(h) (i =1, . . . , r) r priki(h) (6.3) i=1 gdzie: ki(h) =hf(¾i, ·i), 156 BG AGH 6.2. Metoda Rungego Kutty ¾i = x0 + ±ih, i-1 ·i = y0 + ²ijkj(h)±i, j=1 gdzie: ±i, ²ij, pri s pewnymi staBymi, przy czym ±1 =0. StaBe ±i, ²ij, pri dobieramy tak, aby funkcja r Õr(h) =y(x0 + h) - y0 - priki(h) (6.4) i=1 speBniaBa warunki: Õr(0) = Õ (0) = . . . = Õ(s)(0) = 0, Õ(s+1)(0) =0, r r r z mo|liwie najwikszym s i przy dowolnych h i f(x, y). Wówczas otrzymujemy r <" y(x0 + h) y(x0) + priki(h), = j=1 przy czym bBd przybli|enia wynosi hs+1Õ(s+1)(¾) r Rr(h) = , gdzie ¾ " [0, h]. (s +1)! Przypadek r = 1 Ze wzoru (6.4) mamy: Õ1(h) =y(x0 + h) - y0 - p11k1(h) =y(x0 + h) - y0 - p11hf(x0, y0), Õ (h) =y (x0 + h) - p11f(x0, y0). 1 Dla h =0 otrzymujemy Õ (0) = y (x0) - p11f(x0, y0) =f(x0, y0) - p11f(x0, y0). 1 Mamy wic Õ1(0) = 0 dla p11 =1. Zauwa|my, |e Õ (0) = y (x0) = 0 dla wikszo[ci przypadków. Otrzymujemy 1 wic <" y(x0 + h) y0 + hf(x0, y0). = W tym przypadku dokBadno[ metody ma rzd h2, czyli h2 R1(h) = y (¾), ¾ " [x0, x0 + h]. 2! Przypadek r = 2 Mamy wic: Õ2(h) =y(x0 + h) - y0 - [p21k1(h) +p22k2(h)], 157 BG AGH 6. Przybli|one metody rozwizywania zwyczajnych równaD ró|niczkowych Õ (h) =y (x0 + h) - [p21k1(h) +p22k2(h)]. 2 Z kolei Õ (0) = y (x0) - [p21f(x0, y0) +p22f(x0, y0)], 2 poniewa| k1(h) =hf(x0, y0), std k1(h) =f(x0, y0), natomiast k2(h) =hf(x0 + ±2h, y0 + ²11hf(x0, y0)), std k2(h) =f(x0 + ±2h, y0 + ²11hf(x0, y0)) + "f + h ±2 (x0 + ±2h, y0 + ²11hf(x0, y0))+ "x "f + ²11f(x0, y0) (x0 + ±2h, y0 + ²11hf(x0, y0)) . "y Mamy wic Õ (0) = 0 je|eli p21 + p22 =1. 2 Dalej Õ (0) = y (x0) - [p21k1 (0) + p22k2 (0)] = 2 "f "f = y (x0) - p22 2 (x0, y0)±2 +2²11f(x0, y0) (x0, y0) = "x "y "f "f = (x0, y0) +f(x0, y0) (x0, y0) - "x "y "f "f - 2p22 (x0, y0)±2 +2²11f(x0, y0) (x0, y0) , "x "x czyli Õ (0) = 0 je|eli 1 - 2p22±2 = 0 oraz 1 - 2p22²11 =0. 2 Otrzymujemy wic na nieznane wspóBczynniki nastpujce ukBady równaD: p21 + p22 =1, 2p22±2 =1, 2p22²11 =1. UkBad ten posiada nieskoDczenie wiele rozwizaD. Na przykBad ±2 = ²11 =1, p22 = 1 = p21 = . Otrzymujemy wtedy 2 1 y(x0 + h) =y(x0) + [f(x0, y0) +f(x0 + h, y0 + hf(x0, y0))]. 2 BBd przybli|enia jest teraz rzdu h3. 158 BG AGH 6.2. Metoda Rungego Kutty Przypadek r = 3 Mamy wówczas Õ3(h) =y(x0 + h) - y(x0) - p31k1(h) +p32k2(h) +p33k3(h) . Przyrównujc pochodne do rzdu czwartego funkcji Õ3(h) w punkcie h = 0 do zera otrzymujemy nastpujce warunki na staBe wystpujce w okre[leniu funkcji Õ3(h) (wzór (6.4)): ±2 = ²21, ±3 = ²31 + ²32, p31 + p32 + p33 =1, 1 p32±2 + p33±3 = , 2 1 p32±2 + p33±2 = , 2 3 3 1 p33²32±2 = . 6 UkBad ten posiada nieskoDczenie wiele rozwizaD. Jednym z nich jest: ±2 = ²21 = 1 1 2 1 = , ±3 =1, ²32 =2, ²31 = -1, p33 = , p32 = , p31 = . 2 6 3 6 Otrzymujemy wówczas 1 y(x0 + h) H" y(xi) + [k1 +4k2 + k3], 6 gdzie: k1 = hf(x0, y0), 1 1 k2 = hf(x0 + h, y0 + k1), 2 2 k3 = hf(x0 + h, y0 - k1 +2k2). DokBadno[ jest w tym przypadku rzdu h4. Metod Rungego Kutty mo|na stosowa równie| do ukBadu równaD rzdu pierwszego postaci ñø dy ôø òø = f(x, y, z) dx , dz ôø óø = g(x, y, z) dx z warunkiem pocztkowym y(x0) =y0, z(x0) =z0. Konstruujemy funkcje: ki(h) =hf(¾i, ·i, ¶i), li(h) =hg(¾i, ·i, ¶i), 159 BG AGH 6. Przybli|one metody rozwizywania zwyczajnych równaD ró|niczkowych gdzie: ¾i = x0 + ±ih, ±1 =0, ¾i = x0 + ±ih, ±1 =0, i-1 ·i = y0 + ²ijkj, j=1 i-1 ·i = y0 + ²ijkj, j=1 i-1 ¶i = z0 + ³ijlj, j=1 i-1 ¶i = z0 + ³ijlj, j=1 a nastpnie aproksymujemy: r <" y(x0 + h) y(x0) + priki(h), = i=1 r <" z(x0 + h) z(x0) + qrili(h), = i=1 gdzie pri, qri (i =1, . . . , r) oznaczaj pewne staBe. Dobierajc warto[ci staBych, podobnie jak w przypadku jednego równania, otrzymujemy przybli|one rozwizanie ukBadu z dokBadno[ci rzdu hs+1. Metod t mo|na stosowa dla dowolnego ukBadu równaD rzdu pierwszego, którego prawe strony s dostatecznie regularne. Metoda Rungego Kutty znajduje równie| zastosowanie w równaniach rzdu drugiego y = f(x, y, y ) z warunkami y(x0) =y0, y (x0) =y1. Sprowadzamy równanie rzdu drugiego do ukBadu równaD ró|niczkowych pierw- szego rzdu: y = z, z = f(x, y, z), z warunkami y(x0) =y0, z(x0) =y1, otrzymujemy przypadek poprzedni. PrzykBad 6.3. Dany jest ukBad y = -3y - z , z = y - z 160 BG AGH 6.2. Metoda Rungego Kutty gdzie: y(0) = 2, z(0) = -1. Znalez warto[ rozwizania y(0.1), z(0.1) z dokBadno[ci do 0.001. Zastosujemy tutaj metod Rungego Kutty z dokBadno[ci rzdu h3, przyjmujc h =0.1. Korzystamy ze wzorów wyprowadzonych w przypadku r =2: <" y(x0 + h) y(x0) +[p21k1(h) +p22k2(h)], = <" z(x0 + h) z(x0) +[q21l1(h) +q22l2(h)], = gdzie: k1(h) =hf(x0, y0, z0), k2(h) =hf(x0 + ±2h, y0 + ²21hf(x0, y0, z0), z0 + ³21hg(x0, y0, z0)), l1(h) =hg(x0, y0, z0), l2(h) =hg(x0 + ±2h, y0 + ²21hf(x0, y0, z0), z0 + ³21hg(x0, y0, z0)). Podobnie jak w metodzie Rungego Kutty dla jednego równania otrzymujemy: ±2 = ²21 = ±2 = ²21 = ³21 = ³21 =1, 1 p22 = p21 = q22 = q21 = , 2 czyli 1 1 <" y(0.1) y(0) + hf(0, 2, -1) + hf(h, 2+hf(0, 2, -1), -1+hg(0, 2, -1)) = = 2 2 1 1 =2 + 0.1(-4) + 0.1f(0.1, 2+0.1(-0.4), -1+0.1 · 3) = 2 2 1 1 1 =2 - 0.4+ 0.1 · f(0.1, 1.6, -0.7) = 2 - 0.2+0.1(-4.1) = 2 2 2 =1.8 - 0.205 = 1.595, 1 1 <" z(0, 1) z(0) + hg(0, 2, -1) + h g(h, 2+f(0, 2, -1)h, -1+hg(0, 2, -1)) = = 2 2 = -1+0.5 · 0.1 · 3+0.5 · 0.1 · 2.3 =-1+0.15 + 0.115 = -0.735. Zadania 1. Korzystajc z metody CzapBygina znalez oszacowania dla rozwizania równania y = x4 + y4 dla x " [0, 2] speBniajcego warunek pocztkowy y(0) = 0. 2. Za pomoc ulepszonej metody CzapBygina znalez oszacowanie dla rozwiza- nia równania y = x6 +3y4 dla x " [0, 1] speBniajcego warunek pocztkowy y(0) = 0. 161 BG AGH 6. Przybli|one metody rozwizywania zwyczajnych równaD ró|niczkowych 3. Znalez za pomoc metody Rungego Kutty warto[ rozwizania y (0.1) rów- nania y = x2 + y2 speBniajcego warunek y(0) = 0 z dokBadno[ci rzdu h3 (przyj h =0.1). 4. Znalez za pomoc metody Rungego Kutty z dokBadno[ci rzdu h2 przybli|one y rozwizanie równania y = - y2, z warunkiem y(1) = 1 dla x " [1, 2], gdzie x h =0.2. 1 5. Korzystajc z metody Rungego Kutty znalez przybli|one warto[ci y , 2 1 z , z dokBadno[ci do 0.01, gdzie y(x), z(x) speBniaj ukBad równaD 2 y = -x +2y + z , z = x +2y +3z z warunkami y(0) = 2, z(0) = -2. 0.0003 6. Znalez przybli|one rozwizanie na odcinku [0, 0.5] równania y = - + y2 +0.01(y )2 z warunkami y(0) = 1, y (0) = 0, z dokBadno[ci 0.01. 162 BG AGH RozdziaB 7. Pewne metody ró|nicowe dla równaD ró|niczkowych o pochodnych czstkowych Celem tego rozdziaBu jest zasygnalizowanie Czytelnikom mo|liwo[ci stosowa- nia metod ró|nicowych w równaniach o pochodnych czstkowych, natomiast gBbsze zaznajomienie si z nimi wymaga przestudiowania literatury z tego zakresu, np. [2]. 7.1. Metoda ró|nicowa dla równaD ró|niczkowych typu parabolicznego 7.1.1. Zagadnienie Cauchy ego Rozwa|my liniowe równanie ró|niczkowe typu parabolicznego "u "2u "u - a(x, t) - b(x, t) - c(x, t)u = f(x, t) (7.1) "t "x2 "x gdzie funkcje a, b, c, f s funkcjami cigBymi dla x " R, t 0. Zadanie bdzie polegaBo na znalezieniu rozwizania speBniajcego warunek po- cztkowy u(x, 0) = Õ(x) dla x " R. Konstruujemy siatk skBadajc si z prostych x = ih, t = jk (i =0, ±1, ±2, . . . , j =0, 2, . . . , h, k s ustalonymi liczbami). Punkty przecicia prostych bdziemy nazy- wali punktami wzBowymi i oznaczymy je przez Mij (punkt przecicia prostych x = ih i t = jk). Pochodne wystpujce w równaniu zastpujemy przez odpowiednie ilorazy ró|- nicowe: "u ui,j+1 - ui,j <" (Mij) = "t k "u ui+1,j - ui-1,j <" (Mij) (7.2) = "x 2k "2u ui+1,j - 2uij + ui-1,j <" (Mij) = "x2 h2 gdzie uij oznacza warto[ rozwizania w punkcie Mij. 163 BG AGH 7. Pewne metody ró|nicowe dla równaD ró|niczkowycho pochodnych czstkowych Wstawiajc odpowiednie ilorazy ró|nicowe do równania (7.1) mamy ui,j+1 - uij ui+1,j - 2uij + ui-1,j = aij + k h2 ui+1,j - ui-1,j (7.3) + bij + cijuij + fij h2 (j =1, 2, . . . , i =0, ±1, ±2, . . . ) gdzie: aij, bij, cij, fij oznaczaj warto[ci funkcji a(x, t), b(x, t), c(x, t), f(x, t) w punk- tach wzBowych Mij. Otrzymane równanie ró|nicowe aproksymuje analizowane równanie ró|niczkowe z dokBadno[ci O(h2 + k). Dla wzBów le|cych na osi t = 0 warto[ci rozwizania otrzymujemy z warunku pocztkowego ui0 = Õ(ih) i =0, ±1, . . . (7.4) PrzeksztaBcajc równanie ró|nicowe (7.3) otrzymujemy ui+1,j - 2uij + ui-1,j ui,j+1 = uij + k aij + h2 ui+1,j - ui-1,j (7.5) + bij + cijuij + fij 2h (j =1, 2, . . . , i =0, ±1, ±2, . . . ) Z postaci tego równania Batwo wida, |e znajc warto[ci rozwizania na poziomie j-tym, mo|na wyliczy warto[ rozwizania dla poziomu j + 1. Schemat taki nos i na- zw schematu jawnego. Warto[ci rozwizania przybli|onego znajdujemy wic wedBug wzorów (7.4) i (7.5). 7.1.2. Zagadnienie mieszane Zajmiemy si równaniem "u "2u = (7.6) "t "x2 Bdziemy szuka rozwizania w zbiorze D = {(x, y): x " [a, b], t " [0, T]}, speBniaj- cego warunki: u(x, 0) = Õ(x) dla x " [a, b] (7.7) "u ²1 (a, t) +³1u(a, t) =È1(t), t " [0, T] "x (7.8) "u ²2 (b, t) +³2u(b, t) =È2(t), t " [0, T] "x 164 BG AGH 7.1. Metoda ró|nicowa dla równaD ró|niczkowych typu parabolicznego gdzie: ²1, ²2, ³1, ³2 s funkcjami zmiennej t. Skonstruujemy siatk skBadajc si z prostych: x = a + ih, i = 0, 1, . . . , n, b - a T t = jl, j =0, 1, . . . , m, gdzie h = , l = . n m WzBy le|ce na prostych x = a, x = b, t = 0 nazywamy wzBami brzegowymi, pozostaBe  wzBami wewntrznymi. Zastpujc pochodne wystpujce w równaniu ró|niczkowym przez odpowiednie ilorazy ró|nicowe, otrzymujemy równanie ró|nicowe dla wzBów wewntrznych ui+1,j - 2uij + ui-1,j ui,j+1 = uij + , j =1, . . . , m, i =1, . . . , n- 1 (7.9) h2 Dla wzBów le|cych na prostej t = 0 warto[ rozwizania przybli|onego otrzy- mujemy z warunku (7.7) ui0 = Õi (i =0, 1, . . . , n), gdzie Õi = Õ(a + ih) (7.10) Dla wzBów le|cych na prostych x = a i x = b, z warunków brzegowych (7.8), "u ui+1,j - uij zastpujc pochodn (Mij) przez iloraz , mamy: "x h u1j - u0j ²1j - ³1ju0j = È1j h (7.11) unj - u(n-1)j ²2j + ³2junj = È2j (j =0, 1, . . . , m) h gdzie: ²1j = ²1(jl), ²2j = ²2(jl), ³1j = ³1(jl), ³2j = ²2(jl), È1j = È1(jl), È2j = = ²2(jl). k Wprowadzajc oznaczenie ± = uzyskamy nastpujcy problem ró|nicowy h2 ui,j+1 =(1 - 2±)uij + ±(ui+1,j + ui-1,j), dla: i =1, . . . , n- 1, j =0, 1, . . . , m- 1 ñø ²1ju1j +(h³1j - ²1j)u0j = hÈ1j ôø ôø òø (²2j + h³2j)unj - ²2jun-1j = hÈ2j dla j =1, 2, . . . , m (7.12) ôø ôø óø ui0 = Õi dla i =0, 1, 2, . . . Od schematu ró|nicowego bdziemy |dali, aby byB on zbie|ny i stabilny. Definicja 7.1. Schemat ró|nicowy nazywa si schematem zbie|nym, je|eli przy zadanym sposobie zmierzania h i k do zera, rozwizanie ukBadu ró|nicowego zmierza do dokBadnego rozwizania równania ró|nicowego. Definicja 7.2. Schemat ró|nicowy nazywamy stabilnym, je[li maBy bBd do- puszczalny w procesie liczenia popeBniony na jednym poziomie t = jh, nie ro[nie przy przej[ciu na inny poziom. 165 BG AGH 7. Pewne metody ró|nicowe dla równaD ró|niczkowycho pochodnych czstkowych DokBadniej, je|eli bBd popeBnili[my na przykBad na poziomie pierwszym (t =0) i vi oznacza bBd popeBniony przy wyliczaniu warto[ci w wzle Mi0, a vij powstaBy na skutek tego bBd w wzle Mij, to schemat ró|nicowy nazywamy stabilnym, je|eli dla n-1 n-1 2 2 ka|dego >0, istnieje ´ >0 takie, |e je|eli vi0 ´, to vij dla dowolnego i=0 i=0 j przy czym ´ nie zale|y od h i k. Rozpatrywany przez nas schemat ró|nicowy jest schematem zbie|nym i stabil- k 1 nym, je|eli ± = . h2 2 Uwaga 7.1. Metody ró|nicowe mo|na stosowa do du|o bardziej skompliko- wanych równaD ró|niczkowych, np. nieliniowych, zawierajcych pochodne mieszane itp. PrzykBadowo w równaniu "u "2u "2u "2u = a1(x, y, t) + a2(x, y, t) + a3(x, y, t) + "t "x2 "y2 "x"y "u "u + b1(x, y, t) + b2(x, y, t) + c(x, y, t)u + f(x, y, t) "x "y aproksymujc warto[ pochodnej mieszanej w punkcie M o wspóBrzdnych x = ih, y = jh, t = sl mo|na zastosowa jeden z ilorazów ró|nicowych 1 (ui+1,j,s + ui,j-1,s - ui,j,s - ui+1,j-1,s) h2 lub 1 (-ui+1,j,s - ui,j+1,s + ui,j,s + ui+1,j+1,s), h2 gdzie ui,j,s oznacza warto[ rozwizania w punkcie o wspóBrzdnych x = ih, y = jh, t = sl. 7.2. Metoda ró|nicowa dla równaD ró|niczkowych typu hiperbolicznego 7.2.1. Zagadnienie Cauchy ego Rozpatrzmy równanie "2u "2u - = f(x, y) (7.13) "x2 "y2 z warunkami: "u u(x, 0) = Õ(x), (x, 0) = È(x) dla x " R (7.14) "y 166 BG AGH 7.2. Metoda ró|nicowa dla równaD ró|niczkowych typu hiperbolicznego Wprowadzajc siatk zBo|on z prostych x = ih, i =0, ±1, . . . oraz y = jl, j =0, 1, . . . i zastpujc w punkcie wzBowym Mij pochodne przez ilorazy ró|nicowe: "2u ui+1,j - 2uij + ui-1,j <" = "x2 h2 (7.15) "2u ui,j+1 - 2uij + ui,j-1 <" = "y2 l2 otrzymujemy w wzle Mij nastpujce równanie ró|nicowe l2 ui,j+1 = (ui+1,j - 2uij + ui-1,j) - 2uij + ui,j-1 - l2fij (7.16) h2 Do obliczania warto[ci rozwizania w wzBach na poziomie y =(j+1)l potrzebne nam s warto[ci na poziomie y = jl i y =(j - 1)l, czyli |eby rozpocz obliczenia musimy zna warto[ci rozwizania dla j =0 i j =1. Mo|emy to uzyska przez: "u 1. Zastpienie w warunku pocztkowym (7.14) pochodnej (x, 0) przez iloraz "y ui1 - ui0 . Wówczas na znalezienie ui1 i ui0 otrzymujemy ukBad równaD: l ui0 = Õi, ui1 - ui0 = lÈi, i =0, ±1, . . . (7.17) 2. Wprowadzenie dodatkowego poziomu dla j = -1 (y = -1) i zastpienie po- "u ui1 - ui,-1 chodnej (x, 0) przez . Wówczas z warunków pocztkowych otrzymamy: "y 2l ui0 = Õ1, ui1 - ui,-1 =2lÈi (7.18) Wykorzystujemy równie| fakt, |e równanie ró|nicowe powinno by speBnione w wzle Mi0, czyli l2(ui+1,0 - 2ui0 + ui-1,0) - h2(ui1 - 2ui0 + ui,-1) =l2h2fi0 (7.19) a s td l2 ui,-1 = -l2fi0 + (ui+1,0 - 2ui0 + ui-1,0) - (ui1 - 2ui0) (7.20) h2 Wstawiajc (7.8) do (7.6) obliczamy potrzebne nam warto[ci ui0 i ui1. Drugi sposób daje nam lepsz aproksymacj warunków brzegowych. Zbie|no[ otrzymanego cigu warto[ci rozwizania przybli|onego zapewnia wa- l runek < 1, na kroki h i l. h 167 BG AGH 7. Pewne metody ró|nicowe dla równaD ró|niczkowycho pochodnych czstkowych 7.2.2. Zagadnienie mieszane Rozpatrzmy zagadnienie znalezienia rozwizania równania "2u "2u - = f(x, y), "x2 "y2 z warunkami: "u u(x, 0) = Õ1(x), (x, 0) = È(x) dla x " [0, 1] "y (7.21) u(0, y)=³1(y),u(1, y)=³2(y) dla y " [0, A] Konstruujemy siatk, podobnie jak w poprzednim przypadku, tzn. proste x = ih 1 (i =0, 1, . . . , n), h = , y = jl (j =0, 1, . . . , m), ml A<(m +1)l. WzBy le|ce na n prostych x =0, y =0, x = 1 nazywamy wzBami brzegowymi, natomiast pozostaBe wzBami wewntrznymi. Warto[ci w wzBach wewntrznych, jak i dla wzBów le|cych na prostej y =0 (x " (0, 1)) znajdujemy wedBug wzorów (7.16) oraz (7.17) lub (7.16), (7.18), (7.20). Dla wzBów brzegowych le|cych na prostych x =0, x = 1 otrzymujemy: u0j = ³1(jl) =³1j (7.22) unj = ³2(jl) =³2j 7.3. Metoda ró|nicowa dla równaD ró|niczkowych typu eliptycznego Bdziemy rozpatrywa równanie Laplace a w pewnym obszarze S o brzegu C "2u "u + = 0 (7.23) "x2 "y z warunkiem u(x, y) =f(x, y) dla (x, y) " C (7.24) Ustalimy liczb dodatni h > 0 i zbudujemy siatk zBo|on z dwóch rodzin prostych wzajemnie prostopadBych, odlegBych od siebie o h. Dany obszar S zastpimy przez obszar Sh bdcy sum kwadratów o boku h le|cych wewntrz S. Przez Ch oznaczmy Baman bdc brzegiem Sh. W wzle Mik krzywej Ch okre[limy warto[ brzegow jako równ warto[ci funk- cji f w najbli|szym punktowi Mij punkcie brzegu C. Oznaczymy przez uik warto[ rozwizania u w punkcie (xi, yk) gdzie xi = ih, yk = kh. Zastpujc pochodne wystpujce w równaniu przez ilorazy ró|nicowe (7.2), otrzymujemy równanie ui+1,k + ui,k+1 + ui-1,k + ui,k-1 - 4uik = 0 (7.25) 168 BG AGH 7.3. Metoda ró|nicowa dla równaD ró|niczkowych typu eliptycznego dla (xi, yk) " Sh, natomiast dla punktów wzBowych le|cych na Ch ik uik = fh dla (xi, yk) " Ch (7.26) Rozwizanie tego zagadnienia polega na znalezieniu warto[ci funkcji siatkowej uik w wewntrznych punktach wzBowych obszaru Sh. W ka|dym wewntrznym punkcie wzBowym powinno by speBnione równanie ró|nicowe (7.25). A wic dla wyznaczenia warto[ci uik otrzymujemy ukBad równaD algebraicznych liniowych o liczbie równaD równej liczbie niewiadomych. UkBad ten posiada rozwizanie jednoznaczne. Uwaga 7.2. Zastpujc równanie ró|niczkowe (7.23) przez równanie ró|nico- we (7.25), popeBniamy bBd wielko[ci h2. Aproksymacj warto[ci rozwizania w punktach brzegowych siatki mo|na po- sBu|y si np. wzorem ´Au(M) +hf(B) u(A) = , ´A + h gdzie A oznacza punkt brzegowy siatki (A " Ch, A =(xi, yj), xi = ih, yj = jh), B jest punktem nale|cym do brzegu rozwa|anego obszaru S(B " C), bdcym punktem przecicia prostej y = jh z krzyw C, le|cym najbli|ej punktu A, M jest punktem wzBowym obszaru Sh le|cym na prostej y = jh, najbli|ej punktu A, ´A oznacza odlegBo[ punktu A od punktu B (oczywi[cie ´A <h). BBd popeBniany przy tego rodzaju aproksymacji jest równie| wielko[ci h2. Zadania Rozwiza metod ró|nicow nastpujce problemy graniczne: "u "2u 1. = przy warunkach: "t "x2 u(x, 0) = sin Àx dla x " [0, 1] oraz u(0, 1) = u(1, t) =0 "u "2u 2. = z warunkami: "t "x2 "u - 2u =1 dla x =0, "x "u - 2u =2 dla x =1 "x oraz u(x, 0) = cos x 169 BG AGH 7. Pewne metody ró|nicowe dla równaD ró|niczkowycho pochodnych czstkowych "u "2u 3. = z warunkami u(0, x) = 0 oraz "t "x2 "u (t, 0) = 0, "x "u 1 (t, )=1 2 "x "2u "2u "u 4. - = x + y z warunkami: u(x, 0) = ex, (x, 0) = 2x "x2 "y2 "y "2u "2u 5. - = 0 z warunkami: u(x, 0) = cos x, u(0, y) =1, u(À , y) =0 2 "x2 "y2 "2u "2u 6. + = 0 z warunkami: u(x, 0) = 0, u(1, y) = sin Ày, u(x, 0) = 0, "x2 "y2 u(x, 1) = 0 170 BG AGH Spis literatury [1] Bicadze A. W.: Równania fizyki matematycznej. Warszawa, PWN 1984 [2] Bieriezin N. S., {idkow N. P.: Metody wyczislenij. T. II. Moskwa, Gosizdat. fiz.- -mat. lit. 1959 [3] Bierski F.: Struktury algebraiczne. Elementy algebry liniowej. Analizy macierzy z zastosowaniem od ukBadów równaD ró|niczkowych i form kwadratowych. Kraków, Wydawnictwa AGH 1977 [4] Bierski F.: Równania ró|niczkowe czstkowe. Kraków, Wydawnictwa AGH 1985 [5] Matwiejew N. M.: Zadania z równaD ró|niczkowych zwyczajnych. Wars zawa, PWN 1974 [6] Maurin L., MczyDski M.: Matematyka. T. II. Warszawa, PWN 1975 [7] Mikhallov V.: Equations aux derivees partielles. Moskwa, Mir 1980 [8] Smirnow M. M.: Zadania z równaD ró|niczkowych czstkowych. Wars zawa, PWN 1974 [9] Tichonow A. N., Samarski A. A.: Równania fizyki matematycznej. Wars zawa, PWN 1963 171 BG AGH

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Równania Różniczkowe Zwyczajne i Cząstkowe
J Niedoba W Niedoba Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe
Niedoba J i W Równania rózniczkowe zwyczajne i cząstkowe Zadania
Równania różniczkowe zwyczajne wykład dla studentów
Równania różniczkowe zwyczajne (2005) AGH Wykład dla studentów na kierunku automatyka i robotyka
Andrzej Palczewski Rownania rozniczkowe zwyczajne przyklady i zadania
8 Równania rózniczkowe zwyczajne
chomik Wybrane modele ekologiczne oraz metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Kochański P, Kortyka P Sposoby rozwiązywania prostych równań różniczkowych zwyczajnych
Rownania Rozniczkowe Zwyczajne 04 Bozek p88

więcej podobnych podstron