1
Równania różniczkowe zwyczajne
Definicja Równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy
równanie postaci
F (x, y, y ) = 0,
gdzie F jest funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na pewnym obszarze " ‚" R3 , zaÅ›
y = y(x) jest szukanÄ… (niewiadomÄ…) funkcjÄ….
Jeżeli równanie F (x, y, y ) = 0 można rozwiązać ze względu na
y , to otrzymujemy tzw. postać normalną równania różniczkowego
rzędu pierwszego:
y = f(x, y),
gdzie f jest funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na pewnym obszarze D ‚" R2 .
2
Przykłady równań różniczkowych rz. 1:
y + 2y2 sin x = 0
y = 3x - y
xy + 2y (ln y - ln x) = 0
Definicja RozwiÄ…zaniem rr y = f(x, y) na przedziale I
nazywamy każdą funkcję y = y(x) o ciągłej pochodnej w I i
wykresie zawartym w obszarze D , która równanie to przeprowadza
w tożsamość, tj.
"x"I y (x) a" f( x , y(x) ).
Rozwiązanie rr nazywamy także całką rr.
3
Przykład Najprostszym rr rz. 1 jest równanie:
y = f(x),
gdzie f jest daną funkcją ciągłą w przedziale I.
Rozwiązanie tego równania ma postać:

y(x) = f(x) dx = F (x) + C
" Pojedyńcze rozwiązanie rr nazywamy całką szczególną (CS) rr.
" Rodzinę wszystkich rozwiązań postaci y = y(x; C) nazywamy
całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) rr.
NP.
1
y =
x
4
Definicja (Zagadnienia poczÄ…tkowego - Cauchy ego)
Niech funkcja f = f(x, y) jest określona w obszarze D . Dla
zadanego punktu (x0, y0) " D wyznaczyć takie rozwiązanie (CS)
y = y(x) równania y = f(x, y) , aby y(x0) = y0 . Tak postawiony
problem rozwiÄ…zania rr nazywamy zagadnieniem poczÄ…tkowym
(Cauch ego), warunek y(x0) = y0 nazywamy warunkiem poczÄ…tkowym.
Zagadnienie poczÄ…tkowe zapisujemy:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y = f(x, y)
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y(x0) = y0
ôÅ‚
ół
5
Twierdzenie (O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań rr)
Jeżeli funkcja f(x, y) oraz jej pochodna cząstkowa fy(x, y) są
ciągłe na obszarze D oraz (x0, y0) " D , to zagadnienie początkowe
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y = f(x, y)
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y(x0) = y0
ôÅ‚
ół
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Przykład Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnić, że
zagadnienie poczÄ…tkowe
y = ln(1 + y2), y(0) = 0
ma dokłdnie jedno rozwiazanie.
6
Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Jest to równanie postaci:
y = h(x) · g(y)
gdzie funkcje h(x) i g(y) są danymi funkcjami ciągłymi.
Twierdzenie Jeżeli funkcje h(x) i g(y) są ciągłe odpowiednio w
przedziałach (a, b) i (c, d) , przy czym g(y) = 0 dla y " (c, d)

oraz x0 " (a, b) y0 " (c, d) , to zagadnienie poczÄ…tkowe
y = h(x) · g(y), y(x0) = y0,
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
7
Uwaga Sposób rozwiązywania rr o zmiennych rozdzielonych
y = h(x)g(y) :
dy
= h(x) · g(y)
dx
dy = h(x) · g(y) dx
dy
= h(x) dx
g(y)
dy
= h(x) dx
g(y)
Całkę ogólną otrzymujemy z ostatniej tożsamości.
Uwaga Jeżeli y" jest taką liczbą, że g(y") = 0 , to funkcja
stała y(x) = y", x " (a, b) jest też rozwiązaniem równania
y = h(x)g(y) .
8
Przykład Znalez
ć całkę ogólną równania:
y = 2x (y - 3)
Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego:
ëÅ‚ öÅ‚
cos x Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
y = , y = -1
3y2 2
9
Równania sprowadzalne do
równań o zmiennych rozdzielonych
" Równanie jednorodne - jest to równanie postaci
ëÅ‚ öÅ‚
y
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
y = f ,
x
gdzie f(u) jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale.
Równanie to sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych
przez podstawienie:
y(x)
u(x) =
x
Przykład Znalez
ć całkę ogólną równania:
x3 + y3
y =
xy2
10
" Równanie postaci:
y = f (ax + by + c) ,
gdzie a = 0, b = 0 i f(u) jest funkcją ciągłą w pewnym

przedziale.
Równanie to sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych
przez podstawienie:
u(x) = ax + by(x) + c
Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe:
y = (y + 4x - 3)2
11
Równanie liniowe rzędu pierwszego
Równanie postaci:
y + p(x) y = f(x),
gdzie p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale I ,
nazywamy równaniem liniowym rzędu pierwszego.
" Jeżeli f(x) a" 0 , to równanie powyższe nazywamy równaniem
liniowym jednorodnym.
" Jeżeli f(x) nie jest tożsamościowo równe 0 na przedziale I , to
równanie powyższe nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym.
12
" Przykłady równań liniowych:
y + 2 y = cos x, y + x y = ex, y + y ln x = 0
" Przykłady równań, które nie są liniowe:
y + y2 = sin x, y + 2 x = ey, y + x ln y = 0
Uwaga Równanie liniowe jednorodne jest równaniem o rozdzielonych
zmiennych.
Twierdzenie (O budowie całki ogólnej równania liniowego
niejednorodnego i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia
poczÄ…tkowego)
13
Załóżmy, że w równaniu
y + p(x) y = f(x),
funkcje p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale
I . Wówczas:
" jeżeli y = y0(x; C), x " I, C " R jest całką ogólną równania
jednorodnego y + p(x) y = 0 oraz y = yS(x), x " I
jest dowolną całką szczególną równania niejednorodnego, to całka
ogólna równania niejednorodnego ma postać:
y = y0(x; C) + yS(x), x " I, C " R.
14
" zagadnienie poczÄ…tkowe
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y + p(x) y = f(x)
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y(x0) = y0, x0 " I
ôÅ‚
ół
ma dokładnie jedno rozwiązanie określone w całym przedziale
I . Można je otrzymać z całki ogólnej poprzez odpowiedni dobór
stałej C .
Przykład Znalez
ć całkę szczególną równania
1
y - y = 2x2
x
spełniającą warunek początkowy y(-1) = 3 .
Przykład Rozwiązać równanie:
y + cos x y = sin x cos x