Wykład 5( wzory dla studentów)
F ~ x
gdzie: x  wychylenie ciała z poło\
enia równowagi.
1. równanie dynamiczne oscylatora harmonicznego
2
d x
F = m Å" a = m
2
dt
r
r
F = -k Å" x ale F = -k Å" x
2
d x
m + k Å" x = 0
2
dt
2
d x
+ É2 Å" x = 0
dt2
k k m
É2 = É = T = 2Ä„
m m k
2. równanie kinematyczne oscylatora harmonicznego
x(t) = xm Å" cos(É Å" t + Õ) gdzie: xm ,É,Õ - staÅ‚e
Õ - faza poczÄ…tkowa É Å" t + Õ - faza caÅ‚kowita
dx
3. v = = - xm Å"É Å" sin(É Å" t + Õ)
dt
dv
2
a = = -xm Å"É Å" cos(É Å" t + Õ) czyli a = - É2 Å" x
dt
4. Energia w ruchu harmonicznym
1 1
E = Å" k Å" x2 = Å" k Å" xm 2 Å" cos2 (Ét + Õ)
p
2 2
1 1 1
2 2
Ek = m Å" v2 = m Å"É xm 2 Å" sin2 (Ét + Õ) = k Å" xm 2 Å" sin (Ét + Õ)
2 2 2
1 1
2
Ec = Ep + Ek = k Å" xm 2[cos2(Ét + Õ)+ sin (Ét + Õ)]= k Å" xm 2
2 2
Przykład. Wahadło fizyczne ( bryła sztywna zawieszona w
odległości l od środka masy) Rys.
M = - l Å" (Fg Å" sinÄ… ) - l Å" m Å" g Å"sinÄ… = I Å"µ
m Å" g Å" l
Dla maÅ‚ych kÄ…tów Ä… d" 50 sinÄ… H" Ä… µ = - Å"Ä…
I
m Å" g Å" l 2Ä„
µ H" Ä… É2 = É =
I T
I
T = 2Ą l - odległość od osi obrotu do środka masy bryły.
m Å" g Å" l
I. Ruch harmoniczny tłumiony.
Fo = -b Å" v b  .
2
dx d x
II zasada dynamiki Newtona: - b v  k x = ma - b Å" - k Å" x = m Å"
2
dt dt
1. równanie dynamiczne oscylatora harmonicznego tłumionego:
2
d x b dx k
+ Å" + Å" x = 0
2
dt m Å" dt m
2. równanie kinematyczne oscylatora harmonicznego tłumionego
x(t) = xm Å" e-bt / 2m Å" cos(É1t + Õ)
k b2
É1 = -
m 4m2
xm Å" e-bt / 2m = A"
b = 0
b >>0
II.
III. Drgania wymuszone i rezonans.
F = Fwym cosÉwym Å" t
1. równanie dynamiczne oscylatora harmonicznego tłumionego
2
d x dx
m + b + kx = Fwym cosÉwymt
2
dt dt
2. równanie kinematyczne oscylatora tłumionego
Fwym
x(t) = sin(Éwym Å" t +È ) = Asin(Éwym Å"t +È ) gdzie:
G
Fwym b Å"Éwym
2
= A G = m2(Éwym 2 - É )+ b2 Å"Éwym 2 È = ar cos
G G
V. Ruch falowy.
Mo\
emy kontaktować się za pomocą: cząstek ( np.list) , fal ( np. telefon)
W fizyce klasycznej cząstka i fala to dwa ró\
ne pojęcia.
Ogólnie: fala jest to zaburzenie ośrodka rozchodzące się w nim ze skończoną prędkością.
Rodzaje fal:
a) Fale mechaniczne 
b) Fale elektromagnetyczne 
c) Fale materii
Inny podział:
a) fale poprzeczne 
b) fale podłu\
ne -
Fale mechaniczne.
1. równanie fali mechanicznej ( fala biegnie w kierunku osi x)
y(x,t) = AÅ" sin(É Å" t Ä… k Å" x + Ć) rys.
2. wielkości opisujące fale:
a) A amplituda fali  max wychylenie punktu z poło\
enia równowagi
2Ä„
b) É czÄ™stość koÅ‚owa - É =
T
c) T okres drgań - czas jednego pełnego drgania
d) f częstość drgań f = 1/T liczba drgań w jednostce czasu
e)  długość fali - odległość jaką przebywa fala w czasie jednego okresu
lub -odległość dwóch najbli\
szych punktów na fali, które
mają tę samą fazę drgań
2Ä„
f) k liczba falowa - k =

g) É Å" t Ä… k Å" x + Ć - faza caÅ‚kowita i faza poczÄ…tkowa
Czoło fali ( powierzchnia falowa) 
Promień fali 
def

3. prÄ™dkość fali ( fazowa): v = =  Å" f
T
od czego zale\
y prędkość fali:
E
a) w ciałach stałych ( w pręcie) v =
Á
Cp
º Å" p t
b) w gazach v = º = > 1 v = vo 1+
Á Cv 273,15
4. Zjawiska charakteryzujÄ…ce fale.
5. Zjawisko interferencji fal.
y1(x1,t) = AÅ"sin(É Å" t + k Å" x1) y2(x2 ,t) = AÅ" sin(É Å" t + k Å" x2 )
y(x1, x2 ,t) = y1(x1,t)+ y2(x2 ,t) =AÅ"[sin(É Å" t + k Å" x1)+ sin(É Å" t + k Å" x2 )]
Ä… + ² Ä… - ²
ale siÄ… + sin ² = 2sin Å" cos czyli
2 2
(x2
ëÅ‚k - x1)÷Å‚sinìÅ‚É Å"t + k (x1 + x2 )÷Å‚
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
y(x1, x2 ,t) = 2AÅ" cos
ìÅ‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(x2
ëÅ‚k - x1)÷Å‚ = 2AÅ" cosìÅ‚ 2Ä„(x2 - x1)÷Å‚
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
A" = 2AÅ" cos
ìÅ‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
k Å"(x1 + x2 )÷Å‚
ëÅ‚É öÅ‚
y(x1, x2 ,t) = A" sin Å"t +
ìÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Wnioski: ( ogólnie)
a) max wzmocnienie fali A" = 2A
2Ä„(x2
ëÅ‚ - x1)÷Å‚ = 1 Ä„(x2 - x1)
öÅ‚
je\
eli: cos = n Å"Ä„ n= 0,1,2,3,& &
ìÅ‚
2 
íÅ‚ Å‚Å‚
ozn
" = x2 - x1 = n Å" 
b) max wygaszenie fali A" = 0
2Ä„(x2
ëÅ‚ - x1)÷Å‚ = 0 Ä„(x2 - x1) 1
öÅ‚
je\
eli cos = (n + ) Å"Ä„
ìÅ‚
2  2
íÅ‚ Å‚Å‚
ozn
1
" = x2 - x1 = (n + ) Å" 
2
Przykład:
Fale stojÄ…ce.
Fale biegnÄ… w przeciwnych kierunkach.
Zakł. x1 = x2 = x
a. wÄ™zÅ‚y max amplituda x = n Å"  n = 0,1,2,& & .
1
b. strzaÅ‚ki amplituda = zero x = (n + ) Å" 
2
Fale akustyczne( mechaniczne) .
Fale dz
więkowe.
1. prędkość dz
więku
"p
B=- moduł ściśliwości
"V /V
Jednostką modułu jest Paskal .
B
v =
Á
Áw H" 1000 Å" Á
Vw = 1402 Å" m / s
p
stopni Celsjusza ale
Vp = 331Å" m / s
Bw >> 1000 Å" Bp
2. Fale dz
więkowe w powietrzu.
Rozwa\
ymy falÄ™ d\
więkową biegnącą w powietrzu ( w rurze) i związane z nią zmiany ciśnienia.
"p(x,t) = "pm Å" sin(É Å" t + k Å" x)
3. NatÄ™\
enie i głośność dz
więku.
W
a) natÄ™\
enie dz
więku definiujemy I = P/S jedn.
m2
P\
r
I =
2
4Ä„ Å" r
b) głośność dz
więku (poziom natę\
enia) definiujemy :
I
² = (10dB) Å" log
Io
dB ( decybel =0.1 bela)
I0 = 10-12 Å"W / m2 -
4. Cechy dz
więku.
Zjawisko Dopplera
v Ä… vod
2
f = f Å"
v Ä… vz