Wykład 5( wzory dla studentów)
F ~ x
gdzie: x  wychylenie ciała z poło\
enia równowagi.
1. równanie dynamiczne oscylatora harmonicznego
2
d x
F = m �" a = m
2
dt
r
r
F = -k �" x ale F = -k �" x
2
d x
m + k �" x = 0
2
dt
2
d x
+ �2 �" x = 0
dt2
k k m
�2 = � = T = 2Ą
m m k
2. równanie kinematyczne oscylatora harmonicznego
x(t) = xm �" cos(� �" t + �) gdzie: xm ,�,� - stałe
� - faza początkowa � �" t + � - faza całkowita
dx
3. v = = - xm �"� �" sin(� �" t + �)
dt
dv
2
a = = -xm �"� �" cos(� �" t + �) czyli a = - �2 �" x
dt
4. Energia w ruchu harmonicznym
1 1
E = �" k �" x2 = �" k �" xm 2 �" cos2 (�t + �)
p
2 2
1 1 1
2 2
Ek = m �" v2 = m �"� xm 2 �" sin2 (�t + �) = k �" xm 2 �" sin (�t + �)
2 2 2
1 1
2
Ec = Ep + Ek = k �" xm 2[cos2(�t + �)+ sin (�t + �)]= k �" xm 2
2 2
Przykład. Wahadło fizyczne ( bryła sztywna zawieszona w
odległości l od środka masy) Rys.
M = - l �" (Fg �" siną ) - l �" m �" g �"siną = I �"�
m �" g �" l
Dla małych kątów ą d" 50 siną H" ą � = - �"ą
I
m �" g �" l 2Ą
� H" ą �2 = � =
I T
I
T = 2Ą l - odległość od osi obrotu do środka masy bryły.
m �" g �" l
I. Ruch harmoniczny tłumiony.
Fo = -b �" v b  .
2
dx d x
II zasada dynamiki Newtona: - b v  k x = ma - b �" - k �" x = m �"
2
dt dt
1. równanie dynamiczne oscylatora harmonicznego tłumionego:
2
d x b dx k
+ �" + �" x = 0
2
dt m �" dt m
2. równanie kinematyczne oscylatora harmonicznego tłumionego
x(t) = xm �" e-bt / 2m �" cos(�1t + �)
k b2
�1 = -
m 4m2
xm �" e-bt / 2m = A"
b = 0
b >>0
II.
III. Drgania wymuszone i rezonans.
F = Fwym cos�wym �" t
1. równanie dynamiczne oscylatora harmonicznego tłumionego
2
d x dx
m + b + kx = Fwym cos�wymt
2
dt dt
2. równanie kinematyczne oscylatora tłumionego
Fwym
x(t) = sin(�wym �" t +� ) = Asin(�wym �"t +� ) gdzie:
G
Fwym b �"�wym
2
= A G = m2(�wym 2 - � )+ b2 �"�wym 2 � = ar cos
G G
V. Ruch falowy.
Mo\
emy kontaktować się za pomocą: cząstek ( np.list) , fal ( np. telefon)
W fizyce klasycznej cząstka i fala to dwa ró\
ne pojęcia.
Ogólnie: fala jest to zaburzenie ośrodka rozchodzące się w nim ze skończoną prędkością.
Rodzaje fal:
a) Fale mechaniczne 
b) Fale elektromagnetyczne 
c) Fale materii
Inny podział:
a) fale poprzeczne 
b) fale podłu\
ne -
Fale mechaniczne.
1. równanie fali mechanicznej ( fala biegnie w kierunku osi x)
y(x,t) = A�" sin(� �" t ą k �" x + Ć) rys.
2. wielkości opisujące fale:
a) A amplituda fali  max wychylenie punktu z poło\
enia równowagi
2Ą
b) � częstość kołowa - � =
T
c) T okres drgań - czas jednego pełnego drgania
d) f częstość drgań f = 1/T liczba drgań w jednostce czasu
e)  długość fali - odległość jaką przebywa fala w czasie jednego okresu
lub -odległość dwóch najbli\
szych punktów na fali, które
mają tę samą fazę drgań
2Ą
f) k liczba falowa - k =

g) � �" t ą k �" x + Ć - faza całkowita i faza początkowa
Czoło fali ( powierzchnia falowa) 
Promień fali 
def

3. prędkość fali ( fazowa): v = =  �" f
T
od czego zale\
y prędkość fali:
E
a) w ciałach stałych ( w pręcie) v =
�
Cp
� �" p t
b) w gazach v = � = > 1 v = vo 1+
� Cv 273,15
4. Zjawiska charakteryzujące fale.
5. Zjawisko interferencji fal.
y1(x1,t) = A�"sin(� �" t + k �" x1) y2(x2 ,t) = A�" sin(� �" t + k �" x2 )
y(x1, x2 ,t) = y1(x1,t)+ y2(x2 ,t) =A�"[sin(� �" t + k �" x1)+ sin(� �" t + k �" x2 )]
ą + � ą - �
ale sią + sin � = 2sin �" cos czyli
2 2
(x2
�łk - x1)�łsin�ł� �"t + k (x1 + x2 )�ł
�ł �ł �ł
y(x1, x2 ,t) = 2A�" cos
�ł
2 2
�ł łł �ł łł
(x2
�łk - x1)�ł = 2A�" cos�ł 2Ą(x2 - x1)�ł
�ł �ł �ł
A" = 2A�" cos
�ł
2 2
�ł łł �ł łł
k �"(x1 + x2 )�ł
�ł� �ł
y(x1, x2 ,t) = A" sin �"t +
�ł
2
�ł łł
Wnioski: ( ogólnie)
a) max wzmocnienie fali A" = 2A
2Ą(x2
�ł - x1)�ł = 1 Ą(x2 - x1)
�ł
je\
eli: cos = n �"Ą n= 0,1,2,3,& &
�ł
2 
�ł łł
ozn
" = x2 - x1 = n �" 
b) max wygaszenie fali A" = 0
2Ą(x2
�ł - x1)�ł = 0 Ą(x2 - x1) 1
�ł
je\
eli cos = (n + ) �"Ą
�ł
2  2
�ł łł
ozn
1
" = x2 - x1 = (n + ) �" 
2
Przykład:
Fale stojące.
Fale biegną w przeciwnych kierunkach.
Zakł. x1 = x2 = x
a. węzły max amplituda x = n �"  n = 0,1,2,& & .
1
b. strzałki amplituda = zero x = (n + ) �" 
2
Fale akustyczne( mechaniczne) .
Fale dz
więkowe.
1. prędkość dz
więku
"p
B=- moduł ściśliwości
"V /V
Jednostką modułu jest Paskal .
B
v =
�
�w H" 1000 �" �
Vw = 1402 �" m / s
p
stopni Celsjusza ale
Vp = 331�" m / s
Bw >> 1000 �" Bp
2. Fale dz
więkowe w powietrzu.
Rozwa\
ymy falę d\
więkową biegnącą w powietrzu ( w rurze) i związane z nią zmiany ciśnienia.
"p(x,t) = "pm �" sin(� �" t + k �" x)
3. Natę\
enie i głośność dz
więku.
W
a) natę\
enie dz
więku definiujemy I = P/S jedn.
m2
P\
r
I =
2
4Ą �" r
b) głośność dz
więku (poziom natę\
enia) definiujemy :
I
� = (10dB) �" log
Io
dB ( decybel =0.1 bela)
I0 = 10-12 �"W / m2 -
4. Cechy dz
więku.
Zjawisko Dopplera
v ą vod
2
f = f �"
v ą vz