Wykład 3.( dla studentów)
2 2
x = ²(x + vo Å"t )
2
y = y
2
z = z
vo Å" x
ëÅ‚t2 2 öÅ‚
t = ² +
ìÅ‚ ÷Å‚
c2 Å‚Å‚
íÅ‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 vo
= ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚1- c2 ÷Å‚
²
íÅ‚ Å‚Å‚
Jak widać dla vo << c transformacja Lorenza przechodzi w transformację Galileusza.
b) transformacja prędkości
2 2
dx = ² Å" dx + ² Å" vo Å" dt
vo
2
dt = ² Å" dt + ²
c2
2
dx vx + vo
vx = =
2
vo Å" vx
dt
1+
c2
vo c
odniesienia. Konsekwencje: Je\
eli:
² "
1. Dylatacja czasu
2
"Ä "
2
"Ä = "Ä Å" ²
2 2
2. Skrócenie dÅ‚ugoÅ›ci: "l = "l / ² "l 0
3. Zwiększenie masy:
m = mo Å" ² m "
Dynamika klasyczna (V<< c ) , gdzie c = 3Å"108 m/s )
I. Dynamika ruchu postępowego
1. Wielkości dynamiczne
r
r
r r dp
p = m Å" v F =
dt
Jednostki: [ p= kg m/s], [ F= N]
2. Zasady dynamiki ruchu postępowego Newtona (w układach inercjalnych).
I. Newton ( 1642-1727) w Anglii
I zasada dynamiki Newtona
r
r r r r r
Fw = Fw = i Fwx + jFwy + kFwz
"Fi
i=1
n n n
Fwx = , Fwy = Fiy , Fwz =
"Fix " "Fiz
i=1 i=1 i=1
 II zasada dynamiki Newtona
r
r r
r r Fw
Je\
eli {m = const} i Fw `" 0 to: a ~ F a =
m
a dodatnie ( ruch przyśpieszony)
a ujemne ( ruch opóz
niony)
r
r r
Fwy r Fwz
r r r r r Fwx r
a = ax + ay + az ax = , ay = , az =
m m m
m `" const mamy ogólna postać II zasady dynamiki Newtona
pojedyncze ciało
r
r r
r r
dp
dp dm r dv
Fw = = Å" v + m Fw =
dt dt dt dt
dla układu ciał
r
r
dpc
Fw =
dt
n
r r
pc = pi
"
i=1
III zasada dynamiki tzw. zasada akcji i reakcji (dotyczy dwóch ciał)
r r
FAB =
-FBA
Przykłady zastosowania.
Dane: m, F, k
Sz: a=? Rys.
FN = R III zasada dynamiki T = k FN = k Å" R
Fwx = F - T = F - k Å" R
Fwx = m Å" ax = m Å" a II zasada dynamiki
Fwy = -Q + R = -m Å" g + R
Fwy = 0 I zasada dynamiki
- m Å" g + R = 0 Ò! R = m Å" g T = k(m Å" g)
m a = F - T = F - k Å"(m Å" g)
F - k Å"(m Å" g)
a =
m
II. Środek masy {SM} (układ mas)
1. poło\
enie środka masy
N
Å"m1
"xi
i=1
xSM =
N
"mi
i=1
N
yi Å"mi
"
r r
r r
i=1
ySM = RSM = i Å" xSM + j Å" ySM + k Å" zSM wektor poÅ‚o\
enia środka masy
N
"mi
i=1
N
Å" mi
"zi
i=1
zSM =
N
"mi
i=1
r
r
dRSM
a) Prędkość SM: VSM =
dt
b ) Przyśpieszenie SM:
r
r dVSM
aSM =
dt
III. Ruch obrotowy
1. Wielkości dynamiczne:
A. punkt materialny
def
r r
r
a) moment siÅ‚y - jest to wektor M = r × F
r r
r
M = r F Å"sinÄ…
Szczególne przypadki: r
r
1) r Ä„" F to M = r Å" F sin 90° = 1
r
r
2) r F to M = 0 sin 0° = 0
def
b) I moment bezwÅ‚adnoÅ›ci punktu materialnego I = m Å" r2
JednostkÄ… jest [ I = kg Å" m2 ]
c) moment pędu ( kręt) - jest to wektor
def
r
r r
r r
L = r × p gdzie p = m Å"v pÄ™d punktu
r
r r r r
L = r Å" p Å"sin < (r, p)
wielkości dynamiczne Zasady dynamiki
Ruch postępowy Ruch obrotowy Ruch postępowy Ruch obrotowy
r r
2
m
I = dm I. je\
eli Fw = 0 I. je\
eli Mw = 0 ,
+"r
m
N
r r
r r
M =
Fw =
w "Mi
"Fi
i=1
i=1
r
r
Ö (t) = const
v(t) = const Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
to
to
r
r òÅ‚Ö (t) = 0 żł
òÅ‚v(t) = 0 żł
ół þÅ‚
ół þÅ‚
r
r
r r
p r
r
L = r × p
II. je\
eli Mw `" 0
II. je\
eli Fw `" 0
r
r
r M
r Fw
w
µ =
a =
I
m
r
r r
r r
r
F III. brak
III. je\
eli FAB = FBA
M = r × F
B. Układ punktów materialnych ( bryła sztywna )  masa skupiona w SM
a) ruch postępowy
N N
r r r
dpC r r
Fw = F = pc = pi
"Fi "
w
dt
i=1 i=1
Zasady dynamiki Newtona ruchu postępowego układu punktów materialnych
( materialnych układzie inercjalnym)
r r r r
I. je\
eli Fw = 0 II. je\
eli Fw `" 0 III. FAB = FBA
r
r
v(t) = const
Å„Å‚ üÅ‚ r F
to a =
r
òÅ‚v(t) = 0 żł
m
ół þÅ‚
b) ruch obrotowy
- wielkości dynamiczne:
r r
r
M = r × F moment siÅ‚y
N
def
Å„Å‚ üÅ‚
2
I = dm = Å" ri2 moment bezwÅ‚adnosci
òÅ‚I żł
"mi
+"r
ół i=1 þÅ‚
m
N
r r
Lc =
"Li
i =1
Przykład obliczenia momentu bezwładności  dla pełnego walca.
Dane: m, R Szukamy: I
2
I = dm dm = qv Å" dV dV = 2  Å" r Å" h Å" dr
+"r
m
R
R R
1 R4
îÅ‚ Å‚Å‚
2 4
I = Å" qv Å" 2  Å" r Å" h Å" dr = 2  Å" h Å" qv 3dr = 2  Å" h Å" qv r = 2  Å" h Å" qv Å"
+"r +"r ïÅ‚4 śł
4
ðÅ‚ ûÅ‚0
o 0
m m
m = qv Å"V Ò! qv = =
v  Å" R2 Å" h
m 1 1
I =  Å" h Å" Å" R4 = Å" m Å" R2 I = m Å" R2
2  Å" h Å" R2 2 2
Zasady dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej.
r r
I. je\
eli Mw = 0 , II. je\
eli Mw `" 0 III. brak
r
r
Ö (t) = const
Å„Å‚ üÅ‚ r M
w
to to µ =
r
òÅ‚Ö (t) = 0 żł
I
ół þÅ‚
Szukamy ogólnej postaci II zasady dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej.
(rozwa\
amy ruch względem środka masy (SM)
N N
r r r
r r r r r r
{r0i = ri} Lc = Lc = × pi pi = mi Å" vi
"Li "ri
i =1 i=1
N
r
r r r r r
Lc = × mi Å"vi vi = Ö × ri
"ri
i=1
N N
r
r r r r r r r r r
Lc = Å" ri × (Ö × r ) = Å"(ri Å" ri ) Å"Ö - (ri Å"Ö ) Å" ri
"mi "mi
i=1 i=1
r r
n
def
r
ri Ä„" Ö
Å„Å‚ üÅ‚
r
2
r r
òÅ‚r Å"Ö = 0żł Lc = I Å"Ö I = dm I = Å" ri2 Å"
"mi
+"r
i=1
ół i þÅ‚
m
II zasada dynamiki Newtona  ruch obrotowy( ogólna postać)
r
r
r r
r Mw r dÖ d r
µ = Å" I I Å"µ = M I Å" = Mw (I Å"Ö ) = M
w w
I dt dt
r
r
dLc
M =
w
dt
n
r r
M =
w "Mi
i=1
Przykłady zastosowania zasad dynamiki.
Przykład 1.
Rys.
F1 = F Å" cosÄ…
Dane: F, m, k, v(0)=0
F2 = F Å" sinÄ…
Sz: a, v , x( t)
r r
r r r
a = ax
r
Fw = Fwx + Fwy
r r r r
a = ax + ay Fw = m Å" a ay = 0
r r r r
r r r
Fwy = F2 + Q + R
Fwx = F1 + T T = k Å" Fn
x) Fwx = F1 - T y) Fwy = F2 - Q + R Fn = R
Fwx = m Å" a T = k Å" R
Fwy = 0
R = Q - F2
T = k Å"(m Å" g - F Å" sinÄ…)
dv
a =
F1 - T
dt
a =
m
dv = a Å" dt
F Å" cosÄ… - k(m Å" g - F Å"sinÄ…)
v(t) = Å" dt = a Å" t + C
a =
+"a
m
t = 0 C = 0 bo v = v0 = 0
dx
v =
dt
dx = v Å" dt
t t
2
a Å" t
x = Å" dt = Å" t Å" dt =
+"v +"a
2
o o
Przykład.2.
D: m, g, b , t = 0, v = 0, y = h Sz: v(t), y(t)
dv
= dt
b
g - v
m Å" a = m Å" g - b Å" v
m
m dx
m dx
ozn
= - dt + C
= -dt
dv b
+" +"
m Å" = m Å" g - b Å" v g - v = x b x
b x
dt m
m
b
ëÅ‚
dv = - dx
dv = g - vöÅ‚dt
ìÅ‚ ÷Å‚
b
m
íÅ‚ Å‚Å‚
m m b m
ln x = -t + C lnëÅ‚ g - vöÅ‚ = -t + C t=0 C = ln(g)
ìÅ‚ ÷Å‚
b b m b
íÅ‚ Å‚Å‚
b
ëÅ‚ - t öÅ‚
m b m m ëÅ‚ b öÅ‚ m Å" g
ìÅ‚1- e m ÷Å‚
lnëÅ‚ g - vöÅ‚ = -t + ln(g) lnìÅ‚1- v÷Å‚ = -t v(t) =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
b m b b g Å" m b
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
dy
y(t)= dt v = -
+"v(t)Å"
dt
b
ëÅ‚ - t öÅ‚
m Å" g m m2 Å" g
ìÅ‚t + e m ÷Å‚
y(t) = - + C t = 0 y = h C = h +
ìÅ‚ ÷Å‚
b b b2
íÅ‚ Å‚Å‚
b
ëÅ‚ - t öÅ‚
m Å" g m m
ìÅ‚t + e m - ÷Å‚
y(t) = - + h
ìÅ‚ ÷Å‚
b b b
íÅ‚ Å‚Å‚