ÿþ1
A g a t a B o r a t y Ds k a
W Y K AA D Y Z E S T A T Y S T Y K I M A T E M A T Y C Z N E J ( I I r o k W N E )
W a r s z a w a 2 0 1 4
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2
L i t e r a t u r a
W . N i e m i r o R a c h u n e k p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i s t a t y s t y k a m a t e -
m a t y c z n a , S N S 1 9 9 9
J . K o r o n a c k i i J . M i e l n i c z u k S t a t y s t y k a W N T 2 0 0 4
J . J ó zw i a k i J . P o d g ó r s k i , S t a t y s t y k a o d p o d s t a w , P W E 1 9 9 4
H . K a s s y k - R o k i c k a , S t a t y s t y k a , z b i ó r z a d a D, 2 0 0 5 l u b i n n e w y d a -
n i a
W . K r y s i c k i R a c h u n e k p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i s t a t y s t y k a m a t e -
m a t y c z n a w z a d a n i a c h , c z . 2 . P W N 1 9 9 8
D . S i l v e y W n i o s k o w a n i e s t a t y s t y c z n e , P W N
R . Z i e l i Ds k i S i e d e m w y k Ba d ó w w p r o w a d z a j c y c h d o s t a t y s t y k i
m a t e m a t y c z n e j , P W N w w w . i m p a n . g o v . p l / r z i e l / 7 A L L . p d f
A . B o r a t y Ds k a Z a d a n i a z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j ,
a k s o n . s g h . w a w . p l / a b o r a t a / e k o n o m i a / Z a d s e k 2 . p d f
A . B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j ,
a k s o n . s g h . w a w . p l / a b o r a t a / e k o n o m i a / w y k l a d S M . p d f
J . C i e c i e l g i K . M a r e k S t a t y s t y k a m a t e m a t y c z n a , z b i ó r z a d a D,
W N E
A . J o k i e l - R o k i t a i R . M a g i e r a , M o d e l e i m e t o d y s t a t y s t y k i m a t e -
m a t y c z n e j w z a d a n i a c h , O f i c y n a W y d a w n i c z a G i S , W r o c Ba w 2 0 0 5
A . D . A c z e l , S t a t y s t y k a w z a r z d z a n i u , P W N
W . Z i e l i Ds k i T a b l i c e s t a t y s t y c z n e .
C . R . R a o S t a t y s t y k a i p r a w d a , P W N 1 9 9 4
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3
S t a t y s t y k a j e s t b a r d z i e j s p o s o b e m m y [l e n i a l u b w n i o s k o w a n i a
n i | p c z k i e m r e c e p t n a m Bó c e n i e d a n y c h w c e l u o d s Bo n i c i a o d -
p o w i e d z i
C . R . R a o
. . . s t a t y s t y k a j e s t n a u k o t y m , j a k w y k o r z y s t y w a i n f o r m a c j e
d o a n a l i z y i w y t y c z a n i a k i e r u n k ó w d z i a Ba n i a w w a r u n k a c h n i e -
p e w n o [c i .
V . B a r n e t t C o m p a r a t i v e S t a t i s t i c a l I n f e r e n c e
N a u k a n i e s t a r a s i w y j a [n i a , a n a w e t n i e m a l n i e s t a r a s i
i n t e r p r e t o w a , z a j m u j e s i o n a g Bó w n i e b u d o w m o d e l i . M o -
d e l r o z u m i a n y j e s t j a k o m a t e m a t y c z n y t w ó r , k t ó r y , p o d o d a -
n i u s Bo w n e j i n t e r p r e t a c j i , o p i s u j e b a d a n e z j a w i s k a . J e d y n y m i
w Ba [c i w y m u z a s a d n i e n i e m t a k i e g o t w o r u m a t e m a t y c z n e g o j e s t
o c z e k i w a n i e , |e s p r a w d z i s i o n w d z i a Ba n i u .
J o h n v o n N e u m a n n
K Ba m s t w o , w i e r u t n e k Ba m s t w o , s t a t y s t y k a
L i c z b y n i e k Ba m i a l e k Ba m c y l i c z
C h . H . G r o s v e n o r
P r a w a n a u k o w e n i e s f o r m u Bo w a n e n a m o c y a u t o r y t e t ó w a n i
u z a s a d n i a n e p r z e z w i a r c z y [r e d n i o w i e c z n f i l o z o f i . J e d y n y m
s d e m o d w o Ba w c z y m d l a n o w e j w i e d z y j e s t s t a t y s t y k a
P . C . M a h a n a l o b i s
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4
S T A T Y S T Y K A - n a u k a p o [w i c o n a m e t o d o m b a d a n i a i a n a l i -
z o w a n i a z j a w i s k m a s o w y c h ; p o l e g a n a s y s t e m a t y z o w a n i u o b s e r w o -
w a n y c h c e c h i l o [c i o w y c h i j a k o [c i o w y c h o r a z p r z e d s t a w i a n i u w y -
n i k ó w w p o s t a c i z e s t a w i e D t a b e l a r y c z n y c h , w y k r e s ó w , d i a g r a m ó w
i t p . Z a j m u j e s i z b i e r a n i e m , p r z e t w a r z a n i e , p r z e d s t a w i a n i e m d a -
n y c h o r a z w n i s k o w a n i e m n a i c h p o d s t a w i e .
S T A T Y S T Y K A M A T E M A T Y C Z N A - d z i a B m a t e m a t y k i
s t o s o w a n e j o p a r t y n a r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a , z a j m u j e s i
b a d a n i e m z b i o r ó w i w n i o s k o w a n i e m o p e w n y c h c h a r a k t e r y s t y k a c h
c e c h ( z m i e n n y c h l o s o w y c h ) n a p o d s t a w i e z n a j o m o [c i p o d z b i o r ó w i
o b s e r w a c j i w a r t o [c i z m i e n n e j l o s o w e j w p o s t a c i p r ó b y l o s o w e j .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5
S T A T Y S T Y K A O P I S O W A , W S T P N A A N A L I Z A D A N Y C H .
p o p u l a c j a - z b i ó r o b i e k t ó w z w y r ó |n i o n c e c h , z b i o r o w o [ p o d -
d a w a n a b a d a n i u .
c e c h a - w i e l k o [ l o s o w a c h a r a k t e r y z u j c a o b i e k t y d a n e j p o p u l a c j i
l u b i n t e r e s u j c a b a d a c z a z m i e n n a l o s o w a , c e c h a i l o [c i o w a ( n p w a g a ,
o c e n a , w i e k , z a r o b k i ) i j a k o [c i o w a ( k o l o r o c z u , p Be , w y k s z t a Bc e n i e )
j e d n o s t k a b a d a n i a - e l e m e n t p o p u l a c j i p o d d a n y b a d a n i u
p r ó b a - w y b r a n a c z [ p o p u l a c j i p o d d a n a b a d a n i u , z b i ó r j e d n o -
s t e k b a d a n i a
j e d n o s t k a c e c h a X c e c h a Y c e c h a Z . . .
1 x 1 y 1 z 1 . . .
2 x 2 y 2 z 2 . . .
3 x 3 y 3 z 3 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
b a d a n i e p e Bn e - o b e j m u j e c a B p o p u l a c j ( n p . s p i s p o w s z e c h n y )
b a d a n i e r e p r e z e n t a c y j n e - o b e j m u j e c z [ p o p u l a c j i
W n i o s k o w a n i e o c a Be j p o p u l a c j i n a p o d s t a w i e p r ó b y l o s o w e j w y -
m a g a m e t o d r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6
P R E Z E N T A C J A D A N Y C H
S z e r e g r o z d z i e l c z y p u n k t o w y ( t a b l i c a k o n t y n g e n c j i )
w a r t o [c i c e c h y l i c z n o [c i ( l i c z b a j e d n o s t e k )
x 1 n 1
x 2 n 2
. . . . . .
x k n k
P R Z Y K AA D 1 . W g r u p i e 2 0 s t u d e n t ó w o c e n y z e g z a m i n u z e s t a -
t y s t y k i b y By n a s t p u j c e :
2 3 3 . 5 4 4 . 5 4 5 3 3 4
3 . 5 3 3 3 . 5 3 2 4 5 3 . 5 3 . 5
D a n e w s z e r e g u
o c e n a l i c z b a s t u d e n t ó w
2 2
3 6
3 . 5 5
4 4
4 . 5 1
5 2
R a z e m 2 0
P r z e j r z y s t y m s p o s o b e m p r e z e n t a c j i j e s t w y k r e s s Bu p k o w y
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7
S z e r e g r o z d z i e l c z y p r z e d z i a Bo w y
p r z e d z i a B [r o d e k p r z e d z i a Bu l i c z n o [c i c z s t o [c i
n 1
( c 0 , c 1 ] c 1 n 1 f 1 =
¯
n
n 2
( c 1 , c 2 ] c 2 n 2 f 2 =
¯
n
. . . . . . . . . . . .
n k
( c k - 1 , c k ] c k n k f k =
¯
n
U w a g i :
c i - 1 + c i
" c i =
¯
2
" N a j c z [c i e j k l a s y o j e d n a k o w e j s z e r o k o [c i l u b o z b l i |o n e j l i c z n o [c i
" "
3
" L i c z b a k l a s k s p e Bn i a n k n
4
" l i c z b k l a s m o |n a t e | d o b i e r a u s t a l a j c s z e r o k o [, j e d n a z r e g u B
t o
1
3
b 2 , 6 4 · I Q R · n -
g d z i e I Q R - r o z s t p m i d z y k w a r t y l o w y
" J e |e l i l i c z b a k l a s j e s t r ó w n a k i k l a s y s j e d n a k o w e j d Bu g o [c i , t o
d Bu g o [ b s p e Bn i a
X n : n - X 1 : n
b
k
g d z i e
X 1 : n - n a j m n i e j s z a o b s e r w a c j a
X n : n - n a j w i k s z a o b s e r w a c j a
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8
P R Z Y K AA D 2 . P o w i e r z c h n i m i e s z k a D w p e w n y m o s i e d l u p o d a j e
t a b e l a
3 2 , 4 5 3 3 , 2 1 3 4 , 3 6 3 5 , 7 8 3 7 , 7 9 3 8 , 5 4 3 8 , 9 1 3 8 , 9 6 3 9 , 5 0 3 9 , 6 7
3 9 , 8 0 4 1 , 4 5 4 1 , 5 5 4 2 , 2 7 4 2 , 4 0 4 2 , 4 5 4 4 , 2 5 4 4 , 5 0 4 4 , 7 0 4 4 , 8 3
4 4 , 9 0 4 5 , 1 0 4 5 , 9 0 4 6 , 5 2 4 7 , 6 5 4 8 , 1 0 4 8 , 5 5 4 8 , 9 0 4 9 , 0 0 4 9 , 2 4
4 9 , 5 5 4 9 , 6 5 4 9 , 7 0 4 9 , 9 0 5 0 , 9 0 5 1 , 4 0 5 1 , 5 0 5 1 , 6 5 5 1 , 7 0 5 1 , 8 0
5 1 , 9 8 5 2 , 0 0 5 2 , 1 0 5 2 , 3 0 5 3 , 6 5 5 3 , 8 9 5 3 , 9 0 5 4 , 0 0 5 4 , 1 0 5 5 , 2 0
5 5 , 3 0 5 5 , 5 6 5 5 , 6 2 5 6 , 0 0 5 6 , 7 0 5 6 , 8 0 5 6 , 9 0 5 6 , 9 5 5 7 , 1 3 5 7 , 4 5
5 7 , 7 0 5 7 , 9 0 5 8 , 0 0 5 8 , 5 0 5 8 , 6 7 5 8 , 8 0 5 9 , 2 3 6 3 , 4 0 6 3 , 7 0 6 4 , 2 0
6 4 , 3 0 6 4 , 6 0 6 5 , 0 0 6 6 , 2 9 6 6 , 7 8 6 7 , 8 0 6 8 , 9 0 6 9 , 0 0 6 9 , 5 0 7 3 , 2 0
7 6 , 8 0 7 7 , 1 0 7 7 , 8 0 7 8 , 9 0 7 9 , 5 0 8 2 , 7 0 8 3 , 4 0 8 4 , 5 0 8 4 , 9 0 8 5 , 0 0
8 6 , 0 0 8 9 , 1 0 8 9 , 6 0 9 3 , 0 0 9 6 , 7 0 9 8 , 7 8 1 0 3 , 0 0 1 0 7 , 9 0 1 1 2 , 7 0 1 1 8 , 9 0
p r z e d z i a B [r o d e k l i c z b a m i e s z k a D c z s t o [c i
3 0 - 4 0 3 5 1 1 0 . 1 1
4 0 - 5 0 4 5 2 3 0 . 2 3
5 0 - 6 0 5 5 3 3 0 . 3 3
6 0 - 7 0 6 5 1 2 0 . 1 2
7 0 - 8 0 7 5 6 0 . 0 6
8 0 - 9 0 8 5 8 0 . 0 8
9 0 - 1 0 0 9 5 3 0 . 0 3
1 0 0 - 1 1 0 1 0 5 2 0 . 0 2
1 1 0 - 1 2 0 1 1 5 2 0 . 0 2
r a z e m 1 0 0 1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9
H i s t o g r a m - j e s t t o w y k r e s s Bu p k o w y , k t ó r e g o p o d s t a w s t a n o -
w i p r z e d z i a By k l a s o w e , a w y s o k o [c i s Bu p k ó w s a p r o p o r c j o n a l n e d o
l i c z n o [c i n i p o s z c z e g ó l n y c h k l a s .
J e |e l i w y s o k o [c i s r ó w n e l i c z n o [c i o m k l a s t o m a m y h i s t o g r a m
l i c z n o [c i , j e |e l i s r ó w n e c z s t o [c i o m t o h i s t o g r a m c z s t o [c i .
W s y t u a c j i , g d y k l a s y n i e m a j r ó w n e j d Bu g o [c i w y s o k o [ s Bu p k ó w
o k r e [l a s i w g w z o r u
f i
h i =
b i
g d z i e f i - t o c z s t o [, a b i - s z e r o k o [ k l a s y .
( p o r ó w n a j h i s t o g r a m y - p r z y k Ba d 1 , 2 , 3 )
Ac z c p u n k t y o w s p ó Br z d n y c h ( c i , n i ) o t r z y m u j e m y Ba m a n
¯
l i c z n o [c i , a Bc z c p u n k t y o w s p ó Br z d n y c h ( ¯ f i ) a l b o ( c i , h i )
c i , ¯
Ba m a n c z s t o [c i .
W s z e r e g u r o z d z i e l c z y m m o |e m y r ó w n i e | p o d a w a l i c z n o [c i i c z -
s t o [c i s k u m u l o w a n e .
p r z e d z i a B l i c z n o [c i c z s t o [c i
s k u m u l o w a n e c n i s k u m u l o w a n e c f i
n 1
( c 0 , c 1 ] n 1 f 1 =
n
( c 1 , c 2 ] n 1 + n 2 f 1 + f 2
. . . . . . . . .
( c k - 1 , c k ] n 1 + n 2 + . . . + n k = n f 1 + f 2 + . . . + f k = 1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0
J e |e l i w y s o k o [c i s Bu p k ó w h i s t o g r a m u s r ó w n e l i c z n o [c i o m ( c z -
s t o [c i o m ) s k u m u l o w a n y m t o o t r z y m u j e m y h i s t o g r a m l i c z n o [c i
( c z s t o [c i ) s k u m u l o w a n y c h . Ac z c p u n k t y o w s p ó Br z d n y c h
( c i , c n i ) o t r z y m u j e m y Ba m a n l i c z n o [c i s k u m u l o w a n y c h , a
Bc z c p u n k t y o w s p ó Br z d n y c h ( c i , c f i ) o t r z y m u j e m y Ba m a n
c z s t o [c i s k u m u l o w a n y c h .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1
C H A R A K T E R Y S T Y K I P R Ó B K O W E
M I A R Y P O AO {E N I A
¯
Zr e d n i a a r y t m e t y c z n a X
" z p r ó b y l o s o w e j X 1 , X 2 , . . . , X n ( d a n e s u r o w e )
X 1 + X 2 + . . . + X n
¯
X =
n
" d a n e z s z e r e g u r o z d z i e l c z e g o p u n k t o w e g o
k
1
¯
X = x i n i
n
i = 1
" d a n e z s z e r e g u r o z d z i e l c z e g o p r z e d z i a Bo w e g o
k
1
¯
X c i n i
¯
n
i = 1
P R Z Y K AA D 1 c d .
2 · 2 + 6 · 3 + 5 · 3 . 5 + 4 · 4 + 1 · 4 . 5 + 2 · 5
¯
X = = 3 . 5
2 0
P R Z Y K AA D 2 c d . d l a d a n y c h z s z e r e g u r o z d z i e l c z e g o
¯
X =
1
( 1 1 · 3 5 + 2 3 · 4 5 + 3 3 · 5 5 + 1 2 · 6 5 + 6 · 7 5 + 8 · 8 5 + 3 · 9 5 + 2 · 1 0 5 + 2 · 1 1 5 ) = 5 8 . 7 0
1 0 0
U w a g a : j e |e l i d o s t p n e s d a n e s u r o w e z a l e c a s i k o r z y s t a n i e z e
w z o r u p i e r w s z e g o .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 2
M e d i a n a M e d z p r ó b y l o s o w e j j e s t t o l i c z b a , t a k a |e c o n a j m n i e j
5 0 % o b s e r w a c j i p r z y j m u j e w a r t o [ n i e w i k s z o d n i e j i c o n a j m n i e j
5 0 % o b s e r w a c j i w a r t o [ n i e m n i e j s z o d n i e j .
W y l i c z a m y j w n a s t p u j c y s p o s ó b :
" d a n e s u r o w e : u s t a w i a m y r o s n c o ,
i - t o b s e r w a c j w c i g u u s t a w i o n y m r o s n c o o z n a c z a m y s y m b o l e m
X i : n i n a z y w a m y i - t s t a t y s t y k p o z y c y j n
ñø
ôø
X g d y n n i e p a r z y s t e
n + 1
òø
: n
2
M e d =
1
ôø
óø n
( X + X ) g d y n p a r z y s t e
n + 2
: n
: n
2
2
2
" d a n e z s z e r e g u r o z d z i e l c z e g o p r z e d z i a Bo w e g o
ëø öø
M - 1
b n
íø
M e d c L + - n i øø
n M 2
i = 1
g d z i e
c L - d o l n a g r a n i c a k l a s y m e d i a n y
b - s z e r o k o [ k l a s y m e d i a n y
n M - l i c z n o [ k l a s y m e d i a n y
M - n u m e r k l a s y
X 1 0 : 2 0 + X 1 1 : 2 0 3 , 5 + 3 , 5
P R Z Y K AA D 1 c d . M e d = = = 3 , 5
2 2
P R Z Y K AA D 2 c d . d l a d a n y c h z s z e r e g u r o z d z i e l c z e g o
M = 3 , n 3 = 3 3 , c L = 5 0 , b = 1 0
1 0
M e d 5 0 + ( 5 0 - 3 4 ) = 5 4 , 8 5
3 3
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 3
M o d a ( d o m i n a n t a ) M o - w a r t o [ n a j c z [c i e j p o w t a r z a j c a s i
w p r ó b i e ( c z s t o z a k Ba d a s i , |e n i e m o |e b y t o w a r t o [ n a j w i k s z a
a n i n a j m n i e j s z a )
P r z y d a n y c h z s z e r e g u r o z d z i e l c z e g o
n M o - n M o - 1
M o c L + · b
( n M o - n M o - 1 ) + ( n M o - n M o + 1 )
g d z i e
n M o - l i c z n o [ n a j l i c z n i e j s z e j k l a s y z w a n e j k l a s m o d y ,
c L - l e w y k o n i e c k l a s y m o d y
P R Z Y K AA D 1 c d . M o = 3
P R Z Y K AA D 2 c d .
3 3 - 2 3
M o 5 0 + · 1 0 = 5 3 , 2
3 3 - 2 3 + 3 3 - 1 2
P R Z Y K AA D 3 c d .
0 , 0 0 0 6 7 7 1 - 0 , 0 0 0 4 5 8 3
M o 2 5 0 + · 2 0 0 = 3 5 4 , 5 6
2 · 0 , 0 0 0 6 7 7 1 - 0 , 0 0 0 4 5 8 3 - 0 , 0 0 0 4 7 7 4
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 4
P R Z Y K AA D 4 . M i e s i c z n e z a r o b k i z a s a d n i c z e p r a c o w n i k ó w z w y |-
s z y m w y k s z t a Bc e n i e m w p e w n e j f i r m i e
z a r o b k i l i c z b a o s ó b
2 5 0 0 6
3 0 0 0 8
3 1 0 0 7
3 5 0 0 4
4 0 0 0 3
5 0 0 0 2
1 2 0 0 0 1
R a z e m 3 1
¯
X = 3 5 0 6
M e d = X 1 6 : 3 1 = 3 1 0 0
M o = 3 0 0 0
U w a g a : [r e d n i a j e s t n i e o d p o r n a n a o b s e r w a c j e o d s t a j c e
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 5
K w a r t y l e
P i e r w s z y k w a r t y l ( d o l n y k w a r t y l ) Q 1 - t o t a k a w a r t o [ c e -
c h y , |e c o n a j m n i e j 2 5 % o b s e r w a c j i p r z y j m u j e w a r t o [ n i e w i k s z
o d n i e j i c o n a j m n i e j 7 5 % o b s e r w a c j i w a r t o [ n i e m n i e j s z o d n i e j .
D r u g i k w a r t y l = M e d i a n a
T r z e c i k w a r t y l ( k w a r t y l g ó r n y ) Q 3 - t o t a k a w a r t o [ c e c h y ,
|e c o n a j m n i e j 7 5 % o b s e r w a c j i p r z y j m u j e w a r t o [ n i e w i k s z o d
n i e j i c o n a j m n i e j 2 5 % o b s e r w a c j i w a r t o [ n i e m n i e j s z o d n i e j .
W p r a k t y c e d o l n y k w a r t y l w y z n a c z a s i j a k o m e d i a n p o d p r ó b y
z Bo |o n e j z o b s e r w a c j i o w a r t o [c i a c h m n i e j s z y c h o d m e d i a n y , a g ó r n y
k w a r t y l j a k o m e d i a n z p o d p r ó b y z Bo |o n e j z o b s e r w a c j i w i k s z y c h
o d m e d i a n y .
P R Z Y K AA D 1 c d .
X 5 : 2 0 + X 6 : 2 0
Q 1 = = 3
2
X 1 5 : 2 0 + X 1 6 : 2 0
Q 3 = = 4
2
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 6
P r z y d a n y c h z s z e r e g u r o z d z i e l c z e g o
ëø öø
M 1 - 1
b n
ìø
íø -
øø
Q 1 c L + n i ÷ø
n M 1 4
i = 1
g d z i e
c L - d o l n a g r a n i c a k l a s y k w a r t y l a
b - s z e r o k o [ k l a s y k w a r t y l a
n M 1 - l i c z n o [ k l a s y k w a r t y l a
M 1 - n u m e r k l a s y
ëø öø
M 3 - 1
b 3 n
ìø
íø -
øø
Q 3 c L + n i ÷ø
n M 3 4
i = 1
g d z i e
c L - d o l n a g r a n i c a k l a s y k w a r t y l a
b - s z e r o k o [ k l a s y k w a r t y l a
n M 3 - l i c z n o [ k l a s y k w a r t y l a
M 3 - n u m e r k l a s y
n
P R Z Y K AA D 2 c d . Z a Q 1 o d p o w i a d a o b s e r w a c j a o n u m e r z e = 2 5 ,
4
s t d k l a s a k w a r t y l a j e s t k l a s a d r u g a M = 2
1 0
Q 1 4 0 + ( 2 5 - 1 1 ) = 4 6 . 0 9
2 3
3
Z a Q 3 o d p o w i a d a o b s e r w a c j a o n u m e r z e n = 7 5 , s t d k l a s k w a r -
4
t y l a j e s t k l a s a c z w a r t a M = 4
1 0
Q 3 6 0 + ( 7 5 - 6 5 ) = 6 6 . 6 7
1 2
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 7
K w a r t y l e d z i e l p r ó b n a c z t e r y r ó w n e c z [c i ( z e w z g l d u n a l i c z -
n o [) , w k a |d e j j e s t w p r z y b l i |e n i u 2 5 % o b s e r w a c j i .
P o r ó w n a n i e w s k a zn i k ó w d l a d a n y c h s u r o w y c h i s z e r e g u r o z d z i e l -
c z e g o
m i a r a d a n e s u r o w e s z e r e g r o z d z i e l c z y
[r e d n i a 5 9 , 5 8 5 8 , 7 0
m e d i a n a 5 5 , 2 5 5 4 , 8 5
Q 1 4 7 , 8 8 4 6 , 0 9
Q 3 6 7 , 2 9 6 6 , 6 7
K w a n t y l p r ó b k o w y r z d u p
ñø
X n p : n + X n p + 1 : n
ôø
òø
g d y n p " Z
2
Q p = l u b Q p = X [ n p ] + 1 : n
ôø
óø
X [ n p ] + 1 : n w p p
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 8
M I A R Y R O Z P R O S Z E N I A
R o z s t p c z y l i o d l e g Bo [ m i d z y n a j w i k s z i n a j m n i e j s z o b s e r -
w a c j
r = X n : n - X 1 : n
R o z s t p m i d z y k w a r t y l o w y
I Q R = Q 3 - Q 1
p o d a j e d Bu g o [ o d c i n k a , n a k t ó r y m l e |y 5 0 % [r o d k o w y c h w a r t o [c i
w u p o r z d k o w a n e j n i e m a l e j c o p r ó b i e .
U w a g a :
r o z s t p j e s t f u n k c j t y l k o k r a Dc o w y c h o b s e r w a c j i , j e s t n i e o d p o r n y
n a o b s e r w a c j e o d s t a j c e , t e j w a d y p o z b a w i o n y j e s t r o z s t p m i d z y -
k w a r t y l o w y
W a r i a n c j z p r ó b y l o s o w e j X 1 , X 2 , . . . , X n ( d a n e s u r o w e )
n a z y w a m y l i c z b
n
1
Æ ¯
S 2 = ( X i - X ) 2
n
i = 1
ëø öø
n
1
íø ¯ øø
= X i 2 - n X 2
n
i = 1
D l a d a n y c h p o g r u p o w a n y c h w s z e r e g u r o z d z i e l c z y m o t r z y m u j e m y
k
1
Æ ¯
S 2 n i ( c i - X ) 2
¯
n
i = 1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 9
P r z y d a n y c h p o g r u p o w a n y c h w s z e r e g u r o z d z i e l c z y m s t o s u j e s i
j e s z c z e p o p r a w k z w i z a n z z a Bo |e n i e m r o z k Ba d u r ó w n o m i e r n e g o
d a n y c h n a p o s z c z e g ó l n y c h p r z e d z i a Ba c h
k k
1 1
¯ ¯
S 2 = n i ( c i - X ) 2 + n i ( c i - c i - 1 ) 2
¯
n 1 2 n
i = 1 i = 1
"
"
Æ Æ ¯ ¯
O d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e S = S 2 l u b S = S 2
1 n
¯
O d c h y l e n i e p r z e c i t n e d = | X i - X |
i = 1
n
W s y t u a c j i g d y c h c e m y p o r ó w n a r o z r z u t d w ó c h l u b w i c e j p r ó b
k o r z y s t a m y z e w s p ó Bc z y n n i k a z m i e n n o [c i
Æ
S
V = 1 0 0 %
¯
X
P R Z Y K AA D 1 c d .
r = 5 - 2 = 3
I Q R = 4 - 3 = 1
1
Æ
S 2 = 2 ( 2 - 3 , 5 ) 2 + 6 ( 3 - 3 , 5 ) 2 + 5 ( 3 , 5 - 3 , 5 ) 2
2 0
+ 4 ( 4 - 3 , 5 ) 2 + 1 ( 4 , 5 - 3 , 5 ) 2 + 2 ( 5 - 3 , 5 ) 2 = 0 , 6 3
"
Æ
S = 0 , 6 5 8 = 0 , 7 9
1
d = { 2 | 2 - 3 , 5 | + 6 | 3 - 3 , 5 | + 5 | 3 , 5 - 3 , 5 |
2 0
+ 4 | 4 - 3 , 5 | + 1 | 4 , 5 - 3 , 5 | + 2 | 5 - 3 , 5 | } = 0 , 6
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2 0
P R Z Y K AA D 2 c d . D l a d a n y c h z s z e r e g u r o z d z i e l c z e g o
r 1 2 0 - 3 0 = 9 0
I Q R 6 6 , 6 7 - 4 6 , 0 9 = 2 0 , 5 8
Æ
S 2 3 3 1 , 3 1
Æ
S 1 8 , 2 0
¯ ¯
S 2 = 3 3 9 , 6 4 S = 1 8 , 4 3
d 1 3 , 9 6
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2 1
W Y K R E S R A M K O W Y , P U D E AK O Z W S A M I
P o z w a l a n a j e d n y m r y s u n k u p r z e d s t a w i w i a d o m o [c i d o t y c z c e p o -
Bo |e n i a , r o z p r o s z e n i a i k s z t a Bt u r o z k Ba d u e m p i r y c z n e g o b a d a n e j c e -
c h y . N a w y k r e s i e z a z n a c z a s i k w a r t y l e , [r e d n i , m e d i a n , n a j w i k -
s z i n a j m n i e j s z o b s e r w a c j , o b s e r w a c j e o d s t a j c e .
O b s e r w a c j e o d s t a j c e s t o o b s e r w a c j e o w a r t o [c i a c h
x < x " l u b x > x "
g d z i e
3
x " = m i n { X i : X i " [ Q 1 - I Q R , Q 1 ] }
2
3
x " = m a x { X i : X i " [ Q 3 , Q 3 + I Q R ] }
2
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2 2
W S K A yN I K I A S Y M E T R I I
W s p ó Bc z y n n i k a s y m e t r i i ( k l a s y c z n y )
M 3
A =
S 3
g d z i e M 3 j e s t t r z e c i m m o m e n t e m c e n t r a l n y m r ó w n y m d l a d a n y c h
s u r o w y c h
n
1
¯
M 3 = ( X i - X ) 3 ,
n
i = 1
d l a d a n y c h p o g r u p o w a n y c h w s z e r e g u r o z d z i e l c z y m o t r z y m u j e m y
k
1
¯
M 3 n i ( c i - X ) 3
¯
n
i = 1
P o z y c y j n y m i e r n i k a s y m e t r i i
Q 3 - 2 M e d + Q 1
A 2 =
Q 3 - Q 1
W s p ó Bc z y n n i k s k o [n o [c i
¯
X - M o
A 1 =
S
A s y m e t r i a d o d a t n i a ( p r a w o s t r o n n a ) - w s k a zn i k i a s y m e t r i i d o d a t n i e
A s y m e t r i a u j e m n a ( l e w o s t r o n n a ) - w s k a zn i k i a s y m e t r i i u j e m n e
3 , 5 - 3 , 5
P R Z Y K AA D 1 c d . A = 0 , 0 8 , A 1 = = 0
0 , 7 9
5 8 , 7 0 - 5 0 , 1 0
P R Z Y K AA D 2 c d . A = 1 , 1 0 A 1 = = 0 , 4 7
1 8 , 2 0
3 5 0 6 - 3 0 0 0
P R Z Y K AA D 3 c d . A 1 = = 0 , 3
1 6 7 1 , 5 7
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2 3
I N D E K S Y S T A T Y S T Y C Z N E
Z b i ó r w a r t o [c i d a n e j c e c h y l u b w a r t o [c i o k r e [l o n e g o z j a w i s k a z a -
o b s e r w o w a n y w r ó |n y c h ( a l e c h r o n o l o g i c z n y c h ) m o m e n t a c h c z a s u
n a z y w a m y s z e r e g i e m c z a s o w y m .
P R Z Y K AA D . c e n a a k c j i w k o l e j n y c h d n i a c h s t y c z n i a , z a r o b k i w
p e w n e j g a Bz i p r z e m y s Bu w k o l e j n y c h l a t a c h , w i e l k o [ p r o d u k c j i w
k o l e j n y c h m i e s i c a c h
I n d e k s y s t a t y s t y c z n e s Bu | d o b a d a n i a d y n a m i k i z j a w i s k a n a
p o d s t a w i e d a n y c h z k o l e j n y c h o k r e s ó w c z a s o w y c h ( n a p o d s t a w i e
s z e r e g u c z a s o w e g o ) .
y t - p o z i o m z j a w i s k a ( w a r t o [ c e c h y ) w c h w i l i ( o k r e s i e ) t , t "
{ 0 , 1 , 2 , . . . , n }
"t = y t - y t - 1 - p r z y r o s t a b s o l u t n y
y t - y t
"
´t = - p r z y r o s t w z g l d n y w z g l d e m w a r t o [c i w c h w i l i t ".
y t
"
I N D E K S Y P R O S T E - m i e r n i k i t e m p a z m i a n z j a w i s k a
y t
I n d e k s Ba Dc u c h o w y d y n a m i k i i t | t - 1 =
y t - 1
T e m p o z m i a n w a r t o [c i z j a w i s k a w o k r e s i e t w s t o s u n k u d o o k r e s u
t - 1 j e s t r ó w n e ( i t | t - 1 - 1 ) 1 0 0 %
y t
"
I n d e k s j e d n o p o d s t a w o w y d y n a m i k i i t | t = , g d z i e t " j e s t
y t
"
u s t a l o n c h w i l ( u s t a l o n y m o k r e s e m ) c z a s u .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2 4
T e m p o z m i a n w a r t o [c i z j a w i s k a w o k r e s i e t w s t o s u n k u d o o k r e s u
"
t " j e s t r ó w n e ( i t | t - 1 ) 1 0 0 %
Z w i z k i m i d z y i n d e k s a m i :
"
i t | t
i t | t - 1 = ,
"
i t - 1 | t
j e [l i t > t " t o
t
i t | t " = i t | t - 1 ,
t = t "+ 1
j e [l i t < t " t o
t "
1
i t | t " = .
i t | t - 1
t = t + 1
Zr e d n i e t e m p o z m i a n w a r t o [c i z j a w i s k a
ëø öø 1 ëø öø 1
1
n
n
y n n
íø íø øø
r = +g - 1 = i t | t - 1 øø - 1 = - 1 = i n | 0 n - 1
y 0
t = 1
Zr e d n i e t e m p o z m i a n w a r t o [c i z j a w i s k a o k r e [l a t e m p o z m i a n z j a w i -
s k a j a k i e p o w i n n o w y s t p o w a p r z e z c a By o k r e s ( 0 , n ) , a b y p r z y r o s t
z o k r e s u ( 0 , n ) r o z Bo |y r ó w n o m i e r n i e w c z a s i e .
Z a t e m y n = y 0 ( r + 1 ) n .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2 5
A G R E G A T O W E I N D E K S Y W A R T O ZC I , I L O ZC I I C E N .
I n d e k s y a g r a g a t o w e o c e n i a j d y n a m i k z j a w i s k a w n i e j e d n o -
r o d n e j z b i o r o w o [c i ( n p . d y n a m i k a c e n r ó |n y c h a r t y k u Bó w , d y n a -
m i k a s p o |y c i a r ó |n y c h p r o d u k t ó w , d y n a m i k a s p r z e d a |y , p r o d u k c j i
k i l k u d ó b r ) .
D a n e z d w ó c h o k r e s ó w ( m o m e n t ó w ) c z a s o w y c h : t = 0 - o k r e s p o d -
s t a w o w y i t = 1 o k r e s b a d a n y
p r o d u k t c e n a j e d n o s t k i i l o [ w a r t o [
t = 0 t = 1 t = 0 t = 1 t = 0 t = 1
1 p 1 0 p 1 1 q 1 0 q 1 1 w 1 0 = p 1 0 q 1 0 w 1 1 = p 1 1 q 1 1
2 p 2 0 p 2 1 q 2 0 q 2 1 w 2 0 = p 2 0 q 2 0 w 2 1 = p 2 1 q 2 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j p j 0 p j 1 q j 0 q j 1 w j 0 = p j 0 q j 0 w j 1 = p j 1 q j 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k p k 0 p k 1 q k 0 q k 1 w k 0 = p k 0 q k 0 w k 1 = p k 1 q k 1
A g r e g a t o w y i n d e k s w a r t o [c i
k
w j 1
j = 1
I w =
k
w j 0
j = 1
i n f o r m u j e o Bc z n e j z m i a n i e w a r t o [c i w s z y s t k i c h p r o d u k t ó w w m o -
m e n c i e b a d a n y m d o m o m e n t u p o d s t a w o w e g o
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2 6
A g r e g a t o w y i n d e k s c e n o k r e [l a w p By w z m i a n c e n n a d y n a -
m i k w a r t o [c i ( g d y b y i l o [c i w o b u m o m e n t a c h c z a s u b y By n i e z m i e -
n i o n e ) , m ó w i o p r z e c i t n y c h z m i a n a c h c e n w s z y s t k i c h r o z w a |a n y c h
p r o d u k t ó w
A g r e g a t o w y i n d e k s c e n L a s p e y r e s a
p j 1
k
p j 0 q j 0
p j 1 q j 0 k
j = 1
p j 0
j = 1
I p = =
L
k
p j 0 q j 0 k p j 0 q j 0
j = 1 j = 1
A g r e g a t o w y i n d e k s c e n P a a s c h e g o
k
p j 1 q j 1
j = 1
I p =
P
k
p j 0 q j 1
j = 1
A g r e g a t o w y i n d e k s c e n F i s h e r a
I p = I p P I p
F L
A g r e g a t o w y i n d e k s i l o [c i o k r e [l a w p By w z m i a n i l o [c i n a d y n a -
m i k w a r t o [c i ( g d y b y w o b u m o m e n t a c h c e n y b y By n i e z m i e n i o n e ) ,
i n f o r m u j e o p r z e c i t n y c h z m i a n a c h i l o [c i p o s z c z e g ó l n y c h p r o d u k -
t ó w w o b u p o r ó w n y w a n y c h m o m e n t a c h c z a s u
A g r e g a t o w y i n d e k s i l o [c i L a s p e y r e s a
q j 1
k
p j 0 q j 1 k p j 0 q j 0
j = 1
q j 0
j = 1
I q = =
L
k
p j 0 q j 0 k p j 0 q j 0
j = 1 j = 1
A g r e g a t o w y i n d e k s i l o [c i P a a s c h e g o
k
p j 1 q j 1
j = 1
I q =
P
k
p j 1 q j 0
j = 1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2 7
A g r e g a t o w y i n d e k s i l o [c i F i s h e r a
I q = I q P I q
F L
Z w i z k i m i d z y i n d e k s a m i
I w = I p P I q = I q P I p = I p F I q
L L F
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2 8
M O D E L S T A T Y S T Y C Z N Y , P O D S T A W O W E Z A D A N I A
S T A T Y S T Y K I M A T E M A T Y C Z N E J
Z A D A N I E z r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
R z u c a m y n i e z a l e |n i e 1 0 0 r a z y s y m e t r y c z n m o n e t .
O b l i c z :
p r a w d o p o d o b i e Ds t w o w y r z u c e n i a 6 0 o r Bó w
w a r t o [ o c z e k i w a n l i c z b y w y r z u c o n y c h o r Bó w
R o z w i z a n i e :
M o d e l p r o b a b i l i s t y c z n y :
X - l i c z b a w y r z u c o n y c h o r Bó w , z m i e n n a l o s o w a o r o z k Ba d z i e d w u -
m i a n o w y m
ëø öø
ëø
1 0 0 1 öø1 0 0
ìø ÷ø
íø øø
íø øø
P ( X = 6 0 ) =
6 0 2
E X = n ¸ = 5 0
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 2 9
Z A D A N I E z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j
R z u c o n o n i e z a l e |n i e 1 0 0 r a z y p e w n a m o n e t u z y s k u j c 6 0 o r Bó w .
P o l e c e n i a :
1 . o s z a c u j p r a w d o p o d o b i e Ds t w o u z y s k a n i a o r Ba w p o j e d y n c z y m
r z u c i e ;
2 . c z y m o n e t a j e s t s y m e t r y c z n a
C o z n a m y ?
M o d e l p r o b a b i l i s t y c z n y z d o k Ba d n o [c i d o p a r a m e t r u
X - l i c z b a w y r z u c o n y c h o r Bó w , o b s e r w o w a n a z m i e n n a l o s o w a o
r o z k Ba d z i e d w u m i a n o w y m
ëø öø
1 0 0
ìø ÷ø
íø øø
P ¸( X = x ) = ( ¸) x ( 1 - ¸) 1 0 0 - x
x
¸ " ( 0 , 1 ) - n i e z n a n y p a r a m e t r
W y n i k o b s e r w a c j i X = 6 0 , n a j e g o p o d s t a w i e c h c e m y w n i o s k o w a
o n i e z n a n y m p a r a m e t r z e ¸.
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3 0
Z a g a d n i e n i e e s t y m a c j i - s z a c o w a n i e n i e z n a n e g o p a r a m e t r u n a
p o d s t a w i e w y n i k u o b s e r w a c j i ;
e s t y m a c j a p u n k t o w a - p o d a n i e o s z a c o w a n i a w p o s t a c i l i c z b o w e j ;
e s t y m a c j a p r z e d z i a Bo w a - p o d a n i e o s z a c o w a n i a w p o s t a c i p r z e d z i a -
Bu n a z y w a n e g o p r z e d z i a Be m u f n o [c i
T e s t o w a n i e h i p o t e z s t a t y s t y c z n y c h - w e r y f i k a c j a h i p o t e z y
d o t y c z c e j n i e z n a n e j w i e l k o [c i r o z k Ba d u o b s e r w o w a n e j z m i e n n e j l o -
s o w e j n a p o d s t a w i e w y n i k u o b s e r w a c j i
P o l e c e n i a :
w y z n a c z e s t y m a t o r l u b p r z e d z i a B u f n o [c i p a r a m e t r u ¸
1
z w e r y f i k u j h i p o t e z H : ¸ =
2
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3 1
M O D E L S T A T Y S T Y C Z N Y
( X , F X , P )
X - p r z e s t r z e D w a r t o [c i o b s e r w o w a n e j z m i e n n e j l o s o w e j X
F X - Ã- c i a Bo p o d z b i o r ó w
P - r o d z i n a r o z k Ba d ó w p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i n d e k s o w a n y c h p e w -
n y m p a r a m e t r e m ¸
P = { P ¸ : ¸ " ˜}
S t a t y s t y k n a z y w a m y z m i e n n l o s o w T b d c f u n k c j o b s e r -
w o w a n e j z m i e n n e j l o s o w e j X . R o z k Ba d s t a t y s t y k i z a l e |y o d r o z k Ba -
d u z m i e n n e X
W n i o s k o w a n i e s t a t y s t y c z n e :
" e s t y m a c j a n i e z n a n y c h p a r a m e t r ó w : p u n k t o w a i p r z e d z i a Bo w a
" t e s t o w a n i e h i p o t e z s t a t y s t y c z n y c h
" p r e d y k c j a ( p r z e w i d y w a n i e ) - p r z e w i d y w a n i e w a r t o [c i z m i e n n e j
l o s o w e j n i e o b s e r w o w a n e j Y z a p o m o c o b s e r w o w a n e j z m i e n n e j X ,
r o z k Ba d y z m i e n n e j Y i X z a l e | o d t e g o s a m e g o p a r a m e t r u .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3 2
P E W N E W A {N E R O Z K AA D Y
R o z k Ba d Ç2
N i e c h Z i <" N ( 0 , 1 ) , i = 1 . . . k , Z i n i e z a l e |n e
R o z k Ba d e m Ç2 z k s t o p n i a m i s w o b o d y n a z y w a m y r o z k Ba d p r a w d o -
p o d o b i e Ds t w a z m i e n n e j l o s o w e j
k
Y = Z i 2
i = 1
i o z n a c z a m y
Y <" Ç2
k
g s t o [
ëø öø
1 k 1
íø
p k ( x ) = x 2 - 1 e x p - x øø 1 ( 0 , ") ( x )
k
2
2 2 “( k )
2
E Y = k i V a r Y = 2 k
- 1
k w a n t y l r z d u p - F ( p ) - j e s t t o l i c z b a t a k a , |e P { Y
Ç2
k
- 1
F ( p ) } = p
Ç2
k
w a r t o [ k r y t y c z n a r z d u ±
- 1
Ç2 ( ±, k ) = F ( 1 - ±)
Ç2
k
- j e s t t o l i c z b a , t a k a |e p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a Y > Ç2 ( ±, k )
j e s t r ó w n e ±.
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3 3
R o z k Ba d t - S t u d e n t a
N i e c h Z <" N ( 0 , 1 ) i Y <" Ç2 o r a z Z i Y n i e z a l e |n e , w t e d y r o z k Ba d
k
z m i e n n e j l o s o w e j
Z
T =
Y
k
n a z y w a m y r o z k Ba d e m t - S t u d e n t a z k s t o p n i a m i s w o b o d y i o z n a -
c z a m y
T <" t k
g s t o [
ëø öø
k + 1
2
“
x 2 - k + 1
2 ìø ÷ø
"1
íø øø
f k ( x ) = · 1 +
k
2
k À “
2
E T = 0 g d y k > 1
k
V a r T = g d y k > 2
k - 2
k w a n t y l r z d u p - F t - 1 ( p ) - j e s t t o l i c z b a t a k a , |e P { T
k
F t - 1 ( p ) } = p
k
w a r t o [ k r y t y c z n a d w u s t r o n n a r z d u ±
±
t ( ±, k ) = F t - 1 1 -
k
2
- j e s t t o l i c z b a , t a k a |e p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a | T | >
t ( ±, k ) j e s t r ó w n e ±.
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3 4
R o z k Ba d F ( F i s h e r a - S n e d e c o r a )
N i e c h Y <" Ç2 i V <" Ç2 o r a z z m i e n n e Y i V s n i e z a l e |n e , w t e d y
k r
r o z k Ba d z m i e n n e j l o s o w e j
Y / k
F =
V / r
n a z y w a m y r o z k Ba d e m F z k i r s t o p n i a m i s w o b o d y i o z n a c z a m y
F <" F k , r
g s t o [
k
k + r
r
“
r x 2 - 1
2
2
p k , r ( x ) = 1 ( 0 , ") ( x )
k + r
k r
k
2
“ “ r
2 2
x +
k
g d y x > 0
- 1
k w a n t y l r z d u p - F F k , r ( p )
w a r t o [ k r y t y c z n a r z d u ±
- 1
F ( ±, k , r ) = F F k , r ( 1 - ±)
- j e s t t o l i c z b a , t a k a |e p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a F > F ( ±, k , r )
j e s t r ó w n e ±.
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3 5
R o z k Ba d y p e w n y c h s t a t y s t y k w m o d e l u n o r m a l n y m
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . N ( µ , Ã2 ) , µ " R , Ã > 0
1
n
¯
X = X i
i = 1
n
1
n
¯
S 2 = ( X i - X ) 2
i = 1
n - 1
W Ba s n o [c i
¯
" X i S 2 s n i e z a l e |n e ;
Ã2
¯
" X <" N ( µ , )
n
1 1
n
¯
E X = E X i = n E X 1 = µ
i = 1
n n
1 n 1 Ã2
¯
V a r X = V a r X i = n V a r X 1 =
i = 1
n n 2 n
( X i - µ ) 2
n
" Z m i e n n a m a r o z k Ba d Ç2
i = 1 n
Ã2
¯
( n - 1 ) S 2 ( X i - X ) 2
n
" = <" Ç2
i = 1 n - 1
Ã2 Ã2
2
( n - 1 ) S 2
" E = n - 1 i V a r ( n - 1 ) S = 2 ( n - 1 ) s t d
Ã2 Ã2
2 Ã4
E S 2 = Ã2 i V a r S 2 =
n - 1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3 6
"
¯
( n - 1 ) S 2
X - µ
" n <" N ( 0 , 1 ) i <" Ç2 z a t e m
n - 1
à Ã2
"
¯
X - µ
¯
"
n X - µ
Ã
T = = n <" t n - 1
( n - 1 ) S 2
S
Ã2 ( n - 1 )
" N i e c h X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . N ( µ 1 , Ã2 ) i Y 1 , Y 2 , . . . , Y m i . i . d . N ( µ 2 , Ã2 )
N i e c h
1
n
2
¯
S X = ( X i - X ) 2
i = 1
n - 1
i
1
m
2
¯
S Y = ( Y i - Y ) 2
i = 1
m - 1
W t e d y
2 2
( n - 1 ) S X ( m - 1 ) S Y
<" Ç2 <" Ç2
n - 1 m - 1
Ã2 Ã2
i z m i e n n e s a n i e z a l e |n e , s t d
2
( n - 1 ) S X
2
S X
Ã2 ( n - 1 )
= <" F n - 1 , m - 1
2
2
( m - 1 ) S Y
S Y
Ã2 ( m - 1 )
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3 7
Z A G A D N I E N I E E S T Y M A C J I
Z a g a d n i e n i e e s t y m a c j i - s z a c o w a n i e n i e z n a n e g o p a r a m e t r u l u b
f u n k c j i n a p o d s t a w i e w y n i k ó w o b s e r w a c j i ;
X 1 , X 2 , . . . , X n - n i e z a l e |n e z m i e n n e l o s o w e o t y m s a m y m r o z k Ba -
d z i e ( i . i . d . ) P ¸ - p r ó b a l o s o w a
¸ " ˜ - n i e z n a n y p a r a m e t r , ˜ †" R ( R k )
E s t y m a t o r e m p a r a m e t r u ¸ n a z y w a m y d o w o l n f u n k c j
Æ
¸( X 1 , X 2 , . . . , X n ) , k t ó r e j w a r t o [c i n a l e | d o p r z e s t r z e n i ˜, i k t ó r e j
c e l e m j e s t o s z a c o w a n i e p a r a m e t r u ¸.
C H A R A K T E R Y S T Y K I P R Ó B K O W E - e s t y m a t o r y w o p a r c i u o
d y s t r y b u a n t e m p i r y c z n
M o d e l :
( R , F ) n , g d z i e F r o d z i n a d y s t r y b u a n t n a p r o s t e j r z e c z y w i s t e j
x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) - p r ó b k a l o s o w a z r o z k Ba d u o d y s t r y b u a n c i e F
k - t a s t a t y s t y k a p o z y c y j n a z p r ó b y l o s o w e j x 1 , x 2 , . . . , x n j e s t
r ó w n a k - t e j w a r t o [c i , g d y o b s e r w a c j e u s t a w i m y w c i g r o s n c y .
O z n a c z e n i e : X k : n
W s z c z e g ó l n o [c i
x 1 : n = m i n { x 1 , x 2 , . . . , x n }
x n : n = m a x { x 1 , x 2 , . . . , x n }
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3 8
D y s t r y b u a n t a e m p i r y c z n a
l i c z b a x i , t a k i c h |e x i t
F n ( x , t ) = F n ( t ) =
n
1 1
F n ( t ) = £1 ( - ", t ] ( x i ) = £1 [ x i : n , ") ( t )
n n
g d z i e
ñø
òø
1 g d y X i " ( - ", t ]
1 ( - ", t ] ( X i ) =
óø
0 w p r z e c i w n y m p r z y p a d k u
j e s t z m i e n n l o s o w d w u p u n k t o w ,
P F ( 1 ( - ", t ] ( X i ) = 1 ) = F ( t )
D y s t r y b u a n t a e m p i r y c z n a j e s t s t a t y s t y k j a k o f u n k c j a p r ó b y l o -
s o w e j i j e s t d y s t r y b u a n t r o z k Ba d u j e d n o s t a j n e g o s k u p i o n e g o w
p u n k t a c h x 1 , x 2 , . . . , x n j a k o f u n k c j a z m i e n n e j t .
W Ba s n o [c i F n j a k o s t a t y s t y k i :
1 .
1
E F F n ( t ) = E F £1 ( - ", t ] ( X i )
n
1
= · n E F 1 ( - ", t ] ( X i ) = F ( t )
n
1
2 . V a r F n ( t ) = F ( t ) ( 1 - F ( t ) )
n
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 3 9
3 . C T G
"
F n ( t ) - F ( t )
n - ’! N ( 0 , 1 )
F ( t ) ( 1 - F ( t ) )
ñø üø
ôø ôø
ôø ôø
òø " ýø
F n ( t ) - F ( t )
P x : n z - ’! ¦( z )
ôø ôø
ôø ôø
óø þø
F ( t ) ( 1 - F ( t ) )
d l a k a |d e g o z .
4 . T w i e r d z e n i e G l i w e n k i C a n t e l l e g o
D l a p r a w i e w s z y s t k i c h x
s u p | F n ( t ) - F ( t ) | - ’! 0 ,
t
g d y n - ’! "
C h a r a k t e r y s t y k i p r ó b k o w e :
[r e d n i a - e s t y m a t o r w a r t o [c i o c z e k i w a n e j
m e d i a n a p r ó b k o w a - e s t y m a t o r m e d i a n y
k w a n t y l p r ó b k o w y - e s t y m a t o r k w a n t y l a r o z k Ba d u
w a r i a n c j a z p r ó b y - e s t y m a t o r w a r i a n c j i
i t d
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4 0
P r z y k Ba d 4 : D a n e - 4 0 s t r a t s p o w o d o w a n y c h w i c h u r a m i :
w a r t o [ l i c z e b n o [
2 1 2
3 4
4 3
5 4
6 4
8 2
9 1
1 5 1
1 7 1
2 2 1
2 3 1
2 4 2
2 5 1
2 7 1
3 2 1
4 3 1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4 1
M E T O D Y W Y Z N A C Z A N I A E S T Y M A T O R Ó W
E M M ( e s t y m a c j a m e t o d m o m e n t ó w )
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d z r o z k Ba d u P ¸, ¸- n i e z n a n y p a r a m e t r
1 . ¸ " R ( j e d n o w y m i a r o w a p r z e s t r z e D p a r a m e t r ó w ) , r o z w i | ( n i e -
w i a d o m j e s t ¸) :
¯
E ¸X = X
2 . ¸ = ( ¸1 , ¸2 ) " R 2 , r o z w i | u k Ba d ( n i e w i a d o m j e s t ¸) :
ñø
¯
òø
E ¸X = X
óø
Æ
V a r ¸X = S 2
3 . ¸ = ( ¸1 , ¸2 , . . . , ¸k ) ( k - w y m i a r o w a p r z e s t r z e D p a r a m e t r ó w ) , r o z -
w i | u k Ba d ( n i e w i a d o m j e s t ¸) :
ñø
ôø
¯
ôø
E ¸X = X
ôø
ôø
ôø
ôø
ôø
ôø
Æ
ôø
ôø V a r ¸X = S 2
ôø
ôø
òø
1
¯
E ¸( X - µ ) 3 = ( X i - X ) 3
ôø
n
ôø
ôø
ôø
ôø
ôø
. . . . . .
ôø
ôø
ôø
ôø
ôø
1
ôø
¯
óø
E ¸( X - µ ) k = ( X i - X ) k
n
g d z i e µ = E ¸X .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4 2
P r z y k Ba d 1 .
X = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) , X i <" E x ( ¸) i s n i e z a l e |n e , ¸ > 0
E M M ( ¸) = ?
1
+ "
E ¸X i = x ¸e - ¸x d x =
0
¸
R o z w i z u j e m y r ó w n a n i e :
1
¯
= X
¸
s t d
1
Æ
E M M ( ¸) = ¸ =
¯
X
P r z y k Ba d 2 .
X = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) , X i <" G a m m a ( ±, ²) i s n i e z a l e |n e ,
±, ² > 0
E M M ( ±) = ? i E M M ( ²) = ? .
²±
p ±, ²( x ) = x ±- 1 e - ²x g d y x > 0
“( ±)
±
E ±, ²X i =
²
±
V a r ±, ²X i =
²2
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4 3
O t r z y m u j e m y u k Ba d :
ñø
±
ôø
¯
ôø
= X
òø
²
ôø ±
Æ
ôø
óø
= S 2
²2
S t d :
¯ ¯
X X 2
Æ
² = i ± =
Æ
Æ Æ
S 2 S 2
P r z y k Ba d 3 .
W y z n a c z y E M M p a r a m e t r ó w w r o z k Ba d z i e P a r e t o ( ¸, ») , ¸ > 2 ,
» > 0 .
R o z w i z a n i e :
X = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) , X i <" P a r e t o ( ¸, ») i s n i e z a l e |n e
¸»¸
p ¸, »( x ) = , x > 0
( » + x ) ¸+ 1
O t r z y m u j e m y u k Ba d :
»
¯
= X
¸ - 1
»2 ¸
= S 2
( ¸ - 1 ) 2 ( ¸ - 2 )
S t d :
2 S 2
Æ Æ ¯ Æ
¸ = » = X ( ¸ - 1 ) .
¯
S 2 - X 2
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4 4
E M K ( e s t y m a c j a m e t o d k w a n t y l i )
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d z r o z k Ba d u P ¸, ¸- n i e z n a n y p a r a m e t r
1 . ¸ " R ( j e d n o w y m i a r o w a p r z e s t r z e D p a r a m e t r ó w ) , r o z w i | ( n i e -
w i a d o m j e s t ¸) :
1
q 2 ( ¸) = Q 2 Ð!Ò! F ¸( Q 2 ) =
1 1 1
2
2 . ¸ = ( ¸1 , ¸2 ) , r o z w i | u k Ba d ( n i e w i a d o m j e s t ¸) :
q 4 ( ¸) = Q 4 i q 4 ( ¸) = Q 4
1 1 3 3
l u b u k Ba d r ó w n o w a |n y :
1 3
F ¸( Q 4 ) = i F ¸( Q 4 ) =
1 3
4 4
3 . ¸ = ( ¸1 , ¸2 , ¸3 ) . O t r z y m u j e m y u k Ba d :
1 1 3
F ¸( Q 4 ) = i F ¸( Q 2 ) = i F ¸( Q 4 ) =
1 1 3
4 2 4
1 3 5 7
4 . ¸ = ( ¸1 , ¸2 , ¸3 , ¸4 ) . R o z w a |a m y k w a n t y l e r z d u , , i .
8 8 8 8
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4 5
P r z y k Ba d 1 .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d , X i <" E x ( ¸) , ¸ > 0
E M K ( ¸) = ?
1 1 1
F ¸ q 2 = 1 - e x p - ¸q 2 = Ð!Ò! q 2 = - l n
1 1 1
2 ¸ 2
R o z w i z u j e m y r ó w n a n i e :
1 1
- l n = Q 2
1
¸ 2
s t d
1 1
Æ
E M K ( ¸) = ¸( X ) = - l n
Q 2 2
1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4 6
P r z y k Ba d 2 .
N i e c h X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d z r o z k Ba d u W e i b u l l ( c , Ä) ,
E M K ( c ) = ? i E M K ( Ä) = ?
D y s t r y b u a n t a w r o z k Ba d z i e W e i b u l l a m a p o s t a :
F c , Ä( x ) = 1 - e x p ( - c x Ä) x > 0
O t r z y m u j e m y u k Ba d :
ñø
- c Q Ä
ôø
1
ôø
1
ôø
òø
4
1 - e =
4
.
ôø - c Q Ä
ôø
3
ôø
3
óø
4
1 - e =
4
S t d
ñø
ôø - l n 0 . 7 5 = c Q Ä
òø 1
4
ôø
óø - l n 0 . 2 5 = c Q Ä
3
4
ëø öø
Q 4 Ä l n 0 . 7 5
1
ìø ÷ø
ìø ÷ø
=
íø øø
Q 4 l n 0 . 2 5
3
E s t y m a t o r y m a j p o s t a :
ëø
l n 0 . 7 5 öø
íø øø
Ä = l o g
Æ
Q
1
4 l n 0 . 2 5
Q
3
4
l n 0 . 7 5
= -
Æ
Q Ä
1
4
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4 7
E N W ( e s t y m a c j a m e t o d n a j w i k s z e j w i a r o g o d n o [c i )
N i e c h X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . z r o z k Ba d u o g s t o [c i f ¸( x ) , g d z i e ¸ j e s t
n i e z n a n y m p a r a m e t r e m .
F u n k c j w i a r o g o d n o [c i n a z y w a m y f u n k c j z m i e n n e j ¸ r ó w n
L ( ¸, x ) = f ¸( x 1 ) f ¸( x 2 ) . . . f ¸( x n )
g d z i e x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) j e s t p r ó b k z a o b s e r w o w a n y c h w a r t o [c i
z m i e n n y c h X 1 , X 2 , . . . , X n
E s t y m a t o r e m n a j w i k s z e j w i a r o g o d n o [c i p a r a m e t r u ¸
( E N W ( ¸) ) n a z y w a m y a r g u m e n t m a k s i m u m f u n k c j i L
E N W ( ¸) = a r g m a x L ( ¸, x ) .
¸
Z a c h o d z i : a r g m a x ¸ L ( ¸, x ) = a r g m a x ¸ l n L ( ¸, x ) .
E N W ( g ( ¸) ) = g ( E N W ( ¸) )
J e |e l i ¸ = ( ¸1 , . . . , ¸k ) j e s t p a r a m e t r e m c i g By m i L j e s t f u n k c j
r ó |n i c z k o w a l n , t o E N W w y z n a c z a m y r o z w i z u j c u k Ba d r ó w n a D:
"L ( ¸, x )
= 0 , j = 1 , 2 , . . . , k
"¸j
l u b r ó w n o w a |n y u k Ba d :
" l n L ( ¸, x )
= 0 , j = 1 , 2 , . . . , k .
"¸j
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4 8
P R Z Y K AA D 1 .
X <" b i n ( n , ¸)
ëø öø
n
ìø ÷ø
íø øø
L ( ¸, x ) = ¸x ( 1 - ¸) n - x
x
ëø öø
"L ( ¸, x ) n
ìø ÷ø
íø øø
= ¸x - 1 ( 1 - ¸) n - x - 1 ( x - n ¸) = 0
"¸ x
X
E N W ( ¸) =
n
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 4 9
P R Z Y K AA D 2 .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d E x ( ¸) , ¸ > 0
F u n k c j a w i a r o g o d n o [c i
ëø öø
n
íø
L ( ¸, x ) = ¸n e x p - ¸ x i øø
i = 1
n
l n L = n l n ¸ - ¸ x i
i = 1
" l n L ( ¸, x )
n
n
P o c h o d n a = - x i R o z w i z u j e m y r ó w n a n i e
i = 1
"¸ ¸
n
n
- x i = 0
¸
i = 1
1
E N W ( ¸) =
¯
X
P R Z Y K AA D 3 .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d N ( µ , Ã) , n i e c h v = Ã2
n
ëø öø ëø öø
2 n
1 1
íø øø íø øø
L ( µ , v ) = e x p - ( x i - µ ) 2
2 Àv 2 v
i = 1
n
n n 1
l n L = - l n ( 2 À) - l n v - ( x i - µ ) 2
2 2 2 v
i = 1
P o o b l i c z e n i u p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h o t r z y m u j e m y u k Ba d
ñø
1
ôø
òø
2 2 v n ( x i - µ ) = 0
i = 1
n 1
ôø n
óø
- + ( x i - µ ) 2 = 0
2 v 2 v 2 i = 1
n
1
2
¯ Æ ¯
E N W ( µ ) = X E N W ( Ã2 ) = S 2 = X i - X .
n
i = 1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5 0
W AA S N O ZC I E S T Y M A T O R Ó W ,
P O R Ó W N Y W A N I E E S T Y M A T O R Ó W
X = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) - o b s e r w o w a n a z m i e n n a l o s o w a
P ¸ - r o z k Ba d z m i e n n e j X , ¸ - n i e z n a n y p a r a m e t r
Æ
¸ - e s t y m a t o r ¸, - e s t y m a t o r f u n k c j i g ( ¸)
1 . O b c i |e n i e e s t y m a t o r a
O b c i |e n i e e s t y m a t o r a p a r a m e t r u ¸:
Æ Æ
B ¸( ¸) = E ¸¸( X ) - ¸
O b c i |e n i e e s t y m a t o r a f u n k c j i g ( ¸) :
B ¸( ) = E ¸ ( X ) - g ( ¸)
Æ
E s t y m a t o r ¸ ( ) j e s t e s t y m a t o r e m n i e o b c i |o n y m
Æ
Ð!Ò! "¸ " ˜ E ¸¸( X ) = ¸ ( E ¸ ( X ) = g ( ¸) )
P R Z Y K AA D Y :
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d z r o z k Ba d u o n i e z n a n e j d y s t r y b u a n c i e F i n i e -
z n a n y c h E X i = µ i V a r X i = Ã2
F n - d y s t r y b u a n t a e m p i r y c z n a ( e s t y m a t o r F )
¯
X - e s t y m a t o r µ
Æ
S 2 , S 2 - e s t y m a t o r y Ã2
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5 1
E F n ( t ) = F ( t )
= Ò! F n ( t ) e s t y m a t o r n i e o b c i |o n y d y s t r y b u a n t y F ( t )
n
1 1
¯
E X = E X i = n E X 1 = µ
n n
i = 1
¯
= Ò! X - e s t y m a t o r n i e o b c i |o n y w a r t o [c i o c z e k i w a n e j
ëø öø
n
1
íø ¯ øø
E S 2 = E ( X i - X ) 2
n - 1
i = 1
ëø öø
n
1 n n
2
íø ¯ øø ¯
= E X i 2 - n X 2 = E X 1 - E X 2
n - 1 n - 1 n - 1
i = 1
ëø ëø öøöø
n Ã2
ìø ìø
íø
E S 2 = Ã2 + µ 2 - íø øøøø
+ µ 2 ÷ø÷ø = Ã2
n - 1 n
= Ò! S 2 j e s t e s t y m a t o r e m n i e o b c i |o n y m w a r i a n c j i
ëø öø
n - 1 n - 1
Æ íø øø
E S 2 = E S 2 = Ã2
n n
n - 1 1
Æ
B ( S 2 ) = Ã2 - Ã2 = - Ã2
n n
Æ
S 2 - e s t y m a t o r o b c i |o n y
1
Æ
B ( S 2 ) = - Ã2 - ’! 0 g d y n - ’! + "
n
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5 2
M ó w i m y , |e e s t y m a t o r j e s t a s y m p t o t y c z n i e n i e o b c i |o n y g d y
Æ
" ¸ " ˜ l i m B ¸( ¸) = 0
n ’!+ "
2 . R y z y k o e s t y m a t o r a ( b Bd [r e d n i o k w a d r a t o w y )
F u n k c j
R ( ¸, ) = E ¸( ( X ) - g ( ¸) ) 2
n a z y w a m y r y z y k i e m e s t y m a t o r a p r z y k w a d r a t o w e j f u n k c j i
s t r a t y l u b b Bd e m [r e d n i o k w a d r a t o w y m .
2
R ( ¸, ) = E ¸( ( X ) - g ( ¸) ) 2 = B ¸( ) + V a r ¸( )
M ó w i m y , |e e s t y m a t o r 1 j e s t l e p s z y n i | 2 Ð!Ò!
"¸ R ( ¸, 1 ) R ( ¸, 2 )
i
"¸0 R ( ¸0 , 1 ) < R ( ¸0 , 2 ) .
J e |e l i j e s t e s t y m a t o r e m n i e o b c i |o n y m f u n k c j i g ( ¸) , t z n .
E ¸( ) = g ( ¸) d l a k a |d e g o ¸ " ˜, t o
R ( ¸, ) = V a r ¸( ) .
W N I O S E K : P r z y e s t y m a t o r a c h n i e o b c i a |o n y c h m i e r n i k i e m j a k o [c i
e s t y m a t o r a j e s t j e g o w a r i a n c j a .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5 3
P R Z Y K AA D 1 .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d P o i s s ( ¸) , ¸ > 0
E N W ( ¸) = ?
x i
¸
L ( ¸, x ) = e - n ¸
x i !
l n L ( ¸, x ) = - n ¸ + x i l n ¸ - l n x i !
" l n L ( ¸, x ) x i
= - n +
"¸ ¸
X i ¯
Æ
E N W ( ¸) = ¸ = = X
n
¯ Æ
E ¸X = ¸ = Ò! ¸ e s t y m a t o r n i e o b c i |o n y
¸
Æ Æ
R ( ¸, ¸) = V a r ¸¸ =
n
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5 4
P R Z Y K AA D 2 .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d N ( µ , Ã2 ) , o b a p a r a m e t r y n i e z n a n e
Æ
P o r ó w n a m y r y z y k a e s t y m a t o r ó w w a r i a n c j i S 2 i S 2
R ( µ , Ã, S 2 ) = V a r µ , ÃS 2
ëø öø
n
¯
Ã4 ( X i - X ) 2
÷ø
íø øø
= V a r µ , Ã ìø i = 1
( n - 1 ) 2 Ã2
Ã4 2 Ã4
= 2 ( n - 1 ) =
( n - 1 ) 2 ( n - 1 )
2
Æ Æ Æ
R ( µ , Ã, S 2 ) = V a r µ , ÃS 2 + B µ , Ã( S 2 )
ëø öø ëø öø
2
n - 1 - 1
øø íø øø
= V a r µ , Ã íø S 2 + Ã2
n n
ëø
n - 1 öø2 2 Ã4 Ã4 2 n - 1
íø øø
= + = Ã4
n ( n - 1 ) n 2 n 2
Z a t e m
Æ
" µ , Ã R ( µ , Ã, S 2 ) < R ( µ , Ã, S 2 )
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5 5
X = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) ,
p ¸( x ) - g s t o [ r o z k Ba d u z m i e n n e j X
I n f o r m a c j F i s h e r a n a z y w a m y f u n k c j
ëø öø
" l n p ¸( X ) ÷ø2
íø øø
I n ( ¸) = E ¸ ìø
"¸
ñø
ëø öø
2
"p ¸( x )
ôø
ôø
ôø
ôø
"¸
ôø íø øø
ôø
p ¸( x ) d x d l a z m i e n n e j c i g Be j
ôø X
òø
p ¸( x )
I n ( ¸) =
ëø öø
2
ôø
"P ¸( x )
ôø
ôø
ôø
ôø
"¸
ôø íø øø
ôø
P ¸( x ) d l a z m i e n n e j d y s k r e t n e j
óø x
P ¸( x )
J e |e l i p ¸( x ) j e s t d w u k r o t n i e r ó |n i c z k o w a l n f u n k c j z m i e n n e j ¸, t o
ëø öø
"2 l n p ¸( X ) ÷ø
íø øø
I n ( ¸) = - E ¸ ìø .
"¸2
J e |e l i X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . z r o z k Ba d u o g s t o [c i f ¸( x ) , t o
I n ( ¸) = n I 1 ( ¸) ,
g d z i e I 1 ( ¸) j e s t i n f o r m a c j F i s h e r a w o p a r c i u o z m i e n n X 1 .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5 6
N I E R Ó W N O Z I N F O R M A C Y J N A
P r z y p e w n y c h w a r u n k a c h r e g u l a r n o [c i , j e |e l i j e s t e s t y m a t o -
r e m n i e o b c i |o n y m f u n k c j i r ó |n i c z k o w a l n e j g ( ¸) , t o
( g ( ¸) ) 2
" ¸ " ˜ V a r ¸ .
I n ( ¸)
E f e k t y w n o [ e s t y m a t o r a n i o b c i |o n e g o
( X 1 , X 2 , . . . , X n ) f u n k c j i r ó |n i c z k o w a l n e j g ( ¸) :
( g ( ¸) ) 2
e f f ¸( ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) =
I n ( ¸) V a r ¸( )
g ( ¸)
( ) 2
W i e l k o [ n a z y w a m y d o l n y m o g r a n i c z e n i e m C r a m e r a - R a o
I n ( ¸)
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5 7
P R Z Y K AA D 1 c d .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d P o i s s ( ¸) , ¸ > 0
¸
¯ ¯
E N W ( ¸) = X i V a r ¸X =
n
W y z n a c z y m y d o l n e o g r a n i c z e n i e C r a m e r a R a o
P ¸( x ) = e - ¸ ¸x
x !
l n P ¸( x ) = - ¸ + x l n ¸ - l n x !
2
I n ( ¸) = n I 1 ( ¸) = n E ¸ " l n P ¸( X )
"¸
" l n P ¸( X )
x
= - 1 +
"¸ ¸
ëø
X - ¸öø2 1 n
øø
I n ( ¸) = n E ¸ íø = n E ¸( X - ¸) 2 =
¸ ¸2 ¸
D o l n e o g r a n i c z e n i e C r a m e r a R a o
( g ( ¸) ) 2 1 ¸
= =
I n ( ¸) I n ( ¸) n
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5 8
3 . Z g o d n o [ e s t y m a t o r a ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) = n f u n k c j i g ( ¸)
d l a k a |d e g o µ > 0 i ¸ " ˜
l i m P ¸ ( | n - g ( ¸) | > µ) = 0
n ’!+ "
4 . A s y m p t o t y c z n a n o r m a l n o [ ( X 1 , X 2 , . . . , X n )
i s t n i e j e Ã( ¸) > 0 t a k i e , |e d l a k a |d e g o z
ëø öø
"
n - g ( ¸)
íø øø
l i m P ¸ ìø n < z ÷ø = ¦( z )
n ’!+ "
Ã( ¸)
g d z i e ¦ j e s t d y s t r y b u a n t r o z k Ba d u n o r m a l n e g o N ( 0 , 1 )
ëø öø
Ã2 ( ¸) ÷ø
ìø
íø øø
n <" N g ( ¸) , p r z y d u |y m n
n
"
n - g ( ¸)
n - ’! N ( 0 , 1 ) p r z y n - ’! + "
Ã( ¸)
W i e l k o [ Ã2 ( ¸) n a z y w a m y w a r i a n c j a s y m p t o t y c z n .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 5 9
P R Z Y K AA D Y
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d z r o z k Ba d u d y s t r y b u a n c i e F
i E X i = µ i V a r X i = Ã2
1 . Z p r a w w i e l k i c h l i c z b w y n i k a
¯
X - ’! µ p r z y n - ’! + "
S 2 - ’! Ã2 p r z y n - ’! + "
F n ( t ) - ’! F ( t ) p r z y n - ’! + "
2 . Z C T G w y n i k a
¯
"
X - µ
n - ’! N ( 0 , 1 ) p r z y n - ’! + "
Ã
"
F n ( t ) - F ( t )
n - ’! N ( 0 , 1 ) p r z y n - ’! + "
F ( t ) ( 1 - F ( t ) )
Æ
3 . N i e c h Q p = X [ n p ] : n . J e |e l i f u n k c j a g s t o s c i f ¸ j e s t c i g Ba i s p e Bn i a
f ¸( q p ) = 0 , t o
ëø öø
"
p ( 1 - p ) ÷ø
ìø
Æ
íø øø
( Q p - q p ) n - ’! N 0 , p r z y n - ’! + "
2
f ¸ ( q p )
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6 0
L e m a t D E L T A
J e |e l i c i g Z n r z e c z y w i s t y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h s p e Bn i a
"
( Z n - ¸) n - ’! N ( 0 , Ã2 )
d l a p e w n e g o Ã2 i g ( ¸) j e s t r ó |n i c z k o w a l n f u n k c j ¸ i g ( ¸) = 0 ,
t o
"
( g ( Z n ) - g ( ¸) ) n - ’! N ( 0 , [ g ( ¸) ] 2 Ã2 ) .
P R Z Y K AA D 1 .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . , E X i = µ i V a r X i = Ã2
¯
X 2 - e s t y m a t o r p a r a m e t r u µ 2
Z C T G
"
¯
( X - µ ) n - ’! N ( 0 , Ã2 ) p r z y n - ’! + "
N i e c h
g ( µ ) = µ 2
Z l e m a t u D E L T A
"
¯
( X 2 - µ 2 ) n - ’! N 0 , 4 Ã2 µ 2
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6 1
P R Z Y K AA D 2 .
1 1
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . E x ( ¸) , ¸ > 0 , E ¸X = , V a r ¸X =
¸ ¸2
1
E N W ( ¸) =
¯
X
Z C T G
ëø öø
"
1 1
¯ íø øø
( X - ) n - ’! N 0 , p r z y n - ’! + "
¸ ¸2
N i e c h
1
g ( t ) =
t
w t e d y
ëø
1 1 1 1 öø
¯ íø øø
g ( t ) = - = Ò! g ( X ) = , g ( ) = ¸, g = - ¸2
¯
t 2 X ¸ ¸
Z l e m a t u D E L T A
ëø öø ëø öø
"
1 1
íø íø øø
- ¸øø n - ’! N 0 , · ¸4
¯
X ¸2
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6 2
A S Y M P T O T Y C Z N A Z G O D N O Z I N O R M A L N O Z E N W
1 . N i e c h X 1 , X 2 , . . . , X n , . . . b d i . i . d z r o z k Ba d u o g s t o [c i f ¸,
g d z i e ¸ j e s t n i e z n a n y m p a r a m e t r e m . N i e c h g s t o [c i f ¸ m a j
w s p ó l n y n o [n i k i p r z e s t r z e D ˜ b d z i e p r z e d z i a Be m o t w a r t y m .
J e |e l i u k Ba d r ó w n a D
" l n L ( ¸, X i )
£n = 0
i = 1
"¸
m a d o k Ba d n i e j e d n o r o z w i z a n i e , t o j e s t o n o E N W ( ¸) i j e s t t o
e s t y m a t o r z g o d n y .
"3 l n L ( ¸, x 1 , . . . , x n )
2 . J e |e l i d o d a t k o w o i s t n i e j e , i s p e Bn i o n e s z a Bo -
"¸3
|e n i a u m o |l i w i a j c e z a m i a n k o l e j n o [c i o p e r a c j i r ó |n i c z k o w a -
" "2
n i a p o l u b i c a Bk o w a n i a . . . d x i I ( ¸) > 0 j e s t o k r e [l o n a ,
"¸ "¸2
Æ Æ
t o ¸n = ¸( X 1 , X 2 , . . . , X n ) = E N W ( ¸) j e s t a s y m p t o t y c z n i e
n o r m a l n y i
ëø öø
"
1
ìø ÷ø
Æ
íø øø
( ¸n - ¸) n - ’! N 0 , p r z y n - ’! + ".
I 1 ( ¸)
3 . ( Z L e m a t u D E L T A ) P r z y p o w y |s z y c h z a Bo |e n i a c h j e |e l i g j e s t
Æ
r ó |n i c z k o w a l n a i g ( ¸) = 0 i ¸n = E N W ( ¸) , t o
"
Æ
( g ( ¸n ) - g ( ¸) ) n - ’! N ( 0 , [ g ( ¸) ] 2 I - 1 ( ¸) ) .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6 3
M ó w i m y , |e e s t y m a t o r n j e s t e s t y m a t o r e m a s y m p t o t y c z n i e
e f e k t y w n y m p a r a m e t r u g ( ¸) j e |e l i j e s t e s t y m a t o r e m a s y m p t o -
t y c z n i e n o r m a l n y m o w a r i a n c j i a s y m p t o t y c z n e j
Ã2 ( ¸) = [ g ( ¸) ] 2 I - 1 ( ¸)
J e [l i 1 i 2 s d w o m a e s t y m a t o r a m i a s y m p t o t y c z n i e n o r m a l n y m i
f u n k c j i g ( ¸) o w a r i a n c j a c h a s y m p t o t y c z n y c h o d p o w i e d n i o r ó w n y c h
2 2
Ã1 ( ¸) i Ã2 ( ¸) , t o a s y m p t o t y c z n e f e k t y w n o [c i w z g l d n
n a z y w a m y s t o s u n e k
2
Ã2 ( ¸)
a s . e f ( 1 , 2 ) = .
2
Ã1 ( ¸)
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6 4
P R Z Y K AA D .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d P o i s s ( ¸) , ¸ > 0
¸ 1
¯ ¯
Z n a m y : E N W ( ¸) = X , V a r ¸X = , I 1 ( ¸) =
n ¸
"
¯
( X - ¸) n - ’! N ( 0 , ¸)
C h c e m y e s t y m o w a f u n k c j
g ( ¸) = e - ¸ = P ¸( X 1 = 0 )
R o z w a |a m y d w a e s t y m a t o r y :
¯
1 = e - X
n
l i c z b a X i , t a k i c h |e X i = 0 1
2 = = 1 ( X i = 0 )
n n
i = 1
R o z k Ba d y a s y m p t o t y c z n e
N i e c h h ( t ) = e - t , w t e d y h ( t ) = - e - t i z l e m a t u D E L T A
"
¯
e - X - e - ¸ n - ’! N 0 , ¸e - 2 ¸
N i e c h
ñø
òø
1 g d y X i = 0
Y i =
óø
0 w p p
W t e d y
E ¸Y i = e - ¸ i V a r ¸Y i = e - ¸( 1 - e - ¸)
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6 5
o r a z
n
1
2 = Y i
n
i = 1
Z C T G
"
2 - e - ¸ n - ’! N 0 , e - ¸( 1 - e - ¸)
P o r ó w n u j e m y w a r i a n c j e a s y m p t o t y c z n e
" ¸ > 0 e - ¸( 1 - e - ¸) > ¸e - 2 ¸ = Ò! a s . e f ( 1 , 2 ) > 1
E s t y m a t o r 1 j e s t b a r d z i e j e f e k t y w n y n i | e s t y m a t o r 2 .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6 6
E S T Y M A C J A P R Z E D Z I A AO W A , P R Z E D Z I A AY U F N O ZC I
X 1 , X 2 , . . . , X n - p r ó b k a l o s o w a z r o z k Ba d u z n i e z n a n y m p a r a m e -
t r e m ¸
P r z e d z i a Be m u f n o [c i d l a p a r a m e t r u ¸ n a p o z i o m i e u f n o [c i 1 - ±
n a z y w a m y p r z e d z i a B
¯
[ ¸( X 1 , X 2 , . . . , X n ) , ¸( X 1 , X 2 , . . . , X n ) ] ,
k t ó r e g o k o Dc e s s t a t y s t y k a m i ( f u n k c j a m i o b s e r w o w a n e j z m i e n n e j
l o s o w e j ) i k t ó r y s p e Bn i a w a r u n e k
¯
"¸ P ¸ ¸( X 1 , X 2 , . . . , X n ) ¸ ¸( X 1 , X 2 , . . . , X n ) 1 - ±.
± - m a Ba l i c z b a n p . 0 , 1 , 0 , 0 5 , 0 , 0 1 .
¯
W a r u n e k P ¸( ¸ " [ ¸, ¸] ) = 1 - ± n a l e |y r o z u m i e t a k :
¯
l o s o w y p r z e d z i a B [ ¸, ¸] p o k r y w a n i e z n a n l i c z b ¸ z d u |y m
p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m .
P o j c i e p r z e d z i a Bu u f n o [c i p r e c y z u j e i d e e s t y m a c j i z o k r e [l o n d o -
k Ba d n o [c i . Z a m i a s t p o j e d y n c z e g o o s z a c o w a n i a n i e z n a n e g o p a r a -
m e t r u , p o d a j e m y d o l n i g ó r n g r a n i c o s z a c o w a n i a . N i e m o |e m y
g w a r a n t o w a , |e p a r a m e t r l e |y n a p e w n o m i d z y t y m i g r a n i c a m i ,
a l e m o |e m y w y m a g a b y t a k b y Bo z o d p o w i e d n i o d u |y m p r a w d o -
p o d o b i e Ds t w e m .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6 7
M o d e l I .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . z r o z k Ba d u N ( µ , Ã2 ) , µ " R n i e z n a n e , Ã > 0
z n a n e .
¯
E N W ( µ ) = E M M ( µ ) = X - e s t y m a t o r p u n k t o w y
Ã2
¯
X <" N ( µ , )
n
"
¯
X - µ
U = n <" N ( 0 , 1 ) , U - f u n k c j a c e n t r a l n a
Ã
s z u k a m y z , t a k a b y
ëø öø
¯
"
X - µ
ìø
íø øø
P n z ÷ø = 1 - ±
Ã
±
±
z = u 1 - - k w a n t y l r z d u 1 - w r o z k Ba d z i e n o r m a l n y m N ( 0 , 1 )
2
2
R o z w i |m y n i e r ó w n o [ ( w y z n a c z a m y µ )
¯
"
X - µ
±
n u 1 -
2
Ã
O t r z y m u j e m y
à Ã
¯ ¯
± ±
X - u 1 - " µ X + u 1 - "
2 2
n n
Z a t e m
ëø öø
à Ã
ìø ÷ø
¯ ¯
± ± øø - ±
íø
P X - u 1 - " µ X + u 1 - " = 1
2 2
n n
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6 8
P r z e d z i a B
îø ùø
à Ã
ïø úø
¯ ¯
± ± ûø
ðø - u 1 - " , X + u 1 - "
X
2 2
n n
j e s t p r z e d z i a Be m u f n o [c i d l a p a r a m e t r u µ n a p o z i o m i e
u f n o [c i 1 - ±.
2 d - d Bu g o [ p r z e d z i a Bu u f n o [c i
Ã
±
2 d = 2 u 1 - "
2
n
d n a z y w a m y b Bd e m o s z a c o w a n i a
1 - ± r o [n i e = Ò! 2 d r o [n i e
n r o [n i e = Ò! 2 d m a l e j e
A b y o t r z y m a p r z e d z i a B z m a k s y m a l n y m b Bd e m d 0 n a z a d a n y m
p o z i o m i e u f n o [c i 1 - ± n a l e |y w z i p r ó b l o s o w o l i c z e b n o [c i
ëø öø
2
Ã
íø
±
n u 1 - øø
2
d 0
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 6 9
M o d e l I I .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . z r o z k Ba d u N ( µ , Ã2 ) , µ " R n i e z n a n e , Ã > 0
n i e z n a n e .
¯
X - e s t y m a t o r p u n k t o w y p a r a m e t r u µ
1 n
¯
S 2 = ( X i - X ) 2 - e s t y m a t o r p u n k t o w y p a r a m e t r u Ã2
i = 1
n - 1
Ã2
¯
X <" N ( µ , )
n
"
¯
X - µ
n <" N ( 0 , 1 )
Ã
"
¯
X - µ
T = n <" t n - 1 , T - f u n k c j a c e n t r a l n a ,
S
t n - 1 - r o z k Ba d t - S t u d e n t a z n - 1 s t o p n i a m i s w o b o d y
A n a l o g i c z n i e , j a k p o p r z e d n i o s z u k a m y l i c z b y z t a k a b y
ëø öø
¯
"
X - µ
ìø
íø øø
P n z ÷ø = 1 - ±
S
z = t ( ±, n - 1 ) - w a r t o [ k r y t y c z n a r z d u ±, l u b r ó w n o w a |n i e
±
k w a n t y l r z d u 1 - w r o z k Ba d z i e t - S t u d e n t a z n - 1 s t o p n i a m i
2
s w o b o d y
R o z w i z u j e m y n i e r ó w n o [ ( w y z n a c z a m y µ )
¯
"
X - µ
n t ( ±, n - 1 )
S
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7 0
P r z e d z i a B
îø ùø
S S
ïø úø
¯ ¯
ðø - t ( ±, n - 1 ) , X + t ( ±, n - 1 )
X " " ûø
n n
j e s t p r z e d z i a Be m u f n o [c i d l a p a r a m e t r u µ n a p o z i o m i e
u f n o [c i 1 - ±.
A b y w y z n a c z y l i c z e b n o [ p r ó b k i p o t r z e b n d o u z y s k a n i a p r z e d z i a -
Bu o d a n e j d Bu g o [c i p o s t p u j e m y z g o d n i e z d w u e t a p o w p r o c e d u r
S t e i n a .
P r z e d z i a B u f n o [c i d l a w a r i a n c j i
( n - 1 ) S 2
<" Ç2 - f u n k c j a c e n t r a l n a
n - 1
Ã2
Ç2 - r o z k Ba d c h i k w a d r a t z n - 1 s t o p n i a m i s w o b o d y
n - 1
S z u k a m y l i c z b a , b t a k , a b y
ëø öø
( n - 1 ) S 2
ìø
íø øø
P a b ÷ø = 1 - ±
Ã2
± ±
a = Ç2 ( 1 - , n - 1 ) - w a r t o [ k r y t y c z n a r z d u 1 - l u b r ó w n o -
2 2
±
w a |n i e k w a n t y l r z d u w r o z k Ba d z i e c h i k w a d r a t z n - 1 s t o p n i a m i
2
s w o b o d y
±
b = Ç2 ( ±, n - 1 ) - w a r t o [ k r y t y c z n a r z d u l u b r ó w n o w a |n i e
2 2
±
k w a n t y l r z d u 1 - w r o z k Ba d z i e c h i k w a d r a t z n - 1 s t o p n i a m i
2
s w o b o d y
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7 1
R o z w i z u j e m y n i e r ó w n o [c i ( w y z n a c z a m y Ã2 )
± ( n - 1 ) S 2 ±
Ç2 ( 1 - , n - 1 ) Ç2 ( , n - 1 )
2 Ã2 2
P r z e d z i a B
îø ùø
( n - 1 ) S 2 ( n - 1 ) S 2
ïø úø
ðø ûø
,
±
Ç2 ( ±, n - 1 ) Ç2 ( 1 - , n - 1 )
2 2
j e s t p r z e d z i a Be m u f n o [c i d l a p a r a m e t r u Ã2 n a p o z i o m i e
u f n o [c i 1 - ±.
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7 2
A S Y M P T O T Y C Z N E P R Z E D Z I A AY U F N O ZC I
M o d e l I I I .
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . z d o w o l n e g o r o z k Ba d u o s k o Dc z o n e j w a r t o [c i
o c z e k i w a n e j i w a r i a n c j i , z a k Ba d a m y , |e n d u |e ( n > 5 0 )
C e l : p r z e d z i a B u f n o [c i d l a w a r t o [c i o c z e k i w a n e j E X i = µ .
K o r z y s t a m y z C e n t r a l n e g o t w i e r d z e n i a g r a n i c z n e g o
p r z y n - ’! + "
¯
"
X - µ
n <" N ( 0 , 1 )
S
P o s t p u j e m y a n a l o g i c z n i e j a k w m o d e l u I
P r z e d z i a B
îø ùø
S S
ïø úø
¯ ¯
± ± ûø
ðø - u 1 - " , X + u 1 - "
X
2 2
n n
j e s t p r z y b l i |o n y m p r z e d z i a Be m u f n o [c i d l a p a r a m e t r u
µ n a p o z i o m i e u f n o [c i 1 - ±.
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7 3
N i e c h X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . z r o z k Ba d u o g s t o [c i f ¸( x ) , ¸ - n i e z n a n y
p a r a m e t r
Æ Æ
N i e c h ¸ = E N W ( ¸) i ¸ m a a s y m p t o t y c z n y r o z k Ba d n o r m a l n y z
w a r i a n c j a s y m p t o t y c z n I - 1 ( ¸) . W t e d y
Æ
¸ <" N ( ¸, ( n I ( ¸) ) - 1 ) d l a d u |y c h n .
Æ
J e [l i d o d a t k o w o I ( ¸) j e s t e s t y m a t o r e m z g o d n y m f u n k c j i I ( ¸) , t o
Æ Æ
¸ - ¸ n I ( ¸) - ’! N ( 0 , 1 ) .
O t r z y m u j e m y a s y m p t o t y c z n y p r z e d z i a B u f n o [c i d l a ¸ n a p o z i o m i e
u f n o [c i 1 - ± p o s t a c i
îø ùø
1 1
ïø úø
ïøÆ Æ úø
± ±
¸ - u 1 - , ¸ + u 1 - .
ðø ûø
2 2
Æ Æ
n I ( ¸) n I ( ¸)
M o d e l I V .
W y k o n u j e m y n n i e z a l e |n y c h d o [w i a d c z e D t y p u s u k c e s - p o r a |k a
( n p . s o n d a | o p i n i i p u b l i c z n e j - p y t a n i e o p r e f e r o w a n i e p e w n e j
w i e l k o [c i l u b n i e , k o n t r o l a j a k o [c i - p o j a w i e n i e s i b r a k u l u b
n i e ) , n d u |e .
O b s e r w o w a n a z m i e n n a l o s o w a Y m a r o z k Ba d d w u p u n k t o w y
P ( Y = 1 ) = p P ( Y = 0 ) = 1 - p
p " ( 0 , 1 ) - p r a w d o p o d o b i e Ds t w o s u k c e s u w p o j e d y n c z y m d o [w i a d -
c z e n i u , n i e z n a n y p a r a m e t r n a z y w a n y t e | w s k a zn i k i e m s t r u k t u r y
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7 4
N i e c h X o z n a c z a l i c z b s u k c e s ó w w n p r ó b a c h
X <" b i n ( n , p )
X
p = E N W ( p ) =
Æ
n
"
( p - p ) n - ’! N ( 0 , p ( 1 - p ) )
Æ
p r z y n - ’! + "
"
p - p
Æ
n <" N ( 0 , 1 )
p ( 1 - p )
Æ Æ
Z a t e m
ëø öø
"
p - p
Æ
ìø ÷ø
ìø
±
P n u 1 - ÷ø H" 1 - ±
íø øø
2
p ( 1 - p )
Æ Æ
R o z w i z u j e m y n i e r ó w n o [
"
p - p
Æ
±
n u 1 - ,
2
p ( 1 - p )
Æ Æ
w y z n a c z a m y p .
P r z e d z i a B
îø ùø
p ( 1 - p ) p ( 1 - p ) úø
Æ Æ Æ Æ
ïø
ïø úø
± ±
p - u 1 - " , p + u 1 - "
Æ Æ
ðø ûø
2 2
n n
j e s t p r z y b l i |o n y m p r z e d z i a Be m u f n o [c i d l a p a r a m e t r u
p n a p o z i o m i e u f n o [c i 1 - ±.
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7 5
"
Æ Æ
± "
2 d = 2 u 1 - p ( 1 - p ) - d Bu g o [ p r z e d z i a Bu u f n o [c i
n
2
Z a u w a |m y , |e d l a k a |d e g o p " ( 0 , 1 ) z a c h o d z i
Æ
ëø
1 1 öø 1
íø øø
p ( 1 - p ) 1 - =
Æ Æ
2 2 4
Z a t e m d l a k a |d e g o p
Æ
1
±
d u 1 - "
2
2 n
A b y o t r z y m a p r z e d z i a B z m a k s y m a l n y m b Bd e m d 0 n a z a d a n y m
p o z i o m i e u f n o [c i 1 - ± n a l e |y w z i p r ó b l o s o w o l i c z e b n o [c i
ëø öø
2
1
íø
±
n u 1 - øø
2
2 d 0
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7 6
T E S T O W A N I E H I P O T E Z S T A T Y S T Y C Z N Y C H
P i k n a t e o r i a z n i s z c z o n a p r z e z z Bo [l i w y w s t r t n y f a k c i k
T . H . H u x l e y
H i p o t e z s t a t y s t y c z n n a z y w a m y d o w o l n e p r z y p u s z c z e n i e d o -
t y c z c e r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a o b s e r w o w a n e j z m i e n n e j l o -
s o w e j l u b c h a r a k t e r y s t y k i t e g o | r o z k Ba d u , o p r a w d z i w o [c i k t ó r e g o
w n i o s k u j e m y n a p o d s t a w i e z a o b s e r w o w a n y c h w a r t o [c i t e j z m i e n n e j
l o s o w e j .
P R Z Y K AA D Y :
1 ) P r z y p u [m y , |e c z a s |y c i a p e w n e g o e l e m e n t u X j e s t z m i e n n
l o s o w a o r o z k Ba d z i e w y k Ba d n i c z y m E x ( ¸) , ¸ > 0 - n i e z n a n e
O b s e r w u j e m y X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . E x ( ¸)
1
H 0 : E X = = 1 0 0
¸
2 ) P o m i a r y i i c h d o k Ba d n o [
o b s e r w u j e m y X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . N ( µ , Ã2 ) , o b a p a r a m e t r y n i e -
z n a n e
H 0 : Ã 1
3 ) ¸ - p r a w d o p o d o b i e Ds t w o s p Ba t y k r e d y t u p r z e z k l i e n t a w p e w n e j
g r u p i e r y z y k a , n i e z n a n e
o b s e r w u j e m y X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . b i n ( 1 , ¸)
H 0 : ¸ 0 . 8
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7 7
4 ) µ 1 - [r e d n i p l o n z h a p r z y I m e t o d z i e n a w o |e n i a
µ 2 - [r e d n i p l o n z h a p r z y I I m e t o d z i e n a w o |e n i a
O b i e w i e l k o [c i n i e z n a n e
O b s e r w u j e m y :
X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . z r o z k Ba d u o E X = µ 1 ( p l o n y p r z y I m e t o d z i e
n a w o |e n i a )
Y 1 , Y 2 , . . . , Y m i . i . d . z r o z k Ba d u o E X = µ 2 ( p l o n y p r z y I I m e t o d z i e
n a w o |e n i a )
H 0 : µ 1 = µ 2
5 ) I n t e r e s u j e n a s w i e l k o [ r o s z c z e n i a X w p e w n e j g r u p i e k l i e n t ó w
t o w a r z y s t w a u b e z p i e c z e n i o w e g o
O b s e r w u j e m y : X 1 , X 2 , . . . , X n w i e l k o [c i r o s z c z e D d l a l o s o w o w y -
b r a n y c h k l i e n t ó w
H 0 : X <" W y k Ba d n i c z y
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7 8
H i p o t e z a p r o s t a - w y z n a c z a d o k Ba d n i e j e d e n r o z k Ba d ( 1 )
H i p o t e z a z Bo |o n a - w y z n a c z a r o d z i n r o z k Ba d ó w ( 2 , 3 , 4 , 5 )
H i p o t e z a p a r a m e t r y c z n a - d o t y c z y p a r a m e t r ó w r o z k Ba d u ( 1 , 2 , 3 , 4 )
H i p o t e z a n i e p a r a m e t r y c z n a - d o t y c z y p o s t a c i r o z k Ba d u ( 5 )
Z h i p o t e z H 0 c z s t o w i |e m y j e s z c z e d r u g h i p o t e z n a z y w a n
h i p o t e z a l t e r n a t y w n ( k o n t r h i p o t e z ) H 1 , j e s t t o h i p o -
t e z a , k t ó r j e s t e [m y s k Bo n n i a k c e p t o w a p o o d r z u c e n i u h i p o t e z y
H 0 . H i p o t e z H 0 n a z y w a m y t e | h i p o t e z z e r o w .
T e s t e m s t a t y s t y c z n y m n a z y w a m y m e t o d p o s t p o w a n i a , k t ó -
r a k a |d e j w a r t o [c i o b s e r w o w a n e j z m i e n n e j l o s o w e j p r z y p o r z d k o -
w u j e j e d n a z d w ó c h d e c y z j i :
o d r z u c i h i p o t e z H 0 ( n a k o r z y [ H 1 ) ,
n i e m a p o d s t a w d o o d r z u c e n i a h i p o t e z y H 0 .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 7 9
X <" P ¸, ¸ " ˜,
H 0 : ¸ " ˜0 H 1 : ¸ " ˜1
g d z i e ˜0 , ˜1 ‚" ˜ i ˜0 )" ˜1 = "
X = K *" A
K - z b i ó r k r y t y c z n y , z b i ó r w y n i k ó w o b s e r w a c j i p r z y k t ó r y c h o d -
r z u c a m y H 0 ;
A - z b i ó r a f i r m a c j i , z b i ó r w y n i k ó w , p r z y k t ó r y c h n i e o d r z u c a m y
H 0 .
J e [l i m a m y p o d a n y z b i ó r K t o m a m y p o d a n y t e s t s t a t y s t y c z n y
N a j c z [c i e j t e s t m a p o s t a :
K = { T ( x ) > c }
c o o z n a c z a o d r z u H 0 , g d y o b l i c z o n a w a r t o [ f u n k c j i T ( x ) j e s t
w i k s z a n i | c .
F u n k c j T n a z y w a m y s t a t y s t y k t e s t o w , a s t a B c w a r t o [c i
k r y t y c z n .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8 0
P R Z Y K AA D 1 .
C h c e m y s p r a w d z i , c z y m o n e t a j e s t s y m e t r y c z n a . W t y m c e l u r z u -
c a m y m o n e t 4 0 0 r a z y . N i e c h X o z n a c z a l i c z b o r Bó w ,
X <" b i n ( 4 0 0 , p ) p - n i e z n a n e
1 1
H 0 : p = H 1 : p =
2 2
t e s t :
K = { | X - 2 0 0 | > 1 9 , 6 }
T = | X - 2 0 0 | - s t a t y s t y k a t e s t o w a ;
1 9 , 6 - w a r t o [ k r y t y c z n a
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8 1
B AD P I E R W S Z E G O I D R U G I E G O R O D Z A J U
d e c y z j a H 0 p r a w d z i w a H 0 - f a Bs z y w a
o d r z u c i H 0 b Bd d e c y z j a
I r o d z a j u p o p r a w n a
n i e o d r z u c a H 0 d e c y z j a b Bd
p o p r a w n a I I r o d z a j u
P ¸( K ) , ¸ " ˜0 - p r a w d o p o d o b i e Ds t w o b Bd u I r o d z a j u
P ¸( A ) = 1 - P ¸( K ) , ¸ " ˜1 - p r a w d o p o d o b i e Ds t w o b Bd u I I r o -
d z a j u
N a j l e p s z y m t e s t e m b y Bb y t e s t , k t ó r y m i n i m a l i z u j e p r a w d o p o d o -
b i e Ds t w a p o p e Bn i e n i a o b u b Bd ó w j e d n o c z e [n i e . T a k i t e s t n i e i s t n i e -
j e , p r z y u s t a l o n e j l i c z e b n o [c i p r ó b y l o s o w e j z m n i e j s z a n i e p r a w d o p o -
d o b i e Ds t w a b Bd u I r o d z a j u p o w o d u j e w z r o s t p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
b Bd u I I r o d z a j u i n a o d w r ó t .
T e s t j e s t n a p o z i o m i e i s t o t n o [c i ± , j e [l i
" ¸ " ˜0 P ¸( K ) ±
P o z i o m i s t o t n o [c i ± u s t a l a s t a t y s t y k , z a b e z p i e c z a s i p r z e d z b y t
d u |y m p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m b Bd u I r o d z a j u .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8 2
P R Z Y K AA D 1 c d .
P r z y p r a w d z i w o [c i h i p o t e z y H 0 m a m y Z C T G
ëø
1 öø
íø øø
X <" N ( 2 0 0 , 4 0 0 ·
4
P p = 2 ( | X - 2 0 0 | > 1 9 , 6 )
1
ëø öø
| X - 2 0 0 |
íø øø
= P p = 2 ìø > 1 , 9 6 ÷ø = 2 ( 1 - ¦( 1 , 9 6 ) ) = 0 , 0 5
1
1 0
j e s t t o t e s t n a p o z i o m i e i s t o t n o [c i 0 , 0 5 .
W i e l k o [ P ¸( K ) n a z y w a m y m o c t e s t u p r z y a l t e r n a t y w i e ¸ "
˜1 ( t e s t y b u d u j e s i t a k a b y m o c b y Ba j a k n a j w i k s z a )
F u n k c j a m o c y t e s t u
² : ˜1 - ’! [ 0 , 1 ] ²( ¸) = P ¸( K )
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8 3
A L G O R Y T M T E S T O W A N I A H I P O T E Z Y S T A T Y S T Y C Z N E J
1 ) o k r e [l i m o d e l s t a t y s t y c z n y
( n p . p r ó b a l o s o w a X 1 , X 2 , . . . , X n p o c h o d z i z r o z k Ba d u n o r m a l n e g o
o n i e z n a n e j w a r t o [c i o c z e k i w a n e j µ i w a r i a n c j i Ã2 = 4 )
2 ) p o s t a w i h i p o t e z z e r o w H 0 i a l t e r n a t y w H 1
( n p . H 0 : µ = 0 , H 1 : µ = 0 ) ;
3 ) p r z y j p o z i o m i s t o t n o [c i ( n p . ± = 0 , 0 5 ) ;
4 ) p o d a p o s t a s t a t y s t y k i t e s t o w e j T , o b s z a r u k r y t y c z n e g o , w y -
z n a c z y w a r t o [ k r y t y c z n ( p o s t a s t a t y s t y k i T , z b i o r u K i w a r -
t o [c i k r y t y c z n e j z a l e |y o d o b u h i p o t e z i p o z i o m u i s t o t n o [c i ±) ;
5 ) o b l i c z y w a r t o [ s t a t y s t y k i t e s t o w e j d l a d a n y c h w a r t o [c i p r ó b y
l o s o w e j ;
6 ) p o d j d e c y z j :
j e [l i T ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) " K - o d r z u c i H 0
j e [l i T ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) " K - n i e m a p o d s t a w d o o d r z u c e n i a H 0 ,
/
c z y l i o t r z y m a n e d a n e n i e d a j w y s t a r c z a j c y c h a r g u m e n t ó w d o
o d r z u c e n i a H 0 .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8 4
p - w a r t o [ ( p - v a l u e )
X <" P ¸, ¸ " ˜,
H 0 : ¸ = ¸0 , ± - p o z i o m i s t o t n o [c i
T e s t
K = { T ( X ) > c ±}
x - o b s e r w o w a n a w a r t o [ z m i e n n e j X
t = T ( x )
p - w a r t o [ j e s t r ó w n a P ¸0 ( T ( X ) > t )
W n i o s k o w a n i e :
J e [l i p - w a r t o [ < ±, t o h i p o t e z H 0 o d r z u c a m y .
J e [l i p - w a r t o [ > ±, t o n i e m a p o d s t a w d o o d r z u c e n i a H 0 .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8 5
P O R Ó W N Y W A N I E T E S T Ó W
X <" P ¸, ¸ " ˜,
H 0 : ¸ " ˜0 H 1 : ¸ " ˜1
g d z i e ˜0 , ˜1 ‚" ˜ i ˜0 )" ˜1 = "
M ó w i m y , |e t e s t o o b s z a r z e k r y t y c z n y m K 1 j e s t m o c n i e j s z y n i |
t e s t o o b s z a r z e k r y t y c z n y m K 2 ( o b a t e s t y n a t y m s a m y m p o z i o m i e
i s t o t n o [c i ±) d l a t e s t o w a n i a h i p o t e z y H 0 p r z y a l t e r n a t y w i e H 1 Ð!Ò!
" ¸ " ˜0 P ¸( K 1 ) ± i P ¸( K 2 ) ±
i
" ¸ " ˜1 P ¸( K 1 ) P ¸( K 2 )
i
" ¸1 " ˜1 P ¸1 ( K 1 ) > P ¸1 ( K 2 ) .
T e s t o o b s z a r z e k r y t y c z n y m K " n a z y w a m y t e s t e m j e d n o s t a j -
n i e n a j m o c n i e j s z y m d l a t e s t o w a n i a h i p o t e z y H 0 p r z y a l t e r n a -
t y w i e H 1 n a p o z i o m i e i s t o t n o [c i ± Ð!Ò! j e s t t o t e s t n a p o z i o m i e
i s t o t n o [c i ± o r a z
" K †" X s p e n i a j a c e g o w a r u n e k P ¸( K ) ± g d y ¸ " ˜0
z a c h o d z i
" ¸ " ˜1 P ¸( K ") P ¸( K ) .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8 6
L E M A T N E Y M A N A - P E A R S O N A
N i e c h X b d z i e o b s e r w o w a n z m i e n n l o s o w a i P 0 , P 1 d w o -
m a r o z k Ba d a m i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a o g s t o [c i a c h o d p o w i e d -
n i o r ó w n y c h f 0 i f 1 . N i e c h
ñø üø
ôø ôø
òø ýø
f 1 ( x )
K " = x : > c i P 0 ( K ") = ±.
ôø ôø
óø þø
f 0 ( x )
W t e d y t e s t o o b s z a r z e k r y t y c z n y m K " j e s t t e s t e m n a j m o c n i e j -
s z y m d l a t e s t o w a n i a h i p o t e z y
H 0 : X <" P 0 p r z y a l t e r n a t y w i e H 1 : X <" P 1
n a p o z i o m i e i s t o t n o [c i ±.
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8 7
T E S T Y O P A R T E N A I L O R A Z I E W I A R O G O D N O ZC I
X <" P ¸, ¸ " ˜,
H 0 : ¸ " ˜0 H 1 : ¸ " ˜1
g d z i e ˜0 , ˜1 ‚" ˜ i ˜0 )" ˜1 = " i ˜0 *" ˜1 = ˜
s u p ¸"˜1 L ( ¸, X ) s u p ¸"˜ L ( ¸, X )
›1 ( X ) = l u b ›( X ) =
s u p ¸"˜0 L ( ¸, X ) s u p ¸"˜0 L ( ¸, X )
T e s t o o b s z a r z e k r y t y c z n y m p o s t a c i
K 1 = { x : ›1 ( x ) > »1 } l u b K = { x : ›( x ) > »} ,
g d z i e »1 , » s p e Bn i a j w a r u n k i
" ¸ " ˜0 P ¸( K 1 ) ±,
" ¸ " ˜0 P ¸( K ) ±
n a z y w a m y t e s t e m o p a r t y m n a i l o r a z i e w i a r o g o d n o [c i d l a
t e s t o w a n i a h i p o t e z y H 0 p r z y a l t e r n a t y w i e H 1 n a p o z i o m i e i s t o t n o -
[c i ±.
P r z y p r o s t e j h i p o t e z i e i p r o s t e j a l t e r n a t y w i e t e s t o p a r t y n a i l o r a -
z i e w i a r o g o d n o [c i o r o z m i a r z e ± p o k r y w a s i z t e s t e m N e y m a n a -
P e a r s o n a o t y m r o z m i a r z e .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8 8
T E S T O W A N I E H I P O T E Z - P O R Ó W N A N I E Z N O R M
M o d e l I .
X 1 , X 2 , . . . , X n p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u n o r m a l n e g o N ( µ , Ã2 ) , Ã
z n a n e
H i p o t e z a z e r o w a H 0 : µ = µ 0
¯
X - e s t y m a t o r p a r a m e t r u µ
S t a t y s t y k a t e s t o w a
¯
"
X - µ 0
U = n
Ã
P o z i o m i s t o t n o [c i ±
A l t e r n a t y w a Z b i ó r k r y t y c z n y
±
H 1 : µ = µ 0 K 1 = { | U | > u 1 - }
2
H 2 : µ > µ 0 K 2 = { U > u 1 - ± }
H 3 : µ < µ 0 K 3 = { U < - u 1 - ± }
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 8 9
M o d e l I I .
X 1 , X 2 , . . . , X n p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u n o r m a l n e g o N ( µ , Ã2 ) , µ ,
à n i e z n a n e
H i p o t e z a z e r o w a H 0 : µ = µ 0
¯
X - e s t y m a t o r p a r a m e t r u µ
1
n
¯
S 2 = ( X i - X ) 2 e s t y m a t o r p a r a m e t r u Ã2
i = 1
n - 1
S t a t y s t y k a t e s t o w a
¯
"
X - µ 0
T = n
S
P r z y H 0 p r a w d z i w e j s t a t y s t y k a T m a r o z k Ba d t - S t u d e n t a z n - 1
s t o p n i a m i s w o b o d y
P o z i o m i s t o t n o [c i ±
A l t e r n a t y w a Z b i ó r k r y t y c z n y
H 1 : µ = µ 0 K 1 = { | T | > t ( ±, n - 1 ) }
H 2 : µ > µ 0 K 2 = { T > t ( 2 ±, n - 1 ) }
H 3 : µ < µ 0 K 3 = { T < - t ( 2 ±, n - 1 ) }
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9 0
M o d e l I I
2
H i p o t e z a z e r o w a : H 0 : Ã2 = Ã0
S t a t y s t y k a t e s t o w a :
( n - 1 ) S 2
Ç2 =
2
Ã0
P r z y H 0 p r a w d z i w e j s t a t y s t y k a Ç2 m a r o z k Ba d c h i - k w a d r a t z n - 1
s t o p n i a m i s w o b o d y
2
" A l t e r n a t y w a : H 1 : Ã2 = Ã0
Z b i ó r k r y t y c z n y m a p o s t a
± ±
K 1 = Ç2 < Ç2 1 - , n - 1 (" Ç2 > Ç2 , n - 1
2 2
±
c z y l i h i p o t e z H 0 o d r z u c a m y g d y Ç2 < Ç2 ( 1 - , n - 1 ) l u b
2
Ç2 > Ç2 ( ±, n - 1 )
2
2
" A l t e r n a t y w a : H 2 : Ã2 > Ã0
Z b i ó r k r y t y c z n y m a p o s t a
K 2 = { Ç2 > Ç2 ( ±, n - 1 ) }
2
" A l t e r n a t y w a : H 3 : Ã2 < Ã0
Z b i ó r k r y t y c z n y m a p o s t a
K 3 = { Ç2 < Ç2 ( 1 - ±, n - 1 ) }
c z y l i h i p o t e z H 0 o d r z u c a m y g d y Ç2 < Ç2 ( 1 - ±, n - 1 )
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9 1
M o d e l I I I .
X 1 , X 2 , . . . , X n p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u o n i e z n a n e j w a r t o [c i o c z e -
k i w a n e j E X i = µ i s k o Dc z o n e j a l e n i e z n a n e j w a r i a n c j i . Z a k Ba d a m y ,
|e n d u |e ( n 1 0 0 )
H i p o t e z a z e r o w a H 0 : µ = µ 0
¯
X - e s t y m a t o r p a r a m e t r u µ
1 n
¯
S 2 = ( X i - X ) 2 e s t y m a t o r w a r i a n c j i
i = 1
n - 1
S t a t y s t y k a t e s t o w a
¯
"
X - µ 0
U = n
S
P r z y h i p o t e z i e H 0 p r a w d z i w e j s t a t y s t y k a U m a a s y m p t o t y c z n y
r o z k Ba d n o r m a l n y , t z n
U - ’! N ( 0 , 1 ) p r z y n - ’! + "
P o z i o m i s t o t n o [c i ±
A l t e r n a t y w a Z b i ó r k r y t y c z n y
±
H 1 : µ = µ 0 K 1 = { | U | > u 1 - }
2
H 2 : µ > µ 0 K 2 = { U > u 1 - ± }
H 3 : µ < µ 0 K 3 = { U < - u 1 - ± }
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9 2
M o d e l I V .
W y k o n u j e m y n n i e z a l e |n y c h d o [w i a d c z e D t y p u s u k c e s - p o r a |k a ,
z a k Ba d a m y |e n d u |e .
O b s e r w o w a n a z m i e n n a l o s o w a Y m a r o z k Ba d d w u p u n k t o w y
P ( Y = 1 ) = p P ( Y = 0 ) = 1 - p
p " ( 0 , 1 ) - p r a w d o p o d o b i e Ds t w o s u k c e s u w p o j e d y n c z y m d o [w i a d -
c z e n i u , n i e z n a n y p a r a m e t r n a z y w a n y t e | w s k a zn i k i e m s t r u k t u r y
N i e c h X o z n a c z a l i c z b s u k c e s ó w w n d o [w i a d c z e n i a c h
X <" b i n ( n , p )
H i p o t e z a z e r o w a H 0 : p = p 0
X
p = - e s t y m a t o r p u n k t o w y p a r a m e t r u p
Æ
n
S t a t y s t y k a t e s t o w a :
"
p - p 0
Æ
U " = n
p 0 ( 1 - p 0 )
P r z y p r a w d z i w o [c i h i p o t e z y H 0 z C T G w y n i k a , |e
"
p - p 0
Æ
U " = n <" N ( 0 , 1 ) g d y n - ’! + "
p 0 ( 1 - p 0 )
A l t e r n a t y w a Z b i ó r k r y t y c z n y
±
H 1 : p = p 0 K 1 = { | U "| > u 1 - }
2
H 2 : p > p 0 K 2 = { U " > u 1 - ± }
H 3 : p < p 0 K 3 = { U " < - u 1 - ± }
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9 3
T E S T O W A N I E H I P O T E Z - P O R Ó W N A N I E D W Ó C H P O P U -
L A C J I
W p r a k t y c e i s t o t n r o l e o d g r y w a j t e s t y , z a p o m o c k t ó r y c h m o |n a
p o r ó w n y w a c e c h w d w ó c h p o p u l a c j a c h z e w z g l d u n a i n t e r e s u j -
c y p a r a m e t r , n a j c z [c i e j j e s t t o
w a r t o [ o c z e k i w a n a
w a r i a n c j a
w s k a zn i k s t r u k t u r y ( p r o c e n t p o p u l a c j i s p e Bn i a j a c y z a d a n e w a r u n -
k i )
P R Z Y K AA D :
1 ) c z y p l o n p r z e c i t n y p r z y d w ó c h s p o s o b a c h n a w o |e n i a j e s t j e d -
n a k o w y
2 ) c z y p r z e c i t n a c e n a p e w n e g o t o w a r u w s k l e p a c h W a r s z a w y j e s t
w y |s z a n i | w s k l e p a c h K r a k o w a
3 ) c z y c z a s w y k o n a n i a p e w n e g o d e t a l u p r z y d w ó c h s p o s o b a c h p r o -
d u k c j i j e s t j e d n a k o w y
4 ) c z y p o p a r c i e d l a P a n a A w z r o s Bo w c i g u m i e s i c a
5 ) c z y m a r g a r y n a R a m a i F l o r a s k u p o w a n e t a k s a m o c z s t o
6 ) c z y d w i e m e t o d y p o m i a r o w e s j e d n a k o w o d o k Ba d n e
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9 4
M o d e l I .
2
X 1 , 1 , X 1 , 2 , . . . , X 1 , n 1 - p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u n o r m a l n e g o N ( µ 1 , Ã1 ) ;
2
X 2 , 1 , X 2 , 2 , . . . , X 2 , n 2 - p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u n o r m a l n e g o N ( µ 2 , Ã2 ) ;
P a r a m e t r y µ 1 , µ 2 s n i e z n a n e , Ã1 , Ã2 s z n a n e , w s z y s t k i e o b s e r w o -
w a n e z m i e n n e s n i e z a l e |n e .
H i p o t e z a z e r o w a : H 0 : µ 1 = µ 2 , P o z i o m i s t o t n o [c i ±
n 1
1
¯
X 1 = X 1 , i - e s t y m a t o r p a r a m e t r u µ 1
n 1 i = 1
n 2
1
¯
X 2 = X 2 , i - e s t y m a t o r p a r a m e t r u µ 2
n 2 i = 1
2 2 2 2
Ã1 Ã2 Ã1 Ã2
¯ ¯ ¯ ¯
X 1 <" N ( µ 1 , ) i X 2 <" N ( µ 2 , ) , z a t e m X 1 - X 2 <" N µ 1 - µ 2 , +
n 1 n 2 n 1 n 2
S t a t y s t y k a t e s t o w a :
¯ ¯
X 1 - X 2
U n 1 , n 2 =
2 2
Ã1 Ã2
+
n 1 n 2
P r z y h i p o t e z i e H 0 p r a w d z i w e j U n 1 , n 2 <" N ( 0 , 1 )
A l t e r n a t y w a Z b i ó r k r y t y c z n y
±
H 1 : µ 1 = µ 2 K 1 = { | U n 1 , n 2 | > u 1 - }
2
H 2 : µ 1 > µ 2 K 2 = { U n 1 , n 2 > u 1 - ± }
H 3 : µ 1 < µ 2 K 3 = { U n 1 , n 2 < - u 1 - ± }
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9 5
M o d e l I I .
2
X 1 , 1 , X 1 , 2 , . . . , X 1 , n 1 - p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u n o r m a l n e g o N ( µ 1 , Ã1 ) ;
2
X 2 , 1 , X 2 , 2 , . . . , X 2 , n 2 - p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u n o r m a l n e g o N ( µ 2 , Ã2 ) ;
P a r a m e t r y µ 1 , µ 2 , Ã1 , Ã2 s n i e z n a n e , a l e Ã1 = Ã2 , w s z y s t k i e o b -
s e r w o w a n e z m i e n n e s n i e z a l e |n e .
H i p o t e z a z e r o w a : H 0 : µ 1 = µ 2
n 1
1
¯
X 1 = X 1 , i - e s t y m a t o r p a r a m e t r u µ 1
n 1 i = 1
n 2
1
¯
X 2 = X 2 , i - e s t y m a t o r p a r a m e t r u µ 2
n 2 i = 1
2 2
Ã1 Ã2
¯ ¯
X 1 <" N ( µ 1 , ) i X 2 <" N ( µ 2 , ) , z a t e m
n 1 n 2
ëø ëø öøöø
1 1
2
¯ ¯ íø øøøø
X 1 - X 2 <" N µ 1 - µ 2 , Ã1 íø +
n 1 n 2
n 1
1
2
¯
S 1 = ( X 1 , i - X 1 ) 2 - e s t y m a t o r w a r i a n c j i w o p a r c i u o
i = 1
n 1 - 1
p r ó b X 1 , 1 , X 1 , 2 , . . . , X 1 , n 1
n 2
1
2
¯
S 2 = ( X 2 , i - X 2 ) 2 - e s t y m a t o r w a r i a n c j i w o p a r c i u o
i = 1
n 2 - 1
p r ó b X 2 , 1 , X 2 , 2 , . . . , X 2 , n 1
2 2
( n 1 - 1 ) S 1 + ( n 2 - 1 ) S 2
2
S " = - e s t y m a t o r w a r i a n c j i w o p a r c i u o d w i e
n 1 + n 2 - 2
p r ó b y
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9 6
S t a t y s t y k a t e s t o w a :
¯ ¯
X 1 - X 2
T n 1 , n 2 =
1 1
S " n 1 +
n 2
P r z y h i p o t e z i e H 0 p r a w d z i w e j T m a r o z k Ba d t - S t u d e n t a z n 1 + n 2 - 2
s t o p n i a m i s w o b o d y
A l t e r n a t y w a Z b i ó r k r y t y c z n y
H 1 : µ 1 = µ 2 K 1 = { | T n 1 , n 2 | > t ( ±, n 1 + n 2 - 2 ) }
H 2 : µ 1 > µ 2 K 2 = { T n 1 , n 2 > t ( 2 ±, n 1 + n 2 - 2 ) }
H 3 : µ 1 < µ 2 K 3 = { T n 1 , n 2 < - t ( 2 ±, n 1 + n 2 - 2 ) }
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9 7
M o d e l I I I .
2
X 1 , 1 , X 1 , 2 , . . . , X 1 , n 1 - i . i . d . z r o z k Ba d u o E X = µ 1 i V a r X = Ã1 ;
2
X 2 , 1 , X 2 , 2 , . . . , X 2 , n 2 - i . i . d . z r o z k Ba d u o E X = µ 2 V a r X = Ã2 ;
P a r a m e t r y µ 1 , µ 2 , Ã1 , Ã2 s n i e z n a n e , w s z y s t k i e o b s e r w o w a n e z m i e n -
n e s n i e z a l e |n e , n 1 , n 2 d u |e .
H i p o t e z a z e r o w a : H 0 : µ 1 = µ 2
n 1
1
¯
X 1 = X 1 , i - e s t y m a t o r p a r a m e t r u µ 1
n 1 i = 1
n 2
1
¯
X 2 = X 2 , i - e s t y m a t o r p a r a m e t r u µ 2
n 2 i = 1
Æ2 1 n 1 ( X 1 , i - X 1 ) 2 e s t y m a t o r w a r i a n c j i w o p a r c i u o p r ó b
¯
S 1 = -
n 1 i = 1
X 1 , 1 , X 1 , 2 , . . . , X 1 , n 1
Æ2 1 n 2 ( X 2 , i - X 2 ) 2 e s t y m a t o r w a r i a n c j i w o p a r c i u o p r ó b
¯
S 2 = -
n 2 i = 1
X 2 , 1 , X 2 , 2 , . . . , X 2 , n 1
S t a t y s t y k a t e s t o w a :
¯ ¯
X 1 - X 2
U =
2 2
Æ Æ
S 1 S 2
+
n 1 n 2
P r z y h i p o t e z i e H 0 p r a w d z i w e j U <" N ( 0 , 1 ) p r z y n 1 , n 2 - ’! + "
A l t e r n a t y w a Z b i ó r k r y t y c z n y
±
H 1 : µ 1 = µ 2 K 1 = { | U | > u 1 - }
2
H 2 : µ 1 > µ 2 K 2 = { U > u 1 - ± }
H 3 : µ 1 < µ 2 K 3 = { U < - u 1 - ± }
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9 8
H i p o t e z a o r ó w n o [c i w a r i a n c j i w m o d e l u n o r m a l n y m
2
X 1 , 1 , X 1 , 2 , . . . , X 1 , n 1 - p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u n o r m a l n e g o N ( µ 1 , Ã1 ) ;
2
X 2 , 1 , X 2 , 2 , . . . , X 2 , n 2 - p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u n o r m a l n e g o N ( µ 2 , Ã2 ) ;
P a r a m e t r y µ 1 , µ 2 , Ã1 , Ã2 s n i e z n a n e , w s z y s t k i e o b s e r w o w a n e z m i e n -
n e s n i e z a l e |n e .
H i p o t e z a z e r o w a : H 0 : Ã1 = Ã2
n 1
1
2 2
¯
S 1 = ( X 1 , i - X 1 ) 2 - e s t y m a t o r w a r i a n c j i Ã1
i = 1
n 1 - 1
n 2
1
2 2
¯
S 2 = ( X 2 , i - X 2 ) 2 - e s t y m a t o r w a r i a n c j i Ã2
i = 1
n 2 - 1
S t a t y s t y k a t e s t o w a :
2
S 1
F =
2
S 2
P r z y H 0 p r a w d z i w e j F <" F n 1 - 1 , n 2 - 1
2 2
" A l t e r n a t y w a : H 1 : Ã1 = Ã2
Z b i ó r k r y t y c z n y m a p o s t a
± ±
K 1 = F < F 1 - ; n 1 - 1 , n 2 - 1 (" F > F ; n 1 - 1 , n 2 - 1
2 2
2 2
" A l t e r n a t y w a : H 2 : Ã1 > Ã2
Z b i ó r k r y t y c z n y m a p o s t a K 2 = { F > F ( ±; n 1 - 1 , n 2 - 1 ) }
2 2
" A l t e r n a t y w a : H 3 : Ã1 < Ã2
Z b i ó r k r y t y c z n y m a p o s t a K 3 = { F < F ( 1 - ±; n 1 - 1 , n 2 - 1 ) }
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 9 9
M o d e l I V .
W y k o n u j e m y n 1 n i e z a l e |n y c h d o [w i a d c z e D t y p u s u k c e s - p o r a |k a ,
w k t ó r y c h p r a w d o p o d o b i e Ds t w o s u k c e s u j e s t r ó w n e p 1 , i n 2 n i e z a -
l e |n y c h d o [w i a d c z e D t y p u s u k c e s - p o r a |k a , w k t ó r y c h p r a w d o p o -
d o b i e Ds t w o s u k c e s u j e s t r ó w n e p 2
p 1 , p 2 " ( 0 , 1 ) n i e z n a n e , n 1 , n 2 d u |e
N i e c h X 1 o z n a c z a l i c z b s u k c e s ó w w n 1 p r ó b a c h , X 2 o z n a c z a l i c z b
s u k c e s ó w w n 2 p r ó b a c h
X 1 <" b i n ( n 1 , p 1 ) , X 2 <" b i n ( n 2 , p 2 )
H i p o t e z a z e r o w a H 0 : p 1 = p 2
X 1 X 2
p 1 = i p 2 = - e s t y m a t o r y p a r a m e t r ó w p 1 i p 2
Æ Æ
n 1 n 2
X 1 + X 2
p " = - e s t y m a t o r p r a w d o p o d o b i e Ds t w a s u k c e s u p r z y z a Bo |e -
n 1 + n 2
n i u , |e H 0 p r a w d z i w a
p 1 - p 2
Æ Æ
"
U n 1 , n 2 =
- s t a t y s t y k a t e s t o w a
1 1
p "( 1 - p ") + n
n 1 2
P r z y p r a w d z i w o [c i H 0
"
U n 1 , n 2 <" N ( 0 , 1 ) p r z y n 1 , n 2 - ’! + "
A l t e r n a t y w a Z b i ó r k r y t y c z n y
"
±
H 1 : p 1 = p 2 K 1 = { | U n 1 , n 2 | > u 1 - }
2
"
H 2 : p 1 > p 2 K 2 = { U n 1 , n 2 > u 1 - ± }
"
H 3 : p 1 < p 2 K 3 = { U n 1 , n 2 < - u 1 - ± }
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0 0
T e s t a n a l i z y w a r i a n c j i
R o z w a |a m y k p r ó b l o s o w y c h
X 1 , 1 , X 1 , 2 , . . . , X 1 , n 1
X 2 , 1 , X 2 , 2 , . . . , X 2 , n 2
. . . . . . . . .
X k , 1 , X k , 2 , . . . , X k , n k
P R Z Y K AA D : X i , j c e n a p e w n e g o p r o d u k t u w i - t y m m i e [c i e , i r o z -
w a |a m y k m i a s t .
Z A AO {E N I A :
" X i , j , i = 1 , 2 , . . . , k , j = 1 , 2 , . . . , n i s n i e z a l e |n e
" X i , j <" N ( m i , Ã2 ) ,
" m 1 , m 2 , . . . , m k , Ã s n i e z n a n e
H i p o t e z a z e r o w a :
H 0 : m 1 = m 2 = . . . = m k
n = n 1 + n 2 + . . . + n k
n i
1
¯
X i = X i , j
n i
j = 1
p n i p
1 1
¯ ¯
X = X i , j = n i X i
n n
i = 1 j = 1 i = 1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0 1
T e s t o p a r t y n a i l o r a z i e w i a r o g o d n o [c i o d r z u c a H 0 g d y
k
¯ ¯
n i ( X i - X ) 2 / ( k - 1 )
i = 1
F = > F ( ±, k - 1 , n - k )
n i
k
¯
( X i , j - X i ) 2 / ( n - k )
i = 1 j = 1
g d z i e F ( ±, k - 1 , n - k ) w a r t o [ k r y t y c z n a w r o z k Ba d z i e F k - 1 , n - k
r z d u ±.
1 k
¯ ¯
n i ( X i - X ) 2 - e s t y m a t o r w a r i a n c j i m i d z y g r u p o w e j
i = 1
k - 1
n i
1
k
¯
( X i , j - X i ) 2 - e s t y m a t o r w a r i a n c j i w e w n t r z g r u p
j = 1
i = 1
n - k
n i n i
k k k
¯ ¯ ¯ ¯
( X i , j - X ) 2 = n i ( X i - X ) 2 + ( X i , j - X i ) 2
i = 1 j = 1 i = 1 i = 1 j = 1
T a b e l a t e s t u a n a l i z y w a r i a n c j i
yr ó d Bo S u m y S t o p n i e w a r t o [
z m i e n n o [c i k w a d r a t ó w s w o b o d y s t a t y s t y k i F
k
¯ ¯
m i d z y p r ó b k a m i n i ( X i - X ) 2 k - 1
i = 1
n i
k
¯
w e w n t r z p r ó b e k ( X i , j - X i ) 2 n - k
j = 1
i = 1
n i
k
¯
R a z e m ( X i , j - X ) 2 n - 1
j = 1
i = 1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0 2
P R Z Y K AA D .
P o r ó w n a n o z y s k i z e s p r z e d a |y p e w n e g o t o w a r u w c z t e r e c h m i a -
s t a c h . W y l o s o w a n o p o 1 0 s k l e p ó w i o t r z y m a n o w y n i k i :
m i a s t o [r e d n i z y s k
A 8 8
B 9 4
C 9 1
D 8 9
n i
k
2
X i , j = 3 2 8 1 3 5
i = 1 j = 1
T e s t e m a n a l i z y w a r i a n c j i z w e r y f i k u j h i p o t e z o r ó w n o [c i p r z e c i t -
n e g o z y s k u w t y c h m i a s t a c h
H 0 : m 1 = m 2 = m 3 = m 4
¯
X = 9 0 , 5
4
¯ ¯
1 0 ( X i - X ) 2 = 2 1 0
i = 1
4 1 0 4 1 0 4
2
¯ ¯
( X i , j - X i ) 2 = X i , j - 1 0 X i 2 = 3 1 5
i = 1 j = 1 i = 1 j = 1 i = 1
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0 3
yr ó d Bo S u m y S t o p n i e w a r t o [
z m i e n n o [c i k w a d r a t ó w s w o b o d y s t a t y s t y k i F
m i d z y p r ó b k a m i 2 1 0 3
w e w n t r z p r ó b e k 3 1 5 3 6
R a z e m 5 2 5 3 9 8
F ( 0 , 0 5 , 3 , 3 6 ) = 2 , 8 7
8 > 2 , 8 7
W n i o s e k : o d r z u c a m y h i p o t e z H 0
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0 4
T E S T O W A N I E H I P O T E Z O Z G O D N O ZC I
N i e c h X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . z r o z k Ba d u o n i e z n a n e j d y s t r y b u a n c i e
F
H 0 : F = F 0 , F 0 u s t a l o n a
I . T e s t K o Bm o g o r o w a
Z a Bo |e n i e : F 0 - c i g Ba , [c i [l e r o s n c a d y s t r y b u a n t a
S t a t y s t y k a t e s t o w a :
D n = s u p | F n ( t ) - F 0 ( t ) | ,
t "R
g d z i e F n ( t ) = F n ( X 1 , X 2 , . . . , X n , t ) j e s t d y s t r y b u a n t e m p i r y c z -
n .
+ -
D n = m a x ( D n , D n )
g d z i e
i i - 1
+ -
D n = m a x - z i D n = m a x z i - z i = F 0 ( x i : n )
i = 1 . . . n i = 1 . . . n
n n
w p r z y p a d k u s z e r e g u p r z e d z i a Bo w e g o
+ -
D n = m a x | F n ( c i ) - F 0 ( c i ) | D n = m a x | F 0 ( c i ) - F n ( c i - 1 ) |
i = 1 . . . k i = 1 . . . k
T E S T : J e |e l i D n > c ( ±, n ) , t o h i p o t e z H 0 o d r z u c a m y .
W y b ó r c ( ±, n ) :
R o z k Ba d s t a t y s t y k i D n p r z y p r a w d z i w o [c i h i p o t e z y H 0 n i e z a l e |y
o d p o s t a c i F 0 .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0 5
Z a t e m c ( ±, n ) s s t a b l i c o w a n e . D l a n d u |y c h k o r z y s t a m y z w a r t o [c i
p r z y b l i |o n y c h , k i l k a z n i c h p o d a j e T a b e l a p o n i |e j .
± 0 . 2 0 0 . 1 0 0 . 0 5 0 . 0 1
" " " "
c 1 . 0 7 / n 1 . 2 2 / n 1 . 3 6 / n 1 . 6 3 / n
P R Z Y K AA D .
D a n e z e s z k o d a m i s p o w o d o w a n y m i p r z e z w i c h u r y
H 0 : F j e s t d y s t r y b u a n t z r o z k Ba d u o g s t o [c i
ñø
òø
0 g d y x 1 . 5
f 0 ( x ) =
1
óø
e x p ( - x - 1 . 5 ) g d y x > 1 . 5
7 . 5 7 . 5
D y s t r y b u a n t a r o z k Ba d u z h i p o t e z y
ñø
ôø
òø 0 g d y x 1 . 5
F 0 ( x ) =
ôø
óø - e x p - x - 1 . 5 g d y x > 1 . 5
1
7 . 5
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0 6
T e s t K o Bm o g o r o w a - L i l l i e f o r s a
N i e c h X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . z r o z k Ba d u o n i e z n a n e j d y s t r y b u a n c i e
F
H 0 : F j e s t d y s t r y b u a n t r o z k Ba d u n o r m a l n e g o
N i e c h
+ -
D n = m a x ( D n , D n )
g d z i e
i i - 1
+ -
D n = m a x ( - z i ) D n = m a x ( z i - ) z i = F 0 ( x i : n )
i = 1 . . . n i = 1 . . . n
n n
i
ëø öø
¯
X i : n - X
ìø ÷ø
íø øø
z i = ¦
S
n n
1 1
¯ ¯
X = X i S 2 = ( X i - X ) 2
n n - 1
i = 1 i = 1
O b s z a r k r y t y c z n y t e s t u :
K = { D n > D n ( ±) }
D ( ±)
D n ( ±) = "
0 . 8 5
"
n - 0 . 0 1 +
n
± 0 . 1 0 . 0 5 0 . 0 1
D ( ±) 0 . 8 1 9 0 . 8 9 5 1 . 0 3 5
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0 7
I I . T e s t z g o d n o [c i c h i - k w a d r a t
T e s t z g o d n o [c i c h i - k w a d r a t s Bu |y d o w e r y f i k a c j i h i p o t e z y o p o s t a c i
r o z k Ba d u o b s e r w o w a n e j z m i e n n e j l o s o w e j X .
1 . C e c h a X m a r o z k Ba d d y s k r e t n y o k m o |l i w y c h w a r t o [c i a c h .
P o w t a r z a m y n - k r o t n i e d o [w i a d c z e n i e l o s o w e , k t ó r e m a k m o |l i -
w y c h w y n i k ó w w 1 , w 2 , . . . , w k .
X w 1 w 2 . . . w k
P ( X = w i ) p 1 p 2 . . . p k
g d z i e p i = 1 .
H i p o t e z a z e r o w a :
H 0 : p 1 = p 0 , p 2 = p 0 , . . . , p k = p 0
1 2 k
g d z i e p 0 , p 0 , . . . , p 0 s z n a n e .
1 2 k
X 1 , X 2 , . . . , X n - o b s e r w a c j e c e c h y X .
n
N i = 1 ( X j = w i ) , i = 1 , 2 , . . . , k .
j = 1
- z l i c z a m y i l e r a z y w p r ó b c e X 1 , X 2 , . . . , X n p o j a w i Ba s i w a r t o [
w i .
W y n i k i d o [w i a d c z e D p r e z e n t u j e t a b e l a :
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0 8
X w 1 w 2 . . . w k
l i c z b a
d o [w i a d c z e D N 1 N 2 . . . N k
W e k t o r ( N 1 , N 2 , . . . , N k ) <" M u l t ( n , p 1 , p 2 , . . . , p k ) .
O c z e k i w a n a l i c z b a p o j a w i e n i a s i w y n i k u w i w p r ó b i e n - e l e m e n t o w e j
p r z y p r a w d z i w e j h i p o t e z i e H 0
E N i = n p 0
i
P o s t a s t a t y s t y k i t e s t u c h i - k w a d r a t :
( w i e l k o [ o b s e r w o w a n a - w i e l k o [ o c z e k i w a n a ) 2
Ç2 =
w i e l k o [ o c z e k i w a n a
T e s t :
o d r z u c a m y H 0 g d y
k
( N i
- n p 0 ) 2
i
Ç2 = > Ç2 ( ±, k - 1 )
n p 0
i = 1
i
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 0 9
P R Z Y K AA D :
C h c e m y s p r a w d z i c z y k o s t k a d o g r y j e s t s y m e t r y c z n a . R z u c a m y
k o s t k 3 0 0 r a z y . W y n i k i p o d a j e t a b e l a
w y n i k w i 1 2 3 4 5 6
l i c z b a
r z u t ó w N i 4 5 5 5 6 0 4 0 4 8 5 2
1
H 0 : p 0 = , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
i
6
1
n p 0 = 3 0 0 · - w a r t o [ o c z e k i w a n a
i
6
W a r t o [ s t a t y s t y k i t e s t o w e j :
6
( N i
- n p 0 ) 2
i
Ç2 = = 5 , 1 6
e m p
n p 0
i = 1
i
Ç2 = 1 1 , 0 7
0 , 9 5 , 5
Ç2 < Ç2 ( 0 , 0 5 , 5 )
e m p
W n i o s e k : n i e m a p o d s t a w d o o d r z u c e n i a h i p o t e z y H 0 , z a t e m m o |-
n a s d z i , |e k o s t k a j e s t s y m e t r y c z n a .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1 0
2 . C e c h a X m a r o z k Ba d c i g By
T e s t z g o d n o [c i c h i - k w a d r a t m o |e b y s t o s o w a n y w p r z y p a d k u c e -
c h y o r o z k Ba d z i e c i g By m .
X 1 , X 2 , . . . , X n p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u c i g Be g o
H i p o t e z a z e r o w a :
H 0 : X 1 , X 2 , . . . , X n i . i . d . F
g d z i e F j e s t z n a n d y s t r y b u a n t r o z k Ba d u c i g Be g o .
W y b i e r a m y l i c z b y - " = a 0 < a 1 < a 2 < . . . < a k = " i
d e f i n i u j e m y
n
N i = 1 ( a i - 1 < X j a i ) , i = 1 , 2 , . . . , k
j = 1
P r a w d o p o d o b i e Ds t w o
P ( a i - 1 < X j a i ) = F ( a i ) - F ( a i - 1 ) = p 0
i
j e s t z n a n e . N a s t p n i e s t o s u j e m y t e s t c h i - k w a d r a t d l a p r z y p a d k u
r o z k Ba d u d y s k r e t n e g o .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1 1
U W A G I :
1 ) T e s t z g o d n o [c i c h i - k w a d r a t j e s t t e s t e m a s y m p t o t y c z n y m , l i c z -
n o [ p r ó b y l o s o w e j n m u s i b y d u |a , d l a k a |d e j k l a s y
n p 0 > 5 .
i
1
2 ) P o d z i a B n a k l a s y ( a i - 1 , a i ) d o k o n u j e s i t a k , a b y p 0 H" .
i
k
3 ) T e s t u m o |e m y u |y w a d o w e r y f i k a c j i h i p o t e z y , |e r o z k Ba d o b -
s e r w o w a n e j z m i e n n e j n a l e |y d o p e w n e j r o d z i n y r o z k Ba d ó w i n d e k -
s o w a n y c h s k o Dc z e n i e w y m i a r o w y m p a r a m e t r e m . P a r a m e t r y e s t y -
m u j e m y k o r z y s t a j c z d a n y c h . J e [l i u |y w a m y d a n y c h d o e s t y m a c j i
n i e z n a n y c h p a r a m e t r ó w r o z k Ba d u w y s t p u j c e g o w h i p o t e z i e z e r o -
w e j , t o d l a k a |d e g o e s t y m o w a n e g o p a r a m e t r u o d e j m u j e m y j e d e n
s t o p i e D s w o b o d y , z a t e m t e s t o d r z u c a h i p o t e z z e r o w , g d y
k
( N i
- n p 0 ) 2
i
Ç2 = > Ç2 ( ±, k - d - 1 )
n p 0
i = 1
i
g d z i e d j e s t l i c z b e s t y m o w a n y c h p a r a m e t r ó w .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1 2
P R Z Y K AA D . P o n i |s z a t a b e l a p r z e d s t a w i a l i c z b y r o s z c z e D z g Bo s z o -
n y c h w c i g u r o k u d l a 5 0 0 n i e z a l e |n y c h p o l i s z p e w n e j g r u p y r y z y k a
w t o w a r z y s t w i e u b e z p i e c z e n i o w y m :
l i c z b a r o s z c z e D l i c z b a p o l i s
0 4 2 0
1 6 0
2 2 0
> 2 0
X - o b s e r w o w a n a z m i e n n a l o s o w a - l i c z b a r o s z c z e D d l a j e d n e j p o l i s y
H 0 : X <" P o i s s ( ») , » > 0 j e s t n i e z n a n e .
Æ ¯
» = E N W ( ») = X = 0 . 2
i
p 0 = P ( X = 0 ) H" e - 0 . 2 = 0 , 8 2 5 0 0 · p 0 = 4 1 0
1 1
p 0 = P ( X = 1 ) H" 0 . 2 e - 0 . 2 = 0 , 1 6 5 0 0 · p 0 = 8 0
2 2
p 0 = P ( X > 1 ) H" 1 - 0 . 2 e - 0 . 2 - e - 0 . 2 = 0 , 0 2 5 0 0 · p 0 = 1 0
3 3
W a r t o [ s t a t y s t y k i t e s t o w e j
3
( N i
- n p 0 ) 2
i
Ç2 = = 2 1 , 7 3
n p 0
i = 1
i
W a r t o [ k r y t y c z n a Ç2 ( 0 , 0 5 , 3 - 1 - 1 ) = 3 , 8 4 . H i p o t e z H 0 o d -
r z u c a m y
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1 3
T E S T C H I - K W A D R A T N I E Z A L E {N O ZC I
( X , Y ) - d w u w y m i a r o w a z m i e n n a l o s o w a o r o z k Ba d z i e d y s k r e t n y m ,
t z n . ( X , Y ) " { 1 , 2 , . . . , r } × { 1 , 2 , . . . , s } ;
N i e c h
p i , j = P ( X = i '" Y = j )
s
p i " = P ( X = i ) = p i , j
j = 1
r
p " j = P ( Y = j ) = p i , j .
i = 1
( X 1 , Y 1 ) , ( X 2 , Y 2 ) , . . . , ( X n , Y n ) p r ó b a l o s o w a
n
N i , j = 1 ( X l = i '" Y l = j )
l = 1
s r
N i " = N i , j a n d N " j = N i , j .
j = 1 i = 1
D a n e p r z e d s t a w i a m y w t a b e l i z w a n e j t a b l i c k o n t y n g e n c j i .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1 4
x | y 1 2 . . . s N i , "
1 N 1 , 1 N 1 , 2 . . . N 1 , s N 1 , "
2 N 2 , 1 N 2 , 2 . . . N 2 , s N 2 , "
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
r N r , 1 N r , 2 . . . N r , s N r , "
N " , j N " , 1 N " , 2 . . . N " , s n
H i p o t e z a z e r o w a : H 0 : X i Y s n i e z a l e |n e
H 0 : p i , j = p i " · p " j , i = 1 , 2 , . . . , r , j = 1 , 2 , . . . , s .
J e s t t o h i p o t e z a o z g o d n o [c i z p e w n y m r o z k Ba d e m , z a s t o s u j e m y
t e s t c h i - k w a d r a t .
N i e z n a n y m i p a r a m e t r a m i s : p i " i p " j , i = 1 , 2 , . . . , r , j = 1 , 2 , . . . , s
I c h e s t y m a t o r y n a j w i k s z e j w i a r o g o d n o [c i t o :
N i " N " j
p i " = p " j =
Æ Æ
n n
E s t y m u j e m y z a t e m
r - 1 + s - 1
p a r a m e t r ó w
E s t y m a t o r y p a r a m e t r ó w p i , j s p o s t a c i
N i " N " j
p i , j = p i " · p " j = ·
Æ Æ Æ
n n
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1 5
S t a t y s t y k a t e s t u c h i - k w a d r a t m a p o s t a
N i " N " j 2
r s
N i , j -
n
Ç2 = .
N i " N " j
i = 1 j = 1
n
J e |e l i n d |y d o " t o r o z k Ba d s t a t y s t y k i Ç2 d |y d o r o z k Ba d u
Ç2
( r - 1 ) ( s - 1 )
H i p o t e z H 0 o d r z u c a m y g d y Ç2 > Ç2 ( ±, ( r - 1 ) ( s - 1 ) )
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1 6
S T A T Y S T Y K A B A Y E S O W S K A
M O D E L B A Y E S O W S K I
" X 1 , X 2 , . . . , X n - d a n e n p . p r ó b a l o s o w a z r o z k Ba d u P ¸ o g s t o [c i
f ¸( x ) = f ( x | ¸)
" { P ¸ : ¸ " ˜} - r o d z i n a r o z k Ba d ó w , ¸ - n i e z n a n y p a r a m e t r
" d o d a t k o w a w i e d z a - r o z k Ba d a p r i o r i n a p r z e s t r z e n i ˜, z a t e m
¸ <" i o z n a c z m y p r z e z À( ¸) - g s t o [ r o z k Ba d u w z g l d e m
p e w n e j m i a r y n a ˜
W t e d y f ( x 1 , x 2 , . . . , x n | ¸) j e s t g s t o [c i r o z k Ba d u w a r u n k o w e g o i
f ( x 1 , x 2 , . . . , x n , ¸) = f ( x 1 , x 2 , . . . , x n | ¸) À( ¸)
j e s t g s t o [c i r o z k Ba d u Bc z n e g o o b s e r w o w a n e j z m i e n n e j
X = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) i z m i e n n e j ¸.
R o z k Ba d x z a d a n y p r z e z g s t o [ ( w z g l d e m m i a r y n a ˜)
f ( x 1 , x 2 , . . . , x n | ¸) À( ¸)
À( ¸| x ) = ,
m ( x )
g d z i e
m ( x ) = f ( x 1 , x 2 , . . . , x n | ¸) À( ¸) d ¸
˜
o z n a c z a g s t o [ r o z k Ba d u b r z e g o w e g o z m i e n n e j X w p u n k c i e
x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) , n a z y w a m y r o z k Ba d e m a p o s t e r i o r i .
R o z k Ba d a p r i o r i o b r a z u j e n a s z w i e d z o n i e z n a n y m p a r a m e t r z e
p r z e d w y k o n a n i e m b a d a n i a s t a t y s t y c z n e g o
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1 7
R o z k Ba d a p o s t e r i o r i z a w i e r a c a B w i e d z o o b s e r w o w a n y m z j a w i -
s k u , z a w i e r a w i e d z w s t p n o p a r a m e t r z e ¸ i w i e d z p By n c z
o b s e r w a c j i , j e s t p o d s t a w w n i o s k o w a n i a b a y e s o w s k i e g o .
Z a d a n i a s t a t y s t y k i b a y e s o w s k i e j :
e s t y m a c j a p a r a m e t r u ¸
p r z e d z i a B u f n o [c i
w e r y f i k a c j a h i p o t e z o p a r a m e t r z e .
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1 8
E S T Y M A C J A
1 . B a y e s o w s k i e s t y m a t o r n a j w i k s z e j w i a r o g o d n o [c i p a -
r a m e t r u ¸ - m o d a r o z k Ba d u a p o s t e r i o r i p a r a m e t r u ¸
B E N W ( ¸) ( x ) = a r g s u p À( ¸| x )
2 . E s t y m a t o r b a y e s o w s k i p r z y z a d a n e j f u n k c j i s t r a t y
N i e c h L ( ¸, a ) b d z i e f u n k c j s t r a t y j a k p o n o s i s t a t y s t y k w y b i e r a -
j c z a w a r t o [ e s t y m a t o r a a , g d y p r a w d z i w w a r t o [c i p a r a m e t r u
j e s t ¸.
P r z y k Ba d y : N i e c h g ( ¸) - w i e l k o [ e s t y m o w a n a
L ( ¸, a ) = ( g ( ¸) - a ) 2 - k w a d r a t o w a f u n k c j a s t r a t y ;
L ( ¸, a ) = w ( ¸) ( g ( ¸) - a ) 2 - u o g ó l n i o n a k w a d r a t o w a f u n k c j a s t r a t y ;
L ( ¸, a ) = | g ( ¸) - a | - m o d u Bo w a f u n k c j a s t r a t y ;
L ( ¸, a ) = e x p ( c ( g ( ¸) - a ) ) - c ( g ( ¸) - a ) - 1 - f u n k c j a s t r a t y l i n e x
( l i n i o w o - w y k Ba d n i c z a )
M i e r n i k j a k o [c i e s t y m a t o r a - r y z y k o a p o s t e r i o r i
R x ( , ( x ) ) = E [ L ( ¸, ( X ) ) | X = x ] = L ( ¸, ( x ) ) À( ¸| x ) d ¸,
˜
E ( h ( ¸) | x ) - o z n a c z a w a r t o [ o c z e k i w a n f u n k c j i h ( ¸) , g d y ¸ m a
r o z k Ba d a p o s t e r i o r i p r z y X = x i r o z k Ba d z i e a p r i o r i .
B
E s t y m a t o r n a z y w a m y e s t y m a t o r e m b a y e s o w s k i m Ð!Ò!
B
"x R x ( , ( x ) ) = i n f R x ( , a )
a
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 1 9
P r z y k w a d r a t o w e j f u n k c j i s t r a t y
B
( x ) = E ( g ( ¸) | x )
( o i l e t a w a r t o [ o c z e k i w a n a i s t n i e j e i j e s t s k o Dc z o n a i r y z y k o b a y -
e s o w s k i e j e s t s k o Dc z o n e ) .
D o w ó d :
R x ( , a ) = E ( ( g ( ¸) - a ) 2 | x ) = E ( g 2 ( ¸) | x ) - 2 a E ( g ( ¸) | x ) + a 2
J e s t t o k w a d r a t o w a f u n k c j a z m i e n n e j a i o s i g a m i n i m u m d l a a =
E ( g ( ¸) | x ) .
P r z y m o d u Bo w e j f u n k c j i s t r a t y
B
( x ) = m e d ( x )
P R Z E D Z I A AY U F N O ZC I H P D
B a y e s o w s k i m p r z e d z i a Be m u f n o [c i H P D d l a p a r a m e t r u
¸ n a p o z i o m i e u f n o [c i 1 - ± n a z y w a m y z b i ó r A ‚" ˜, t a k i |e
"¸ " A À( ¸| x ) > k ±
i
( A | x ) 1 - ±
A g a t a B o r a t y Ds k a W y k Ba d y z e s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j 1 2 0
P R Z Y K AA D :
X 1 , X 2 , . . . , X n - i . i . d . N ( ¸, Ã2 ) , ¸ - n i e z n a n e , Ã z n a n e
¸ <" N ( µ , Ä2 ) - r o z k Ba d a p r i o r i
2
R o z k Ba d a p o s t e r i o r i N ( µ ", Ä" ) g d z i e
ëø öø
n µ
- 1
x + n 1
¯
2
Ã2 Ä2
íø øø
µ " = i Ä" = +
n 1
+ Ã2 Ä2
Ã2 Ä2
E s t y m a t o r b a y e s o w s k i p a r a m e t r u ¸ p r z y k w a d r a t o w e j f u n k c j i s r a t y
n µ
x +
¯
Ã2 Ä2
ÆB
¸ ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = µ " =
n 1
+
Ã2 Ä2
B a y e s o w s k i p r z e d z i a B u f n o [c i d l a ¸ n a p o z i o m i e u f n o [c i 1 - ±
± ±
µ " - u 1 - Ä", µ " - u 1 - Ä"
2 2
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