Wislicki W Zadania ze statystyki matematycznej

ĆWICZENIA 1

Zadanie 1 Majac dwie niezależne zmienne losowe i oraz ich rozkłady, znalezć
�

rozkład ich sumy, różnicy, loczynu, ilorazu, max i min .

Zadanie 2 Majac rozklad zmiennej , znalezć rozklady zmiennch ,

ln i .
Zadanie 3 Wyrazic pierwsze trzy kumulanty przez zwykle momenty zmiennej losowej.
Zadanie 4 Obliczyć skośność i kurtoze dla rozkładów: płaskiego, Poissona, dwu-
�
mianowego i geometrycznego.
1
ĆWICZENIA 2
Zadanie 1 Zgodnie z kryterium dostateczności Neymana dla statystyk, aby dla wek-

torowej zmiennej losowej obserwacji i wektorowej zmiennej losowej parametrów

, wektorowa statystyka była dostateczna dla , potrzeba i wystarcza, aby

istniała nastepujaca faktoryzacja gestości :
� � �

1. Niech bedzie -wymiarowym wektorem zmiennych iid, każda o rozkładzie
�
eksponencjalnym

Pokazać, że jest statystyka dostateczna dla .
� �

2. Niech bedzie -wymiarowym wektorem zmiennych iid, każda o rozkładzie
�
płaskim

Znalezć statystyke dostateczna dla , posługujac sie kryterium Neymana.
� � � �

Zadanie 2 Rodzina rozkładów z funkcja gestości należy do ekponencjalnej
� �

rodziny rozkładów, jeśli istnieja takie funkcje , , i (ostatnie dwie na ogół wek-
�

torowe, lecz nie koniecznie tego samego wymiaru co ), że

Rozstrzygnać, czy funkcja rozkładu (rozkład beta)
�

należy do rodziny eksponencjalnej i znalezć statystyke dostateczna dla i .
� �

Zadanie 3 Mówimy, że statystyka jest niezmiennicza wzgledem grupy przeksz-
�

tałceń , jeśli dla każdego zachodzi .

Pokazać, że dla transformacji skalowania ( ) i wektorowej

zmiennej losowej o wymiarze , statystyka

Ż Ż
gdzie jest wariancja z próby zaś jest średnia z próby,
� �
jest niezmiennicza wzgledem skalowania.
�
1
ĆWICZENIA 3

Zadanie 1 Niech próba losowa z rozkładu równomiernego

a) Sprawdzić, czy rozkładów jest niezmiennicza afinicznie, tzn. wzgledem
rodzina tych �

transformacji ,

b) Znalezć statystyke dostateczna dla ,
� �

c) Pokazać, że min jest estymatorem najwiekszej warygod-
�

ności dla ,

d) Znalezć estymator nieobciażony o najmniejszej wariancji dla .
�

Zadanie 2 Niech próba losowa z rozkładu o gestości
�

a) Pokazać, że jest estymatorem nieobciażonym dla ,
�

b) Znalezć estymetor najwiekszej wiarygodności dla , o ile taki istnieje,
�

c) Znalezć estymetor nieobciażony o minimalnej wariancji dla , jeśli istnieje.
�

Zadanie 3 Niech próba losowa z rozkładu o gestości
�

Pokazać niezmiennczość afiniczna tego rozkładu oraz znaleść transformacje parametrów
� �
indukowana przez transformacje zmiennej losowej.
� �

Zadanie 4 Niech próba losowa z rozkładu wykładniczego

Znalezć estymatory najwiekszej wiarygodności oraz estymatory nieobciażone o na-
� �

jmniejszej wariancji dla wartości oczekiwanej i wariancji .
1
ĆWICZENIA 4
Zadanie 1

Rozważmy rozkład jednorodny w przedziale i próbe losowa z tego rozkładu o
� �
liczności : .

Niech max .

Należy:

a. Pokazać, że jest MVUE dla ,

b. Wyznaczyć minimalna wariancje tego estymatora,
� �

c. Pokazać, że jest MLE dla .
Zadanie 2

Niech bedzie dyskretna zmienna losowa . Oznaczmy
� � � �

, gdzie jest nieznanym parametrem. Niech bedzie próba losowa o
� � �

liczności z tego rozkładu, zaś niech bedzie statystyka dostateczna dla .
� � �

Jako estymator przyjmiemy
l. obserwacji

Należy

a. Pokazać, że jest MVUE dla ,

b. Korzystaj ac z a. znalezć MVUE dla w rozkładzie Poissona
�

,

c. Znalezć MVUE dla w rozkładzie ujemnym dwumianowym

, gdzie znane i jest parametrem.

Zadanie 3 Istnieja bliznieta o jednakowej płci lub o różnych płciach. Niech
� �
bedzie prawdopodobieństwem, że dziecko jest chłopcem, a prawdopodobieńst-
�
wem że bliznieta sa jednopłciowe.
� �
Pokazać, że prawdopodobieństwa konfiguracji chłopiec+chłopiec, chłopiec+dziewczynka

i dziewczynka+dziewczynka sa równe , i , gdzie
�

.
Przypuśćmy, że mamy par blizniat, z czego poszczególnych konfiguracji.
�
Należy nastepnie:
�

a. Podać MLE dla i ,
b. Znalezć wariancje tych estymatorów,
1
Zadanie 4 Rozważmy rozkład potegowy
�

Niech próba losowa z tego rozkładu i niech .
Pokazać, że

a. jest statystyka dostateczna dla , i że rozkład statystyki jest też potegowy
� � �

b. MVUE dla ma postać

2
ĆWICZENIA 5
Zadanie 1
Pokazać nastepujaca własność informacji Fischera:
� � �

ln ln

ln

Zadanie 2

Niech bedzie próba losowa, taka że
� � � �

cov

Wyznaczyć stała rzeczywista , dla której statystyka
� � jest

estymatorem nieobciażonym dla parametru , gdzie .
�
Zadanie 3

Znalezć estymatory najwiekszej wiarygodności na podstawie próby losowej
�

:

a. Parametru dla rozkładu Weibulla ( jest znane)

b. Parametru dla rozkładu obcietego normalnego
�

c. Parametru dla rozkładu Laplace a

Zadanie 4
Rozważmy dyskretny rozkład potegowy
�

gdzie niektóre stałe moga być Niech beda niezależnymi ob-
� zerami. � �

serwacjami z tego rozkładu, zaś . Należy

1

Pokazać, że MLE dla jest rozwiazaniem równania
�

gdzie jest wartościa oczekiwana ,
� �

Pokazać, że informacja zawarta w pojedynczej obserwacji jest równa

gdzie jest drugim momentem .

2
ĆWICZENIA 6
Zadanie 1
Znalezć estymatory najwiekszej wiarygodności dla obu parametrów rozkładu nor-
�

malnego, dysponujac próba . Pokazać, że rzeczywiście realizowane
� �
jest maksimum wiarygodności.
Zadanie 2
Zrobić to samo dla parametru rozkładu Poissona.
Zadanie 3
Przypominamy definicje momentów i kumulantów:

Moment zwykły:

Moment centralny: , gdzie

Kumulant: wyraża sie przez odpowiednie kombinacje momentów zwykłych
�
lub centralnych

Wprowadzimy definicje odpowiednich momentów z próby. Niech bedzie
�
próba losowa iid, o liczności .
� �

Momentem zwykłym rzedu z próby nazywamy
�

Momentem centralnym rzedu z próby nazywamy
�

Nie wprowadzamy odpowiedniego pojecia "kumulantu z próby", ponieważ nie byłoby
�
ono użyteczne.
Pokazać, że
a. Momenty zwykłe z próby sa estymaorami nieobciażonymi o minimalnej wari-
� �
ancji dla momentów zwykłych.
b. Nieobciażonymi estymatorami dla momentów centralnych sa tzw. statystyki
� �

, których pierwsze cztery elementy wyrażaja sie nastepuj aco przez momenty
� � �
centralne z próby:

1
Statystyki sa estymatorami o najmniejszej wariancji
�
dla momentów centralnych .
c. Nieobciażonymi estymatorami dla kumulantów sa tzw. statystyki , których
� �
pierwsze cztery elementy wyrażaja sie nastepujaco przez momenty centralne
� � � �
z próby:

Statystyki sa estymatorami o najmniejszej wariancji
�
dla kumulantów .
2
ĆWICZENIA 7
Zadanie 1

Mamy zmienna � dskretna o rozkładzie Poissona
� losowa �

. Dysponujemy próba losowa niezależnych obserwacji z tego
� �
rozkłsdu, o liczności .

Znalezć funkcje rozkładu a posteriori oraz estymator bayesowski dla
�
a. zakładajac brak wiedzy o rozkładzie a priori i używajac rozkładu minimal-
� �

nego Jeffreysa , przy czym należy najpierw pokazać, że ma on
taka właśnie postać,
�

b. zakładajac w postaci rozkładu gamma ,
�
Czy rozkłady a prio- i a posteriori należa tu do rodziny sprzeżonej ? Jeśli tak,
� �
to wykorzystać ten fakt do estymacji. Obliczyć także żadany estymator znajdujac
� �
bezpośrednio maksimum funkcji wiarygodności a posteriori i porównać.
Zadanie 2
Rozważyć taki sam problem jak w zadaniu 1, gdy mamy prób w schemacie Bernoul-
ligo z prawdopodobieństwem sukcesu , czyli rozkład liczby sukcesów jest dwu-
mianowy

n

k
a. zakładajac brak wiedzy o rozkładzie a priori i używajac rozkładu minimal-
� �

nego Jeffreysa , przy czym należy najpierw pokazać, że ma

on taka właśnie postać,
�

b. zakładajac w postaci rozkładu beta ,
�
c. użyć gestości a priori w postaci rozkładu równomiernego i pokazać, że jest to
�

przypadek graniczny przy .
Czy rozkłady a prio- i a posteriori należa tu do rodziny sprzeżonej ? Jeśli tak,
� �
to wykorzystać ten fakt do estymacji. Obliczyć także żadany estymator znajdujac
� �
bezpośrednio maksimum funkcji wiarygodności a posteriori i porównać.
1
ĆWICZENIA 8
Zadanie 1

Niech bedzie prł ba losowa z rozkładu wykładniczego o gestości
� � � �

Zakładajac: (i) minimalny rozkład a priori Jeffreysa dla , (ii) niewłaściwy
�

rozkład a priori , znalezć rozkład a posteriori i estymatory bayesowskie:

punktowe dla warości średniej i wariancji zmiennej ,

przedziałowy, na poziomie istotności , dla .
Zadanie 2

Niech bedzie próba losowa z rozkładu logistycznego o dstrybuancie
� � �

Znalezć klayczne oraz, zakładajac niewłaściwy rozkład a priori , bayesowskie
�

przedziały ufności na poziomie istotności dla parametru , i przedyskutować.
Zadanie 3

Niech bedzie próba losowa z rozkładu ujemnego dwumianowego o gestości
� � � �

r+k-1

k

gdzie jest znanym parametrem naturalnym, zaś jest nieznanym parametrem

rzeczywistym . Tego rozładu można używać do modelowania rozkładu
liczby sukcesów przed uzyskaniem porażek w serii prób Bernoulliego z praw-

dopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie .
1. Zbadać, czy ten rozkład należy do rodziny wykładniczej,

2. Pokazać, że jest statystyka dostateczna dla parametru ,
� �
3. Znalezć rozkład minimalny a priori Jeffreysa dla ,
4. Zakładajac rozkład a priori dla jako rozkład beta o parametrach i
�

znalezć rozkład a posteriori dla ,
5. Znalezć estymator bayesowski typu najwiekszej wiarygodności dla ,
�
6. Znalezć tzw. bayesowski estymator średniej dla , bedacy wartościa oczekiwana
� � � �
liczona z jego gestościa a posteriori, i porównać z estymatorem z poprzed-
� � �
niego punktu,
7. Znalezć lewostronny bayesowski przedział ufności dla na poziomie isot-
ności .
1
ĆWICZENIA 9
Zadanie 1

Niech i beda dwiema próbami losowymi z rozkładów wykładniczych
� �
o średnich i .
a) Powtórzyć z wykładu dowód, że średnie z próby maja rozkłady i wyprowadzić
�
je,
b) Znalezć statystyke kanoniczna, wyrażona przez średnie z próby, która ma
� � �
rozkład Snedecora (dla przypomnienia: statystyka kanoniczna próby
dla

zmiennej losowej jest zdefiniowana jako ln ),
c) Skonstruować lewostronny przedział ufności na poziomie ufności dla ilo-
razu ,
d) Znalezć estymator najwiekszej wiarygodności oraz estymator nieobciażony o
� �
minimalnej wariancji dla .
Zadanie 2
Definiujemy statystyke , nazywana czestościa wystepowania w prostej próbie losowej,
� � � � �
jako

gdzie jest prosta próba losowa Bernoulliego z pradopodobieńst-
� � �
wem sukcesu .

a) Pokazać, że zmienna losowa ma rozkład dwumianowy oraz i

,
b) Pokazać, że dla dowolnych rzeczywistych i zachodzi

lim

c) Skonstruować dwustronny przedział ufności na poziomie ufności dla pro-
porcji , zakładajac liczność próby zbiegajaca do nieskończoności,
� � �

d) Znalezć zwiazek miedzy licznościa próby a długościa dwustronnego przedzi-
� � � �
ału ufności, przy zadanym poziomie ufności . Nastepnie obliczyć minimalna
� �

liczność próby , przy której długość tego przedziału nie przekracza .
1

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Tikhonenko O Wykłady ze statystyki matematycznej Wykład 6
Tikhonenko O Wykłady ze statystyki matematycznej Wykład 2
Tikhonenko O Wykłady ze statystyki matematycznej Wykład 3
Tikhonenko O Wykłady ze statystyki matematycznej Wykład 7
Boratyńska A Wykłady ze statystyki matematycznej
Tikhonenko O Wykłady ze statystyki matematycznej Wykład 5
ZADANIE ZE STATYSTYKI
Tikhonenko O Wykłady ze statystyki matematycznej Wykład 1
Statystyka matematyczna zadania 2 F
Statystyka matematyczna zadania 3 F
Przykładowe zadanie statystyka matematyczna
Zadania statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna zadania v 1 0 2

więcej podobnych podstron