Statystyka WNEiZ UMK
Zadanie 1
Zmienna losowa X posiada następujący rozkład:
xi p(xi ) - prawdopodobieństwo
0 0,1
1 0,25
2 0,3
3 0,25
4 0,1
a) wykreśl funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X,
b) wyznaczyć dystrybuantę,
c) obliczyć wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe, współczynnik asymetrii, współczynnik
koncentracji.
Zadanie 2
Z dużej partii produkcji pobrano w sposób przypadkowy 5 sztuk towaru. Niech X oznacza liczbę sztuk
wadliwych wśród wylosowanych. Wiadomo, że wadliwość produkcji wynosi 20%.
a) określić rozkład zmiennej losowej X (rozkład Poissona, rozkład Bernoulliego, rozkład normalny)
b) oblicz przeciętną liczbę sztuk wadliwych wśród wylosowanych,
c) oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych sztuk są co najwyżej 2 wadliwe,
d) oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych sztuk jest mniej niż 5 wadliwych.
Zadanie 3
Wiadomości przychodzą do centrali telefonicznej zgodnie z rozkładem Poissona ze średnią 6 wiadomości na
godzinę. Znajdz
prawdopodobieństwo, że:
a) dokładnie 2 wiadomości przychodzą w ciągu godziny,
b) nie będzie żadnej wiadomości,
c) przynajmniej 3 wiadomości przychodzą w ciągu godziny.
Zadanie 4
Waga paczek (w kg) przychodząca do firmy kurierskiej może być modelowana przy użyciu rozkładu
normalnego N(5,16) . Oblicz
a) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka waży mniej niż 1 kg,
b) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka waży pomiędzy 1 a 10 kg,
c) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka waży więcej niż 9 kg,
d) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka waży mniej niż 1 kg albo więcej niż 9 kg.
Zadanie 5
Jesteś osobą zarządzającą stroną internetową. W celu przyciągnięcia i utrzymania internautów musisz
zapewnić, aby nowe treści wideo mogły być szybko pobierane i odtwarzane przez użytkowników. Dane
wskazują, że średni czas pobierania wynosi 7 sekund a odchylenie standardowe wynosi 2 sekundy. Czas
pobierania jest rozłożony zgodnie z krzywą normalną. Ile sekund minie zanim 10% materiału wideo zostanie
pobrane.
1
Statystyka WNEiZ UMK
Zadanie 6
Na linii produkcyjnej maszyna dokonuje automatycznego pakowania produktu. Wiadomo, że rozkład
automatycznego pakowania produktu jest normalny z odchyleniem standardowym 1,1 dag. Wykonano 9
losowych pomiarów wagi zawartości opakowań i otrzymano następujące wyniki: 200,8; 199; 198,6; 197,8;
200,2; 199,8; 200,5; 197,5; 198,8.
a) Wyznacz przedział ufności dla nieznanej średniej wagi opakowań, przyjmując poziom ufności 95%.
b) Zakładając 90% i 99% poziom ufności jaka będzie odpowiedz
w punkcie a)?
c) Zakładając, że dokonano 25 pomiarów i otrzymano dokładnie taką samą średnią jak dla 9, to jaka
będzie odpowiedz
w punkcie a)?
Zadanie 7
Na 16 poletkach doświadczalnych posiano roślinę kappa. Po upływie trzech miesięcy zmierzono wzrost
roślin i otrzymano wyniki: x = 26, 4 i S(x) = 1,5 . Na podstawie uzyskanych wyników wyznacz przedział
ufności dla nieznanego średniego wzrostu rośliny, przy poziomie ufności 0,90.
Zadanie 8
Jedna z najważniejszych miar opisująca jakość usług dostarczanych przez przedsiębiorstwa jest czas, który
potrzebuje do całkowitego rozpatrzenia reklamacji. Duży sklep postawił sobie za cel poprawić jakość
świadczonych usług, poprzez zmniejszenie liczby dni od otrzymania reklamacji do jej całkowitego
rozpatrzenia. Dane zostały zebrane z 50 reklamacji z poprzedniego roku i przedstawiają liczbę dni od
otrzymania reklamacji do jej całkowitego rozpatrzenia: 54 5 35 137 31 27 152 2 123 81 74 27 11 19 126 110
110 29 61 35 94 31 26 5 12 4 165 32 29 28 29 26 25 1 14 13 13 10 5 27 4 52 30 22 36 26 20 23 33 68.
Wiadomo również, że x = 43,04 a S(x) = 41,92 .
a) Oszacuj przedział ufności dla nieznanej średniej liczby dni pomiędzy otrzymaniem reklamacji a jej
całkowitym rozpatrzeniem.
b) Jakie założenie należy poczynić w celu oszacowania przedziału ufności z punktu a)?
c) Czy założenie poczynione w punkcie b) jest spełnione? Podaj wyjaśnienie.
d) Jaki skutek może mieć wniosek z punktu c) na słuszność wyników uzyskanych w punkcie a)?
Zadanie 9
Sklep z materiałami papierniczymi chce oszacować średnią wartość wszystkich kartek okolicznościowych,
które ma na stanie. Losowa grupa 100 kartek wskazuje, że średnia wartość wynosi 2,55 zł z odchyleniem
standardowym 0,44 zł. Zakładając rozkład normalny zbuduj 90% przedział ufności średniej wartości
wszystkich kartek okolicznościowych w sklepie.
Zadanie 10
Z danych reprezentujących badanie budżetów rodzinnych przeprowadzonych w pewnym województwie,
otrzymano, że 207 spośród 500 przebadanych jest wyposażona w frytkownicę. Przyjmując współczynnik
ufności 0,9 wyznacz przedział ufności dla nieznanej frakcji gospodarstw domowych mających frytkownicę.
Zadanie 11
Przedsiębiorstwo B2 chce wiedzieć ile wystawionych faktur zawiera błędy. W tym celu zebrano informacje o
200 fakturach, z których okazało się, że 18 z nich zawiera błędy.
Zadanie 12
W celu sprawdzenia dokładności pracy automatu wytwarzającego śruby dokonano pomiaru średnicy 10
losowo wybranych śrub. Wyniki są następujące: 7,0; 7,4; 6,8; 7,2; 6,8; 7,3; 7,2; 7,0; 6,9; 7,4. Zakładając, że
rozkład średnicy śrub jest normalny wyznaczyć przedział ufności dla nieznanej wariancji średnicy
wytworzonych śrub przy poziomie ufności 0,9.
2
Statystyka WNEiZ UMK
Zadanie 13
Rozwiąż zadanie 13 zakładając, że wybrano w sposób losowych 35 śrub, które po zmierzeniu pokazały, że
odchylenie standardowe wynosi 0,055.
3