MPiS30 W09: PODSTAWY STATYSTYKI
MATEMATYCZNEJ
1. Różne pojęcia statystyki
2. Badanie statystyczne
3. Populacja generalna i cecha statystyczna
4. Wnioskowanie statystyczne
5. Próba a próba reprezentatywna
6. Rozkład teoretyczny a rozkład empiryczny
7. Twierdzenie o rozkładzie średniej arytmetycznej
Przykład 1
8. CTG -� centralne twierdzenie graniczne
Przykład 2
9. CTG dla sumy
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 1
10. Rozkład t-Studenta, jego własności i zastosowanie
Przykład 3
11. Rozkład chi-kwadrat, jego własności i zastosowanie
Przykład 4
12. Statystyki porównania parametrów w dwóch popu-
lacjach normalnych
13. Statystyka porównania dwóch frakcji
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 2
1. Różne pojęcia statystyki
A. Statystyka jako nauka dostarcza metod pozyskiwania,
przetwarzania, zestawiania, analizy i prezentacji danych doty-
czących wyników doświadczeń, obserwacji zjawisk losowych
lub procesów masowych.
Wiele nauk zajmuje się badaniem  otaczającego nas świa-
ta poprzez obserwacje lub konstrukcje doświadczeń dla po-
twierdzenia swoich teorii. Takie badania wymagają specjali-
stycznych metod i zwykle przebiegają według schematu:
�� planowanie doświadczenia,
�� zebranie i opracowanie danych,
�� analiza danych, ich interpretacja i wnioski.
Statystyka tworzy i rozwija te metody w sposób formalny.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 3
B. Statystyka opisowa -� zespół metod, nie używających
probabilistyki, służących do wydobywania  informacji za-
wartych w zbiorach danych zebranych w czasie badania staty-
stycznego, jako wyniku obserwacji, realizacji zjawiska lub
doświadczenia losowego.
Celem stosowania metod statystyki opisowej jest podsumo-
wanie zbioru danych i wyciągnięcie podstawowych wniosków
dotyczących przedmiotu badań w określonej zbiorowosci.
Przedmiotem zainteresowania statystyki opisowej są m.in.:
1. miary położenia: np. średnia, percentyle, wartość modalna.
2. miary dyspersji: np. wariancja, odchylenie standardowe,
3. miary asymetrii,
4. miary współzależności.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 4
C. Statystyka matematyczna (SM) -� sformalizowany
dział statystyki, używający probabilistyki i innych działów
matematyki do badania poprawności przyjętych założeń, w
określonym modelu probabilistycznym, na podstawie analizy
danych otrzymanych w wyniku obserwacji zjawiska lub prze-
prowadzonego eksperymentu.
SM dostarcza teoretycznych podstaw do konstrukcji pro-
cedur statystycznych, w celu uzyskania wiarogodnej informa-
cji o przedmiocie badania.
W SM wyniki doswiadczenia zwane obserwacjami lub
pomiarami, interpretujemy jako zm. l. X1, X2,..., Xn tworzące
próbę losową X. Zmienne te i ich rozkłady stanowią element
modelu matematycznego badanego zjawiska.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 5
D. Statystyka jako funkcja -� zm. l. U będąca funkcją U =�
f(Xn) próby losowej Xn =� (X1, X2,..., Xn). Statystyki służą do
poznania mechanizmu generującego obserwacje.
Dzięki probabilistyce znamy twierdzenia dotyczące mię-
dzy innymi rozkładów najczęściej stosowanych statystyk.
Podstawowe statystyki:
n
1
Xn =�
��X ,
i
�� średnia arytmetyczna
n
i=�1
�� jeżeli modelem cechy jest zm. l. X~B(p), to średnia
arytm. nazywa się frakcją jednostek wyróżnionych w
Pn
próbie i jest ozn. ,
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 6
n
1
2
Sn =�
n
��(X -� X )2 , n ł� 2,
i
�� wariancja z próby
n -�1
i=�1
�� odch. std. z próby Sn,
�� kowariancja empiryczna,
n
1
Cov(X,Y) =�
n n
��(X -� X )(Yi -� Y ) , n ł� 2,
i
n -�1
i=�1
�� współczynnik korelacji Pearsona
n
n n
��i=�1(X -� X )(Yi -� Y )
i
R(X,Y) =�
2
n n
n n
��i=�1(X -� X ) ��i=�1(Y -� Y )2
i i
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 7
2. Badanie statystyczne
BS to szereg czynności związanych z pozyskiwaniem
i przetwarzaniem danych zmierzających do jak najlepszego
poznania rozkładu wyróżnionych cech statystycznych X, Y, Z
w badanej zbiorowości zwanej populacją generalną.
BS może być pełne (obejmuje całą populację) lub czę-
ściowe (dotyczy pewnych elementów populacji -� próby) .
Czynniki, które przemawiają na korzyść badań częściowych:
�� populacja może być nieskończona,
�� badanie może być niszczące,
�� wysokie koszty.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 8
3. Populacja generalna i cecha statystyczna
Populacja generalna (zbiorowość statystyczna) to zbiór
elementów zwanych jednostkami statystycznymi, podlegają-
cych BS. Jednostki populacji są do siebie podobne pod
względem badanych cech, ale nie są identyczne.
Cechy statystyczne to te właściwości populacji general-
nej, które są przedmiotem BS. Cecha statystyczna może być:
�� mierzalna (ilościowe) -� np. temperatura, ciśnienie, wzrost,
�� niemierzalna (jakościowe) -� np. kolor oczu, płeć,
Zróżnicowanie wartości cechy statystycznej powoduje, że
można mówić o jej rozkładzie w populacji. Modelami bada-
nych cech statystycznych są zmienne losowe.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 9
4. Wnioskowanie statystyczne
WS to zespół metod służących do uogólniania wyników
badania próby na całą populację oraz szacowania błędów wy-
nikających z takiego uogólnienia.
Wyróżniamy dwie grupy metod uogólniania wyników, de-
finiujące jednocześnie dwa działy WS:
�� Estymacja -� szacowanie wartości nieznanych parametrów
rozkładu badanych cech.
�� Weryfikacja hipotez statystycznych -� sprawdzanie po-
prawności przypuszczeń na temat rozkładu badanych cech
w jednej lub kilku populacjach.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 10
5. Próba a próba reprezentatywna
Próbą losową z populacji badanej ze względu na jedną ce-
chę X, lub kilka cech, np. dwie X i Y nazywamy:
�� w przypadku jednej cechy ciąg zm. l.
X1, X2,& , Xn oznaczany X lub Xn,
�� w przypadku dwóch cech ciąg par zm. l.
(X1, Y1), (X2, Y2),& , ( Xn, Yn) oznaczany (X, Y)
każda z określonym rozkładem prawdopodobieństwa.
Jeżeli badamy dwie populacje ze względu na wspólną ce-
chę, to próbą losową są dwa ciągi: X1,1,& , X1,n i X2,1,& , X2,m.
Jeżeli zm. l.-owe w próbie są niezależne i o identycznym
rozkładzie (i.i.d.) co badana cecha lub cechy, to próbę nazy-
wamy prostą próbą losową.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 11
Próbą reprezentatywną nazywamy taką próbę, która za-
chowuje strukturę populacji ze względu na badane cechy.
Prosta próba losowa gwarantuje reprezentatywność.
Próbę niereprezentatywną nazywamy próbą obciążoną.
Planowaniem doświadczenia i sposobem wyboru próby
zajmuje się dział statystyki zwany metodami reprezentacyj-
nymi.
Liczbę n jednostek wybranych do próby nazywamy licz-
nością próby. Liczność próby zależy m.in. od przyjętego błę-
du, zwanego poziomem ufności.
Jeżeli n Ł� 30 to próbę nazywamy małą próbą. W przeciw-
nym przypadku próbę nazywamy dużą próbą.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 12
6. Rozkład teoretyczny a rozkład empiryczny
Probabilistycznym modelem badanej cechy jest zm. l. X.
Rozkład badanej cechy X w populacji nazywamy rozkładem
teoretycznym. Rozkład ten zwykle nie jest znany i w bada-
niach statystycznych zwykle przyjmujemy, że jest to pewien
rozkład spośród określonej rodziny rozkładów zależnej od
nieznanych parametrów, np. X ~ N(m, s�), X ~ B(p).
Rozkład cechy lub kilku cech w próbie nazywamy rozkła-
dem empirycznym. Rozkład ten poznajemy na podstawie BS
opisującego wartości przyjmowane przez cechę lub cechy,
zwykle przy pomocy dystrybuanty empirycznej, częstości ich
występowania lub odpowiednich statystyk z próby.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 13
Niech (X1, X2,& , Xn) będzie jedno-cechową próbą prostą.
Dystrybuantą empiryczną nazywamy następującą funkcję:
dla każdego x ��R, Fn(x) =� ��{i: Xi Ł� x}��/n,
gdzie ��A�� oznacza liczebność zbioru A.
UWAGI:
1. W klasycznej SM zakładamy, że dane są próbami pro-
stymi.
2. Rozróżniamy rozkład prawdop. w populacji i rozkład
próby losowej oraz średnią, wariancję, odch. standardowe,
kowariancję, współczynnik korelacji, tzw. teoretyczne, tj.
w populacjach od empirycznych, tj. w próbach losowych.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 14
7. Twierdzenie o rozkładzie średniej arytmetycznej
Jeżeli cechę w populacji generalnej opisuje zm. l. X o roz-
Xn
kładzie N(m, s�), to średnia arytmetyczna
z próby prostej
X1, X2,& , Xn ma rozkład normalny N(m, s�/��n), tj.
X ~ N(m4�) �� X ~ N n
,s�
n
1�4�2�4�3� 1�4�4�(m4�4�4�)
4� 4�
2�,s�/ 3�
załałożene teza
i
Dowód tego tw. wynika z tw. o sumie niezależnych zm. l. o
rozkładach normalnych.
Twierdzenie o rozkładzie sumy zm. l. Jeśli X1, X2,& , Xn są
niezależnymi zm. l. o rozkładach N(mi, s�i), to dla n =� 1, 2,&
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 15
2
(�X1 +� X2 +�...+� X )�~ N(�m1 +� m2 +�...+� mn, s�1 +� s�2 +�...+� s�2)�
2
1�4�4�4�4�4�4�n 2�4�4�4�4�4�4�4�4�4�4�4�n
4�4�4�4�4� 3�
teza
Wniosek. Dla prostej próby losowej
X ~ N(m,s�/ n)
n
,
a po standaryzacji średniej
X -� m
n
n ~ N(0,1)
.
s�
Uwaga. W statystyce twierdzenia probabilistyki są stosowane
w drugą stronę, tzn. z pewnej wiedzy zawartej w tezie twier-
dzenia chcemy wnioskować o prawdziwości założenia.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 16
Wnioskowanie to nazywamy wnioskowaniem redukcyj-
nym, w odróżnieniu od dedukcyjnego dowodzenia prawdy
stosowanego w naukach formalnych.
Wnioskowanie redukcyjne nie jest niezawodne, niemniej
jest najczęściej stosowane w naukach empirycznych.
Przykład 1. Długość linii jaką można narysować pewnego
typu pisakiem ma rozkład N(800; 100) [m].
a) Ile trzeba mieć takich pisaków, aby z prawd. co najmniej
0,99, można było narysować linię o długości ponad
3000m ?
b) Co wynika z faktu, że średnia długość linii narysowanej
4 pisakami jest krótsza niż 650 m?
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 17
8. CTG -� centralne twierdzenie graniczne
Jeżeli X1, X2,& , Xn jest próbą prostą z populacji X o warto-
ści oczekiwanej m i skończonym odchyleniu standardowym
Xn
s�, to rozkład średniej
z próby dąży do rozkładu normal-
nego o wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym
s�/��n, gdy liczebność próby wzrasta nieograniczenie, czyli
X ~ ?(m,s�) �� Xn n��Ą� N(m, s�/ n)
~
.
Siła CTG polega na tym, że rozkład populacji może być inny
niż normalny, a nawet może być nieznany (stąd piszemy ?).
Twierdzenie o standaryzowanym rozkładzie średniej arytme-
tycznej nazywa się tw. Lindeberga-Levy ego.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 18
Przykład 2. Dane techniczne informują, że pewne silniki
osiągają max moment obrotowy 220 Nm, a odchylenie stan-
dardowe 15 Nm. Producent łodzi motorowych zanim dokona
zakupu tych silników zamierza zbadać próbną partię 36 silni-
ków. Jakie jest prawdop. zdarzenia, że średni max moment
przyjmie wartość mniejszą niż 215 Nm ? Jeśli średni moment
z próby będzie mniejszy od 215Nm, to co z tego wynika ?
Rozwiązanie. Rozpatrywana tu zm. l. to średnia arytmetyczna
X36
z próby , która ze względu na dużą liczebność próby ma
w przybliżeniu rozkład normalny o średniej m i standardo-
wym odchyleniu s�/��n. Wykonujemy obliczenia stosując
standaryzację
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 19
STD
215 -� m 215 -� 220
ć� �� ć� ��
P(X36 <� 215) =� P Z <� =� P Z <�
�� �� �� ��
s� / n 15/ 36
Ł� ł� Ł� ł�
TABL
=� F�(-�2) =� 0,0228.
Wniosek. Prawdop. że test, który chce przeprowadzić nabyw-
ca, wykaże średni max moment obrotowy silnika mniejszy niż
215 KM jest bardzo małe. Wynika stąd, że jeśli przeprowa-
dzony test da wynik mniejszy od 215 KM, to będą podstawy
do podważenia a priori danej informacji o parametrach osią-
ganej mocy silników.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 20
9. CTG dla sumy
Jeżeli X1, X2,& , Xn jest próbą prostą z populacji X o skoń-
czonej wartości oczekiwanej m i odchyleniu stand. s�, to dla
dostatecznie dużych n
n
Xi (n��Ą�) N(nm,s� n)
~
��
i=�1
X ~ N(m, s�/ n)
Dowód. Spełnione są założenia CTG, więc .
Ponieważ X1 +�& +� Xn =� n , więc dla dostatecznie dużych n
X
suma n ma prawie rozkład normalny oraz
X
E(n ) =� nE( ) =� nm, D2(n ) =� n2D2( ) =� n2 s�2/n =� n s�2.
X X X X
Stąd odch. standardowe wynosi s���n. Co kończy dowód.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 21
10. Rozkład t-Studenta, jego własności i zastosowa-
nie
Aby zastosować CTG musimy znać s� w populacji. Jeżeli
s� nie jest znane, to korzystamy z jego estymatora Sn z próby.
W tym przypadku standaryzowana statystyka:
Xn -� m
t =� n
Sn
nie ma stand. rozkładu normalnego. Jest jedynie asympto-
tycznie normalna.
Rozkład statystyki t jest bardziej płaski w środku i ma
dłuższe  ogony niż stand. rozkład normalny.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 22
Tw. Jeżeli rozkład cechy X w populacji jest normalny, to sta-
tystyka t ma rozkład t-Studenta1 o n -�1 stopniach swobody.
Zapis X~t(n) oznacza, że zm. l. X ma rozkład t-Studenta
o n stopniach swobody.
Własności: Jeżeli X~t(n), to EX =� 0 oraz D2X =� n/(n-�2), n >2.
Zastosowanie: W estymacji i weryfikacji hipotez dotyczą-
cych wartości oczekiwanej przy nieznanej wariancji.
1
William Sealy Gosset (1876  1937), statystyk angielski. Publikował pod pseu-
donimem Student, stąd nazwa wprowadzonego przez niego - w roku 1908 - rozkładu.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 23
Kwantyle rozkładu t-Studenta są stablicowane.
http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_t-Studenta
Rys. 1. Krzywe gęstości rozkładu t-Studenta.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 24
Przykład 3. Zarząd wielkiej firmy FIA informuje, że rozkład
płac pewnej dużej grupy pracowników tej firmy jest normalny
z wartością oczekiwaną m =� 2500 PLN. Spośród pracowni-
ków tej firmy wylosowano 25 osób. Obliczyć prawdop. zda-
rzenia, że średnia płaca wylosowanych pracowników jest
mniejsza od 2000 PLN, jeśli:
a) wariancja płacy pracowników firmy FIA jest znana i
wynosi s�2 =� 14400 PLN2;
b) jedynie wariancja płacy z próby jest znana i wynosi s2 =�
19600 PLN2.
Wsk. Jeśli s� jest znane, to zastosować tw. o rozkładzie śred-
niej arytmetycznej; jeśli s� jest nieznane, to zastosować roz-
kład t-Studenta.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 25
Doświadczenie z próbą powiązaną. W populacji badamy ce-
chę dwukrotnie, tj. opisaną parą zm. l.-ych (X, Y).
Zakładamy, że zm. l. D =� (X - Y) ~ N(m, s�).
Pobieramy n elementową próbę powiązaną, tj.
(X, Y) =� (X1, Y1), (X2, Y2 ),& , (Xn, Yn).
Jeżeli Di =� (Xi -Yi ), i =� 1, 2,& , n oraz D =� (D1, D2,& , Dn), to
D -� m
tp =� n ~ t(n -�1)
Sn
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 26
11. Rozkład chi-kwadrat, jego własności i zastoso-
wanie
Jeżeli X1, X2,& , Xn jest próbą prostą z populacji o rozkładzie
normalnym, to statystyka
2
(n -�1)Sn
c�2 =� ~ chis(n -�1)
n
s�2
ma rozkład chi-kwadrat o n-�1 stopniach swobody.
Własności. Jeżeli X~chis(k), to EX =� k, D2(X) =� 2k, mo(X) =�
k-�2 dla k > 2.
Zastosowanie. Statystyka chi-kwadrat ma zastosowanie w es-
tymacji i weryfikacji hipotez dotyczących wariancji.
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 27
Uwaga. Jeżeli cecha X w populacji generalnej ma rozkład
normalny, to średnia arytmetyczna i wariancja z próby są nie-
zależnymi zm. l. mimo, że pochodzą z tej samej próby.
Krzywe gęstości Wykresy dystrybuant
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 28
Przykład 4 (kontynuacja przykładu 3). Zarząd firmy FIA po-
informował, że zróżnicowanie płac mierzone wariancją wy-
nosi 14400 PLN2.
a) (pre posteriori). Jakie jest prawd. zdarzenia, że obliczona
z wylosowanej próby 25 pracowników wariancja empi-
ryczna wyniesie ponad 25000 PLN2 ?
b) (a posteriori). Obliczona z wylosowanej próby wariancja
empiryczna wyniosła ponad 25000 PLN2. Co z tego wy-
nika ?
2
S25 >� 25000 �� c�2 >� 41,667
Wskazówka.
25
Uwaga. Jeżeli n > 30, to można zastosować statystykę
2(n -�1)S / s� � N( 2n -� 3,1)
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 29
12. Statystyki porównania parametrów w dwóch
populacjach normalnych
Rozważamy dwie niezależne populacje, w których modelami
badanej cechy są zm. l. X i Y, przy czym
X~N(m1, s�1), Y~N(m2, s�2).
Z populacji tych pobieramy niezależne próby proste
X =� (X1, X2,..., Xn ) Y =� (Y1,Y2,...,Yn )
oraz
1 2
Niech , , S1 i S2 będą statystykami z tych prób.
X Y
Do konstrukcji przedziałów ufności oraz testów statystycz-
nych dotyczących porównania wartości oczekiwanych lub
wariancji badanej cechy typu ciągłego mają zastosowanie na-
stępujące statystyki:
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 30
(�X -� Y)�-� (m1 -� m2)
Z =� ~ N(0,1)
2
s�1 s�2
2
+�
n1 n2
(�X -� Y)�-� (m1 -� m2)
t =� ~ t(n1 +� n2 -� 2),
ć� ��
k 1
�� ��
S2�� +�
n1 n2 ��
Ł� ł�
2
(�(n1 -�1)S12 / k)�+� (n2 -�1)S2
2
s�1 =� ks�2 =� ?, k jest znane, S2 =�
2
n1 +� n2 -� 2
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 31
W szczególnym przypadku, gdy k =� 1
(�X -� Y)�-� (m1 -� m2)
t =� ~ t(n1 +� n2 -� 2),
ć� ��
1 1
�� ��
S2�� +�
n1 n2 ��
Ł� ł�
2
(n1 -�1)S12 +� (n2 -�1)S2
2
s�1 =� s�2 =� s�2 =� ?, S2 =�
2
n1 +� n2 -� 2
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 32
Statystyka Cochrana -� Coxa
(�X -� Y)�-� (m1 -� m2)
t =� ~ t(),
2
S12 S2
+�
n1 n2
2
2
ć� ��
S12 S2 ��
��
+�
��
n1 n2 ��
2 Ł� ł�
s�1 ą� s�2 =� ?, =�
2
2 2
2
ć� �� ć� ��
1 S12 �� 1 S2 ��
�� ��
+�
n1 -�1�� n1 �� n2 -�1�� n2 ��
Ł� ł� Ł� ł�
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 33
(n1 +� n2 -� 2)S2
c�2 =� ~ chis(n1 +� n2 -� 2),
s�2
2
(n1 -�1)S12 +� (n2 -�1)S2
2
s�1 =� s�2 =� s�2, S2 =�
2
n1 +� n2 -� 2
2 2
S1 / s�1
F =� ~ Snedecora(n1 -�1, n2 -�1)
2
S2 / s�2
2
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 34
13. Statystyka porównania dwóch frakcji
Rozważamy dwie niezależne populacje, w których modelami
badanej cechy jakościowej są zm. l. X i Y, przy czym
X~B(p1), Y~B(p2).
Z populacji tych pobieramy duże niezależne próby proste
o licznościach odpowiednio n1 i n2 (często >100),
X =� (X1, X2,..., Xn ) Y =� (Y1,Y2,...,Yn )
oraz .
1 2
Liczby elementów wyróżnionych, w tych próbach, oznacza-
my odpowiednio K1 i K2, tj.
K1 =� S�Xi , K2 =� S�Yi
oraz
P1 =� K1 / n1 , P2 =� K2 / n2
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 35
wówczas
(�p1 -� p2)�-� ( p1 -� p2)
Z =� ~ N(0,1)
n1, n2��Ą�
p(1-� p)
n
K1 +� K2 n1n2
gdzie p =� , n =�
n1 +� n2 n1 +� n2
W praktyce, przybliżenie rozkładem normalnym stosujemy,
gdy dla i =�1, 2
0 <� ni pi m� ni pi(1-� pi) <� ni
K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej 36