1
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
1
sin Ä… cosÄ…
2
2 2
1 + tg Ä… =
= tgÄ… = ctgÄ…
sin Ä… + cos Ä… = 1
cosÄ… sin Ä…
cos2 Ä…
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
sin - Ä… ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚
= cosÄ… cos - Ä… ÷Å‚ Ä… tg - Ä… ÷Å‚
= sin = ctgÄ… ctg - Ä… ÷Å‚
= tgÄ…
ìÅ‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
sin(- Ä…) = - sin Ä… cos(- Ä…) = cosÄ… tg(- Ä…)= -tgÄ… ctg(- Ä…)= -ctgÄ…
FUNKCJE PODWOJONEGO K
TA
2
2tgÄ…
ctg Ä… - 1
2
tg2Ä… =
sin 2Ä… = 2 sin Ä… cosÄ…
cos 2Ä… = cos2 Ä… - sin Ä…
ctg2Ä… =
2
1 - tg Ä…
2ctgÄ…
FUNKCJE POTROJONEGO K
TA
tgÄ…(3 - tg2Ä…) ctgÄ…(ctg2Ä… - 3)
tg3Ä… = ctg3Ä… =
sin 3Ä… = sin Ä…(3 cos2 Ä… - sin2 Ä…) cos 3Ä… = cosÄ…(cos2 Ä… - 3 sin2 Ä…)
1 - 3tg2Ä… 3ctg2Ä… - 1
FUNKCJE POA
OWY K
TA
Ä… 1 - cosÄ… Ä… 1 + cosÄ…
Ä… 1 - cosÄ… Ä… 1 + cosÄ…
sin = Ä… cos = Ä… tg = ctg =
2 2 2 2 2 sin Ä… 2 sin Ä…
FUNKCJE SUMY I RÓŻNICY
sin(Ä… Ä… ² ) = sin Ä… cos ² Ä… sin ² cosÄ… cos(Ä… Ä… ² ) = cos Ä… cos ² m sin ² sin Ä…
tgÄ… + tg² tgÄ… - tg² ctgÄ… Å" ctg² - 1 ctgÄ… Å" ctg² + 1
tg(Ä… + ² )= tg(Ä… - ²) = ctg(Ä… + ² )= ctg(Ä… - ²)=
1 - tgÄ… Å" tg² 1 + tgÄ… Å" tg² ctgÄ… + ctg² ctg² - ctgÄ…
SUMA I RÓŻNICA FUNKCJI
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… - ²
sin Ä… + sin ² = 2 sin cos sin Ä… - sin ² = 2 cos sin
2 2 2 2
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… - ²
cosÄ… + cos ² = 2 cos cos cosÄ… - cos ² = -2 sin sin
2 2 2 2
sin(Ä… + ² ) sin(Ä… - ² ) sin(Ä… + ²) sin(² - Ä…)
tgÄ… + tg² = tgÄ… - tg² = ctgÄ… + ctg² = ctgÄ… - ctg² =
cosÄ… Å" cos ² cosÄ… Å" cos ² sin Ä… Å" sin ² sin Ä… Å" sin ²
RÓŻNE
1
2 2
sin Ä… sin ² = [cos(Ä… - ²) - cos(Ä… + ²)]
sin Ä… - sin ² = sin(Ä… + ²)sin(Ä… - ²)
2
1
cosÄ… cos ² = [cos(Ä… + ² )+ cos(Ä… - ²)]
cos2 Ä… - cos2 ² = sin(Ä… + ²)sin(² - Ä…)
2
1
2
sin Ä… cos ² = [sin(Ä… + ² )+ sin(Ä… - ²)]
cos2 Ä… - sin ² = cos(Ä… + ²)cos(Ä… - ² )
2
cosÄ… - sin Ä… = 2 cos(45o + Ä…)= 2 sin(45o - Ä…) sin Ä… + cosÄ… = 2 sin(45o + Ä…)= 2 cos(45o -Ä…)
ëÅ‚ Ä… öÅ‚ ëÅ‚Ä… öÅ‚ Ä… ëÅ‚ Ä… öÅ‚
2 2
2tg 1 - tg ctg - 1
2tg
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
tgÄ… =
sin Ä… = cosÄ… = ctgÄ… =
ëÅ‚ Ä… öÅ‚
ëÅ‚ Ä… öÅ‚ ëÅ‚ Ä… öÅ‚ 2 ëÅ‚ Ä… öÅ‚
2 2
1 - tg
1 + tg 1 + tg ìÅ‚ ÷Å‚ 2ctg
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2
2 2 íÅ‚ Å‚Å‚ 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
FUNKCJE HIPERBOLICZNE
x x - x
shx chx
e - e- x e + e
2
thx = cthx =
shx = chx = ch2 x - sh x = 1
chx shx
2 2
2
1
1 + th x 2th2 x
sh2x = 2shxchx 1 - th2 x =
ch2x = ch2 x + sh2 x ch2x = sh2x =
ch2 x
1 - th2 x 1 - th2 x
ch(x Ä… y)= chxchy Ä… shxshy sh(x Ä… y)= shxchy Ä… chxshy
FUNKCJE AREA HIPERBOLICZNY
1 + x 1 + x
2 2
arthx = ln arcthx = ln
arshx = ln(x + x + 1) archx = ln(x + x - 1)
1 - x x - 1
© Copyright by KICHA®
 2
FUNKCJE ARCUS
Ä„ Ä„
arcsin x = - arcsin(- x) = - arccos x dla x " - 1,1 arccos x = Ä„ - arccos(- x)= - arcsin x dla x " - 1,1
2 2
Ä„
x + y
arctgx = -arctg(- x)= - arcctgx dla x " R arctgx + arctgy = arctg dla xy < 1 x " R y " R xy `" 1
1 - xy
2
x 1 1
arccos x = arcsin 1- x2 = arcctg dla x " 0,1) arctgx = arccos = arcctg dla x `" 0
x
1- x2 1 + x2
x
arcsin x = arccos 1 - x2 = arctg dla x " 0,1)
1 - x2
POCHODNE
2 2 2 2
[f (x) Ä… g(x)]2 = f (x) Ä… g (x) [f (x) Å" g(x)]2 = f (x) Å" g(x) + f (x) Å" g (x)
2 2
2 [f (g(x))]2 = f (g(x))Å" g (x)
[ Å" f (x)]2 =  Å" f (x)
2
1
2 2
îÅ‚ f (x)Å‚Å‚ f (x) Å" g(x) - f (x) Å" g (x)
2
g (x) = dla f-cji odwrotnych f, g
=
ïÅ‚ śł
2
2
f (g(x))
g(x)
ðÅ‚ ûÅ‚ g (x)
1
1 1
x x r r -1
( x)2 =
(ln x)2 = (log x)2 =
(a )2 = a ln a (x )2 = ra
a
x x ln a 2 x
1 - 1
(tgx)2 = (ctgx)2 =
(sin x)2 = cos x (cos x)2 = - sin x
2
cos2 x sin x
1 - 1
1 -1
(arcsin x)2 = (arccos x)2 = (arcctgx)2 =
(arctgx)2 =
2 2
2 2
1 + x 1 + x
1 - x 1 - x
LOGARYTMY
b
1 m
loga (b1 Å" b2 )= log b1 + log b2 log = log b - log b
log b = m log b
a a a
a
a 1 a 2
b a
2
logc b 1
1
n
loga b = loga b =
log b = log b
a a
logc a logb a
n
INNE
p
a3 Ä… b3 = (a Ä… b)(a2 m ab + b2)
p = eln p ln e = p
LICZBY ZESPOLONE
z1 z1
z = a + bi = z (cos Õ + i sin Õ) z1z2 = z1 z2 (cos (Õ1 +Õ ) + i sin (Õ1 +Õ )) = (cos (Õ1 -Õ2 ) + i sin (Õ1 -Õ ))
2 2 2
z2 z2
ëÅ‚
Õ + k Å"360o öÅ‚
n n
n
n
ìÅ‚cos Õ + k Å"360o ÷Å‚
z = z + i sin dla k = 0,1,..., n -1
z = z (cos nÕ + i sin nÕ)
ìÅ‚ ÷Å‚
n n
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ z1 öÅ‚
1
k
ìÅ‚ ÷Å‚
arg(z1 Å" z2 ) = arg z1 + arg z2 argìÅ‚ ÷Å‚ = arg z1 - arg z2 argëÅ‚ öÅ‚ = - arg z
ìÅ‚ ÷Å‚ arg z = k arg z k "C
z2 z
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
© Copyright by KICHA®
 3
WYKRESY FUNKCJI
© Copyright by KICHA®