Rozdział 9
Rozdział 9
Kryteria zniszczenia dla
Kryteria zniszczenia dla
betonu
betonu
Rozdział 9
Rozdział 9
Kryteria zniszczenia dla
Kryteria zniszczenia dla
betonu
betonu
Tensor naprężenia
σ
ij
ma 9 składników (
σ
12
=
σ
21
,
σ
23
=
σ
32
,
σ
13
=
σ
31
)
11
12
13
21
22
23
31
31
33
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
ů
ę
ę
ę
ű
Z uwagi na fakt, że tensor naprężenia ma 9 składników, trudno jest
go przedstawić w przestrzeni. Dlatego stosuje się współrzędne
głównych naprężeń
σ
1
,
σ
2
,
σ
3
. Taka przestrzeń nazywa się
przestrzenią Haigha-Westergaarda. W tej przestrzeni każdy punkt
materialny ma więc współrzędne
σ
1
,
σ
2
,
σ
3
.
1
2
3
0
0
0
0
0
0
σ
σ
σ
ů
ę
ę
ę
ű
Tensor naprężenia może być rozłożony na część
Tensor naprężenia może być rozłożony na część
hydrostatyczną
hydrostatyczną
σ
σ
m
m
i deviatorową
i deviatorową
s
s
ij
ij
ij
ij
m ij
s
σ
σ δ
=
+
11
22
33
1
1
1
(
)
3
3
m
I
σ
σ
σ
σ
=
+
+
=
ij
ij
m ij
s
σ
σ δ
=
−
Niezmienniki tensora naprężeń (nie zależą od wyboru systemu
współrzędnych osi odniesienia):
1
11
22
33
1
2
3
I
σ
σ
σ
σ
σ
σ
=
+
+
=
+
+
2
2
2
2
11
22
22
33
33 11
12
23
31
(
) (
)
I
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
=
+
+
−
+
+
3
3
1
1
1
1
1
3
2
6
ij
jk
ki
ij
ji
I
I
I
σ σ σ
σ σ
=
−
+
3 niezmienniki tensora naprężeń
3 niezmienniki tensora naprężeń
1
1
2
3
I
σ
σ
σ
=
+
+
2
1 2
2
3
3 1
I
σ σ
σ σ
σ σ
=
+
+
3
1 2
3
I
σ σ σ
=
Niezmienniki tensor dewiatora naprężeń
Niezmienniki tensor dewiatora naprężeń
s
s
ij
ij
1
0
ij
i
J
s
s
=
=
=
2
1
2
ij ij
J
s s
=
2
1
3
ij jk ki
J
s s s
=
Płaszczyzna oktaedralna (ośmiościanu) jest płaszczyzną,
Płaszczyzna oktaedralna (ośmiościanu) jest płaszczyzną,
której normalne tworzą te same kąty z każdym kierunkiem osi
której normalne tworzą te same kąty z każdym kierunkiem osi
głównych.
głównych.
Oktaedralne (ośmiościenne) naprężenia
1
1
3
oct
m
I
σ
σ
=
=
2
2
3
oct
J
τ
=
Kierunek
τ
oct
jest definiowany przez kąt Lodego (zmienia się między
0
≤
θ
≤π
/3)
3
3/ 2
2
3 3
cos
2
J
J
θ =
Między naprężeniami głównymi a wielkościami na płaszczyźnie
oktaedralnej zachodzą związki
1
2
2
3
cos
2
2
cos(
)
3
3
2
cos(
)
3
oct
oct
oct
J
θ
σ
σ
σ
σ
θ
π
σ
σ
θ
π
ě
ď
ď
ě
ě
ď
ď
ď ď ď
ď
ď
ď
=
+
−
ď ď ď
ď
ď
ď
ţ
ţ
ď
ď
+
ď
ď
ţ
Interpretacja geometryczna naprężeń
Interpretacja geometryczna naprężeń
i niezmienników
i niezmienników
Stan naprężenia w punkcie odwzorowany na płaszczyźnie dewiatorowej
Stan naprężenia w punkcie odwzorowany na płaszczyźnie dewiatorowej
Linia hydrostatyczna oznacza linię przechodząca przez początek
układu i tworząca ten sam kąt z osiami współrzędnych (
σ
1
=
σ
2
=
σ
3
).
Płaszczyzna prostopadła do osi hydrostatycznej nazywa się płaszczyzną
dewiatorową:
1
2
3
3c
σ
σ
σ
+
+
=
gdzie c jest odległością od początku układu do płaszczyzny.
Powierzchnia dewiatorowa przechodząca przez początek układu
nazywa się płaszczyzną
π
.
1
1
2
3
1
(
)
3
3
3
I
ON
p
σ
σ
σ
=
+
+
=
=
1
2
3
(
)
NP
s
s
s
=
+
+
Punkt P reprezentuje stan naprężeń. Wektor naprężeń OP
może być rozłożony na dwa wektory: ON i NP
, (9.3)
2
2
2 1/ 2
1
2
3
2
(
)
2
3
oct
NP
s
s
s
J
ρ
τ
=
=
+
+
=
=
1
1
3
3
3
oct
m
ON
I
ξ
σ
σ
=
=
=
=
Długość wektora
NP
Długość
wektora
ON
Wektory reprezentują składniki hydrostatyczne (
Wektory reprezentują składniki hydrostatyczne (
p
p
δ
δ
ij
ij
) i składniki
) i składniki
dewiatorowi (
dewiatorowi (
s
s
ij
ij
).
).
'
ON
p
=
'
'
3
N P
s
=
Odwzorowanie wektora ON i NP na oś
σ
3
Fizyczna
i
geometryczna
Fizyczna
i
geometryczna
interpretacja (
interpretacja (
ξ
ξ
,
,
ρ
ρ
,
,
θ
θ
)
)
oraz (
oraz (
σ
σ
,
,
τ
τ
θ
θ
)
)
Odwzorowanie wektora NP w kierunku wektora jednostkowego
e
3
'
1
2
3
1
1
3
cos
(2 ,
,
)
2
6
NQ
s
s
s
s
ρ
θ
=
=
−
−
=
Kąt Lodego (zmienia się między
0
≤
θ
≤π
/3)
3
1
3/ 2
2
2
3
3 3
cos
2
2
J
s
J
J
θ
=
=
1
2
3
1
1
1
(
)
3
3
m
I
σ
σ
σ
σ
=
+
+
=
2
2
2 1/ 2
1
2
2
3
3
1
1
[(
)
(
)
(
) ]
15
m
τ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
=
−
+
−
+
−
Średnie naprężenie normalne i
styczne
Modele betonu jedno- i
dwuparametrowe
Kryterium Treski (1864) (jednoparametrowe, nie uwzględnia
wpływu ciśnienia)
1
2
2
3
3
1
1
1
1
max( |
|, |
|, |
|)
2
2
2
k
σ
σ
σ
σ
σ
σ
−
−
−
=
0
60
o
o
θ
Ł Ł
( , )
sin(
) 2
0
3
f
k
π
ρ θ
ρ
θ
=
+
−
=
0
60
o
o
θ
Ł Ł
2
2
( , ) 2
sin(
) 2
0
3
f J
J
k
π
θ
θ
=
+
−
=
Maksymalne naprężenie styczne
Maksymalne naprężenie styczne
2
2
max
(
)
2
xx
yy
xy
k
σ
σ
τ
τ
−
=
+
=
Reprezentacja na płaszczyźnie
Reprezentacja na płaszczyźnie
σ
σ
1
1
-
-
σ
σ
2
2
Reprezentacja na płaszczyźnie dewiatorowej
Reprezentacja na płaszczyźnie dewiatorowej
Reprezentacja w przestrzeni naprężeń głównych
Reprezentacja w przestrzeni naprężeń głównych
Reprezentacja na płaszczyźnie
Reprezentacja na płaszczyźnie
σ
σ
xx
xx
-
-
τ
τ
xy
xy
Reprezentacja na płaszczyźnie
Reprezentacja na płaszczyźnie
ξ
ξ
-
-
ρ
ρ
Kryterium Rankine’a (1876) (jednoparametrowe,
Kryterium Rankine’a (1876) (jednoparametrowe,
nie uwzględnia wpływ ciśnienia)
nie uwzględnia wpływ ciśnienia)
1
2
3
max(
,
,
, )
t
f
σ σ σ
=
1
2
2
1
( , , ) 2 3
cos
3
0
t
f I J
J
I
f
θ
θ
=
+ −
=
0
60
o
o
θ
Ł Ł
3
2
t
t
f
ρ
=
Kryterium von Misesa (1913) (dwuparametrowe, nie
Kryterium von Misesa (1913) (dwuparametrowe, nie
uwzględnia wpływu ciśnienia)
uwzględnia wpływu ciśnienia)
2
2
2
( )
0
f J
J
k
=
−
=
2
2
2
2
2
2
2
1
1
[(
)
(
)
(
) ]
2
6
ij ij
x
y
y
z
z
x
xy
yz
zx
J
s s
σ
σ
σ
σ
σ
σ
τ
τ
τ
=
=
−
+
−
+
−
+
+
+
2
2
2
3
3
oct
J
k
τ
=
=
Dla
jednoosiowego
Dla
jednoosiowego
rozciągania
rozciągania
3
o
k
σ
=
Kryterium Mohra-Coulomba (dwuparametrowe, uwzględnia
Kryterium Mohra-Coulomba (dwuparametrowe, uwzględnia
wpływ ciśnienia)
wpływ ciśnienia)
tan
c
τ
σ
φ
= −
1
3
1
3
1
1
(
) cos
[ (
)sin ]tan
2
2
c
σ
σ
φ
σ
σ
φ
φ
−
= −
+
3
1
1
r
c
f
f
σ
σ
−
=
2 cos
1 sin
t
c
f
φ
φ
=
+
2 cos
1 sin
c
c
f
φ
φ
=
−
1
3
c
m
f
σ
σ
−
=
1 sin
1 sin
c
t
f
m
f
φ
φ
+
=
=
−
2
1
2
1
2
1
( , , )
sin
sin(
)
cos(
)sin
cos
0
3
3
3
3
J
f I J
I
J
c
π
π
θ
φ
θ
θ
φ
θ
=
+
+
+
+
−
=
0
60
o
o
θ
Ł Ł
1
2
1
2
( , )
0
f I J
I
J
k
α
=
+
− =
2sin
3(3 sin )
φ
α
φ
=
−
6 cos
3(3 sin )
c
k
φ
φ
=
−
( , )
6
2
0
f
k
ξ ρ
α ξ ρ
=
+ −
=
Kryterium Druckera-Pragera
(dwuparametrowe, uwzględnia wpływ ciśnienia)
,
Połączenie kryterium Mohra-Coulomba (ściskanie)
i Rankine’a (rozciąganie)
2
1
3
1
3
1
3
( ,
) [
]
0
c
c
f
m
c
f
f
σ
σ
σ
σ
σ σ
−
+
=
+
− =
2
2
2
( , , ) [ 2
sin(
)]
[
cos(
)
]
0
3
3
3
3
c
c
c
f
m
c
f
f
f
ρ
π
ρ
π
ξ
ξ ρ θ
θ
θ
=
+
+
+
+
− =
Modele
betonu
Modele
betonu
trzyparametrowe
trzyparametrowe
Model Leona (1935)
Model Leona (1935)
Model
Breslera-Pistera
Model
Breslera-Pistera
(1958)
(1958)
2
(
,
)
(
)
(
)
0
oct
oct
oct
oct
oct
c
c
c
f
a b
c
f
f
f
τ
σ
σ
σ
τ
=
= −
+
=
1
(
, , )
1 0
( )
m
m
m
m
c
f
A f
σ
τ
σ τ θ
ρ θ
=
+
− =
2
1
1
2
( , , )
(
cos3 )(
) 1 0
c
c
J
I
f I J
a
b
f
f
θ
θ
=
+
−
− =
2
1
3
1
1
3
( , ) [
]
0
c
c
f
m
c
f
f
σ σ
σ
σ σ
−
=
+
− =
Model Willama-Warnke
(1974)
Model Aryrisa et al.
(1974)
Model Hoeka-Browna (1980)
2
2
1
1
2
2
( , , )
1 0
c
c
c
J
J
I
f I J
a
b
f
f
f
θ
λ
=
+
+
− =
1
1
2
1
cos[ cos ( cos3 )]
3
k
k
λ
θ
−
=
cos3 0
θ
ł
1
1
2
1
cos[
cos (
cos 3 )]
3 3
k
k
π
λ
θ
−
=
−
−
cos3
0
θ
Ł
Modele wieloparametrowe
4-parametrowy model Ottosena (1977)
2
2
1
1
1
2
1
2
( , , )
1 0
c
c
c
c
J
J
I
f I J
a
b
c
d
f
f
f
f
σ
σ
=
+
+
+
− =
4-parametrowy model Hsieha et al.
(1979)
(
, , )
5
1 0
(
, )
m
m
m
m
f
τ
σ τ θ
ρ σ θ
=
− =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 (
) cos
(2
)[4(
) cos
5
4
]
( )
4(
) cos
(
2 )
c
c
t
c
t
c
c
t
t
c
t
c
t
c
t
ρ ρ
ρ
θ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θ
ρ
ρ ρ
ρ θ
ρ
ρ
θ
ρ
ρ
−
+
−
−
+
−
=
−
+
−
2
1
2
(
)
(
)
5
t
m
t
m
m
o
c
c
c
c
a
a
a
f
f
f
f
τ
ρ
σ
σ
=
=
+
+
2
1
2
(
)
(
)
5
c
m
c
m
m
o
c
c
c
c
b
b
b
f
f
f
f
τ
ρ
σ
σ
=
=
+
+
5-parametrowy
model
Willama-Warnke
5-parametrowy
model
Willama-Warnke
(1974)
(1974)
2
2
( , , ) [ 1.5
]
[
( , )
]
0
6
3
c
c
c
f
m
r
e
c
f
f
f
ρ
ρ
ξ
ξ ρ θ
θ
=
+
+
− =
2
2
2
2
2
2
2
1/ 2
4(1
) cos
(2
1)
2(1
) cos
(2
1)[4(1
) cos
5
4 ]
e
e
r
e
e
e
e
e
θ
θ
θ
−
+
−
=
−
+
−
−
+
−
2
2
( )
( )
3
1
c
t
c t
f
f
e
m
f f
e
−
=
+
3- parametrowy model Menetreya-Willama (1995)
3- parametrowy model Menetreya-Willama (1995)
1
c
=
Wpływ parametru
Wpływ parametru
e
e
na wytrzymałość
na wytrzymałość
dwuosiową w modelu Willama-Menetreya
dwuosiową w modelu Willama-Menetreya
Wpływ parametru
Wpływ parametru
e
e
kształt powierzchni dewiatorowej w modelu
kształt powierzchni dewiatorowej w modelu
Willama-Menetreya: a)
Willama-Menetreya: a)
e
e
=0.5, b)
=0.5, b)
e
e
=0.6
=0.6
a
a
b
b
Uogólniona
forma:
2
( , , ) (
)
[
]
0
f
f
f
f
A
m B r C
c
ξ ρ θ
ρ
ρ
ξ
=
+
+
− =
Redukcja
kryterium
zniszczenia
Kryterium
A
f
B
f
C
f
m
e
Hubera-
Misesa
0
0
1
1
Druckera-
Pragera
0
1
1
Rankine’a
0
1
0.5
Mohra-
Coulomba
0
1
Leona
0
1
brak
Willama-
Menetreya
3 1
2
c
f
3
8
c
t
c t
f
f
f f
+
3
2
c
t
c t
f
f
f f
−
1
6
c
f
1
3
t
f
2
1
6
c
t
c t
f
f
f f
+
1
3
c
t
c t
f
f
f f
−
2
2
c
t
c
t
f
f
f
f
+
+
1.5
c t
f f
3
c
t
c t
f
f
f f
−
1.5
c
f
1
6
c
f
1
3
c
f
2
2
3
1
c
t
c t
f
f
e
f f
e
−
+
