Analiza statystyczna niepewności przypadkowych.

1. W tabeli przedstawiono pomiary długości i szerokości płytki. Oblicz

średnią wartość l i b, odchylenie standardowe l i b, odchylenie standardowe
średniej l i b, pole powierzchni płytki A, błąd bezwzględny i względny A.

l [mm]

24,25 24,26 24,22 24,28 24,24
24,25 24,22 24,26 24,23 24,24

b [mm]

50,36 50,35 50,41 50,37 50,36
50,32 50,39 50,38 50,36 50,38

2. (a) Na podstawie danych z tabeli oblicz współczynnik sprężystości

sprężyny k oraz niepewność δk. (b) Przeprowadź analizę niepewności δk przy
założeniu, że waga i stoper mają odpowiednio niepewności systematyczne 1%
i 0,5%.

Masa m [kg] Okres T [s] k = 4π

2

m/T

2

0,513

1,24

13,17

0,581

1,33

12,97

0,634

1,36

...

0,691

1,44

...

0,752

1,50

...

0,834

1,59

...

0,901

1,65

...

0,950

1,69

...

3. Dane są wartości: x

1

, x

2

,..., x

N

. Odchylenie d

i

jest zdefiniowane

następująco d

i

= x

i

− ¯

x. Udowodnij, że średnia odchyleń d

1

, d

2

,..., d

N

jest

zawsze równa zeru.

4. Udowodnij tożsamość:

Σ[(x

i

− ¯

x)

2

] = Σ[(x

i

)

2

] −

1

N

[Σ(x

i

)]

2

.

(1)

5. W tabeli przedstawiono wyniki doświadczenia polegającego na wyz-

naczeniu przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wahadła matematycznego.
Okres drgań wahadła jest równy T = 2π

q

l/g. Dokładność pomiarów dłu-

gości l i czasu T wynosi odpowiednio 0,3% i 0,2%. Oblicz wartość przyspie-
szenia ziemskiego g. Niepewność δg oszacuj dwiema metodami: (a) metodą
przenoszenia błędów; (b) na podstawie analizy statystycznej.

Długość l [cm]

57,3

61,1

73,2

83,7

95,0

Okres T [s]

1,521 1,567 1,718 1,835 1,952

Przyspieszenie g [m/s

2

]

...

...

...

...

...

6. W tabeli przedstawiono wyniki pomiarów spadku napięcia V na opor-

niku oraz płynący przez niego prąd I. Na podstawie tych pomiarów oblicz
wartość oporu R = V /I oraz oszacuj błąd δR zakładając, że użyte mierniki
mają niepewność systematyczą 2%. Przeprowadź analizę otrzymanych wy-
ników wiedząc, że nominalny opór wynosi R = 2, 50 Ω.

Napięcie V [V]

11,2 13,4 15,1 17,7

Natężenie I [A] 4,67 5,46 6,28 7,22
Opór R [Ω]

...

...

...

...

7. Student otrzymał przedstawione w tabeli wyniki pomiarów długości

l i okresu T wahadła matematycznego. Oblicz na podstawie tych pomia-
rów przyspieszenie ziemskie g oraz oszacuj niepewność δg. Wyniki porównaj
z wartością uznaną g = 979, 6 cm/s

2

. Jak duży musiałby być błąd syste-

matyczny wyznaczenia długości l, aby margines całkowitego błędu zaledwie
zawierał uznaną wartość.

Długość l [cm]

51,2

59,7

68,2

79,7

88,3

Okres T [s]

1,448 1,566 1,669 1,804 1,896

Przyspieszenie g [m/s

2

]

...

...

...

...

...

8. Żeby wykalibrować spektrometr pryzmatyczny, student mierzy kąt θ o

jaki odchyla się światło dla 10 różnych znanych długości fali λ. Używając tych
wyników, rysuje on krzywą dyspersji przedstawiającą λ jako funkcję kąta θ.
Dla pierwszej wartości λ mierzy kąt θ sześć razy i otrzymuje następujące
wyniki (w stopniach):

52,5; 52,3; 52,6; 52,5; 52,7; 52,4

Dla każdej z pozostałych wartości λ mierzy odpowiednią wartość θ tylko raz.
Co powinien przyjąć za niepewność w każdym z tych 10 pomiarów kąta θ.

9. Studentka pięciokrotnie mierzy przyspieszenie ziemskie g i otrzymuje

następujące wyniki (w m/s

2

):

9,9; 9,6; 9,5; 9,7; 9,8.

Oblicz średnią i odchylenie standardowe mierzonej wielkości.

Rozkład normalny

1. Pomiar pewnej długości x (w cm) został powtórzony dziesięciokrotnie:

26, 24, 26, 28, 23, 24, 25, 24, 26, 25.

Na podstawie tych wyników uzupełnij tabelę. Narysuj histogram pomiarów
x. Oblicz średnią wartość ¯

x, korzystając ze wzoru na sumę ważoną.

Różne wartości x

k

[cm] ... ... ... ... ... ...

Liczebność n

k

... ... ... ... ... ...

Częstość F

k

... ... ... ... ... ...

2. Na podstawie zmierzonych wartości długości l (w cm), uzupełnij

tabelkę, sporządź histogram komórkowy, oraz oblicz wartość średnią ¯l.

26,4; 23,9; 25,1; 24,6; 22,7; 23,8; 25,1; 23,9; 25,3; 25,4.

Przedzial l

k

[cm]

... ... ... ... ... ...

Liczba pomiarów w przedziale ... ... ... ... ... ...
f

k

... ... ... ... ... ...

3. 20 razy zmierzono czas opadania kulki łożyskowej w cylindrze wypełnionym

olejem. Wyniki przedstawiono w tabeli. Narysuj histogram komórkowy
przedstawionych wyników przyjmując szerokość przedziału
(a) ∆t = 1 i wartość początkową równą 70,5;
(b) ∆t = 2 i wartość początkową równą 70,5.

Czas t [0,1 s]

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Liczba zdarzeń

2

0

3

5

4

1

3

1

0

1

4. Korzystając z papieru milimetrowego i odpowiednio dobierając skalę

na osiach, wykonaj precyzyjne wykresy rozkładu Gaussa:

G

X,σ

(x) =

1

σ

√

2π

e

−

(x−X)

2

/2σ

2

(2)

dla X = 2, σ = 1 oraz X = 3 i σ = 0, 3.

5. Oblicz:

¯

x =

Z

+∞

−∞

xG

X, σ

dx

(3)

σ

2

x

=

Z

+∞

−∞

(x − ¯x)

2

G

X, σ

(x)dx

(4)

6. Student wielokrotnie zmierzył pewną wielkość y, a następnie obliczył

wartość średnią ¯y = 23 i odchylenie standardowe σ

y

= 1. Jaka część spośród

jego pomiarów powinna zgodnie z przewidywaniami znaleźć się pomiędzy:
(a) 22 i 24; (b) 22,5 i 23,5; (c) 21 i 25; (d) 21 i 23; (e) 24 i 25?
(f) W jakich granicach równoodległych od średniej można spodziewać się
50% wszystkich wyników?

7. Badania wykazują, że wzrost mężczyzn w pewnym kraju podlega

rozkładowi normalnemu ze średnią ¯h = 175 cm i odchyleniem standardowym
σ = 5 cm. Losowo wybrano grupę liczącą 1000 mężczyzn. Ilu spośród nich
powinno mieć wzrost:
(a) pomiędzy 170 a 180 cm;
(b) większy niż 180 cm;
(c) większy niż 190 cm;
(d) pomiędzy 165 a 170 cm?

8. W myśl pewnej zaproponowanej teorii wielkość x powinna mieć wartość

x

teor

. Po zmierzeniu wielkości x i podaniu wyniku w przyjętej postaci x

np

±σ,

stwierdzamy, że rozbieżność pomiędzy x

np

i x

teor

wynosi t odczyleń standar-

dowych. Jaka musi być wartość t, aby rozbieżność była istotna na poziomie
5%? Jaka na poziomie 2%? Jaka na poziomie 1%?

9. Student starannie powtarza pomiary przyspieszenia ziemskiego g i

otrzymuje wynik końcowy 9,5 m/s

2

z odchyleniem standardowym 0,1. Ile

wynosiłoby prawdopodobieństwo uzyskania wyniku, który różniłby się tak
bardzo (lub bardziej) od wartości uznanej 9,8, jeśli założymy, że jego po-
miary są opisane przez rozkład normalny wyśrodkowany wokół wartości 9,8
m/s

2

z szerokością 0,1?

10. Dwóch studentów wykonuje pomiary tej samej wielkości x i uzyskuje

wyniki x

A

= 13 ± 1 oraz x

B

= 15 ± 1, jako niepewności podano odchylenia

standardowe.
(a) Przyjmując, że wszystkie błędy są niezależne i przypadkowe, odpowiedz
ile wynosi różnica x

A

− x

B

i jaka jest jej niepewność?

(b) Zakładając, że wszystkie wielkości podlegają rokładom normalnym, odpowiedz
jakie byłoby prawdopodobieństwo otrzymania tak dużej rozbieżności? Czy
rozbieżność ta jest znacząca? Uzasadnij.

11. Eksperymentator postanawia sprawdzić zasadę zachowania energii

dla pewnej reakcji jądrowej i mierzy wartości energii początkowej i końcowej,
uzyskując odpowiednio E

p

= 75 ± 3 MeV i E

k

= 60 ± 9 MeV, przy czym jako

obydwie nepewności pomiarowe podano odchylenia standardowe wyników.
Czy stwierdzona rozbieżność jest znacząca? Uzasadnij.